2 Glidande medelvärde

Innehållsförteckning

Sammanfattning 3

Inledning 4

1. Allmänt om tidsserier 9

2. Glidande medelvärde 12

3. Enkel exponentiell utjämning 15

4. Holt-Winters exponentiella utjämningsmodell 18

4.1 Holt-Winter utan säsong 18

4.2 Holt-Winter med säsong 20

4.2.1 Additiv modell 20

4.2.2 Multiplikativ modell 21

5. Box-Jenkins modeller 27

5.1 Icke-säsongsmodeller 27

5.1.1 AR-modeller 27

5.1.2 MA-modeller 32

5.2 Säsongsmodeller 32

6. Val av modell 33

6.1 Allmänt om arbetsgången 33

6.2 Box-Jenkins modeller 36

6.2.1 Icke-säsong 42

6.2.2 Säsong 47

7. Analyser och jämförelser 54

8. Slutsatser 56

Litteraturförteckning 57 Bilaga 1: Hur prognoser tidigare beräknats på

Carlsberg Sverige, och hur de beräknas nu

Bilaga 2: Analyser och jämförelser: Produktsammanställning – ett urval Bilaga 3: Analyser och jämförelser: Summering av produktgrupper Bilaga 4: Analyser och jämförelser: 6-veckors prognoser

Sammanfattning

Försäljningsprognoserna på Carlsberg Sverige har länge varit bristfälliga, och mycket har prövats. Detta har medfört stora kostnader för företaget, både i form av uteblivna

försäljningsintäkter och i form av kassation av gamla varor.

Därför finns på Carlsberg ett stort intresse av denna uppsats, vars syfte är att undersöka huruvida det är möjligt att förbättra prognoserna. Tanken är att inte skena iväg i alltför komplicerade matematiska modeller, utan att hålla sig på en nivå där man utan större svårighet kan förstå och överblicka förloppet.

Jag har i denna uppsats behandlat sex av de vanligaste prognosmodellerna. Någon må vara mer komplicerad än de andra, men ingen är i min mening för komplicerad för att kunna appliceras i bryggeribranchen. Modellerna beskrivs först var och en teoretiskt för att därefter undersökas och jämföras.

I slutsatsen rekommenderar jag Holt-Winters modell som i alla produktgrupper visade sig generera bäst prognoser.

Inledning

Carlsberg Sverige AB ingår i Carlsberg Brewery-koncernen som är en av världens största bryggeriföretag.

Carlsbergs sortiment är brett, och innehåller bl a varumärken som Pripps, Falcon, Carlsberg, Tuborg, Guiness, Pepsi, Festis, Vichy Nouveau och Ramlösa.

Det finns på Carlsberg 4 st lagerställen (Bromma, Falkenberg, Göteborg och Umeå), med produktion i Bromma, Falkenberg och Ramlösa.

Utöver lagerställena finns även ett antal sk omlastningsorter där en stor transport lastas om på mindre lastbilar för vidare leverans ut till kund. På omlastningsorterna håller man inget lager. Vanligen sker transporterna med lastbil men på långa sträckor (t ex Falkenberg-Umeå) transporteras produkterna med tåg.

Prognoser för Sverige produceras centralt från Bromma veckovis per artikel och lagerställe.

Det man har för avsikt att prognosticera är den kommande försäljningen av berörd produkt.

Med försäljning menas den volym av en viss produkt (mätt i antal kolli) som levereras till kund. Ett kolli motsvaras t ex av en back, ett ”flak”, ett fat etc. beroende av vilken produkt och förpackningstyp det handlar om. I regel lägger man en sk basprognos för produkten ett helt år fram i tiden. Basprognosen är rensad från eventuell säsong och kampanj, och uppdateras varje vecka då närmast föregående veckoförsäljning av samma produkt blir tillgänglig. Alla produkter har ett på förhand bestämt säkerhetslager (som dock ändras regelbundet i samband med att prognosen ändras), och målet är att dessa genom produktion ska kunna upprätthållas.

Olika produkter produceras på olika produktionsorter, där t.ex. Pripps tillverkas i Bromma, och Falcon i Falkenberg. Gemensamt för dem alla är att prognoserna produceras i Bromma.

Detta innebär att ”flödet” varierar beroende på vilken produkt vi studerar.

Låt oss schematiskt se på de fall där Bromma är ensam försörjare:

Falkenberg (produktion/lager)

Beställning Umeå (lagerställe)

Beställning Göteborg

(lagerställe)

Bromma (produktion/lager)

Ramlösa (produktion)

4

I de fall då Falkenberg är ensam försörjare skickas istället produktbeställningarna dit från Göteborg, Bromma och Umeå.

Ramlösa är speciellt på det sättet att de har produktion, med saknar lager. De tar därför emot beställningar från de tre andra orterna, producerar, och levererar. Då Ramlösa inte har något lagerställe går inga leveranser dit. Produkten Ramlösa produceras bara just i Ramlösa (strax utanför Helsingborg), vilket innebär att Ramlösa alltid är ensam försörjare för hela landet.

Andra delen av flödet visas med nedanstående figur

Umeå (lagerställe)

Bromma (produktion/lager)

Falkenberg (produktion/lager) Till Restauranger, Service/

dagligvaruhandlar och systembolag, ev via omlastningsplatser

Distributionsordrar

Distibutionsorder

Till Restauranger, Service/

dagligvaruhandlar och systembolag, ev via omlastningsplatser Göteborg

(lagerställe)

Ramlösa (produktion)

Där de sk distributionsordrarna helt enkelt är leveranser av tidigare gjorda beställningar.

I beskrivningen av hur förloppet går till (med prognoser, distibutionsorders etc.) gör vi bäst i att titta på hur lagerpåfyllningen går till i Göteborg och i Umeå.

På dessa orter har man enligt tidigare lager men ingen egen produktion, vilket innebär att man måste göra beställningar från produktionsorterna.

Många produkter produceras både i Falkenberg och i Bromma. I dessa fall är det i princip så att Falkenberg försörjer Göteborg, och Bromma försörjer Umeå.

Man räknar med att man har tre dagars sk ledtid från beställning till leverans, detta innebär att en beställning görs då det är minst två dagar kvar (enligt prognos) till det att

säkerhetsgränsen bryts. Prognoser beräknas på Carlsberg veckovis för varje produkt. För att få den prognosticerade dagsförsäljningen dividerar man helt enkelt veckoprognosen med 5.

Efter varje dags slut jämförs prognosen med utfallet samma dag.

Låt oss se på ett fiktivt exempel på detta

På en viss produkt har Umeå ett lagersaldo på 20 000 kollin dag 1.

Produktens prognosticerade veckoförsäljning berörd vecka i Umeå är 15 000 kolli, vilket innebär att dagsprognosen blir 3 000 kollin/dag. Vidare är säkerhetslagret på berörd produkt 5 000 kollin.

Tabell 1: Fiktivt exempel på ett förlopp i Umeå

Lagersaldo vid Lagersaldo efter

Dag Dagens början Dagsprognos Utfall dagens slut

1 20 000 3 000 2 850 17 150

2 17 150 3 000 3 070 14 080

3 14 080 3 000 2 760 11 320

4 11 320 3 000 3 390 7 930

5 7 930 3 000 2 920 5 010

6 20 010 3 000 2 890 17 120

7 17 120 3 000 3 110 14 010

8 14 010 3 000 2 800 11 210

osv

Beställning görs

En sk distributionsorder på 15 000 kollin har levererats

Volymen på distributionsordern är utformad så att den enligt prognos ska räcka ett visst antal dagar. I fallet ovan är volymen 15 000 kollin vilket innebär att man (om prognosen slår rätt) måste få en ny order om 5 dagar för att inte gå under säkerhetsgränsen.

Denna ordervolym förändras dock ofta och såväl orderfrekvens som volym är olika för olika produkter.

Nedanstående figur gör förloppet mer överskådligt Figur 1: Umeåförloppet i diagram

0 5000 10000 15000 20000

Dag 1 Dag 2 Dag 3 Dag 4 Dag 5 Dag 6 Dag 7 Dag 8 Dag 9

Lagersaldo Säkerhetslager

Beställning

Leverans av distributionsorder

Prognoser

6

I Bromma, Falkenberg och Ramlösa är situationen något annorlunda eftersom man där även har produktion, och därför måste använda sitt lager till att distribuera till Göteborg och Umeå.

Hur förloppet på produktionsorterna ser ut visas enklast med följande figur Figur 2: Förloppet i Bromma, Falkenberg och Ramlösa

0 5000 10000 15000 20000

Dag 1 Dag 2 Dag 3 Dag 4 Dag 5 Dag 6

Lagersaldo Säkerhetslage r

Tillverkning

Distr.order Prognoser

Det finns för varje produkt ett schema med förväntade inkommande produktbeställningar, dessa är således med i beräkningen av när produktion ska ske.

Vid produktionen finns det för varje produkt en lägsta tillverkningsvolym, som bygger på att man tillverkar minst en ”sats” av produkten. För större tillverkningsvolymer producerar man vanligen en multipel av denna sats, detta minimerar kostnaden per enhet.

Själva tillverkningstiden är ofta liten men är ändå något man måste ta hänsyn till i planerandet av produktion, detta eftersom man bara kan tillverka ett begränsat antal produkter per dag.

Vanligt är att kunderna har 1-2 leveransdagar i veckan, men självklart finns här stora variationer. I regel gör kunderna sina beställningar 2 dagar före leverans.

Vad blir då effekterna av en felaktig prognos?

Om prognoserna är för låga mot den verkliga försäljningen innebär detta att lagersaldot går under säkerhetslagret, och i värsta fall att produkten tar slut på lagret. Detta leder förstås till uteblivna intäkter och missnöjda kunder.

Om prognoserna däremot är för höga innebär detta att vi får ett överlager på berörd produkt.

Detta är något som också kostar då man ofta i brist på lagerutrymme måste hyra plats på externa lager. Dessutom kan man vara tvungna att kasta drycker som blivit gamla som följd av detta. Hållbarhetstiden skiljer sig dock mycket för olika produkter.

Idag uppdateras prognoserna varje vecka uteslutande med prognosmodellen enkel exponentiell utjämning. Man använder parametervärdet a = 0.1, inklusive säsongindex (för mer information om hur denna prognos beräknas se bilaga 1).

Då det fanns anledning att tro att andra prognosmodeller och parametersättningar skulle generera bättre prognoser uppkom idén till denna uppsats.

Det finns på företaget ett internprogram (Movex) vari det även existerar en prognosmodul, där ett antal standardmodeller finns tillgängliga (glidande medelvärde, exponentiell utjämning, trendberäkningar etc). Min uppgift är att systematiskt testa dessa prognosmodeller för olika parametrar, och dessutom testa några ej inom företaget befintliga modeller (Holt-Winter, ARIMA-modeller etc).

Det är fullt tänkbart att bästa prognosmodell varierar för olika produkter/produktgrupper.

Därför analyseras och jämförs olika modeller på både produktnivå och produktgruppsnivå, detta med förhoppning att se något ”mönster”.

I kapitel 1 ges en introduktion till tidsserieanalys, vidare kommer jag i kap 2-5 i ord och exempel förklara prognosmodellerna Glidande medelvärde, Enkel exponentiell utjämning, Holt-Winters metod samt Box-Jenkins modeller. Därefter följer ett kapitel om hur

arbetsgången sett ut, främst för Box-Jenkins modeller.

Resten av uppsatsen kommer bestå av analyser av dessa modeller för olika produkter.

Slutsatser, referenslista och bilagor avslutar uppsatsen.

8

Inledning

Carlsberg Sverige AB ingår i Carlsberg Brewery-koncernen som är en av världens största bryggeriföretag.

Carlsbergs sortiment är brett, och innehåller bl a varumärken som Pripps, Falcon, Carlsberg, Tuborg, Guiness, Pepsi, Festis, Vichy Nouveau och Ramlösa.

Det finns på Carlsberg 4 st lagerställen (Bromma, Falkenberg, Göteborg och Umeå), med produktion i Bromma, Falkenberg och Ramlösa.

Utöver lagerställena finns även ett antal sk omlastningsorter där en stor transport lastas om på mindre lastbilar för vidare leverans ut till kund. På omlastningsorterna håller man inget lager. Vanligen sker transporterna med lastbil men på långa sträckor (t ex Falkenberg-Umeå) transporteras produkterna med tåg.

Prognoser för Sverige produceras centralt från Bromma veckovis per artikel och lagerställe.

Det man har för avsikt att prognosticera är den kommande försäljningen av berörd produkt.

Med försäljning menas den volym av en viss produkt (mätt i antal kolli) som levereras till kund. Ett kolli motsvaras t ex av en back, ett ”flak”, ett fat etc. beroende av vilken produkt och förpackningstyp det handlar om. I regel lägger man en sk basprognos för produkten ett helt år fram i tiden. Basprognosen är rensad från eventuell säsong och kampanj, och uppdateras varje vecka då närmast föregående veckoförsäljning av samma produkt blir tillgänglig. Alla produkter har ett på förhand bestämt säkerhetslager (som dock ändras regelbundet i samband med att prognosen ändras), och målet är att dessa genom produktion ska kunna upprätthållas.

Olika produkter produceras på olika produktionsorter, där t.ex. Pripps tillverkas i Bromma, och Falcon i Falkenberg. Gemensamt för dem alla är att prognoserna produceras i Bromma.

Detta innebär att ”flödet” varierar beroende på vilken produkt vi studerar.

Låt oss schematiskt se på de fall där Bromma är ensam försörjare:

Falkenberg (produktion/lager)

Beställning Umeå (lagerställe)

Beställning Göteborg

(lagerställe)

Bromma (produktion/lager)

Ramlösa (produktion)

I de fall då Falkenberg är ensam försörjare skickas istället produktbeställningarna dit från Göteborg, Bromma och Umeå.

Ramlösa är speciellt på det sättet att de har produktion, med saknar lager. De tar därför emot beställningar från de tre andra orterna, producerar, och levererar. Då Ramlösa inte har något lagerställe går inga leveranser dit. Produkten Ramlösa produceras bara just i Ramlösa (strax utanför Helsingborg), vilket innebär att Ramlösa alltid är ensam försörjare för hela landet.

Andra delen av flödet visas med nedanstående figur

Umeå (lagerställe)

Bromma (produktion/lager)

Falkenberg (produktion/lager) Till Restauranger, Service/

dagligvaruhandlar och systembolag, ev via omlastningsplatser

Distributionsordrar

Distibutionsorder

Till Restauranger, Service/

dagligvaruhandlar och systembolag, ev via omlastningsplatser Göteborg

(lagerställe)

Ramlösa (produktion)

Där de sk distributionsordrarna helt enkelt är leveranser av tidigare gjorda beställningar.

I beskrivningen av hur förloppet går till (med prognoser, distibutionsorders etc.) gör vi bäst i att titta på hur lagerpåfyllningen går till i Göteborg och i Umeå.

På dessa orter har man enligt tidigare lager men ingen egen produktion, vilket innebär att man måste göra beställningar från produktionsorterna.

Många produkter produceras både i Falkenberg och i Bromma. I dessa fall är det i princip så att Falkenberg försörjer Göteborg, och Bromma försörjer Umeå.

Man räknar med att man har tre dagars sk ledtid från beställning till leverans, detta innebär att en beställning görs då det är minst två dagar kvar (enligt prognos) till det att

säkerhetsgränsen bryts. Prognoser beräknas på Carlsberg veckovis för varje produkt. För att få den prognosticerade dagsförsäljningen dividerar man helt enkelt veckoprognosen med 5.

Efter varje dags slut jämförs prognosen med utfallet samma dag.

Låt oss se på ett fiktivt exempel på detta

5

På en viss produkt har Umeå ett lagersaldo på 20 000 kollin dag 1.

Produktens prognosticerade veckoförsäljning berörd vecka i Umeå är 15 000 kolli, vilket innebär att dagsprognosen blir 3 000 kollin/dag. Vidare är säkerhetslagret på berörd produkt 5 000 kollin.

Tabell 1: Fiktivt exempel på ett förlopp i Umeå

Lagersaldo vid Lagersaldo efter

Dag Dagens början Dagsprognos Utfall dagens slut

1 20 000 3 000 2 850 17 150

2 17 150 3 000 3 070 14 080

3 14 080 3 000 2 760 11 320

4 11 320 3 000 3 390 7 930

5 7 930 3 000 2 920 5 010

6 20 010 3 000 2 890 17 120

7 17 120 3 000 3 110 14 010

8 14 010 3 000 2 800 11 210

osv

Beställning görs

En sk distributionsorder på 15 000 kollin har levererats

Volymen på distributionsordern är utformad så att den enligt prognos ska räcka ett visst antal dagar. I fallet ovan är volymen 15 000 kollin vilket innebär att man (om prognosen slår rätt) måste få en ny order om 5 dagar för att inte gå under säkerhetsgränsen.

Denna ordervolym förändras dock ofta och såväl orderfrekvens som volym är olika för olika produkter.

Nedanstående figur gör förloppet mer överskådligt Figur 1: Umeåförloppet i diagram

0 5000 10000 15000 20000

Dag 1 Dag 2 Dag 3 Dag 4 Dag 5 Dag 6 Dag 7 Dag 8 Dag 9

Lagersaldo Säkerhetslager

Beställning

Leverans av distributionsorder

Prognoser

I Bromma, Falkenberg och Ramlösa är situationen något annorlunda eftersom man där även har produktion, och därför måste använda sitt lager till att distribuera till Göteborg och Umeå.

Hur förloppet på produktionsorterna ser ut visas enklast med följande figur Figur 2: Förloppet i Bromma, Falkenberg och Ramlösa

0 5000 10000 15000 20000

Dag 1 Dag 2 Dag 3 Dag 4 Dag 5 Dag 6

Lagersaldo Säkerhetslage r

Tillverkning

Distr.order Prognoser

Det finns för varje produkt ett schema med förväntade inkommande produktbeställningar, dessa är således med i beräkningen av när produktion ska ske.

Vid produktionen finns det för varje produkt en lägsta tillverkningsvolym, som bygger på att man tillverkar minst en ”sats” av produkten. För större tillverkningsvolymer producerar man vanligen en multipel av denna sats, detta minimerar kostnaden per enhet.

Själva tillverkningstiden är ofta liten men är ändå något man måste ta hänsyn till i planerandet av produktion, detta eftersom man bara kan tillverka ett begränsat antal produkter per dag.

Vanligt är att kunderna har 1-2 leveransdagar i veckan, men självklart finns här stora variationer. I regel gör kunderna sina beställningar 2 dagar före leverans.

Vad blir då effekterna av en felaktig prognos?

Om prognoserna är för låga mot den verkliga försäljningen innebär detta att lagersaldot går under säkerhetslagret, och i värsta fall att produkten tar slut på lagret. Detta leder förstås till uteblivna intäkter och missnöjda kunder.

Om prognoserna däremot är för höga innebär detta att vi får ett överlager på berörd produkt.

Detta är något som också kostar då man ofta i brist på lagerutrymme måste hyra plats på externa lager. Dessutom kan man vara tvungna att kasta drycker som blivit gamla som följd av detta. Hållbarhetstiden skiljer sig dock mycket för olika produkter.

7

Idag uppdateras prognoserna varje vecka uteslutande med prognosmodellen enkel exponentiell utjämning. Man använder parametervärdet a = 0.1, inklusive säsongindex (för mer information om hur denna prognos beräknas se bilaga 1).

Då det fanns anledning att tro att andra prognosmodeller och parametersättningar skulle generera bättre prognoser uppkom idén till denna uppsats.

Det finns på företaget ett internprogram (Movex) vari det även existerar en prognosmodul, där ett antal standardmodeller finns tillgängliga (glidande medelvärde, exponentiell utjämning, trendberäkningar etc). Min uppgift är att systematiskt testa dessa prognosmodeller för olika parametrar, och dessutom testa några ej inom företaget befintliga modeller (Holt-Winter, ARIMA-modeller etc).

Det är fullt tänkbart att bästa prognosmodell varierar för olika produkter/produktgrupper.

Därför analyseras och jämförs olika modeller på både produktnivå och produktgruppsnivå, detta med förhoppning att se något ”mönster”.

I kapitel 1 ges en introduktion till tidsserieanalys, vidare kommer jag i kap 2-5 i ord och exempel förklara prognosmodellerna Glidande medelvärde, Enkel exponentiell utjämning, Holt-Winters metod samt Box-Jenkins modeller. Därefter följer ett kapitel om hur

arbetsgången sett ut, främst för Box-Jenkins modeller.

Resten av uppsatsen kommer bestå av analyser av dessa modeller för olika produkter.

Slutsatser, referenslista och bilagor avslutar uppsatsen.

1. Allmänt om tidsserier

När man mäter en variabel regelbundet – t ex varje dag klockan tolv, den 25:e varje månad eller den 1 januari varje år – bildar observationerna en tidsserie.

Observationerna i en tidsserie kan avse förhållandet vid en viss tidpunkt, t ex antalet anställda på ett företag den 1 januari – eller förändringen under en viss tidsperiod – t ex antalet

nyanställningar under januari månad. Ibland är observationerna någon form av genomsnittsvärden för de perioder som studeras, t ex årsmedelförsäljning av en viss

vara.Observationerna i en tidsserie bör naturligtvis som varje statistiskt material granskas med sunt förnuft. Till egendomligt avvikande värden kan det finnas enkla förklaringar.

Har man en tidsserie som t ex beskriver en varas pris under en längre period är det viktigt att det verkligen är samma vara hela tiden och att inga kvalitetsförändringar har ägt rum. Ibland förekommer brott i tidsserien, vilket innebär att definitionen av variabeln har ändrats under undersökningsperioden.Tidsserier innehåller speciella egenskaper som möjliggör utvecklandet av statistiska metoder för dess analys. De allra flesta tekniker inom dataanalysen baseras på antagandet om slumpmässigt urval, dvs att observationer i dataserien är oberoende av varandra. Inom tidsserieanalysen kan man väldigt sällan göra detta antagande, istället antar man att observationerna är beroende av varandra på något sätt. T ex kan man anta att den aktuella försäljningen av en viss produkt i viss mån är beroende av försäljningen den närmast föregående perioden. Det är just detta antagande om beroende mellan observationer i en tidsserie som möjliggör prognoser av densamma.

I traditionell tidsserieanalys brukar man tala om fyra olika variationsorsaker, nämligen trend, konjunktur, säsong och slump. Dessa måste man ta hänsyn till vid produktionen av prognoser.

Dessa fyra komponenter har följande innebörd.

Med trend menas utvecklingen i stort under en längre tidsperiod, dvs den utveckling som sker om vi bortser från tillfälliga och kortsiktiga variationer. Trenden kan för vissa tidsserier följa ett mycket komplicerat mönster. Men ofta är det också möjligt att beskriva trenden med en enkel matematisk modell. Om man mäter en variabel vid samma tidpunkt – till exempel den första januari – en gång om året och finner att den årliga förändringen absolut sett är ungefär densamma från år till år säger man att trenden är linjär. Detta innebär att tidsserien grafiskt och matematiskt kan beskrivas som en rät linje. Finner man att de relativa (procentuella) årliga förändringarna är ungefär desamma för varje år säger man att utvecklingen är exponentiell. Då kan man använda exponentialfunktionen för att beskriva tidsserien. Även andra matematiska funktioner, t ex polynom av andra eller tredje graden och även högre gradtal, används ibland för att approximera trenden

Kring trenden i en tidsserie med ekonomiska data kan det finnas mer eller mindre

regelbundna svängningar, som beror på konjunkturen. För att analysera sådana svängningar måste vi studera tidsserien under en mycket lång följd av år. Arbetslösheten i ett land och världsmarknadspriset på olika råvaror är båda exempel på ekonomiska variabler som kan påverkas av konjunktursvängningar.

Denna konjunkturkomponent kommer inte att tas hänsyn till i denna uppsats.

9

I vissa tidsserier finner vi att svängningarna kring trenden sker enligt ett mycket bestämt och kanske också komplicerat mönster, som hela tiden upprepar sig med lika långa tidsintervall.

Man säger att det förekommer säsongsvariation eller att variationen är periodisk. Dessa perioder är hela tiden lika långa: ett dygn (om man studerar t ex temperatur), en vecka (om man t ex studerar försäljningen av en veckotidning), en månad (om man t ex studerar hur mycket pengar som finns på ett lönekonto) eller ett år (om man t ex återigen studerar temperatur).

Vi kommer senare i den uppsats stöta på olika former av säsongsvariation som är knuten till olika produkter

En stor del av de svängningar som förekommer i en tidsserie kan förklaras med begreppen trend, konjunktur och säsong. Men observationerna i en tidsserie är ibland också ett resultat av en rad tillfälligheter, som spelat en roll vid undersökningstillfället och påverkas också av olika typer av mätfel. Dessa variationsorsaker är alltså tillfälliga; man talar om slumpmässiga variationer. I begreppet slumpmässig ligger då att observationerna inte systematiskt påverkas i en viss riktning, dvs om man beräknar summan av de slumpmässiga avvikelserna för ett stort antal observationer bör denna teoretiskt sätt vara nära noll (stora talens lag). Om man däremot bara studerar ett fåtal observationer finns det naturligtvis alltid en risk att slumpfelen

snedvrider resultatet.

När man analyserar en tidsserie utgår man ofta från en multiplikativ modell, vilket innebär att man uppfattar observationerna som en produkt av de variationsorsaker vi har diskuterat Trend _* Konjunktur Säsong _{* *} Slump

Genom att bearbeta tidsserien på olika sätt försöker man mäta dessa variationsorsaker och på så sätt få underlag för prognoser.

I vissa fall (se bl.a. Holt-Winters additiva modell, kap 4.2.1) studerar man en additiv modell, vilket innebär att man istället betraktar observationer som en summa av de fyra

variationskomponenterna ovan:

Trend + Konjunktur + Säsong + Slump

Tidigare koncentrerade man sig inom tidsserieanalysen främst på att isolera de olika komponenterna så att vid varje given tidpunkt, uttrycker en observation som en sammansättning av trend, säsong, konjunktur och slump.

Nuförtiden konstrueras vanligen en formell modell, där närvaron av komponenterna sker antingen explicit eller implicit, i syfte att beskriva tidsseriers beteende.

Då man bildar en modell finns två möjliga sätt att behandla dessa fyra komponenter.

En möjlighet är att se dem som konstanta över tiden, t ex kan trenden representeras som en rät linje (linjär trend) eller av någon annan algebraisk funktion. Detta angreppssätt är ofta användbar i analysen av fysiska eller kemiska datamängder (t ex bakterieutvecklingar), men är ofta inte lämplig i ekonomiska tillämpningar. I ekonomiska sammanhang bör man vara försiktig med att dra förhastade slutsatser om trend, säsong etc, då ofta reguljäriteterna är skenbara.

För ekonomiska data är det lämpligt med en annan behandling av de fyra komponenterna.

Istället för att se dem som konstanta, bör man se komponenterna som ständigt föränderliga över tiden.

Låt oss se på ett enkelt exempel. I figur 1.1 överst på nästa sida har vi den fiktiva försäljningsutvecklingen vecka för vecka under första halvåret 2001 för en viss vara.

Figur 1.1: Försäljningsutveckling första halvåret 2001

500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Vecka

Försäljning (ttk)

Genom att betrakta figuren ovan kan man enkelt dra (den förhastade) slutsatsen att trenden är positiv och att den är linjär.

Det är sant att försäljningen ökar mer eller mindre konstant, men felet ligger i att vi har en mycket begränsad tidsserie. Försäljningssiffror är ofta säsongsbetingade, därför är det olämpligt att tro att den positiva linjära trenden ska fortsätta.

Låt oss nu lägga till försäljningen för andra halvåret 2000 och 2001.

Figur 1.2: Försäljningsutvecklingen juli 2000-december 2001

450 550 650 750 850 950 1050

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 Vecka

Försäljning (ttk)

Utvecklingen är då vi lagt till två halvårs försäljningssiffror inte alls längre linjär.

Figur 1.2 ovan visar på ett tydligt säsongsmönster. Försäljningen verkar öka till sommaren, för sedan sjunka under vinterhalvåret.

Det är inte ovanligt med denna sorts mönster, t ex kan man anta att försäljningen av glass, kalla drycker etc ökar på sommaren. Omvänt mönster visar förmodligen försäljningen av varma kläder, förbrukningen av el etc.

11

1. Allmänt om tidsserier

När man mäter en variabel regelbundet – t ex varje dag klockan tolv, den 25:e varje månad eller den 1 januari varje år – bildar observationerna en tidsserie.

Observationerna i en tidsserie kan avse förhållandet vid en viss tidpunkt, t ex antalet anställda på ett företag den 1 januari – eller förändringen under en viss tidsperiod – t ex antalet

nyanställningar under januari månad. Ibland är observationerna någon form av genomsnittsvärden för de perioder som studeras, t ex årsmedelförsäljning av en viss

vara.Observationerna i en tidsserie bör naturligtvis som varje statistiskt material granskas med sunt förnuft. Till egendomligt avvikande värden kan det finnas enkla förklaringar.

Har man en tidsserie som t ex beskriver en varas pris under en längre period är det viktigt att det verkligen är samma vara hela tiden och att inga kvalitetsförändringar har ägt rum. Ibland förekommer brott i tidsserien, vilket innebär att definitionen av variabeln har ändrats under undersökningsperioden.Tidsserier innehåller speciella egenskaper som möjliggör utvecklandet av statistiska metoder för dess analys. De allra flesta tekniker inom dataanalysen baseras på antagandet om slumpmässigt urval, dvs att observationer i dataserien är oberoende av varandra. Inom tidsserieanalysen kan man väldigt sällan göra detta antagande, istället antar man att observationerna är beroende av varandra på något sätt. T ex kan man anta att den aktuella försäljningen av en viss produkt i viss mån är beroende av försäljningen den närmast föregående perioden. Det är just detta antagande om beroende mellan observationer i en tidsserie som möjliggör prognoser av densamma.

I traditionell tidsserieanalys brukar man tala om fyra olika variationsorsaker, nämligen trend, konjunktur, säsong och slump. Dessa måste man ta hänsyn till vid produktionen av prognoser.

Dessa fyra komponenter har följande innebörd.

Med trend menas utvecklingen i stort under en längre tidsperiod, dvs den utveckling som sker om vi bortser från tillfälliga och kortsiktiga variationer. Trenden kan för vissa tidsserier följa ett mycket komplicerat mönster. Men ofta är det också möjligt att beskriva trenden med en enkel matematisk modell. Om man mäter en variabel vid samma tidpunkt – till exempel den första januari – en gång om året och finner att den årliga förändringen absolut sett är ungefär densamma från år till år säger man att trenden är linjär. Detta innebär att tidsserien grafiskt och matematiskt kan beskrivas som en rät linje. Finner man att de relativa (procentuella) årliga förändringarna är ungefär desamma för varje år säger man att utvecklingen är exponentiell. Då kan man använda exponentialfunktionen för att beskriva tidsserien. Även andra matematiska funktioner, t ex polynom av andra eller tredje graden och även högre gradtal, används ibland för att approximera trenden

Kring trenden i en tidsserie med ekonomiska data kan det finnas mer eller mindre

regelbundna svängningar, som beror på konjunkturen. För att analysera sådana svängningar måste vi studera tidsserien under en mycket lång följd av år. Arbetslösheten i ett land och världsmarknadspriset på olika råvaror är båda exempel på ekonomiska variabler som kan påverkas av konjunktursvängningar.

Denna konjunkturkomponent kommer inte att tas hänsyn till i denna uppsats.

9

I vissa tidsserier finner vi att svängningarna kring trenden sker enligt ett mycket bestämt och kanske också komplicerat mönster, som hela tiden upprepar sig med lika långa tidsintervall.

Man säger att det förekommer säsongsvariation eller att variationen är periodisk. Dessa perioder är hela tiden lika långa: ett dygn (om man studerar t ex temperatur), en vecka (om man t ex studerar försäljningen av en veckotidning), en månad (om man t ex studerar hur mycket pengar som finns på ett lönekonto) eller ett år (om man t ex återigen studerar temperatur).

Vi kommer senare i den uppsats stöta på olika former av säsongsvariation som är knuten till olika produkter

En stor del av de svängningar som förekommer i en tidsserie kan förklaras med begreppen trend, konjunktur och säsong. Men observationerna i en tidsserie är ibland också ett resultat av en rad tillfälligheter, som spelat en roll vid undersökningstillfället och påverkas också av olika typer av mätfel. Dessa variationsorsaker är alltså tillfälliga; man talar om slumpmässiga variationer. I begreppet slumpmässig ligger då att observationerna inte systematiskt påverkas i en viss riktning, dvs om man beräknar summan av de slumpmässiga avvikelserna för ett stort antal observationer bör denna teoretiskt sätt vara nära noll (stora talens lag). Om man däremot bara studerar ett fåtal observationer finns det naturligtvis alltid en risk att slumpfelen

snedvrider resultatet.

När man analyserar en tidsserie utgår man ofta från en multiplikativ modell, vilket innebär att man uppfattar observationerna som en produkt av de variationsorsaker vi har diskuterat Trend _* Konjunktur Säsong _{* *} Slump

Genom att bearbeta tidsserien på olika sätt försöker man mäta dessa variationsorsaker och på så sätt få underlag för prognoser.

I vissa fall (se bl.a. Holt-Winters additiva modell, kap 4.2.1) studerar man en additiv modell, vilket innebär att man istället betraktar observationer som en summa av de fyra

variationskomponenterna ovan:

Trend + Konjunktur + Säsong + Slump

Tidigare koncentrerade man sig inom tidsserieanalysen främst på att isolera de olika komponenterna så att vid varje given tidpunkt, uttrycker en observation som en sammansättning av trend, säsong, konjunktur och slump.

Nuförtiden konstrueras vanligen en formell modell, där närvaron av komponenterna sker antingen explicit eller implicit, i syfte att beskriva tidsseriers beteende.

Då man bildar en modell finns två möjliga sätt att behandla dessa fyra komponenter.

En möjlighet är att se dem som konstanta över tiden, t ex kan trenden representeras som en rät linje (linjär trend) eller av någon annan algebraisk funktion. Detta angreppssätt är ofta användbar i analysen av fysiska eller kemiska datamängder (t ex bakterieutvecklingar), men är ofta inte lämplig i ekonomiska tillämpningar. I ekonomiska sammanhang bör man vara försiktig med att dra förhastade slutsatser om trend, säsong etc, då ofta reguljäriteterna är skenbara.

För ekonomiska data är det lämpligt med en annan behandling av de fyra komponenterna.

Istället för att se dem som konstanta, bör man se komponenterna som ständigt föränderliga över tiden.

Låt oss se på ett enkelt exempel. I figur 1.1 överst på nästa sida har vi den fiktiva försäljningsutvecklingen vecka för vecka under första halvåret 2001 för en viss vara.

Figur 1.1: Försäljningsutveckling första halvåret 2001

500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Vecka

Försäljning (ttk)

Genom att betrakta figuren ovan kan man enkelt dra (den förhastade) slutsatsen att trenden är positiv och att den är linjär.

Det är sant att försäljningen ökar mer eller mindre konstant, men felet ligger i att vi har en mycket begränsad tidsserie. Försäljningssiffror är ofta säsongsbetingade, därför är det olämpligt att tro att den positiva linjära trenden ska fortsätta.

Låt oss nu lägga till försäljningen för andra halvåret 2000 och 2001.

Figur 1.2: Försäljningsutvecklingen juli 2000-december 2001

450 550 650 750 850 950 1050

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 Vecka

Försäljning (ttk)

Utvecklingen är då vi lagt till två halvårs försäljningssiffror inte alls längre linjär.

Figur 1.2 ovan visar på ett tydligt säsongsmönster. Försäljningen verkar öka till sommaren, för sedan sjunka under vinterhalvåret.

Det är inte ovanligt med denna sorts mönster, t ex kan man anta att försäljningen av glass, kalla drycker etc ökar på sommaren. Omvänt mönster visar förmodligen försäljningen av varma kläder, förbrukningen av el etc.

11

2 Glidande medelvärde

Slumpvariabeln i tidserier kan i vissa fall vara så stor att den stör den underliggande regelbundenheten. En tidserieplot av en sådan serie är ofta svårbedömd, och kräver därför en utjämning av något slag.

Utjämningen kan t.ex. ske genom användning av s.k.glidande medelvärden.

Denna metod baseras på idén att en stor slumpkomponent i en tidserie får mindre effekt då den grupperas ihop med dess omedelbara grannar, därefter beräknas medelvärde på gruppen.

Den enklaste tekniken av den här typen brukar kallas enkla centrerade glidande medelvärden.

(

(

)

1 2

...

...

1 2

1 _{1 1}

+

+ +

+ + +

= +

= + ^{- - + + - +}

-

= +

* _m

å

X ^{t m t m t t m t m}

m

m j

j t

t (2.1)

Det glidande medelvärdet sägs vara centrerat eftersom är det centrala värdet i täljaren i ovanstående ekvation.

*

Xt X_t

Låt oss se på ett fiktivt exempel.

I tabellen nedan ses försäljningssiffror (fakturerat liter) över produkten Pepsi under en 15- veckorsperiod på en viss region. Vi väljer i detta fall m = 2, dvs ett 5- punkts glidande medelvärde, dessa värden ses även de i tabellen nedan.

Tabell 2.1: Pepsiförsäljning under en 15-veckorsperiod, med 5 –punkts glidande medelvärde

Vecka Pepsiförsäljning Utjämnad serie, i fakturerat liter m=2

1 1806 2 1852

3 1913 1879

4 1902 1906

5 1922 1926

6 1940 1939

7 1951 1952

8 1978 1966

9 1968 1979

10 1991 1991

11 2005 2002

12 2013 2015

13 2034 2028

14 2032 15 2056

5

1922 1902 1913 1852

1806+ + + +

5

2056 2032 2034 2013

2005+ + + +

I figur 2.1 högst upp på nästa sida ses en grafisk framställning av tabell 2.1

12

Figur 2.1: Pepsiförsäljning under en 15-veckorsperiod, med 5 –punkts glidande medelvärde

1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050 2100

1 3 5 7 9 11 13 15

Vecka Pepsiförsäljning i fakturerat liter

Verklig Pepsiförsäljning Utjämnad serie, m=2

Vi ser i figur 2.1 ovan att Pepsiförsäljningen verkar ha en positiv trend. Den tydliga trenden gör att den utjämnade serien följer den riktiga serien mycket väl.

I exemplet ovan hade vi givetvis fått en annan glidande medelvärdesserie om vi använt oss av andra värden på m. Serien blir nämligen mer utjämnad desto större vi väljer m, detta eftersom enstaka stora variationer får mindre effekt i en större grupp. På samma sätt reagerar den utjämnade serien snabbare på variationer i den verkliga tidsserien då m väljs litet.

I figurerna nedan ser vi exempel på detta fenomen för två olika m-värden (m=1, m=2), och två olika situationer

Figur 2.2: Periodantalets inverkan då Figur 2.3: Periodantalets inverkan då efterfrågan stiger tillfälligt efterfrågan stiger

0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Verklig efterfrågan m=2 (n=5) m=1 (n=3)

0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Verklig efterfrågan m=2 (n=5) m=1 (n=3)

En nackdel med glidande medelvärden är att den utjämnade serien innehåller färre

observationer än den verkliga tidserien. Vi “tappar” m stycken observationer både i början och i slutet av tidsserien.

Det finns även möjlighet att göra prognoser med hjälp av glidande medelvärden, den utjämnade serien kommer då att bli något förskjuten. Detta eftersom den utjämnade serien reagerar först då variationer förekommer i den riktiga tidsserien. Glidande medelvärde beräknas således på valfritt antal tidigare perioder. Väljer vi t.ex. m=1 (n=3), beräknas prognosen för tiden t som medelvärdet av de tre föregående perioderna (t-1, t-2, t-3).

I figurerna nedan ser vi hur prognoserna reagerar i två olika situationer och för olika periodantal.

Figur 2.4: Periodantalets inverkan på prognos Figur 2.5: Periodantalets inverkan på då efterfrågan stiger tillfälligt prognos då efterfrågan stiger

0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Verklig efterfrågan m=2 (n=5) m=1 (n=3)

0 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Verklig efterfrågan m =2 (n=5) m =1 (n=3)

Då vi beräknar prognoser med glidande medelvärden kommer vi inte att erhålla några

prognosvärden i början av serien. Vi “tappar” där 2m+1 värden, men till skillnad från tidigare har vi prognosvärden för de senaste tidpunkterna i den riktiga serien, en förutsättning för att kunna åstadkomma framtida prognoser.

Fler prognosmodeller bygger just på tillämpningar av metoden glidande medelvärden, vi kommer i kapitel 5 beröra en av dem, MA(R) -modellen.

14

3. Enkel Exponentiell utjämning

Denna prognosmodell är ofta värdefull och formar en bas för andra mer invecklade modeller, bla Holt-Winters metod som vi kommer att stifta närmare bekantskap med i nästa kapitel.

Enkel exponentiell utjämning används lämpligen då serien som ska prognosticeras saknar betydande säsong och trend. I uteblivandet av dessa komponenter är målet att uppskatta den aktuella nivån av tidsserierna.

I förklarandet av enkel exponentiell utjämning ser vi först på två extremmöjligheter.

För det första kan vi använda oss av endast den allra senaste observationen för att göra våra prognoser. Prognosvärdet för tidpunkt X_t sätts då i all enkelhet lika med den för X_t närmast föregående observationen X_t-1. I vissa sammanhang lämpar sig faktiskt denna metod bra, speciellt då vi har väldigt lite kunskap om det vi ska prognosticera. Men, i många tillämpningar existerar en betydande slumpkomponent, och det skulle då vara ett stort misstag att begränsa oss till endast en enda observation som prognosunderlag.

För det andra skulle vi tvärtom kunna uppskatta den aktuella nivån genom ett medelvärde av alla de tidigare observationerna. Detta innebär att alla observationerna ges samma vikt, vilket ofta är missledande då senare observationer förmodligen är mer relevanta för framtiden än observationer långt bak i tiden.

Enkel exponentiell utjämning kompromissar mellan dessa två extremiteter, och erbjuder prognoser baserade på vägda medelvärden. Då man formar dessa vägda medelvärden ges störst vikt vid den allra senaste observationen, näst mest vikt åt den näst senaste osv.

Ett sätt att åstadkomma detta är att uppskatta nivån vid tidpunkten t med X_t:

(

)

(

)

(

)

= t t_- t_-

t X X X

X a a a a a , 0< a < 1 (3.1) Dvs. vikterna är

(

)

(

)

(

)

Om vi t ex väljer a = 1/2, fås prognoser för framtida observationer genom ...

8 / 4

/ 2

/ + ₁ + ₂ +

= t t_- t_-

t X X X

X

Från 3.1 ovan kan vi nu uppskatta nivån för den tidigare perioden t-1 genom

(

)

(

)

(

)

1= - _- + - _- + - _- +

- t t t

t X X X

X a a a a a , 0< a < 1 (3.2)

Vi multiplicerar nu 3.2 med a och får

(

)

(

)

(

)

1= - _- + - _- + - _- +

- t t t

t X X X

X a a a a a a

a , 0< a < 1 (3.3)

15

Genom att subtrahera 3.3 från 3.1 får vi ) 1

1

( - + _-

= t t

t X X

X a a , 0< a < 1 (3.4)

som är bekväm att använda vid beräkning av nivåskattningar. Den anger nivån, X_t, vid tidpunkt t som ett vägt medelvärde av den närmast föregående nivån X_t-1, och den nya observationen X_t. Vikterna bestäms av valet på a , som ofta kallas för

utjämningskonstanten.

Det var det om teorin bakom enkel exponentiell utjämning, låt oss nu se på ett påhittat exempel.

I tabell 3.1 nedan återfinns försäljningssiffror för produkten Ramlösa under en 20- veckorsperiod.

Tabell 3.1: Ramlösaförsäljning i fakturerat liter, med Exponentiell utjämning a = 0.1, och a = 0.4

Vecka Ramlösaförsäljning, Exponentiell Exponentiell Fakturerat Liter utjämning,a =0.1 utjämning,a =0.4

1 1523 1523 1523

2 1602 1594,1 1570,4

3 1548 1 552,6 1 557,0

4 1650 1 640,3 1 612,8

5 1678 1 674,2 1 651,9

6 1635 1 638,9 1 641,8

7 1599 1 603,0 1 616,1

8 1629 1 626,4 1 623,8

9 1691 1 684,5 1 664,1

10 1740 1 734,5 1 709,7

11 1691 1 695,3 1 698,5

12 1765 1 758,0 1 738,4

13 1844 1 835,4 1 801,8

14 1782 1 787,3 1 789,9

15 1881 1 871,6 1 844,6

Som vi ser i tabell 3.1 ovan, och kanske ännu tydligare i figur 3.1 på nästa sida är att serien för a = 0.4 är mer utjämnad än den för a = 0.1. Då a = 0.1 ges en påtaglig vikt åt den senaste observationen, och dess serie följer därför den verkliga försäljningsserien väldigt väl.

1 . 0 1523 9 . 0

1602× + ×

4 . 0 1523 6 . 0

1602× + ×

Låt oss nu se på tabell 3.1 i ett grafiskt perspektiv

16

Figur 3.1: Ramlösaförsäljning i fakturerat liter, med Exponentiell utjämning a = 0.1, och a = 0.4

1500

1 3 5 7 9 11 13 15

Vecka Ramlösaförsäljning i fakturerat liter

Verklig

Ramlösaförsäljning Exp. utjämning (alfa=0.1) Exp. utjämning (alfa=0.4)

Hur ska man då välja utjämningskonstanten, a ?

Har man stora erfarenheter av att analysera data på en viss produktgrupp så har man förmodligen också goda kunskaper om vilket värde på a som passar bäst i det specifika fallet.

Ofta har man dock inte mycket erfarenhet att förlita sig på. I sådana situationer är det ofta användbart att inspektera grafen över dataserien. Om serien verkar innehålla en betydande slumpkomponent vill vi inte ge den allra senaste observationen allt för mycket vikt, då den kanske inte är speciellt indikativ för framtida prognoser. I linje med formel 3.4 bör vi där välja ett relativt högt värde på utjämningskonstanten a . Om serien däremot förefaller jämn, bör vi istället välja ett lägre värde på a .

En mer objektiv metod är att testa olika värden på a och helt enkelt se vilket som bäst passar på historiska tidsserier. Man kan då t ex beräkna utjämnade serier för a = 0.1, 0.2, …, 0.9.

Om X_t-1är prognosen avX_t gjord vid tidpunkten (t – 1), blir felet i denna prognos.

-1

-

= t t

t X X

e

Man kan vidare för varje värde på a man vill testa räkna ut summan av de kvadrerade prognosfelen

(

2

1 2

2

å

å

=

-

= ⁿ

t

t t n

t

t X X

e

)

Värdet på a som ger minsta kvadrerade prognosfel kommer att användas vid framtida prognoser.

I praktiken används vanligen värden på a i intervallet 0.1 - 0.3, och många statistikprogram, bl a Minitab, använder som standardinställning a = 0.2.

17

17

4. Holt-Winters exponentiella utjämnings modell

Många prognosmetoder använder sig av exponentiell utjämning av något slag.

Vi har tidigare sett på enkel exponentiell utjämning som främst används då serien som ska prognosticeras saknar säsong och trend I det här kapitlet ska vi stifta bekantskap med en exponentiell utjämningsmetod som lämpligen används då serien innefattar trend och senare även säsong.

Först ska se på situationen då vi har trend, men ingen påtaglig säsong.

4.1 Prognoser på serier med trend, ej säsong

I den enkla exponentiella utjämningen skattade vi den aktuella nivån av en serie, här inkluderar vi även en trendskattning.

Trenden beräknas som skillnaden mellan den aktuella och den föregående nivån av en serie.

Värdet av serien vid tidpunkt t skrivs X_t, medan X_t liksom tidigare betecknar skattningen av nivån. Trendskattningen betecknas T . _t

Skattningsprincipen av dessa två kvantiteter är relativt lik den för enkel exponentiell utjämning. De två skattningsekvationerna är

(

) ( )

t X T X

X =a _-1+ _-1 + 1-a , (0< a < 1) (4.1.1) och

( ) (

)

1 1 _-

- + - -

= t t t

t bT b X X

T , (0< b < 1) (4.1.2)

där a och b är utjämningskonstanter med värde mellan 0 och 1.

Vi tillämpar dessa beräkningar på vårt Pepsi-exempel från kapitel 2.

Vi sätter

2

2 X

X = och T₂ = X₂ -X₁

I tabell 4.1.1 högst upp på nästa sida är således

2

2 X

X = =1852 och T₂ = X₂ -X₁ = 1852–1806 = 46 Vi använder oss av utjämningskonstanterna

a = 0,3 och b =0,4

18

Tabell 4.1.1: Pepsiförsäljning inklusive nivå, -och trendskattningar enligt Holt-Winters exponentiella utjämningsmetod, med a = 0,3 och b =0,4

Vecka X _t X_t T t

1 1806

2 1852 1852,0 46,0 3 1913 1908,5 52,3 4 1902 1919,6 27,6 5 1922 1929,6 16,0 6 1940 1941,7 13,7 7 1951 1952,3 11,8 8 1978 1973,8 17,6 9 1968 1975,0 7,8 10 1991 1988,5 11,2 11 2005 2003,4 13,4 12 2013 2014,1 11,8 13 2034 2031,6 15,2 14 2032 2036,4 9,0 15 2056 2052,8 13,4

I tabell 4.1.1 ovan fås t ex X₃ och T som₃

(

)

(

)

och

( )

(

)

6 , 0 4 ,

0 _{2 3 2}

3 = T + X -X = × + - =

T

Vi har i vårt Pepsi-exempel en serie X₁,X₂,...,X₁₅ med senaste nivå, och

trendskattningarnaX₁₅ resp T₁₅. Vid prognoser antas det att trenden fortsätter efter den senaste nivåskattningen.

Prognoser för X₁₆ och X₁₇ är således

16=

Xˆ X₁₅ + T = 2052,8 + 13.4 = 2066,2 ₁₅

17=

Xˆ X₁₅ + 2T = 2052,8 + 2(13,4) = 2079,6 ₁₅

Generellt gäller att då man står vid tidpunkt n, och vill göra prognoser h tidpunkter in i framtiden

h= Xˆn₊

Xn + hT _n

4.2 Prognoser på serier med trend och säsong

Detta avsnitt behandlar en utvidgning av Holt-Winters exponentiella utjämningsmetod, då den även innefattar säsongsvariationer.

I många praktiska tillämpningar tar man säsongsfaktorn som multiplikativ, dvs man kan se t ex januari månad i en tidsserie i termer av månadsmedelvärden. Liksom tidigare antas trendkomponenten vara additiv.

Vi använder även i detta avsnitt beteckningarna X_t,X_t och T för det observerade värdet, nivå resp trendskattningen vid tidpunkt t.

t

Säsongsfaktorn betecknas . Om tidsserien består av s perioder per år, betecknas säsongs- faktorn för samma period föregående år, .

Ft

s

Ft_-

Holt-Winters säsongsmodeller kan vidare delas upp i additiva och multiplikativa modeller.

Låt oss först se på den additiva modellen

4.2.1 Additiv Holt-Winter

Den additiva Holt-Winter modellen behandlar serier med säsong, med eller utan trend.

Nivå, trend och säsongsskattningarna uppdateras med följande tre ekvationer.

(

) ( )(

t X T X F

X =a _-1+ _-1 + 1-a - _-

)

( ) (

1 1 _-

- + - -

= t t t

t bT b X X

)

T , 0 < b < 1 (4.2.1.2)

( ) (

s t

t F X X

F =d _- + 1-d -

)

En prognos,Xˆ_t, ges av

s t t t

t X T F

Xˆ = _-1+ _-1+ _- (4.2.1.4)

Den additiva modellen används bäst då säsongssvängningarna inte är proportionella mot storleken på data.

Figuren nedan är ett exempel på en kurva där det särskilt lämpar sig med den additiva Holt-Winter modellen.

20