sin 2 2 cos lim sin

Tentamen 2 i Matematik 1, HF1903, 19 oktober 2011, kl 8.15 – 12.15

Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs 10 poäng av 24 möjliga poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Den som uppnått 9 poäng får betyget Fx och har rätt att komplettera.

Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.

Examinator: Armin Halilovic

Undervisande lärare: Bengt Andersson, Elias Said, Jonas Stenholm

Uppgift 1. Denna uppgift kan du som är godkänd på KS2 hoppa över.

1a) Bestäm definitionsmängden för

f ( x ) = 3 + 6 x − 8 − x

lim 3 2 7

4 8

1c) Beräkna gränsvärdet till

sin 2 2 cos lim sin

2

x x x

x

⋅

→π (1p)

1d) Bestäm derivatan, (1p)

Uppgift 2.

2a) Betrakta tangenten till kurvan + =8 i (–2, 2). I vilka punkter skär denna tangent koordinataxlarna. (2p) 2b) Bestäm största och minsta värdet för funktionen f(x)=3+ 6x−8−x² (2p)

Uppgift 3. Lös följande obestämda integraler.

3a) Beräkna integralen

,

3b) Låt

f ( x ) = ( 2 − x ) x − 1

mellan kurvan y=f(x), och x‐axeln då

1 ≤ x ≤ 2

. 1 4

2

+

= x y x

Bestäm funktionens eventuella asymptoter, samtliga extrempunkter (min och max) och rita grafen till funktionen. (4p) Uppgift 5.

5a) z= f(x,y)=x² +6x+ y² −8y+18 är en funktion av två variabler. Bestäm koordinaterna (x, y, z) för eventuella stationära punkter. Bestäm också de stationära

punkternas karaktär (max-, min- eller sadelpunkt). (2p)

5b) Bestäm värdet av följande dubbelintegral:

∫∫

D

dxdy xy

y

x 2 )

(

där området D i xy-planet är en rektangel med hörn i punkterna:

(-1,2), (-1,5), (1,2) och (1,5) , (2p) Uppgift 6. Man kan använda dubbelintegraler för att bestämma tyngdpunkten,

och yttröghetsmoment för ett plant område . ( Formlerna finns på formelbladet. ) För området D : 0≤ y≤x², 0≤ x≤1 ( se Fig 1) bestäm

6 a) Tyngdpunkten (2p) 6 b) Yttröghetsmoment med avseende på x‐axeln (1p) 6c) Yttröghetsmoment med avseende på y‐axeln (1p) Fig 1.

Lycka till!

FACIT:

Uppgift 1. Denna kan du som är godkänd på KS2 hoppa över.

1a) Bestäm definitionsmängden för

f ( x ) = 3 + 6 x − 8 − x

1b) Beräkna gränsvärdet (1p)

lim 3 2 7

4 8

1c) Beräkna gränsvärdet till

sin 2 2 cos lim sin

2

x x x

x

⋅

→π (1p)

1d) Bestäm derivatan, Lösning:

1a) Funktionen f(x) är definierad om

4 2

0 ) 2 )(

4 ( 0

8

6x− −x² ≥ ⇔ − x− x− ≥ ⇔ ≤ x≤ (fås t ex genom teckenstudie).

SVAR: Definitionsmängden är 2≤ x≤4. Rättningsmall: Rätt eller Fel

1b)

lim kan lösas t.ex genom att bryta ut i både täljare och nämnare.

Efter förkortning med erhålls lim ^/ _/ ^/ SVAR: ³₄

Rättningsmall: Helt rätt 1 poäng.

1c)

2 )

2 ( 1

) 1 ( 1 2)

2 sin(1

2) 2 cos(

2) sin(

lim sin2

2 cos lim sin

2 2

−

− =

= ⋅

⋅

⋅

= ⋅

⋅

→

→ π

π π

π

π x

x x

x

x

SVAR: − 2

Rättningsmall: Rätt eller Fel 1c) Enligt kvotregeln blir derivatan,

=

SVAR:

Rättningsmall: Helt rätt 1 poäng.

Uppgift 2.

2a) Betrakta tangenten till kurvan + =8 i (–2, 2). I vilka punkter skär denna tangent koordinataxlarna. (2p)

2b) Bestäm största och minsta värdet för funktionen f(x)=3+ 6x−8−x² (2p)

Lösning:

2a)

Funktionen = 8 beskriver en cirkel med medelpunkten i origo och radien √8.

Punkten (-2,2) stämmer med ekvationen.

8

2 2 =0

= – ,

Tangentens lutning (k värdet) i punkten (-2,2) är k = - = 1

Tangentens ekvation y - 2 = 1 (x - (-2)), dvs y = x +4 y = 0 ger x = –4 och x = 0 ger y = 4.

Punkterna blir ( 0, 4 ) och (-4, 0)

Rättningsmall: Derivatan rätt 1poäng, Punkterna rätt 1 poäng.

2b)

3 0

) ( 8

6 2

6 ) 2

( 2 ⇒ ′ = ⇒ =

−

− +

= −

′ f x x

x x x x

f

Teckenstudie av f ′(x) ger maxpunkt för x=3.

Intervallets ändpunkter samt maxpunkt: f(2)=3, f(4)=3, f(3)=4. SVAR: Största värde är 4 och minsta värde är 3.

Rättningsmall: 1p för största värdet och 1p för minsta värdet.

Uppgift 3. Lös följande obestämda integraler.

a) Beräkna integralen

,

) (

0≤ y≤ f x , 1≤ x≤2 (2p) Lösning:

3a)

Börja med att faktorisera nämnaren ,

gör sedan en partialbråksuppdelning

enligt =

6

3 2 ger A=2 och B=4

= 2ln(x+1)+4ln(x-3)+C, x 3

Rättningsmall: Rätt värde på A och B 1 poäng, helt rätt 2p. (Inget poängavdrag om konstanten C är utelämnad.)

3b)

Arean=

∫

1

1 ) 2

( x x dx

Integralen löses via variabelsubstitution. Sätt t = x−1 ⇒ x=t² +1⇒dx=2tdt

1 2

0 1

=

⇒

=

=

⇒

=

t x

t x

∫

∫

0

2 2

1

2 )) 1 ( 2 ( 1

) 2

( x x dx t t tdt Ger 1p

15 4 5

2 3 ) (

2

1

0 5 1 3

0

4

2 ⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

=

−

=

∫

SVAR:

15 4

Uppgift 4. Uppgift 4. Betrakta funktionen

. 1 4

2

+

= x y x

Bestäm funktionens eventuella asymptoter (lodräta/vågräta/sneda ), samtliga extrempunkter (min och max)

och rita grafen till funktionen. (4p) Lösning:

Funktionen är definierad för alla x.

Asymptoter:

En vågrät ( horisontell) asymptot: y=0 ( eftersom

lim ( ) = 0

+∞

→

f x

x ,

lim ( ) = 0

−∞

→

f x

x )

Stationära punkter:

2 2

2

) 1 (

4 ' 4

+

= − x

y x , 1 0

'== ⇒ x=± y

Två stationära punkter:

A(-1,-2) minimum ( kriterium med förstaderivatans tecken) B(1, 2) maximum

Grafen:

Rättningsmall: Korrekta asymptoter = 1 p . Korrekta stationära punkter =2p varje punkt ger 1 poäng. Grafen=1p

Uppgift 5.

5a) z= f(x,y)=x² +6x+y² −8y+18 är en funktion av två variabler. Bestäm koordinaterna (x, y, z) för eventuella stationära punkter. Bestäm också de stationära

punkternas karaktär (max-, min- eller sadelpunkt). (2p)

5b) Bestäm värdet av följande dubbelintegral:

∫∫

D

dxdy xy

y

x 2 )

(

där området D i xy-planet är en rektangel med hörn i punkterna:

(-1,2), (-1,5), (1,2) och (1,5) , (2p) Lösning:

5a) Partiella derivator av z = f(x,y)= x² +6x+y² −8y+18 : 6

2 +

∂ =

∂ x

x

f , =2 −8

∂

∂ y

y f

2 2

2 =

∂

∂ x

f , 0

2 =

∂

∂

∂ y x

f , ₂ 2

2 =

∂

∂ y

f

Stationära punkter finns där =0

∂

= ∂

∂

∂ y f x

f , d.v.s.:

⎩⎨

⎧

=

−

⇒ =

⎩⎨

⎧

=

−

= +

4 3 0

8 2

0 6 2

y x y

x

Det finns alltså en stationär punkt, i (-3, 4).

Funktionsvärde: f(−3,4)=(−3)² +6⋅(−3)+4² −8⋅4+18=−7 Punktens karaktär?

Andraderivator används:

0 4 0 2

2 ²

2 2

2 2

2

2 ⎟⎟ = ⋅ − = >

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

− ∂

∂

⋅∂

∂

∂

y x

f y

f x

f samt ₂ 2 0

2

>

∂ =

∂ x

f

Det är följaktligen ett minimum i den stationära punkten.

Svar: Funktionen har en minpunkt i (-3, 4 -7).

Rättningsmall: Korrekt beräkning av minpunktens koordinater (åtminstone x och y) 1p

5b)

∫∫

D

dxdy xy y

x 2 )

(

Området D kan beskrivas med: −1≤ x≤1 och 2≤ y≤5 Integrera först i x-led:

=

⎥ ⋅

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + +

=

⋅

⋅ + +

=

⋅ +

+

∫ ∫ ∫

∫∫

5

2

1

1 2 5 2

2 1

1

2 ) ( )

2 (

) 2

( x yx x y dy

dy dx xy y x dxdy

xy y x

D

( ger 1poäng )

[ ]

2 2 )

1 2

(1 ^{2 5}₂ ^{2 2}

5

2 5

2

=

−

=

=

⋅

=

⋅

− +

− + +

=

∫

∫

Svar: Dubbelintegralens värde är 21.

Uppgift 6. Man kan använda dubbelintegraler för att bestämma tyngdpunkten,

och yttröghetsmoment för ett plant område . ( Formlerna finns på formelbladet. ) För området D : 0≤ y≤x², 0≤ x≤1 ( se Fig 1) bestäm

6 a) Tyngdpunkten (2p) 6 b) Yttröghetsmoment med avseende på x‐axeln (1p) 6c) Yttröghetsmoment med avseende på y‐axeln (1p) Lösning:

6a)

Tyngdpunkten. Vi använder formlerna

1

1

Arean(D) =

3

1 1

0

2 =

∫

0 1/4

2 2 1/10

Därför

1 1

1/3·1 4

3 4

och

1 3

10

Svar a: T=( 3/4, 3/10)

b) Yttröghetsmoment med avseende på x axeln

2 3

3 ₀

1 2

0

6

3

1 0

1 21 Svar b)

c) Yttröghetsmoment med avseende på y axeln

2

2 2

0

1 0

1 4 0

1 5 Svar c)

Rättningsmall: Korrekt a-delen ger 2 poäng ( 1 poäng för varje koordinat) ; b-delen ger 1poäng, c-delen ger 1 poäng.