2
ABSTRACT
This paper analyses the pricing on spare parts. Empirical studies have showed that manufacturers of durable goods make an unproportional large profit on its spare parts in relation to the revenue it generates. It is first showed that according to the standard economic model the price on spare part ought to be zero since the producer include an insurance in the price of the main good. Further it is showed that moral hazard alone do not explain the pricing found in the studies. Finally an analysis of whether consumers with present-biased preferences could be a possible explanation is made. The analysis finds that it is a possibility however somewhat unlikely.
4
1. INLEDNING
Varaktiga varor, det vill säga varor som inte förbrukas när de används, löper i de flesta fall en risk att gå sönder. Om så skulle vara fallet står man inför valet att sluta använda varan eller reparera den. Om man skulle välja att reparera varan, som ofta är fallet med varaktiga varor som upptar en stor del av de flestas konsumtion (så som bilar), måste man för det mesta köpa
reservdelar till reparationen. Om producenten även producerar reservdelarna till den varaktiga varan har den en möjlighet att sätta priserna så att vinsten i förhållande till omsättningen skiljer sig mellan försäljningen av den varaktiga varan och försäljningen av reservdelarna.
I en studie av Peter Noble och Thomas Gruca från 1999 undersöker författarna vilken strategi företag använder i sin prissättning.1 Studien är en enkätundersökning bland amerikanska
företag och visar att en inte helt obetydlig andel av företagen använder en strategi som författarna kallar ”Complementary Product Pricing”. Strategin innebär att företaget sätter ett relativt lågt pris på den varaktiga varan för att locka till sig kunder och sätter priset på reservdelar och tillbehör relativt högt. Studien visar alltså att fenomenet inte är helt ovanligt. I en annan studie av Ashley Fernihough och Kalman Gyimesi från 2008 visar författarna att i förhållande till omsättningen utgör försäljningen av reservdelar en oproportionellt stor del av vinsten för biltillverkare i USA. 2 Reservdelsförsäljningen utgör endast 5 procent av
omsättningen medan den utgör hela 50 procent av vinsten. Det är därmed tydligt att producenterna tillämpar en prissättning där större delen av deras vinst kommer från försäljningen av reservdelar.
Som vi senare kommer att se är denna typ av prissättningen inte förenlig med grundläggande ekonomisk teori. Förutsatt att konsumenterna är riskaverta kommer det finnas en möjlighet för producenten, som antas vara riskneutral, att sälja en försäkring för reparationer tillsammans med den varaktiga varan och därmed möjliggöra större vinst utan nyttominskning för konsumenten. Denna motsättning mellan teorins förutsägelser och vad empirin visar är av intresse då den tycks tyda på att aktörerna inte vinst- och nyttomaximerar. Syftet med denna uppsats är därför att söka en teoretisk förklarning, som vidhåller antagandet att aktörerna vinst- och nyttomaximerar, till den prissättningen som empirin visar.
Uppsatsen inleds med ett kortare avsnitt där centrala redskap och begrepp, som inte kan anses vara allmängods för en student på grundnivå i nationalekonomi, introduceras. Sedan
presenteras ramverket till den modell som används för den vidare analysen, vilket även inkluderar vissa avgränsningar och avgörande antaganden. Vidare sker en analys av vad den grundläggande ekonomiska teorin förutsäger för prissättning. Detta följs av en analys huruvida moralisk risk kan förklara prissättningen. Analysen visar att moralisk risk kan förklara varför priset på reservdelar inte är noll, men inte varför företagen gör en vinst på
reservdelsförsäljningen. Sedan analyseras huruvida konsumenter med tidsinkonsekventa preferenser kan utgöra en förklaring. Till sist diskuteras resultaten och övergripande slutsatser presenteras.
Ett liknade ämne har tidigare behandlats av Eric Emch i ”Price Discrimination via Proprietary
Aftermarkets”. 3 Han visar att ett företag med marknadsmakt kan prisdiskriminera mer effektivt
på huvudmarknader än vad de kan göra på eftermarknader. Han använder en
lokalisationsmodell (eng. location model) där konsumenternas kostnad är beroende av dennes ”avstånd” till producenten. Emchs studie skiljer sig från denna i och med att den inte specifikt
1 P. Noble och T. Gruca (1999)
5
undersöker reservdelsmarknader utan eftermarknader i allmänhet, vilket bland annat inkluderar även olika typer av tillbehör. Han nämner tidsinkonsekventa preferenser som en möjlig förklaring men studerar inte det närmare. Studien skiljer sig därmed från denna i både val av inriktigt och modell.
Även Xavier Gabaix och David Laibson i ”Shrouded Attributes, Consumer Myopia, and Information
Suppression in Competitive Markets” behandlar ett närstående ämne. De undersöker om
tidsinkonsekvent diskontering kan förklara varför företag undanhåller viss information om sina produkter, till exempel priset på reservdelar. De kommer fram till att det finns situationer där det är rationellt för företagen att undanhålla information och att konkurrenterna inte har incitament att informera potentiella kunder om detta. Modellen som används i denna uppsats antar att ingen asymmetrisk information existerar och skiljer sig därmed från Gabaixs och Laibsons studie.4
2. TEORETISK INTRODUKTION
2.1. HYPERBOLISKA PREFERENSER
För att utvärdera värdet av något, till exempel nytta, vid olika tidpunkter är det för
nationalekonomin ett okontroversiellt antagande att man inte kan jämföra de absoluta värdena vid de olika tidpunkterna med varandra. Att få hundra kronor idag behöver inte ha samma värde som att få hundra kronor om tio år.
Den vedertagna modellen för att modellera intertemporala preferenser5 är den exponentiella
diskonteringsmodellen, vilken introducerade 1937 av Paul Samuelson.6 Enligt denna modell har
varje individ en diskonteringsfaktor ( ), vilken normalt antas vara mellan 0 och 1.
Nyttoförändringen diskonteras med diskonteringsfaktorn en gång för varje period från den aktuella perioden den sker.
Som exempel, om man förväntar sig att erhålla 100 kr per år i fem år och första utbetalningen sker idag skulle nuvärdet ( ) av nyttan idag vara följande:
= (100)
där ( ) ger den omedelbara nyttan man får av kr i den stund man får dem.
Empiriska studier visar dock att den exponentiella diskonteringsmodellen i många fall inte tillfredställande beskriver hur intertemporala beslut faktiskt tas.7 Det visar sig att många lägger,
i jämförelse med vad modellen förutsäger, en oproportionellt stor vikt vid omedelbar nytta. Detta kan bland annat manifesteras i ouppfyllda nyårslöften och att man skjuter upp genomförandet av olika arbetsuppgifter.
Dessa typer av preferenser benämns på engelska som present-bias preference8 och modelleras
ofta med så kallad hyperbolisk diskontering. R. H. Strotz var den som först behandlade ämnet
4 X. Gabaix & D. Laibson (2006)
5 Definition ”intertemporala preferenser”: preferenser rörande nyttoflöden som sker över flera tidsperioder.
6 P. Samuelson (1937)
6
utförligt.9 Jämfört med exponentiell diskontering läggs nu en större vikt vid omedelbar nytta.
Om man antar att samma nyttoflöde som i föregående exempel sker men med hyperbolisk diskontering skulle man få följande nuvärde:
= (100) + (100)
Där 0 ≤ ≤ 1 och visar hur stor vikt man lägger vid omedelbar nytta i relation till framtida nytta. Skulle = 0 lägger man inte något vikt vid framtidens nytta, man är myopisk. Om = 1 är den hyperboliska diskonteringen helt ekvivalent med den exponentiella diskonteringen. En stor skillnad mellan den exponentiella diskonteringsmodellen och den hyperboliska är att den förra är tidskonsekvent medan den senare inte är det. Detta innebär att en person med hyperbolisk diskontering, trots att ingen ingående faktor har förändrats, kan fatta olika beslut i olika perioder. Det är inte är fallet vid exponentiell diskontering.
Som exempel kan vi tänka oss en individ som har bestämt sig att han under helgen ska storstäda sin lägenhet och se en film på bio. På lördag morgon sitter han och funderar på om han ska gå på bio redan på lördagen och städa på söndagen eller göra det motsatta. Han vet att det går en bättre film på söndagen och får därmed större nytta om han väntar med biobesöket. Om han skulle gå på bion på lördagen skulle det ge honom 8 util ( = 8), medan om han väntar till söndag skulle det ge honom 10 util ( = 10). Städningen ger honom negativ nytta på 2 util oavsett när han gör den ( = = −2).
Skulle han vara tidskonsekvent i sina preferenser är beslutet enkelt fattat. Han kan välja mellan att städa på lördagen, som skulle ge honom en sammanlagd nuvärdesnytta på 8 util, eller städa på söndagen, som skulle ge honom 6 util. Vi antar här att den exponentiella diskonteringsfaktorn är ett ( = 1), det antagandet påverkar inte det som exemplet söker belysa.
: + = −2 + 10 = 8 : + = 8 − 2 = 6
Eftersom det första alternativet ( ) ger honom störst nytta kommer han städa på lördagen och gå på bio på söndagen.
Låt säga att individen istället har tidsinkonsekventa preferenser. Vi antar att hans hyperboliska diskonteringsfaktor är en halv ( = 0.5) men i övrigt är i samma situation som ovan. Detta innebär att alla nyttoflöden som sker på söndagen kommer diskonteras med den hyperboliska diskonteringsfaktorn. Han står därför inför följande alternativ:
: + = −2 + 0.5 ∗ 10 = 3 : + = 8 − 0.5 ∗ 2 = 7
Och som vi tydligt ser ger nu det andra alternativet ( ) störst upplevd nytta och han kommer därför gå på bio på lördagen och städa på söndagen.
Om vi nu antar att det istället för lördag är måndag och individen planerar sina aktiviteter inför helgen. Om han har tidskonsekventa preferenser skulle han utvärdera situationen på samma sätt som i det första exemplet ovan och fatta samma beslut som han gör då. Den
tidsinkonsekventa individen skulle dock utvärdera den på ett annat sätt. Eftersom båda
7
nyttoflödena sker i framtiden kommer båda diskonteras med den hyperboliska diskonteringsfaktorn. Han står nu inför följande alternativ:
: ( + ) = 0.5 ∗ (−2 + 10) = 4 : ( + ) = 0.5 ∗ (8 − 2) = 3
Det första alternativet ( ) ger honom nu störst upplevd nytta och han bestämmer sig därför att när lördagen kommer så ska han städa och vänta med biobesöket till söndagen. Observera att när lördagen väl kommer står han inför exakt samma situation som tidigare. Då kommer han, om det är möjligt, att revidera sitt beslut och skjuta upp städningen till söndagen.
3. MODELLEN
3.1. PROBLEMUPPSTÄLLNING
Vi antar att det finns en producent som tillverkar en varaktig vara som riskerar att gå sönder och måste då repareras. Producenten tillverkar även reservdelarna som används vid reparationen och har monopol på dessa. Konsumenten är i position att köpa den varaktiga varan och har inför köpet en viss reservationsnytta ( ) som han kräver att han uppnår vid ett eventuellt köp. Reservationsnyttan är i modellen exogent given och skulle till exempel kunna ses som ett erbjudande han har fått från en annan producent.
Vi antar att producenten har kännedom om konsumentens reservationsnytta och har möjlighet att sätta ett icke-linjärt pris på den varaktiga varan. Detta innebär att ingen välfärdsförlust uppstår vid en monopolprissättning och situationen är därmed Paretooptimal. Detta modelleras genom att producentens vinst maximeras, med avseende på individens konsumtion, under förutsättning att han når den exogent givna nyttonivån ( ). Den icke-linjära prisfunktionen ingår därför aldrig explicit i modellen. Rent tekniskt är analysen den samma som vid optimal icke-linjär inkomstbeskattning.10 Skulle man tolka enheten för den varaktiga varan som kvalité
snarare än kvantitet (vilket är rimligt för till exempel bilar) så är det troligt att producenten sätter ett icke-linjärt pris.
Detta upplägg skulle kunna tolkas som att aktörerna sluter ett avtal som innebär att
konsumenten ger hela sin inkomst till producenten som direkt tillhandahåller alla de varor som konsumeras. Avtalet binder producenten att tillhandahålla varor så att konsumenten uppnår sin reservationsnytta. Konsumenten tar därmed inte själv ta några konsumtionsbeslut. Slutsatserna vi kan dra av modellen är dock tillämpliga även om ett liknade avtal i realiteten inte sluts. För att renodla problemuppställningen antar vi att konsumenten kan konsumera två olika typer av varor; den studerade varaktiga varan med en reservdelsmarknad ( ) och en kompositvara ( ). Konsumentens nyttofunktion har därmed två variabler; de två varorna:
( , )
Vi antar att nyttofunktionen uppfyller Inadavillkoren. Inadavillkoren ställdes först upp av Ken-Ichi Inada och användes då i makroekonomisk teori. 11 På grund av att Inadavillkoren ofta
underlättar teoretisk analys och förutsätter att nyttofunktionen har egenskaper som ofta är intuitivt riktiga används villkoren flitigt även inom mikroekonomisk teori.
8
Villkoren dikterar att nyttofunktionen har en positiv och avtagande marginalnytta: , > 0
, < 0
där och betecknar derivatan av nyttofunktionen med avseende på kompositvaran respektive den varaktiga varan. och betecknar andraderivatan för respektive vara. Ytterligare villkor är att marginalnyttan då en ingående variabel närmar sig noll går mot oändligheten och motsatsen; att den går mot noll när en av variablerna går mot oändligheten:
lim → = ∞ lim → = 0 lim → = ∞ lim → = 0
Om nyttofunktionen uppfyller Inadavillkoren säkerställer det att konsumentens
nyttomaximering alltid kommer ske när han konsumerar en kvantitet, som inte är noll, av alla ingående varor (förutsatt att priset på någon av varorna inte är noll eller oändligt stort). Med anledning av problemuppställningen möter konsumenten inget pris för de olika varorna i den normala bemärkelsen. Alternativkostnaden för en ökning av konsumtionen av någon av varorna är istället motsvarande minskning av den andra. Producenten möter inget
marknadspris för den varaktiga varan ( ), då den producerar varan själv. Dock möter den ett marknadspris för kompositvaran som är normaliserat till ett.
Den varaktiga varan löper en risk att gå sönder och måste då repareras. Sannolikheten att varan går sönder är känd på förhand medan det faktiska utfallet inte är känt när producenten fattar sina beslut.
Enligt det upprättade kontraktet har producenten möjlighet att minska konsumtionen av kompositvaran i det fall den varaktiga varan går sönder, vilket därmed kan ses som en
reparationsavgift. Detta innebär att den faktiska nyttan i de båda utfallen kan skilja sig åt, dock måste den förväntade nyttan alltid nå den avtalade nivån.
9
3.2. GRUNDMODELLEN
Vi inleder vår studie genom att analysera vilket pris den omodifierade versionen av vår modell förutsäger. Sannolikheten att varan måste repareras ( ) ses här som exogent given. Företagets vinst ges därmed av:
= − − + −
där är konsumentens inkomst som ges till producenten, är kvantiteten kompositvara konsumenten erhåller. är mängden av den varaktiga varan konsumenten erhåller. är kostnaden för en enhet varaktig vara som produceras, därmed är kostnaden för
konsumtionen av den varaktiga varan. är mängden som producenten minskar konsumtionen av kompositvaran med då den varaktiga varan går sönder, det vill säga reparationsavgiften. Eftersom producenten enbart minskar konsumtionen när varan faktiskt går sönder blir den förväntade intäkten . är kostnaden per enhet reservdel som produceras. Vi antar här att kostnaden för att producera reservdelar är proportionellt mot mängden av den varaktiga varan som konsumeras. Den totala reparationskostnaden är därmed . Denna kostnad belastar självklart bara producenten då varan faktiskt går sönder, den förväntade kostnaden är därmed
.
Konsumentens förväntade nytta måste uppgå till den avtalade nyttonivån ( ). Dock kan den faktiska nyttan som sagt skilja sig från denna. Det finns två möjliga utfall; då den varaktiga varan går sönder och då den inte gör det. Sannolikheten för att varan går sönder är som sagt , där 0 ≤ ≤ 1, vilket innebär att sannolikheten för att den inte går sönder är (1 − ). Nyttan konsumenten erhåller då varan inte går sönder ges av mängden kompositvara och mängden varaktig vara som han erhåller ( ( , )). Nyttan när varan går sönder ges av mängden av den varaktiga varan (vilken uppgår till lika mycket som när den inte går sönder) och mängden kompositvara (som nu uppgår till samma mängd som tidigare minus eventuell
reparationsavgift) det vill säga ( − , ). Konsumentens förväntade nytta ges därför av: (1 − ) ( , ) + ( − , )
Avtalet mellan konsumenten och producenten innebär som sagt att konsumenten inte tar några konsumtionsbeslut utan överlämnar dessa till producenten. Producenten har som målsättning att maximera sin vinst ( ), men är bundet av avtalet att göra de konsumtionsval som leder till den avtalade förväntade nyttan för konsumenten. Producenten står med andra ord inför följande optimeringsproblem:
max
, , = − − + −
: = (1 − ) ( , ) + ( − , )
Vi inför nu en lagrangemultiplikator och löser ut första ordningens villkor:
ℒ = + (1 − ) ( , ) + ( − , ) −
ℒ = − − + (1 − ) + = 0 (1)
10 ℒ = − = 0 (3) Vi löser ut från (3): 1 = (4)
och med (4) eliminerar vi i (2):
= 1
= = (5)
Vi ser alltså att marginalnyttan av kompositvaran i de två utfallen måste vara lika för att producenten ska maximera sin vinst. Då nyttofunktionen har avtagande marginalnyttan och mängden varaktig vara är samma i båda utfallen måste kompositvarukonsumtionen vara lika stor oavsett utfall. Med andra ord kommer producenten sätta reparationsavgiften till noll ( = 0).
Intuitionen bakom detta är att producent säljer både den varaktiga varan och en försäkring för reparationer av varan. Producenten antas vara riskneutral medan konsumenten är riskavert (i och med att marginalnyttan är avtagande). Eftersom sannolikheten att varan går sönder anses vara exogent given och utfallen är okorrelerade innebär det att producentens risktagande är diversifierbar och att det sammanlagda utfallet är förutsägbart (med antagandet att
producenten producerar en större mängd varor).
Eftersom reparationsavgiften är noll kommer konsumtionen av båda varorna vara lika stor oavsett utfall. Av det följer att marginalnyttan med avseende på den varaktiga varan är den samma i båda utfallen:
= = (6)
Eliminerar vi i (1) med hjälp av (4) får vi följande uttryck:
= + (7)
I och med att priset på kompositvaran är normaliserat till ett, ger + det förväntade relativpriset mellan den varaktiga varan och kompositvaran. / är marginella
substitutionskvoten för varorna. Då dessa är lika stora innebär det att producentens vinstmaximering leder till en Paretooptimal situation.
11
3.3. MORALISK RISK
Antagandet att sannolikheten för att det varaktiga varan går sönder skulle vara exogent given kan uppfattas som orimlig. En faktor som intuitivt känns avgörande är hur konsumenten använder varan. En varaktig varan behöver i de flesta fall någon typ av löpande underhåll och oförsiktigt användande kan leda till skador. Som exempel ökar risken att en bil går sönder om inte regelbundna oljebyten görs eller om föraren kör allt för aggressivt. Ett rimligt antagande är därför att konsumentens ansträngning att ta hand om varan påverkar sannolikheten för att den går sönder. Vi kan därför formulera sannolikheten för att varan går sönder som en funktion av konsumentens ansträngning:
( )
där är den ansträngning konsumenten lägger på att ta hand om varan. Eftersom det som funktionen beskriver är en sannolikhet måste värdet på funktionen vara mellan noll och ett:
0 ≤ ( ) ≤ 1 Funktionens marginalsannolikhet är negativ och avtagande:
< 0 > 0
vilket är intuitivt riktigt då ytterligare ansträngning alltid borde ge minskad sannolikhet för reparation och då konsument kan antas börja med de ansträngningarna som ger störst minskning. Varje ansträngning innebär även en kostnad för konsumenten i form av en nyttominskning, då konsument tycker att det är jobbigt att anstränga sig. Konsument har därmed en, i förhållande till grundmodellen, modifierad nyttofunktion enligt följande:
( , , ) < 0
där ansträngningen ( ) antas vara separabel, till exempel additiv, i nyttofunktionen så att: ( , , )
= ( , , )
för alla värden på , , , och . Intuitionen bakom detta antagande är att ansträngningen är lika jobbig oavsett hur mycket man konsumerar; det är lika jobbigt att byta olja på bilen oavsett om man äter fiskpinnar eller oxfilé till middag.
Liksom i grundmodellen ger konsumenten hela sin inkomst till producenten som fattar alla konsumtionsbeslut under förutsättning att konsumenten når den avtalade nyttonivån. Dock beslutar inte producenten hur mycket konsumenten ska anstränga sig utan det är ett beslut som konsumenten själv gör. Konsumentens förväntade nytta ges nu av:
(1 − ( )) + ( )
12
Från konsumentens perspektiv är , och givna och kända och han maximerar därför sin nytta enbart genom sitt val av ansträngning:
max (1 − ( )) + ( )
Vi tar ut första ordningens villkor:
+ ( − ) + ( )( − ) = 0 (8)
Då ansträngningen är separabel i nyttofunktionen vet vi att − = 0 och kan därmed stryka den termen i (8):
+ ( − ) = 0 (9)
I den vidare analysen kommer vi även ha användning av andra ordningens villkor. Då konsumenten maximerar nyttan vet vi att den är negativ:
+ ( − ) + ( − ) < 0 (10)
Där ( − ) = 0 på grund av att ansträngningen är separabel i nyttofunktionen. Från (9) kan vi lösa ut :
= ( − ) (11)
Det är alltså detta som konsumenten kommer söka uppnå när han väljer sin nivå av ansträngning. Producenten kan inte direkt bestämma över konsumentens ansträngning. Däremot är den medveten om att konsumenten kommer välja ansträngning så att villkoren uppfylls. Eftersom de, för konsumenten, exogena variablerna ( , och ) i villkoret bestäms av producenten kan producenten indirekt påverka konsumentens ansträngning. Från
producentens perspektiv kan alltså konsumentens ansträngning skrivas som en funktion av , och som definieras av (11):
( , , ) (12)
För att härleda producentens val av , och behöver vi ytterligare information om (12), nämnare bestämt derivatan av (12) med avseende på och .
Vi erhåller derivatan av (12) med avseende på ( ) genom att differentiera höger- och vänsterledet i (11) med avseende på och :
+ = ( − ) + ( − ) + ( − )
Observera att = 0 och ( − ) = 0 i och med att ansträngningen är separabel i nyttofunktionen. Vi kan nu lösa ut den sökta derivatan:
= = ( − )
13
Derivatan av (12) med avseende på ( ) erhåller vi på motsvarande sätt genom att differentiera (11) med avseende på och :
= ( − ) + ( − ) +
Även här är ( − ) = 0 i och med att ansträngningen är separabel i nyttofunktionen och vi kan nu lösa ut den sökta derivatan:
= =
− ( − ) (14)
Producenten söker nu, likt tidigare, maximera sin vinst under förutsättning att konsumenten når den avtalade nyttonivån.
max
, , = − − + ( − )
: = (1 − ) +
där = ( , , ) , = , , ( , , ) och = − , , ( , , ) .
Vi inför nu en lagrangemultiplikator och löser ut första ordningens villkor. Eftersom
konsumenten redan har maximerat sin nytta med avseende på sitt val av ansträngning behöver vi inte beakta effekterna som går via ansträngningsfunktionen ( ( , , )) i bivillkoret.12
ℒ = + (1 − ) + − ℒ = − + ( − ) − + (1 − ) + = 0 (15) ℒ = −1 + ( − ) + (1 − ) + = 0 (16) ℒ = ( − ) + − = 0 (17) Från (17) kan vi lösa ut : ( − ) + = (18)
För att sedan eliminera i (16):
( − ) + ( − ) + (1 − ) + = 1 (19)
14
Vi löser sedan ut ( − ) ur (19) och får därmed ett uttryck som beskriver den vinst som producenten gör varje gång en vara måste repareras:
− =
1 − (1 − ) +
+ (1 − ) +
(20)
I uttrycket finns derivatan av ansträngningsfunktionen med avseende på
kompositvarukonsumtionen ( ) respektive reparationsavgiften ( ). Dessa är kända för oss sedan tidigare, se (13) och (14) ovan. Substituerar in vi dessa i (20) erhåller vi följande uttryck:
− =
1 − (1 − ) +
− ( − )
(21)
Vi ser här att täljaren i högerledet i uttrycket är större eller lika med noll, eftersom ≤ :
1 − (1 − ) + ≥ 0
Värt att notera är att det enda fallet som täljaren är noll är när = 0 vilket implicerar att = 0, vilket förefaller orimligt. Vidare ser vi att nämnaren är negativt:
− ( − )< 0
då är positiv eftersom både marginalsannolikheten i kvadrat och marginalnyttan är positiv. − ( − ) är andra ordningens villkor när konsumentens väljer sin
ansträngningsnivå och är därmed, som vi tidigare konstaterat i (10), negativ. Från detta kan vi sluta oss till att producentens vinst står under följande relation:
− =
1 − (1 − ) +
− ( − )
≤ 0 (22)
av vilken det följer att ≤ . Producenten kommer alltså sätta reparationsavgiften så den lägre eller lika med kostnaden för reparationen. Som sagt är enda fallet då avgiften är lika med kostnaden när kostnaden är noll, vilket får ses som en orimlig situation. Med andra ord; så länge kostnaden för reparationen är positiv kommer producenten göra negativ vinst för varje
15
3.4. HYPERBOLISKA PREFERENSER
Vi har kunnat konstatera att moralisk risk inte kan förklara prissättningen som vi ser i empirin. Vi går därför vidare med att analysera huruvida hyperbolisk diskontering är en möjlig
förklaring. För att analysera detta är det nödvändigt att införa flera perioder. Som tidigare sagts innebär hyperbolisk diskontering att individen har en tidsinkonsekvent diskontering. För att diskontering överhuvudtaget ska vara möjlig krävs att det finns flera perioder att diskontera över. För att renodla modellen inför vi enbart två perioder.
Likt ovan sluter konsumenten och producenten ett avtal som innebär att producenten tar alla beslut angående konsumentens konsumtion och producenten erhåller hela konsumentens inkomst, men bara i den första perioden. Även nu avtalas en specifik nyttonivå som
konsumenten kan försäkra sig om att han kommer nå, det vill säga hans reservationsnytta. Den första perioden är när konsumenten erhåller den varaktiga varan och konsumerar kompositvaran som erhålls från producenten, likt ovan. Under den första perioden finns det ingen risk att den varaktiga varan går sönder (det skulle kunna tolkas som att varan under perioden faller under lagstadgade garantibestämmelser). I period två finns en exogent given risk att varan går sönder likt ovan. Konsumenten behåller i period två sin inkomst men i det fall varan går sönder samlar producenten in eventuell avgift i denna period. För att ytterligare renodla modellen antar vi att inkomst i de båda perioderna är exogent givna och konsumenten inte har möjlighet att spara eller låna.
Producentens vinst bestäms därmed av intäkter från konsumentens inkomst i första perioden ( ) och eventuell reparationsavgift som enbart kan tas ut om varan faktiskt går sönder ( ). Utgifterna kommer från den mängd kompositvara konsumenten erhåller i period ett ( ), produktionskostnader för varan ( ) och produktionskostnader för reparationen som endast belastar producenten då varan faktiskt går sönder ( ). Producentens vinstfunktion blir därmed:
= − − + −
Konsumenten kommer i period ett få nytta dels från den mängd kompositvara ( ) och dels från den mängd varaktig vara ( ) som han erhåller. Detta sker som sagt i period ett som anses vara den nuvarande perioden, därmed sker ingen diskontering. Nyttan i period ett är även oberoende av utfallet i period två (det vill säga om varan då måste repareras). Konsumentens nytta i period ett ( ) ges därmed av ( , ).
I period två kommer den varaktiga varan gå sönder med en sannolikhet på . Om så är fallet kommer konsumenten erhålla nytta från den mängd kompositvara han kan köpa, i detta fall sin inkomst i period två minus eventuell reparationsavgift, och den mängd varaktig varan som han hade med sig från period ett. Nyttan i period två då varan går sönder ( ) ges alltså av
( − , ).
Om varan inte behöver repareras kommer konsumenten kunna köpa kompositvara för hela sin inkomst i period två och erhålla nytta från den mängd varaktig varan han hade med sig från period ett. Nyttan i period två då varan inte går sönder ( ) ges alltså då i stället av ( , ). Nyttan från båda utfallen i period två anses ske i framtiden och är därför föremål för
diskontering. Vi antar att den normala diskonteringsräntan är ett och därför sker bara eventuell hyperbolisk diskontering. Den förväntade nyttan ges därmed av:
16 = ( , ) = ( , ) = ( − , )
Den avtalade nyttonivån ( ) gäller den förväntade och diskonterade nyttan för båda perioderna, det vill säga så som konsumenten uppfattar sin nytta i första perioden. Det kan verka
besynnerligt att producenten måste beakta konsumentens nytta även i period två eftersom konsumenten då behåller sin inkomst. Motsatsen hade dock inneburit att producenten alltid kan sätta reparationsavgiften oändligt högt utan att bryta avtalet, och det måste anses orimligt. Producenten maximerar likt tidigare vinsten under förutsättning att konsumenten når den avtalade nyttonivån. Producenten står alltså inför följande optimeringsproblem:
max
, , = − − + −
: = + (1 − ) +
Vi inför nu en lagrangemultiplikator och löser ut första ordningens villkor:
ℒ = + + (1 − ) + −
ℒ = − − + + (1 − ) + = 0 (23)
ℒ = −1 + = 0 (24)
ℒ = − = 0 (25)
Vi kan sedan lösa ut ur (24):
= 1 (26)
och göra det samma ur (25):
= 1 (27)
Eliminerar vi i (26) och (27) erhåller vi följande uttryck:
= (28)
17
tidsdiskontering, måste marginalnyttorna vara lika med varandra. Det vill säga att
konsumtionen av kompositvaran måste vara lika stor i båda fallen. Av det följer att − = . Det sker alltså en utjämning av konsumtionen av kompositvaran mellan perioderna. Vilket man kan förvänta sig när nyttofunktionen har de stipulerade egenskaperna; avtagande marginalnytta leder till att konsumenten vill jämna ut sin konsumtion. Situationen är alltså motsvarigheten till det vi såg i normalfallet men i ett tvåperiodsupplägg.
När den hyperboliska diskonteringsfaktorn ( ) är noll, det vill säga när konsumenten inte beaktar framtiden överhuvudtaget, kommer kvoten vara noll. Pågrund av Inadavillkoren finns det endast två situationer då detta är möjligt. Antingen måste konsumtionen av kompositvaran i period ett gå mot oändligheten (och därmed marginalnyttan, , gå mot noll) eller så måste konsumtionen av kompositvaran i period två gå mot noll (och därmed marginalnyttan, , gå mot oändligheten).
lim
→ = 0
lim
→ = 0
Det förstnämnda kommer medföra att producentens vinst går mot den negativa oändligheten ( → −∞) eftersom konsumentens inkomst i period ett ( ) antas vara ändlig. Eftersom detta inte kan maximera producentens vinst kan det uteslutas och vi kan därmed sluta oss till det sistnämnda stämmer ( − = 0). Detta innebär att reparationsavgiften är lika stor som inkomsten i period två. Eftersom konsumenten inte beaktar sin framtida nytta kommer producenten maximera sin vinst när så mycket som möjligt av betalningen av den varaktiga varan sker i period två. Detta eftersom konsumenten inte upplever någon nyttominskning, i period ett när nyttan utvärderas, av konsumtionsminskningar i den andra perioden. Det som producenten som mest kan ta betalt i period två är just hela inkomsten.
Då den hyperboliska diskonteringsfaktorn är mellan noll och ett kommer < . Detta implicerar att konsumtionen av kompositvaran i period två när varan går sönder måste vara lägre än i period ett, närmare bestämt kommer − < < .13 Detta innebär att när
konsumenten har tidsinkonsekventa preferenser kommer en större del av den varaktiga varan betalas i period två om den går sönder jämfört med när konsumenten är tidskonsekvent. För att illustrera förhållandet antar vi att nyttan bestäms av en godtyckligt vald Cobb-Douglasfunktion som uppfyller de stipulerade villkoren:
( , ) = + ℎ < 1 Vi deriverar den med avseende på kompositvaran:
= (29)
Vi vet att = ( , ) och = ( − , ) och kan därför skriva ut dessa som Cobb-Douglasfunktioner enligt (29). Därefter skriva om kvoten (28):
=
18
= ( − )
( − ) = (30)
Detta innebär att för en konsument med den valda Cobb-Douglasnyttofunktionen kommer förhålla sig till de andra ingående variablerna på följande sätt:
= − (31)
Vi ser nu att när den hyperboliska diskonteringsfaktorn är noll kommer = , precis enligt slutsatsen i det generella fallet. Om den hyperboliska diskonteringsfaktorn är ett kommer
= − och om den är mellan ett och noll kommer − < < , även det i enlighet med det generella fallet.
4. DISKUSSION
Vi har konstaterat att om man inte inkluderar moralisk risk eller hyperbolisk diskontering i modellen kommer producenten ta hela reparationsrisken. Inkluderar man moralisk risk kan man förklara en viss del av prissättningen men inte till den nivån vi ser i empirin. Hyperbolisk diskontering är dock en möjlig förklaring till prissättningen. Ju lägre hyperbolisk
diskonteringsfaktor konsumenten har, ju större del av producentens intäkter kommer komma från reservdelsmarknaden. Eftersom produktionskostnaden för reservdelarna är oberoende av konsumentens preferenser kommer en sänkning av den hyperboliska diskonteringsfaktorn leda till att differensen mellan kostnaden för reservdelen och dess pris (här i form av
reparationsavgiften) kommer att öka. Om den hyperboliska diskonteringsfaktorn är tillräckligt låg kommer därmed priset överstiga kostnaden, i enlighet med empirin.
Huruvida modellen tillfredställande speglar verkligheten kan ifrågasättas. Den relevanta mekanismen är tillsynes inte att den hyperboliska diskonteringen i sig minskar konsumentens riskaversion. Snarare att den hyperboliska diskonteringen leder till att producenten och konsumenten diskonterar med olika faktorer och att det därmed möjliggör intertemporal utjämning av konsumtionen. Eftersom det i modellen inte är möjligt med utjämning mellan period ett och två i det fall den varaktiga vara inte går sönder, kan det hävdas att modellen på ett orealistiskt sätt tvingar aktörerna till utjämning när det är möjligt. Avgiften skulle då i det fallet tolkas som en delbetalning istället för priset på reservdelen. Skulle man tillåta utjämning i båda utfallen i period två skulle producenten, precis som i normalfallet, ta all risk och det skulle vara frågan om normal avbetalning.14
Det är dock möjligt att en del av konsumenterna känner en aversion till avbetalning. Av sociala eller personliga skäl vill man inte ta lån eller köpa varor på avbetalning. Skulle man ändå göra det så skulle det medföra icke-monetära kostnader för konsumenten. Om dessa kostnader är tillräckligt höga skulle det kunna överväga nyttotillskottet av en utjämnad konsumtion. Överprissättningen på reservdelarna skulle därmed fungera som en maskerad typ av
avbetalning. Konsumenten har möjlighet att i vissa situationer jämna ut sin konsumtion, men uppfattar inte förfarandet som avbetalning och lider därmed inte av de kostnader som det skulle medföra.
19
Värdet av denna modell som förklaring är helt avhängt på hur utbredd avbetalningsaversion är, vilket självklart är en empirisk fråga. Det är dock värt att påpeka att en individ som saknar eller har tillräckligt liten avbetalningsaversion skulle föredra ren avbetalning, så som modellerat i appendix II, och därmed få kostnadsfria reparationer. Denna typ av kontrakt observerar man normalt inte på till exempel bilmarknaden, vilket talar emot hyperboliska preferenser som en förklaring. Detta skulle dock möjligen kunna förklaras med att det finns ett element av moralisk risk och som därmed pressar upp priserna, men som sagt inte till den observerade nivån. Om det skulle finnas höga administrativa kostnader med att upprätthålla två olika prissystem skulle det antagligen innebära att producenten sätter ett ”kompromisspris”. Vidare kan det föreligga juridiska hinder eller andra kostnader för att producenten ska organisera ett explicit avbetalningssystem. Om så är fallet skulle även producenten ha incitament att maskera avbetalningar genom reparationsavgiften.
En möjlig alternativ förklaring skulle kunna vara att konsumenterna är förlustaverta (eng.
loss-averse) istället för riskaverta. Detta innebär att de är riskaverta när det gäller en nyttoökning
medan de är riskälskande när det gäller en nyttominskning. Individen föredrar alltså det säkra före det osäkra, vid samma förväntade nytta, när det gäller något som den anser är bra medan den föredrar det osäkra när det gäller någon den anser är dåligt. I detta fall skulle konsumenten vara förlustavert vad det gäller reparationsavgiften och därmed skulle konsumenten föredra en mer riskfull situation vilket skulle innebära att producenten har möjlighet att sätta ett högre pris.
20
5. REFERENSER
J. Cairns och M. van der Pol, Valuing future private and social benefits: The discounted utility
model versus hyperbolic discounting models, Journal of Economic Psychology, Volym 21, sid.
191-205, 2000
E. R. Emch, Price Discrimination via Proprietary Aftermarkets, Contributions to Economic Analysis & Policy, Volym 2, Nummer 1, Artikel 4, 2003
A. Fernihough och K. Gyimesi, Performance in reserve, IBM Institute for Business Value, 2008 Tillgänglig på:
http://www-935.ibm.com/services/us/index.wss/ibvstudy/gbs/a1029176?cntxt=a1000041
X. Gabaix och D. Laibson, Shrouded Attributes, Consumer Myopia, and Information Suppression in
Competitive Markets, The Quarterly Journal of Economics, maj 2006
K. Inada, On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization, The Review of Economic Studies, Volym 30, Nummer 2, sid. 119-127, juni 1963
K. Kirby, Bidding on the Future: Evidence Against Normative Discounting of Delayed Rewards, Journal of Experimental Psychology, Volym 126, Nummer 1, sid. 54-70, 1997
P. Noble och T. Gruca, Industrial Pricing: Theory and Managerial Practice, Marketing Science, Volym 18, Nummer 3, sid. 435-454, 1999
P. Samuelson, A Note on Measurement of Utility, The Review of Economic Studies, Volym 4, Nummer 2, sid. 155-161, februari 1937
J. Stiglitz, Self-Selection and Pareto Efficient Taxation, Journal of Public Economics, Volym 17, Nummer 2, sid. 213-240, 1982
21
6. APPENDIX
6.1. APPENDIX I
Anledningen till att vi inte behöver beakta effekterna som går genom ansträngningsfunktionen ( ( , , )) i bivillkoret när man tar ut första ordningens villkoren för producenten är de så kallande kuvertegenskaperna (eng. envelope properties). Konsumenten har redan optimerat nyttofunktionen med avseende på ansträngningen så att alla effekter som går genom ansträngningsfunktionen i bivillkoret kommer summera till noll.
Om vi från producentens maximeringsproblem löser ut fullständiga första ordningens villkor, det vill säga ignorerar kuvertegenskaperna, får vi följande villkor:
ℒ = − + ( − ) −
+ (− + (1 − ) + (1 − ) + + + ) = 0
ℒ = −1 + ( − ) + (− + (1 − ) + (1 − ) + + + )
= 0
ℒ = ( − ) + + − + (1 − ) + − + = 0
Ordnar vi om uttrycken på följande vis:
ℒ = − − + (1 − ) + + + ( − ) + ( − ) = 0
ℒ = −1 + ( − ) + (1 − ) + + + ( − ) + ( − ) = 0
ℒ = ( − ) + − + + ( − ) + ( − ) = 0
ser vi att + ( − ) + ( − ) är gemensam för alla tre villkoren. Vi vet dock att detta är lika med noll, eftersom uttrycket är konsumentens första ordnings villkor när han väljer sin ansträngningsnivå, se (8), som är lika med noll. Termerna kan därför strykas och uttrycken vi får då är ekvivalenta med de vi får när vi inte beaktar effekterna som går genom
ansträngningsfunktionen i bivillkoret när vi tar ut första ordningens villkor för producenten.
6.1. APPENDIX II
För att visa att producenten tar all risk om man tillåter utjämning i båda utfallen i period två antar vi att konsumenten ger hela sin inkomst i både period ett och två till producenten som sedan gör alla konsumtionsval i båda perioderna och i båda utfallen i period två. Producenten bestämmer dessa konsumtionsval i period ett men har en möjlighet att sätta en
reparationsavgift som tas ut endast då varan går sönder (och dras då av från kompositvarukonsumtionen).
Producenten maximera nu likt ovan sin vinst under bivillkoret att konsumenten når den avtalade nyttonivån ( ). är konsumtionen av kompositvaran i period ett och är
konsumtionen i period två. är inkomsten i period ett och två, som antas vara lika stor i båda perioderna.
max
, , , = 2 − − − + ( − )
22
= ( , ) + (1 − ) ( , ) + ( − , )
Inför lagrangemultiplikator och löser ut första ordningens villkor:
ℒ = + ( , ) + (1 − ) ( , ) + ( − , ) − ℒ = − − + + (1 − ) + = 0 ℒ = −1 + = 0 ℒ = −1 + (1 − ) + = 0 ℒ = − = 0 Från ℒ och ℒ får vi att: = vilket implicerar att = 0.
Löser vi även ℒ ser vi att det är en Paretooptimal lösning.
+ = +
