FFF För att åskådlig göra vektorstorheter (i 3 eller 2 dimensioner) använder vi riktade sträckor

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

 Några av de storheter som förekommer inom naturvetenskap kan specificeras genom att deras mätetal anges med ett enda reellt tal. Exempel på sådana storheter, som kallas skalära storheter, är t.ex. massa, tid, arbete och temperatur.

 För att undersöka andra, så kallade vektorstorheter eller vektoriella storheter, måste man förutom ett mätetal som anger storhet även ange en riktning. Exempel på

vektorstorheter är kraft, hastighet, elektrisk fält och magnetfält.

F  F

 F

För att åskådlig göra vektorstorheter (i 3 eller 2 dimensioner) använder vi riktade sträckor.

Låt A och B vara två punkter i rummet. Då betecknar AB den riktad sträcka ^ d v s vektor som har startpunkt (fotpunkt) i A och ändpunkt (spets) i B.

Vektorn BA är inte detsamma som vektorn ^



AB . De har motsatta riktningar.

Vi kallar AB och ^



BA för motsatta vektorer och skriver



  BA

AB ( eller BA^  AB ^ ) Vektorbeteckningar:

Vi kan beteckna vektorer, som i ovanstående exempel, med hjälp av startpunkt, ändpunkt och en pil ovanpå t ex AB , ^



CD ,



OM .

Några använder ett streck ovanpå punkterna t ex : AB , CD. Ett vektornamn skrivs vanligen med en pil ovanför t ex: u

, v , w I de flesta böcker används fetstil för vektorbeteckning, t ex: u, v, w.

Andra beteckningar kan också förekomma t ex a eller aˆ.

Längden ( beloppet) av vektorn



AB betecknas |AB och definieras som längden av ^ | sträckan AB ( d v s avståndet mellan punkterna A och B ) .

Andra beteckningar:

1. I några böcker är ||AB beteckning för längden av vektorn ^ ||



AB .

2. Om man använder en bokstav i fetstil, till ex a, för att beteckna en vektor a

då vanligt stil, a, oftast betecknar längden ( beloppet) av vektorn a:

|a| =a

Nollvektorn , som betecknas 0 eller 0, är den vektor som har längden lika med 0, d v s vektors startpunkt och ändpunkt sammanfaller. Nollvektorn saknar riktning.

Alltså AA = 0 , ^



MM = 0 ,



PP = 0 .

Enhetsvektorer. En enhetsvektor är en vektor med längden 1. ( En enhetsvektor kallas ibland för normerad vektor) Vi behöver ofta en enhetsvektor som har samma riktning med en given vektor v 0 .

En sådan enhetsvektor e

får vi genom att dela v

med dess längd | v| , v v

e^ _ ^

|

|

 1

Definition1. Låt



AB och



CD vara två vektorer skilda från 0 . Vi säger att



AB och



CD är lika vektorer, och skriver AB^  CD^ om de har samma riktning (dvs. vektorerna är parallella och är lika orienterade) och dessutom har samma längd.

Alltså, för två vektorer AB och ^



CD , som är skilda från 0 , gäller:

ab CD AB^  ^ 









































längd) samma har och

dvs (

|

| |

| 3.

riktning samma

har e orienterad lika

är och 2.

parallella

är och . 1

CD AB

CD AB

CD AB

CD AB

CD AB

Med andra ord får vi parallell förflytta geometriska vektorer i rummet.

Exempel:

Nedanstående vektorer är lika

d c b

a   







Viktigt: Om två vektorer är lika , dvs AB^  CD^ betyder detta inte att A=B och C=D .

Men, om två vektorer är lika och dessutom har samma startpunkt då måste deras ändpunkter sammanfalla!

Alltså AB^ AD^ BD

======================================

Definition 2. Låt a och b

vara två vektorer skilda från 0 . Vi säger att a

och b

är motsatta vektorer, och skriver a b

  om de har motsatt riktning (dvs. vektorerna är parallella men motsatt orienterade) och dessutom har samma längd.

Alltså, för två vektorer a och b

, som är skilda från 0 , gäller:















längd) samma har och dvs (

|

| |

| . 3

n orientatio motsatt

har och 2.

parallella är

och . 1

b a

b a

b a

b a

b

a    

 

 

 

Exempel:

a b

b

a 

 

=====================================

Räkneoperationer med geometriska vektorer.

Multiplikation av en vektor med tal (= skalär).

Definition 3.

Låt λ vara ett reellt tal och v

en given vektor.

1. Om λ=0 eller 0

 

v då är 0

 

v .

2. Om λ ≠ 0 och v 0 då med  menas den vektor som har v ( i) längden = | | |v|

  och (ii) samma riktning som v

om λ > 0, motsatt riktning om λ < 0 Exempel: Vektorn a

är given i nedanstående figur.

a

Skissera (rita) vektorerna a

3 , a 5 .

1 , a

 och a

2 Lösning:

-a -2a

a 3a

1.5a

Addition av vektorer

För att addera två geometriska vektorer a och b

placerar vi startpunkten för b

i spetsen på a

( vi parallellförflyttar vektorn b

så att startpunkten tillb

hamnar på ändpunkten till a ) . Då är summan a bden vektor som har startpunkt i a

:s startpunkt och ändpunkt i b

:s ändpunkt.

a b a

+ b

A

B C

Definition 4.

Låt a  AB^

och b BC^

. Då är ab AC^

På liknande sätt får vi summan av flera vektorer v₁v₂v^_n . Vi parallellförflyttar vektorer så att ändpunkt för vektorn v^_k blir startpunkt för v^_k1. Summan blir då den vektor som har startpunkt i v₁

:s startpunkt och ändpunkt i v^_n:s ändpunkt.

Exempel: Skissera summan a b c d





 för nedanstående vektorer:

Lösning: Se nedanstående figur.

a

b c

d

d

a + b + c + A

B

C

D

E

Alltså, a b c d





 = AB^ BC^ CD^ DE^  AE^

===================================

Anmärkning: Om a och b

är skilda från 0

och ej parallella vektorerer då kan vi erhålla summan a bmed hjälp av diagonalen i den parallellogram som konstrueras med hjälp

a och b

(den här gången med gemensam fotpunkt) , se figuren nedan.

D C

A a B

a

b b

 





b b a AC

a   

Subtraktion av två vektorer a b definieras genom ab a( b) Exempel: Skissera a b för nedanstående vektorer a

och b .

Lösning: Se figuren nedan

a

b -b

====================================

Linjära kombinationer av vektorer

Definition 5. Låt ₁,₂,_n vara reella tal (= skalärer) och v^₁,v^₂,...,v^_n givna vektorer.

Vektorn ₁v₁₂v₂_nv^_n kallas för en linjär kombination av vektorerna v^₁,v^₂,...,v^_n

Exempel: Skissera vektorn v a b c 2 3 1

2  

 för nedanstående vektorer a , b

och c .

Lösning: Se figuren nedan

2a -3b

1 c

2

V

==========================================

RÄKNELAGAR

Sats 1. Följande räknelagar gäller för vektoroperationer:

a) u v v u





 ( kommutativa lagen) b) (uv)w u(vw) ( associativa lagen) c) v  v



 0 d) v v()0 e) 1v v f) 0 0

  v g) 0 0

 

h) v v v

2 1 2 1 )

(    ( distributiva lagen) i) (u )v uv ( distributiva lagen)

De flesta av ovanstående lagar följer direkt från definitionen. Andra, a) b) h) och i) bevisar man med hjälp av elementär geometri och nedanstående figurer.

T ex från figuren

följer u v AC v u







 ^ dvs egenskapen a).

Egenskapen i) visas med hjälp av likformiga trianglar och följande figurer:

för λ >0

och, för λ < 0,

[ Om λ =0 är påståendet i) uppenbart korrekt eftersom båda leden blir 0

i detta fall.]

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1. Vi betraktar en parallellogram med hörnen i punkterna A, B, C och D ( se

nedanstående figur). Låt S vara skärningspunkten mellan diagonalerna. Låt E vara den punkt som ligger i mitten av sidan AB och F den punkt som ligger på linjen genom A och C så att



  AC AF 3 .

Vi betecknar a  AB^

och b  AD^ .

Utryck följande vektorer som linjära kombinationer av a och b

. a) CA b) ^



AS c)



BD d)



DB e)



SE f)



BF g)



FE Lösning:

Anmärkning. Vi använder ofta att (enligt definitionen för vektoraddition) en vektor PQ kan ^ alltid skrivas som summan PQ^  PM^ MQ^ (där M är en godtycklig punkt).

a) CA CD DA a b

 







 ^{ }



b) AS AC a b a b 2 1 2 ) 1 2(

1 2

1    

 ^



c) BD^  BA^ AD^ a b d) DB DA AB b a a b













 ^{ }



e) SE SA AE CA AB a b a b

2 1 2

) 1 2(

1 2

1 2

1      





 ^{   }



f) BF^ BA^AF^ a^3AC^a^3(a^b^)2a^3b^

g) FE FA AE AC AB a b a a b

2 3 5 2

) 1 ( 2 3

3 1     







 ^{   }



Uppgift 2. Förenkla följande uttryck utan att rita motsvarande figurer:

a) AB^ DA^ PC^ BP^ b) AB^ CB^ CD^ Lösning:

a) Vi skriver om summan ( vi faktisk använder den kommutativa lagen) för att få att andra vektor startar i ändpunkten för första vektor, att tredje startar i slutet av andra och att fjärde startar i slutet av tredje vektor:

















 DAPCBPDAABBPPC DC AB

b) Vi använder relationen: CB^ BC^













 CBCD ABBCCDAD AB

Svar: a) DC b) ^



AD

I nedanstående uppgifte använder vi ofta fäljande två omskrivningar av en vektor MN : ^ 1. Enligt definitionen för vektoraddition kan vi alltid skriva om en vektor



MN som summan





 MOON

MN ( för en godtyckligt vald punkt O i rummet).

2.



  NM

MN (MN och^



NM är två motsatta vektorer ---

Uppgift 3. Låt O, A och B vara tre punkter i rummet. Uttryck vektorn



AB som en linjär kombination av vektorerna OA och ^



OB . (se figuren nedan)













  AOOBOAOBOBOA AB

Svar.





 OBOA AB

Uppgift 4.

Låt S vara mittpunkten på sträckan A B ( se figuren nedan). Låt vidare O vara en (godtyckligt vald) punkt i rummet.

Uttryck vektorn OS som en linjär kombination av vektorerna ^



OA och



OB Lösning:

























 OAAS OA ABOA AOOB OA OAOB  OA OB

OS 2

1 2 ) 1 2(

) 1 2(

1 2

1

Svar:





  OA OB

OS 2

1 2 1

---

Många satser i geometrin kan vi härleda och bevisa med hjälp av vektorer. Ett exempel har vi i nedanstående exempel där vi bevisar att för triangelns tyngdpunkt T gäller

( ) 3

1 ^{  }

  OAOBOC OT

Uppgift 4. Låt ABC vara en triangel. Vi betecknar med A1, B1, C1 mittpunkter på BC, AC och AB. Låt vidare T vara skärningspunkten mellan medianer AA1 och BB1.

(En sammanbindningssträcka mellan triangelns hörn och motstående sidas mittpunkt kallas median. )

a) Bestäm i vilket förhållande delar punkten T sträckan AA 1 .

b) Visa att den tredje median CC1 går genom samma punkt T, (dvs att medianerna i en triangel skär varandra i en enda punkt . Punkten T kallas triangelns tyngdpunkt)

c) Visa att ( )

3

1 ^{  }

  OAOBOC OT

Lösning:

a) Vi betecknar med x den ”okända” kvoten mellan AT och AA1. Alltså, vi söker x så att AT^ xAA^₁ .

På samma sätt söker vi talet y så att BT^  yBB^₁ Vidare betecknar vi a AB^

och b  AC^

och uttrycker AT som en linjär kombination av ^ a och b

på två olika sätt:

i) xb

xa a b a x BA AB x AA x

AT     

2 )) 2

2( ( 1 )

( ₁

1      

 ^{  }

 (*)

Andra sätt att beräkna vektorn AT : Vi går genom punkten B. ^

ii) yb

a y b

a y a AB BA y a BB y AB BT AB

AT      

) 2 1 ( 2 ) ( 1 )

( ₁

1          







 ^{     }

 (**)

Från (* ) och (**) har vi yb a y xb

xa   

) 2 1 2 (

2    

eller ( om vi skriver a b

, på var sin sida)

x b a y

x y  

2) (2 ) 2 1

(     (***) Eftersom a b

, är icke parallella vektorer är (***) möjlig endast om följande två villkor är uppfyllda

0 2 y1

x och 0

2 2y x 

.

Från 0

2 2y x 

har vi x som vi substituerar i y 1 0 2x y 

och får

3 1 2

2 0 3

2 1  x  x x x

. Därför

3

 2

 x

y .

Alltså, vi har fått





  ₁  ₁

3 2AA AA

x

AT och





  ₁  ₁

3 2BB BB

y

BT .

Därmed 2/ 3 delar av medianen AA1 ligger mellan hörnet A och T och 1/3 mellan T och sidans mittpunkten A1.

Alltså T delar AA1 i förhållandet 2:1.

b) Låt S vara skärnings punkt mellan den tredje medianen CC1 och medianen AA1.

( Vi ska visa att S och T sammanfaller och därmed blir det exakt en skärningspunkt för alla tre medianer.)

Vi har fått i a) delen att ^  ^₁ 3 2AA

AT . På samma sätt som i a) får vi att



  ₁

3 2AA

AS .

Därmed AT^  AS^ .

Eftersom AT och ^ AS^ är lika vektorer med gemensam startpunkt måste deras ändpunkter sammanfalla.

Därför är S=T.

Vi har bevisat att den tredje medianen går genom skärningspunkten T för de andra två medianer. Alltså alla tre medianer går genom en enda punkt.

c) Vi använder a och b delen och beräknar OT : ^ ) 3(

2 3

2

1 1















 OAAT OA AA OA AOOA OT

)]

2( [ 1

3

2 ^{  }

    

OA OA OB OC





  

 OA OB OC

3 1 3 1 3

1 , vad skulle bevisas.