NATUR – MILJÖ - SAMHÄLLE
Examensarbete i fördjupningsämnet
Matematik och lärande
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Problemlösning som mål och medel –
En studie om användning av problemlösning i
matematikklassrummet
Problem solving as objective and mean –
A study about the use of problem solving in the mathematics
classroom
Henrik Andersson
Kristoffer Bertilsson
Ämneslärarexamen, 300 hp
Datum för slutseminarium: 2018-05-29
Examinator: Leif Karlsson Handledare: Annica Andersson
Förord
Vi har haft ett väldigt gott samarbete. Samtliga delar av examensarbetet har författats gemensamt varpå vi anser ha lika stor del i det slutliga arbetet. Vi vill rikta ett stort tack till vår handledare Annica Andersson som väglett oss under arbetets gång. Ditt stöd har varit oerhört värdefullt för examensarbetets framväxt - men även för oss författare, då vi upplever att ditt stöd på handledningsträffarna givit oss möjligheter att utvecklas i vårt skrivande. Vi vill även rikta ett tack till handledningsgruppen innehållande lärarstudenter som även de var i färd med att skriva sitt examensarbete; trots det tog de sig tid att kontinuerligt läsa vårt arbete och delge konstruktiva förbättringsförslag vilket var värdefullt. Slutligen vill vi rikta ett tack till alla de lärare som ställde upp på intervju och på så sätt möjliggjorde vår undersökning.
Sammanfattning
Syftet med denna studie är att kartlägga och beskriva hur verksamma lärare använder problemlösning som mål och medel i matematikundervisningen. Vi är även intresserade av lärarnas egna uppfattningar angående vad det innebär att undervisa med problemlösning som mål och medel. Vår metod utgjordes av intervjuer hos fem lärare, alla verksamma på en gymnasieskola i södra Sverige. Resultatet visade på att det råder en viss diskrepans mellan den formella läroplanen, inkluderande skrivelse att matematikundervisningen ska ge utrymme åt problemlösning som både mål och medel, och den genomförda läroplanen; med andra ord på vilket sätt respektive lärare organiserar en problemlösningsbaserad lärandemiljö. Trots undersökningen var förhållandevis liten och därmed resultatens generaliserbarhet en aning tveksam visar resultaten på att lärarna tänker väldigt olika när det kommer till att implementera problemlösning. Vidare implicerar resultaten vikten av en ökad kollegial samverkan.
Innehållsförteckning
1. Inledning ... 7
2. Syfte och frågeställningar ... 9
3. Teori ... 10
3.1 Generellt om det sociokulturella perspektivet ... 10
3.2 Medierande redskap ... 11
3.2.1 Språkliga medierande redskap ... 11
3.2.2 Materiella medierande redskap ... 12
3.3 Den närmaste proximala utvecklingszonen ... 12
3.4 Sammanfattning ... 13
4. Tidigare forskning ... 14
4.1 Vad menas med ett matematiskt problem? ... 14
4.1.1 Definition av ett matematiskt problem ... 14
4.1.2 Olika kategorier av matematiska problem ... 15
4.2 Vad menas med problemlösning i matematikundervisningen? ... 15
4.3 Varför problemlösning i matematikundervisningen? ... 16
4.4 Problemlösning som mål och medel ... 18
4.4.1 Problemlösning som mål ... 18
4.4.2 Problemlösning som medel ... 19
4.4.3 Problemlösning som mål och medel ... 21
5. Metod ... 22
5.1 Val av metod ... 22 5.2 Urval ... 22 5.3 Genomförande ... 22 5.4 Databearbetning ... 23 5.5 Etiska överväganden ... 24 5.6 Tillförlitlighet... 256. Resultat och analys ... 27
6.1 Resultat ... 27
6.1.1 Vilken typ av problem används vid problemlösning? ... 27
6.1.2 Hur används problemlösning i matematikundervisningen? ... 28
6.1.3 Vilka faktorer beaktar lärarna inför arbete med problemlösning? ... 29
6.2 Analys ... 30
7.1 Diskussion ... 32
7.1.1 Resultatdiskussion ... 32
7.1.2 Implikationer för läraryrket ... 35
7.1.3 Metoddiskussion ... 35
7.1.4 Förslag till vidare forskning ... 35
7.2 Slutsats ... 36
Referenser ... 37
1. Inledning
Över tid har problemlösning i matematikundervisningen varit ett område som har fått en stor internationell uppmärksamhet inom forskning om skolmatematik (Cai, 2003). Att eleverna ska ges förutsättningar att utveckla sin problemlösningsförmåga anses vara en viktig del i matematikundervisningen samt att undervisning bör ske genom problemlösning för att hjälpa eleverna att utvecklas inom matematikämnet anses väl vedertaget (Cai, 2003; Riesbeck, 2000). Skolverket (2011c, s. 2) definierar ett matematiskt problem som en uppgift som inte är av standardkaraktär och därmed inte kan lösas rutinmässigt.
Att problemlösning bör vara ett viktigt element i matematikundervisningen är alltså sedan lång tid allmänt vedertaget. Faktum är att problemlösning över tid setts som en separat del av matematikundervisningen. I den tidigare läroplanen, läroplan för de frivilliga skolformerna från 1994, benämns begreppet problemlösning i den generella beskrivningen av matematikämnet; numera har begreppet, i och med den nya läroplanen från 2011, förstärkts ytterligare då det både nämns som en förmåga samt som en viktig del i ämnets centrala innehåll (Skolverket, 2014).
I aktuell läroplan för gymnasieskolan utläses att utbildningen bland annat ska syfta till att stimulera elevers handlingsberedskap och riktas mot problemlösning (Skolverket, 2011a). Ovanstående implementeras i ämnesplanen för matematik som ett av ämnets långsiktiga mål vilka är uttryckta som ämnesspecifika förmågor (Skolverket, 2017). En förmåga kommer fortsatt i arbetet vara synonymt med ett långsiktigt mål vilket undervisningen syftar till att ge eleven möjlighet att utveckla. En förmåga av nyss nämnda, benämnd som problemlösningsförmåga, formuleras som att ”formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat” (Skolverket, 2011b, s. 1). Dessutom betonas att problemlösning ska användas som “mål och medel”, vilket i ämnesplanen betonas genom skrivningen ”undervisningen ska stärka elevernas tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang samt ge utrymme åt problemlösning som både mål och medel” (Skolverket, 2011b, s. 1).
Vår erfarenhet är att matematikundervisning genom problemlösning, som mål och medel, endast förekommer undantagsvis i skolorna. Om problemlösning ses som målet med
undervisningen innebär det att fokus ligger på att ge eleverna möjligheter att utvecklas till goda problemlösare. Om problemlösning däremot ses som ett medel innebär det att problemlösning är tänkt att implementeras med syftet att ge eleverna större möjlighet att utveckla de andra matematiska förmågorna. Vår erfarenhet säger istället att det tredje steget i Pólyas (1945) problemlösningsstrategi; att undervisningen präglas av proceduriellt genomförande av uppgifter från en lärobok, i stort sett präglar matematikundervisningen. Det sistnämnda styrks av Wyndhamn, Riesbeck och Schoultz (2000) som med sin studie visar att lärarledd genomgång följt av tid för eget arbete är den vanligast förekommande undervisningsmodellen. Våra erfarenheter kan sättas i relation till Goodlads (1979) tankar om läroplanens olika skepnader. Goodlad belyser bland annat en diskrepans mellan den formella läroplanen, vilken är formellt antagen av statsmakten, och den uppfattade respektive den genomförda läroplanen. Goodlad beskriver den uppfattade läroplanen som hur den formella läroplanen uppfattas av, i vårt fall, den enskilde läraren. Vidare beskrivs den genomförda läroplanen som det som egentligen sker i klassrummet.
Ovan nämnda diskrepans är av intresse då vi i höst ska bedriva vår egen undervisning och det är därför av största vikt att vi redan nu kan fundera kring hur vi kan implementera läroplanens bestämmelser i undervisningen. Med det här examensarbetet vill vi undersöka på vilket sätt verksamma lärare arbetar med problemlösning som både mål och medel.
2. Syfte och frågeställningar
Syftet med examensarbetet är att beskriva hur verksamma lärare använder problemlösning som mål och medel i matematikundervisningen. Vi är även intresserade av lärarnas egna uppfattning angående vad det innebär att undervisa med problemlösning som mål och medel.
Mot bakgrund av ovanstående har följande frågeställningar formulerats:
1. Vilken kategori av problemlösningsuppgifter använder sig verksamma lärare av? 2. Hur använder verksamma lärare problemlösning som mål och medel i undervisningen? 3. Vilka faktorer anser verksamma lärare vara viktiga att ta hänsyn till när man undervisar med
problemlösning som mål och medel?
Med kategori åsyftas om utdelade problem är av kontextualiserande, öppen, ”kluringar” och rik karaktär. En annan kategori är rika matematiska problem. Vidare redogörelse av de olika kategorierna återfinns i avsnittet 4.1.2. Olika kategorier av matematiska problem.
3. Teori
I följande kapitel listas det teoretiska ramverk som sedermera kommer tillämpas vid analys av undersökningen inhämtade resultat. Som teoretisk utgångspunkt för examensarbetet ligger Lev Vygotskijs sociokulturella perspektiv på lärande, som utvecklas av Säljö (2005; 2014), som grund. Till att börja med kommer det sociokulturella perspektivet på lärande att beskrivas. Därefter belyses de för analysen relevanta sociokulturella begrepp mer ingående.
3.1 Generellt om det sociokulturella perspektivet
Det sociokulturella perspektivet på lärande, alternativt den sociokulturella lärandeteorin, utvecklades av forskaren, pedagogen och visionären Lev Semënovic Vygotskij under 1900-talets första halva (Säljö, 2005). En bärande utgångspunkt för Vygotskij är synen på att människan är både en kulturell och biologisk varelse, och därför kan man tala om både en biologisk och sociokulturell utvecklingslinje hos individerna. Den biologiska utvecklingslinjen, är om man utgår från Vygotskijs teori, ungefär densamma för alla människor obeaktat faktorer som kön, etnicitet, uppväxtmiljö med flera. Däremot, vad som benämns som sociokulturell utvecklingslinje är att betrakta det som sedermera skiljer människor åt. Vygotskij hävdar att det är först då människor börjar kommunicera med varandra som den sociokulturella utvecklingslinjen uppenbarar sig, människans utveckling påverkas nu även av en rad olika sociokulturella faktorer, där språket ofta belyses som den mest centrala (Säljö, 2005; Säljö, 2014).
Ett sociokulturellt perspektiv på lärande kan sammanfattas som att elever lär sig bäst i lärandemiljöer där de tillåts kommunicera med sin omgivning; med andra ord, elever lär sig bäst när de tillåts deltaga i en social kontext. När eleven delar med sig av sina egna, och samtidigt tar till sig andras, erfarenheter och använder dem i resonerande och kommunikativa situationer finns det alltid stor möjlighet att lärande uppkommer (Säljö, 2005). Enligt det sociokulturella perspektivet använder sig människor av olika slags medierande redskap; det vill säga, redskap som människan samverkar med för att uppnå lärande. Bland nämnda redskap har språket en särställning, det är genom olika former av interaktion som lärande mest sannolikt uppstår (Säljö, 2014).
3.2 Medierande redskap
Ett av de mer centrala begreppen inom det sociokulturella perspektivet på lärande är
medierande redskap, nämnda av Säljö (2005) som redskap. Begreppet mediering definieras av
Säljö (2014, s. 298) enligt:
Ett av de grundläggande begreppen i den sociokulturella traditionen är mediering. Uttrycket kommer från tyskans Vermittlung (förmedling) och det är hämtat från Karl Marx skrifter. Med mediering avses att människor använder redskap eller verktyg när vi förstår vår omvärld och agerar i den. Vygotskij menade i sin inledande analys att människan av att hon använder sig av två olika slags redskap:
språkliga och materiella.
Nämnda redskap används av människan för att möjliggöra handling i, och förståelse av, omvärlden (Säljö, 2014). Säljö (2005) beskriver Vygotskijs kategorisering av de medierande redskapen och gör därmed en skiljelinje mellan materiella, av Vygotskij benämnt som fysiska; och språkliga, av Vygotskij benämnt som psykologiska, redskap. Språkliga medierande redskap definieras som det människan använder för att kommunicera och tänka med, exempelvis symboler och teckensystem. Materiella medierande redskap definieras däremot som ett verktyg eller redskap som människan tillverkat på egen hand.
3.2.1 Språkliga medierande redskap
Säljös (2014) översättning psykologiska redskap till språkliga redskap kan delvis betraktas som en introduktion av det, i den sociokulturella traditionen, högst värderade redskapet - språket. Språkets betydelse som medierande redskap betonas av Säljö (2005, s. 118):
Det i särklass viktigaste psykologiska redskapet är språket. Det är genom språket som människan blir delaktig i andras perspektiv och det är genom språket som sociokulturella erfarenheter förmedlas.
Att eleverna tillåts deltaga i en social kontext, där språket används för att kommunicera sina tankegångar är alltså, enligt den sociokulturella traditionen, av oerhört stor vikt. I kontrast till de språkliga redskapen står materiella redskap. De sistnämnda brukar i flertalet sammanhang benämnas som artefakter och särskiljer sig från de språkliga redskapen på det sättet att de materiella redskapen är tillverkade av människan (Säljö, 2005).
3.2.2 Materiella medierande redskap
Mediering kan ske både genom språkliga och materiella medierande redskap (Säljö, 2014). Begreppet artefakt, av Säljö (2005) beskrivet som materiella medierande redskap, är således även det centralt inom det sociokulturella perspektivet på lärande. Ett materiellt redskap kan likställas med ett verktyg eller redskap som människan tillverkat på egen hand. Säljö (2014, s. 300) exemplifierar begreppet:
Men mediering sker också genom fysiska redskap. Vi använder spadar för att gräva med och tangentbord för att skriva på. I yrken som smedens, kirurgens och ingenjörens används olika slags redskap för att utöva respektive yrke.
Utvecklingen har emellertid inneburit flertalet nya, modernare och ändamålsenliga artefakter (Säljö, 2014). Exempelvis, i skolans värld har man gått från att enbart använda papper, penna och kulram till att numera använda sig av avancerade räknare och datorprogram för att underlätta och öka möjligheterna till att lärande uppstår.
3.2.3 Kulturella medierande redskap
Vygotskijs kategorisering av medierande redskap har emellertid problematiserats en aning. Säljö (2014) argumenterar för att flertalet förespråkare av den sociokulturella traditionen delvis ifrågasätter kategoriseringen; istället anser man att språkliga och materiella redskap förekommer tillsammans samtidigt som de utgör varandras förutsättningar. Säljö (2014) exemplifierar nyss nämnt: “En hastighetsmätare i en bil är ett fysiskt redskap, men det fungerar med hjälp av tecken och symboler (kilometer per timme)”. Här införs istället en mer allmän beteckning - kulturella redskap. Med kulturella redskap syftar Säljö (2014) på redskap som både är språkliga och materiella, med den tidigare nämnda hastighetsmätaren som inledande exempel. Vidare betonas vikten av att eleverna approprierar; det vill säga, blir bekant med hur de kulturella redskapen medierar den omvärld vi lever i.
3.3 Den närmaste proximala utvecklingszonen
Ett annat centralt begrepp inom den sociokulturella lärandeteorin är den närmaste proximala
utvecklingszonen (Zone of Proximal Development - ZPD). Säljö (2014) beskriver begreppet
som “den zon där människor är känsliga för instruktion och förklaringar. Det är här som läraren (eller en kompetent kamrat) kan vägleda en lärande i hur man använder ett kulturellt redskap”.
För Vygotskij är idén att eleven ofta är beroende av stöd och hjälp med att förstå omvärlden central. Särskilt belyses att det är här läraren alternativt en mer kompetent kamrat kommer in i bilden - samtidigt som begreppet scaffolding (stöttning) introduceras. Scaffolding kan definieras som hur kommunikationen i pedagogiska situationer för att leda den lärande vidare kan se ut, där syftet är att uppnå en ny högre kunskap eller färdighet kopplat till den lärandes närmaste proximala utvecklingszon. Om elever deltar i en social kontext omgiven av pedagog och eventuellt mer kompetenta kamrater blir det naturligt att dessa också agerar stöttande för att tillsammans ta sig vidare upp på kunskapsstegen. Säljö (2014) beskriver hur undervisning med begreppet i beaktning kan utformas som att eleverna ges material som är en aning svårare än deras nuvarande kunskapsnivå; efter som att “när människor väl behärskar ett begrepp eller en färdighet, så är de mycket nära att också behärska något nytt”. Det sistnämnda betyder att människor alltid har nya kunskaper och färdigheter att införskaffa inom närhåll; Säljö (2014, s. 305) exemplifierar nyss nämnt som:
Exempelvis kan den som lärt sig addera ensiffriga tal efter en tid vara nära att appropriera de principer som gäller för att addera tvåsiffriga tal, och den som lärt sig grundläggande grammatiska principer om ordklasser och satsdelar blir också så småningom redo att gå vidare med en mer sofistikerad förståelse för hur språk är uppbyggda.
3.4 Sammanfattning
Ett sociokulturellt perspektiv på lärande betonar vikten av att man lär och utvecklas bäst i samklang med omgivningen; exempelvis i samspel med klasskamraterna. De centrala begreppen som blir föremål som analysverktyg senare i arbetet är medierande redskap, den närmaste proximala utvecklingszonen och scaffolding. Anledningen till val av teoretiskt ramverk bottnar i den erfarenhet kring hur problemlösningsbaserade lärandemiljöer kan organiseras vi erhållit från lärarutbildningen. Två av de matematiska förmågorna som Skolverket (2011b) betonar att matematikundervisningen ska syfta till att eleven ska utveckla är kommunikations- samt resonemangsförmågan vilka antyder att samtal och att kunna resonera är av vikt. Det i sin tur gör kopplingen till det sociokulturella perspektivet på lärande än mer adekvat.
4. Tidigare forskning
I följande kapitel tas för området relevant tidigare forskning upp. Först definieras vad som åsyftas med ett matematiskt problem, därtill redovisas en möjlig kategorisering av problem. Därefter redogörs för begreppet problemlösning och vad det konkret innebär att implementera det i matematikundervisningen. Vidare presenteras argument för varför problemlösning bör vara ett naturligt inslag i matematikundervisningen. Därefter görs en koppling till rådande ämnesplan (Skolverket, 2011b) där vad som menas med problemlösning som mål och medel förklaras ingående. Slutligen finns rum för forskning kopplat till hur problemlösning ofta implementeras i matematikklassrummet.
4.1 Vad menas med ett matematiskt problem?
I det här avsnittet ämnar vi redogöra för vad som åsyftas med ett matematiskt problem, samt vilken definition som ligger till grund för vårt förhållningssätt i arbetet. Vidare ämnas även olika karaktärer av matematiska problem belysas.
4.1.1 Definition av ett matematiskt problem
Ett matematiskt problem differentieras från en reguljär matematikuppgift ofta av rutinkaraktär. En rutinuppgift kännetecknas av att individen sedan tidigare löst likvärdiga uppgifter och att lösningsmetoden ofta är känd från början. Det står i kontrast till ett matematiskt problem, vilket Blum och Niss (1991) i samstämmighet med Skolverket (2011c), definierar som en uppgift som inte är av standardkaraktär och saknar en omedelbar och klar lösningsstrategi. Med ovanstående i beaktning argumenterar Dahl (2012) för att det som är en rutinuppgift för en elev kan vara ett matematiskt problem för en annan.
Taflin (2007) argumenterar för att om en uppgift ska kunna definieras som ett matematiskt problem måste den uppfylla tre kriterier; nämligen, att eleverna vill och behöver lösa det, det finns på förhand ingen given procedur att tillämpa för att lösa det samt att det måste krävas en form av ansträngning från eleven för att lösa det. Borovik och Gardiner (2006) definierar ett matematiskt problem som något som ska vara enkelt att närma sig, ha god utvecklingspotential som aktiverar och tränar nya tankevägar hos eleverna vilket i förlängningen torde leda till nya matematiska upptäckter och ökad grad av komplexitet. Den definition som vi använder som utgångspunkt för arbetet är den Taflin (2017) skriver fram. Den definitionen som vi använder
som utgångspunkt för arbetet är den Skolverket (2011c), presenterad i kapitlet 1 Inledning, skriver fram.
4.1.2 Olika kategorier av matematiska problem
Det finns flertalet olika kategorier av matematiska problem. Skolverket (2014) listar några vanligt förekommande matematiska problem: kontextualiserade problem, öppna problem,
“kluringar” och rika problem. Kontextualiserade problem är textproblem som handlar om
exempelvis en vardagssituation (Taflin, 2007). Öppna matematiska problem är sådana problem som kan lösas på flera olika sätt och kan ha flera olika svar. Kluringar är sådana matematiska problem som ofta skiljer sig från de andra och ofta kräver något knep eller speciellt tankesätt för att lösa. För att ett problem ska klassas som rikt definierar Taflin (2007, s. 11) följande kriterier:
1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer.
2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid. 4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika matematiska idéer och
representationer.
5. Problemet ska kunna initiera till matematiska resonemang utifrån elevernas skilda lösningar, ett resonemang som visar på olika matematiska idéer.
6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare.
7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.
4.2 Vad
menas
med
problemlösning
i
matematikundervisningen?
Begreppet problemlösning är initialt oerhört brett; lärare är inte alltid ense om vad som åsyftas, det i sin tur torde återspeglas i hur problemlösning kommer till uttryck i respektive klassrumsmiljö. Wilson, Fernandez och Hadaway (1993, s. 58) lyfter aktuellt perspektiv och hävdar att matematiklärare i allmänhet pratar, skriver och agerar utifrån olika förhållningssätt kopplat till problemlösning:
Some think of mathematics program goals in which the curriculum is structured around problem content. Others think of program goals in which the strategies and techniques of problem solving are emphasized.
Riesbeck (2000) beskriver problemlösning som att eleven frångår rollen som passiv mottagare av kunskap enkom via envägskommunikation. Istället intar eleven en mer aktivt präglad roll och upptäcker själv, och samarbete med klasskamraterna, sin egen kunskap vilket bygger på tidigare kunnande, uppfattningar, mål och ett undersökande arbetssätt. Möllehed (2001) sammanfattar att man alltid har löst matematiska problem och tolkar dagens benämning av problemlösning som att eleverna tilldelas ett problem de inte stött på tidigare, för att därigenom utveckla nya tankesätt och prova olika lösningsstrategier.
4.3 Varför problemlösning i matematikundervisningen?
Forskarvärlden har över tid befäst att problemlösning bör betraktas som en grundbult i matematikundervisningen (Cai, 2003). Wilson et al. (1993, s. 67) hävdar att problemlösning är det mest centrala inom matematikundervisningen; det fastslås att:It is the sum and substance of our discipline and to reduce the discipline to a set of exercises and skills devoid of problem solving is misrepresenting mathematics as a discipline and shortchanging the students.
Wilson et al. (1993) anser även att om matematikämnet saknar problemlösande inslag blir undervisningen missvisande och eleverna i längden berövade på det viktigaste elementet. Vidare argumenterar Riesbeck (2000) för att problemlösning ger eleverna möjlighet att inta en mer aktiv roll i klassrummet, där eleven själv kopplar mellan strategier och modeller i sin kunskapsbas, vilket i sin tur gör att eleven utvecklar sina kunskaper ytterligare. Även Lester och Cai (2010) argumenterar för problemlösning som ett medel för att erbjuda eleverna intellektuella utmaningar, utöver standardiserade uppgifter, vilket i sin tur sannolikt medför utvecklade matematiska kunskaper.
Topping, Miller, Murray, Henderson, Fortuna och Conlin (2011) samt Cains (2002), som båda undersökt hur problemlösning påverkar elevernas utveckling matematikämnet under en tvåårsperiod, kom emellertid fram till olika slutsatser. Cains (2002) har utfört en kvalitativ
studie med syfte att utvärdera ett problemcentrerat undervisningsupplägg och drar slutsatsen att undervisning genom problemlösning resulterar i att elevernas problemlösningsförmåga utvecklas. I studien gjord av Topping et al. (2011), vilket är en interventionsstudie av problemlösning som arbetssätt, framgår det inte resultat som tyder på att elevernas förmågor utvecklas.
Hagland et al. (2005) betonar betydelsen av att arbeta med problemlösning i skolan då det ger eleverna möjlighet att utveckla sin tankeförmåga på ett kreativt och självständigt sätt. Problemlösningsarbetet utvecklar även elevernas förmåga att tänka logiskt, systematiskt och strukturerat.
Wyndhamn (2000) lyfter en aspekt beträffande motivation och påstår att problemlösning kan väcka ett engagemang och motivation hos elever. Det i sin tur tillstyrks av Wilson et al. (1993) vilka anser att problemlösning kan stimulera eleverna, öka deras entusiasm och väcka ett större intresse för matematikämnet.
Blum och Niss (1991), som sammanställt representativ litteratur om matematikundervisning, sammanfattar återkommande argument för varför problemlösning bör vara en del i matematikundervisningen. Bland annat betonas att problemlösning som moment är passande för att stödja elevernas utveckling rent generellt inom ämnet; både genom att lära sig nya och bredare aspekter, men även för att bibehålla de kunskaper de hade med sig sedan tidigare. Det ska tilläggas att inom ramen för arbetets litteraturöversikt har inte en konkret jämförande studie återfunnits vilken bekräftar detta. Vidare framhåller Blum och Niss (1991) The “critical
competence” argument, med vilket man redogör för att problemlösning utvecklar mer än
ämneskunskaper; det är tillika ett verktyg för att ge eleverna möjlighet att utvecklas till problemlösare även utanför matematikklassrummet. Blum och Niss (1991) argumentation beträffande problemlösning sammanfaller med skrivningarna i aktuell läroplan om att skolans mål är att utbilda och bilda kritiskt tänkande, handlingskompetenta och ansvarstagande medborgare (Skolverket, 2011a).
Sammanfattningsvis har skiftande argument för implementering av problemlösning i matematikundervisningen återfunnits, vilket i sin tur bekräftar bilden av att forskningen över tid varit överens om problemlösningens vikt i undervisningen. Problemlösning kan både leda
till förbättrade ämneskunskaper men även bidra till att eleverna blir problemlösare även utanför matematikklassrummet, som handlingskompetenta och ansvarstagande samhällsmedborgare.
4.4 Problemlösning som mål och medel
När man arbetar för problemlösning är det slutgiltiga målet att utveckla en god problemlösningsförmåga. När man däremot arbetar genom problemlösning använder man problemlösningen som ett medel eller ett verktyg för att utveckla de övriga sex matematiska förmågorna. Att lära matematik för och genom problemlösning är således inte samma sak, trots att de står nära i relation till varandra (Taflin, 2007).
4.4.1 Problemlösning som mål
Att undervisa matematik med syftet att utveckla elevernas problemlösningsförmåga kan likställas med att hävda att undervisningen bör innehålla inslag som möjliggör målet att eleverna ska utvecklas till goda problemlösare (Taflin, 2007). Skolverket (2011c) kommenterar själv skrivningen i ämnesplanen enligt följande:
Problemlösning som mål innebär att undervisningen ska ge eleverna förmåga att lösa matematiska problem. Problemlösningsförmåga innebär att kunna analysera och tolka problem vilket inkluderar ett medvetet användande av problemlösningsstrategier som att till exempel förenkla problemet, införa lämpliga beteckningar, ändra förutsättningarna.
Att betrakta problemlösning som ett mål med undervisningen innebär alltså att eleverna ska ges möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga. Grunden för att eleverna ska lyckas med att utveckla sin problemlösningsförmåga anser Wilson et al. (1993) vara att eleverna först bygger upp en bred kunskapsbas.
Silver (1981), med medhåll från Wilson et al. (1993), anser att om en elev ska lyckas utveckla sin problemlösningsförmåga måste den ha en bred kunskapsbas, flera tillgängliga lösningsmodeller och andra generella strategier klara i förväg; det då eleven mest sannolikt kommer att behöva dessa element för att lyckas ta sig an det givna problemet. Vidare nämner Silver (1981) att elever ofta ser tillbaka till tidigare lösta problem för att efterlikna processen man utförde då. Det sistnämnda sammanfaller väl med den traditionella typ av undervisning
som Wyndhamn et al. (2000) också visat vara dominant ute i klassrummen, särskilt vikten av att ge eleverna möjlighet att räkna uppgifter på egen hand.
Sammanfattningsvis, undervisning med problemlösning som mål; alternativt undervisning för problemlösning, har som huvudmål att ge eleverna möjlighet att utvecklas till goda problemlösare (Taflin, 2007). En sådan undervisning förutsätter därför att eleverna får fokusera på att lära sig strategier och modeller innan de kommer i kontakt med problemet (Silver, 1981). Det sistnämnda kan sättas i relation till om undervisningen istället skett genom problemlösning, där eleverna genom att initialt ges ett problem och genom bearbetning av desamma också utvecklar de andra matematiska förmågorna.
4.4.2 Problemlösning som medel
Att undervisa matematik genom problemlösning; det vill säga, att använda problemlösning som ett medel för att utveckla de andra matematiska förmågorna innebär att eleverna tilldelas ett problem där matematiska begrepp, modeller och strategier finns inbäddade - vilka eleverna i sin tur måste ta till sig för att sedan kunna lösa problemet (Lester & Cai, 2010).
Undervisning, där problemlösning ses som ett medel för utveckling av elevernas andra förmågor, byggs ofta upp genom att eleverna uppmanas att tänka bredare samt via introduktion till ett slags problemlösningsschema (Lester & Cai, 2010). Lester och Cai (2010, s. 5) listar här förslag på hur elever kan engageras vid undervisning genom problemlösning:
In particular, teachers should engage students in a variety of problem-solving activities: (a) finding multiple solution strategies for a given problem, (b) engaging in mathematical exploration, (c) giving reasons for their solutions, and (d) making generalizations.
Här betonas bland annat vikten av att ge eleverna möjlighet att undersöka om det finns olika lösningsmetoder som fungerar, möjlighet att argumentera för sin lösning samt att öka graden av generaliserbarhet. De aspekter Lester och Cai (2010) nämner kan urskönjas ur den modell Pólya (1945) presenterade för problemlösning. Här betonas vikten av att det inom undervisningen ges möjlighet att utarbeta och befästa ett problemlösningsschema hos eleverna. Pólya (1945) delar upp problemlösningsprocessen i fyra faser:
1. Att förstå problemet. Vad är det som söks? Vad är givet? Vad är villkoren? Är villkoren tillräckliga?
2. Att utarbeta en plan. Har du löst någon liknande uppgift tidigare eller känner du igen problemet? Försöka hitta samband mellan fakta i problemet och det obekanta som är sökt. Använd allt det givna och alla villkor för att sedan utarbeta en plan.
3. Att genomföra planen. Här är det viktigt att hålla sig till planen. Kontrollera kontinuerligt varje steg och stäm av med planen.
4. Att se tillbaka på lösningen. Kontrollera om genomförandet och resultatet är korrekt. Granska om genomförandet kan göras på ett enklare sätt och om resultatet kan bevisas på flera olika sätt. Granska om den genomförande metoden och resultatet kan utnyttjas vid lösning av andra problem.
Lester (1985), som utvecklat Pólyas (1945) tankesätt ytterligare, betonar vikten av att inte hoppa över det första steget. Enligt Lester (1985) hoppar ofta elever över det första steget och väljer istället att direkt planera, för att sedermera utföra planen. Det som upplevs vara svårt med steg två och tre är att förstå villkoren och att välja ett tillvägagångssätt att hålla sig fast vid. Det läraren ska göra för att förebygga detta är att ge eleverna tydliga instruktioner så att de ska veta när en viss teknik ska användas (Lester, 1985). Eleverna måste även få hjälp med att välja ut en bland många strategier och lära sig hur denna ska användas. I steg fyra räcker det inte med att lärare uppmanar eleverna till att se tillbaka och kontrollera att resultatet är korrekt. Eleven måste utöver detta kunna se sambandet till en annan uppgift eller regel när hen tittar på resultatet vilket då visar att eleven verkligen har förstått problemet. Vidare måste eleven analysera om svaret är rimligt i förhållande till frågan för att visa att hen har förstått problemet, som Henriksson (2009) menar upplevs som svårt. Det är alltså enligt Lester minst lika viktigt med steg fyra i Pólyas process, som det är med de övriga stegen. Det som läraren därefter borde fokusera på är själva genomförandet istället för svaret (Lester, 1985).
Sammanfattningsvis, undervisning med problemlösning som medel; alternativt undervisning
genom problemlösning, betyder att problemlösning används med huvudsyftet att utveckla de
andra matematiska förmågorna (Taflin, 2007). En sådan undervisning innebär att eleverna tilldelas ett matematiskt problem där begrepp, modeller och strategier som eleverna genom arbete med uppgiften upptäcker och befäster (Lester & Cai, 2010).
4.4.3 Problemlösning som mål och medel
Undervisningen ska enligt rådande ämnesplan för matematikämnet både ske genom och för problemlösning; med andra ord, undervisningen ska ge utrymme åt problemlösning som både mål och medel (Skolverket, 2011b). Undervisningen bör alltså innehålla både rent kunskapsbyggande moment, i paritet med det Silver (1981) samt Wilson et al. (1993) framhäver, men också moment där problemlösning används som medel för att utveckla de andra matematiska förmågorna, i paritet med det Lester och Cai (2010) framhåller.
Taflin (2007, s. 173–174) beskriver hur en lektion i problemlösning kan gå till. Detta arbetssätt kan jämföras med EPA-modellen. EPA är en förkortning av Enskilt, Par, Alla och beskriver de stegvisa faser som arbetet med ett matematiskt problem kan genomgå (Slavin, 1995). Taflin beskriver arbetsgången som att läraren först introducerar problemet. När eleverna har förstått problemet uppmanas de att fundera kring hur problemet kan lösas. Dessa tankar delas med en klasskamrat och tillsammans försöker de lösa problemet. Lärarens roll här blir att uppmana till att dela tankar och idéer med varandra, ställa frågor som får eleverna att tänka vidare samt som sista utväg ge eleverna ledtrådar kring hur man kan tänka. I sista fasen diskuteras lösningar och eleverna lyssnar på varandras tankegångar. Eleverna bör även här få chansen att fundera kring varför en viss lösning fungerade. Arbetsgången avslutas med att läraren generaliserar problemet och sammanfattar de viktigaste matematiska insikterna. Utöver lektionssekvensen tillkommer det för läraren även planering och utvärdering av aktiviteten.
Sammanfattningsvis; genom att arbeta på ovan beskrivna sätt blir således problemlösningen ett
medel för att utveckla de andra matematiska förmågorna. Samtidigt blir problemlösningen ett mål då eleverna analyserar och tillgodogör sig lösningsstrategier för att bli bättre problemlösare.
5. Metod
I följande kapitel beskrivs hur studien har genomförts för att kunna besvara våra formulerade forskningsfrågor. Kapitlet inleds med en beskrivning av den valda metoden. Därefter redovisas urval, hur genomförandet gick till samt våra etiska överväganden.
5.1
Val av metod
För att besvara våra frågeställningar valde vi intervjuer som metod. Intervjuer är lämpliga när det gäller att försöka ta reda på hur människor tänker, känner eller handlar i olika situationer (Alvehus, 2013). Då vi intresserade oss för lärarnas egna tankar kring problemlösning valde vi semistrukturerade intervjuer. Semistrukturerade intervjuer lämpar sig då intervjuaren har förhållandevis specifika teman som ska beröras men samtidigt lämnar stor frihet till intervjupersonen att utforma svaren på eget sätt (Bryman, 2011). Intervjuprocessen blir således flexibel och stor vikt kan läggas på hur intervjupersonen uppfattar och tolkar temat. Våra frågor under intervjun var huvudsakligen baserade på våra frågeställningar och kompletterades med följdfrågor för att kunna få en så bra bild som möjligt av vad lärarna ansåg.
5.2
Urval
Av sju kontaktade lärare avböjde två vänligen och hänvisade till tidsbrist. De övriga fem lärarna accepterade vår förfrågan. Samtliga informanter är legitimerade lärare i matematik och arbetar inom olika program på en gymnasieskola i södra Sverige. Urvalet av lärare gjordes genom ett bekvämlighetsurval. Bryman (2011) beskriver bekvämlighetsurval som ett urval där informanter som finns tillgängliga intervjuas. Faktorer såsom lärarnas ålder, kön, erfarenhet eller utbildningsbakgrund beaktades inte i urvalsprocessen. Att faktorerna valdes att bortses från motiveras genom att samtliga lärare förväntas arbeta efter aktuellt rådande läroplan, och då är betydelsen av nämnda faktorer inget som behöver beaktas vid besvarande av de frågeställningar vi ställt upp.
5.3
Genomförande
Efter färdigställande litteraturöversikten formulerade vi vår intervjuguide (se bilaga 1). Vi tog kontakt med lärarna och bestämde intervjutider. Kontakt med rektor på skolan togs angående ledig lokal och för godkännande av vår närvaro.
Som förberedelse inför intervjuerna genomförde vi en pilotstudie där vi intervjuande lärarstudenter. Pilotstudien resulterade i en reviderad intervjuguide. Vi försäkrade oss om att frågorna i intervjuguiden inte var ledande, exempelvis undvek vi att ställa den direkta frågan om lärarna arbetade med problemlösning som mål och medel. Istället ställde vi frågor kopplat till hur lärarna väljer att organisera klassrummet vid undervisning med problemlösning. Ett annat exempel, kopplat till frågeställning ett beträffande vilka kategorier av problem lärarna använde sig av, undvek vi att ställa den direkta frågan. Istället omformulerade vi oss och frågade om vi kunde få ta del av lärarnas material, däribland de problem som lärarna återkommande använder i undervisningen. Vidare, vi försäkrade oss också om att utesluta frågor som tenderade att få uteslutande likartade svar då dessa resultat, enligt Bryman (2011), blir av mindre intresse för studien som helhet. Frågor som respondenterna i pilotstudien hade svårt att förstå omformulerades så att de blev tydligare. Genom att genomföra en pilotstudie kunde vi också manövrera intervjuguiden så att frågorna kom i lämplig ordning.
Intervjuerna med lärarna hölls i en lugn miljö på skolan. Vi inledde varje intervju med att påminna om de etiska övervägande vi har beaktat. Vi gjorde en inspelning av varje intervju och transkriberade direkt efter varje intervju när våra intryck av kroppsspråk, betoningar och ordval fortfarande var i färskt minne.
5.4
Databearbetning
Efter avslutad intervju transkriberade vi direkt i ett separat dokument. Vi transkriberade intervjuerna ordagrant och samlade respektive informants svar under vars en rubrik. För att sedan kunna analysera materialet använde vi något som Bryman (2011) kallar tematisk analys. Denna metod är ett sätt för att konstruera och strukturera teman i den insamlade datan. Vår valda strategi för att analysera datan kallas framework. Ritchie et al. (2003, s. 219) i Bryman (2011) beskriver framework som “en matrisbaserad metod för att ordna och syntetisera data”. Detta görs genom att identifiera teman och subteman och skriva ut dessa i en matris.
Identifikationen av teman gjordes genom att vi i det transkriberade materialet sökte efter repetitioner, metaforer, likheter och skillnader. Vi jämförde sedan alla intervjuer och hittade teman som vi placerade under våra frågeställningar. Dessa teman blev rubriker till våra
kolumner i matrisen där respektive informants utsagor utgjorde raderna. Därefter valde vi att redogöra för dessa jämförelser i berättande bilder under resultatkapitlet.
För att få ett resultat på den andra frågeställningen analyserades lärarnas svar kring om problemlösningen användes som mål eller medel. De svar som anspelade på att de skulle bli bra problemlösare valde vi att kategorisera som att problemlösningen var ett mål med arbetsmetoden. Om lärarnas beskrivning innefattade att problemlösningen användes för att kunna utveckla flera förmågor tolkades detta som att problemlösningen var ett medel i undervisningen. De svar som anspelade på att flera andra förmågor förutom problemlösningsförmågan utvecklades samtidigt som de skulle förvärva nya strategier för att lösa liknande problem tolkades som mål och medel.
5.5
Etiska överväganden
Vår undersökning följde de etiska principer som Vetenskapsrådet (2011) listar. De fyra huvudprinciperna kan sammanfattas enligt följande:
1. Informationskravet: Alla informanter som ställde upp på intervjun fick i god tid ett e-post där de delgavs information beträffande undersökningens syfte. Det betonades att deras medverkan var frivillig och att de när som helst hade rätt att hoppa av. I meddelandet beskrevs även kortfattat hur intervjuerna skulle gå till och att de med fördel skulle spelas in givet lärarens godkännande.
2. Samtyckeskravet: Vid intervjutillfället undertecknade lärarna på en blankett där de bekräftade samtycke till sitt deltagande och godkände inspelning av intervjun.
3. Konfidentialitetskravet: Lärarna blev informerade att alla deras uppgifter skulle behandlas med största möjliga konfidentialitet. Det inspelade materialet och våra anteckningar förblev tillgängligt endast för undersökningens ansvariga. Det informerades om att skolans, samt lärarnas namn, förblev anonyma uppgifter i examensarbetet.
4. Nyttjandekravet: Lärarna blev informerade om att uppgifterna som samlas in endast ska användas för forskningsändamål och att all data skulle komma att användas i ett examensarbete vilket i sin tur kommer att finnas offentligt tillgängligt.
5.6
Tillförlitlighet
Det finns skiljaktigheter kring en direkt tillämpning av begreppen validitet och reliabilitet i kvalitativa studier (Bryman, 2011). Det finns osäkerhet kring hur den kvalitativa forskningen skulle kunna beskriva en absolut sanning kring den sociala verkligheten - vilket är meningen att framställa. Bryman (2011) presenterar ett alternativt tillvägagångssätt för att bedöma kvalitativa undersökningar vilket är att bedöma dess tillförlitlighet och äkthet. Tillförlitlighets delkriterier är trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet och en möjlighet att styrka och
konfirmera (Bryman, 2011, s. 354 - 355). Det är dessa kriterier vi har valt att utgå ifrån för att
bedöma vår studie.
Trovärdighet innebär att man säkerställer att studien har utförts enligt de regler som finns. Det handlar även om att återkoppla till lärarna för att säkerställa att vi uppfattat deras skildringar korrekt. Vår intervjuguide är baserad på faktorer i arbetets litteraturöversikt som var av betydelse vid arbete med problemlösning. Frågorna formulerades om flera gånger efter bland annat pilotstudien. Vi har diskuterat fram varje del i forskningsprocessen och varit överens kopplat till hur vi ska tolka och beskriva framkommen information. Vi avslutade varje intervju med att återkoppla till lärarnas svar på de olika frågorna med syfte att försäkra oss om att vi uppfattat deras resonemang rätt. Det som hade gjort trovärdigheten högre kunde vara att använda sig av triangulering. Det innebär att använda flera olika undersökningsmetoder och i analysen ställa resultaten mot varandra. Exempelvis funderade vi på att komplettera intervjuerna med observationer i klassrummet men ville undvika en känsla av att förhöra läraren. Å andra sidan kan risken med att enbart göra intervjuer vara att informanterna förskönar sina svar och inte svarar ur ett personligt perspektiv (Bryman, 2011).
Eftersom kvalitativ forskning har ett större djup än bredd blir det svårt att generalisera resultatet. Vi har dessutom gjort ett begränsat bekvämlighetsurval. Överförbarhet handlar istället om att ge utförliga och fylliga beskrivningar av den insamlade datan. Vi har transkriberat våra intervjuer väldigt noga. Eftersom det var många liknande svar valde vi att beskriva i berättande bilder för att slippa upprepningar. Vi har även tagit upp citat för att belysa en diskrepans och beskrivit data som var svårt att kategorisera.
Pålitlighet innebär att det skapas fullständig redogörelse i hela forskningsprocessen. Vi har även i handledningsgruppen använt oss av kollegial kritisk granskning av utkasten med regelbundna
mellanrum. På dessa handledningsträffar har frågor och synpunkter lyfts kring vilka delar som har behövts förtydligas. Detta har i sin tur ökat pålitligheten.
En möjlighet att styrka och konfirmera handlar om att säkerställa objektivitet. Genom att vi har varit två författare har vi kunnat granska varandras delar och hela tiden påminna varandra om objektivitet och att inte låta personliga värderingar påverka utförandet eller slutsatser.
6. Resultat och analys
I följande kapitel presenteras studiens resultat. De formulerade frågeställningarna har legat till grund för de underrubriker vilka återfinns i resultatavsnittet nedan. Resultatet efterföljs sedan av ett analysavsnitt där resultatet sätts i relation till studiens teoretiska ramverk.
6.1 Resultat
6.1.1 Vilken typ av problem används vid problemlösning?
Inledningsvis ombads lärarna beskriva hur de skulle vilja definiera ett matematiskt problem. Ett tydligt tema som framkom i deras redogörelser är att ett matematiskt problem kräver att eleverna tillämpar sina tidigare förvärvade kunskaper om matematiska begrepp och procedurer för att lösa ett sedan tidigare okänt problem. Det framkom emellertid en del skiftande definitioner frånskilt från det temat. Exempelvis definierar en av lärarna ett matematiskt problem som en textuppgift i paritet med de som återfinns i läroböckerna. Läraren (personlig kommunikation, 2018-04-19) utvecklar resonemanget och hävdar att
ett matematiskt problem är en textuppgift som innehåller viss typ av information och viss typ av fråga men saknar bild - vilket gör att eleverna gärna får rita en figur och sedan lösa problemet.
En tredje definition av ett matematiskt problem, även den distanserad från temat, beskrevs som en uppgift vilken måste lösas genom flera steg och det i sin tur exemplifieras med uppgifter hämtade direkt ur aktuell lärobok, såsom olika former av optimeringsuppgifter. De två sistnämnda definitionerna utelämnar helt aspekter som exempelvis att vare sig problemet eller möjliga lösningsstrategier inte ska vara känt för eleven sedan tidigare.
Lärarna som gemensamt pratade om matematiskt problem enligt det urskönjda temat argumenterade för att inkludera flertalet olika kategorier av matematiska problem i undervisningen. Deras exempel på olika typer var öppna problem respektive rika problem. Ett gemensamt exempel på ett öppet problem var det så kallade “flaggstångsproblemet” vilket innebär att elevernas uppgift är att uppskatta höjden av flaggstången som står på skolgården. Uppgiften är alltså densamma för samtliga elever men deras val av metod kan komma att variera. Om eleverna använde olika tillvägagångssätt menade lärarna att problemet med fördel
följdes upp med en rik diskussion kring varför det eventuellt blev olika svar samt kring vilket tillvägagångssätt som är optimalt. En av lärarna gav olika mönsterproblem med stegrande svårighetsgrad som exempel på rika problem.
Sammanfattningsvis, i lärarnas svar kunde det urskönjas att de använde flera olika typer av matematiska problem i sin undervisning. De var tydligt inspirerade av öppna problem likt flaggstångsproblemet men hade lite olika uppfattningar huruvida uppgifterna i boken var problemlösningsuppgifter eller ej.
6.1.2 Hur används problemlösning i matematikundervisningen?
Utifrån frågan beträffande hur lärarna undervisar med problemlösning var svaren förhållandevis samstämmiga. Det gemensamma temat var att lärarna planerar för grupparbete. Lärarna menade att diskussion mellan elever ofta leder till att de lite svagare eleverna får stöttning av de som har mer förkunskaper med sig. En av lärarna (personlig kommunikation, 2018-04-20) uttryckte sig på följande vis:
Problemen bör eleverna gärna lösa tillsammans med någon (någon annan klasskamrat). Man tar sig själv till en viss gräns - men, när man kör fast, ja då har man ju kört fast, och då kan man ju behöva input från en kompis. Så jag vill gärna att de (eleverna) sitter i par och löser problemen, eller kanske tre eller max fyra; helst i par - sen lyfter vi upp det i helklass.
Ett tema kring lärarnas förslag på lektionsupplägg med problemlösning var att läraren först introducerar problemet och beskriver situationen. Därefter uppmanas eleverna att fundera enskilt kring hur problemet kan lösas. Efter en liten stunds betänkande uppmanas eleverna arbeta i grupp och försöka lösa problemet. När de flesta anser sig färdiga uppmanas eleverna gå fram och presentera sina lösningar på tavlan och förklara hur tankegångarna gick. Genom att arbeta på det sättet argumenterade lärarna för att eleverna får möjlighet att utveckla fler matematiska förmågor än enbart problemlösningsförmågan samtidigt som de utvecklas till goda problemlösare.
En av lärarna argumenterade istället för att en typisk problemlösningslektion innebär att det aktuella matematikområdet först introducerades med en traditionell genomgång. Därefter
arbetar eleverna i grupp med uppgifter i boken, som behandlar det presenterade innehållet, för att sedan ha en lärarledd genomgång av lösningen till respektive problem på tavlan. Den aktuella läraren argumenterade för att målet med undervisningen är att eleverna ska ges möjligheter att utvecklas till goda problemlösare - något som i sin tur kommer till användning även utanför matematikklassrummet.
Sammanfattningsvis, lärarna är tillsynes oense om hur undervisningen med problemlösning bör organiseras. En stor skillnad är exempelvis hur lektionens sammanfattade del organiseras; antingen är det läraren som går igenom lösningen på problemet - eller så förväntas eleverna kollektivt bidra med det. Merparten av lärarna beskrev emellertid att de använde problemlösning dels som ett medel för att rent generellt utveckla elevernas matematikförståelse, men även att de hade som mål med undervisningen att eleverna ska bli goda problemlösare. Det sistnämnda var även det ett tema som genomlyste samtliga lärares syn på problemlösning.
6.1.3 Vilka faktorer beaktar lärarna inför arbete med problemlösning?
Då lärarna tydligt argumenterade för att problemlösning bör kombineras med grupparbete betonades vikten av att i förväg fundera över gruppsammansättning och med den enskilde elevens medhavda förutsättningar och behov. En av lärarna lyfte lärarens roll under ett lektionspass där eleverna arbetar med problemlösning och argumenterade för att den innebär att vara en handledande resurs för eleverna - oavsett om de arbetar enskilt eller som del i en grupp. Därav betonades vikten av att i förhand beakta elevernas medhavda kunskaper samt fundera över vilka svårigheter eleverna kan ställas inför givet det aktuella problemet.En annan faktor som lärarna ansåg vara central var tidsåtgången. Det var emellertid en av lärarna som, till skillnad från de övriga, inte såg tidsaspekten som ett problem. Istället menade lärare att om man inkluderar problemlösning i undervisningen så sparar det mest sannolikt tid, då flera av de matematiska förmågorna aktiveras och utvecklas samtidigt.
En av lärarna argumenterade för att problemen som delas ut till eleverna bör vara nivåanpassade, så att varje elev får ett problem som ligger i paritet med sin kunskapsnivå, eller lite högre. Här nämns det att om eleven då klarar en lite svårare uppgift torde dess självförtroende öka, men även lusten att sedermera ta sig an mer komplicerade problem.
Sammanfattningsvis, samtliga lärare lyfte fram tidsåtgången samt grupparbetets vikt vid arbete med problemlösning. Dessa är således de mest beaktade faktorerna som lärarna tänker igenom inför lektionen.
6.2 Analys
Kopplat till lärarnas skilda definitioner av ett matematiskt problem uppstod också en viss skillnad på hur lärarna arbetar när de anser sig undervisa med problemlösning. En aspekt som genomlyste samtliga lärares syn på problemlösning var att det med fördel kombineras med grupparbete där eleverna ges möjligheter att samarbeta och kommunicera med varandra med målet att kollektivt lösa det utdelade problemet. Resonemanget klingar väl samman med det sociokulturella perspektivet på lärande vilket legat till grund som teoretiskt ramverk för undersökningen.
Att lärarna väljer matematiska problem vilket inbjuder till, och på förhand planerar för ett optimalt upplägg för, diskussion mellan eleverna innebär enligt det sociokulturella perspektivet att goda möjligheter till lärande uppstår. Språket har, i den sociokulturella traditionen, i det aktuella sammanhanget en central roll som ett fundamentalt psykologiskt, av Säljö (2005) benämnt som språkligt, medierande redskap. Medierande redskap används för att möjliggöra handling i, och förståelse av, den situation det matematiska problemet ställer eleverna inför. I sammanhang av grupparbete förekommer det ofta en naturlig form av stöttning, av Säljö (2014) benämnt som scaffolding, vilket kortfattat innebär att elever med högre andel medhavda förkunskaper om begrepp och lösningsstrategier agerar stöttande åt elever med mindre. Det sistnämnda torde vara anledningen till att lärarna beaktar gruppsammansättning som en av de viktigare faktorerna att fundera över innan en lektion med problemlösning.
Utöver att lärarna betonar vikten av grupparbete och därigenom möjlighet för eleverna att genom språket mediera situationen betonade en del av lärarna att exempelvis läroboken alltjämt har en viktig roll i deras undervisning. Ur ett sociokulturellt perspektiv på lärande skiljer man på språkliga (psykologiska) samt materiella (artefakter) medierande redskap. Läroboken är, för flertalet av lärarna, alltjämt den mest använda artefakten i matematikklassrummet; ur vårt resultat att utdöma, även då matematik undervisas via problemlösning.
Ett annat perspektiv som direkt eller indirekt belystes av lärarna var vikten av elevernas medhavda förkunskaper kopplat till matematiska begrepp och lösningsstrategier beaktas vid planering av vilka problem som ska användas i undervisningen.
Lärarna argumenterade för att problemen bör vara av skiftande och gärna stegrande svårighetsgrad med syftet att eleverna ska få tillgång till ett problem som ligger inom räckhåll, alternativt på en aning högre nivå än deras kunskaper för tillfället tar dem till. Ur ett sociokulturellt perspektiv på lärande sammanfaller ovanstående med begreppet “den närmaste proximala utvecklingszonen” vilket en av lärarna de facto påpekade. I den proximala utvecklingszonen är eleven öppen för att erövra nya kunskaper. Skillnaden mellan elevens kunskapsnivå och svårigheten på problemet får emellertid inte vara alltför stor; därav framstår av lärarna föreslagit upplägg inkluderande stegvis ökad svårighetsgrad på utdelade problem vara fördelaktigt. Även här blir begreppet stöttning centralt; genom att eleverna handleds av läraren eller en mer kompetent kurskamrat torde eleven också i större grad lyckas ta sig an problemet och i längden också införskaffa djupare matematikkunskaper.
Sammanfattningsvis, lärarnas definition av ett matematiskt problem kom att prägla hur undervisningen sedermera organiserades. Obeaktat definitionen av ett matematiskt erhölls emellertid redogörelser för undervisningssekvenser med tydlig sociokulturell koppling. Exempelvis poängterade samtliga lärare vikten av att låta eleverna samarbeta och diskutera med varandra.
7. Diskussion och slutsats
I följande kapitel kommer undersökningens resultat att diskuteras och därigenom sättas i relation till den tidigare forskningen som presenterats samt till arbetets syfte. Vidare följer ett resonemang kring vilka konsekvenser undersökningens resultat ger upphov till med den framtida yrkesrollen som lärare i åtanke. Det i sin tur efterföljs av en metoddiskussion och slutligen listas förslag till vidare forskning och slutsats med utgångspunkt från vad som presenterats i aktuellt arbete.
7.1 Diskussion
7.1.1 Resultatdiskussion
Syftet med undersökningen var att undersöka hur verksamma lärare tänker kring, och arbetar med, problemlösning i matematikundervisningen. Under vår utbildning har det pratats väl om problemlösning men under vår verksamhetsförlagda utbildning har vi inte sett att problemlösning används i så stor utsträckning. Syftet härstammar i grunden från skrivningen i den aktuella ämnesplanen för matematikämnet vilken konstaterar att undervisningen ska “ge utrymme åt problemlösning som både mål och medel” (Skolverket, 2011b). Vår undersökning har emellertid påvisat att så inte alltid blir fallet när lärarna ger sig i färd med att omsätta läroplanens andemening till undervisningssituationer.
När resultatet kopplat till den första frågeställningen sammanställdes blev det tydligt att intervjuerna påvisade en stor skillnad i hur lärarna valde att definiera ett matematiskt problem. En av lärarna menade på att textuppgifter ur boken är matematiska problem. En annan lärare menade att uppgifter där lösningsprocessen sker i flera steg är matematiska problem. Resterande tre lärare menade istället att matematiska problem är problem där eleverna behöver använda förvärvad kunskap för att lösa sedan tidigare okända problem. Detta ligger i samklang med den tidigare forskning vi har tagit del av. Blum & Niss (1991) argumenterar för att matematiska problem inte har någon omedelbar lösningsstrategi vilket kan kopplas till att problemet ska vara okänt för eleven. Taflin (2007) betonar att matematiska problem inte på förhand finns någon given metod vilket lärarna även samstämmer i. Vi instämmer i de tre sistnämnda lärarnas definition och menar att ett problem är när man från början inte vet hur man ska gå tillväga utan får vända och vrida på informationen som bistås för att komma fram till en lösning. I intervjuerna framkom ett par olika kategorier av matematiska problem vilka
överensstämmer med av Skolverket (2014) listade. Olika kategorier av problem möjliggör även variation av undervisningen genom att introducera nya och varierande lösningsstrategier.
Resultatet kopplat till studiens andra frågeställning pekade på att det skiljer sig hur lärarna genomför undervisning med problemlösning. Samtliga lärare ansåg att undervisningen bör organiseras så att eleverna i första hand enskilt eller gruppvis arbetar med problemet; därefter görs en lärarledd gemensam genomgång i helklass. Det som skiljde lärarnas tankar åt var hur varje enskild fas organiserades. En lärare förklarade att hen först går igenom teorin som behövs för att lösa problemet. Därefter arbetar eleverna enskilt eller i grupp med problemen för att sedan i helklass lyssna på lärarens genomgång av lösningen på tavlan. Några lärare beskrev en metod som kan liknas med EPA-modellen. Lärarna beskrev en undervisningssekvens där läraren först introducerar problemets kontext. Därefter arbetar eleverna först enskilt och sedan i grupp. Slutligen lyfter olika grupper sina lösningar på tavlan inför klassen. På detta sätt tränar eleverna sin kommunikationsförmåga och tvingas förstå problemet på ett djupare plan. Läraren leder därefter diskussionen kring vad som är viktigt att ha med sig och eventuellt varför olika lösningsstrategier fungerar alternativt inte fungerar.
Resultatet kopplat till frågeställning tre visar på en koppling mellan hur lärarna initialt i intervjun definierar vad de anser vara ett matematiskt problem och deras sedan skiftande svar kopplat till frågeställning 3. Det återspeglar, som tidigare nämnt, hur de sedermera organiserar undervisning genom problemlösning och således även vilka faktorer de anser vara viktiga att beakta i ett planeringsstadium. Lärare som anser att uppgifterna i boken är utmärka problemlösningsuppgifter tenderar att lägga upp undervisningen med läroboken som central utgångspunkt. Vidare betonar samma lärare att den mest beaktade faktorn inför lektionen är tidsåtgången. I aktuellt fall utkristalliseras att problemlösning förmodas vara målet med undervisningen, upplägget där eleverna initialt tränas i begrepp och strategier ger eleverna på sikt möjligheter att bli goda problemlösare. Däremot, de lärare som delar vår egen definition av vad ett matematiskt problem är, tenderar istället att i förväg fundera över faktorer såsom gruppsammansättning och en stegrande nivå av utdelade problem. Det i sin tur innebär att klassrummet istället blir en arena för diskussion, där elever lär och utvecklas i samarbete med varandra. I aktuellt fall tolkar vi det som att problemlösning, tvärtemot exemplet med lärobokscentrerad undervisning, istället blir ett medel bland flera med syftet att ge eleverna möjligheter att utveckla övriga förmågor inom matematikämnet. Det är viktigt att notera att ett upplägg i paritet med förslaget även åstadkommer möjligheter för eleverna att utveckla sin
problemlösningsförmåga; därav argumenterar vi för att ovanstående upplägg är ett utmärkt exempel på när problemlösning både används som mål och medel, det vill säga i överensstämmelse med ämnesplanens riktlinjer. En av lärarna, som enligt vår tolkning använder problemlösning som både mål och medel, nämner även tidsåtgången som en viktig faktor att beakta. Till skillnad från övriga argumenterade hen för att tiden inte blir något problem; om undervisning sker genom problemlösning argumenteras det istället för möjlig tidsbesparing, det då eleverna får möjlighet att träna och utveckla flera av de matematiska förmågorna samtidigt.
Forskningen som vi har tagit del av visar på att matematiska problem definieras olika vilket även borde återspegla sig i hur lärarna väljer att definiera begreppet. Å andra sidan har Skolverket (2011c) i sitt kommentarmaterial definierat vad de avser med matematiska problem vilket borde vara det som även ska vara den generella tolkningen. Vidare har det varit svårt att återfinna forskning som direkt anspelar på arbetets tre frågeställningar; exempelvis på hur undervisning bör konstrueras och studier som konkret belyser både positiva och negativa effekter av arbete med problemlösning. Även det faktum att begreppet problemlösningsförmåga inte enhetligt definieras är problematiskt; Skolverket (2011c) å sin sin tur hävdar att det är en separat förmåga, medan Pólya (1945) å andra sidan kan tolkas beskriva fyra olika slags förmågor som anspelar Skolverkets (2011c). Vidare har ett tilltänkt lektionsupplägg presenterats av Taflin et al. (2007) presenterats; dock kan effekten, i jämförelse med elever som inte arbetat på det sättet, inte tillstyrkas vara varken positiv eller negativ. Det i sin tur leder till att det finns en osäkerhet kring hur man ska konstruera uppgifterna. Taflin et al. (2007) presenterar flertalet förslag på rika matematiska problem men i övriga kategoriseringar av ett matematiskt problem har vi inte återfunnit förslag i forskningen. Eftersom det råder osäkerhet i forskningen på flertalet ovan beskrivna aspekter skapar det osäkerhet även hos lärarna kring undervisning genom problemlösning.
Sammanfattningsvis, i efterhand har den befarade diskrepans mellan den formella läroplanens skrivelse beträffande att eleverna ska möta problemlösning som både mål och medel inom ramen för matematikundervisningen och den så kallade genomförda läroplanen visat sig existera. Det förefaller vara intressant hur lärarnas skilda tolkningar av vad ett matematiskt problem de facto påverkar både synen på problemlösning och hur en problemlösningsbaserad lärandemiljö sedermera organiseras.
