Omtenta i Mekanik 2 (FFM521)
Tid och plats: Fredag 6 oktober 2017 klockan 08.30-12.30 Maskin. . Hjälpmedel: Godkänd minikräknare och Matte Beta
Examinator: Stellan Östlund
Jour: Stellan Östlund, tel. 0767619006, besöker tentamenssalarna c:a kl. 09.30 och 11.30.
Rättningsprinciper: Alla svar skall motiveras, införda storheter förklaras liksom val av metoder. Lösningarna förväntas vara välstrukturerade och begripligt presenterade. Erhållna svar ska, om möjligt, analyseras m.a.p. dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Varje uppgift bedöms med 0, 1, 2 eller 3 poäng enligt följande principer:
• För 3 poäng krävs en helt korrekt lösning.
• Mindre fel ger 1 poängs avdrag.
• Allvarliga fel (t ex dimensionsfel eller andra orimliga resultat) ger 2 poängs avdrag.
• Allvarliga principiella fel ger 0 poäng på uppgiften.
• Ofullständiga, men för övrigt korrekta, lösningar kan ge max 1 poäng. Detsamma gäller lösningsförslag vars presentation är omöjlig att följa.
Betygsgrunder: Varje uppgift ger maximalt 3 poäng, vilket innebär totalt maximalt 15 poäng på denna deltentamen. För att bli godkänd krävs minst fem poäng. 13-15 poäng ger betyg 5, 9-12 poäng ger betyg 4, och 5-8 poäng ger betyg 3.
Rättningsgranskning: c:a 2 veckor efter tentan
OBS: I alla uppgifter får svaret ges i termer av de storheter som ges i uppgift- stexten och figuren, samt tyngdaccelerationen g.
1. Från “Klassiker”
Två homogena block faller. I fallet (a) roterar blocket runt en fast punkt. I fallet (b) rullar hörnet friktionsfritt på underlaget. Vad blir vinkelhastigentenω av blocket precis när den när ena ytan är parallel mot golvet. Blocket har ett rörelsemängdsmoment kmD2 runt dess masscentrum, därD är längden av sidan OC. Uttryck svaret i termer av k, g och D.
• (1p) Hur man ska angripa uppgiften? Vilka fysikaliska storheter är bevarade i de två fallen; vilket fall, (a) eller (b) leder till störreω.
• (1p) Vad blir ω för (a)?
• (1p) Vad blir ω för (b)?
2. Ett litet block med massa m glider friktionsfritt i skåran på en fritt roterande platta med rörelsmängdsmoment I0 = kM r2d. Initialt roterar plattan med vinkelhastigheten ω0 och massan befinner sig i centrum. Massans läge är där ostabilt och börjar röra sig utåt kanten.
• (1p) Bestäm plattans vinkelhastighet ωf när massan når kanten.
• (2p) Bestäm ˙r som en funktion av r.
3. Ett seismiskt instrument, skisserat i figuren, står fast placerat på jorden . Massan m rör sig friktionsfritt i sidledes, förutom dämpad med en stötdämpare med koeffici- ent c kopplad mot ena väggen. Andra sidan kopplas mot väggen med en fjäder med fjäderkonstant k. Strukturen, initialt stillastående, utsätts nu för vibrationer med en amplitud med beloppb och frekvens Ω under en lägre tid. Om den maximala uppmätta amplituden i x är a ange en formel för kvoten |ab|.
• (1p) Skriv ner differentialekvationen för x.
• (2p) Beräkna kvoten |a/b| för godtyckligt Ω.
4. En symmetrisk stav med rörelsemängdsmoment Ixx, Iyy och Izz runt dess huvudaxlar, roterar fritt runt dess mittpunkt runt axeln A− A. Axeln är i sin tur, fäst i en hål- lare, som i sin tur roterar med axeln B med vinkelhastighet ω0. Vinkelhastigheten ω0 hålls konstant med en motor, som ej visas. Som en funktion av φ och p ≡ ˙φ, bestäm momentet M som motorn måste tillföra för att hålla konstant ω0.
5. En massaM rör sig fritt på en stång enligt figuren. En pendel med längd l och massa m hänger från M . Beräkna rörelsekevationerna, normal moderna och frekvenserna.
Beteckna vinkeln av pendel från viloläge med α och läget av M längs stången med x.
• (1p) vad blir Lagrangian
• (1p) vad är rörelsekevationerna
• (1p) vad blir egenfrekvenserna.
Lycka till!
Formelblad
Ni får behålla detta formelblad för andra delen av tentan
• R⌦(✓)ij = i,jcos(✓) + (1 cos(✓))⌦i⌦j sin(✓) ✏ijk⌦k
• T r(R⌦ˆ)(✓) = 1 + 2 cos(✓)
• ⌃ ✏kij (R⌦ˆ(✓))ij = 2 sin(✓) ˆ⌦k
• Iij =P~rm~r( ij(~r)2 ~ri~rj)
• (Itot)ij =P(Icm)ij+ M (R2 ij RiRj)
• ( MK 7/6 ) vA = vB+ !⇥ r + vrel
• (MK 7/6) aA= aB+ ˙⌦⇥ rA/B+ 2⌦⇥ vrel+ ⌦⇥ (⌦ ⇥ rA/B) + arel
• (MK 7/7,7/7a) dAdt = @A@t + ⌦⇥ A
• 0 = dtd @L
@ ˙q @L
@q
• p = @L@ ˙q
• H(p, q) = p ˙q L
• @H@p = ˙q
• @H@q = ˙p
• Pk✏ijk✏mnk = i,m j,n i,n j,m
• (A ⇥ B) · (C ⇥ D) = (A · C) (B · D ) (A· C)(B · C)
• cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b; sin (a + b) = cos a sin b + sin a cos b
• sin aA = sin bB = sin cC där A, B och C är längden av sidorna mittemot vinkeln a, b och c.
• cos ✓ = 1 12✓2+241✓4+ O(✓6); sin ✓ = ✓ 16✓3+ O(✓5).
• | ~A⇥ ~B| = |A| |B| sin ✓AB | ~A· ~B| = |A| |B| cos ✓AB.
