0, och l¨osa detta system av icke-linj¨ara ekvationer

KARL JONSSON

Nyckelord och inneh˚all

• Stabilitet, asymptotisk stabilitet och instabili- tet

• Kritiska punkter

• Linjarisering av icke-linj¨ara autonoma system x⁰ = f (x) runt kritisk punkt

• Pol¨ara koordinater

• Liapunovs andra metod.

Inofficiella ”m˚al”

Det ¨ar bra om du

(M1) kan ber¨akna kritiska punkter x₀ till x⁰ = f (x) genom att st¨alla upp f (x₀) = 0, och l¨osa detta system av icke-linj¨ara ekvationer.

(M2) vet att en kritisk punkt x₀ kallas f¨or stabil om det f¨or varje  > 0 finns ett δ > 0 s˚a att f¨or varje x^∗ som uppfyller |x^∗− x₀| < δ s˚a kommer l¨osningen till x⁰ = f (x) med x(0) = x^∗ uppfylla

|x(t) − x₀| <  f¨or alla t ≥ 0, “vill man med sin l¨osning befinna sig -n¨ara den kritiska punkten x₀ s˚a kan detta alltid uppfyllas genom att starta δ-n¨ara x0”.

Eller att annat s¨att att formulera, som vi pratade om p˚a ¨ovningen: “l¨osningen stannar godtyckligt n¨ara k.p. om man b¨orjar tillr¨ackligt n¨ara den k.p.”.

(M3) vet att en kritisk punkt som inte ¨ar stabil kallas f¨or instabil.

“Notera att, bara f¨or att en punkt ¨ar instabil s˚a inneb¨ar detta inte automatiskt att l¨osningarna till systemet ˚aker iv¨ag mot ∞ d˚a t → ∞. ”

(M4) vet att en asymptotiskt stabil kritisk punkt ¨ar en punkt som ¨ar stabil samt uppfyller att det finns en cirkelskiva runt x0 s˚a att alla l¨osningar till x⁰ = f (x) som b¨orjar i denna cirkelskiva uppfyller limt→∞x(t) = x0, “sugs in i den kritiska punkten”.

(M5) kan linjarisera autonoma system x⁰ = f (x) kring kritiska punkter x₀ genom att ans¨atta

z(t) = x(t) − x₀ (1)

och f˚a med hj¨alp av Taylorutveckling,och antar att vi h˚aller oss n¨ara den kritiska punkten, z⁰(t) = x⁰(t) = f (x) = f (x₀) + df

dx(x₀)z(t) + h.o.t ≈ df

dx(x₀)z(t), (2)

dvs motsvarande linj¨ara system n¨ara punkten x0 ges allts˚a av z⁰(t) = df

dx(x₀)z(t) (3)

d¨ar df

dx(x₀) ¨ar matrisen av alla partiella derivator av f evaluerad i x₀. (M6) veta att stabilitetsegenskaper f¨or det linjariserade systemet

z⁰(t) = df

dx(x0)z(t)

till x⁰ = f (x) kring x₀ kan ¨overf¨oras till den icke-linj¨ara ekvationen i alla fall utom f¨or s˚a kallade

’centrum’ (rent imagin¨ara egenv¨arden f¨or _dx^df(x0)).

(M7) vet att man kan f¨ors¨oka byta till pol¨ara koordinater f¨or att analysera stabilitet av en kritisk punkt.

Institutionen f¨or matematik, KTH, SE-100 44, Stockholm, Sweden E-mail address: karljo@kth.se.

Date: 12 oktober 2017.

1

(M8) givet det autonoma systemet x⁰ = F (x, y) och y⁰ = G(x, y) kan f¨ors¨oka s¨oka efter en Liapunov- funktion V (x, y) till systemet, dvs en funktion som uppfyller

(a) V ska vara C¹, allts˚a ska ha partiella derivator som ¨ar kontinuerliga,

(b) V ska vara positiv definit: V (0, 0) = 0 samt V (x, y) > 0 f¨or alla (x, y) ∈ R² s˚a att (x, y) 6=

(0, 0),

(c) ˙V (x, y) = ∂V

∂x(x, y)F (x, y) + ∂V

∂y(x, y)G(x, y) ska vara negativt definit ( ˙V (0, 0) = 0 och V (x, y) < 0 f¨˙ or alla (x, y) ∈ R² s˚a att (x, y) 6= (0, 0)).

Om en s˚adan funktion finns, d˚a ¨ar origo en asymptotisk stabil kritisk punkt. Om alla villkor g¨aller men ˙V endast ¨ar negativt semidefinit (dvs vi kan endast garantera ˙V (x, y) ≤ 0, inte V (x, y) < 0) d˚˙ a ¨ar origo ˚atminstone en stabil kritisk punkt.

Detta kan t.ex. h¨anda d˚a ˙V = 0 eller ˙V = −4x⁴

(M9) vet att om det finns V ∈ C¹ som ¨ar positiv n˚agonstans i godtycklig omgivning av origo samt ˙V

¨

ar positivt definit, d˚a har vi en instabil kritisk punkt.

Obs! Detta ¨ar ett f¨ors¨ok att bryta ned kursm˚alen i mindre och mer konkreta bitar. M˚alen ovan ¨ar inte officiella f¨or kursen, utan ett f¨orslag till hur man kan t¨anka.

Exempel och uppgifter (U1) Betrakta ekvationen

(a)

d dt

 x y



=

 1 + 2y 1 − 5x²



(4) (b)

d dt

 x y



=

 (2 + x)(y − x) (3 − x)(y + x)



(5) (c)

d dt

 x y



=

 2x + y + xy³ x − 2y − xy



(6) (d)

d dt

 x y



=

 x − 2y² y − 2x²



(7) Best¨am kritiska punkter och avg¨or om m¨ojligt stabilitet och typ av dessa. Rita.

I f¨orsta ekvationen, Jacobi-matrisen blir

 0 2

−10x 0



. (8)

Dvs i olika punkter i fasplanet s˚a ges det lineariserade systemet av olika matriser. I den kritiska punkten (−1/√

5, −1/2) blir matrisen

 0 2

2√ 5 0



. (9)

Eftersom sp˚aret ¨ar 0 och determinanten ¨ar negativ s˚a kommer det linj¨ara systemet beskriva en sadelpunkt, vilken ¨ar instabil. Denna typ av punkt f¨or det lineariserade systemet ger oss informa- tion om det icke-linj¨ara systemet: den kritiska punkten (−1/√

5, −1/2) ¨ar en instabil sadelpunkt f¨or det icke-linj¨ara systemet

d dt

 x y



=

 1 + 2y 1 − 5x²



. (10)

F¨or den k.p. (1/√

5, −1/2) s˚a kommer matrisen att beskriva ett s˚a kallat centrum. Dvs det linj¨ara systemet beskrivs av

 0 2

−2√ 5 0



, (11)

med rent komplexa egenv¨arden. Det linj¨ara systemet ¨ar s˚aledes stabilt. MEN: denna slutsats g˚ar ej att ¨overf¨ora p˚a det icke-linj¨ara systemet med denna metod. Allts˚a: denna analys ger oss ingen information vad f¨or typ av kritisk punkt (1/√

5, −1/2) ¨ar f¨or det icke-linj¨ara systemet.

Andra systemet.

 (2 + x)(y − x) (3 − x)(y + x)



=

 0 0



. (12)

F¨orta ekvationen ger att x = −2 eller y = x.

Om x = −2 s˚a insatt i andra ekvationen f˚ar vi vi att y = 2. Allts˚a k.p. (-2,2).

Om y = x s˚a insatt i andra ekvationen s˚a f˚ar vi (3 − x)2x = 0. Allts˚a x = 3 eller x = 0. Allts˚a k.p. (0, 0) och (3, 3). Vi ska derivera

2y − 2x + xy − x² (13)

3y + 3x − xy − x² (14)

vilket ger Jacobimatrisen

 −2 + y + 2x 2 + x 3 − y − 2x 3 − x



. (15)

S¨att in v¨ardena f¨or de kritiska punkterna och best¨am egenv¨arden f¨or att avg¨ora stabilitet.

(U2) Betrakta

d dt

 x y



=

 x + y − x(x²+ y²)

−x + y − y(x²+ y²)



, (16)

(17) Visa att (0, 0) ¨ar en kritisk punkt. Skriv upp motsvarande linj¨ara system. Best¨am karakt¨ar f¨or den kritiska punkten. Kommer alla l¨osningar som startar n¨ara origo bli obegr¨ansade?

H¨ar kommer lineariseringen kring x₀ = 0 bli

 1 1

−1 1



. (18)

Sp˚aret ¨ar 2 och determinanten ¨ar 2. Egenv¨ardena blir 1±√

1 − 2 = 1±i. Detta beskriver en instabil nod. Detta beteende kommer ¨aven att beskriva den kritiska punkten f¨or det icke-linj¨ara systemet.

(U3) Betrakta de tv˚a icke-linj¨ara systemen d

dt

 x y



=

 y + x(x²+ y²)

−x + y(x²+ y²)



, (19)

d dt

 x y



=

 y − x(x²+ y²)

−x − y(x²+ y²)



. (20)

Visa att f¨or x₀= 0 s˚a ¨ar de motsvarande linj¨ara systemen s˚a kallade centrum.

Visa att andra systemet ¨ar asymptotiskt stabilt och f¨orsta ¨ar instabilt genom att ans¨atta pol¨ara koordinater.

Tips: r² = x²+ y² ger rr⁰ = xx⁰ + yy⁰. Multiplicera ¨ovre ekvationen med x och undre med y. Addera ekvationerna, borde f˚a r⁰ = r³ i ¨ovre ekvationen och r⁰ = −r³ i den undre. Slutsats?

Vad s¨ager detta om huruvida man kan ¨overf¨ora information om det linjariserade systemet till det icke-linj¨ara systemet?

Vi ser allts˚a att f¨or den ¨ovre ekvationen s˚a kommer radierna att uppfylla r⁰ = r³, dvs om r ¨ar positiv (vilket det kommer att vara om vi inte b¨orjar i den kritiska punkten) s˚a kommer derivatan av r vara positiv, r³> 0 om r > 0. Allts˚a s˚a l¨ange radien ¨ar positiv s˚a kommer den att v¨axa hela tiden, allts˚a m˚aste radien f¨or l¨osningen x(t) vara en v¨axande, allts˚a kan punkten inte vara stabil, dvs instabil punkt.

F¨or det andra fallet s˚a kommer radiens derivata r⁰ att vara negativ, dvs kommer att avta hela tiden, allts˚a kommer l¨osningen att ˚aka in i origo, dvs en asymptotiskt stabil punkt.

Detta exempel visar att om en kritisk punkt har en linearisering som ger en matris som ¨ar ett centrum (stabil) s˚a ger detta ingen information om det icke-linj¨ara systemet. Dvs f¨or att f¨orst˚a denna kritiska punkt beh¨ovs andra metoder.

(U4) Betrakta systemet (a)

d dt

 x y



=

 −x³+ 2xy²

−2x²y − y³



. (21)

(b)

d dt

 x y



=

 −2x³+ 2y³

−2xy²



. (22)

Visa att (0, 0) ¨ar en kritisk punkt. Linjarisera och se vad man kan dra f¨or slutats om stabilitet.

F¨ors¨ok finna en Liapunov-funktion till systemet p˚a formen V (x, y) = ax² + cy². Visa att (0, 0)

¨ar en asymptotiskt stabil kritisk punkt f¨or det ¨ovre fallet. Visa att i det andra fallet s˚a ¨ar (0,0)

˚atminstone en stabil kritisk punkt.

Givet ansatsen s˚a har vi redan att v˚ar kandidatfunktion V (x, y) = ax²+ by² ¨ar C¹ och positivt definit om a och b ¨ar > 0, dvs det ¨ar allts˚a en bra ansats eftersom vi uppfyller tv˚a av villkoren direkt i och med ansatsen. Vi t¨anker nu p˚a a och b som designparametrar och f¨ors¨oker v¨alja dessa s˚a att funktionen ˙V blir negativt definit (helst, f¨or d˚a kan vi dra slutsatsen att den kritiska punkten

¨ar asymptotisk stabil, om vi ’bara’ lyckas designa det s˚a att ˙V blir negativt semidefinit s˚a kan vi iaf s¨aga att den kritiska punkten ¨ar stabil). Vi f˚ar att

V = 2ax(−x˙ ³+ 2xy²) + 2by(−2x²y − y³) = −2ax⁴− 2ay⁴+ 4(a − b)x²y². (23) Vi ser nu att de tv˚a f¨orsta termerna alltid kommer att bidra till att ˙V blir negativ, detta ¨ar bra, dvs det vi ¨ar ute efter. Den sista termen skulle kunna st¨alla till det f¨or oss om a ¨ar st¨orre ¨an b, f¨or i detta fall kommer den sista termen att bidra med positiva tal, vilket inte ¨ar bra f¨or oss, ty vi vill ju att ˙V ska vara negativt definit. Allts˚a vi v¨aljer b > a, allts˚a b = 2 och a = 1 fungerar.

EN Liapunovfunktion blir s˚aledes V = x² + 2y². ¨Aven valet a = b = 1, med Liapunovfunktion V = x²+ y², kommer att ge oss att ˙V blir negativt definit.

Eftersom vi funnit ˚atminstone en Liapunovfunktion med ˙V negativt definit s˚a kan vi dra slut- satsen att den kritiska punkten x0 = (0, 0) ¨ar en asymptotisk stabil kritisk punkt f¨or systemet

d dt

 x y



=

 −x³+ 2xy²

−2x²y − y³



. (24)

I uppgift b s˚a kommer ansatsen att leda fram till det naturliga valet att a = b, men ˙V = −4x⁴ i detta fall. Vi ser allts˚a att ˙V (0, 13) = 0, s˚aledes ¨ar ˙V ej negativt definit, den ¨ar endast negativt SE- MIdefinit. Slutsatsen vi kan dra fr˚an detta ¨ar allts˚a att (0, 0) ¨ar en stabil kritisk punkt f¨or systemet i (b). Fr˚aga: vet vi att punkten ej ¨ar asymptotisk stabil? Vi kan inte uttala oss om svaret p˚a denna fr˚aga fr˚an unders¨okninen ovan, allts˚a: det skulle kunna vara s˚a att (0, 0) ¨ar asymptotisk stabil, men vi vet f¨or n¨arvarande endast att den ¨ar stabil. Vi kan allts˚a s¨aga att (0, 0) ˚atminstone ¨ar stabil.

(U5) Betrakta

u⁰⁰(t) + g(u(t)) = 0 (25)

d¨ar g ¨ar kontinuerlig med g(0) = 0 samt u · g(u) > 0 f¨or u ∈ [−k, k] \ {0}, d¨ar k ¨ar ett positivt tal.

Skriv om denna ekvation som ett system, visa att (0, 0) ¨ar en kritisk punkt. L˚at V definieras genom

V (x, y) := 1 2y²+

ˆ _x

0

g(s) ds, x ∈ [−k, k]. (26)

Visa att V ¨ar positivt definit och ˙V negativt semidefinit. Dra slutsatsen att (0, 0) ¨ar en stabil kritisk punkt.

Vi skriver om som ett system med x = u(t) och y = u⁰(t) och f˚ar d

dt

 x y



=

 y

−g(x)



. (27)

Bra att g¨ora f¨orst i denna uppgift ¨ar att f¨ors¨oka f¨orst˚a hur funktionen g kan se ut. Vi har abstrakta villkor p˚a g som m˚anga olika funktioner uppfyller. Personligen tycker jag att det ¨ar b¨ast att skaffa sig en geometrisk/bildbaserad tolkning av villkoren p˚a funktionen g.

(a) g ska vara kontinuerlig ≡ g ska g˚a att rita utan att lyfta pennan fr˚an pappret (b) g(0) = 0 ≡ grafen till g ska g˚a genom origo.

(c) tg(t) > 0 ≡ grafen till g m˚aste alltid vara strikt positiv om t > 0 och strikt negativ om t < 0.

Vi ska visa att V ovan ¨ar en Liapunovfunktion. Vi ska kolla tre saker i) V ska vara C¹:

Partiella derivatorna blir

∂V

∂x = g(x) (28)

enligt analysens huvudsats samt

∂V

∂y = y. (29)

Ar dessa funktioner kontinuerliga? Ja, speciellt den f¨¨ orsta eftersom detta kommer fr˚an vill- koret p˚a funktionen g. Klart.

ii) V ska vara positivt definit.

Ar V (0, 0) = 0. Ja, eftersom integralen ¨¨ over en punkt alltid ¨ar 0. Den f¨orsta termen y²/2 kom- mer alltid att bidra med positiva v¨arden f¨or y 6= 0. S˚a det vi beh¨over ¨overtyga oss om ¨ar att den andra termen

ˆ _x

0

g(s) ds (30)

alltid bidrar med positiva v¨arden d˚a x 6= 0. S¨ag att x ¨ar positiv. Och t¨ank p˚a hur grafen till funktionen g ser ut. D˚a har vi allts˚a tagit arean under en graf fr˚an 0 till x d¨ar grafen g ¨ar strikt positiv. Allts˚a m˚aste en s˚adan area vara strikt positiv. Bra. Vad h¨ander nu om x ¨ar negativ. D˚a blir integralen, t¨ank att x = −3,

ˆ −3 0

g(s) ds. (31)

Men blir inte denna strikt negativ eftersom grafen till g ¨ar strikt negativ? N¨astan, vi m˚aste ocks˚a ta h¨ansyn till att integralgr¨anserna “st˚ar ˚at fel h˚all ”, vilket introducerar ett extra minustecken. Allts˚a

ˆ ₀

−3

g(s) ds < 0 (32)

vilket medf¨or

ˆ −3 0

g(s) ds > 0. (33)

Bra, d˚a ¨ar allts˚a V positivt definit. ¹

iii) ˙V ska vara negativt definit (asymptotisk stabil punkt) alternativt negativt semidefinit (˚at- minstone stabil k.p). Vi ber¨aknar

V =˙ ∂V

∂x F +∂V

∂x G = g(x)y + y(−g(x)) = 0 ≤ 0. (36)

och ˙V (0, 0) = 0 men ˙V (1, 12) = 0, allts˚a ¨ar ˙V endast negativt SEMIdefinit och vi kan dra slutsatsen att den kritiska punkten (0, 0) ˚atminstone ¨ar en stabil kritisk punkt till systemet.

1F¨or den som inte n¨ojer sig med ett geometrisk argument s˚a kan vi g¨ora det lite mer stringent p˚a f¨oljande s¨att. Vi ser att´_x

0 g(s) ds ≥ 0 f¨or alla x med samma argument som innan. Men t¨ank om det finns x 6= 0 s˚a att denna integral blir = 0.

Antag att det finns ett s˚adant x = x0> 0. Allts˚a

ˆ x₀ 0

g(s) ds = 0. (34)

Enligt villkoret p˚a g s˚a g¨aller att x0g(x0) > 0 allts˚a g(x0) > 0. Kalla g(x0) = δ. Eftersom g ¨ar kontinuerlig s˚a m˚aste det finnas ett tal η s˚a att f¨or alla s ∈ [x0− η, x0+ η] s˚a g¨aller att g(s) > δ/2. Vi v¨aljer ocks˚a η > 0 s˚a litet att x0− η > 0. Nu kan vi f˚a f¨oljande mots¨agelse

0 = ˆ x₀

0

g(s) ds ≥ ˆ x₀

x₀−η

g(s) ds ≥ ˆ x₀

x₀−η

δ 2ds = 1

2(x0− (x0− η))δ =1

2ηδ > 0, (35)

vilket visar att det inte finns n˚agon s˚adan punkt x0. Stegen i kedjan f¨oljer av: antagande, integralen av en positiv integrand minskar om integrationsintervallet blir kortare, egenskap av funktionen g p˚a det givna intervallet, ber¨akna integral, f¨orenkling samt egenskap hos η och δ.