STÖRSTA GEMENSAMMA DELARE. EUKLIDES ALGORITM

Sida 1 av 7

STÖRSTA GEMENSAMMA DELARE. EUKLIDES ALGORITM

Största gemensamma delare.

Fall 1.

Två heltal a och b som båda inte är 0, har ändligt antal delare. Bland de finns alltid 1 och – 1. Därför existerar det en största gemensamma delare till a och b som vi betecknar

SGD(a,b) .

Fall 2. Om både a =0 och b=0 så är varje tal en gemensam delare till a och b. Därför saknas största gemensamma delare för 0 och 0.

Anmärkning 1: För positiva heltal a och b gäller det uppenbart att 1≤ SGD(a,b) ≤ min(a,b).

Definition: Om SGD(a,b)=1 säger vi att a och b är relativt prima.

Exempel 1. SGD(4, 15)=1. Talen 4 och 15 är alltså relativt prima.

Exempel 2. Bestäm SGD(60,700 ).

Lösning: Vi faktoriserar givna tal i primfaktorer:

60=6∙10=2∙3∙2∙5=2²∙3∙5

700=7∙100=7∙10∙10=7∙2∙5∙2∙5= 2²∙5²∙7 Därför SGD(60,700 )= 2²∙5=20

Exempel 3. Bestäm SGD(2²∙5³∙7⁴∙11³, 5²∙7⁵³∙13⁴ ).

Svar: 5²∙7⁴

Exempel 4. Bestäm största gemensamma delare SGD(a,b) om den existerar.

a) a=0, b=0 b) a=0, b=5 c) b) a=–4, b=5

Sida 2 av 7

Minsta gemensamma multipel för två heltal a ≠ 0 och b≠ 0 är det minsta av alla tal som har a och b som sina faktorer (delare).

Minsta gemensamma multipel för två heltal a och b betecknar vi MGM(a,b).

För positiva heltal a och b gäller det att max(a,b)≤ MGM(a,b) ≤ ab.

Exempel 5. Bestäm MGM(2²∙5³∙7⁴∙11³, 5²∙7⁵³∙13⁴ ).

Svar: MGM(2²∙5³∙7⁴∙11³, 5²∙7⁵³∙13⁴ ) =2²∙5³∙7⁵³∙11³∙13⁴.

EUKLIDES ALGORITM

Här antar vi att a och b är positiva heltal. Om a och b är inte stora tal då kan vi bestämma SGD(a,b) genom att faktorisera a och b i primfaktorer. Om a och b är stora tal då används oftast en annan metod s.k. Euklides algoritm. I den här metoden upprepar vi heltalsdivision tills vi får resten=0. Den sista icke-noll rest är den sökta gemensamma delaren till a och b.

Den gemensamma delaren SGD(a,b) betecknar vi här med d.

Anta att a ≥ . För att bestämma d =SGD(a,b) med Euklides algoritm börjar vi med b heltalsdivision av a med b .

Vi får i första steget

1

1 b r

q

a= ⋅ + . (ekv1)

Om r = så är a delbart med b. I detta fall är talet b den sökta SGD(a,b). ₁ 0 Om r ≠ går vi till steg 2 där vi delar b med ₁ 0 r . ₁

Vi får

2 1

2 r r

q

b= ⋅ + . (ekv2)

Om r = så är b delbart med ₂ 0 r . Enligt (ekv1) är även a delbart med ₁ r . I detta fall är talet ₁ r₁ den sökta SGD(a,b).

2 0

r ≠ går vi till steg 3 där vi delar r med ₁ r₂, och upprepar resonemang och processen tills vi får en rest=0. Då är SGD(a,b) lika med den sista icke-noll rest .

Sida 3 av 7 Här är hela Euklides algoritm:

1

1 b r

q a= ⋅ +

2 1

2 r r

q b= ⋅ +

3 2 3

1 q r r

r = ⋅ + (*)



k k k

k q r r

r₋₂ = ⋅ ₋₁+

1 0

1 = ₊ ⋅ +

− k k

k q r

r

Då är d = (sista icke-noll rest) . r_k

Exempel 6. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(504, 222) Lösning:

504=2*222+60 222=3*60+42 60 =1*42+ 18 42=2*18+6 18= 3*6 +0

Alltså är d=SGD(504, 222)=6.

Exempel 7. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(212 ,204) Lösning:

4 2 8

4 8 25 204

8 204 1 212

⋅

=

+

⋅

=

+

⋅

=

Alltså är SGD(212, 204)=4

Exempel 8. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(315, 305)

5 2 10

5 10 30 305

10 305 1 315

⋅

=

+

⋅

=

+

⋅

=

eller 5 305 30 10 305 1 315 10

⋅

−

=

⋅

−

=

(*) Alltså är SGD (315,305)=5

Sida 4 av 7

Att uttrycka d=SGD(a,b) som en linjär kombination av a och b, med hjälp av Euklides algoritm.

När vi löser en diofantisk ekvation ax+by=c (ekv1) börjar vi oftast med att bestämma största gemensamma delare d för koefficienterna a och b. Om c är delbart med d då är (ekv1) lösbart. I detta fall fortsätter vi med nästa steg där vi skriver d som en linjär kombination av koefficienterna a och b.

---

Här beskriver vi hur man, med hjälp av Euklides algoritm, skriver d som en linjär kombination av koefficienterna a och b.

För att bestämma d =SGD(a,b) använder vi Euklides algoritm Anta att a ≥ . Vi har b

1

1 b r

q a= ⋅ +

2 1

2 r r

q b= ⋅ +

3 2 3

1 q r r

r = ⋅ + (*)



k k k

k q r r

r₋₂ = ⋅ ₋₁+

1 0

1 = ₊ ⋅ +

− k k

k q r

r

Då är d = (sista icke-noll rest) . r_k

Med hjälp av ovanstående rader uttrycker vi d som en linjär kombination av a och b. Vi kan exempelvis först lösa ut alla rester r , ₁ r ,…och ₂ r som vi betecknar med d: _k

Vi har b q a

r₁= − ₁⋅ ,

1 2

2 b q r

r = − ⋅ (**)

2 3 1

3 r q r

r − − ⋅



2 1 3

1 − − −

− = _k − _k ⋅ _k

k r q r

r

1

2 −

− − ⋅

=r_k q_k r_k

d

För att få d som en linjär kombination av a och b kan vi fortsätta med en av följande två metoder:

Metod 1. Vi börjar från sista ekvationen och eliminerar r , sedan k−₁ rk−₂ o.s.v. tills vi får d som en linjär kombination av a och b.

Sida 5 av 7

Metod 2. Vi kan börja från första ekvationen r₁=a−b⋅q₁ där r är en linjär kombination av ₁ a och b. Detta substitueras i andra ekv. och förenklas så att r skrivs som en linjär ₂

kombination av a och b. På detta sätt fortsätter vi tills vi slutligen får d som en linjär kombination av av a och b.

Anmärkning 2. Det finns oändligt många sätt att skriva d som en linjär kombination av a och b.

Anmärkning 3. Innan man lär sig ordentligt en av de två metoderna, kan man i (*) för a , b och resterna r ,…₁ r införa beteckningar med bokstäver. På detta sätt följer man enkelt alla _k−1 beräkningar.

Detta visar vi i följande exempel.

Exempel 9.

Bestäm d= SGD(504, 222) och skriv d som en linjär kombination av 504 och 222.

Lösning:

Vi börjar med Euklides algoritm 504=2*222+60

222=3*60+42 60 =1*42+ 18 42=2*18+6 18= 3*6 +0

Alltså är d=SGD(504, 222)=6.

Vi har kvar att uttrycka d som en linjär kombination av a=504 och b=222.

Först ersätter vi 504, 222 och resterna med bokstäver. Vi har

eller 2b r1

a= +

2

3r1 r b= +

3 2

1 1r r

r = + (*) d

r r₂ =2₃ +

2b r1

a− =

2

3r1 r b− =

3 2

1 r r

r − = (**) d

r r₂ −2 ₃ =

Sida 6 av 7

Metod 1: ( från sista till första ekvationen i (**) eliminerar vi r , ₃ r och ₂ r .) ₁ Vi har

=

−

=r₂ 2r₃ d

= [substituera r ] ₃ =r₂ −2(r₁−r₂) = [ förenkla] =3r −₂ 2r₁

= [substituera r ] ₂ =3(b−3r₁)−2r₁= [ förenkla] =3b −11r₁

= [substituera r ] ₁ =3b−11(a−2b)= [ förenkla] =−11 +a 25b Svar: d =−11 +a 25b eller 6=−11*504+25*222

Anmärkning 4. På liknande sätt kan man använda metod 2 dvs. eliminera r ,₁ r och ₂ r från ₃ första till sista ekvationen i (**).

Från första ekvationen är r a₁= −2b , substituera r i andra ekv: ₁

2 31 3( 2 ) 2 7 3

r b= − r b= − a− b ⇒ =r b− a substituera r och ₁ r i tredje ekv: ₂

3 1 2 ( 2 ) (7 3 ) 4 9

r r r= − = a− b − b− a = a− b , slutligen substituerar₂ och r i fjärde ekv: ₃ (7 3 ) 2(4 9 ) 11 25

d = b− a − a− b = − a+ b

Speciellt fall då

(eller

)

Anta att b |a. Då är d =| b| så att vi har en enkel kombination i) d = eller b d =0⋅a+1⋅b (om b>0 )

eller

ii) d −= b eller d =0⋅a−1⋅b (om b>0 )

Exempel 10. I den här uppgiften betraktar vi några speciella (men enkla fall) för bestämning av SGD och tillhörande linjära kombination.

Bestäm

i) d= SGD(25, 5) ii) d= SGD(25,– 5) iii) d= SGD(4, 24) iv) d= SGD(4, –24) v) d= SGD(–4, –24), vi) d= SGD(–4, 24),

och skriv d som en linjär kombination av givna heltal.

Sida 7 av 7 Lösning:

i) d=5 , 5=0*25+1*5 ii) d=5 , 5=0*25–1*(–5)

iii) d=4 , 4=1*4+0*24 iv) d=4 , 4=1*4+0*(–24) v) d=4 , 4=–1*(–4)+0*(–24) vi) d=4 , 4=–1*(–4)+0*(24)