1 av 23
RELATIONER OCH FUNKTIONER
1. ORDNADE LISTOR (n-tipplar)
Ordningen i en mängd spelar ingen roll. Exempelvis {1,2,3}={3,1,2}={1,3,2}.
För att beskriva listor med objekt där ordningen är viktigt använder vi rundparenteser (eller ibland hakparenteser).
Sådana ordnade listor med n element kallar vi n-tipplar.
Två n-tipplar är lika om och endast om de har lika element på motsvarande platser. Alltså )
,..., , ( ) ,...
,
(a1 a2 an = b1 b2 bn om och endast om
1
1 b
a = , a = ,…, 2 b2 a = n bn
Exempelvis följande ordnade par är olika
(1,2) ≠ (2,1) (medan mängderna {1,2} och {2,1} är lika).
Samma gäller för tripplarna (1,2,3) ≠ (3,1,2) (medan mängderna {1,2,3}={3,1,2})
2. PRODUKTMÄNGD
Definition 1. Låt A och B vara två givna mängder. Man definierar deras produktmängd B
A× genom
} ,
: ) ,
{(a b a A b B B
A× = ∈ ∈ .
Element i produktmängen A×B består alltså av alla ordnade par vars första komponent (koordinat ) är från A och den andra från B. Observera att A×B och B ×A är i allmänt olika mängder. De är lika endast om A=B.
Anmärkning: Produktmängden A×B kallas även den kartesiska (eller cartesiska)
produkten av A och B, efter den franske matematikern René Descartes , (latin: Cartesius).
Produktmängen A×B kan vi åskådligt göra i en s.k. kartesiskt diagram ( eller kartesiskt koordinatsystem) där vi ritar horisontellt element från första mängden A och vertikal element från B.
Exempelvis, om A ={1,2,3} och B={a,b} så är A×B={(1,a), (1,b),(2,a),(2, b),(3,a),(3, b)} som vi kan åskådligt göra i nedanstående diagram.
1 2 3
a (3,a)
b
(1,a) (2,a) (3,b) (1,b) (2,b)
A
B ProduktmängdenAxB
2 av 23 Mängdprodukten A ×Abetecknas kortare A2.
T ex. R2 =R×R={(x,y):x∈R,y∈R} , där R betecknar mängden av alla reella tal, brukar åskådligt göras med hjälp av ett koordinatsystem i xy-planet:
O(0,0)
(x,y)
x y
Exempel 1. Låt A= {1,2,3,4} och B = {a,b}. Bestäm a) A×B och b) B ×A.
Svar: a) A×B={( ,1a),( ,1b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)}
b) B×A={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4)}
RELATIONER
Begreppet relation är väldigt viktigt inom flera matematiska områden och olika tillämpningar (diskret matematik, kombinatorik, grafteori, datologi, programmering, ekonomi, transport,…)
En relation är en icke-tom delmängd av en given mängdprodukt.
Definition 2. Låt A och B vara två icke-tomma mängder och låt ρ beteckna en
godtyckligt, icke-tom delmängd av produktmängden A×B. Vi säger då att ρ är en binär relation från mängden A till mängden B.
Om ( ba, )∈ρ säger vi att element a står i relationen ρ till elementet b (eller kortare a är relaterad till b).
Detta oftast skrivs som aρ . b
Definition 3. Mängden A i ovanstående definition (Def 2) kallar vi startmängd och mängden B målmängd.
Relationens definitionsmängd är D={a∈A:(a,b)∈ρ}. Relationens värdemängd är V ={b∈B:(a,b)∈ρ}.
(På liknande sätt definierar vi nedan definitionsmängd och värdemängd för en funktion .)
3 av 23
Anmärkning 1. Man kan välja vilken som helst bokstav för att beteckna en relation S, T, s, t, o.s.v. Väldigt ofta väljer man R, r eller ρ (grekisk rho).
Anmärkning 2. Istället för en ” binär relation” säger man oftast bara ”relation”.
--- En relation kan vi ange på två sätt:
i) Genom att ange produktmängden (d.v.s. att ange start mängd och målmängd) och ett eller flera villkor för element som bildar relationen.
Exempel 2. ρ1 ={(x,y)∈R×R: x2+y2 =4} dvs ρ1är mängden av alla talpar vars koordinater är reella tal som uppfyller x2+ y2 =4 (dvs cirkeln med radien 2 och centrum i origo ).
ii) Om antalet par som bygger en relation är ändlig kan vi definiera relationen genom att ange alla par som hör till relationen.
Exempel 3. Låt A={a,b,c,d} och B={x,y,z}. Då är produktmängden
)}
, ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), ,
{(a x a y a z b x b y b z c x c y c z d x d y d z B
A× = .
Om vi väljer en delmängd till A×B t ex B A x d z c x b z a y
a ⊆ ×
={( , ),( , ),( , ),( , ),( , )}
ρ2
då har vi definierat en relation från A till B.
--- En relation kan vi illustrera på flera olika sätt.
Vi kan illustrera en relation med hjälp av en tabell . För att tolka korrekt måste man ange om den första mängden i relationen ligger horisontellt eller vertikalt.
i) I nedanstående tabell (matris), som visar relationen ρ, ligger den första mängden A horisontellt. Därmed visar tecknet * att nedanstående element står i relationen mot det element som står till vänster om *. T ex b står i relationen ρ till x.
)}
, ( ), , ( ), , ( ), , ( ), ,
{(a y a z b x c z d x
ρ = :
z * *
y *
x * *
a b c d
ii)
I nedanstående figur framställer vi samma relation ρ genom att ange de första
koordinaterna vertikalt (till vänster om tabellen) och de andra koordinaterna horisontellt ( ovanpå tabellen) .
(Denna metod används ibland i grafteori och köteori.)
4 av 23 )}
, ( ), , ( ), , ( ), , ( ), ,
{(a y a z b x c z d x ρ =
x y z
a * *
b *
c *
d *
iii) Vi kan illustrera en relation med hjälp av pilar som visar relaterade element. Pilen startar i första mängden.
Relationen ρ ={(a,y),(a,z),(b,x),(c,z),(d,x)} illustrerar vi med nedanstående figur.
a b c d
x y z
A B
---
iv) En relation i R ×R dvs i R2, där R betecknar mängden av reella tal definierar vi genom att ange villkor för de talpar som hör till relationen. Vi illustrerar en sådan relation med en grafisk bild, genom att rita punktmängden av de talpar som ligger i relationen.
Exempel 4. Låt S={(x,y)∈R×R:x≤3,y≤2}. Nedanstående graf (den gröna delen) illustrerar relationen S.
O
y
3 2
S x
5 av 23
Exempel 5. Låt S={(x,y)∈R×R: y=x+1}. Då illustreras relationen S med den räta linje i xy-planet vars ekvation är y=x+1.
O x
y y=x+1
Exempel 6. (Denna uppgift kan du lösa efter lektionen om andragradskurvor) Rita följande mängd i xy-planet
A= {(x,y) ∈R2 : x2+y2 ≤ 9 }
Svar: Cirkelskivan med radien r = 3 och centrum i origo:
D A
3
Exempel 7. (Denna uppgift kan du lösa efter lektionen om andragradskurvor) Rita följande relation i xy-planet
D= { 1
: 4 )
,
(x y ∈R2 x2 +y2 < och y ≥ 0 } Svar: (Den blå delen i nedanstående figur.)
---
Invers relation. Låt ρ ⊆ A×Bvara en relation från A till B. Inversen till relationen ρ är en relation från B till A som vi betecknar ρ−1 ⊆B ×A och definierar som
} ) , ( : ) ,
1 {( ρ
ρ− = y x x y ∈ .
Exempel 8. Låt A={a,b,c,d} och B={1,2,3}. Låt B
A c
b a
a ⊆ ×
={( ,2),( ,3),( ,1),( ,1)}
ρ .
6 av 23 Då är inversen ρ−1={(2,a),(3,a),( ,1b),( ,1c)}⊆B×A
ba c d
21 ρ 3
A B
1 2 3
B
ab c A d
1
ρ−
inversen
Anmärkning: Inversrelation är alltid definierad (till skillnad från inversfunktion, som vi diskuterar nedan)
FUNKTIONER (eller avbildningar)
Definition 4a. Låt A och B vara två icke-tomma mängder. En icke-tom delmängd f av produktmängden A×B kallas funktion (eller avbildning) från A till B om
varje x ∈ förekommer i högst ett av paren i f . A
Formellt kan vi utrycka definitionen av en funktion f enligt följande:
En relation f ⊆A×B är en funktion om och endast om z y f z x f
y
x, )∈ och ( , )∈ ]⇒ = [(
Om vi jämför definitioner för relation och funktion ser vi att en funktion är en relation med egenskapen att första koordinat förekommer högst en gång.
Följande ekvivalenta definition av begreppet ”funktion” används i matematisk analys:
Definition 4b En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Att f är en funktion från A till B betecknar vi på följande sätt f : A → B.
Om ( x,y)∈f skriver vi oftast y= f(x).
Vi säger också att x är funktionens oberoende variabel eller argument.
Bokstaven y i uttrycket y = f(x) kallas funktionens beroende variabel.
I detta fall kallas y funktionsvärdet för argumentet x.
Exempel 9. Låt A={1,2,3,4} och B={12, 15, 22}. Bestäm om följande relationer är funktioner.
7 av 23
a) S1={(1, 12), (1,15), (4,22)} b) S2={(1, 22), (3,15}, (4,22)}
Lösning: a) Relationen S1 är inte en funktion eftersom första koordinaten 1 förekommer två gången (finns i två par (1, 12) och (1,15) ).
b) Relationen S2 är en funktion eftersom första koordinaterna (dvs element som hör till A={ 1,2,3,4} ) förekommer högst en gång.
Exempel 10. Låt A={a,b,c,d} och B={x,y,z}. Bestäm om relationer S1 och S2 som definieras i nedanstående figurer är funktioner.
a b c d
x y z
A B
a b c d
x y z
A B
i) ii)
S1 S2
Lösning: i) Relationen S1 är inte en funktion eftersom a förekommer två gången som första koordinaten ( Från a går två pilar, mot y och mot z. Därmed finns a i två par (a, y) och (a,z) ).
ii) Relationen S2 är en funktion eftersom de första koordinaterna förekommer högst en gång (Från varje element i A går högst en pil mot B).
Exempel 11. Bestäm om relationer S1 (en ellips) och S2 (en parabel), som definieras i nedanstående kartesiska koordinatsystem, är funktioner.
x y
x O
O
y S1 S2
a) b)
Lösning:
a) Relationen S1 är inte en funktion.
8 av 23
x=a
x
O
y
a S1
Det finns minst en linje x=a som skär grafen i två punkter (se ovanstående figur). Därmed finns a i två par (a, y1) och (a,y2) som hör till relationen S1. Härav följer att relationen S1
inte är en funktion.
b) Relationen S2 är en funktion eftersom en godtycklig linje x=a skär grafen i högst en punkt. Med andra ord förekommer de första koordinaterna högst en gång.
x y
O a
S2
Definitionsmängd och värdemängd.
Funktionens definitionsmängd och värdemängd definieras genom }
) , ( par ett finns det :
{x A x y f
Df = ∈ ∈
} ) , ( par ett finns det :
{y B x y f
Vf = ∈ ∈
Grafen Gf till funktionen är mängden
Gf={( x,y): ( x,y)∈f}={(x, f(x)): x∈Df}.
Anmärkning: I kurser omenvariabelanalys brukar vi åskådligt göra grafen till en funktion i xy-planet.
Mängden A ar funktionens startmängd (eng: initial set ). Mängden B är funktionens målmängd eller kodomän (eng: final set, target set, codomain,).
x f y=f(x)
A B
Vf
Df
B A f: →
y x →
9 av 23
Man kan också definiera definitionsmängden och värdemängden på följande sätt:
Definitionsmängden (eng: domain) Df till funktionen f är mängden av alla originaler dvs mängden av alla x på vilka f tillämpas (den gula mängden i grafen).
Värdemängden (eng: range) Vf är mängden av alla bilder f(x) som fås då x genomlöper definitionsmängden, eller mer precis
} :
) (
{ f
f f x x D
V = ∈ (den blå mängden i ovanstående graf).
Notera skillnaden mellan startmängden A och definitionsmängen Df samt skillnaden mellan målmängden B och värdemängden Vf .
Generellt gäller: Df ⊆ Aoch Vf ⊆B. Exempel 13. (Ändliga A och B)
Bestäm startmängden, målmängden, definitionsmängden och värdemängden för funktionen f :A→B, som definieras i figuren till höger.
Svar:
startmängden =A= {1,2,3,4} målmängden = B ={a,b,c,d,e}, definitionsmängden är Df ={1,2,3}, värdemängden är Vf ={ ca, }.
================================================================
I kurser om envariabelanalys betraktar vi reella funktioner y= f(x) av en reell variabel, med andra ord, både x och y är reella tal dvs f :R→R.
För att definiera en funktion f :R→R måste vi ange 1. funktionens definitionsmängd Df.
och 2. ett uttryck y= f(x) ( dvs en regel som till varje x ∈Df ordnar exakt ett reellt tal f(x) ) .
Lägg märke till att vi kan beteckna variabler med andra bokstäver:
T ex, vi betraktar f(x)=3x2 +8, x∈R och g(t)=3t2 +8, t∈R som två lika funktioner.
Funktionens värdemängd Vf är mängden av alla f(x) då x varierar inom definitionsmängden dvs
} :
) (
{ f
f f x x D
V = ∈
Definitionsmängden för funktionen f(x) i figuren till höger är Df =(1,8]
medan värdemängden består av två intervall
f
1 2
34
a b dc e A
B
10 av 23 ]
8 , 6 [ ) 4 , 1
( ∪
f = V
I envariabelanalys, som standard, gäller följande överenskommelse:
Om vi inte anger, på explicit sätt, definitionsmängden för en funktion f : R → R menar vi att funktionens definitionsmängd består av alla reella x för vilka f(x) är ett reellt tal.
Dvs, vi menar att Df ( i ett sådant fall) är den största möjliga definitionsmängden för f(x).
Exempel 12. Låt f : R → R, där f(x)= 1−x2 . Bestäm funktionens startmängd, målmängd och definitionsmängd.
Lösning: För den här funktionen är startmängden= R, målmängden = R,
Eftersom 1 x− 2 är ett reellt tal om och endast om 1−x2 ≥0⇔x2 ≤1⇔−1≤x≤1, drar vi slutsats att definitionsmängden är intervallet [–1,1] .
Svar: Df = [–1,1]
Anmärkning: Värdemängden till funktionen f(x)= 1−x2 är [0,1] . Detta inser vi om vi analyserar värdmängden ( för x som ligger i definitionsmängden dvs −1≤x≤1).
Vi har
1 1
0 1 1
0 1 0
1
1≤ ≤ ⇒ ≤ 2 ≤ ⇒ ≤ − 2 ≤ ⇒ ≤ − 2 ≤
− x x x x ,
som vi, i det här fallet, enklast bestämmer genom att rita funktionskurvan.
Definition 5. Grafen G till en funktion som ges av y = f(x) är mängden av alla (x, f(x)) då x varierar inom definitionsmängden, dvs G= {(x,f(x)): x∈Df}.
Om f :R→Rdå kan vi få en grafisk bild av funktionen genom att i xy-planet rita (grovt skissera) punkterna {(x,f(x)): x∈Df}. Motsvarande kurva i xy-planet kallas
funktionskurva.
För varje x i definitionsmängden Df har vi exakt en punkt på funktionsgrafen.
x1
figur A figur B
x1 f(x)
11 av 23
Kurvan i figur A är en funktionskurva ( för varje reellt tal x1 har vi högst en motsvarande punkt på funktionskurva. [Om x1 ligger i definitionsmängden då har vi exakt en motsvarande punkt på funktionskurvan.]
Kurvan i figur B (en ellips) är INTE en funktionskurva ( för minst ett x1 har vi minst två motsvarande punkter på grafen.
---
Definition 6. Två funktioner f och g, är lika om följande tre krav är uppfyllda:
1. f och g har samma startmängd A och samma målmängd B, dvs B
A
f : → och g:A→B.
2. f och g har samma definitionsmängd dvs. D =f Dg.
3. f(x)= g(x) för alla x ∈Df .
Anmärkning: I ovanstående definitionen garanterar 2. och 3. tillsammans att }
: )) ( ,
{(x f x x∈Df = {(x,g(x)): x∈Dg}.
Exempel 14. Låt f :R→R och g:R→R där ,
) (x x2
f = x∈[1,5] och g(x)= x2, x∈[0,2] är två olika funktioner eftersom ]
5 , 1 [
f =
D och Dg =[0,2] dvs. D ≠f Dg
---
RESTRIKTION AV EN FUNKTION .
Definition 7. Låt f och g vara två funktioner med definitionsmängder A respektive B där A
B ⊆ . Om f(x)=g(x) för alla x ∈ säger vi att g är restriktionen av funktionen f till B. B Med andra ord, en restriktion g har samma regel som f (dvs f(x)= g(x) om x ∈ ) men B har en ”mindre” definitionsmängd ( B ⊆ A ) .
T ex. Om f(x)= x2 +x, med definitionsmängden Df =[1,5], och g(x)= x2 +x, med Dg =[2,4] då är g restriktionen av funktionen f till [2,4].
Exempel 15: Rita funktionen y = x2, där −1≤x<2. Bestäm funktionens värdemängd.
Lösning:
Funktionens definitionsmängd är mängden av alla reella tal x sådana att −1≤x<2.
12 av 23
Alltså Df ={x∈R:−1≤x<2} som vi skriver på kortare sätt Df =[−1,2). Vi ritar den del av parabeln y = x2, där −1≤x<2.
Lägg märke till att punkten ( 2, 4) inte tillhör grafen.
Vi ser att 0≤ y<4.
Därmed är funktionens värdemängd }
4 0
:
{ ∈ ≤ <
= y R y
Vf
Vi skriver på kortare sätt Vf =[0,4) .
Exempel 16: Låt y = x ( där x och y är reella tal). Bestäm funktionens definitionsmängd ( dvs den största möjliga definitionsmängd) och värdemängd. Rita grafen till funktionen..
Lösning.
x är ett reellt tal om och endast om x≥0. Funktionen antar alla värden y≥0 .
Svar:
) , 0 [ ∞
f = D
) , 0 [ ∞
f = V
13 av 23 INJEKTION, SURJEKTION, BIJEKTION Allmän terminologi.
f(x)
x y
A B
Vf
Df
I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs en funktion f :A→B. Vi har oftast kravet att
varje element x i A har precis en bild f(x) i B och att varje element i B har precis en original i A.
Sådana avbildningar kallar vi bijektioner mellan A och B (eller från A till B).
En bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan finnas endast om mängderna har samma antal element.
Om det finns en bijektion mellan två mängder A, B (ändliga eller oändliga) säger vi att de har lika kardinalitet ( kardinaltal).
Definition 8. Låt f vara en funktion från mängden A till B dvs f :A→B.
Vi säger att f är en bijektiv funktion (eller en bijektion) mellan A och B (eller från A till B).
om följande gäller:
1. Funktionens definitionsmängd Df är lika med A.
2. Ekvationen f(x)=y, för varje y ∈B, har precis en lösning x∈ . A
Exempel 14. (A och B är mängder med ändligt många element) Bestäm vilka av följande avbildningar är bijektioner:
f1
2314
a b c i)
A1 B1
231
a b c
ii) B2
f2 d A2
14 av 23 21
3
a b iii)
B3
f3 A3
A2 B2
231
a b c iv)
A4
f4
B4
Svar
i) Nej, element 4 i mängden A1 har ingen bild.
ii) Nej, element d i mängden B2 har ingen original.
iii) Nej, element b har två original-element 2 och 3
iv) Ja, varje element i A4 har exakt en bild och varje element i B4 har exakt en original.
Definition 9.
1. INJEKTION. Funktionen f :A→B kallas injektiv om ekvationen f(x)= y, för varje B
y ∈ , har högst en lösning x∈ . ( D v s ingen eller en lösningA x∈ ) A
2. SURJEKTION. Funktionen f :A→B kallas surjektiv om ekvationen f(x)= y för varje B
y ∈ , har minst en lösning x∈ . (Med andra ord om värdemängden VA f=B.) 3. BIJEKTION. Funktionen f :A→B kallas bijektiv om följande gäller
a) Funktionens definitionsmängd Df är lika med A.
b) Funktionen är både injektiv och surjektiv.
Viktigast för oss är att undersöka om en funktion är injektiv. Som vi ser nedan, en funktion är inverterbar om och endast om den är injektiv.
Från definitionen framgår följande:
1. En funktion är injektiv om och endast om olika original har olika bilder dvs )
( )
( 1 2
2
1 x f x f x
x ≠ ⇒ ≠ .
Detta är ekvivalent med f(x1)= f(x2)⇒x1 =x2.
Om f :R→Rdvs om f är en funktion från reella tal till reella tal kan vi testa om f är en injektion genom att lösa ut x ur ekvationen y = f(x) Om högst en lösning till
) (x f
y = ligger i Df då är f en injektion.
Anmärkning: Om f :A→Bär en injektiv funktion då är f en bijektion mellan definitionsmängden Df och värdemängden Vf.
15 av 23
T ex , funktionen f :A→Bdefinierad i nedanstående diagram
ba c d
1 2 4
A B
3 f 5
är injektion från A till B men den är bijektion mellan definitionsmängden Df ={a,b,c} och värdemängden Vf={1,2,3}.
Exempel 17.
Bestäm vilken/vilka av följande avbildningar är en surjektion, injektion, bijektion.
f 1
1 23
a b c i)
A1 B1
21
a b c
ii) B2
f2 d A2
1 23
a b iii)
B3
f3 A3
A2 B2
21 3
a cb iv)
A4
f4
B4
4 d
Svar: i) f1 är varken injektiv eller surjektiv. ii) f2 är injektiv men inte surjektiv.
iii) f är surjektiv men inte injektiv. iv)3 f4, som är definierad på hela A4, är både injektiv och surjektiv, och därmed bijektiv.
Exempel 18. Bestäm om f :R→Rär en injektion då a) y= f(x)= x2, −∞<x<∞ b) f(x)= x2, x≥0. Lösning:
a) Df =R=(−∞,∞). Vi löser ekvationen y =x2på x och får x ±= y . Vi ser att vi har två lösningar x =1 y , x2 =− y för ett y (om y >0) där båda ligger i Df=R.. Funktionen f är inte en injektion.
16 av 23
Vi kan dra samma slutsats med hjälp av grafen. Om vi ritar grafen till f då ser vi att det finns (minst en ) linje parallell med x-axeln som skär kurvan i minst två punkter (y har två
originaler) som betyder att f inte är en injektion.
y
x2=− x =1 y
=================================
INVERSA FUNKTIONER
Definition 10. (Invers funktion) Låt f :A→Bvara en injektiv funktion med definitionsmängden Df och värdemängden Vf . Låt vidare f ={(x,y):x∈Df}vara funktionens graf.
Den inversa funktionen f−1:B→A, definieras genom } ) , ( där : ) ,
1 {(y x x y f
f− = ∈ .
(Anmärkning: Ovanstående definition används i analyskurserna. I diskret matematik definierar man inversen endast för bijektiva funktioner.)
Enligt definitionen:
y x
f( )= ⇔ f−1(y)=x dessutom
1
=
f−f
V
D
, och1
=
f −f
D
V
.Alltså, definitionsmängden till inversen f är samma som värdemängden till f. −1 Värdemängden till inversen f är samma som definitionsmängden till f. −1
17 av 23
Kommentar 1: Om vi betraktar f som en relation då alltid existerar inversrelationen f men den behöver inte vara en funktion. Antagandet att f är en injektion är viktigt. Det garanterar att inversrelation är också en funktion.
Eftersom vi antar att f är en injektiv funktion då andra komponenten y förekommer högst en gång i grafen f. Därmed den första komponent y i grafen f förekommer högst en gång och −1 därför är relationen f också en funktion. −1
Om inversfunktionen f existerar säger vi att f är inverterbar. −1 Från definitionen av inversfunktionen framgår följande:
En funktion f :A→B är inverterbar om och endast om f är injektiv.
Hur bestäms inversen till en injektiv funktion?
Vi betraktar två fall:
Fall 1. Om grafen f ={(x,y):x∈Df} till f :A→Bhar ändligt många par då bildar vi }
) , ( där : ) ,
1 {(y x x y f
f− = ∈
helt enkelt genom att byta plats på första och andra komponenter.
Exempel 19. Låt f :A→B där A={a,b,c,d}, B={1,2,3,4,5}och f ={(a,1),(b,2),(c,3)}
a) Bestäm inversen till f (om f är inverterbar) b) Rita graferna till f och f . −1
Lösning:
a) Funktionen f är inverterbar eftersom den andra komponenten i ett par förekommer högst en gång d.v.s. varje element i B har högst ett original (med andra ord är f en injektiv
funktion).
Vi får inversen genom att byta plats på koordinaterna: f =−1 {(1,a),(2,b),(3,c)}. b) Grafen till f kan vi få mad hjälp av grafen till f, genom att ange pilarna i motsats −1 riktning. (Alternativt kan vi rita en ny graf med B till vänster.)
Graferna till f och f : −1
ba c d
1 2 4
A B
3 5
ba c d
1 2 4
A B
3
1 5 f−
f
18 av 23
Fall 2.Om grafen f ={(x,y):x∈Df} till f :A→Bhar ändligt många par då anges funktionen oftast med hjälp av ett uttryck och definitionsmängden dvs på formen
Df
x x f
y= ( ), ∈ .
För att bestämma om f är inverterbar, löser vi x ur ekvationen y = f(x .)
i) Om vi, för varje y ∈B, får högst en lösning x =g(y) i definitionsmängden Df då är f inverterbar med inversen g( y) dvs f−1(y)=g(y).
ii) Om det finns två (eller flera) lösningar i definitionsmängden Df för minst ett y ∈B då saknar finversen.
Exempel 20.
Bestäm om f :R→Rär en inverterbar funktion. Om svaret är ”ja” bestäm inversen.
a) y= f(x)=2x+3, −∞<x<∞ b) f(x)= x2, −∞< x<∞. c) f(x)=x2, x<0 Lösning:
a) Vi löser ut x ur ekvationen y=2 +x 3. Vi har
2 3 3
2 3
2 + ⇔ = − ⇔ = −
= x x y x y
y .
Vi får högst en lösning (den här gången, exakt en lösning) för varje y ∈R som betyder att funktionen är injektiv och därmed inverterbar.
Vi har även fått inversen
2 ) 3 (
1 = −
− y y
f .
Anmärkning: Man oftast betecknar oberoende variabel med x så att man kan skriva 2
) 3 (
1 = −
− x x
f .
b) Vi löser ut x ur ekvationen y =x2.
Vi har y=x2 ⇔x=± y . Som vi ser från lösningen kan vi få två lösningar ± y för ett y (om y>0) . Båda lösningar ligger då i definitionsmängden Df =(−∞,∞). T. ex. för y= 9 har vi två x-värden x = 3 och x = –3 och båda ligger i Df .
Därför drar vi slutsatsen att funktionen inte är inverterbar.
c) f(x)= x2, x<0. Notera att definitionsmängden är Df =(−∞,0) (och inte hela R som i b-uppgiften).
Vi löser ut x ur ekvationen y =x2.
Vi har y=x2 ⇔x=± y . Eftersom x<0 enligt funktionens definition accepterar vi endast lösningen x −= y. Därmed har vi högst en lösning i Df , som betyder att funktionen är
inverterbar och har inversen f−1(y)=− y.
=======================================
19 av 23 BLANDADE ÖVNINGAR
Uppgift 1. Relationen ρ från A={a,b,c,d} till B={m,n,p} definieras som )}
, ( ), , ( ), , ( ), ,
{(a m a n b m b n
ρ = .
Bestäm relationens i) startmängd ii) målmängd iii) definitionsmängd iv) värdemängd
v) invers ρ . −1
Svar: i) Startmängden är A={a,b,c,d} ii) Målmängden är B={m,n,p}
iii) Definitionsmängd är D={a,b} iv) Värdemängden är V={m,n}
v) ρ−1 ={(m,a),(n,a),(m,b),(n,b)}⊆B×A. Notera att inversrelation alltid existerar (till skillnad från inversfunktion).
Uppgift 2. Vilka av följande relationer från A={1,2,3,4,5} till B={a,b,c,d} är funktioner?
i) ρ1={( ,1a),(2,b),(3,c),(3,d)} ii) ρ2 ={( ,1a),(2,b),(2,c),(3,d)}
iii) ρ3={( ,1a),( ,1b),( ,1c),(3,d)} iv) ρ2 ={( ,1a),(2,a),(4,d),(5,d)}.
Svar: i) Nej, eftersom 3 förekommer två gånger (d.v.s. mer än en gång) som den första komponenten.
ii) Nej, eftersom 2 förekommer två gånger (d.v.s. mer än en gång) som den första komponenten.
iii) Nej, eftersom 1 förekommer tre gånger (d.v.s. mer än en gång) som den första komponenten.
iii) Ja, eftersom varje element från A förekommer högst en gång som den första komponenten i relationen.
Uppgift 3. Funktionen f :A→B, där A={1,2,3,4,5} och B={a,b,c,d}
definieras genom f={(1,a), (2,b),(3,b),(4,a)}.
Bestäm funktionens i) startmängd ii) målmängd iii) definitionsmängd iv) värdemängd Bestäm också v) f(3) vi) f(5)
Svar: i) Startmängden är A={1,2,3,4,5} ii) Målmängden är B={a,b,c,d}
iii) Definitionsmängd är Df={1,2,3,4} iv) Värdemängden är Vf={a,b}
v) f(3)=b vi) f(5) är inte definierad
Uppgift 4. Låt R beteckna mängden av alla reella tal. Funktionen f :R→R är definierad som f(x)=x2, 1≤x≤3.
Bestäm funktionens i) startmängd ii) målmängd iii) definitionsmängd iv) värdemängd Bestäm också v) f(3/2) vi) f(5)
vii) Rita (grov skissera) en grafisk bild till funktionen.
Svar: i) Startmängden är R ii) Målmängden är R
iii) Definitionsmängd är intervallet [1,3]= {x∈R, 1≤x≤3}
iv) Värdemängden är intervallet [1,9] ={y∈R, 1≤ y≤9} ( Om x antar alla värden mellan 1 och 3 då f(x) antar alla värden mellan 1 och 9.)
v) f(3/2)=9/4 vi) f(5) är inte definierad.
20 av 23
vii) Grafen består av den del av parabel y = som ligger ovan Dx2 f=[1,3],
Svar vii: Grafen till y= f(x)=x2, 1≤x≤3:
Uppgift 5. Bestäm om f :A→B och g:C→Där två lika funktioner där a) A={1,2,3}, B={ m,n,p,q} , C={1,2,3,4}, D={ m,n,p,q},
f={(1,m), (2,p)}, g={(1,m), (2,p)},
b) A={1,2,3}, B={ m,n,p,q} , C={1,2,3}, D={ m,n,p}, f={(1,m), (2,p)}, g={(1,m), (2,p)},
c) A={1,2,3}, B={ m,n,p,q} , C={1,2,3}, D={ m,n,p,q}, f={(1,m), (2,p)}, g={(1,m), (2,p),(3,q)},
d) A={1,2,3}, B={ m,n,p,q} , C={1,2,3}, D={ m,n,p,q}, f={(1,m), (2,p)}, g={(1,m), (2,p)},
Lösning: Två funktioner f : A→B och g:C→D som är definierade med deras grafer f och g är lika om och endast om deras startmängder är lika, A=C, deras målmängder är lika B=D och slutligen deras grafer är lika f=g.
a) Funktionerna f och g är inte lika eftersom A ≠C (olika startmängder).
b) Funktionerna f och g är inte lika eftersom B ≠D (olika målmängder).
c) Funktionerna f och g är inte lika eftersom f ≠g(olika grafer).
d) Funktionerna f och g är lika (eftersom A =C={1,2,3}, B =D={ m,n,p,q}
och f =g={(1,m), (2,p)}.
Uppgift 6. Låt R beteckna mängden av alla reella tal. Bestäm om f :R→R och g:R→R är två lika funktioner där
a) f(x)=x2+3, 1≤x≤5, g(x)= x2+3, 3≤x≤4 b) f(x)=x2+3, 1≤x≤5, g(x)=x2+3, 1≤ x≤5 c) f(x)=x2+3, 1≤x≤5, g(t)=t2+3, 1≤t ≤5
21 av 23
Lösning: Två funktioner f : A→B och g:C→D som är definierade med uttryck Df
x x
f
y= ( ) där ∈ resp. y= g(x) där x∈Dg
är lika om och endast om deras startmängder är lika, A=C, deras målmängder är lika B=D, deras definitionsmängder är lika, D =f Dg och slutligen f(x)=g(x) för x ∈Df .
Svar:
a) Nej, eftersom D ≠f Dg b) Ja
c) Ja (I allmänt kan vi beteckna en oberoende variabel med vilken bokstav som helst) Uppgift 7. Bestäm om funktionen f : A→B där A={5,6,7,8,9} och B ={q,w,e,r,t}
år inverterbar då
a) f ={( w5, ),(6,r),(7,w)}
b) f ={(5,r),(6,r),(7,r)}
c) f ={(5,t),(6,r),(7,w)
Lösning: En funktionen f : A→Bsom är definierad med sin graf är inverterbar om och endast om den är injektiv dvs om varje element i B har högst en original (med andra ord, om andra komponenten i grafen förekommer högst en gång).
a) Nej, w har två originaler (dvs w förekommer två gånger som andra komponent i grafen f) b) Nej, r har tre originaler.
c) Ja, element från B förekommer högst en gång i grafen f.
Uppgift 8. Bestäm om funktionen f :R→R år inverterbar då a) f(x)=x2+3, −5<x<5,
b) f(x)=3x+8, −5<x<5 c) f(x)= x2+3, 0<x<5
Bestäm inversen i fall f är inverterbar.
Lösning:
a) Från y=x2+3 har vi x=± y−3. För några y har vi två lösningar i Df (T ex om y=4 har vi x=±1. Funktionen är inte inverterbar.
b) Från y=3 +x 8 har vi x=( −y 8)/3 dvs högst en lösning . Funktionen är inverterbar med inversen f−1(y)=(y−8)/3 där −7< y<23 (definitionsmängden till inversen är lika med värdemängden till f).
Vi kan, om vi vill, beteckna den oberoende variabeln med x dvs vi an skriva 3
/ ) 8 ( )
1( = −
− x x
f där −7<x<23
c) Från y=x2+3 har vi x=± y−3. Eftersom x>0 i Df, har vi högst en lösning 3
−
±
= y
x i definitionsmängden. Därmed är funktionen inverterbar. Inversen ges av 3
) (
1 = −
− y y
f , där 3< y<28 (varför ?)
Allternativt, om vi betecknar den oberoende variabeln med x, kan vi skriva 3
)
1( = −
− x x
f , där 3<x<28.
22 av 23 Uppgift 9. Funktionen f :R→R år definierad som f(x)=2x+3, 3<x≤5,
a) Bestäm funktionens definitionsmängd och värdemängd.
b) Bestäm inversen f samt inversens definitionsmängd och värdemängd. −1 Lösning:
a) Definitionsmängden är intervallet Df =(3,5]={x∈R:3<x≤5}.
Om x antar alla värden i intervallet 3<x≤5 då y= f(x)=2x+3 antar alla värden i intervallet 9< y≤13. Alltså är värdemängden Vf =(9,13].
b) Från y=2 +x 3har vi x=( −y 3)/2. Därmed ges inversen av 2
/ ) 3 ( )
1( = −
− y y
f där 9< y≤13. Notera att
D
f−1= V
f= ( 9 , 13 ]
och
V
f−1= D
f= ( 3 , 5 ]
.Svar: a) Df =(3,5], Vf =(9,13]
b) f−1(y)=(y−3)/2 där
D
f−1= ( 9 , 13 ]
ochV
f−1= ( 3 , 5 ]
.Uppgift 10.
Funktionen f(x)=x2 +2, −1≤ x≤2 avbildar intervall D= [−1,2]på värdemängden V a) Rita grafen och bestäm värdemängden V .
b) Är funktionen inverterbar?
c) Bestäm om g(x)= x2 +2, med definitionsmängden D2 =[0,2] är inverterbar.
( Vi behåller samma formel men ändrar definitionsmängden till D2 =[0,2]) Lösning:
a) Grafen:
23 av 23 Värdemängden till f är V=[2, 6]
b) Vi ser på grafen att det finns punkter y ( t ex y=2.5)
sådana att ekvationen f(x)=y har två lösningar som båda ligger i D= [−1,2]. Funktionen är INTE inverterbar.
c) y x= 2+ ⇒2 x2 = − ⇒ = ±y 2 x y− 2
Formellt har vi fått två lösningar men endast en lösning x= + y− ligger i definitionsmängden 2 D2 =[0,2]. Funktionen g:Dg →Vgär inverterbar eftersom,
för varje y, har ekvationen g(x)= y precis en lösning i definitionsmängden D2 =[0,2] .
1( ) 2
f− y = + y− (där y ligger i Vg= [2, 6] ).
