(1) (a) Ge negationen av p˚ ast˚ aendet:

TATA79/TEN3 Inledande matematisk analys Tentamen, 2017-08-15

Instruktioner: Svara p˚ a alla uppgifter. Det finns sju uppgifter och varje uppgift kan ge maximalt 3 po¨ ang. F¨ or godk¨ ant betyg r¨ acker 9 po¨ ang. En tentand som f˚ att f¨ arre ¨ an 9 skrivningspo¨ ang f˚ ar addera intj¨ anade bonuspo¨ ang till sin skrivningspo¨ ang s˚ a l¨ ange summan av bonuspo¨ ang och skrivningspo¨ ang inte ¨ overstiger 9. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och ordentligt skrivna. Inga h¨ alpmedel till˚ atna. Lycka till!

(1) (a) Ge negationen av p˚ ast˚ aendet:

”Alla barn kan gr˚ ata.”

(b) Utred med bevis om p˚ ast˚ aendet

”x < −4 =⇒ x

− x > 19”

¨

ar sant eller falskt.

(c) Skriv kontrapositionen av p˚ ast˚ aendet i (b). ¨ Ar kontrapositionen sann eller falsk?

(2) Visa att

n

X

k=1

k(k + 1)(k + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4

f¨ or alla positiva heltal n.

(3) Fibinacci talf¨ oljd (F

)

definieras av villkoren

 F

= F

+ F

f¨ or n ≥ 1 F

= F

= 1

(a) R¨ ackna ut F

, F

, F

, F

, F

och F

. Vilka ¨ ar j¨ amna?

(b) Visa att F

= 2F

+ F

f¨ or alla n ≥ 1.

(c) Visa att vart tredje tal fr˚ an och med talet F

¨ ar j¨ amnt.

(4) Hitta alla l¨ osningar θ ∈ R till ekvationen 2 cos(2θ) − 4 cos θ + 3 = 0.

Sida 1 av 2 [V¨ and!]

TATA79/TEN3 Inledande matematisk analys Tentamen, 2017-08-15

(5) Kom ih˚ ag att

exp

(x) =  0 om n ≤ |x|, 1 +

om n > |x|, f¨ or positiva heltal n och x ∈ R.

(a) Definiera exponentialfunktionen exp : R → R och talel e.

(b) Visa att

exp

(x) ≤ exp(x) ≤ 1 exp

(−x) om n > |x|.

(c) Anv¨ and (b) f¨ or att visa

 n + 1 n



≤ e ≤  n + 1 n



f¨ or alla n ≥ 3.

(6) (a) Kom ih˚ ag att exp(x) ≤ 1/(1 − x) f¨ or x < 1. Anv¨ and den tillsammans med andra r¨ aknareglar f¨ or att visa

ln(a) ≥ a − 1 a f¨ or alla a > 0.

(b) Skissa grafen av den naturliga logaritmfunktionen ln : (0, ∞) → R.

(7) (a) Hitta alla w ∈ C s˚ a att w

= 5 + 12i.

(b) Hitta alla z ∈ C s˚ a att z

+ (4 + 2i)z − 2 − 8i = 0.

Sida 2 av 2