TAYLORS FORMEL
a) Taylors formel kring punkten a
. och a mellan ligger
som ett tal är och ) )! (
1 (
) där (
)
! ( ) ... (
)
! ( 3
) ) (
! ( 2
) ) (
)(
( ) ( ) (
) 1 1 (
) 3 (
2
x c
a n x
c R f
R a n x
a a f
a x a f
a x a f
x a f a f x f
n n
n n
+ +
+ −
=
+
− +
+
′′′ − +
′′ − +
′ − +
=
Resttermen R kallas Lagranges restterm av ordning n+1.
b) Taylors polynom av ordning n
n n
n x a
n a a f
a x a f
a x a f
x a f a f x
T ( )
! ) ... (
)
! ( 3
) ) (
! ( 2
) ) (
)(
( ) ( ) (
) 3 (
2 + ′′′ − + + −
′′ − +
−
′ +
=
c) Taylors serie
∑
∞∞ =
∞
−
=
+
′′′ − +
′′ − +
′ − +
=
0 ) (
3 2
)
! ( ) ) (
(
kortare eller
...
)
! ( 3
) ) (
! ( 2
) ) (
)(
( ) ( ) (
n
n n
a n x
a x f
T
a a x
a f a x
a f x a f a f x T
Speciellt fall då a=0 kallas ofta för Maclaurins formel (polynom, serie).
a) Maclaurins formel
. och 0 mellan ligger som är tal och
)!
1 (
) där (
! ) 0 ... (
! 3
) 0 (
! 2
) 0 ) (
0 ( ) 0 ( ) (
) 1 1 (
) 3 (
2
x c
n x c R f
R n x
x f x f
x f f f
x f
n n
n n
+ +
= +
+ +
′′′ +
′′ +
′ + +
=
b) Maclaurins polynom av ordning n
n n
n x
n x f
x f x f
f f
x
M !
) 0 ... (
! 3
) 0 (
! 2
) 0 ) (
0 ( ) 0 ( )
( = + ′ + ′′ 2 + ′′′ 3 + + ( )
c) Maclaurins serie
∑
∞∞ =
∞
=
′′′ +
′′ +
′ + +
=
0 ) (
3 2
! ) 0 ) (
(
kortare eller
! ...
3 ) 0 (
! 2
) 0 ) (
0 ( ) 0 ( ) (
n
n n
n x x f
M
f x f x
x f f
x M
Notera att Taylors polynom av ordning n
n n
n x a
n a a f
a x a f
a x a f
x a f a f x
T ( )
! ) ... (
)
! ( 3
) ) (
! ( 2
) ) (
)(
( ) ( )
( = + ′ − + ′′ − 2 + ′′′ − 3+ + ( ) −
har grad ≤ n och att graden blir < n om f(n)(a)=0.
============================================================
Exempel 1.
Bestäm Taylorpolynomet av ordning fyra till funktionen f(x)=ln(2x), kring punkten a=1.
Lösning:
Vi beräknar funktionen och derivator i punkten 1.
6 ) 1 ( 6
) (
2 ) 1 ( 2
) (
1 ) 1 ( )
(
1 ) 1 1 (
2 2 ) 1 (
2 ln ) 1 ( )
2 ln(
) (
) 4 ( 4
) 4 (
3 2
−
=
−
=
′′′ =
′′′ =
−
′′ =
−
′′ =
′ =
=
⋅
′ =
=
=
−
−
−
f x
x f
f x
x f
f x
x f
x f x x
f
f x
x f
Värdena substituerar vi i formeln för Taylors polynom (av ordning 4)
)
! ( 4
) ) (
! ( 3
) ) (
! ( 2
) ) (
( ) ( ) ( )
( (4)
4 3
2
4 x a f a
a a f
a x a f
a x f a x a f x
T = + − ′ + − ′′ + − ′′′ + −
och får
) 6
! ( 4
) 1 2 (
! 3
) 1 ) (
1
! ( 2
) 1 1 (
) 1 ( 2 ln ) (
4 3
2
4
= + − ⋅ + x − ⋅ − + x − ⋅ + x − ⋅ −
x x
T
.Detta ger
4 ) 1 ( 3
) 1 ( 2
) 1 ) (
1 ( 2 ln ) (
4 3
2 4
− − + −
− −
− +
= x x x
x x
T .
Svar:
4 ) 1 ( 3
) 1 ( 2
) 1 ) (
1 ( 2 ln ) (
4 3
2
4 = + − − x− + x− − x−
x x
T Uppgift 1.
Bestäm Taylorpolynomet av ordning 3 kring punkten a =8 för funktionen y=3 x. Lösning:
) 3
(x x
f = , f(8)= 8 =2
3 / 2
3 ) 1
( = −
′ x x
f ,
12 ) 1 8 ( =
′ f
3 / 5
9 ) 2
( = − −
′′ x x
f ,
144 ) 1 8 ( = −
′′
f
3 / 8
27 ) 10
( = −
′′′ x x
f ,
3456 ) 5
8 ( =
′′′
f
Taylors polynom av ordning 3:
3 2
3 2
3
) 8 20736( ) 5
8 288( ) 1 8 12( 2 1
)
! ( 3
) ) (
! ( 2
) ) (
)(
( ) ( ) (
− +
−
−
− +
=
′′′ − +
′′ − +
′ − +
=
x x
x
a a x
a f a x
a f x a f a f x T
Svar:
3 2
3 ( 8)
20736 ) 5
8 288( ) 1 8 12( 2 1 )
(x = + x− − x− + x−
T
Uppgift 2.
a) Visa med Maclaurins formel av ordning 3 att x x R
x= − +
! 3
! sin 1
3
b) Använd resultat i a) för att bestämma Maclaurinpolynomet av ordning 6 för funktionen y=sin(x2).
Lösning:
a) f(x)=sinx, f(0)=0 x
x
f′( )=cos , f′(0)=1 x
x
f ′′( )=−sin , f ′′(0)=0 x
x
f ′′′( )=−cos , f ′′′(0)=−1 Enligt Maclaurins formel har vi
x R x R f x
f x x f f
x
f = + ′ + ′′ + ′′′ + = − +
! 3
! 3
) 0 (
! 2
) 0 ) (
0 ( ) 0 ( )
( 2 3 3
b) Eftersom t t R
t= − +
! 3
! sin 1
3
, substitution t= x2ger x R
x x R
x = x − + = − +
6
! 3
) (
! ) 1
sin( 2 2 2 3 2 6
Svar: b) Maclaurinpolynomet av ordning 6 för funktionen y=sin(x2) är 6
2 6 6
x x
P = − .
Uppgift 3. Använd formel n R x x
x e x
n
x = + + + + + +
... !
! 3
! 2
! 1 1
3 2
för att bestämma Maclaurinpolynomet av ordning 3 för funktionen y=e3x. Lösning:
Eftersom t t t R
et = + + + +
! 3
! 2
! 1 1
3 2
, substitution t=3xger x R
x
e x = + x + + +
! 3
) 3 (
! 2
) 3 (
! 1
1 3 2 3
3 = x x R
x+ + +
+ 2
9 2 3 9
1 2 3
Svar: Maclaurinpolynomet av ordning 3 för funktionen y=e3x är
2 9 2 3 9 1
3
2 x
x+ x + +
a) Bestäm Maclaurinpolynomet (=Taylorpolynomet kring punkten 0) av ordning 4 för funktionen y=cosx.
b) Använd polynomet i a ) för att beräkna 4
2
0
1 2 cos
lim x
x x
x
+
−
>
− .
c) Beräkna samma gränsvärde 4
2
0
1 2 cos
lim x
x x
x
+
−
>
− med hjälp av L’ Hospitals regel.
Lösning a)
x x
f( )=cos , f(0)=1 x
x
f′( )=−sin , f′(0)=0 x
x
f ′′( )=−cos , f ′′(0)=−1 x
x
f ′′′( )=sin , f ′′′(0)=0 x
x
f (4)( )=cos , f(4)(0)=1.
4 ) 4 ( 3 2
4 4!
) 0 (
! 3
) 0 (
! 2
) 0 (
! 1
) 0 ) (
0 ( )
( f x
f x f x
f x f
x
M = + ′ + ′′ + ′′′ + ⇒
4 2
4 4!
1
! 2 1 1 )
(x x x
M = − +
4 2
4 24
1 2
1 1 )
(x x x
M = − + .
b) Metod 1. Vi använder Maclaurins serie för cos(x).
4 2
0
1 2 cos
lim x
x x
x
+
−
>
− = 4
2 6
4 2
0
2 ) 1 (
! ) 6 24
1 2
1 1 (
lim x
x x x
x
x
+
− + +
− +
−
>
−
L
24 1 1
) 0 24 0
( 1
1
! ) 6 24 ( 1 lim 24 )
( 1 lim
2
4 0 4
0 − + =
+ =
= −
= +
>
−
>
−
L L
L x
x x
x
x .
Metod 2: Vi använder Maclaurins formel. (Samma ide som i metod 1 med skillnaden i beteckning)
4 2
0
1 2 cos
lim x
x x
x
+
−
>
− = 4
5 2 ) 5 4 ( 2
0
2 ) 1 (
! ) 5
) ( 24
1 2
1 1 (
lim x
x x c x f
x
x
+
− + +
+
−
>
−
24 1 1
! ) 5
) ( 24
( 1 lim
! ) 5
) ( 24
( 1 lim
) 5 (
4 0 ) 5 5 4 (
0 + =
+ =
= −> −>
c x f x
c x x f
x
x .
c)
4 2
0
1 2 cos
lim x
x x
x
+
−
>
− = ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ "
0
"0
[L’Hospital ]
= 3
0 4
lim sin x
x x
x
+
−
>
− = ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ "
0
"0
[L’Hospital ]
= 2
0 12
1 lim cos
x x
x
+
−
>
− = ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ "
0
"0
[L’Hospital ]
= x
x
x 24
limsin
>0
− = ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ "
0
"0
[L’Hospital ]
= 24
limcos
0
x
x−> = 24
1 .
Svar: a) 4 2 4
24 1 2
1 1 )
(x x x
M = − + b)
24 1 c)
24 1
Uppgift 5.
a) Bestäm Maclaurinpolynomet (=Taylorpolynomet kring x0 =0) av ordning 3 för funktionen y= . ex
b) Bestäm Maclaurinserie för funktionen y = . ex
c) Använd Maclaurinpolynomet (eller Maclaurinserie) för att beräkna
3 2
0
2 ) 1
(
lim x
x x ex
x
+ +
−
>
− .
d) Beräkna samma gränsvärde 3
2
0
2 ) 1
(
lim x
x x ex
x
+ +
−
>
− med hjälp av
l’ Hospitals regel.
Lösning a)
ex
x
f( )= , f(0)=1 ex
x
f′ )( = , f′(0)=1 ex
x
f ′′ )( = , f ′′(0)=1 ex
x
f ′′′ )( = , f′(0)=1
3 2
3 3!
) 0 (
! 2
) 0 (
! 1
) 0 ) (
0 ( )
( f x
f x f x
f x
M = + ′ + ′′ + ′′′ ⇒
3 2
3 3!
1
! 2
1
! 1 1 1 )
(x x x x
M = + + + ⇒
3 2
3 6
1 2 1 1 1 1 )
(x x x x
M = + + +
Svar a) 3 2 3 6 1 2 1 1 1 1 )
(x x x x
M = + + +
b)
! ...
3 ) 0 (
! 2
) 0 (
! 1
) 0 ) (
0 ( )
( 2 ′′′ 3+
′′ +
′ + +
∞ = f x
f x f x
f x M
6 ...
1 2 1 1 1 1 )
( = + + 2 + 3 +
∞ x x x x
M =
∑
∞=0 !
n n
n x
Svar b) ...
6 1 2 1 1 1 1 )
( = + + 2 + 3 +
∞ x x x x
M =
∑
∞=0 !
n n
n x
c)
3 2
0
2) 1
(
lim x
x x ex
x
+ +
−
>
− =
3
5 2 4
3 2 0
2 ) 1
( 120 ...)
1 24
1 6
1 2 1 1 1 1 (
lim x
x x x
x x
x x
x
+ +
− + +
+ + + +
>
−
6 1 1
0 6 0
1 1
120 1 24
1 6 1 24 lim
1 6
1 lim
2 2
3 0 4 3
0 + + + =
+ =
= + + +
>
−
>
−
L L
L x x
x x x
x
x .
Svar c) 6 1
d) 3
2
0
2 ) 1
(
lim x
x x ex
x
+ +
−
>
− = ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ "
0
"0
[L’Hospital ]
= 2
0 3
) 1 lim (
x x ex
x
+
−
>
− = ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ "
0
"0
[L’Hospital ]
= x
ex
x 6
lim 1
0
−
>
− = ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ "
0
"0
[L’Hospital ] =lim 6
0 x x
e
>
− =
6 1
Svar d) 6 1
Svar: a) 3 2 3
6 1 2 1 1 1 1 )
(x x x x
M = + + + b)
∑
∞=0 !
n n
n
x c) 6
1 d) 6 1 Uppgift 6.
a) Bestäm Maclaurinpolynomet (=Taylorpolynomet kring punkten a=0) av ordning 2 för funktionen y= x+1
b) Beräkna approximativt 1 med hjälp av Taylorpolynomet. .2
c) Uppskatta felet med hjälp av formeln för restterm: R= 1
) 1 (
) )! (
1 (
)
( + +
+ −
n n
a n x
c
f , där c är
ett tal mellan a och x. Lösning:
a)
1 )
(x = x+
f , ( 1) 1/2
2 ) 1
( = + −
′ x x
f , ( 1) 3/2
4 ) 1
( =− + −
′′ x x
f , ( 1) 5/2
8 ) 3
( = + −
′′′ x x f
1 ) 0 ( =
f ,
2 ) 1 0 ( =
′
f ,
4 ) 1 0 ( =−
′′
f , ( 1) 5/2
8 ) 3
( = + −
′′′ c c
f .
Enligt Taylors formel kring x0 =0 gäller R f x
f x f
x
f = + ′ + ′′ 2 +
! 2
) 0 (
! 1
) 0 ) (
0 ( ) (
där 3
! 3
) (c x
R= f ′′′ , c är ett tal mellan 0 och x
2
2 2!
) 0 (
! 1
) 0 ) (
0 ( )
( f x
f x f
x
P = + ′ + ′′ = 2
8 1 2
1+1x− x .
Svar a) 2 2
8 1 2 1 1 )
(x x x
P = + −
b) För att beräkna 1 substituerar vi x =0.2 i funktionen .2 y = x+1, som vi approximerar med polynomet 2 2
8 1 2 1 1 )
(x x x
P = + − :
≈ +
= 0.2 1 2
.
1 0.2 1.095
8 2 1 . 2 0 1 1 ) 2 . 0
( 2
2 = + ⋅ − ⋅ =
P .
Svar b) 1.2 ≈1.095
c) För felet gäller
|R|= |
! 3
)
| f ′′′(c x3
= 3
2 / 5
2 . )! 0 3 (
) 1 8(
3 −
+ c
= <
+
3 2 / 5 0.2 ) 1 (
1 16
1
c 0.2 0.0005
16
1 3
= .
Svar c) |R|<0.0005
Viktiga Maclaurinutvecklingar:
n R x x
x e x
n
x = + + + + + +
!
! 3
! 2
!
1 1 2 3 L
n R x x
x x x
n
n +
− + +
− +
−
= +
)!
1 2 ) ( 1
! ( 5
! 3
! sin 1
1 2 5
3
L
n R x x
x x
n +
+
− +
−
=1 2! 4! (2 )!
cos
2 4
2
L
n R x x
x x x
n
n +
− +
− +
−
=
+ 2 3 ( 1) −1
3 2 ) 1
1
ln( L
R n x
n p p
x p p p x p
p x p
x p = + p + − + − − + + − − − n +
+ !
)) 1 ( ( ) 1 (
! 3
) 2 )(
1 (
! 2
) 1 (
! 1 1 ) 1
( 2 3 L L
n R x x
x x x
x
n
n +
− − +
− +
−
= − −
1 ) 2
1 7 (
5
arctan 33 5 7L 1 2 1
