Medelvärde och varians

Formler och tabeller i statistik

Medelvärde och varians

∑

=

=

ⁿ

i

x

i

x n

1

1

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= −

− −

= ∑ ∑

=

=

n

i i n

i

i

x n x

x n

n x

₁

2 2 1

2 2

1 ) 1

1 ( σ 1

Medelvärde och varians för ett frekvensindelat material

∑

=

=

^k

i

i i

x n f

x

1

1

∑

=

− −

=

^k

i

i

i

x x

n

₁

f

2

2

( )

1 σ 1

Väntevärde och varians vid diskreta sannolikhetsfördelningar

i i

i

p x

E ⁼ ∑

= ( ξ )

μ

i i

i

p

x

V ( ξ ) = ∑ ( − μ )

²

där ) p

_i

= P ( ξ = x

_i

Väntevärde och varians vid kontinuerliga sannolikhetsfördelningar

∫

∞

∞

−

=

= E ( ξ ) xf ( x ) dx

μ

∫

∫

^∞

∞

−

∞

∞

−

−

=

−

= ( )

²

( )

²

( )

²

)

( ξ ^x μ ^{f x dx x f x dx} μ

V

Approximationer:

Linjära kombinationer av stokastiska variabler

S 2.1 Låt c

₁

, c

₂

, ... , c

_n

vara konstanter, ξ

1

^, ξ

2

^{, ... ,} ξ

_n

stokastiska variabler, E ( ξ

_i

) = μ

_i

och

) 2

( _{i i}

V

ξ

=

σ . Då gäller:

1. E ( c

₁

ξ

₁

+ c

₂

ξ

₂

+ ... + c

_n

ξ

_n

) = c

₁

μ

₁

+ c

₂

μ

₂

+ ... + c

_n

μ

_n

,

2. V ( c

₁

ξ

₁

+ c

₂

ξ

₂

+ ... + c

_n

ξ

_n

) = c

₁²

σ

₁²

+ c

₂²

σ

₂ ²

+ ... + c

_n²

σ

_n²

om ξ

1

^, ξ

2

^{, ... ,} ξ

_n

är oberoende

S 2.2 Låt c

₁

, c

₂

, ... , c

_n

vara konstanter, ξ

1

^, ξ

2

^{, ... ,} ξ

_n

oberoende stokastiska variabler och )

, (

_{i i}

i

N μ σ

ξ ∈ . Då gäller:

... ( , )

1 2 2 1

2 2 1

1

∑ ∑

=

=

∈ +

+

+ ⁿ

i

i i n

i i i n

n N c c

c c

c

ξ ξ ξ μ σ

S 2.3 Låt ξ

1

^, ξ

2

^{, ... ,} ξ

_n

vara oberoende stokastiska variabler och )

, ( μ σ

ξ

i

∈ ^N . Då gäller:

ξ

₁

+ ξ

₂

+ ... + ξ

_n

∈ N ( n ⋅ μ , σ n )

S 2.4 Låt ξ

1

^, ξ

2

^{, ... ,} ξ

_n

vara oberoende stokastiska variabler och )

, ( μ σ

ξ

i

∈ ^N . Då gäller:

_{1 2} ... ( , )

N n n

n

μ σ

ξ ξ

ξ

+ + + ∈

S 2.5 (Centrala gränsvärdessatsen) Låt ξ

1

^, ξ

2

^{, ... ,} ξ

_n

vara oberoende stokastiska

variabler med samma sannolikhetsfördelning med väntevärdet μ och standardavvikelsen σ . Då gäller:

1. ξ

₁

+ ξ

₂

+ ... + ξ

_n

är approximativt N ( n ⋅ μ , σ n ) fördelad då n är stort.

2.

n ξ

n

ξ

ξ

₁

+

₂

+ ... +

är approximativt ( , ) n

N μ σ fördelad då n är stort.

Konfidensintervall för aritmetiska medelvärdet vid normalfördelning

1. (

_/2

,

_/2

)

x n

x − λ

_α

σ n + λ

_α

σ σ känt

2. ( ( 1 ) , ( 1 ) )

* 2

/

* 2

/

x t n n

n n t

x σ σ

α

α

− + −

− σ okänt

Konfidensintervall för medianen:

Två stickprov:

K

onfidensintervall för μ

₁−

μ

₂

med konfidensgrad

1−

α : σ ^känt:

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ +

2 1 2

/ 2

1 2

/

1 , 1

1 1

n y n

n x y n

x λ

_α

σ λ

_α

σ

σ ^okänt

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − + − ⋅ ⋅ + − + + − ⋅ ⋅ +

2 1

* 2

1 2 / 2

1

* 2

1 2 /

1 ) 1

2 (

1 , ) 1

2

( x y t n n n n

n n n

n t y

x

α

σ

α

σ

där

1 1

) 1 ( ) 1 (

2 1

2 2

2

* 1

− +

−

− +

= −

n n

n

n

σ

_x

σ

_y

σ

Gauss’ approximationsformler

G1. Låt ξ vara en stokastisk variabel med E ( ξ ) = μ och V ( ξ ) = σ

²

. Låt vidare g vara en funktion med kontinuerlig derivata. Då gäller

) ( )) (

( ^g ξ ^g μ

E ≈ ^och

( ^{( )} )

^{2 2}

)) (

( g ξ ≈ g ′ μ ⋅ σ

V .

G2. Låt ξ

1

^, ξ

2

^{, ... ,} ξ

_n

vara oberoende stokastiska variabler med väntevärdena μ

n

μ

μ

1

^,

2

^{, ... ,} och varianserna σ

₁²,

σ

₂²,...,

σ

_n²

. Låt vidare g ( ξ

₁

,..., ξ

_n

) vara en funktion av n variabler med kontinuerliga partiella derivator. Då gäller

) , ...

, , ( )) , ...

, , (

( g

_{1 2 n}

g

_{1 2 n}

E ξ ξ ξ ≈ μ μ μ ^och

2 2 2

1 2

1 2

1

, , ... , )) ...

(

(

_n

n n

g g g

V σ

σ ξ ξ ξ

ξ

ξ ⎟⎟ ⎠ ⋅

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂ +

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

≈ ∂ _,

där de partiella derivatorna räknas i punkten ( μ

₁

, μ

₂

, ... , μ

_n

) ^.

DISKRETA FÖRDELNINGAR

Fördelning Sannolikhetsfunk.

)

( x

P ξ = Väntevärde Varians

Binomial Bin(n,p)

n x

p x p

n

_{x n x}

,..., 1 , 0

) 1 (

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

₋

np np ( 1 − p )

Poisson ) ( λ Po

...

3 , 2 , 1 , 0

!

=

− ⋅ x e x

λ

x

λ

λ λ

Hypergeometrisk Hyp(N,n,p)

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

n N

x n

Np N x

Np ( ) np

1 ) )(

1 (

−

−

− N

n N p np

KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR

Fördelning Frekvensfunk.

) (x f

Fördelningsfunk.

) (x

F

Väntevärde Varians Rektangel

(uniform, likformig)

övrigt för

b x a a b 0

1 ,

≤

− ≤

b x om

a x om

b x a a

b a x

>

<

≤

− ≤

−

1 0

,

2 b a +

12 ) ( b − a

²

Exponential x

e

^λ

λ

⁻

0 1

≥

−

⁻

x

e

^λx

λ

1 1

₂

λ

Normal

2 2

2 ) (

2

1

_σ^μ

π σ

−

− x

e e dt

x t

∫

∞

−

−

−

2 2

2 ) (

2

1

_σ^μ

π

σ ^μ

σ

2

Tabell 1: Binomialfördelningen, ξ ∈ Bin ( n , p )

Sannolikhetsfunktionen P ( ξ = ) x = ^{p p x n}

x x n

f ( ) ⎟⎟

^x

( 1 − )

^{n x}

, = 0 , 1 ...,

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⁻

p= 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 n x

2 0 0,8100 0,6400 0,4900 0,3600 0,2500 0,1600 0,0900 0,0400 0,0100 2 1 0,1800 0,3200 0,4200 0,4800 0,5000 0,4800 0,4200 0,3200 0,1800 2 2 0,0100 0,0400 0,0900 0,1600 0,2500 0,3600 0,4900 0,6400 0,8100

3 0 0,7290 0,5120 0,3430 0,2160 0,1250 0,0640 0,0270 0,0080 0,0010 3 1 0,2430 0,3840 0,4410 0,4320 0,3750 0,2880 0,1890 0,0960 0,0270 3 2 0,0270 0,0960 0,1890 0,2880 0,3750 0,4320 0,4410 0,3840 0,2430 3 3 0,0010 0,0080 0,0270 0,0640 0,1250 0,2160 0,3430 0,5120 0,7290

4 0 0,6561 0,4096 0,2401 0,1296 0,0625 0,0256 0,0081 0,0016 0,0001 4 1 0,2916 0,4096 0,4116 0,3456 0,2500 0,1536 0,0756 0,0256 0,0036 4 2 0,0486 0,1536 0,2646 0,3456 0,3750 0,3456 0,2646 0,1536 0,0486 4 3 0,0036 0,0256 0,0756 0,1536 0,2500 0,3456 0,4116 0,4096 0,2916 4 4 0,0001 0,0016 0,0081 0,0256 0,0625 0,1296 0,2401 0,4096 0,6561

5 0 0,5905 0,3277 0,1681 0,0778 0,0313 0,0102 0,0024 0,0003 0,0000 5 1 0,3281 0,4096 0,3602 0,2592 0,1563 0,0768 0,0284 0,0064 0,0005 5 2 0,0729 0,2048 0,3087 0,3456 0,3125 0,2304 0,1323 0,0512 0,0081 5 3 0,0081 0,0512 0,1323 0,2304 0,3125 0,3456 0,3087 0,2048 0,0729 5 4 0,0005 0,0064 0,0284 0,0768 0,1563 0,2592 0,3602 0,4096 0,3281 5 5 0,0000 0,0003 0,0024 0,0102 0,0313 0,0778 0,1681 0,3277 0,5905

6 0 0,5314 0,2621 0,1176 0,0467 0,0156 0,0041 0,0007 0,0001 0,0000 6 1 0,3543 0,3932 0,3025 0,1866 0,0938 0,0369 0,0102 0,0015 0,0001 6 2 0,0984 0,2458 0,3241 0,3110 0,2344 0,1382 0,0595 0,0154 0,0012 6 3 0,0146 0,0819 0,1852 0,2765 0,3125 0,2765 0,1852 0,0819 0,0146 6 4 0,0012 0,0154 0,0595 0,1382 0,2344 0,3110 0,3241 0,2458 0,0984 6 5 0,0001 0,0015 0,0102 0,0369 0,0938 0,1866 0,3025 0,3932 0,3543 6 6 0,0000 0,0001 0,0007 0,0041 0,0156 0,0467 0,1176 0,2621 0,5314

7 0 0,4783 0,2097 0,0824 0,0280 0,0078 0,0016 0,0002 0,0000 0,0000 7 1 0,3720 0,3670 0,2471 0,1306 0,0547 0,0172 0,0036 0,0004 0,0000 7 2 0,1240 0,2753 0,3177 0,2613 0,1641 0,0774 0,0250 0,0043 0,0002 7 3 0,0230 0,1147 0,2269 0,2903 0,2734 0,1935 0,0972 0,0287 0,0026 7 4 0,0026 0,0287 0,0972 0,1935 0,2734 0,2903 0,2269 0,1147 0,0230 7 5 0,0002 0,0043 0,0250 0,0774 0,1641 0,2613 0,3177 0,2753 0,1240 7 6 0,0000 0,0004 0,0036 0,0172 0,0547 0,1306 0,2471 0,3670 0,3720 7 7 0,0000 0,0000 0,0002 0,0016 0,0078 0,0280 0,0824 0,2097 0,4783

8 0 0,4305 0,1678 0,0576 0,0168 0,0039 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000 8 1 0,3826 0,3355 0,1977 0,0896 0,0313 0,0079 0,0012 0,0001 0,0000 8 2 0,1488 0,2936 0,2965 0,2090 0,1094 0,0413 0,0100 0,0011 0,0000 8 3 0,0331 0,1468 0,2541 0,2787 0,2188 0,1239 0,0467 0,0092 0,0004 8 4 0,0046 0,0459 0,1361 0,2322 0,2734 0,2322 0,1361 0,0459 0,0046 8 5 0,0004 0,0092 0,0467 0,1239 0,2188 0,2787 0,2541 0,1468 0,0331 8 6 0,0000 0,0011 0,0100 0,0413 0,1094 0,2090 0,2965 0,2936 0,1488 8 7 0,0000 0,0001 0,0012 0,0079 0,0313 0,0896 0,1977 0,3355 0,3826 8 8 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0039 0,0168 0,0576 0,1678 0,4305

Tabell 1: Binomialfördelningen, ξ ∈ Bin ( n , p ) , sannolikhetsfunktionen

p= 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0, 0,8 0,9 n x

9 0 0,3874 0,1342 0,0404 0,0101 0,0020 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 9 1 0,3874 0,3020 0,1556 0,0605 0,0176 0,0035 0,0004 0,0000 0,0000 9 2 0,1722 0,3020 0,2668 0,1612 0,0703 0,0212 0,0039 0,0003 0,0000 9 3 0,0446 0,1762 0,2668 0,2508 0,1641 0,0743 0,0210 0,0028 0,0001 9 4 0,0074 0,0661 0,1715 0,2508 0,2461 0,1672 0,0735 0,0165 0,0008 9 5 0,0008 0,0165 0,0735 0,1672 0,2461 0,2508 0,1715 0,0661 0,0074 9 6 0,0001 0,0028 0,0210 0,0743 0,1641 0,2508 0,2668 0,1762 0,0446 9 7 0,0000 0,0003 0,0039 0,0212 0,0703 0,1612 0,2668 0,3020 0,1722 9 8 0,0000 0,0000 0,0004 0,0035 0,0176 0,0605 0,1556 0,3020 0,3874 9 9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0020 0,0101 0,0404 0,1342 0,3874

10 0 0,3487 0,1074 0,0282 0,0060 0,0010 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 10 1 0,3874 0,2684 0,1211 0,0403 0,0098 0,0016 0,0001 0,0000 0,0000 10 2 0,1937 0,3020 0,2335 0,1209 0,0439 0,0106 0,0014 0,0001 0,0000 10 3 0,0574 0,2013 0,2668 0,2150 0,1172 0,0425 0,0090 0,0008 0,0000 10 4 0,0112 0,0881 0,2001 0,2508 0,2051 0,1115 0,0368 0,0055 0,0001 10 5 0,0015 0,0264 0,1029 0,2007 0,2461 0,2007 0,1029 0,0264 0,0015 10 6 0,0001 0,0055 0,0368 0,1115 0,2051 0,2508 0,2001 0,0881 0,0112 10 7 0,0000 0,0008 0,0090 0,0425 0,1172 0,2150 0,2668 0,2013 0,0574 10 8 0,0000 0,0001 0,0014 0,0106 0,0439 0,1209 0,2335 0,3020 0,1937 10 9 0,0000 0,0000 0,0001 0,0016 0,0098 0,0403 0,1211 0,2684 0,3874 10 10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0010 0,0060 0,0282 0,1074 0,3487

11 0 0,3138 0,0859 0,0198 0,0036 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 11 1 0,3835 0,2362 0,0932 0,0266 0,0054 0,0007 0,0000 0,0000 0,0000 11 2 0,2131 0,2953 0,1998 0,0887 0,0269 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 11 3 0,0710 0,2215 0,2568 0,1774 0,0806 0,0234 0,0037 0,0002 0,0000 11 4 0,0158 0,1107 0,2201 0,2365 0,1611 0,0701 0,0173 0,0017 0,0000 11 5 0,0025 0,0388 0,1321 0,2207 0,2256 0,1471 0,0566 0,0097 0,0003 11 6 0,0003 0,0097 0,0566 0,1471 0,2256 0,2207 0,1321 0,0388 0,0025 11 7 0,0000 0,0017 0,0173 0,0701 0,1611 0,2365 0,2201 0,1107 0,0158 11 8 0,0000 0,0002 0,0037 0,0234 0,0806 0,1774 0,2568 0,2215 0,0710 11 9 0,0000 0,0000 0,0005 0,0052 0,0269 0,0887 0,1998 0,2953 0,2131 11 10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0007 0,0054 0,0266 0,0932 0,2362 0,3835 11 11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0036 0,0198 0,0859 0,3138

12 0 0,2824 0,0687 0,0138 0,0022 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 12 1 0,3766 0,2062 0,0712 0,0174 0,0029 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 12 2 0,2301 0,2835 0,1678 0,0639 0,0161 0,0025 0,0002 0,0000 0,0000 12 3 0,0852 0,2362 0,2397 0,1419 0,0537 0,0125 0,0015 0,0001 0,0000 12 4 0,0213 0,1329 0,2311 0,2128 0,1208 0,0420 0,0078 0,0005 0,0000 12 5 0,0038 0,0532 0,1585 0,2270 0,1934 0,1009 0,0291 0,0033 0,0000 12 6 0,0005 0,0155 0,0792 0,1766 0,2256 0,1766 0,0792 0,0155 0,0005 12 7 0,0000 0,0033 0,0291 0,1009 0,1934 0,2270 0,1585 0,0532 0,0038 12 8 0,0000 0,0005 0,0078 0,0420 0,1208 0,2128 0,2311 0,1329 0,0213 12 9 0,0000 0,0001 0,0015 0,0125 0,0537 0,1419 0,2397 0,2362 0,0852 12 10 0,0000 0,0000 0,0002 0,0025 0,0161 0,0639 0,1678 0,2835 0,2301 12 11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0029 0,0174 0,0712 0,2062 0,3766 12 12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0022 0,0138 0,0687 0,2824

Tabell 2: Binomialfördelningen ,

ξ ∈ Bin ( n , p )

, fördelningsfunktionen

F ( x ) = P ( ξ ≤ x ) n

x p

k p x n

F

x

k

k n

k

( 1 ) , 0 , 1 ...,

) (

0

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ∑ ⎛

=

−

p= 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 n x 2 0 0,81 0,64 0,49 0,36 0,25 0,16 0,09 0,04 0,01 2 1 0,99 0,96 0,91 0,84 0,75 0,64 0,51 0,36 0,19

2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 0 0,729 0,512 0,343 0,216 0,125 0,064 0,027 0,008 0,001 3 1 0,972 0,896 0,784 0,648 0,5 0,352 0,216 0,104 0,028 3 2 0,999 0,992 0,973 0,936 0,875 0,784 0,657 0,488 0,271

3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 0 0,6561 0,4096 0,2401 0,1296 0,0625 0,0256 0,0081 0,0016 0,0001 4 1 0,9477 0,8192 0,6517 0,4752 0,3125 0,1792 0,0837 0,0272 0,0037 4 2 0,9963 0,9728 0,9163 0,8208 0,6875 0,5248 0,3483 0,1808 0,0523 4 3 0,9999 0,9984 0,9919 0,9744 0,9375 0,8704 0,7599 0,5904 0,3439

4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5 0 0,5905 0,3277 0,1681 0,0778 0,0313 0,0102 0,0024 0,0003 0 5 1 0,9185 0,7373 0,5282 0,337 0,1875 0,087 0,0308 0,0067 0,0005 5 2 0,9914 0,9421 0,8369 0,6826 0,5 0,3174 0,1631 0,0579 0,0086 5 3 0,9995 0,9933 0,9692 0,913 0,8125 0,663 0,4718 0,2627 0,0815 5 4 1 0,9997 0,9976 0,9898 0,9688 0,9222 0,8319 0,6723 0,4095

5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1

6 0 0,5314 0,2621 0,1176 0,0467 0,0156 0,0041 0,0007 0,0001 0 6 1 0,8857 0,6554 0,4202 0,2333 0,1094 0,041 0,0109 0,0016 0,0001 6 2 0,9842 0,9011 0,7443 0,5443 0,3438 0,1792 0,0705 0,017 0,0013 6 3 0,9987 0,983 0,9295 0,8208 0,6563 0,4557 0,2557 0,0989 0,0159 6 4 0,9999 0,9984 0,9891 0,959 0,8906 0,7667 0,5798 0,3446 0,1143 6 5 1 0,9999 0,9993 0,9959 0,9844 0,9533 0,8824 0,7379 0,4686

6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7 0 0,4783 0,2097 0,0824 0,028 0,0078 0,0016 0,0002 0 0 7 1 0,8503 0,5767 0,3294 0,1586 0,0625 0,0188 0,0038 0,0004 0 7 2 0,9743 0,852 0,6471 0,4199 0,2266 0,0963 0,0288 0,0047 0,0002 7 3 0,9973 0,9667 0,874 0,7102 0,5 0,2898 0,126 0,0333 0,0027 7 4 0,9998 0,9953 0,9712 0,9037 0,7734 0,5801 0,3529 0,148 0,0257 7 5 1 0,9996 0,9962 0,9812 0,9375 0,8414 0,6706 0,4233 0,1497 7 6 1 1 0,9998 0,9984 0,9922 0,972 0,9176 0,7903 0,5217

7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n x 8 0 0,4305 0,1678 0,0576 0,0168 0,0039 0,0007 0,0001 0 0 8 1 0,8131 0,5033 0,2553 0,1064 0,0352 0,0085 0,0013 0,0001 0 8 2 0,9619 0,7969 0,5518 0,3154 0,1445 0,0498 0,0113 0,0012 0 8 3 0,995 0,9437 0,8059 0,5941 0,3633 0,1737 0,058 0,0104 0,0004 8 4 0,9996 0,9896 0,942 0,8263 0,6367 0,4059 0,1941 0,0563 0,005 8 5 1 0,9988 0,9887 0,9502 0,8555 0,6846 0,4482 0,2031 0,0381 8 6 1 0,9999 0,9987 0,9915 0,9648 0,8936 0,7447 0,4967 0,1869 8 7 1 1 0,9999 0,9993 0,9961 0,9832 0,9424 0,8322 0,5695

8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabell 2: Binomialfördelningen ,

ξ ∈ Bin ( n , p )

, fördelningsfunktionen

F ( x ) = P ( ξ ≤ x )

p= 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 n x 9 0 0,3874 0,1342 0,0404 0,0101 0,002 0,0003 0 0 0 9 1 0,7748 0,4362 0,196 0,0705 0,0195 0,0038 0,0004 0 0 9 2 0,947 0,7382 0,4628 0,2318 0,0898 0,025 0,0043 0,0003 0 9 3 0,9917 0,9144 0,7297 0,4826 0,2539 0,0994 0,0253 0,0031 0,0001 9 4 0,9991 0,9804 0,9012 0,7334 0,5 0,2666 0,0988 0,0196 0,0009 9 5 0,9999 0,9969 0,9747 0,9006 0,7461 0,5174 0,2703 0,0856 0,0083 9 6 1 0,9997 0,9957 0,975 0,9102 0,7682 0,5372 0,2618 0,053 9 7 1 1 0,9996 0,9962 0,9805 0,9295 0,804 0,5638 0,2252 9 8 1 1 1 0,9997 0,998 0,9899 0,9596 0,8658 0,6126

9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 0 0,3487 0,1074 0,0282 0,006 0,001 0,0001 0 0 0 10 1 0,7361 0,3758 0,1493 0,0464 0,0107 0,0017 0,0001 0 0 10 2 0,9298 0,6778 0,3828 0,1673 0,0547 0,0123 0,0016 0,0001 0 10 3 0,9872 0,8791 0,6496 0,3823 0,1719 0,0548 0,0106 0,0009 0 10 4 0,9984 0,9672 0,8497 0,6331 0,377 0,1662 0,0473 0,0064 0,0001 10 5 0,9999 0,9936 0,9527 0,8338 0,623 0,3669 0,1503 0,0328 0,0016 10 6 1 0,9991 0,9894 0,9452 0,8281 0,6177 0,3504 0,1209 0,0128 10 7 1 0,9999 0,9984 0,9877 0,9453 0,8327 0,6172 0,3222 0,0702 10 8 1 1 0,9999 0,9983 0,9893 0,9536 0,8507 0,6242 0,2639 10 9 1 1 1 0,9999 0,999 0,994 0,9718 0,8926 0,6513

10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1

11 0 0,3138 0,0859 0,0198 0,0036 0,0005 0 0 0 0 11 1 0,6974 0,3221 0,113 0,0302 0,0059 0,0007 0 0 0 11 2 0,9104 0,6174 0,3127 0,1189 0,0327 0,0059 0,0006 0 0 11 3 0,9815 0,8389 0,5696 0,2963 0,1133 0,0293 0,0043 0,0002 0 11 4 0,9972 0,9496 0,7897 0,5328 0,2744 0,0994 0,0216 0,002 0

11 5 0,9997 0,9883 0,9218 0,7535 0,5 0,2465 0,0782 0,0117 0,0003 11 6 1 0,998 0,9784 0,9006 0,7256 0,4672 0,2103 0,0504 0,0028 11 7 1 0,9998 0,9957 0,9707 0,8867 0,7037 0,4304 0,1611 0,0185 11 8 1 1 0,9994 0,9941 0,9673 0,8811 0,6873 0,3826 0,0896 11 9 1 1 1 0,9993 0,9941 0,9698 0,887 0,6779 0,3026 11 10 1 1 1 1 0,9995 0,9964 0,9802 0,9141 0,6862

11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

12 0 0,2824 0,0687 0,0138 0,0022 0,0002 0 0 0 0 12 1 0,659 0,2749 0,085 0,0196 0,0032 0,0003 0 0 0 12 2 0,8891 0,5583 0,2528 0,0834 0,0193 0,0028 0,0002 0 0 12 3 0,9744 0,7946 0,4925 0,2253 0,073 0,0153 0,0017 0,0001 0 12 4 0,9957 0,9274 0,7237 0,4382 0,1938 0,0573 0,0095 0,0006 0 12 5 0,9995 0,9806 0,8822 0,6652 0,3872 0,1582 0,0386 0,0039 0,0001 12 6 0,9999 0,9961 0,9614 0,8418 0,6128 0,3348 0,1178 0,0194 0,0005 12 7 1 0,9994 0,9905 0,9427 0,8062 0,5618 0,2763 0,0726 0,0043 12 8 1 0,9999 0,9983 0,9847 0,927 0,7747 0,5075 0,2054 0,0256 12 9 1 1 0,9998 0,9972 0,9807 0,9166 0,7472 0,4417 0,1109 12 10 1 1 1 0,9997 0,9968 0,9804 0,915 0,7251 0,341 12 11 1 1 1 1 0,9998 0,9978 0,9862 0,9313 0,7176

12 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabell 3: Poissonfördelningen, ξ ∈ ^Po ( λ ) , sannolikhetsfunktionen ...

2 , 1 ,

! 0 ) ( )

( = = = e

⁻

x =

x x P x f

x λ

ξ λ

λ= 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

x 0 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 0,60653 0,54881 0,49659 0,44933 0,40657 1 0,09048 0,16375 0,22225 0,26813 0,30327 0,32929 0,34761 0,35946 0,36591 2 0,00452 0,01637 0,03334 0,05363 0,07582 0,09879 0,12166 0,14379 0,16466 3 0,00015 0,00109 0,00333 0,00715 0,01264 0,01976 0,02839 0,03834 0,0494 4 0 0,00005 0,00025 0,00072 0,00158 0,00296 0,00497 0,00767 0,01111 5 0 0 0,00002 0,00006 0,00016 0,00036 0,0007 0,00123 0,002 6 0 0 0 0 0,00001 0,00004 0,00008 0,00016 0,0003

7 0 0 0 0 0 0 0,00001 0,00002 0,00004

λ= 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6

x 0 0,36788 0,30119 0,2466 0,2019 0,1653 0,13534 0,1108 0,09072 0,07427 1 0,36788 0,36143 0,34524 0,32303 0,29754 0,27067 0,24377 0,21772 0,19311 2 0,18394 0,21686 0,24167 0,25843 0,26778 0,27067 0,26814 0,26127 0,25104 3 0,06131 0,08674 0,11278 0,13783 0,16067 0,18045 0,19664 0,20901 0,21757 4 0,01533 0,02602 0,03947 0,05513 0,0723 0,09022 0,10815 0,12541 0,14142 5 0,00307 0,00625 0,01105 0,01764 0,02603 0,03609 0,04759 0,0602 0,07354 6 0,00051 0,00125 0,00258 0,0047 0,00781 0,01203 0,01745 0,02408 0,03187 7 0,00007 0,00021 0,00052 0,00108 0,00201 0,00344 0,00548 0,00826 0,01184 8 0,00001 0,00003 0,00009 0,00022 0,00045 0,00086 0,00151 0,00248 0,00385 9 0 0 0,00001 0,00004 0,00009 0,00019 0,00037 0,00066 0,00111 10 0 0 0 0,00001 0,00002 0,00004 0,00008 0,00016 0,00029 11 0 0 0 0 0 0,00001 0,00002 0,00003 0,00007

12 0 0 0 0 0 0 0 0,00001 0,00001

λ= 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4

x 0 0,06081 0,04979 0,04076 0,03337 0,02732 0,02237 0,01832 0,015 0,01228 1 0,17027 0,14936 0,13044 0,11347 0,09837 0,08501 0,07326 0,06298 0,05402 2 0,23838 0,22404 0,2087 0,1929 0,17706 0,16152 0,14653 0,13226 0,11884 3 0,22248 0,22404 0,22262 0,21862 0,21247 0,20459 0,19537 0,18517 0,17431 4 0,15574 0,16803 0,17809 0,18582 0,19122 0,19436 0,19537 0,19442 0,19174 5 0,08721 0,10082 0,11398 0,12636 0,13768 0,14771 0,15629 0,16332 0,16873 6 0,0407 0,05041 0,06079 0,0716 0,08261 0,09355 0,1042 0,11432 0,12373 7 0,01628 0,0216 0,02779 0,03478 0,04248 0,05079 0,05954 0,06859 0,07778 8 0,0057 0,0081 0,01112 0,01478 0,01912 0,02412 0,02977 0,03601 0,04278 9 0,00177 0,0027 0,00395 0,00558 0,00765 0,01019 0,01323 0,01681 0,02091 10 0,0005 0,00081 0,00126 0,0019 0,00275 0,00387 0,00529 0,00706 0,0092 11 0,00013 0,00022 0,00037 0,00059 0,0009 0,00134 0,00192 0,00269 0,00368 12 0,00003 0,00006 0,0001 0,00017 0,00027 0,00042 0,00064 0,00094 0,00135 13 0,00001 0,00001 0,00002 0,00004 0,00007 0,00012 0,0002 0,0003 0,00046 14 0 0 0,00001 0,00001 0,00002 0,00003 0,00006 0,00009 0,00014 15 0 0 0 0 0 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004

16 0 0 0 0 0 0 0 0,00001 0,00001

Tabell 3: Poissonfördelningen, ξ ∈ ^Po ( λ ) , sannolikhetsfunktionen

λ= 4,6 4,8 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 x 0 0,01005 0,00823 0,00674 0,00409 0,00248 0,0015 0,00091 0,00055 0,00034 1 0,04624 0,0395 0,03369 0,02248 0,01487 0,00977 0,00638 0,00415 0,00268 2 0,10635 0,09481 0,08422 0,06181 0,04462 0,03176 0,02234 0,01556 0,01073 3 0,16307 0,15169 0,14037 0,11332 0,08924 0,06881 0,05213 0,03889 0,02863 4 0,18753 0,18203 0,17547 0,15582 0,13385 0,11182 0,09123 0,07292 0,05725 5 0,17253 0,17475 0,17547 0,1714 0,16062 0,14537 0,12772 0,10937 0,0916 6 0,13227 0,1398 0,14622 0,15712 0,16062 0,15748 0,149 0,13672 0,12214 7 0,08692 0,09586 0,10444 0,12345 0,13768 0,14623 0,149 0,14648 0,13959 8 0,04998 0,05752 0,06528 0,08487 0,10326 0,11882 0,13038 0,13733 0,13959 9 0,02554 0,03068 0,03627 0,05187 0,06884 0,08581 0,1014 0,11444 0,12408 10 0,01175 0,01472 0,01813 0,02853 0,0413 0,05578 0,07098 0,08583 0,09926 11 0,00491 0,00643 0,00824 0,01426 0,02253 0,03296 0,04517 0,05852 0,07219 12 0,00188 0,00257 0,00343 0,00654 0,01126 0,01785 0,02635 0,03658 0,04813 13 0,00067 0,00095 0,00132 0,00277 0,0052 0,00893 0,01419 0,0211 0,02962 14 0,00022 0,00033 0,00047 0,00109 0,00223 0,00414 0,00709 0,0113 0,01692 15 0,00007 0,0001 0,00016 0,0004 0,00089 0,0018 0,00331 0,00565 0,00903 16 0,00002 0,00003 0,00005 0,00014 0,00033 0,00073 0,00145 0,00265 0,00451 17 0,00001 0,00001 0,00001 0,00004 0,00012 0,00028 0,0006 0,00117 0,00212 18 0 0 0 0,00001 0,00004 0,0001 0,00023 0,00049 0,00094 19 0 0 0 0 0,00001 0,00003 0,00009 0,00019 0,0004 20 0 0 0 0 0 0,00001 0,00003 0,00007 0,00016

21 0 0 0 0 0 0 0,00001 0,00003 0,00006

22 0 0 0 0 0 0 0 0,00001 0,00002

23 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00001

Tabell 4: Poissonfördelningen, ξ ∈ ^Po ( λ ) , fördelningsfunktionen

...

2 , 1 ,

! 0 )

( ) (

0

=

=

≤

=

∑

=

− x

k e x

P x F

x

k

k λ

ξ λ

λ= 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 x

0 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 0,60653 0,54881 0,49659 0,44933 0,40657 1 0,99532 0,98248 0,96306 0,93845 0,9098 0,8781 0,8442 0,80879 0,77248 2 0,99985 0,99885 0,9964 0,99207 0,98561 0,97688 0,96586 0,95258 0,93714 3 1 0,99994 0,99973 0,99922 0,99825 0,99664 0,99425 0,99092 0,98654 4 1 1 0,99998 0,99994 0,99983 0,99961 0,99921 0,99859 0,99766 5 1 1 1 1 0,99999 0,99996 0,99991 0,99982 0,99966

6 1 1 1 1 1 1 0,99999 0,99998 0,99996

7 1 1 1 1 1 1 1 1 1

λ= 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 x

0 0,36788 0,30119 0,2466 0,2019 0,1653 0,13534 0,1108 0,09072 0,07427 1 0,73576 0,66263 0,59183 0,52493 0,46284 0,40601 0,35457 0,30844 0,26738 2 0,9197 0,87949 0,8335 0,78336 0,73062 0,67668 0,62271 0,56971 0,51843 3 0,98101 0,96623 0,94627 0,92119 0,89129 0,85712 0,81935 0,77872 0,736 4 0,99634 0,99225 0,98575 0,97632 0,96359 0,94735 0,9275 0,90413 0,87742 5 0,99941 0,9985 0,9968 0,99396 0,98962 0,98344 0,97509 0,96433 0,95096 6 0,99992 0,99975 0,99938 0,99866 0,99743 0,99547 0,99254 0,98841 0,98283 7 0,99999 0,99996 0,99989 0,99974 0,99944 0,9989 0,99802 0,99666 0,99467 8 1 1 0,99998 0,99995 0,99989 0,99976 0,99953 0,99914 0,99851 9 1 1 1 0,99999 0,99998 0,99995 0,9999 0,9998 0,99962 10 1 1 1 1 1 0,99999 0,99998 0,99996 0,99991

11 1 1 1 1 1 1 1 0,99999 0,99998

12 1 1 1 1 1 1 1 1 1

λ= 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 x

0 0,06081 0,04979 0,04076 0,03337 0,02732 0,02237 0,01832 0,015 0,01228 1 0,23108 0,19915 0,1712 0,14684 0,12569 0,10738 0,09158 0,07798 0,0663 2 0,46945 0,42319 0,3799 0,33974 0,30275 0,2689 0,2381 0,21024 0,18514 3 0,69194 0,64723 0,60252 0,55836 0,51522 0,47348 0,43347 0,3954 0,35945 4 0,84768 0,81526 0,78061 0,74418 0,70644 0,66784 0,62884 0,58983 0,55118 5 0,93489 0,91608 0,89459 0,87054 0,84412 0,81556 0,78513 0,75314 0,71991 6 0,97559 0,96649 0,95538 0,94215 0,92673 0,90911 0,88933 0,86746 0,84365 7 0,99187 0,9881 0,98317 0,97693 0,96921 0,95989 0,94887 0,93606 0,92142 8 0,99757 0,9962 0,99429 0,99171 0,98833 0,98402 0,97864 0,97207 0,9642 9 0,99934 0,9989 0,99824 0,99729 0,99598 0,9942 0,99187 0,98887 0,98511 10 0,99984 0,99971 0,9995 0,99919 0,99873 0,99807 0,99716 0,99593 0,99431 11 0,99996 0,99993 0,99987 0,99978 0,99963 0,99941 0,99908 0,99863 0,99799 12 0,99999 0,99998 0,99997 0,99994 0,9999 0,99983 0,99973 0,99957 0,99934 13 1 1 0,99999 0,99999 0,99997 0,99996 0,99992 0,99987 0,9998 14 1 1 1 1 0,99999 0,99999 0,99998 0,99997 0,99994

15 1 1 1 1 1 1 1 0,99999 0,99998

16 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabell 4: Poissonfördelningen, ξ ∈ ^Po ( λ ) , fördelningsfunktionen

λ= 4,6 4,8 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

x 0 0,01005 0,00823 0,00674 0,00409 0,00248 0,0015 0,00091 0,00055 0,00034 1 0,05629 0,04773 0,04043 0,02656 0,01735 0,01128 0,0073 0,0047 0,00302 2 0,16264 0,14254 0,12465 0,08838 0,06197 0,04304 0,02964 0,02026 0,01375 3 0,32571 0,29423 0,26503 0,2017 0,1512 0,11185 0,08177 0,05915 0,04238 4 0,51323 0,47626 0,44049 0,35752 0,28506 0,22367 0,17299 0,13206 0,09963 5 0,68576 0,65101 0,61596 0,52892 0,44568 0,36904 0,30071 0,24144 0,19124 6 0,81803 0,7908 0,76218 0,68604 0,6063 0,52652 0,44971 0,37815 0,31337 7 0,90495 0,88667 0,86663 0,80949 0,74398 0,67276 0,59871 0,52464 0,45296 8 0,95493 0,94418 0,93191 0,89436 0,84724 0,79157 0,72909 0,66197 0,59255 9 0,98047 0,97486 0,96817 0,94622 0,91608 0,87738 0,8305 0,77641 0,71662 10 0,99222 0,98958 0,9863 0,97475 0,95738 0,93316 0,90148 0,86224 0,81589 11 0,99714 0,99601 0,99455 0,98901 0,97991 0,96612 0,94665 0,92076 0,88808 12 0,99902 0,99858 0,99798 0,99555 0,99117 0,98397 0,973 0,95733 0,9362 13 0,99969 0,99953 0,9993 0,99831 0,99637 0,9929 0,98719 0,97844 0,96582 14 0,99991 0,99985 0,99977 0,9994 0,9986 0,99704 0,99428 0,98974 0,98274 15 0,99997 0,99996 0,99993 0,9998 0,99949 0,99884 0,99759 0,99539 0,99177 16 0,99999 0,99999 0,99998 0,99994 0,99983 0,99957 0,99904 0,99804 0,99628 17 1 1 0,99999 0,99998 0,99994 0,99985 0,99964 0,99921 0,99841 18 1 1 1 0,99999 0,99998 0,99995 0,99987 0,9997 0,99935 19 1 1 1 1 0,99999 0,99998 0,99996 0,99989 0,99975

20 1 1 1 1 1 1 0,99999 0,99996 0,99991

21 1 1 1 1 1 1 1 0,99999 0,99997

22 1 1 1 1 1 1 1 1 0,99999

23 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabell 5: Normalfördelningen, ξ ∈ N ( 0 , 1 ) ^, positiva x-värden,

x≥0

dt e x

x t

∫

∞

−

−

= π

²

2

2 ) 1

Φ (

) ( 1 )

( x Φ x

Φ − = −

x 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983

Tabell 6: Normalfördelningen, ξ ∈ N ( 0 , 1 ) ^, negativa x-värden,

x≤0

dt e x

x t

∫

∞

−

−

= π

²

2

2 ) 1

Φ (

x 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

-

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

-

0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

-

0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

-

0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

-

0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

-

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

-

0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

-

0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148

-

0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

-

0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

-

1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

-

1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

-

1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

-

1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

-

1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

-

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

-

1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

-

1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

-

1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

-

1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

-

2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

-

2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143

-

2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110

-

2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084

-

2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

-

2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048

-

2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036

-

2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026

-

2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019

-

2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

-

3,0 0,00130 0,00130 0,00130 0,00120 0,00120 0,00110 0,00110 0,00110 0,00100 0,00100

-

3,1 0,00097 0,00094 0,00090 0,00087 0,00084 0,00082 0,00079 0,00076 0,00074 0,00071

-

3,2 0,00069 0,00066 0,00064 0,00062 0,00060 0,00058 0,00056 0,00054 0,00052 0,00050

-

3,3 0,00048 0,00047 0,00045 0,00043 0,00042 0,00040 0,00039 0,00038 0,00036 0,00035

Tabell 7: Normalfördelningen, ξ ∈ N ( 0 , 1 )

Inversen till Φ (x ) . Tabellen ger x för givna värden på Φ (x ) .

)

Φ (x

x

Φ (x )

x

Φ (x )

x

Φ (x )

x

0,01 -2,3263 0,36 -0,3585 0,50 0 0,85 1,0364 0,02 -2,0537 0,37 -0,3319 0,51 0,0251 0,86 1,0803 0,03 -1,8808 0,38 -0,3055 0,52 0,0502 0,87 1,1264 0,04 -1,7507 0,39 -0,2793 0,53 0,0753 0,88 1,175 0,05 -1,6449 0,4 -0,2533 0,54 0,1004 0,89 1,2265 0,06 -1,5548 0,41 -0,2275 0,55 0,1257 0,90 1,2816 0,07 -1,4758 0,42 -0,2019 0,56 0,151 0,91 1,3408 0,08 -1,4051 0,43 -0,1764 0,57 0,1764 0,92 1,4051 0,09 -1,3408 0,44 -0,151 0,58 0,2019 0,93 1,4758 0,1 -1,2816 0,45 -0,1257 0,59 0,2275 0,94 1,5548 0,11 -1,2265 0,46 -0,1004 0,60 0,2533 0,95 1,6449 0,12 -1,175 0,47 -0,0753 0,61 0,2793 0,955 1,6954 0,13 -1,1264 0,48 -0,0502 0,62 0,3055 0,960 1,7507 0,14 -1,0803 0,49 -0,0251 0,63 0,3319 0,965 1,8119 0,15 -1,0364 0,64 0,3585 0,970 1,8808 0,16 -0,9945 0,65 0,3853 0,975 1,96 0,17 -0,9542 0,66 0,4125 0,980 2,0537 0,18 -0,9154 0,67 0,4399 0,985 2,1701 0,19 -0,8779 0,68 0,4677 0,990 2,3263 0,2 -0,8416 0,69 0,4959 0,991 2,3656 0,21 -0,8064 0,70 0,5244 0,992 2,4089 0,22 -0,7722 0,71 0,5534 0,993 2,4573 0,23 -0,7388 0,72 0,5828 0,994 2,5121 0,24 -0,7063 0,73 0,6128 0,995 2,5758 0,25 -0,6745 0,74 0,6433 0,996 2,6521 0,26 -0,6433 0,75 0,6745 0,997 2,7478 0,27 -0,6128 0,76 0,7063 0,998 2,8782 0,28 -0,5828 0,77 0,7388 0,999 3,0902 0,29 -0,5534 0,78 0,7722 0,9992 3,1559 0,3 -0,5244 0,79 0,8064 0,9994 3,2389 0,31 -0,4959 0,80 0,8416 0,9995 3,2905 0,32 -0,4677 0,81 0,8779 0,9996 3,3528 0,33 -0,4399 0,82 0,9154 0,9998 3,5401 0,34 -0,4125 0,83 0,9542 0,9999 3,719 0,35 -0,3853 0,84 0,9945 0,99995 3,8906

Tabell 8: t-fördelningen med r frihetsgrader

Tabellen ger x för givna värden på F(x)

F(x)= 0,75 0,9 0,95 0,975 0,995 0,9975 0,9995 r= 1 1,0000 3,0777 6,3138 12,7062 63,6567 127,3213 636,6192

2 0,8165 1,8856 2,9200 4,3027 9,9248 14,0890 31,5991 3 0,7649 1,6377 2,3534 3,1824 5,8409 7,4533 12,9240 4 0,7407 1,5332 2,1318 2,7764 4,6041 5,5976 8,6103 5 0,7267 1,4759 2,0150 2,5706 4,0321 4,7733 6,8688

6 0,7176 1,4398 1,9432 2,4469 3,7074 4,3168 5,9588 7 0,7111 1,4149 1,8946 2,3646 3,4995 4,0293 5,4079 8 0,7064 1,3968 1,8595 2,3060 3,3554 3,8325 5,0413 9 0,7027 1,3830 1,8331 2,2622 3,2498 3,6897 4,7809 10 0,6998 1,3722 1,8125 2,2281 3,1693 3,5814 4,5869

11 0,6974 1,3634 1,7959 2,2010 3,1058 3,4966 4,4370 12 0,6955 1,3562 1,7823 2,1788 3,0545 3,4284 4,3178 13 0,6938 1,3502 1,7709 2,1604 3,0123 3,3725 4,2208 14 0,6924 1,3450 1,7613 2,1448 2,9768 3,3257 4,1405 15 0,6912 1,3406 1,7531 2,1314 2,9467 3,2860 4,0728

16 0,6901 1,3368 1,7459 2,1199 2,9208 3,2520 4,0150 17 0,6892 1,3334 1,7396 2,1098 2,8982 3,2224 3,9651 18 0,6884 1,3304 1,7341 2,1009 2,8784 3,1966 3,9216 19 0,6876 1,3277 1,7291 2,0930 2,8609 3,1737 3,8834 20 0,6870 1,3253 1,7247 2,0860 2,8453 3,1534 3,8495

21 0,6864 1,3232 1,7207 2,0796 2,8314 3,1352 3,8193 22 0,6858 1,3212 1,7171 2,0739 2,8188 3,1188 3,7921 23 0,6853 1,3195 1,7139 2,0687 2,8073 3,1040 3,7676 24 0,6848 1,3178 1,7109 2,0639 2,7969 3,0905 3,7454 25 0,6844 1,3163 1,7081 2,0595 2,7874 3,0782 3,7251

26 0,6840 1,3150 1,7056 2,0555 2,7787 3,0669 3,7066 27 0,6837 1,3137 1,7033 2,0518 2,7707 3,0565 3,6896 28 0,6834 1,3125 1,7011 2,0484 2,7633 3,0469 3,6739 29 0,6830 1,3114 1,6991 2,0452 2,7564 3,0380 3,6594 30 0,6828 1,3104 1,6973 2,0423 2,7500 3,0298 3,6460