Linjärprogrammering (LP) Repetition (L1 kap. 1 & L2 kap. 6)

 Linjär programmering är en modelltyp för att lösa optimeringsproblem med flera trånga

sektorer

 Repetition inför momenten



Nätverksmodeller



Transportmodeller



Heltalsprogrammering



Målprogrammering

Linjärprogrammering (LP)

Repetition (L1 kap. 1 & L2 kap. 6)

Linjärprogrammering

Modelltyp för att lösa optimeringsproblem

 Teoretisk definition:

 En iterativ matematisk teknik för att lösa maximerings- eller minimeringsproblem under begränsningar (bivillkor).

 Praktisk företagsekonomisk definition:

 Ett sätt att åstadkomma ett modellmässigt optimalt utnyttjande av begränsade resurser (trånga sektorer)

 Går ut på att:

 Välja värden på ett antal beslutsvariabler (”aktiviteter”) så att ett optimalt (maximalt eller minimalt) värde erhålls på en målfunktion.

 Beslutsvariablernas värden måste väljas givet ett antal restriktioner.

 Målfunktion och restriktioner måste beskrivas med linjära funktioner (styckvis linjära funktioner).

Linjär programmering

Problemställning:

 Exempelvis, sök den produktionsplan som maximerar TTB eller

minimerar kostnader givet begränsningar såsom maskintid, arbetstid, materialtillgång, efterfrågan mm.

Kvantifiera problemet:

1. Definiera beslutsvariablerna

o Vad är den centrala problemställningen?

o Exempelvis, hur mycket skall produceras av vad, när och var?

2. Definiera målfunktion

o Maximera eller minimera?

3. Fastställ restriktionerna, t ex:

o Resursbegränsningar

o Balansekvationer – framförallt när då tiden explicit beaktas i modellen

o Policyrestriktioner – exempelvis limiter i en investeringsportföljen

4. Genomför känslighetsanalys på basis av datorkörning

Linjär programmering

Grundläggande antaganden:

 Alla samband uttrycks linjärt eller styckvis linjärt.

 Alla variabler är kontinuerliga (heltalsprogrammering, eget moment).

 Alla koefficienter är kända med säkerhet.

 Endast ett kvantifierbart mål (målprogrammering, eget moment).

Linjär programmering

Ett exempel

 Ett företag tillverkar två produkter – X₁ och X₂

 Målsättningen är att välja den produktionsmix av X₁ och X₂ som

maximerar TTB

 Ett optimeringsproblem med flera trånga sektorer

Produktions- resurs etc.

X₁ (för- brukning per enhet)

X₂ (för- brukning per enhet)

Total resurstill- gång (dag) Arbets-

timmar

2 4 1 600

Process- timmar

6 2 1 800

Efterfrågan X₁

Obe- gränsad Efterfrågan

X₂

350

TB per enhet 3,00 8,00

• Om flera resurser är begränsande för flera produkter får vi ett optimeringsproblem som normalt endast går att lösa med iterativa metoder

• Modellformulering

:

1. Max 3X₁ + 8X₂

2. 2X₁ + 4X₂ < 1 600 (arbetstimmar) 3. 6X₁ + 2X₂ < 1 800 (processtimmar) 4. X₂ < 350 (efterfrågan)

Linjär programmering

Ett exempel

Linjär programmering

Grafisk lösning av exemplet

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 Produkt X1

Produkt X2

Optimal lösning = (X₁, X₂) = (100, 350) ger maximalt TTB = 3 100

Processtid

Arbetstid Efterfrågan

”Optimalt hörn”

Målfunktionen (Z) är satt till 1200, 2400 och 3100 i figuren (Max Z=3X₁+ 8X₂)

Linjär programmering

Slack- och Surplus-variabler

 Gör om restriktionerna till likheter genom att införa slackvariabler X₃, X₄ och X₅ i restriktionerna:

2X₁ + 4X₂ + X₃ = 1 600 (arbetstimmar) 6X₁ + 2X₂ + X₄ = 1 800 (processtimmar) X₂ + X₅ = 350 (efterfrågan)

 Sätt in optimala värden på X₁ (100) och X₂ (350) och lös ut X₃, X₄ och X₅:

X₃ = 0

X₄ = 500 = oanvända processtimmar (slack) X₅ = 0

Linjär programmering

Slack- och Surplus-variabler

 Generellt gäller att:

 om slackvariabler X_i = 0 så är restriktion i bindande

 om slackvariabler X_i > 0 så är restriktion i icke-bindande

 I exemplet är således restriktion 1 och 3 bindande och restriktion 2 icke-bindande

 Antag även följande restriktion i modellen:

X₁ > 50

 Gör om den restriktion till likhet genom att införa surplusvariabeln X₆ i restriktionen, dvs:

X₁ – X₆ = 50

X₆ = 50, dvs. icke-bindande restriktion

Linjär programmering

Grafisk lösning av exemplet med X

>50

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 Produkt X1

Produkt X2

Oförändrad optimal lösning = (X₁, X₂) = (100, 350) ger maximalt TTB = 3 100

Processtid

Arbetstid Efterfrågan

”Optimalt hörn”

X₁> 50

Målfunktionen (Z) är satt till 1200, 2400 och 3100 i figuren (Max Z=3X₁+ 8X₂)

Linjär programmering

Lösning

Tillverka X

= 100 Produkt 1

X

= 350 Produkt 2

Oanvänd resurs X

= 0 Arbetstimmar X

= 500 Processtimmar X

= 0 Efterfrågan

Optimalt mål- funktionsvärde

3 100 Maximalt TTB

Linjär programmering

Känslighetsanalys

 Hur förändras lösningen om vi förändrar

 Begränsningarna (högerleden) i restriktionerna

 Koefficienterna i målfunktionen

 Viktig information ur lösningen

 Skuggpriser

 Intervall för både koefficienterna i målfunktionen och begränsningarna i restriktionerna.

 Betrakta följande möjligheter – en i taget

 Ytterligare 100 arbetstimmar blir tillgängliga

 Ytterligare 120 processtimmar blir tillgängliga

Linjär programmering

Ytterligare 100 arbetstimmar blir tillgängliga

Optimal lösning = (X₁, X₂) = (150, 350)

vid 1 700 arbetstimmar (1 600)  målfunktionsvärde = 3 250

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 Produkt X1

Produkt X2

Processtid

Efterfrågan

Arbetstid

 En ökning av 100 arbetstimmar leder till således en ökning av målfunktionens värde på 150.

 Skuggpriset = 150/100 = 1,5

 Alla ytterligare arbetstimmar används för att tillverka X₁

 X₂ kan inte tillverkas i större kvantitet p.g.a. restriktion 3

 Eftersom vi har 500 oanvända processtimmar kan vi göra 83,33 (500/6) ytterligare X₁ innan restriktionen för process- timmar blir bindande. Ytterligare 83,33 av X₁ kräver 166,67 arbetstimmar.

 Arbetstimmar utöver 166,67 ger ingen ökning av TB.

 Skuggpriset = 1,5 gäller således i intervallet [1400, 1766,67]

Linjär programmering

Ytterligare 100 arbetstimmar blir tillgängliga

2X₁ + 4X₂ < 1 600 (arbetstimmar) 6X₁ + 2X₂ < 1 800 (processtimmar)

Linjär programmering

Ytterligare 120 processtimmar blir tillgängliga

Optimal lösning = (X₁, X₂) = (100, 350) vid 1 920 arbetstimmar (1 800)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900

Produkt X1

Produkt X2

Processtid

Efterfrågan

Arbetstid

 En ökning av 120 processtimmar leder inte till någon ökning av målfunktionens värde.

 Skuggpriset = 0

 Tillgängligheten av processtimmer kan minska med 500 innan den restriktionen blir bindande.

 Skuggpriset = 0 gäller således i intervallet [1300, ∞]

Linjär programmering

Ytterligare 120 processtimmar blir tillgängliga

Linjär programmering

Mjukvarustöd

 Lingo

 Demoversion gratis på www.lindo.com

 Mycket användarvänligt (när ”Lindo-syntax” används)

 Finns för Windows, Mac och Linux

 www.phpsimplex.com/simplex/simplex.htm?l=en

 Enkelt online-verktyg

 De flesta större programpaket för kvantitativ analys har stöd för lösning av LP-modeller.

 http://www.orms-today.org/surveys/LP/LP-survey.html

Linjär programmering

Lösning i Lingo

Linjär programmering

Lösning i Lingo

Linjär programmering

 Summering – känslighetsanalys

 Reducerad kostnad (Reduced Cost) visar hur mycket sämre målfunktionens värde blir om man i den optimala lösningen ”tvingar in” en enhet av en variabel som har värdet 0 i den optimala lösningen.

 Slack eller överskott (Slack or Surplus) visar hur mycket av en resurs som inte används i den optimala lösningen (0 eller > 0) eller hur mycket en

”större eller lika med”- restriktion” överskrids i den optimala lösningen.

 Skuggpriset (Dual Prices) för en resurs visar dess alternativvärde, dvs. hur mycket målfunktionens optimala värde skulle förbättras om ytterligare en enhet av resursen fanns tillgänglig (Ceteris paribus)

 Intervall för målfunktionskoefficienterna (Objective Coefficient Ranges) visar hur koefficienterna i målfunktionen kan ändras utan att de optimala värdena på beslutsvariablerna förändras (Ceteris paribus)

 Intervall för begränsningarna i restriktionerna (Righthand Side Ranges) visar hur tillgången på en begränsad resurs kan ändras utan att resursens skuggpris förändras.

Linjär programmering

Policyrestriktioner

 Begränsningar i en LP-modell kan även uttrycka ”policy”- restriktioner. Exempel:

 Minst 30 % av den totala produktionen måste bestå av produkt X₁:

 X₁ > 0,3(X₁ + X₂)

 Högst 50 % av TTB får komma från produktion av produkt X₂:

 8X₂ < 0,5(3X₁ + 8X₂)

Linjär programmering

Flerperiodiska modeller

Tidsdimensionering

 Varje aktivitet (t ex produktion, lagring och försäljning) sker en gång per tidsintervall.

 Varje aktivitet skall därför representeras av en

beslutsvariabel (eller i de fall då förutsättningarna

inte är variabla av en parameter).

Period t-1 Period t Period t+1

I_t-2 I_t-1 I_t I_t+1

P_t-1 P_t P_t+1

D_t-1 D_t D_t+1

Restriktioner i LP-modellen (period t): I_t-1 + P_t = D_t + I_t.

• En sådan restriktion för varje period.

• Dessutom kan det tillkomma index för olika produkter.

P_t = produktion i period t (antal enheter) D_t = efterfrågan i period t (antal enheter) I_t = utgående lager i period t (antal enheter)

Linjär programmering

Flerperiodiska modeller

 Några komplikationer:

1. Restorder (brist) hanterar genom att lagervariabeln (I) delas upp i två variabler:

 I = I_L– I_B; där I_L= lagerstorlek och I_B = bristenheter; I_L > 0, I_B > 0

2. Planeringshorisonten

 Prognos av behov lager efter denna tidpunkt måste finnas

3. Fast kostnad

 Ger icke-linjära modeller! Löses vanligtvis med heltalsprogrammering.

Linjär programmering

Flerperiodiska modeller

Linjär programmering

Flerperiodiska modeller

Definitioner:

D_t = Efterfrågan i kvartal t (parametervärde).

R_t = Produktion på ordinarie arbetstid i kvartal t.

O_t = Produktion på övertid i kvartal t.

S_t = Produktion hos kontaktstillverkaren (lego) i kvartal t.

I_t = lagernivå i slutet av period t (enh.).

I₀ = 300

Linjär programmering

Flerperiodiska modeller

Målfunktion (Min tillverkningskostnaden):

Min 20R₁+20R₂+20R₃+20R₄+25O₁+25O₂+25O₃+25O₄+ 28S₁+28S₂+28S₃+28S₄+3I₁+3I₂+3I₃+3I₄

Linjär programmering

Flerperiodiska modeller

Restriktioner:

I₀ = 300

I₀ + R₁ + O₁ + S₁ - I₁ = 900 I₁ + R₂ + O₂ + S₂ – I₂ = 1500 I₂ + R₃ + O₃ + S₃ – I₃ = 1600 I₃ + R₄ + O₄ + S₄ – I₄ = 3000

R₁ < 1000 R₂ < 1200 R₃ < 1300 R₄ < 1300

Restriktioner:

O₁ < 100 O₂ < 150 O₃ < 200 0₄ < 200

S₁ < 500 S₂ < 500 S₃ < 500 S₄ < 500

Linjär programmering

Flerperiodiska modeller

Heltalsprogrammering

Binära heltal

 Binära heltal

 En variabel X_i är en binär heltalsvariabel om den endast kan anta värdet 0 eller 1.

 Särskilt användbar när val mellan olika alternativ och när fasta kostnader modelleras.

 Blandad heltalprogrammering är LP-modell där både kontinuerliga variabler och heltalsvariabler finns med.

 Definieras särskilt i mjukvaran (LINGO) som används.

 I Lingo: Int <variabelnamn>

Heltalsprogrammering

Bemanningsproblem

Läkare 1 Läkare 2 Läkare 3 Läkare 4 Läkare 5 Läkare 6

Specialitet 1 ^{ }

Specialitet 2 ^{ }

Specialitet 3 ^{ }

Specialitet 4 ^{ }

Specialitet 5 ^{  }

Specialitet 6 ^

Ett mindre sjukhus ska bemanna läkarjouren för den kommande veckan. På sjukhuset finns sex klinker med olika specialiteter. De sex läkare som finns tillgänglig för jour-verksamheten under vecka har kompetens inom följande specialiteter.

Målet är att med hjälp av så få läkare som möjligt bemanna jouren så att alla specialiteter är representerade.

Formulera en LP-modell som löser sjukhusets planeringsproblem.

Heltalsprogrammering

Bemanningsproblem

Min L1+L2+L3+L4+L5+L6 ST

L1+L4>=1 !Specialitet 1 L1+L5>=1 !Specialitet 2 L2+L3>=1 !Specialitet 3 L1+L6>=1 !Specialitet 4 L2+L3+L6>=1 !Specialitet 5 L4>=1 !Specialitet 6 END

INT L1 INT L2 INT L3 INT L4 INT L5 INT L6

Objective value: 3.000000

Variable Value Reduced Cost L1 1.000000 1.000000 L2 0.000000 1.000000 L3 1.000000 1.000000 L4 1.000000 1.000000 L5 0.000000 1.000000 L6 0.000000 1.000000

Linjär programmering

Styckvis linjär funktion

(Kapitel 19 i L1)

Styckvis konvex linjär funktion:

Exempel kostnaden för nyanställning:

 I målfunktionen:

 Restriktioner:

_t (c_H1WH_1t + c_H2WH_2t) WH_t = WH_1t + WH_2t 0 < WH_1t < WH*

0 < WH_2t

Linjär programmering

Styckvis linjär funktion