Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tid och plats: M˚ andagen den 26 oktober 2015 klockan 14.00- 18.00 p˚ a H¨ orsalsv¨ agen.

Hj¨ alpmedel: Physics Handbook, Beta Mathematics Hand- book, typgodk¨ and kalkylator, lexikon samt Olle Branders formelsamling.

Examinator: Christian Forss´ en (031–772 3261).

Jourhavande l¨ arare: Christian Forss´ en (031–772 3261).

FFM232: Tentamen best˚ ar av sex uppgifter som kan ge maximalt 60 po¨ ang totalt. Till detta tillkommer eventuella bonuspo¨ ang fr˚ an inl¨ amningsuppgifter F¨ or att bli godk¨ and med betyg 3 kr¨ avs 24 po¨ ang, f¨ or betyg 4 kr¨ avs 36 po¨ ang och f¨ or betyg 5 kr¨ avs 48 po¨ ang.

R¨ attningsprinciper: Alla svar skall motiveras, inf¨ orda storheter f¨ orklaras liksom val av metoder. L¨ osningarna f¨ orv¨ antas vara v¨ alstrukturerade och begripligt presenterade. Erh˚ allna svar skall, om m¨ ojligt, analyseras m.a.p.

dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Vid tentamensr¨ attning g¨ aller f¨ oljande allm¨ anna principer:

• F¨ or full (10) po¨ ang kr¨ avs fullst¨ andigt korrekt l¨ osning.

• Mindre fel ger 1-3 po¨ angs avdrag. G¨ aller ¨ aven mindre brister i presen- tationen.

• Allvarliga fel (t.ex. dimensionsfel eller andra fel som leder till orimliga resultat) ger mindre po¨ angavdrag om orimligheten pekas ut.

• L¨ osningar som inte g˚ ar att f¨ olja (t.ex. avsaknad av figur, ej definierade variabler, sv˚ arl¨ ast, etc) renderar po¨ angavdrag ¨ aven om svaret verkar vara korrekt.

• Allvarliga principiella fel ger fullt po¨ angavdrag.

• ¨ Aven skisserade l¨ osningar kan ge delpo¨ ang.

Lycka till!

1. (a) Ber¨ akna tangentlinjeintegralen H

C F ·d~ ~ r, d¨ ar ~ F = ^F _a

(−y ˆ x+xˆ y och den slutna kurvan C parametriseras enligt (x, y, z) = (b cos t, c sin t, 0), 0 ≤ t < 2π.

(b) Visa att ∇ × (∇φ) = 0 (f¨ or ett godtyckligt f¨ alt φ) mha indexno- tation.

(c) Ber¨ akna R +π

−π cos(x)δ(2x)dx, d¨ ar δ(x) ¨ ar en endimensionell delta- funktion.

(3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232) 2015-10-26

2. Betrakta vektorf¨ altet ~ E(~ r) = _4πr ^µ

(2 cos θˆ r + sin θ ˆ θ), d¨ ar µ ¨ ar en kon- stant. Best¨ am ekvationen f¨ or den f¨ altlinje till ~ E(~ r) som g˚ ar genom punkten (r, θ, ϕ) = (2, π/4, π/2). Rita ocks˚ a denna f¨ altlinje i rummet tillsammans med xyz-axlarna och indikera riktningen p˚ a vektorf¨ altet vid n˚ agra punkter l¨ angs f¨ altlinjen. (10 po¨ ang)

3. Ber¨ akna integralen

Z

S

F · d ~ ~ S,

d¨ ar S ¨ ar ytan x ² + y ² + z ² = a ² f¨ or z > 0 och f¨ altet ges av F = ~ F ₀

a ² axˆ x + ay ˆ y + (x ² + y ² )ˆ z
, med konstanter a och F ₀ . (10 po¨ ang)

4. H¨ arled kontinuitetsekvationen f¨ or elektrisk laddningst¨ athet ρ(~ r, t) och elektrisk str¨ omt¨ athet ~(~ r, t). Anv¨ and denna f¨ or att motivera f¨ orskjut- ningsstr¨ ommen i Amperes lag med tidsberoende f¨ alt

∇ × ~ B = µ ₀ ~ (elektrostatik) ⇒ ∇ × ~ B −  ₀ µ ₀ ∂ ~ E

∂t = µ ₀ ~.

(10 po¨ ang)

5. L¨ os Laplaces ekvation inuti en (o¨ andligt l˚ ang) cylinder med radien a.

Vid ytan g¨ aller ett Dirichlet randvillkor

φ(~ r)| _{|~ ρ|=a} = φ ₀ + φ ₁ cos pϕ,

d¨ ar p ¨ ar ett heltal och (ρ, ϕ, z) ¨ ar cylindriska koordinater. (10 po¨ ang) 6. I mitten av en sf¨ ar finns en radioaktiv k¨ alla som avger konstant v¨ arme-

effekt W . K¨ allans storlek ¨ ar mycket mindre ¨ an sf¨ arens radie a. Vid ytan g¨ aller Neumanns randvillor f¨ or temperaturf¨ altet

∂T

∂r = konstant.

Finn ett uttryck f¨ or den station¨ ara temperaturf¨ ordelningen i sf¨ aren givet att temperaturen var konstant T (~ r) = T ₀ vid t = 0 och att materialets v¨ armekonduktivitet ¨ ar λ (notera att vi inte ¨ ar intresserade av den tidsberoende l¨ osningen som g¨ aller fram till station¨ arl¨ osningen).

(10 po¨ ang)

Fundamental fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forss´ en