F¨or godk¨ant kr¨avs minst 17 po¨ang p˚a del 1

Po¨ang totalt f¨or del 1: 25 (12 uppgifter) Tentamensdatum 2012-12-19 Po¨ang totalt f¨or del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 – 14.00 L¨arare: Adam Jonsson och Ove Edlund

Jourhavande l¨arare: Adam Jonsson Tel: 0920-491948

Till˚atna hj¨alpmedel: • R¨aknedosa,

• Kursboken V¨annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨osta exempel.

• Kompendium om flerdimensionella f¨ordelningar

• Formelblad

• Tabeller

Tentamen best˚ar av tv˚a delar. P˚a den f¨orsta delen, som ¨ar obligatorisk f¨or att kunna bli godk¨and, beh¨over enbart svar l¨amnas in, men om korta l¨osningar bifogas s˚a finns det vid gr¨ansfall m¨ojlighet att f˚a delpo¨ang p˚a en uppgift. Delpo¨ang ges i f¨orsta hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel beg˚atts. Om kortfattade l¨osningar ej bifogas s˚a finns inga m¨ojligheter att f˚a delpo¨ang p˚a en uppgift.

F¨or godk¨ant kr¨avs minst 17 po¨ang p˚a del 1. Svaren f¨or del 1 ska fyllas i p˚a det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall l¨aggas f¨orst om du l¨amnar in l¨osningar och bifogas oavsett om du l¨amnat in l¨osningar eller ej. Om det ifyllda svarsbladet saknas bed¨oms tentamen som underk¨and.

P˚a den andra delen, som ¨ar valfri och g¨aller tentamen f¨or ¨overbetyg, ska fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas in. T¨ank p˚a att redovisa dina l¨osningar p˚a ett klart och tydligt s¨att och motivera resonemangen. Vid bed¨omningen av l¨osningarna l¨aggs stor vikt vid hur l¨osningarna ¨ar motiverade och redovisade. F¨or betyg 4 kr¨avs godk¨ant p˚a den f¨orsta obligatoriska delen samt minst 13 po¨ang fr˚an den andra delen f¨or ¨overbetyg.

F¨or betyg 5 kr¨avs godk¨ant p˚a den f¨orsta obligatoriska delen samt minst 23 po¨ang fr˚an den andra delen f¨or ¨overbetyg.

OBS! Det g˚ar inte att kompensera underk¨ant p˚a den f¨orsta korta delen av tentamen med po¨ang p˚a den andra delen.

Ange p˚a tentamensomslaget om du har l¨amnat in l¨osningar p˚a del 2 genom att kryssa f¨or de sista tre uppgifterna.

Om du plussar f¨or ¨overbetyg s˚a skriv detta p˚a tentamensomslaget.

LYCKA TILL!

1. I en textilfabrik kontrollerar de tv˚a kontrollanterna Adam och Berit alla plagg efter att de sytts ihop. De ska b˚ada tv˚a granska alla plagg, och de ska ocks˚a genomf¨ora granskningarna s˚a att de ¨ar oberoende av varandra. Anta att en viss typ av plagg ¨ar defekt, och att sannolikheten att Adam missar detta ¨ar 13 % och motsvarande f¨or Berit ¨ar 7 %.

Hur stor ¨ar sannolikheten att b˚ada tv˚a uppt¨acker defekten? (1p) 2. Vid tillverkning av detaljer till en maskin ¨ar felfrekvensen 5 %. F¨or

att begr¨ansa antalet reklamationer beslutar man att alla detaljer ska passera en kontroll. Vid denna kontroll kasseras felaktiga detaljer med sannolikheten 0.9, och felfria kasseras med sannolikheten 0.03. Du tar en detalj ur h¨ogen med kasserade detaljer. Hur stor ¨ar sannolikheten

att den detaljen ¨ar defekt? (2p)

3. Vid etsning av kretskort ¨ar andelen defekta ofta h¨og, och d¨arf¨or kon- trolleras de f¨ardiga korten. Kort l¨aggs ihop i f¨orpackningar om 25 kort.

11 av dessa ska tas ut f¨or unders¨okning. Om det bland de 25 korten finns 6 defekta kort, hur stor ¨ar sannolikheten att det i urvalet finns ex- akt 4 defekta kort? Ange ditt svar i procent med minst tv˚a decimaler.

(2p) 4. En forskargrupp vill best¨amma medianen i en kontinuerlig f¨ordelning

med hj¨alp av ett stickprov ξ₁, . . . , ξ₁₅av storlek 15. Best¨am konfidens- graden f¨or intervallet [ξ(4), ξ(12)]. H¨ar betecknar ξ(1) < ξ(2) < . . . <

ξ(15) det ordnade stickprovet. (3p)

5. Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen

f (x) =

(ce^−2x om 0 ≤ x ≤ 1, 0 annars,

d¨ar c ¨ar en viss konstant.

(a) Best¨am konstanten c. (1p)

(b) Best¨am v¨antev¨ardet E(ξ). (2p)

6. En statistikintresserad snickare har unders¨okt kapning med en viss utrustning och funnit att felet vid en kapning hade v¨antev¨ardet 0 och standardavvikelsen 0.7 (enhet: mm). Om snickaren nu ska kapa upp 10 br¨ador, vad blir variansen f¨or det genomsnittliga felet? (2p) 7. I en viss bank samlas uppgifter in om handl¨aggningstiden av olika slags

¨arenden fr˚an alla lokalkontor. F¨or ett givet rutin¨arende har det visat sig att handl¨aggningstiden kan beskrivas med en normalf¨ordelning d¨ar den f¨orv¨antade handl¨aggningstiden ¨ar 7 timmar och standardavvikelsen 1.2 timmar. Hur l˚ang ¨ar den l¨angsta tiden f¨or de 4.00 % kortaste

handl¨aggningstiderna? (2p)

8. ¨Ar det f¨or lite chips i chipsp˚asarna? De ¨ar m¨arkta med vikten 200 gram, men Evert tycker att de k¨anns mycket l¨atta. Han beslutar att unders¨oka vikten. En fredagskv¨all laddar han med 10 p˚asar chips av ett visst k¨ant m¨arke, som han d˚a v¨ager innan han ¨oppnar dem.

Han f˚ar medelv¨ardet 184 gram, och stickprovsstandardavvikelsen 18 gram. Ber¨akna den ¨ovre gr¨ansen till ett 90 % konfidensintervall f¨or v¨antev¨ardet µ. Utg˚a fr˚an att p˚asvikten kan beskrivas med en nor-

malf¨ordelning. (2p)

9. Antag att du har ett stickprov ξ₁, . . . , ξ₁₀ fr˚an N (µ, 1.5). F¨or att ge- nomf¨ora ett test av H0: µ = 4 mot H1 : µ = 3.5 s˚a kan man utg˚a fr˚an medelv¨ardet ¯ξ och f¨orkasta H0 om ¯ξ ≤ k.

(a) Best¨am k s˚a att testet f˚ar 1% signifikansniv˚a. (1p) (b) Om man har ett st¨orre stickprov s˚a f˚ar testet samma form, men

det kritiska v¨ardet f¨or testet med 1% signifikansniv˚a beror p˚a n.

Hur stort m˚aste stickprovet vara f¨or att detta test ska f˚a en styrka

p˚a 90%? (2p)

10. Joel och Maja har pluggat till en tenta som de skall skriva f¨or ¨overbetyg.

Sannolikhetsf¨ordelningen f¨or betygen (3,4 eller 5) ges nedan. Om Joel skriver tentan f¨orst och meddelar Maja att han fick en fyra, vad ¨ar d˚a sannolikheten att Maja f˚ar betyg fem?

J \M 3 4 5

3 0.28 0.11 0.03 4 0.02 0.25 0.14 5 0.01 0.03 0.13

(1p) 11. Majas och Joels utgifter f¨or kursmaterial (enhet: kr) kan betraktas

som slumpm¨assiga, d¨ar Majas utgifter/m˚anad har v¨antev¨ardet 550 kr och standardavvikelsen 35 kr medan Joels utgifter/m˚anad antas ha v¨antev¨ardet 465 kr och standardavvikelsen 27 kr. Antag att Ma- jas och Joels utgifter f¨or kurslitteratur ¨ar beroende, med korrelation lika med 0.95, samt att de kan beskrivas med en tv˚adimensionell nor- malf¨ordelning.

Givet att Joels utgifter f¨or en viss m˚anad ¨ar lika med 450, ber¨akna Ma- jas f¨orv¨antade utgifter f¨or kurslitteratur under samma m˚anad. Ange

ditt svar med tv˚a decimaler. (2p)

12. Positionen f¨or ett partikel ¨ar slumpm¨assig, med likformig f¨ordelning p˚a det klot som har sitt centrum i origo och vars radie lika med 4.

Ber¨akna sannolikheten att partikelns avst˚and fr˚an orgio ¨ar mindre ¨an

2. (2p)

Slut p˚a del 1. Gl¨om inte att bifoga svarsbladet med tentan!

Tabell f¨or svar till del 1

Riv ut och l¨agg svarsbladet f¨orst i tentamen

Namn: . . . . Personnummer: . . . .

Fr˚aga Svar Po¨ang

1 Sannolikhet (tv˚a decimaler) 80.91 1

2 Sannolikhet (tv˚a decimaler) 61.22 2

3 Sannolikhet (tv˚a decimaler) 16.95 2

4 Konfidensgrad (fyra decimaler) 0.9648 3

5 a Konstanten c 2.3130 1

b V¨antev¨arde (tv˚a decimaler) R1

0 2.313xe^−2xdx 2

6 Varians (tv˚a decimaler) 0.05 (0.049) 2

7 Den l¨angsta tiden (tre decimaler) 4.9 (4.899 exakt) 2

8 Ovre gr¨¨ ans (fyra decimaler) 194.4336 2

9 a kritiskt v¨arde k (fyra decimaler) 2.8965 1

b antal observationer (heltal) 118 2

10 Betingad sannolikhet (tre decimaler) 0.341 1

11 Betingat v¨antev¨arde (tre decimaler) 531.528 2

12 Sannolikhet (tre decimaler) 0.125 2

Totalt antal po¨ang 25

Vid bed¨omningen av l¨osningarna av uppgifterna i del 2 l¨aggs stor vikt vid hur l¨osningarna ¨ar motiverade och redovisade. T¨ank p˚a att noga redovisa inf¨orda beteckningar och eventuella antaganden.

13. Om slumpvariabeln ξ har frekvensfunktion f (x) och a, b ¨ar postitiva konstanter s˚a ges frekvensfunktionen f¨or η = aξ + b av

g(x) = 1

af (x − b

a ) (1)

Best¨am f¨ordelningsfunktionen f¨or η och visa att frekvensfunktionen f¨or

η ges av (1). (10p)

L¨osningsskiss: F¨ordelningsfunktionen f¨or η ¨ar F ((x − b)/a), d¨ar F ¨ar f¨ordelningsfunktionen f¨or ξ. S˚a frekvensfuntionen ¨ar

(F ((x − b)/a))⁰= 1

af (x − b a ).

14. En gruvingenj¨or vill ta reda p˚a den genomsnittliga tiden mellan stopp efter att en ny arbetsrutin inf¨orts. En normalf¨ordelningsplot f¨or stopp- tiderna x_i, i = 1, . . . , 20, gav f¨oljande resultat.

Figur 1: Normalf¨ordelningsplot

Ingenj¨oren v¨aljer mellan tv˚a metoder. Metod A g˚ar ut p˚a att ett inter- vall som baseras p˚a ordningsv¨arden ber¨aknas medan Metod B baseras p˚a intervallet

[¯x − t_α/2(19)s/

√

20, ¯x + t_α/2(19)s/

√ 20], d¨ar s ¨ar stickprovsstandardavvikelsen.

Ge gruvingenj¨oren en rekommendation n¨ar det g¨aller metodval. Moti-

vera tydligt. Diskutera ¨aven konsekvensera av ett felaktigt metodval. (10p) L¨osningsskiss: Hon b¨or v¨alja teckentestet eftersom stopptiderna inte

tycks vara normalf¨ordelade. Intervallet [¯x − t_α/2(19)s/√

20, ¯x + t_α/2(19)s/√ 20]

15. Antag att 1000 punkter v¨aljs fr˚an en likformig f¨ordelning p˚a den kvadrat som har sidl¨angd 2 och centrum i origo. L˚at η beteckna anta- let punkter som hamnar innanf¨or cirkeln som har sitt centrum i origo

och vars radie ¨ar lika med 1. Ber¨akna sannolikheten P (η ≥ 800). (10p) L¨osningsskiss: η ∈ Bin(1000, p), d¨ar p = π/4. D˚a np(1 − p) > 10 har

vi η ∈ N (785, 13) approximativt. Det ger P (η ≥ 800) ' 0.13.