EXAMENSARBETE
Problemlösning
En studie av gymnasielärares uppfattningar om problemlösning i matematikundersvisningen
Kjell Ernstsson
Lärarexamen, grundnivå Lärarexamen 270/300/330 hp
Luleå tekniska universitet
Institutionen för konst, kommunikation och lärande
Problemlösning
-En studie av gymnasielärares uppfattningar om problemlösning i matematikundervisningen
Författare: Kjell Ernstsson Handledare: Anna Klisinska
Examinator: Ingmarie Munkhammar
FÖRORD
När jag började med denna uppsats kändes det som att uppförsbacken var lång och vägen till ett färdigt resultat kändes avlägsen. Denna känsla utbyttes relativt snart mot känslan av att kunna utföra detta arbete inte var alltför långt borta. Också känslan av att utföra något som i slutänden har betydelse för mitt kommande yrke växte sig allt starkare ju längre tiden gick.
Till slut stod jag där med ett färdigt arbete i handen och känner mig nu mäkta stolt över vad jag åstadkommit under dessa veckor som jag har arbetat med uppsatsen.
Jag vill tacka mina informanter för att ni ställt upp och låtit er intervjuas av mig. Utan er hade det inte blivit någon uppsats överhuvudtaget. Jag vill även tacka min handledare Anna Klisinska för hennes kunskaper inom området, och de goda råd hon delat med sig av. Sedan vill jag tacka min sambo för att hon stått ut med mina tankar och åtskilliga timmars funderande och arbetande med min uppsats. Sist men inte minst vill jag tacka mina studiekamrater för en givande och rolig tid vid LTU.
Ett stort TACK till er alla!
Luleå, mars 2011 Kjell Ernstsson
ABSTRAKT
Syftet med studien var att om möjligt försöka ge en beskrivning till de metoder som används i matematikundervisningen vid problemlösning inom gymnasieskolan, samt se huruvida lärarna tar hänsyn till läroplanen när det gäller problemlösning i undervisningen. Jag har i denna studie använt mig av en kvalitativ metod och intervjuat fem gymnasielärare med olika grad av erfarenhet från yrket som matematiklärare. Min slutsats som jag kan dra från studien är att problemlösning används i undervisningen, men inte i den grad som lärarna själva skulle önska. Detta beror till stor del på tidsbrist enligt de intervjuade lärarna. Om man ser till lärarnas syn på problemlösning, stämmer den väl överens med de gällande styrdokumenten som lärarna har att förhålla sig till, nämligen att problemlösning är ett viktigt inslag i utvecklingen av elevernas kunskaper i matematik.
Nyckelord: Problemlösning, gymnasieskolan, matematik, lärande.
INNEHÅLL
INLEDNING ... 1
Problemlösning enligt styrdokumenten ... 1
Problemlösning utifrån målbeskrivningen ... 2
SYFTE ... 3
Forskningsfrågor ... 3
TEORETISK BAKGRUND ... 4
Problemlösning ... 4
Problemlösningsbegreppet ... 5
Polyas modell av problemlösning ... 7
Lesters fem faktorer i problemlösningens natur ... 7
Wyndhamns kognitiva fält ... 8
Problemlösning i undervisningen ... 9
METOD ... 10
Datainsamling ... 10
Urval ... 10
Genomförande ... 11
Databearbetning ... 12
Tillförlitlighet ... 12
Reliabilitet ... 12
Validitet ... 13
Etik ... 13
RESULTAT ... 14
Resultat ... 14
Att arbeta i grupp ... 14
Problem att finna bra uppgifter ... 14
Fördelar med problemlösning enligt informanterna ... 15
Nackdelar med problemlösning enligt informanterna ... 16
Vad står det i läroplanen respektive kursplanerna? ... 16
Lärarnas egna definitioner av problemlösning... 17
DISKUSSION ... 19
Resultatdiskussion ... 19
Lärarnas definitioner av problemlösning ... 19
Hur ser lärarnas tolkning av problemlösning ut, kopplat till läroplanen, Lpf 94? ... 19
Hur beskriver lärarna själva att de använder sig av problemlösning i sin undervisning? . 19 Metoddiskussion ... 20
Avslutande reflektioner ... 21
Fortsatt forskning ... 22
REFERENSER ... 23
BILAGA 1 ... 24
1
INLEDNING
Ett av skolans allra viktigaste mål är att ge eleverna handlingsberedskap för livet efter skolan.
För matematikundervisningens del innebär det att eleverna skaffar sig de kunskaper och färdigheter som de kan ha nytta av i olika sammanhang efter skolan. Dessa erfarenheter ska hjälpa eleven att veta i vilka situationer olika kunskaper kan användas för att lösa olika typer av problem.
Problemlösning inom matematiken har alltid intresserat mig, eftersom det är en viktig del som kan bidra till en bättre förståelse av matematiken. Att lära sig de matematiska grunderna är naturligtvis också av stor vikt, men som ett komplement till denna grund, för att förstå och tänka utifrån ett matematiskt perspektiv är det viktigt att arbeta med problem. Erfarenheter av min egen skolgång är att det inte har lagts någon större vikt vid problemlösning, utan undervisningen har till stor del varit inriktad på mängdräkning och upprepning, såväl i de tidigare åren som under de senare åren och under gymnasietiden. De elever som har varit snabba har på sin höjd kunnat ägna sig lite tid till problemlösning, medan de svagare eleverna inte har fått möjlighet till detta. Förståelsen av de problem som eleverna kan ha vid problemlösning och hur lärare idag ser på området, kommer att vara en stor hjälp i mitt kommande yrkesliv både för att kunna variera undervisningen och för att skapa goda möjligheter för att eleverna ska få så bra hjälp som möjligt till lärande.
Problemlösning enligt styrdokumenten
I Läroplanen för de frivilliga skolformerna, Lpf 94, står det under rubriken Mål och riktlinjer att skolan ska sträva mot att varje elev i gymnasieskolans nationella och specialutformade program inom den gymnasiala vuxenutbildningen även ska kunna använda kunskaper som redskap för att formulera och pröva hypoteser och lösa problem. Dessutom står det att läsa under rubriken Mål att uppnå, att det är skolans ansvar att varje elev som har slutfört ett nationellt eller specialutformat program eller sådant individuellt program som är förenat med yrkesutbildning under anställning, s.k. lärlingsutbildning inom gymnasieskolan eller gymnasial vuxenutbildning, kan formulera, analysera och lösa matematiska problem som är av betydelse för kommande yrkes- och vardagsliv (Lpf 94).
I gymnasieskolans kursplan för matematik står det skrivet under rubriken Ämnets karaktär och uppbyggnad:
Matematik är en mänsklig tankekonstruktion och matematisk problemlösning är en skapande aktivitet. Samtidigt kräver matematiken uthållighet i tankeverksamhet och förståelse för att problemlösning är en process som kräver tid (s.1).
Vidare står det att läsa:
En viktig del av problemlösningen är att utforma och använda matematiska modeller och på olika sätt kommunicera om de matematiska idéerna och tankegångarna (s.1).
2
Problemlösning utifrån målbeskrivningen
Kursplanernas mål med problemlösning är att eleverna ska få chansen att uppleva matematisk skönhet, känna tillfredsställelse och glädje genom att lösa problem. Dessutom ska eleverna upptäcka att det finns olika typer av problem, som också kan lösas på olika sätt. Att utveckla matematisk kreativitet genom problemlösning är ett annat mål i kursplanen tillsammans med att eleverna ska få träna sig i att formulera och konstruera uppgifter samt pröva olika hypoteser för att på ett sådant sätt lösa olika problem (Lpf 94). Detta är något som Wyndhamn (2000) beskriver som ett genom-perspektiv.
I kursplanen beskrivs problemlösning som en viktig del av matematikundervisningen där eleven tränar kreativitet, uthållighet och tankeverksamhet, både i grupp och enskildhet (Skolverket, 2000).
3
SYFTE
Syftet med studien är att om möjligt försöka ge en beskrivning till de metoder som används i matematikundervisningen vid problemlösning inom gymnasieskolan, samt se huruvida lärarna tar hänsyn till läroplanen när det gäller problemlösning i undervisningen.
Forskningsfrågor
Hur ser lärarnas tolkning av problemlösning ut, kopplat till läroplanen, Lpf 94?
Hur beskriver lärarna själva att de använder sig av problemlösning i sin undervisning?
4
TEORETISK BAKGRUND
Nedan redovisas den forskningslitteratur som är relevant i förhållande till den studie som gjorts. Bland annat presenteras olika forskares syn på problemlösning.
Problemlösning
Människans tänkande påverkas av och påverkar det sammanhang eller den miljö som hon befinner sig i. Detta enligt de sociokulturella ansatser som Vygotsky introducerade redan på 1920-talet. Vygotskys teorier om kognitiv utveckling betonar vikten av dynamiken mellan det sociala och individuella. I den nu gällande kursplanen, Lpf 94, betraktas problemlösning som ett medel till att uppnå matematiskt tänkande. Genom problemlösning ska man lära sig att utveckla matematiska tankar och idéer, upptäcka samband samt förstå och kunna använda logiska resonemang. (Wyndhamn, 2000).
Att kursplanen tar upp problemlösning som ett viktigt område och moment i utbildningen beskriver Hagland, Hedrin och Taflin (2005) i boken Rika matematiska problem. Deras tolkning av vad eleverna ska få tillfälle att utveckla är sin kreativitet och problemlösningsförmåga och därigenom få uppleva matematikens estetiska värden och dess logiska uppbyggnad. Kursplanen fortsätter med att betona vikten av att eleverna får stärka sin förmåga att dels kunna tolka matematiska problem och dels kunna hitta matematiska modeller för att finna en lösning på det aktuella problemet. Kursplanen tar även upp att problemlösning kan gynnas av att eleverna sitter och diskuterar i grupper och jobbar i projektform.
Kursplanen fokuserar på att problemlösning är en process, som måste få ta tid att utvecklas hos eleverna. Målet för hela matematikundervisningen ska uppnås via två olika typer av mål, mål att sträva mot och mål att uppnå. Kursplanens intention är att målen ska uppnås med strävansmålen, som hjälp längst vägen. Att via problemlösning utvecklas mot strävansmålen är en nyckel för att därigenom kunna klara uppnåendemålen.
Ahlberg (1992) beskriver i sin avhandling att ett matematiskt problem, kan ses som ett förhållande mellan eleven och det aktuella problemet. Det som kännetecknar ett problem är att uppgiften inte har en tydlig strategi för hur det ska lösas. Det som för en elev är ett problem behöver inte vara ett problem för en annan elev, utan kan upplevas som en rutinuppgift för denne. Taflin (2007) för ett liknande resonemang och beskriver att problem som redan är lösta, är sällan ett problem vid ett senare tillfälle. Författaren skriver vidare att motsatsen till problemlösning är, som tidigare nämnt rutinproblem, där eleven vet hur problemet ska lösas. Ett problem med problemlösning är att olika elever har olika förutsättningar och erfarenheter för att lösa dessa.
5
Problemlösningsbegreppet
Eftersom det inte finns någon entydig definition om vad problemlösning är, fokuseras här den forskning som har störst relevans för studien, bland annat utifrån Taflins resonemang. Att det inte finns någon samstämmig definition gör att de olika författarnas syn på problemlösning i vissa punkter är likadan, medan den på andra punkter skiljer sig åt.
Redan 1969 beskrev Kilpatrick i en artikel betydelsen av problemlösning inom matematikundervisningen. Han belyste lärarnas roll och att de behöver mer kunskap i hur man använder problemlösning i undervisningen och på vilket sätt det i sin tur ökar det självständiga och kreativa tänkandet hos eleverna. Tecken finns dock att vissa lärare har börjat låna tankar och idéer från psykologins kognitiva processer, och därmed har vi kommit en bit på vägen, åt rätt håll med problemlösning som en del av undervisningen i matematik (Kilpatrick, 1969).
I matematikundervisningen finns det olika typer av uttryck som man arbetar med, exempelvis tal, uppgifter och problem. De olika uttryckstyperna kan definieras som följande:
Rutin- eller standarduppgifter, ren färdighetsträning som inte leder till några svårigheter för den person som löser den.
Textuppgifter, givna med text utöver eventuella matematiska symboler. Texten visar på en tillämpning av matematiken. Kan vara av typen problem, om den uppfyller dessa tre villkor som anges nedan.
Problem, är en uppgift som:
1. en person vill eller behöver lösa,
2. personen ifråga inte har en på förhand given procedur för att lösa och 3. det krävs en ansträngning av henne eller honom att lösa.
Det innebär att en given uppgift för en person kan vara ett problem, medan samma uppgift för en annan person kan ses som en ren rutinuppgift (Hagland et al, 2005).
Problemlösning är ett centralt begrepp inom matematiken, som innebär att problemet som ska lösas inte är av standardtyp, utan utgörs av ett okänt problem. Den som ska lösa problemet måste först och främst ha förmågan att kunna tolka problemet, för att kunna finna en lösning på det. Problemlösning kan vara ett utmanande tankearbete, som på ett bra sätt kan leda till bland annat olika grupparbeten. En av de viktigaste aspekterna vid problemlösning är att öva sig på det matematiska resonemanget, att skapa en matematisk diskussion och starta en dialog som är en väsentlig del av matematiklärandet (Taflin, 2007). Även Möllehed (2001) framhåller vikten av att kunna läsa och tolka ett problem. Han visar i sin studie att en stor del av elevernas bristande kunskaper inom problemlösning ofta beror på svag textförståelse.
Eleverna misstolkar därför informationen i uppgifterna, förstår inte sammanhanget i texten och feltolkar detaljer.
Ahlberg (1992) skriver att eftersom eleverna diskuterar skillnader och likheter i olika problem och jämför olika gruppers respektive lösningar på problemen när de arbetar med problemlösning, blir eleverna uppmärksamma på att det finns olika lösningar på ett och samma problem. Eller som hon skriver:
En matematikundervisning där eleverna ges tillfälle att se problemen i olika perspektiv och reflektera över dem, ger eleverna utökade möjligheter att inta ett öppet förhållningssätt till problemet. De inriktar sig då mot problemets innehåll, ser
6
problemets olika aspekter, relationer mellan dem och uppfattar problemets matematiska struktur (s. 306).
Elevernas förståelse för matematik förändras när de får samarbeta i grupper med andra elever.
De får tillfälle att ställa frågor och ge uttryck för egna funderingar. Eleverna blir mer medvetna om hur de själva tänker när de får diskutera och har möjlighet att ställa frågor till de andra i gruppen (Ahlberg, 2001). Att eleverna får en bättre förståelse ligger i linje med den ryske utvecklingspsykologen Vygotskys teorier som Dysthe (2003) beskriver i sin bok. Hon beskriver Vygotskys teorier om den proximala utvecklingszonen som innebär att eleverna genom att samarbeta med andra personer som har högre eller andra kunskaper inom ett område, lär sig saker som de annars inte skulle kunna göra på egen hand.
Problemen som eleverna ska jobba med inom problemlösning, ska inte vara av standardtyp från läroböcker utan de ska vara formulerade på ett sådant sätt att de ger eleven möjligheten att välja strategi och arbeta kreativt. Problemen ska även leda eleven vidare att själv träna på att formulera problem. Elevens respons på en problemuppgift ska analyseras utifrån att det finns en mångfald av olika lösningar på problemet och inte som traditionen har varit, att alla elever ska söka och finna samma lösningsmetod på ett givet problem. Det uppfattas då som om att problemet bara har en korrekt lösning. Författaren beskriver också problemlösning som att kunna tolka ett problem korrekt och sedan lösa det genom att välja lämpliga matematiska funktioner och metoder för att till slut uppnå ett bestämt mål. De verktyg som man väljer kan vara val av räknesätt eller användning av matematiska symboler (Taflin, 2007).
Malmer (1999) beskriver att dagens undervisning fokuserar för mycket på att enbart komma fram till rätt lösning på en uppgift. I och med det arbetssättet försvinner betydelsen av förståelsen för matematiken i vardagsproblemen. De beräkningar och överväganden som måste göras i huvudet vid vardagsproblem, förknippas i många fall inte med matematiken i skolan. Vidare skriver Malmer att skolan dock i och med dagens tekniksamhälle kanske står inför en förändring där logiskt tänkande och förmågan att analysera olika problem värderas högre än det vanliga mekaniska räknandet som undervisningen till stor del utgörs av idag.
Varje matematisk idé, i olika matematiska områden, har sina specifika procedurer och lösningar. Betydelsen av att träna detta är stor, och det matematiska samtalet kan vara av betydelse både för att förstå problemet och för att komma fram till en lösning av problemet (Taflin, 2007).
Kursplanerna tillsammans med en syn på matematik som bildningsämne, borde forma en ny syn på inlärning av matematisk kompetens. Om problemlösningsförmåga ses som en del av den matematiska kompetensen och som ett led i att kunna genomföra kreativa matematiska resonemang, måste eleverna under hela sin skolgång få tillfälle att utveckla dessa förmågor.
För att eleverna ska lära sig förstå och kommunicera olika matematiska tankeprocesser och inte bara kunna använda givna matematiska modeller, måste läraren organisera sin undervisning. Utgångspunkten bör vara väl valda problem som utvecklar just dessa förmågor (Taflin, 2007).
7
Polyas modell av problemlösning
När man diskuterar problemlösning i matematik är det svårt att undgå Polyas klassiska beskrivning av problemlösningens olika steg. Författaren redogör i sin bok How to solve it (Polya, 1948) för fyra olika steg som är viktiga vid problemlösning. Dessa fyra steg är:
1. Att förstå problemet
Första steget innebär inte bara att man ska förstå problemet i allmänhet, utan verkligen förstå hela problemet i minsta detalj. Man ska ha klart för sig vilka data som finns tillgängliga, vilka villkoren är och naturligtvis också vad det är man önskar få svar på. När det är utrett ska man även reflektera över om det är möjligt att komma fram till en lösning på problemet utifrån givna fakta i uppgiften.
2. Att göra upp en plan
Det andra steget är att göra upp en plan på för hur man ska lösa uppgiften. Här kan man fundera över om man har löst någon liknande uppgift tidigare, som kan vägleda en på vägen.
Man bör även göra en kontroll på att man använt sig av de fakta som finns tillgängliga och att man gärna kan tillföra figurer eller andra saker som kan vara användbara för att visualisera problemet. Ett annat alternativ är att göra variationer på problemet för att kontrollera lösningsmetoden som man har kommit fram till.
3. Att genomföra planen
Under själva genomförandet ska man kontrollera varje steg av lösningen och hålla sig till den i förhand uppgjorda planen. Det måste finnas en vilja av att man ska lösa problemet. Om viljan är stark nog lämnar man inte uppgiften olöst, utan man ser till att inte sluta förrän en lösning av problemet är upprättad.
4. Att se tillbaka på lösningen
När man har löst uppgiften är det dags att gå tillbaka och kontrollera lösningen. Finns det enklare sätt att lösa uppgiften på? Går det att lösa uppgiften på mer än ett sätt? Skulle man kunna generalisera lösningen på ett sådant sätt att den även kommer att omfatta andra problem? Detta är några frågor som man bör ställa sig själv när uppgiften är löst (Möllehed, 2001).
Lesters fem faktorer i problemlösningens natur
Det finns också nackdelar med att använda problemlösning i undervisningen. Problemlösning i undervisningen kan vara svårt eftersom det är ett mycket komplext område. Det finns heller ingen metod som är speciellt framtagen för problemlösning, som varken är lätt att följa eller lätt att genomföra, och som hjälper eleverna att förbättra sitt kunnande inom matematiken. För att försöka beskriva detta skriver Lester i sin artikel Problemlösningens natur att problemlösningsförmågan består av åtminstone fem av varandra beroende kategorier av faktorer. Dessa fem kategorier är:
1. Kunskap och användning
Den första kategorin innefattar hur man får och tillämpar sina matematiska kunskaper.
Dessutom hör det till denna kategori allt kunnande som kan stödja individens prestationer i matematik.
8 2. Kontroll
Den andra kategorin handlar om hur man på bästa sätt ordnar och fördelar sina resurser för att på ett lyckosamt sätt kunna hantera olika matematiska situationer som kan uppstå. Detta innefattar hur man planerar, utvärderar och styr sitt tänkande.
3. Uppfattning av matematik
Den tredje kategorin innebär vad man har för syn på matematik och hur man bygger upp subjektiv kunskap om sig själv, om matematik, omgivningen och de moment som behandlas i matematikuppgifter. Dessa uppfattningar skapar attityder och känslor för hur man kommer att hantera matematiska situationer.
4. Affekter
Den fjärde kategorin inkluderar ens känslor och attityder. Forskningen brukar i regel koncentrera sig på kopplingen mellan attityder och prestationer. Lester skiljer på attityder och känslor genom att betrakta attityder som egenskaper hos personen medan känslor är situationsspecifika.
5. Sociokulturella sammanhang
Lesters femte kategori om sociokulturella sammanhang visar på att eftersom människor lever i en verklighet som både påverkar och påverkas av mänskligt beteende måste man ta hänsyn till hur sociokulturella faktorer påverkar bildandet av kunskap. En utveckling av idéer och förståelse för hur dessa idéer växer fram i sociala och kulturella sammanhang spelar en betydelsefull roll för hur individens möjlighet till framgång i matematik sker, både i och utanför skolan (Lester, 2000).
Wyndhamns kognitiva fält
Wyndhamns kognitiva fält, som finns att läsa om i rapporten Problemlösning som metafor och praktik, beskriver ett fält som delas upp i två dimensioner. Den första dimensionen beskriver relationen mellan kunskap och problemlösning och handlar om hur man kan använda sina tidigare kunskaper och färdigheter samt inlärning av nya metoder. Den andra dimensionen handlar om förhållandet mellan kontext och problemlösning och syftar på tankeprocessen och arbetssätt. Dessa dimensioner mynnar ut i fyra kognitiva fält som beskrivs i rapporten och kan visualiseras i denna figur.
TILLÄMPNING
B A
ARBETSSÄTT TANKEPROCESS
C D
INLÄRNING
Figur 1. Visualisering av problemlösning.
9
Dessa fyra fält, som betecknas A, B, C och D, belyser i sin tur fyra olika varianter att beskriva problemlösning på. I fält A bygger problemlösningen på att hitta olika strategier, metoder och tekniker vid problemlösning. Vissa kunskaper måste besittas men här måste tankarna sorteras och administreras på lämpliga sätt. Oftast måste problemlösaren på ett kreativt sätt leta sig fram mot en lösning.
Fält B tar upp olika uppgifter som är bra för problemlösning. Dessa uppgifter ska innehålla meningsfulla sammanhang som återspeglar olika relevanta vardagsproblem. Dessa problem kan bearbetas antingen enskilt eller i grupp. Här kan problemlösningen tas upp i olika teman och ska bidra till möjligheten att lära sig nya saker eller tillföra nya synsätt på redan befintliga kunskaper hos eleverna. Detta är något som också stämmer överens med Mölleheds (2001) teorier som tar upp att om undervisningen är vardagsanknuten är det lättare för eleverna att koppla ihop kunskaperna med sina egna upplevelser från olika vardagssituationer.
Fält C beskriver hur man tillsammans med andra kan diskutera och analysera olika samband som ska leda fram till det som beskrivs under fält B. Det som ryms i fält C ska leda till att eleverna ökar sin matematiska medvetenhet. Detta är något som också Ahlberg (2001) beskriver, att elevernas förståelse för matematiken ökar när de får diskutera i grupper med andra elever.
Verksamheterna i fält C är en förutsättning för fält D. De tankeprocesser som ryms i fält D står för ett resonerande och argumenterande samt att jämföra och nyansera de tankar som läggs fram. Detta resonerande och argumenterande ska leda fram till ett befrämjande av förståelse och ny kunskap (Wyndhamn, 2000).
Problemlösning i undervisningen
Hela matematiken är utvecklad utifrån viljan att lösa problem. För en matematiker är detta självklart. Därför borde det också vara självklart med problemlösning i undervisningen. Om inte viljan att lösa problem finns, kan vi inte heller utveckla förmågan att lösa matematiska problem. För att bli en god problemlösare måste eleven diskutera sina lösningar tillsammans med andra och även formulera egna problem (Taflin, 2007).
Om undervisningen med problemlösning läggs upp på ett sådant sätt att eleverna känner att undervisningen är vardagsanknuten, kopplar de lättare ihop kunskaperna som de lär sig i skolan med deras upplevelser från vardagssituationer (Möllehed, 2001).
Hagland et al. (2005) menar att det är klassrumsdiskussionen efter avslutat problem, där eleverna får fritt spelrum att ventilera sina matematiska tankar i anslutning till problemet, som leder till att eleverna får översikt över olika lösningsmetoder som de andra grupperna har använt sig av. Detta leder till att eleverna får en mångfald av lösningsmetoder, till ett och samma problem. Problemlösningen medför även att den ger eleverna motivation till att träna och vidareutveckla kunskaperna i matematik. Eleverna får även tillfälle att träna på att använda egna förvärvade kunskaper i problemlösningen.
10
METOD
I metodavsnittet behandlas metoden för undersökningen, där datainsamlingsmetod, urval, genomförande och databearbetning presenteras. Här delges även de risker som kan påverka undersökningens tillförlitlighet samt ett etiskt ställningstagande.
Datainsamling
I studien användes intervju som metod för att kunna svara på de forskningsfrågor som ska leda fram till syftet med studien. Anledningen till valet av intervju som metod, är att på så sätt försöka sätta sig in i hur intervjupersonerna tänker och resonerar runt begreppet problemlösning. Detta ligger i linje med Kvale (2009) och Starrin och Renck (1996) som menar att intervju är en lämplig metod för att upptäcka och förstå människors uppfattningar och syn på ett visst fenomen. Intervjupersonerna får genom intervjun möjlighet att formulera sina egna tankar i ord. Med intervju som metod är det inte möjlig att generalisera resultatet till en större population (Kvale, 2009). Detta har jag inte heller haft för avsikt att göra. Jag har valt att göra enskilda intervjuer, för att låta varje intervjuperson komma till tals och lättare kunna fånga upp och följa upp varje lärares beskrivningar under samtalets gång.
Ett alternativ till att använda intervju som metod, kan vara att istället utforma en enkät. Med en enkät kan man nå ut till en stor mängd till en relativt liten tidsåtgång (Trost, 2007). Detta är dock inte meningen med min studie, utan jag vill snarare beskriva mer djupgående tankar runt ett begrepp och då är intervju en lämplig metod. Jag befarade också att en enkät inte skulle ge möjlighet till lika uttömmande svar som intervjuer ger möjlighet till.
Som ett komplement till intervjuer kan också observationer göras. Observation som metod är bra när man vill studera elev- eller lärarbeteenden som sker i klassrummet (Johansson, 2001).
Eftersom problemlösning inte nödvändigtvis är något som används hela tiden i undervisningen, kan det vara svårt att planera in sina observationer utifrån detta. Vidare avses i studien att få svar på ett fåtal, mer djupgående frågor och i huvudsak ta del av lärares resonemang runt begreppet. Även om observationer säkerligen kunde varit intressant och berikande för studien. Dessutom är tidsaspekten, utifrån den avsatta tiden för uppsatsen, en faktor i sammanhanget och en avgränsning vid mitt val av enbart en metod för datainsamling.
Urval
Trost (1997) framhåller att det vid kvalitativa studier är av stor vikt att få fram variationer inom den undersökta populationen. För att undvika likriktade svar, genomfördes vad Patton (1987) benämner maximalt variationsurval. Genom ett maximalt variationsurval ges möjlighet att fånga och beskriva centrala delar som utgör gemensamma mönster för en stor andel individer eller unika upplevelser hos enstaka individer. Således eftersträvades en viss spridning gällande kön, ålder, arbetade år och arbetsplats.
I studien har jag använt mig av fem informanter, två kvinnor och tre män. Antalet föreföll lämpligt utifrån min avsikt med studien och gav mig tillräckligt med material att analysera.
Samtliga tillfrågade ställde sig positiva till deltagande i undersökningen. De är alla utbildade gymnasielärare i matematik och har jobbat i yrket mellan 3 och 28 år. Att intervjua både de med mer erfarenhet och de med mindre erfarenhet av yrket, kan ge ett större spann av tankar.
Detta jämfört med att enbart intervjua personer som jobbat ungefär lika länge som
11
matematiklärare. Förhoppningen var alltså att fånga en bredd av upplevelser runt problemlösning. Jag kom i kontakt med lärarna sedan tidigare VFU-placeringar. VFU är en förkortning av verksamhetsförlagd utbildning, som varit förlagda på de skolor som dessa informanter tjänstgör. Att de intervjuade återfinns på olika skolor, ses inte som någon nackdel, utan är ytterligare ett led i att fånga upp olika uppfattningar om problemlösning.
Genomförande
När jag hade läst in mig på forskningslitteraturen, påbörjade jag arbetet med att skapa en intervjuguide (se bilaga 1), som skulle hjälpa mig att få svar på de frågeställningar som jag hade ställt upp. Denna intervjuguide utgjorde basen för mina intervjuer. Jag valde att använda mig av vad Kvale benämner som en halvstrukturerad intervjuguide. Med det menas en guide som varken har helt öppna eller helt slutna frågor (Kvale, 2009). Användandet av en halvstrukturerad intervjuguide ger fördelen att ställa spontana följdfrågor under intervjun.
Detta innebär att intervjuerna inte blir exakt likadana, eftersom följdfrågorna varierar något från intervju till intervju, men vanligen handlar det om att informanterna får möjlighet att förtydliga sitt resonemang. Fördelen med det är att jag som intervjuare får möjligheten att kontrollera om min tolkning av ett svar stämmer överens med vad den intervjuade har avsett.
I intervjuguiden utgick jag från ett antal temaområden vid formulerandet av frågor. Trost (1997) poängterar att det är av stor vikt att intervjuguiden utgår från genomgående teman, men det är inte krav att intervjuerna är identiska, så länge de är jämförbara. Avslutningsvis vid intervjutillfället gavs informanterna möjlighet att göra tillägg eller ställa frågor om studien.
Kvale (2009) och Patel och Davidsson (1994) betonar vikten av att intervjupersonerna får tillräcklig information om vem som är ansvarig för undersökningen och vad dess syfte är. Jag valde därför att personligen söka upp personerna på deras respektive arbetsplatser, för att informera dem om min studie. Dessutom informerade jag dem att jag hade för avsikt att använda mig av intervju som datainsamlingsmetod och frågade dem om deltagande i min studie. Jag förklarade tydligt att det enbart rörde sig om en förfrågan. Vidare berättade jag att allt material som samlas in under intervjuerna kommer att behandlas konfidentiellt, vilket innebär att ingen utomstående kommer att veta vilka som har deltagit i undersökningen.
Samtliga tillfrågade samtyckte till deltagande i studien.
Intervjuerna ägde rum på respektive informants arbetsplats, i ett på förhand bokat grupprum, där vi inte skulle bli störda av någon. Trost (1997) menar att det är av stor vikt att platsen för intervjun tas i beaktande. Författaren menar att det är viktigt att den intervjuade känner sig trygg i miljön och att intervjun inte avbryts eller störs av utomstående. Till varje intervju avsattes en timmes tid, varje intervju tog dock inte mer än ungefär 30 minuter i anspråk. Vid intervjuerna frågade jag intervjupersonerna om jag fick lov att använda diktafon för att spela in intervjuerna. Samtliga intervjupersoner gav sitt godkännande till detta. Trost menar att det finns nackdelar med att använda diktafon/band, exempelvis att gester och minspel går förlorat. Författaren lyfter också fram en rad fördelar, exempelvis att intervjuerna kan skrivas ut i sin helhet och att fokus kan ligga på att lyssna istället för att frenetiskt anteckna allt som sägs under intervjuerna.
12
Databearbetning
Bearbetning av intervjuerna påbörjades direkt efter intervjutillfällena. Detta för att jag hade dem färskt i minnet, något som rekommenderas av bland andra Starrin och Renck (1996). Till att börja med lyssnade jag på inspelningarna och transkriberade intervjuerna ord för ord, med talspråk, precis som det sades under intervjun. Jag läste igenom utskrifterna flera gånger för att få en djupare förståelse för intervjupersonernas upplevelser. Bearbetningen genomfördes i enskildhet, för att skydda informanternas utsagor och efter avlyssningen raderades inspelningarna.
Jag bearbetade materialet efter vad Kvale (2009) benämner meningskoncentrering. Med det avses en reducering av det utskrivna textmaterialet, där centrala områden och innebörder fokuseras och redovisas. Detta arbetssätt underlättade för att kunna analysera alla intervjuer och jämföra likheter och skillnader i informanternas svar. Praktiskt gick jag tillväga så att jag klippte ut samtliga svar, på var och en av frågorna, och klistrade sedan in dem under varandra i ett nytt dokument. Sedan gick jag igenom dessa svar och valde ut de som hade relevans för syftet med min undersökning och plockade bort övrigt material. Detta material utgjorde sedan grunden för mitt arbete med resultatet. Det finns alltid en risk med att man sållar bort material som är viktig för undersökningen, men jag har försökt undvika detta genom att så noga som möjlig avväga det material som inte redovisas i min uppsats. Jag har naturligtvis strävat efter att i möjligaste mån få med det informanterna har avsett, för att få en rättvis bild av deras svar.
I nästa steg använde jag mig av vad Kvale benämner meningskategorisering. Detta innebär bearbetning av textmaterial till kategorier, för att skapa en större överblick av det reducerade textmaterialet. I denna strukturering använde jag mig av samma teman som jag utarbetat till intervjuguiden. Denna kategorisering återfinns också i resultatavsnittet, där informationen från intervjuerna presenteras utifrån dessa kategoriområden.
Tillförlitlighet
En strävan i studien har varit att upprätthålla en hög kvalitet och trovärdighet. Jag har varit medveten om den förförståelse jag har haft när jag angripit mitt problemområde och inte gått in förutsättningslöst i studien. Jag har därför strävat efter att skapa trovärdighet genom att bland annat beskriva tillvägagångssätt vid denna studie och hur bearbetning och analys av materialet har gått till. I studien har även funnits strävan efter genomskinlighet genom att vara tydlig i hur arbetet under processens gång vuxit fram. Nedan följer information om undersökningens tillförlitlighet, som enligt Kvale (2009) kan uppdelas i reliabilitet och validitet.
Reliabilitet
Reliabiliteten är ett mått på tillförlitligheten i resultatet på undersökningen. Det gäller att försöka minska riskerna på alla faktorer som kan leda till en sämre reliabilitet. En risk med kvalitativ intervju som metod är enligt Kvale (2009), som också kan försämra reliabiliteten, att frågorna kan vara ledande, vilket påverkar informanternas svar, i den riktning som man själv vill. Detta har jag haft i åtanke vid formulerandet av frågorna till intervjuguiden.
13
Validitet
Till skillnad från reliabiliteten, som mäter tillförlitligheten på undersökningens resultat, mäter validiteten om resultatet avspeglar det som är avsett att spegla (Kvale, 2009). Med det menas, om man svarar på frågeställningarna som har ställts i undersökningens syfte. En sak som kan påverka validiteten är om man inte transkriberar intervjuerna på rätt sätt, exempelvis inte skriver av ordagrant vad som sägs. Det kan ge helt andra svar än vad som informanten egentligen svarade. Något jag haft i åtanke vid arbetet med transkriberingen av intervjuerna.
Etik
Kvale (2009) menar att det är viktigt som forskare att alltid vara medveten om sin egen, aldrig objektiva, funktion i forskningsprocessen. Detta har jag strävat efter genom att utgå ifrån Humanistisk-samhällsvetenskapliga forskningsrådets (1990) forskningsetiska principer:
Informations-, samtyckes-, konfidentialitets- och nyttjandekravet. Jag har anammat dessa principer i studien genom att initialt informera de tilltänkta intervjupersoner om syftet med studien. Jag meddelade även att deltagandet var frivilligt och att de hade rätt att avbryta sin medverkan när helst de önskade. Personerna som deltog blev avidentifierade i studien.
Ytterligare ett led i strävan att skydda intervjupersonernas identitet, är att inte nämna intervjupersonernas arbetsplatser (gymnasieskolor) vid namn i studien. Avslutningsvis bör nämnas att intervjumaterialet enbart har använts i denna studie.
14
RESULTAT
Här redovisas vad som har framkommit genom de intervjuer som har genomförts. Vad lärarna har för definitioner på vad problemlösning är, hur de använder sig av detta i sin undervisning och hur de kopplar sin egen syn på problemlösning gentemot hur läroplanen är utformad.
Jag har intervjuat fem personer, som alla är utbildade gymnasielärare i matematik och jobbar vid olika gymnasieskolor i Norrbotten. Deras ålder har varierat mellan 30 och 55 år, vilket har varit en bra åldersspridning, för att få fram relevanta svar på mina frågeställningar. De har således varit färdiga gymnasielärare och arbetat i yrket under olika lång tid.
Resultat
För att redovisa vilken intervjuperson som har sagt vad används förkortningen IP, som står för intervjuperson. Personerna är även numrerade från 1 till 5. När intervjuperson 1 citeras hänvisas det således till IP1, intervjuperson 2 hänvisas som IP2 osv.
Att arbeta i grupp
En sak som flera av informanterna poängterade vikten av, var att eleverna gavs utrymme att arbeta i grupper och diskutera problemen med varandra:
…men sen har jag mer och mer börjat jobba med problemlösning i grupp i klassen där jag sätter ihop grupper som är heterogena och där de ska diskutera och komma fram till lösningar på problemen, alla ska vara delaktiga, alla ska förstå (IP3).
Denna lärare utsåg även en elev i gruppen att vara ifrågasättare. Med det menades att denna elev skulle ställa vissa frågor som till exempel: Varför blev det så här? Varför skriver vi så här? Varför gör vi si eller varför gör vi så? Detta gjordes med erfarenhet mot att de svagare eleverna, eller de elever som var svårare att få intresserade, inte vågade eller ville ställa några frågor. Förhoppningen med detta var att få med alla elever, eller som läraren sa:
De svagaste eleverna vågar sällan eller vill inte ställa frågor. Det gör jag för att förhoppningsvis få med alla, och att alla ska förstå… (IP3).
Ett annat citat av en av informanterna belyser vikten av att arbeta i grupp och få diskutera med sina klasskamrater för att komma framåt med problemet:
…men det är väldigt nyttigt för eleverna. Och så måste man ha ordentligt tilltaget med tid så man har tid att diskutera. Nu på matte D, har vi haft en period som vi har kört ganska svåra uppgifter, man löser dom inte på fem minuter, så dom [eleverna] får sitta och stångas och diskutera (IP4).
Problem att finna bra uppgifter
En annan sak som informanterna belyste var att det inte alltid är så lätt att hitta bra uppgifter att utgå ifrån när man arbetar med problemlösning, förutom de uppgifter som finns i slutet på varje kapitel i matematikböckerna. Så här tyckte några av informanterna:
15
Generellt så jobbar vi nog för lite med problemlösning, speciellt med problem som är vardagsnära för eleverna. I matte A och B är det ganska lätt, men sen blir det svårare att hitta bra uppgifter, det blir lätt lite krystat (IP4).
Några av informanterna reflekterade över att en idébank vore ett bra komplement för inspiration till nya uppgifter. Att fundera ut egna uppgifter tar alltför mycket tid i anspråk och det kan vara svårt att veta om uppgiften täcker upp det som det är tänkt att den ska göra.
Inte om man ser till de problem som finns i läromedlet, däremot tycker jag att man ska ha lite mer omfattande uppgifter, och då behöver man kanske en idébank där man kan välja problem. Där kanske ofta ens egen fantasi begränsar en och dom problem man gör själv ligger ofta i närheten av mina egna intressen och det kanske inte stämmer överens med elevernas intressen så man skulle få en bredare bas att vila på om man hade en idébank (IP4).
Vi har ingen bank med uppgifter som jag vet funkar bra utan det blir som en chansning varje gång, jag har en tanke och så hoppas jag att dom borde tänka så här och då borde dom landa i det här och då kan dom alltså lösa det men det är ju inte alls säkert att det stämmer alla gånger (IP1).
Fördelar med problemlösning enligt informanterna
Informanterna kunde se flera olika fördelar med att arbeta med problemlösning och samtliga betonade vikten av att arbeta med problemlösning. Exempelvis lyfte de fram att eleverna tränar hjärnan och drar nytta av varandras kunskaper för att själva komma framåt i sin egen kunskapsutveckling.
Att man på något sätt förankrar verktygslådan, det där kan jag ha användning av. Sen tror jag också att man tränar hjärnan när det inte är färdiguppställt. Även om man inte har så stor fallenhet så tränar man upp sig, oavsett vilken nivå man är på, till det bättre (IP4).
… att man kan dra nytta av varann och se att två stycken gör ett mycket bättre jobb än en i de allra flesta fallen och att man kan lära sig av varann och de lärdomarna tror jag ofta kan vara mer att de fastnar bättre i minnesbanken… (IP1).
En informant betonade att problemlösning är grunden i all matematik, och att det är via problemlösning som eleverna verkligen får chansen att utveckla sina matematikkunskaper:
Ja, det är då först man tillämpar de kunskaper man har. Det är först då man ser om eleverna verkligen har förstått. Matematik utan problemlösning tycker jag är ganska värdelöst. För vad ska vi matematiken till i verkligheten? Det är ju till att lösa problem (IP3).
En informant berättade hur de går till väga när de arbetar med de olika uppgifterna och beskrev det på det här sättet:
Och det är ju det som i regel är det svåra, att gå från själva problemuppställningen och kunna tolka den, för att sen kunna göra en ekvation eller vad det landar i. Det är lite så
16
vi jobbar, vi går igenom ett avsnitt med nån matematisk modell och sen försöka koppla den till vardagsproblem (IP1).
En annan informant tryckte mycket på vikten av att eleverna får använda sin kreativitet vid problemlösning vilket uttryckes som nedan:
Det handlar om att kombinera de kunskaper som man har lite friare, komma på vilka matematiska verktyg man ska använda och vara kreativ (IP3).
En av informanterna beskriver att även kunskaper som eleverna har lärt sig vid andra tillfällen än vid matematikundervisningen i skolan kommer till användning när de jobbar med problemlösning. Informanten beskrev det på det här viset:
…eleverna kan använda sina kunskaper för att komma på lösningar på olika problem.
De kan ha kunskaper som kommer från annat håll och som inte är tydliga för mig som lärare (IP2).
Nackdelar med problemlösning enligt informanterna
När nackdelarna med problemlösning kom upp i intervjuerna var de alla överens om att den stora nackdelen var tidsbristen. Att arbetet med problemlösning tar väldigt mycket tid och att det helt enkelt inte fanns tid till detta efter att själva teoridelarna arbetats igenom. Så här kunde det låta när informanterna beskrev problemet:
Tidskrävande framför allt. Hade man mera tid skulle man köra det i ännu större omfattning just på grund av att det finns så många fördelar med det, men det tar ju tid liksom, att slänga ut ett problem (…) den stora nackdelen är tiden på nåt sätt (IP1).
Det jag tycker är en nackdel med problemlösning är att det tar mycket tid i anspråk. Att hinna klämma in det efter den nya teorin, som ska nötas in i varje nytt avsnitt, kan ta lång tid och därmed hinns kanske inte problemlösning med i den utsträckning som man skulle vilja (IP5).
Förutom bristen på tid till problemlösning, lyfte en informant upp att det också fanns svårigheter i att få alla elever att förstå varför det är viktigt att eleverna inte bara kände att det var ytterligare ett moment som ska gås igenom i undervisningen.
… men återigen så är det alltid den här tidsbristen man upplever, men jag tror man måste ta sig den tiden, för så pass viktigt är det. Att få eleverna att se att de får betalt för att de sliter med såna uppgifter kan också vara ett problem (IP4).
En annan nackdel eftersom man får försöka tänka annorlunda är att det tar tid. Det tar ganska mycket tid, men det måste få ta tid. Det är viktigt. Är man då väldigt låst av läroboken och tror att det är kursen, då blir det stressigt. Men man måste komma ihåg att läroboken är bara ett hjälpmedel… (IP3).
Vad står det i läroplanen respektive kursplanerna?
På frågorna om vad det egentligen står i läroplanen och kursplanen som lärarna ska följa och rätta sig efter, svarade de flesta att det visste på ett ungefär vad som bör ingå i undervisningen och då kunde det låta så här under intervjuerna:
17
Jag vet ju att det står med att problemlösning ska ingå och sen har jag väl inte tänkt så mycket mer på det, sen så kör jag väl efter min definition, eller egentligen läroboksförfattarnas definition av problemlösning och det material som redan finns på skolan för man förutsätter ju att de som har skrivit materialet har tagit hänsyn till kurs- och läroplaner (IP1).
En informant beskriver att det inte är tydligt hur stor del av tiden som ska fördelas till problemlösning, utan upplever det som något som varje lärare själv får ta ställning till i uppläggningen av sin undervisning:
Jag har läst igenom dom och det ingår som ett moment och sen är det upp till mig hur stor del det ska vara. Som med allting annat är det inte angivet hur mycket man ska hålla på (IP4).
En annan informant funderar över läroplanens innehåll, att vi satsar relativt mycket tid på problemlösning i Sverige.
Vet inte precis vad det står, det är mer en känsla som jag har, […] det här med problemlösning är något som vi i Sverige trycker mer på än vad de kanske gör i andra länder och det visar sig ju också i internationella undersökningar att svenska elever ofta är duktiga på problemlösning och kanske mindre duktiga på algebra eller något annat. Så det jag vet och liksom har med mig är att det ska ligga en ordentlig tyngdpunkt på problemlösning (IP3).
En av informanterna berättar att denne hade svarat annorlunda på frågan om läroplanens innehåll för bara några veckor sedan:
Jo, vi diskuterade faktiskt det här i arbetslaget tidigare i höst. Vi var nog några som kände att vi behövde titta närmare på vad som egentligen står i de där dokumenten, man tittar ju inte på dem varje dag direkt […] så nu känner jag väl att jag har betydligt bättre koll (IP5).
Lärarnas egna definitioner av problemlösning
När frågan om hur lärarna själva definierar vad problemlösning inom matematiken innebär för dem, framkommer inget entydigt svar. Den likhet som finns i deras svar är att i problemlösning utgår man inte från färdiga ekvationer, utan detta är något som man måste kunna komma fram till under resans gång, gärna genom att resonera och diskutera med andra i grupp. Här följer några citat från intervjupersonerna:
… innebär att man ska tolka ett problem som förekommer i vardagen eller i fysik och omsätta det i matematiska symboler och förhoppningsvis några ekvationer som man kan lösa (IP1).
Samma informant beskrev även att:
… sen så kör jag väl efter min definition, eller egentligen läroboksförfattarnas definition av problemlösning och det material som redan finns på skolan för man förutsätter ju att de som har skrivit materialet har tagit hänsyn till kurs- och läroplaner (IP1).
18
En annan informant uttryckte vad problemlösning handlar om på det här sättet:
Problemlösning för mig är att eleverna börjar använda sina egna redskap, inte använda färdiga formler. Att ibland behöva använda sig av gissningar för att komma fram till en lösning (IP2).
Några av informanterna uttryckte att lösningen byggs upp under tiden som eleverna håller på och arbetar med den aktuella uppgiften, något som visar sig i följande citat:
Man sätter inte igång och räknar med ett färdiguppställt tal, utan man måste som ha en process i hjärnan, att man får bedöma vad som ska räknas ut och vad behöver jag veta.
Man kan ha för mycket information eller för lite information men det är då upp till mig att ta rätt på vad som saknas… (IP4).
Sammanfattningsvis visar resultatet av intervjuerna att lärarna har en likartad syn på vad problemlösning handlar om. Resultatet visar att de arbetar med något olika metoder i sin undervisning när det gäller problemlösning, även om samtliga informanter tycker att arbete i grupp är en viktig metod för elevernas lärande.
19
DISKUSSION
Nedan diskuteras först resultatet utifrån teorierna som har belysts i teoriavsnittet. Vidare redogör jag för mina tankar om metoden i en metoddiskussion, som följs av avslutande reflektioner. Slutligen belyses idéer till fortsatt forskning inom området.
Resultatdiskussion
Här diskuterar jag resultatet utifrån mina frågeställningar och lägger fram de slutsatser som jag kommit fram till. Som första del i diskussionen kommer jag redogöra för lärarnas syn på problemlösning och vad dom har för definitioner av problemlösningens innebörd. Efter det tar jag upp hur lärarna kopplar sin syn på problemlösning gentemot styrdokumentens beskrivningar och tolkningar. Slutligen kommer jag att beskriva hur lärarna använder sig av problemlösning i sin undervisning.
Lärarnas definitioner av problemlösning
Precis som det framkom i forskningslitteraturen har lärarna som jag har intervjuat ingen gemensam definition av begreppet problemlösning. Delvis överensstämmer definitionerna medan det på andra punkter skiljer sig åt en del. En gemensam faktor som alla de intervjuade lärarna nämnde, var att problemlösning är när eleverna får använda sig av de verktyg som de har lärt sig under kursens gång. Denna gemensamma faktor stämmer väl överens med den syn som Taflin (2007) har. Hon skriver att problemlösning är att kunna tolka ett problem korrekt och sedan lösa det genom att välja lämpliga matematiska funktioner och metoder för att till slut uppnå ett på förhand bestämt mål. Informanternas tankar stämmer in på både Lesters och Polyas teorier om hur man kommer fram till sina lösningar när man arbetar med problemlösning. Lester lyfter fram sina fem faktorer för att lyckas med och utveckla problemlösningsförmågan (Lester, 2000), och Polyas teorier om att man bör gå igenom fyra steg för att på ett bra sätt lyckas med att lösa olika problem (Möllehed, 2001). Dessa resonemang återfinns även i informanternas svar.
Hur ser lärarnas tolkning av problemlösning ut, kopplat till läroplanen, Lpf 94?
När det gäller lärarnas koppling till styrdokumenten varierade resultatet. Alla lärarna hade förvisso ett begrepp om vad som stod i läroplanen om problemlösning och en av de intervjuade redogjorde för att de haft en diskussion om styrdokumentens innehåll i arbetslaget. Hur de intervjuade lärarna sedan tolkade läroplanens innehåll varierade i viss utsträckning. Samtliga informanter betonade vikten av att arbeta med problemlösning för elevernas utveckling i matematik. En koppling till lärarnas tolkning av problemlösning kan tillskrivas det som Wyndhamn kallar ett genom-perspektiv, att problemlösningsförmågan utvecklas genom att arbeta mycket med problemlösning. Detta genom-perspektiv är, enligt Wyndhamn, en av grundpelarna i Lpf 94 (Wyndhamn, 2000). Slutsatsen är att lärarnas tolkning av problemlösning och att det bör ingå i undervisningen, stämmer väl överens med avsikten i styrdokumenten.
Hur beskriver lärarna själva att de använder sig av problemlösning i sin undervisning?
En viktig del, som alla informanter tog upp under intervjuerna, är att innan man börjar med problemlösning måste vissa grundläggande kunskaper först införskaffas. Utan dessa verktyg blir det mycket svårt att kunna resonera kring och lösa problem. Detta är något som Möllehed beskriver utifrån Polyas teorier. Att innan man tar sig an ett problem måste man först förstå
20
det in i minsta detalj. När detta är utrett kan man börja reflektera om det är möjligt att komma fram till en lösning på problemet (Möllehed, 2001).
När det kom till hur informanterna utformade sin undervisning för att skapa utrymme för problemlösning visade det sig att de hade något olika sätt att arbeta idag, även om synen på upplägget i stort var lika. En sak som alla tillfrågade tyckte var viktigt och som de alla använde sig av, var grupparbeten och att eleverna skulle diskutera mycket med varandra, bland annat olika metoder för att lösa problem, vid arbete med problemlösning. Något som även Ahlberg (2001) belyser vikten av. Hon menar att elevernas förståelse för matematik förändras när de får jobba i grupper och samtala med andra elever.
Informanternas tankar om att arbeta i grupper kan man även koppla till Wyndhamns modell med fyra kognitiva fält, som beskriver problemlösning från olika synvinklar. I fält C tar han upp just vikten av detta och belyser att tillsammans med andra få chansen att diskutera och tolka information och fakta i olika problem är angeläget (Wyndhamn, 2000).
En annan sak som samtliga informanter lyfte upp som någonting viktigt var, vikten av att arbeta med vardagsnära problem. En koppling till elevernas vardag gör det mer intressant för eleverna att jobba med problemen ansåg informanterna. Denna koppling är något som Malmer (1999) också anser är viktig att tänka på i undervisningen. Författaren skriver att i och med det mekaniska räknandet, försvinner förståelsen för matematiken i vardagsproblemen. Att arbeta med vardagsnära problem är något som även ryms under Wyndhamns kognitiva fält B, där han skriver att arbete med problem i vardagsnära sammanhang, eventuellt i olika teman, är viktigt inom problemlösning (Wyndhamn, 2000).
En av informanterna tog upp att det är viktigt att försöka se till vad eleverna har för kunskaper sedan tidigare och försöka nyttja det i sin undervisning, för att få dem att utvecklas. Detta är något som stämmer överens med Wyndhamns teorier och passar in under hans kognitiva fält A där han skriver att användning av det man redan kan i matematik, på ett rationellt sätt, är en viktig del i problemlösningen (Wyndhamn, 2000). Detta kan även kopplas till Lesters teori om att använda sina kunskaper och allt sitt kunnande för att stödja och utveckla prestationerna i matematik (Lester, 2000).
Metoddiskussion
Informationen som jag tog del av under intervjuerna med de fem lärarna gav mig en djupare bild när det gäller deras syn på problemlösning. Kanske kunde metoden ha kompletterats med klassrumsobservationer, för att i praktiken se hur lärare arbetar med problemlösning. Den valda metoden gav mig således svar utifrån mitt syfte med undersökningen. Det vill säga att jag anser att jag fått en bra bild av dessa lärares syn på problemlösning genom de genomförda samtalen. Intervjuerna har fungerat väl, och har varit intressanta att genomföra. Det gick lätt att intervjua lärarna, som gärna delade med sig av sina åsikter inom det aktuella området. Den avsatta tiden för intervjuerna räckte mer än väl, och jag upplevde att jag fick svar på mina frågor under ett avslappnat klimat och utan att intervjuerna kändes forcerade.
21
Avslutande reflektioner
Det framgår tydligt av styrdokumenten att alla elever ska kunna lösa matematiska problem, inte bara de starka eleverna, utan även de av någon anledning svagare eleverna. Detta innebär att det är alla elever som går i den svenska gymnasieskolan som ska sträva efter att jobba med problemlösning och alltså inte bara de snabba, duktiga eleverna som snabbt räknar igenom rutinuppgifterna och sen får utrymme att träna sina färdigheter i problemlösning. I min studie framgår det att alla intervjuade lärare tycker att problemlösning är en viktig del av undervisningen, något som också styrdokumenten gör gällande. Dock upplever informanterna att de inte hinner med att arbeta med detta i den grad som de skulle vilja göra, eller som någon av dem själv uttrycker sig, inte tar sig den tiden. Detta kan eventuellt bero på att lärarna känner sig låsta av att följa läroböckerna. Det skulle kanske kunna gå att kringgå böckerna i större utsträckning och ändå uppnå bra, eller kanske till och med bättre resultat, än vad man gör idag. Jag tror att det är viktigt att tänka som en av intervjupersonerna uttryckte det:
läroboken är bara ett hjälpmedel i undervisningen. Jag delar uppfattningen, precis som mina informanter och delar av forskningen, att det är av stor vikt och värde att eleverna tränar sina färdigheter i grupp genom att bolla idéer och diskutera olika matematiska problem med varandra. Något som jag också kommer att ta med mig i min blivande yrkesroll som matematiklärare.
Att informanterna upplever att de har tidsbrist i arbetet med problemlösning kanske kan till viss del förklaras med att stor vikt läggs vid de grundläggande verktygen. Självklart är det precis som forskningen lyfter fram, en förutsättning för eleverna att de besitter en grund för att kunna arbeta med problemlösning, men frågan är kanske hur mycket tid som bör avsättas för problemlösning respektive inlärning av grunderna inom matematiken. Inte heller gymnasieskolans styrdokument ger något entydigt svar på denna fråga.
Svårigheten med att finna relevant material till undervisningen visar sig i min studie vara ett stort problem enligt samtliga informanter. Detta kanske till viss del kan förklaras med att problemlösning är ett oerhört komplext område, vilket också framgår i studien. Det är viktigt att hitta bra uppgifter att arbeta med och där kanske vad en intervjuperson lyfte fram kan var en hjälp, nämligen att upprätta någon form av idébank med uppgifter. Där kan jag tänka mig att det vore värdefullt att utveckla någon form av nätverk mellan gymnasieskolor, för att kunna ta del av varandras uppgifter, och motverka att inte bristen på uppgifter utgör ett hinder i arbetet med problemlösning.
Jag tycker det är glädjande att se informanterna lyfta fram flera fördelar med problemlösning, något som också står i linje med styrdokumenten. Inte minst det att eleverna får dra nytta av varandras kunskaper i diskussionerna kring olika problem, utveckla sin kreativitet och som en av informanterna uttryckte det, få användning av kunskaper som inhämtats i andra sammanhang än skolans undervisning. Dessa fördelar, likväl som svårigheter, är även det något som jag kommer att ta med mig i min kommande profession.
Avslutningsvis tycker jag att det ska bli spännande att se hur den nya skolplanen och de nya kursplanerna, som börjar gälla hösten 2011, kommer att påverka utvecklingen och utrymmet för problemlösning i matematikundervisningen.
22
Fortsatt forskning
Efter att jag har gjort denna studie har det väckts många tankar utifrån det intressanta men komplexa område som problemlösning utgör. Det skulle vara intressant att göra en studie som fokuserar på att närmare studera och eventuellt utveckla material som inkluderar det som de ovan nämnda forskarna skriver att problemlösning bör innefatta. Dessutom skulle det vara intressant att använda sig av metoden klassrumsobservation, för att se hur matematiklärare i praktiken arbetar med problemlösning i sina respektive klasser och vilken direkt återkoppling de får av eleverna. Det leder vidare till ytterligare en aspekt i sammanhanget, nämligen att i en studie försöka fånga elevernas uppfattning av problemlösning, upplever de att de ges möjlighet att utveckla sin förmåga till problemlösning?
23
REFERENSER
Ahlberg, A. (1992). Att möta matematiska problem: en belysning av barns lärande = [The meeting with mathematical problems] : [an illumination of children's learning]. Diss.
Göteborg : Univ.. Göteborg.
Ahlberg, A. (2001). Lärande och delaktighet. Lund: Studentlitteratur.
Dysthe, O. (red.) (2003). Dialog, samspel och lärande. Lund: Studentlitteratur.
Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem: inspiration till variation. (1. uppl.) Stockholm: Liber.
Johansson, B. (2001). Examensarbetet i lärarutbildningen: undersökningsmetoder och språklig utformning. (3. uppl.) Uppsala: Kunskapsföretaget.
Kvale, Steinar & Brinkmann, Svend (2009). Den kvalitativa forskningsintervjun. 2. uppl.
Lund: Studentlitteratur.
Kilpatrick, J. (1969). Problem solving in mathematics. Review of Educational Research, 39, 523-534.
Lester, F. (2000). Problemlösningens natur. I G. Emanuelsson m.fl. (Red.) (2000). Matematik - ett kommunikationsämne. (pp. 85-91). Göteborg: Göteborgs universitet.
Malmer, G. (1999). Bra matematik för alla: nödvändig för elever med inlärningssvårigheter.
Lund: Studentlitteratur.
Möllehed, E. (2001). Problemlösning i matematik: en studie av påverkansfaktorer i årskurserna 4-9. Diss. Lund : Univ., 2001. Malmö.
Patton, M. Q. (1987). How to Use Qualitative Methods in Evaluation. Los Angeles: Sage.
Starrin, G., & Renck, B. (1996). ”Den kvalitativa intervjun”, i Svensson, P-G., & Starrin, G.
(red). Kvalitativa studier i teori och praktik. Lund: Studentlitteratur.
Taflin, Eva (2007). Matematikproblem i skolan: för att skapa tillfällen till lärande. Diss.
Umeå : Umeå universitet, 2007
Tillgänglig på Internet: http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:umu:diva-1384
Trost, Jan & Hultåker, Oscar (2007). Enkätboken. 3., [rev. och utök.] uppl. Lund:
Studentlitteratur
Wyndhamn, J., Riesbeck, E. & Schoultz, J. (2000). Problemlösning som metafor och praktik:
studier av styrdokument och klassrumsverksamhet i matematik- och teknikundervisningen.
Linköpings universitet: Institutionen för tillämpad lärarkunskap, Linköping.
24
BILAGA 1
Intervjuguide
Inledning
Presentera mig och min bakgrund (utbildning).
Syftet med studien.
Informera om användande av bandspelaren och hur materialet kommer att användas.
Konfidentialitet, anonym i min rapport.
Något du vill fråga om innan vi startar intervjun?
Bakgrund (Inledande frågor som ska syfta till att få reda på hur erfarna de är som lärare).
När blev du färdig matematiklärare?
Hur länge har du arbetat som matematiklärare?
Hur ser din utbildningsbakgrund till lärare ut?
Undervisning (De här frågorna visar hur och hur mycket de använder sig av problemlösning i undervisningen).
Vad innebär problemlösning i matematik för dig?
I vilken omfattning använder du dig av problemlösning i din undervisning?
På vilket sätt arbetar du med problemlösning i undervisningen? Konkreta exempel?
Läroplan/kursplaner (Dessa frågor syftar till att ge en syn på hur de tar hänsyn till läroplanen och kursplanerna).
Känner du till hur problemlösning tas upp i kursplanerna/läroplanen?
Kan du ge exempel på hur? Lokal skolplan?
Hur stämmer din inställning till problemlösning in i förhållande till kursplanens formuleringar?
Verktyg och fördelar/nackdelar (Dessa frågor syftar till att svara på hur de ser på problemlösning som verktyg i undervisningen).
Använder du dig av problemlösning i din undervisning?
Vad använder du för material när du planerar undervisningen med problemlösning?
Tycker du att det är viktigt att jobba med problemlösning? Varför/varför inte?
Vad ser du för fördelar med problemlösning?
Vad ser du för nackdelar/svårigheter med problemlösning?
Önskar du att du fokuserade mera på problemlösning i din undervisning? Varför/varför inte?
Varför får det eventuellt stå tillbaka? Till förmån för vad?
Något du vill tillägga innan vi avslutar intervjun?
Tack för din medverkan!
