Funktioner
Uppdaterad: 170424 Har jag använt någon bild som jag inte får använda? Låt mig veta så tar jag bort den.
christian.karlsson@ckfysik.se
Funktioner, allmänt Översikt
Mer om y = x2 Mer om y = ex Mer om y = sin x
…
Funktioner
1
En funktion är en regel som till varje x-värde ger ett y-värde.
“En avbildning är en föreskrift, sådan att till varje element i en mängd X ordnas ett och endast ett element i en mängd Y.
Om X och Y är talmängder, talar man om en funktion.”
Exempel:
y = 7x −1
y = 3x2 + 4x − 7 y = 20x4
y = 1 x + 2 y = 20 ⋅ 4x
y = x2 − 4 x + 2
[1]
Funktion 2
y = x2 y = x
Hur få funktionsvärdet?
kva x rot x
multiplicera talet x med sig självt
y = ex exp x
hitta det (positiva) tal som mult. med sig självt blir x
beräkna e (≈2,718...) upphöjt till x
y = sin x sin x Gör en enhetscirkel. Ställ dig i (0,1).
Gå x längs bågen i positiv riktning.
Läs av y-koordinaten.
alternativt skrivsätt
y = cos x cos x
y = tan x tan x
y = sin x cos x
Gör en enhetscirkel. Ställ dig i (0,1).
Gå x längs bågen i positiv riktning.
Läs av x-koordinaten.
Funktion 2
y = x2 y = x
Hur få funktionsvärdet?
kva x rot x
multiplicera talet x med sig självt
y = ex exp x
hitta det (positiva) tal som mult. med sig självt blir x
beräkna e (≈2,718...) upphöjt till x
y = sin x sin x Gör en enhetscirkel. Ställ dig i (0,1).
Gå x längs bågen i positiv riktning.
Läs av y-koordinaten.
alternativt skrivsätt
y = cos x cos x
y = tan x tan x
y = sin x cos x
Gör en enhetscirkel. Ställ dig i (0,1).
Gå x längs bågen i positiv riktning.
Läs av x-koordinaten.
x behöver inte vara en vinkel!
Kan se x som ett tal!
Funktion 2
y = x2 y = x
Hur få funktionsvärdet?
kva x rot x
multiplicera talet x med sig självt
y = ex exp x
hitta det (positiva) tal som mult. med sig självt blir x
beräkna e (≈2,718...) upphöjt till x
y = sin x sin x Gör en enhetscirkel. Ställ dig i (0,1).
Gå x längs bågen i positiv riktning.
Läs av y-koordinaten.
alternativt skrivsätt
y = cos x cos x
y = tan x tan x
y = sin x cos x
sin x = 1
1!x − 1
3!x3 + 1
5!x5 −...
Maclaurinutvecklingar
cos x =1− 1
2!x2 + 1
4!x4 − 1
6!x6 − ...
ex = 1+ 1
1!x + 1
2!x2 + 1
3!x3 + ...
tan x = x +1
3x3+ 2
15x5 + 17
315x7 + ...
[2]
Gör en enhetscirkel. Ställ dig i (0,1).
Gå x längs bågen i positiv riktning.
Läs av x-koordinaten.
3
Funktion
y = x2 y = x
Hur få funktionsvärdet?
kva x rot x
multiplicera talet x med sig självt
hitta det (positiva) tal som mult. med sig självt blir x
alternativt skrivsätt
Mer om y = x2
“baklängeskva”
x y = x2
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
y = x x
y = ex exp x beräkna e (≈2,718...) upphöjt till x ex = 1+ 1
1!x + 1
2!x2 + 1
3!x3 + ...
4
Funktion
y = ln x
Hur få funktionsvärdet?
elg x hitta det tal som e upphöjt till blir x
alternativt
skrivsätt Maclaurinutveckling
Mer om y = ex
“baklängesexp”
x y = ex
0 1
0,5 ≈ 1,65
1,0 ≈ 2,72
1,5 ≈ 4,48
2,0 ≈ 7,39
2,5 ≈ 12,18
y = ln x x
Räknaren ger funktionsvärden!
y = sin x sin x Gör en enhetscirkel. Ställ dig i (0,1).
Gå x längs bågen i positiv riktning.
Läs av y-koordinaten.
3
Funktion
y = arcsin x
Hur få funktionsvärdet?
asn x
alternativt skrivsätt
Mer om y = sin x
“baklänges-sin”
x y = sin x
0 0
0,5 ≈ 0,48
1,0 ≈ 0,84
1,5 ≈ 1,00
2,0 ≈ 0,91
2,5 ≈ 0,60
y = arcsin x x
sin x = 1
1!x − 1
3!x3 + 1
5!x5−...
Maclaurinutveckling
Räknaren (inställd på radianer) ger funktionsvärden!
Källor
[1] J. Thompson & T. Martinsson, Matematiklexikon (Wahlström & Widstrand, 1991), s. 33 [2] L. Råde & B. Westergren, Beta Mathematics Handbook (Studentlitteratur, 1990), s. 177-179.
X
