allts˚a (0, 0) ¨ar en enkel j¨amviktspunkt

UPPSALA UNIVERSITET L¨osningar till rekommenderade MATEMATISKA INSTITUTIONEN uppgifter till lektion 5

Pepe Winkler Ordin¨ara differentialekvationer

Civilingenj¨orsutbildning

60.1 Best¨am typ och stabilitet f¨or j¨amviktspunkten (0, 0) f¨or varje av f¨oljande linj¨ara autonoma system:

(a)





 dx

dt = 2x

dy

dt = 3y ;

(e)





 dx

dt = −4x − y dy

dt = x − 2y ;

(b)





 dx

dt = −x − 2y dy

dt = 4x − 5y ;

(f)





 dx

dt = 4x − 3y dy

dt = 8x − 6y ; (c)





 dx

dt = −3x + 4y dy

dt = −2x + 3y ;

(g)





 dx

dt = 4x − 2y dy

dt = 5x + 2y . (d)





 dx

dt = 5x + 2y dy

dt = −17x − 5y ; L¨osning:

(a) Systemet ¨ar homogent och linj¨art med matrisen  2 0 0 3

 .

2 0 0 3   

 6= 0 , allts˚a (0, 0) ¨ar en enkel j¨amviktspunkt. Matrisens karakteristiska ekvationen ¨ar

(2 − λ)(3 − λ) = 0 som har r¨otterna λ¹ = 2 och λ2 = 3 . Detta medf¨or att (0, 0)

¨ar en instabil knut.

(b) Systemets matris ¨ar  −1 −2 4 −5

 och

−1 −2 4 −5   

6= 0 . (0, 0) ¨ar en enkel j¨amvikts- punkt och matrisen har karakteristiska ekvationen (−1 − λ)(−5 − λ) + 8 = 0 ⇔ λ²+ 6λ + 13 = 0 ⇔ λ^1,2= −3 ± 2i ⇒ att (0, 0) ¨ar en asymptotiskt stabil spiral.

(c) Systemets matris ¨ar  −3 4

−2 3

 med

−3 4

−2 3   

 6= 0 , allts˚a (0, 0) ¨ar en enkel j¨amviktspunkt. Matrisens karakteristiska ekvationen (−3 − λ)(3 − λ) + 8 = 0 ⇔ λ²− 1 = 0 ⇔ λ^1,2 = ±1 ⇒ att (0, 0) ¨ar en instabil sadel.

(d) Systemets matris ¨ar

 5 2

−17 −5

 med

5 2

−17 −5   

6= 0 , allts˚a (0, 0) ¨ar en enkel j¨amviktspunkt. Matrisens karakteristiska ekvationen (5 − λ)(−5 − λ) + 34 = 0 ⇔ λ²+ 9 = 0 ⇔ λ1,2 = ±3i ⇒ att (0, 0) ¨ar ett stabilt (ej asymptotiskt) centrum.

(e) Systemets matris ¨ar  −4 −1 1 −2

 .

−4 −1 1 −2   

 6= 0 , allts˚a (0, 0) ¨ar en enkel j¨amviktspunkt. Matrisens karakteristiska ekvationen (−4−λ)(−2−λ)+1 = 0 ⇔

λ²+ 6λ + 5 = 0 ⇔ λ¹ = −1 och λ² = −5 ⇒ att (0, 0) ¨ar en asymptotiskt stabil knut.

(f) Systemets matris ¨ar  4 −3 8 −6

 .

4 −3 8 −6    

= 0 . (0, 0) ¨ar inte enkel j¨amviktspunkt (ej isolerad).

(g) Systemets matris ¨ar  4 −2

5 2

 .

4 −2

5 2

6= 0 , allts˚a (0, 0) ¨ar en enkel j¨amvikts- punkt. Matrisens karakteristiska ekvationen ¨ar (4 − λ)(2 − λ) + 10 = 0 ⇔ λ²− 6λ + 18 = 0 ⇔ λ^1,2 = 3 ± 3i , allts˚a (0, 0) ¨ar en instabil spiral.

61.3 Visa att (0, 0) ¨ar asymptotisk stabil j¨amviktspunkt f¨or varje nedst˚aende system:

(a)





 dx

dt = −3x³− y dy

dt = x⁵− y³;

(b)





 dx

dt = −2x + xy³ dy

dt = −x²y²− y³. L¨osning:

(a) Om existerar en strikt Liapunov funktion till systemet, d˚a (0, 0) ¨ar en asympto- tiskt stabilj¨amviktspunkt.

S¨ok funktionen E(x, y) p˚a formen E(x, y) = ax^2m + by²ⁿ, d¨ar a , b > 0 och m , n ∈ N s˚adan att ∂E

∂xF(x, y) + ∂E

∂yG(x, y) < 0 f¨or alla (x, y) 6= (0, 0) . Om E(x, y) existerar s˚a ¨ar (0, 0) en asymptotiskt stabil j¨amviktspunkt.

∂E

∂xF(x, y) + ∂E

∂yG(x, y) = 2amx^2m−1(−3x³− y) + 2bny²ⁿ⁻¹(x⁵− y³) =

−6amx^2m+2− 2amx^2m−1y+ 2bnx⁵y²ⁿ⁻¹− 2bny²ⁿ⁺². Om vi v¨aljer n = 1 , m = 3 , a = 1 och b = 3 s˚a f˚ar vi att:

∂E

∂xF(x, y)+∂E

∂yG(x, y) = −18x⁸−6y⁴ = −6(3x⁸+y⁴) < 0 f¨or alla (x, y) 6= (0, 0) , Allts˚a E(x, y) = x⁶+ 3y² ¨ar en strikt Lapunov funktion till systemet.

(b) P.s.s. i uppgiften (a) unders¨oker vi om existerar en strikt Liapunov funktion till systemet. Vi s¨oker E(x, y) = ax^2m+ by²ⁿ, d¨ar a , b > 0 och m , n ∈ N s.a.

∂E

∂xF(x, y) +∂E

∂yG(x, y) < 0 .

∂E

∂xF(x, y) + ∂E

∂yG(x, y) = 2amx^2m−1(−2x + xy³) + 2bny²ⁿ⁻¹(−x²y²− y³) =

−4amx^2m+ 2amx^2my³− 2bnx²y²ⁿ⁺¹− 2bny²ⁿ⁺². Om vi v¨aljer a , b , m och n s˚a att 2amx^2my³ = 2bnx²y, dvs. om n = 1 , m = 1 och a = b = 1 d˚a

∂E

∂xF(x, y) +∂E

∂yG(x, y) = −4x²− 2y⁴ = −2(2x²+ y⁴) < 0 f¨or alla (x, y) 6= (0, 0) , allts˚a E(x, y) = x² + y² ¨ar en strikt Liapunov funktion f¨or systemet och d¨arf¨or (0, 0) ¨ar en asymptotiskt stabil j¨amviktspunkt.

62.5 Verifiera att (0, 0) ¨ar en enkel j¨amviktspunkt f¨or varje nedanst˚aende system, och best¨am dess typ och stabilitets egenskaper:

(a)





 dx

dt = x+ y − 2xy dy

dt = −2x + y + 3y²;

(b)





 dx

dt = −x − y − 3x²y dy

dt = −2x − 4y + y sin x . L¨osning:

(a) Lineariseringen av systemet i (0, 0) ¨ar





 dx

dt = x+ y dy

dt = −2x + y .    

1 1

−2 1   

= 3 6= 0 , allts˚a (0, 0) ¨ar en enkel j¨amviktspunkt f¨or systemet.

0 =    

1 − λ 1

−2 1 − λ   

 = (1 − λ)² + 2 = λ² − 2λ + 3 ⇔ λ1,2 = 1 ± i√

2 , allts˚a (0, 0) ¨ar en instabil spiral f¨or lineariseringen och enligt Poincare’s sats ¨aven f¨or det ursprungliga systemet.

(b) Lineariseringen f¨or systemet ¨ar





 dx

dt = −x − y dy

dt = −2x − 4y . 

−1 −1

−2 −4   

 = 2 6= 0 . Origo (0, 0) ¨ar en enkel j¨amviktspunkt f¨or lineariseringen.

0 =    

−1 − λ −1

−2 −4 − λ    

= λ²+ 5λ + 6 ⇔ λ¹ = −2 och λ² = −3 . Origo ¨ar en asymptotiskt stabil knut till linearisering och enligt Poincare’s sats ¨aven f¨or det ursprungliga systemet.

62.6 van der Pols ekvation:

d²x

dt² + µ(x²− 1)dx

dt + x = 0

¨ar ekvivalent med systemet:





 dx

dt = y

dy

dt = −x − µ(x²− 1)y .

Undes¨ok stabilitets egenskaper f¨or j¨amviktspunkten (0, 0) ifall µ > 0 och ifall µ < 0 .

L¨osning:

Lineariseringen av systemet ¨ar  x⁰ = y y⁰ = −x + µy .

0 1

−1 µ   

= 1 6= 0 , allts˚a (0, 0) ¨ar en enkel j¨amviktspunkt till systemet eller van der Pols ekvation.

Egenv¨arden till koefficientmatrisen best¨ams: 0 =    

−λ 1

−1 µ − λ    

= λ²− µλ + 1 ⇔ λ1,2 = µ

2 ± r

(µ

2)² − 1 .

Av v¨arden f¨or λ1,2 f¨oljer att om µ < 0 , d˚a antingen b˚ada egenv¨arden ¨ar negativa eller b˚ada har reella delen negativ. Detta medf¨or att (0, 0) ¨ar en asymptotiskt stabilj¨amviktspunkt f¨or µ < 0 . (0, 0) ¨ar en instabil j¨amviktspunkt och om µ > 0 ty d˚a antingen b˚ada egenv¨arden ¨ar positiva eller har positiv reelldelen.