ÅBO AKADEMI LOGIKSTYRNING. Hannu Toivonen Jari Böling. Augusti Biskopsgatan 8 FIN Åbo Finland

(1)

˚ ABO AKADEMI

TEKNISKA DEPARTMENT OF

FAKULTETEN ENGINEERING

Laboratoriet f¨ or Process Control

reglerteknik Laboratory

LOGIKSTYRNING

Hannu Toivonen Jari B¨ oling

Augusti 2012

Biskopsgatan 8

FIN–20500 ˚ Abo Finland

(2)

(3)

Inneh˚ all

0 Inledning 5

0.1 Litteratur . . . . 8

1 Klassisk logik och boolesk algebra 9 1.1 Insignaler, utsignaler och tillst˚ and . . . . 9

1.2 Propositionskalkyl . . . . 11

1.3 Boolesk algebra . . . . 12

1.4 N˚ agot om implementeringen av logiska funktioner . . . . 14

2 Booleska funktioner 17 2.1 Disjunktiv och konjunktiv normalform . . . . 17

2.2 F¨ orenkling av booleska uttryck . . . . 18

2.2.1 Karnaugh-diagram . . . . 19

2.2.2 QMC-metoden . . . . 24

2.2.3 System med flera utsignaler . . . . 29

2.2.4 Konjunktiv minimalform . . . . 31

2.3 Kombinatoriska automationsproblem . . . . 33

3 Sekvensstyrningsproblem 35 3.1 Syntes av sekventiella system . . . . 36

3.2 Deterministiska sekvensstyrningsproblem . . . . 41

4 Programmerbar logik 45 4.1 Funktionss¨ attet hos en PLC . . . . 46

4.2 Programmering av en PLC . . . . 47

4.2.1 L˚ ag-niv˚ a programmeringsspr˚ ak (IL) . . . . 48

4.2.2 Kontaktdiagram (LD) . . . . 49

4.2.3 Function Block Diagram (FBD) . . . . 51

5 Petri n¨ at 53

6 Planering av s¨ akerhet f¨ or styrsystem 59

3

(4)

4 INNEH˚ALL

(5)

Kapitel 0

Inledning

Man kan dela in regler- och styrproblem i tre grupper:

1. Reglering och styrning av procesesser som kan beskrivas med hjälp av differential- eller differen- sekvationer. Ing˚aende variabler beskrivs av reella tal. T.ex. temperatur, spänning, position och dylikt.

r - + -

- Gk u -

Gp

y- 6

2. Styrning av sekventiella processer, vars dynamiska egenskaper karakteriseras av diskreta h¨andelser.

Ing˚aende variabler beskrivs av logiska tal eller heltal. T.ex. en ventil som kan vara ¨oppen eller st¨angd, en beh˚allare som kan vara tom, halvfull eller full.

3. Hybrida system, blandning av ovanst˚aende typer.

I samtliga fall s˚a önskar man styra processessen s˚a att önskad funktion uppn˚as. Kursen logikstyrning är inriktad p˚a grupp 2.

Exempel p˚a logikstyrningsproblem

• Processindustrin:

– Start och nedk¨orning av processer – Byte av driftstillst˚and

– S¨akerhetssystem, ˚atg¨arder vid felsituationer – Operation av batch-processer

• Styckegodsindsutrin – Operation av verktyg – Robotar

• Vardagen – Tjuvlarm – Bankomater – All slags elektronik

• Telefonv¨axlar

5

(6)

6 KAPITEL 0. INLEDNING

Angr¨ansande omr˚aden:

• Digitalteknik och elektronik

• Datateknik: Realtidssystem

Denna kurs fokuserar p˚a industriella sekvensstyrningsproblem och implementering med hj¨alp av programmerbar logik.

Exempel 0.1 Blandningsprocess

Reaktor

A B

? ?

V_A V_B

?

V_R

∞

Onskad funktion f¨¨ or blandningsprocessen:

Reaktorna skall fyllas med inneh˚allen i beh˚allarna A och B, reaktorns inneh˚all skall omröras och upp- värmas till 80ôC, varefter reaktorn skall tömmas.

(7)

7 Schematiskt:

Reaktorn tom V_R st¨angd

Oppna V¨ _A och V_B

A t¨oms B t¨oms

St¨ang VAd˚a A tom

A t¨omd

St¨ang VB d˚a B tom

B t¨omd

Sl˚a p˚a uppv¨arming

Uppv¨arming

Sl˚a av uppv¨arming och

¨oppna VR d˚a T ≥ 80^oC

Reaktorn t¨oms

St¨ang VRd˚a reaktorn tom

Slut

Problemet att styra sekventiella processer av denna typ ¨ar ett exempel p˚a logikstyrning: styrningen kan realiseras med hj¨alp av logiska funktioner av typen

Utf¨or aktionen A ifall premissen P ¨ar uppfylld

Logikstyrning implementerades tidigare med hj¨alp av rel¨aer, och numera oftast med programmerbar logik.

Sm˚a sekvensstyrningsproblem kräver ingen djupare analys, utan implementeringen kan vanligen baseras p˚a enkel boolesk algebra. Större system är däremot inte s˚a lätta att överblicka, utan fordrar systematiska analysmetoder.

(8)

8 KAPITEL 0. INLEDNING

0.1 Litteratur

Litteratururvalet p˚a detta omr˚ade är inte särskilt stort, och det finns egentligen ingen bok som skulle vara riktigt lämplig som kursbok. Följande böcker kan dock nämnas som bredvidläsning för den intresserade:

1. L. Alm: Styrteknik. Studentlitteratur 1991. Fokuserar p˚a verkstads- och styckegodsprocesser.

2. W. Bolton: Programmable logic controllers. Newnes, fj¨arde upplagan, 2006.

3. G.C. Cassandras och S Lafortune: Introduction to discrete event systems. Kluwer 1999 och Springer 2007. Ganska teoretisk, behandlar Petri-n¨at utf¨orligt.

4. M. Costanza: Programmable logic controllers - The industrisl computer. Arnold 1997.

5. A.J Crispin: Programmable logic controllers and their engineering applications. McGraw-Hill 1997.

Inneh˚aller IEC-standarden f¨or programmering av PLC:n.

6. K.H. Fasol: Bin¨are steuerungstechnik. Springer 1988.

7. T. Floyd: Digital fundamentals. Prentice-Hall 1997.

8. S. Friedman: Logical design of automation systems. Prentice-Hall 1980.

9. B. Haag: Industriell systemteknik – Ell¨ara, elektronik och automation. Studentlitteratur 1998.

10. T.R. McCalla: Digital logic and computer design. MacMillan 1992.

11. E.W. Kamen: Industrial controls and manufacturing. Academic Press 1999.

12. J. Palmer och D. Perlman: Introduction to digital systems (Schaum’s outline). McGraw-Hill 1993.

13. M. Treseler: Designing state machine controllers using programmable logic. Prentice Hall 1992.

(9)

Kapitel 1

Klassisk logik och boolesk algebra

1.1 Insignaler, utsignaler och tillst˚ and

Ett sekvensstyrsystem kan schematiskt framst¨allas i form av f¨oljande diagram:

- -- --

- --

..

. ... ...

... ... ... un

... u₂ u1

ym

... y₂ y1

xp

... x1

x⁺₁, . . . , x⁺_p Minne

Logisk funktion

Nytt tillst˚and Tillst˚and

Insignaler (fr˚an process) Utsignaler(till process)

Insignaler, utsignaler och tillst˚and antas i denna kurs ha logiska v¨arden. Utsignalernas Y ={yi} och det interna tillst˚andens X⁺ ={x⁺i } nya värden bestäms som funktioner av insignalerna U = {ui} och de tidigare tillst˚anden X = {xi}. Dessa funktioner kan i praktiken beskrivas med hjälp av klassisk logik eller, analogt, med boolesk algebra.

Exempel 1.1 Transport¨or

A B

Insignaler: U ={ui}

1. G˚a till v¨anster (← -knapp) 2. G˚a till h¨oger (→ -knapp)

3. Stopp (STOP-knapp)

4. L¨agessensor vid A (A) 5. L¨agessensor vid B (B)

9

(10)

10 KAPITEL 1. KLASSISK LOGIK OCH BOOLESK ALGEBRA Tillst˚and: X ={xi}

1. Stillast˚aende vid A 2. Stillast˚aende vid B

3. Stillast˚aende mellan A och B 4. P˚a väg mot höger (mot B) 5. P˚a väg mot vänster (mot A) Utsignaler: Y ={yi}

1. Mot v¨anster (V) 2. Mot h¨oger (H)

3. Stilla (S)

Styrsystemets funktion kan representeras med hj¨alp av en graf, s.k. tillst˚andsgraf, d¨ar

• tillst˚and representeras av noder,

• tillst˚ands¨overg˚angar representeras av riktade l¨ankar mellan noderna, och

• insignal resp. utsignal associerade med tillst˚ands¨overg˚angen anges vid l¨anken.

-

xi xj

u_n/y_m

Exempel 1.2 Tillst˚andsgraf f¨or styrsystemet i exempel 1.1.

1 3 2

5 : 4

→ /H

z A/S

y

A/S 9 ← /V

→ /H : 6

→ /H

?

← /V 6

ST OP/S

?

ST OP/S

I en tillst˚andstabell (Huﬀman-tabell) anges

x_s/y_k = (f¨oljande tillst˚and/utsignal) som funktion av insignaler och tillst˚and i tabellform.

Exempel 1.3 Tillst˚andstabell f¨or styrsystemet i exempel 1.1.

Insignaler

← → STOP A B

Tillst˚and 1 2 3 4 5

1. Vid A 1/S 4/H 1/S 1/S (1/S)

2. Vid B 5/V 2/S 2/S (2/S) 2/S

3. Mellan A och B 5/V 4/H 3/S 1/S 2/S

4. Mot B 3/S 4/H 3/S 4/H 2/S

5. Mot A 5/V 3/S 3/S 1/S 5/V

Vissa situationerna förekommer ej normalt (beteckna dessa med parentes), endast vid felsituationer. För att felsituationerna skall klaras av, bör man i praktiken definiera förnuftiga tillst˚andsöverg˚angar och aktioner även för dessa situationer.

I praktiken kan sekvensstyrningsproblem ofta leda till tämligen komplicerade operationer. Det krävs d˚a systematiska metoder vid planeringen av systemet. Analys och syntes av sekventiella processer baserar sig i hög grad p˚a klassisk logik och boolesk algebra. Vi skall därför börja med att behandla dessa.

(11)

1.2. PROPOSITIONSKALKYL 11

1.2 Propositionskalkyl

Propositionskalkylen eller propositionslogiken är en del av den formella logiken som kan härledas till- baka till Aristoteles (382 – 322 f.Kr.). I propositionskalkylen är grundbyggstenarna p˚ast˚aenden, eller propositioner. Ett p˚ast˚aende ¨ar antingen sant (S) eller falskt (F ).

Exempel 1.4 Propositioner

P : ’Granen är ett finskt trädslag’

Q : ’Kokospalmen v¨axer vild p˚a ˚Aland’

Tydligen g¨aller P = S, Q = F .

I propositionskalkylen sammansätts propositioner till nya propositioner med hjälp av de logiska konnek- tiven ”och”, ”eller” samt negationen ”icke”. Man brukar använda beteckningarna

∨ ”eller” (OR)

∧ ”och” (AND)

P ”icke P” (NOT P)

Propositionkalkylens konstanter ¨ar S (sann) och F (falsk). F¨or dessa inf¨ors f¨oljande postulat, som ¨ar i enlighet med vardagens spr˚akbruk och intuition:

F∨ F = F (P 1)

S∨ S = S (P 2)

S∨ F = F ∨ S = S (P 3)

S∧ S = S (P 4)

F∧ F = F (P 5)

F∧ S = S ∧ F = F (P 6)

F = S (P 7)

S = F (P 8)

Ur dessa postulat f¨oljer f¨or en godtycklig proposition x (vars sanningshalt, S eller F , inte ¨ar given, dvs.

en variabel) f¨oljande samband:

x∨ x = x (R1)

x∨ x = S (R2)

x∨ S = S (R3)

x∨ F = x (R4)

x∧ x = x (R5)

x∧ x = F (R6)

x∧ F = F (R7)

x∧ S = x (R8)

x = x (R9)

Vidare kan logiska samband för uttryck som inneh˚aller tv˚a eller flera propositioner härledas. N˚agra av de viktigaste sambanden i propositionskalkylen kommer att diskuteras nedan i samband med den booleska algebran.

(12)

12 KAPITEL 1. KLASSISK LOGIK OCH BOOLESK ALGEBRA

1.3 Boolesk algebra

Boole introducerade ˚ar 1854 en tv˚avärd algebra som är isomorf¹ med propositionskalkylen. P˚a detta sätt var det möjligt att beskriva den klassiska logiken matematiskt (i form av en tv˚avärd algebra). I boolesk algebra antar variabler n˚agot av värdena (konstanterna) 0 eller 1. Operationerna i boolesk algebra är ELLER (OR), logisk summa (disjunktion), med beteckningen + (x + y)

OCH (AND), logisk produkt (konjuktion), med beteckningen· (x · y eller xy)

ICKE (NOT), logisk invers, med beteckningen x (= icke x). Beteckningarna x^′ och¬x anv¨ands ¨aven.

Operationerna deﬁnieras med hj¨alp av f¨oljande postulat:

0 + 0 = 0 (P 1)

1 + 1 = 1 (P 2)

0 + 1 = 1 + 0 = 1 (P 3)

1· 1 = 1 (P 4)

0· 0 = 0 (P 5)

0· 1 = 1 · 0 = 0 (P 6)

0 = 1 (P 7)

1 = 0 (P 8)

Operationerna kan sammanfattas i form av en sanningstabell:

A B A A + B AB

0 0 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 0 1 1

0 1 1 1 0

Förutom ovannämnda operationer brukar man införa ytterligare ett antal operatationer:

NOR (icke eller) A + B

XOR (exklusivt eller) A⊕ B XNOR (exklusivt NOR) A⊕ B

NAND (icke och) AB

Dessa operationer beskrivs av sanningstabellen

A B A + B A⊕ B A ⊕ B AB

0 0 1 0 1 1

1 0 0 1 0 1

1 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1

Den egenskap som gör boolesk algebra speciellt viktig är dess isomorfi med propositionskalkylen. Denna isomorfi ges enligt följande:

Boolesk algebra Propositionskalkyl

1 ←→ S

0 ←→ F

+ ←→ ∨

· ←→ ∧

x ←→ x

1isomorf = med samma struktur

(13)

1.3. BOOLESK ALGEBRA 13 Postulaten (P 1)− (P 8) f¨or propositionskalkyl respektive boolesk algebra ¨ar ekvivalenta om man substi- tuerar konstanter och operationer enligt ovan.

Alla de lagar i logiken som f¨oljer ur propositionskalkylens postulat (P 1)− (P 8) har s˚aledes sina exakta motsvarigheter i boolesk algebra. Den klassiska logiken (beskriven av propositionskalkyl) kan s˚aledes representeras rent algebraiskt i form av den tv˚av¨arda booleska algebran.

Sambanden (R1)− (R9) givna tidigare f¨or propositionskalkylen blir f¨or boolesk algebra:

x + x = x (R1)

x + x = 1 (R2)

x + 1 = 1 (R3)

x + 0 = x (R4)

x· x = x (R5) x· x = 0 (R6) x· 0 = 0 (R7) x· 1 = x (R8)

x = x (R9)

I följande tabell anges n˚agra av de viktigaste räknereglerna för tv˚a och tre variabler, som kan härledas fr˚an postulaten (P 1)− (P 8).

Associationslagar:

(R10) x + (y + z) = (x + y) + z

(R11) x(yz) = (xy)z

Kommutationslagar:

(R12) x + y = y + x

(R13) xy = yx

Distributionslagar:

(R14) x(y + z) = xy + xz

(R15) x + yz = (x + y)(x + z)

Absorptionslagar:

(R16) x + xy = x

(R17) x(x + y) = x

Transivitetslagar (konsensus):

(R18) xy + xz + yz = xy + xz (R19) (x + y)(x + z)(y + z) = (x + y)(x + z) de Morgans lagar:

(R20) x + y = x· y

(R21) xy = x + y

Lagarna kan direkt generaliseras till ﬂera variabler. De Morgans lagar generaliseras t.ex. till (R20)^′ x1+ x2+ . . . + xn = x1· x2· . . . · xn

(R21)^′ x1· x2· . . . · xn = x1+ x2+ . . . + xn

Anm. S˚asom nedan framg˚att, följer ur isomorfin mellan propositionskalkyl och boolesk algebra att alla lagar som kan härledas för den senare har sin motsvarighet i propositionskalkyl.

Uppgift 1.1 Ange de Morgans lagar med hj¨alp av propositionskalkyl.

Alla lagar i boolesk algebra f¨oljer ur postulaten (P 1)− (P 8). Lagarna kan visas och h¨arledas, antingen

• genom att undersöka de ing˚aende uttryckens värden för samtliga kombinationer av variabelvärden med hj¨alp av en sanningstabell, och konstaterande av ekvivalens (sk. perfekt induktion), eller

• genom algebraisk h¨arledning och anv¨andning av redan bevisade lagar.

(14)

14 KAPITEL 1. KLASSISK LOGIK OCH BOOLESK ALGEBRA Vi skall illustrera procedurerna med exempel:

Uppgift 1.2 Visa a) de Morgans lagar b) transivitetslagen (R18)

1.4 N˚ agot om implementeringen av logiska funktio- ner

C.E. Shannon visade ˚ar 1938 (i sitt diplomarbete) att boolesk algebra kan användas för att beskriva funktionen hos vissa elektriska och elektroniska kretsar, t.ex. de som används i telefonväxlar. Omvänt kan varje logisk samband som kan beskrivas med boolesk algebra implementeras elektroniskt.

L˚at tillst˚andet hos en kontakt representera en variabel x, s˚a att x = 1 d˚a kontakten är sluten x = 0 d˚a kontakten är öppen och l˚at en spänningsniv˚a representera en variabel z, enligt

z = 1 d˚a spänningen är h¨og (typiskt 2.4− 5.5V ) z = 0 d˚a spänningen är l˚ag (typiskt 0− 0.4V )

5.5V

2.4V z = 1

0.4V

0 z = 0

Operationerna i den booleska algebran kan d˚a implementeras med hj¨alp av s.k. logiska grindar. T.ex.

x y

1 z = xy (AND)

y x

1 z = x + y (OR)

I praktiken ¨ar den elektroniska realiseringen av olika grindtyper betydligt mer komplicerad. Tabell 1.1 ger en sammanfattning av symbolerna f¨or de enkla logiska grindarna.

(15)

1.4. N˚AGOT OM IMPLEMENTERINGEN AV LOGISKA FUNKTIONER 15

Tabell 1.1: Symbolerna f¨or de logiska grindarna (K¨alla: Sten Gustafsson)

OCH ^&

>1

− X

A B A

B X A

B X

A 1 X

&

A

B X

>1

− X

A B

A X B

=1

A X

X

X A

A

A B B B B

X = A + B X = A B.

X = A + B X = A B. X = A X = A

X = A + B Buffert

Inverterare

NAND

ELLER

NOR

XOR

Grind Funktion IEC−symbol Amerikansk symbol

F¨orutom symbolerna i tabell 1.1 anges invertering av insignalen symboliskt, t.ex.:

x = A· B:

B

A 1 &

x

≡

B

A &

x

x = A + B:

B

A 1

1

≥ 1 x

≡

B

A ≥ 1

x

De enkla logiska grindarna kan användas för implementering av allmänna logiska funktioner, och kan s˚aledes utnyttjas för processtyrningsproblem.

Uppgift 1.3 Planera ett n¨at som med hj¨alp av logiska grindar realiserar den logiska funktionen x = AB + AC

(16)

16 KAPITEL 1. KLASSISK LOGIK OCH BOOLESK ALGEBRA Det är lätt att inse att de logiska grindarna ocks˚a kan implementeras mekaniskt, hydrauliskt eller pneuma- tiskt. I den sistnämnda representeras variablerna av ventillägen (öppen/stängd) samt tryck (högt/l˚agt).

Dessa metoder ﬁnns n¨armare beskrivna i speciallitteraturen.

Figur 1.1: Exempel p˚a mekaniska logiska grindar

Figur 1.2: Exempel p˚a pneumatiska logiska grindar

I praktiken implementeras ˚atminstone enklare logiska styrproblem ofta elektroniskt med hjälp av logiska grindar som baserar sig p˚a halvledarteknik, vilken ersatt tidigare reläteknik. I omgivningar där elektroniska komponenter är olämpliga, t.ex. p.g.a. explosionsfara, används även pneumatiska logiska grindar.

Mera komplicerade logikstyrningsproblem implementeras nuförtiden med hj¨alp av s.k. programmerbar lo- gik. Dessa ¨ar sm˚a, billiga datorer speciellt konstruerade för sekvensstyrningsproblem i industriell miljö.

Ocks˚a vanliga mikrodatorer anv¨ands. Realiseringen av sekvensstyrningsproblem med hj¨alp av program- merbara datorer tas upp i kapitel 4.

(17)

Kapitel 2

Booleska funktioner

2.1 Disjunktiv och konjunktiv normalform

L˚at x₁, . . . , x_n vara booleska variabler. En boolesk funktion f (x₁, . . . , x_n) är d˚a en funktion av variab- lerna x₁, . . . , x_n som antar n˚agot av värdena 0 eller 1. Funktionen kan beskrivas fullständigt med en funktionstabell, i vilken funktionens v¨arde anges för alla de olika kombinationer av variabelvärden.

Följande exempel illustrerar hur funktionstabellen p˚a ett helt naturligt sätt kan konstrueras p˚a basen av specifikationerna för ett logikstyrningsproblem.

Exempel 2.1 Funktionstabell

Betrakta en konsol som styr en maskin. Maskinen kan startas och stoppas med en ON/OFF switch.

Dessutom ﬁnns en nyckel utan vilken konsolen ej kan opereras. Styrsystemet har f¨oljande insignaler:

A representerar ON/OFF switchen:

A = 1, om switchen befinner sig i ON läget A = 0, om switchen befinner sig i OFF läget B representerar l˚aset:

B = 1, om nyckeln ¨ar i B = 0, om nyckeln inte ¨ar i C representerar maskinen:

C = 1, om maskinen g˚ar C = 0, om maskinen st˚ar

Utsignalen X fr˚an styrsystemet skall styra maskinen:

X = 1 anger att maskinen skall g˚a,

X = 0 anger att maskinen skall stanna eller st˚a.

Utsignalen X skall vara deﬁnierad f¨or varje t¨ankbar kombination av insignalerna A,B och C. Detta kan sammanfattas i nedanst˚aende funktionstabell. Observera att man kan ta bort nyckeln utan att motorn st¨angs av, men att ON/OFF switchen d˚a slutar fungera.

Funktionstabell Minterm Maxterm

A B C X pi p_i

0 0 0 0 A B C A + B + C

0 0 1 1 A BC A + B + C

0 1 0 0 ABC A + B + C

0 1 1 0 ABC A + B + C

1 0 0 0 AB C A + B + C

1 0 1 1 ABC A + B + C

1 1 0 1 ABC A + B + C

1 1 1 1 ABC A + B + C

17

(18)

18 KAPITEL 2. BOOLESKA FUNKTIONER Funktionstabellen deﬁnierar X som en boolesk funktion X(A, B, C). Oberoende av s¨attet p˚a vilket lo- gikstyrningsproblemet realiseras b¨or den booleska funktionen X = X(A, B, C) uttryckas i form av ett explicit booleskt uttryck i variablerna A, B och C.

Vi söker allts˚a ett funktionsuttryck som antar de värden som kolumnen f¨or X anger f¨or de olika variabelkombinationerna. Ett s˚adant kan enkelt konstrueras p˚a följande sätt. För givna värden p˚a variablerna A, B och C s˚a finns enbart en term pi best˚aende av produkten av alla variabler (med eller utan icke) som tar värdet 1 (nämligen det som finns angivet i motsvarande rad i tabellen), medan de övriga är 0. Vi kan ta en p_i f¨or varje situation vid vilken X skall bli 1, och uttrycka X som summan dessa termer (jmf.

tabellen)

X = A BC + ABC + ABC + ABC

I uttrycket ovan kallas A BC, osv., termer, och uttrycket f¨or X ¨ar ett exempel p˚a disjunktiv form (summa av produkter). En disjunktiv form d¨ar varje variabel f¨orekommer i varje term kallas disjunktiv normalform.

En term d¨ar varje variabel f¨orekommer kallas minterm (minimalpolynom, elementarprodukt). Termerna pi i tabellen ¨ar mintermer.

Vi kan ¨aven konstruera termer p_i som för givna värden p˚a variablerna A, B och C ¨ar den enda summan av alla variabler (med eller utan icke) som är 0. Man kan p˚a motsvarande sätt v¨alja alla termer p_i som motsvaras av variabelvärden f¨or vilka X skall vara noll, och uttrycka X som produkten av dessa. I det här fallet f˚as

X = (A + B + C)· (A + B + C) · (A + B + C) · (A + B + C)

Detta uttryck är ett exempel p˚a konjunktiv form (produkt av summor). Faktorerna i en konjunktiv form kallas altermer. En konjunktiv form i vilken varje variabel förekommer i varje alterm kallas konjunktiv normalform. Altermerna i en konjunktiv normalform kallas maxtermer (maximalpolynom, elementarsum- mor). Termerna p_i i tabellen är maxtermer.

Ur konstruktionerna ovan ¨ar det uppenbart att vilken som helst boolesk funktion kan beskrivas med ett uttryck i disjunktiv form, eller alternativt ett uttryck i konjunktiv form (Shannons expansionsteorem).

Dessa uttryck kan konstrueras direkt p˚a basen av funktionstabellen. Detta resultat visar ocks˚a att en godtycklig boolesk funktion alltid kan uttryckas med hjälp av ett algebraiskt uttryck i den booleska algebran, vilket inte är helt självklart p˚a förhand.

2.2 F¨ orenkling av booleska uttryck

D˚a ett logikstyrningsproblem karakteriseras med hjälp av en eller flera booleska funktioner blir de erh˚allna booleska funktionsuttrycken ofta onödigt komplicerade. För att kunna realisera en funktion möjligast enkelt (minsta antalet logiska grindar, eller minsta antalet programsteg) är det av vikt att kunna förenkla booleska uttryck. Förenklingen kan alltid göras algebraiskt, genom att använda den booleska algebrans räknelagar.

Uppgift 2.1 Hur m˚anga logiska grindar beh¨ovs att realisera den booleska funktionen i exempel 2.1?

Uppgift 2.2 F¨orenkla uttrycket x = (A + B)(B + C)(C + A)(ABC + A B C)

Den algebraiska metoden har ˚atminstone f¨oljande nackdelar:

1. Klar systematik saknas

2. Metoden besv¨arlig i synnerhet d˚a variablernas antal ¨okar

3. Metoden ger ingen garanti för att det uttryck som erh˚alls faktiskt är det enklaste, och ej kan förenklas vidare.

Det har utvecklats systematiska metoder för förenkling av booleska funktionsuttryck, med vilka förenk- lingen kan göras effektivare, och vilka producerar det enklast möjliga uttrycken.

(19)

2.2. F ¨ORENKLING AV BOOLESKA UTTRYCK 19

2.2.1 Karnaugh-diagram

En standard procedur för förenkling av booleska funktioner baserar sig egenskaperna hos s.k. Karnaugh- diagram. I dessa anges funktionsvärdena i rutor i ett diagram. Varje ruta motsvarar en kombination av variabelvärden. Nedan ges exempel p˚a Karnaugh-diagram (utan insatta funktionsvärden) för tv˚a, tre, fyra och fem variabler.

Tv˚a variabler: Tre variabler:

A 0 1

B 0

1

AB 00 01 11 10

C 0

1

Fyra variabler: Fem variabler:

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

ABC

000 001 011 010 100 101 111 110

DE 00 01 11 10

Karnaugh-diagrammen är s˚a konstruerade, att variabelvärdena för tv˚a avgränsande (närbelägna, adja- centa) rutor skiljer sig i en och endast en variabel. Omvänt skall tv˚a variabelkombinationer som skiljer sig i exakt en variabel finnas i närbelägna rutor. Härvid uppfattas radernas och kolumnernas ändrutor som angränsande. Diagrammet för fem variabler kan uppfattas som tredimensionell, s˚a att den högra delen av diagrammet ligger bakom den vänstra.

Förenklingen av booleska funktioner med hjälp av Karnaugh-diagram baserar sig p˚a ovannämnda egenskaper hos närbelägna rutor, vilket illustreras av följande exempel.

Exempel 2.2 Karnaugh-diagram Betrakta den booleska funktionen

X = A BC + ABC + ABC + ABC

fr˚an exempel 2.1. Karnaugh-diagrammet f˚ar f¨oljande utseende (med endast ettorna insatta):

AB 00 01 11 10

C 0

1 1 1

1

1 X = AB + BC

Tack vare diagrammets konstruktion kan f¨orenklingarna ABC + ABC = AB A BC + ABC = BC

uppt¨ackas direkt fr˚an diagrammet. Man ser ytterligare att f¨orenklingen ABC + ABC = AC

kan g¨oras men detta leder ej till ett lika enkelt uttryck f¨or X.

(20)

20 KAPITEL 2. BOOLESKA FUNKTIONER

AB 00 01 11 10

C 0

1 1 1

1

1 X = A BC + ABC + AC

Man kan formulera fem regler f¨or f¨orenklingsproceduren:

1. Varje ruta som ineh˚aller en etta m˚aste täckas av minst en cell (en ruta f˚ar täckas av flera celler).

2. Endast rutor med ettor f˚ar t¨ackas av celler.

3. Cellerna m˚aste vara rektangul¨ara, och t¨acka en potens av 2 (1, 2, 4, 8, ...) antal rutor.

4. Antalet celler bör vara s˚a litet som möjligt 5. Varje cell bör vara s˚a stor som möjligt

Av dessa ¨ar reglerna 1-3 ovillkorliga medan 4-5 str¨avar till att hitta den enklaste realisationen.

Det faktum att man f˚ar täcka ettor med flera olika celler innebär i ovanst˚aende exempel att användande av alla tre möjliga celler som täcker tv˚a rutor ger X = AB + BC + AC. Detta kan i sin tur f¨orenklas till AB + BC, m.h.a. transivitetslagen (R18). Om vi f¨oljer regel 4 s˚a kommer man direkt till detta uttryck Förenkling av booleska uttryck med hjälp av Karnaugh-diagram grundar sig s˚aledes p˚a att mintermer som kan kombineras till enklare termer upptar närbelägna rutor i diagrammet. Förenklingarna kan därmed ses direkt fr˚an diagrammet.

F¨or fyra variabler har vi fyra typer av termer:

1. Mintermer med alla fyra variabler, som t¨acker en ruta, och som ej kan kombineras med andra termer:

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 ABCD

2. Termer med tre variabler, som t¨acker tv˚a rutor (tv˚a skilda exempel):

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1

BCD B CD

3. Termer med tv˚a variabler, som t¨acker fyra rutor (tre skilda exempel):

(21)

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1 1 1

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1

CD AD B D

4. Termer med en variabel, som t¨acker ˚atta rutor (tv˚a skilda exempel):

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1 1 1

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1 1 1

D D

Karnaugh-diagrammen lämpar sig bäst för funktioner med högst fyra variabler. Det g˚ar emellertid att använda metoden även för funktioner med upp till ˚atta variabler.

Exempel 2.3 Fem variabler

ABC

DE 00 01 11 10

000 001 011 010 100 101 111 110 1 1

1 1

1 1 1 1

C + D

Exempel 2.4 Sex variabler

AB

CD

EF 00

01 11 10

00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10

00 01 11 10

1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

AB + BCDE F + A BCDE F + AC D EF + AC DEF + ACDE

(22)

Primimplikatorer

En funktion f (x1, x2, . . . , xn) s¨ages inkludera en annan funktion g(x1, x2, . . . , xn) om de v¨arden f¨or vari- ablerna x₁, x₂, . . . , x_nf¨or vilka g = 1, ocks˚a ger f = 1. S˚aledes inkluderar f t.ex. termerna i ett disjunktivt uttryck f¨or f .

En primimplikator π för en funktion f (x₁, x₂, . . . , x_n) definieras som en term i ett disjunktivt uttryck för f som har den egenskapen, att om n˚agon av de i termen ing˚aende variablerna avlägsnas, s˚a inkluderar f inte den ˚aterst˚aende produkten.

Exempel 2.5

f (x1, x2, x3, x4) = x1x2x4+ x2x3x4+ x1x3x4

har primimplikatorerna

π1= x1x2x4 , π2= x2x3x4 , π3= x1x3

Obs. att x1x3x4 ¨ar inte en primimplikator.

x1x2

00 01 11 10

x₃x₄ 00 01 11 10

1

1 1

1 1 1

Vid förenkling av en boolesk funktion är man i första hand intresserad av att uttrycka funktionen som en summa av primimplikatorer, ty man kan visa att detta resulterar i det i en viss mening enklaste uttrycket.

I praktiken s˚a skall man just följa reglerna 4 och 5 givna ovan, d.v.s. vi bör försöka täcka ettorna med möjligast f˚a och möjligast stora celler. Och typiskt s˚a är antalet viktigare än storleken vid minimiering av uttryck.

Utvecklingen av en funktion i primimplikatorer beh¨over inte vara entydig. En väsentlig (essential) pri- mimplikator ¨ar en primimplikator som alltid bör ing˚a i varje minimalform. En väsentlig primimplikator kännetecknas i ett Karnaugh-diagram av att den inkluderar ˚atminstone en ruta som ej kan ing˚a i n˚agon annan primimplikator. Det är viktigt att man börjar med att ringa alla väsentliga primimplikatorer för att det minimala uttrycket skall erh˚allas.

Exempel 2.6 ∗ anger rutor som deﬁnierar en v¨asentlig primimplikator.

ABC + ACD + ABC + ACD

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1

1 1 1

1

∗

Notera att vi enbart introducerar en term till (BD) om vi introducerar den st¨orsta m¨ojliga cellen i det h¨ar fallet.

(23)

2.2. F ÖRENKLING AV BOOLESKA UTTRYCK 23 Uppgift 2.3 Best¨am de väsentliga primimplikatorerna och den minimala formen för funktionen i dia- grammet nedan. Till˚atet att lösa denna uppgift i kompendiet.

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1 1

1

1 1 1 1

1 1 1

Sedan de väsentliga primimplikatorerna uttagits, kan de ˚aterst˚aende oinringade rutorna med ettor inkluderas av primimplikatorer p˚a ett antal alternativa sätt. Dessa skall väljas s˚a att möjligast enkla termer f˚as.

Exempel 2.7 Flera minimala uttryck

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1 1 1 1 1

∗1

∗

V¨asentliga primimplikatorer:

BD , A B D

Termen ABC D kan inkluderas antingen i A C D eller i ABC (icke-v¨asentliga primimplikatorer). Detta ger tv˚a alternativa minimala uttryck:

BD + A B D + A C D eller BD + A B D + ABC

Ofullst¨ andigt specificerade funktioner

De booleska funktioner som uppträder i praktiska logikstyrningsproblem är ofta ofullständigt specificerade, dvs. funktionens värde för vissa kombinationer av variabelvärden är likgiltig. Vissa kombinationer av variabelvärden kan t.ex. vara fysikaliskt omöjliga (jmf. Ex. 1.1), s˚a att de aldrig förekommer. Funktions- värdet för dessa omöjliga variabelkombinationer är d˚a likgiltigt.

S˚adana likgiltiga funktionsv¨arden kallas ”don’t care” tillst˚and. I ett Karnaugh-diagram anges de med ett streck, ”–”, och anger s˚aledes att funktionsvärdet kan vara 0 eller 1. Detta kan utnyttjas för att konstruera ett möjligast enkelt funktionsuttryck.

Exempel 2.8 ”Don’t care” tillst˚anden kan utnyttjas s˚a att funktionen kan uttryckas i den minimala formen

BD + AD + ABD AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1

1 1 1

- - - -

- -

(24)

2.2.2 QMC-metoden

Den grafiska metoden med Karnaugh-diagram blir givetvis oanvändbar d˚a antalet variabler ökar. För större problem fordras algoritmer som kan programmeras. Den vanligaste algoritmen för förenkling av booleska funktioner är en metod enligt Quine och McClusky (QMC-metoden), som skall beskrivas nedan.

Vi börjar med att numrera funktionstabellens rader i enlighet med det binära talsystemet. För tre variabler identifierar vi s˚aledes de olika variabelkombinationerna enligt följande tabell.

j A B C

0 0 0 0

1 0 0 1

2 0 1 0

3 0 1 1

4 1 0 0

5 1 0 1

6 1 1 0

7 1 1 1

(2² 2¹ 2⁰)

Proceduren är sedan följande. Först uppställs en funktionstabell med endast de rader för vilka funktionen antar värdet 1 insatta. En funktion med Karnaugh-diagrammet nedan f˚ar s˚aledes funktionstabellen i Tab.

2.1.

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

Nästa steg är att undersöka vilka rader i tabellen som kan kombineras till en enklare term. Detta är möjligt d˚a tv˚a rader överensstämmer s˚a n¨ar som i en variabel. Raderna 0 och 2 i Tab. 2.1(a) kombineras t.ex. till den nya raden

0 0 − 0

(Detta motsvarar kombination av termer enligt A B C D + A BCD = A B D)

De p˚a detta s¨att konstruerade nya raderna samlas till en ny tabell, Tab. 2.1(b). Proceduren upprepas tills ytterligare kombinationer inte mera kan g¨oras i Tab. 2.1(c). De termer som i denna procedur inte mera kan f¨orenklas ¨ar primimplikatorer. Dessa har i Tabell 2.1 betecknats p1, p2, . . . , p7.

S˚asom vi tidigare sett, ger en disjunktion av primimplikatorerna i allmänhet ej ett minimalt funktionsuttryck, eftersom alla primimplikatorer inte behöver medtas. För att finna vilka primimplikatorer som bör medtas uppgörs en primimplikatortabell, Tabell 2.2. I denna anger kolumnerna den ursprungliga funk- tionstabellens termer (Tab. 2.1 (a)), och raderna anger primimplikatorer. De termer som inkluderas av en primimplikator anges med ”x”. Proceduren är sedan följande.

1. De kryss som förekommer ensamma i en kolumn omringas ( x ). Motsvarande primimplikator är en väsentlig primimplikator och bör medtas i funktionsuttrycket. De väsentliga primimplikatorerna anges med asterisk∗.

2. Alla kryss som f¨orekommer i en rad med omringat x anges med klammer, [x].

3. Ange alla de kryss som förekommer i en kolumn med [x] med parentes, (x). Detta anger att motsvarande term redan ing˚ar i de primimplikatorer som medtagits och inte behöver beaktas i fortsätt- ningen.

(25)

Tabell 2.1: Stegvis f¨orenkling

(a) (b) (c)

j A B C D

0 0 0 0 0

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

5 0 1 0 1

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

10 1 0 1 0

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0

{j} A B C D

0, 2 0 0 - 0

0, 8 - 0 0 0

2, 3 0 0 1 - p1

2, 10 - 0 1 0

3, 7 0 - 1 1 p₂

5, 7 0 1 - 1 p₃

5, 13 - 1 0 1 p₄

8, 10 1 0 - 0

8, 12 1 - 0 0

10, 14 1 - 1 0

12, 13 1 1 0 - p5

12, 14 1 1 - 0

{j} A B C D 0, 2, 8, 10 - 0 - 0 p6

8, 10, 12, 14 1 - - 0 p7

4. V¨alj fr˚an de ˚aterst˚aende valbara primimplikatorerna (p₁−p5) ett antal s˚a att de ˚aterst˚aende kryssen medtas. Ange raderna med dubbel asterisk ∗∗. Valet skall g¨oras s˚a att funktionsuttrycket blir minimalt, dvs.

• Antalet termer (primimplikatorer) ¨ar minimalt,

• Termerna (primimplikatorerna) är korta (av tv˚a primimplikatorer i tabellen är den vars rad inneh˚aller de flesta kryssen den kortare).

Tabell 2.2: Primimplikatortabell j

0 2 3 5 7 8 10 12 13 14

p1 (x) x

∗∗ p2 x x

p3 x x

∗∗ p4 x x

p5 (x) x

∗ p6 x [x] [x] [x]

∗ p7 [x] [x] [x] x

I Tabell 2.2 ¨ar de valbara primimplikatorerna p1− p5 alla lika l˚anga. Det optimala valet ¨ar p2 och p4, ty alla andra val skulle kräva minst tre primimplikatorer. Enligt Tabell 2.2 ges det minimala funktions- uttrycket som en disjunktion av primimplikatorerna p₂, p₄, p₆ och p₇, av vilka p₆ och p₇ är väsentliga primimplikatorer. Uttrycket blir (jmf. Tab. 2.1)

B D + AD + ACD + BCD

I exemplet i Tabell 2.1 var funktionen fullständigt specificerad. Proceduren kan emellertid enkelt an- passas för ofullständigt specificerade funktioner, med ”don’t care” funktionsvärden för vissa variabelkombinationer. Härvid inkluderar man de rader för vilka funktionsvärdet är ospecificerat (”don’t care”) i funktionstabellen (Tab. 2.1), och bildar primimplikatorerna s˚asom ovan. Vid uppställningen av primimpli- katortabellen (Tab. 2.1), lämnas emellertid motsvarande kolumner bort. (D˚a funktionens värde för dessa tillst˚and inte spelar n˚agon roll, behöver de ju ej beaktas d˚a primimplikatorerna väljs ut. Däremot bör de beaktas i det första skedet d˚a primimplikatorerna bildas, ty de kan endast leda till kortare primimplikatorer, ej längre.) Denna procedur leder till ett minimalt funktionsuttryck för ofullständigt specificerade funktioner.

(26)

26 KAPITEL 2. BOOLESKA FUNKTIONER Uppgift 2.4 F¨orenkla den logiska funktionen X med f¨oljande Karnoughdiagram (- motsvar don’t care tillst˚and):

AB 00 01 11 10

C 0

1

- 1 -

1 1 1

QMC-metoden kan enkelt programmeras. I Friedman Logical Design of Automation Systems (Prentice – Hall, 1990), ges ett Fortran-program primp, som förenklar booleska uttryck. P˚a denna kurs hemsida s˚a finns även en Matlab-implementering av QMC-metoden tillgänglig, och en Scilab-version är ocks˚a under arbete.

Nedan visas en exempelkörning där programmet tillämpats för funktionen i Tabell 2.1 (a). Funktions- värdena läses in i ordningsföljd, och programmet ger en förteckning över primimplikatorerna (observera att numreringen ej överensstämmer med den i Tabellerna 2.1 och 2.2, primp sorterar primimplikatorerna, s˚a de kommer i ordningen p6, p1, p2, p4, p3, p7, p5), samt anger vilka som är väsentliga och vilka som väljs bland de valbara. I constraint table anges slutligen vilka mintermer de olika icke-väsentliga primimplikatorerna inkluderar (täcker).

% ~jboling/sst/primp

SIMPLIFICATION OF BOOLEN FUNCTIONS BY PRIME IMPLICANT ANALYSIS

**************************************************************

NUMBER OF VARIABLES : 4

INPUT FUNCTION VALUES IN TRUTH TABLE

( 16 VALUES: 1 = TRUE / 0 = FALSE / -1 = DON’T CARE ) : 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0

*** BOOLEAN MINIMIZATION PROGRAM ***

THIS FUNCTION CONTAINS 4 VARIABLES A LISTING OF THE INPUT DATA FOLLOWS TRUE MINTERMS = 1

FALSE MINTERMS = 0

REDUNDANT MINTERMS (DON’T CARES) = -1

0 0 = 1, 1 = 0, 2 = 1, 3 = 1, 4 = 0,

5 = 1, 6 = 0, 7 = 1, 8 = 1, 9 = 0,

10 = 1, 11 = 0, 12 = 1, 13 = 1, 14 = 1,

15 = 0,

0 THE FOLLOWING IS A LIST OF THE PRIME IMPLICANTS OF THE MINIMIZED FUNCTION.

ESSENTIAL PRIME IMPLICANTS ARE SO LABELED, AND PRIME IMPLICANTS SELECTED FROM A CYCLIC CHART ARE LABELED AS CHOSEN.

(27)

NO. COST PRIME IMPLICANTS

A B C D

1 2 - 0 - 0 ESSENTIAL

2 3 0 0 1 -

3 3 0 - 1 1 CHOSEN

4 3 - 1 0 1 CHOSEN

5 3 0 1 - 1

6 2 1 - - 0 ESSENTIAL

7 3 1 1 0 -

- INDICATES A MISSING VARIABLE, 0 INDICATES A COMPLEMENTED VARIABLE AND 1 INDICATES A TRUE VARIABLE.

THE FUNCTION IS REPRESENTED BY THE SUM OF BOTH THE ESSENTIAL AND THE CHOSEN PRIME IMPLICANTS.

CONSTRAINT TABLE --- COVERED COVERING PRIME MINTERM IMPLICANTS.

3 2 3

5 4 5

7 3 5

13 4 7

Samma problem kan ocks˚a l¨osas med matlab-rutinen qmc, hittas allts˚a p˚a kursens hemsida:

>> qmc

Program for minimizing Boolean expressions with the QMC-method Either a truth table or a boolean expression should be given.

Use standard MATLAB logical operators: AND = &

OR = | NOT = ~

Logical terms should be separated with parentesis: (A | ~B) & (B |

~C) & (C | ~A) & ((A & B & C)|(~A & ~B & ~C))

Logical expression (L) or truth table (T)): T Number of variables: 4

A B C D

0: 0 0 0 0 1 1: 0 0 0 1 0 2: 0 0 1 0 1 3: 0 0 1 1 1 4: 0 1 0 0 0 5: 0 1 0 1 1 6: 0 1 1 0 0 7: 0 1 1 1 1 8: 1 0 0 0 1 9: 1 0 0 1 0 10: 1 0 1 0 1 11: 1 0 1 1 0 12: 1 1 0 0 1 13: 1 1 0 1 1 14: 1 1 1 0 1 15: 1 1 1 1 0 Processing....

(28)

Truth table:

i A B C D f

---

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0

2 0 0 1 0 1

3 0 0 1 1 1

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 1

6 0 1 1 0 0

7 0 1 1 1 1

8 1 0 0 0 1

9 1 0 0 1 0

10 1 0 1 0 1 11 1 0 1 1 0 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 1 0 Prime implicants:

1: 0 2 8 10 2: 8 10 12 14

3: 2 3 - -

4: 3 7 - -

5: 5 7 - -

6: 5 13 - - 7: 12 13 - -

Essential prime implicants:

1 2

Chosen prime implicants:

4 6

Logical expression: (~B & ~D) | (A & ~D) | (~A & C & D) | (B & ~C & D)

Matlab-programmet klarar ocks˚a av att förenkla logiska uttryck, det generar själv en sanningstabell och sedan beräknar minimalt uttryck. Nedan löses uppgift 2.2.

>>qmc

Program for minimizing Boolean expressions with the QMC-method Either a truth table or a boolean expression should be given.

Use standard MATLAB logical operators: AND = &

OR = | NOT = ~

Logical terms should be separated with parentesis: (A | ~B) & (B |

~C) & (C | ~A) & ((A & B & C)|(~A & ~B & ~C))

Logical expression (L) or truth table (T)): L Give logical function:

(A|~B)&(B|~C)&(C|~A)&((A&B&C)|(~A&~B&~C)) Processing....

(29)

Truth table:

i A B C f --- 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 0 4 1 0 0 0 5 1 0 1 0 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1 Prime implicants:

1: 0 2: 7

Essential prime implicants:

1 2

Logical expression: (~A & ~B & ~C) | (A & B & C)

2.2.3 System med flera utsignaler

I praktiken har man ofta inte en, utan flera funktioner x1, x2, . . . , xn, som är funktioner av variablerna A, B, . . .. I s˚adana fall kan man givetvis konstruera ett minimalt uttryck för varje funktion separat enligt metoderna som behandlats ovan. En förenkling kan emellertid f˚as om man beaktar att vissa termer kan vara gemensamma för de olika funktionerna. S˚adana termer som delas av flera funktioner f˚as fram genom att betrakta produkter av formen x1· x2, x1· x3, x1· x2· x3, . . .. Vi skall illustrera proceduren med ett exempel.

Exempel 2.9 Flera utsignaler

Betrakta funktionerna x₁, x₂ och x₃ med Karnaugh-diagrammen i Fig 2.1. I Fig 3.5 ges Karnaugh- diagrammen f¨or x₁, x₂och x₃ samt produktfunktionerna x₁· x2, x₁· x3, x₂· x3och x₁· x2· x3. Primimpli- katorerna införs nu som normalt men s˚a att man startar med produkten av h¨ogsta grad, x₁· x2· x3, forts¨atter med x₁ · x2, x₁ · x3 och x₂· x3, och d¨arefter betraktar x₁, x₂ och x₃. Härvid markeras en primimplikator inte om den redan förekommer i en produktfunktion av högre grad.

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1 1

1

1 1

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1 1

1 1

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1

x1 x2 x3

Figur 2.1: Utsignalerna x₁, x₂ och x₃ Proceduren ger primimplikatorer i Tab. 2.3.

(30)

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1 1

1

1 1

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1 1

1 1

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1

x1 x2 x3

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1

1 1

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1

x1· x2 x1· x3 x2· x3 x1· x2· x3

Figur 2.2: F¨orenkling av x1, x2 och x3

Tabell 2.3: Primimplikatorer x1· x2· x3: p1 = ABC

x1· x3: p2 = ABC D p3 = BCD x₁· x2: p₄ = ABC D

p5 = ABCD

x₃: p₆ = A BD p7 = BC x₂: p₈ = ABC

p9 = BCD x₁ p₁₀ = BC D

p11 = ABC

Eftersom termen p1 = ABC kan anv¨andas i alla tre funktioner b¨or den medtas. Termerna p2 − p5

upptr¨ader i tv˚a funktioner och ¨ar s˚aledes lovande kandidater f¨or att medtas. Primimplikatorn p6hos x3

är väsentlig och b¨or medtas. Termen p7 inkluderas d¨aremot av p1, p3 och p6. Allts˚a medtas ¨aven p3. Aven p¨ 2 m˚aste medtas f¨or att funktionen x3 skall kunna beskrivas. ˚Aterst˚ar de fyra rutor som täcks av termerna p4, p5, p8, p9, p10 och p11. Fr˚an figuren ses att minst tre termer b¨or medtas: antingen p4, p9

och p11, eller p5, p8 och p10. Detta resulterar i de minimala formerna x1 = ABC + BCD + ABC D + ABC x₂ = ABC + ABC D + BCD

x3 = ABC + ABC D + BCD + A BD respektive

x1 = ABC + BCD + ABCD + BC D x₂ = ABC + ABCD + ABC

x3 = ABC + ABC D + BCD + A BD

Uppgift 2.5 Konstruera ett n¨at som med hj¨alp av logiska grindar realiserar funktionerna x₁, x₂och x₃.

Man kan även förenkla logiska uttryck med flera utsignaler med QMC-metoden. Man börjar med att söka efter primimplikatorer som vanligt, fast man skall göra det för samtliga utsignaler och samtliga kombinationer av produkter av utsignaler. Varje kombination betraktas som separat fall, med separata primimplikatorer. I exempel 2.9 innebär det att man skall bestämma primimplikatorer för alla 7 Karnough-diagram.

Det har vi i praktiken redan gjort, s˚a l˚at oss g˚a till följande steg, som är att bilda en primimplikatortabell, som ser ut enligt följande: Sedan skall följande steg utföras:

(31)

Tabell 2.4: Primimplikatortabell

x₁ x₂ x₃

2 4 10 11 12 13 4 5 10 11 13 1 2 3 10 11 12

p1 x x

p3 x x x1

p10 x x

p11 x x

p1 x x

p8 x x x2

p9 x x

p₁ x x

p₂ x

p₆ x x x₃

p₇ x x x x

p1 x x x x

p4 x x x1· x2

p5 x x

p₁ x x x x

p₂ x x x₁· x3

p3 x x x x

p1 x x x x x x x1· x2· x3

1. De kryss som ¨ar ensamma i en kolumn skall inringas x , de motsvarar en v¨asentlig primimplikator.

M¨ark motsvarande rader med asterisk∗.

2. Kontrollera även väsentliga primimplikatorer för de enskilda utsignalerna. Om de övriga kryssen i samma kolumn kommer fr˚an samma primimplikator, s˚a är denna primimplikator oundviklig, och krysset skall inringas (p˚a den plats där det förekommer längst ner). Märk även dessa rader med asterisk∗. Övriga kryss i kolumnen anges med parentes.

3. Alla rader d¨ar inringat kryss f¨orekommer skall anges med klammer [x].

4. Ange alla de kryss som förekommer i en kolumn med [x] med parentes, (x). Detta anger att motsvarande term redan ing˚ar i de primimplikatorer som medtagits och inte behöver beaktas i fortsätt- ningen.

5. V¨alj fr˚an de ˚aterst˚aende valbara primimplikatorerna ett antal s˚a att de ˚aterst˚aende kryssen medtas.

M¨ark raderna med dubbel asterisk∗∗. Valet skall g¨oras s˚a att funktionsuttrycket blir minimalt.

6. Funktionerna konstrueras genom att ta summan av de för varje enskild funktion v¨asentliga, oundvikliga och valda primimplikatorer. Dvs man tittar p˚a en kolumn ˚at g˚angen och tar alla primimplikatorer som har kryss med ring runt, eller som är vald. De primimplikatorer som har kryss med enbart klamrar behövs eventellt inte, detta m˚aste skilt kontrolleras. I exemplet ovan s˚a ¨ar p2 oundviklig f¨or x3, men ej f¨or x1 (därf¨or att p2 t¨acks av p10 eller p11 som är valbara f¨or x1), och den behöver s˚aledes enbart medtas i x3.

Vi kommer givetvis till samma resultat som i exempel 2.9 p˚a detta sätt. D˚a vi gör ovannämnda procedur s˚a kommer vi att, som tidigare, se att p6 är en väsentlig primimplikator. Det som inte tidigare framgick

¨

ar att p1, p2och p3 ¨ar oundvikliga f¨or en disjunktiv form, vilket nu inses via punkt 2 i proceduren ovan.

2.2.4 Konjunktiv minimalform

De minimala uttryck som studerats ovan är disjunktiva minimalformer (summor av produkter). Det är ofta av vikt att ocks˚a undersöka den konjunktiva minimalformen (produkt av summor). Enligt de Morgans lag (R21)^′ kan ett konjunktivt uttryck f¨or en funktion x uttryckas med hj¨alp av ett disjunktivt uttryck f¨or x. Den konjunktiva minimalformen kan s˚aledes bestämmas genom att bestämma den disjunktiva normalformen f¨or x.

(32)

32 KAPITEL 2. BOOLESKA FUNKTIONER Exempel 2.10 Betrakta en funktion X med f¨oljande Karnaugh-diagram.

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

1 1 1

Den minimala disjunktiva formen ¨ar

X = BD + BC + AD + AC F¨or X f˚as ett minimalt uttryck enligt f¨oljande.

AB 00 01 11 10

CD 00 01 11 10

0 1 1 1

0 0 0 0

0 1 1 1

Disjunktiv minimalform f¨or X:

X = A B + CD

Den konjunktiva minimalformen f¨or X f˚as med hj¨alp av de Morgans lagar (R21)^′, (R20)^′: X = A B + CD = A B· CD = (A + B) · (C + D)

I detta exempel leder den konjunktiva minimalformen till ett enklare uttryck ¨an den disjunktiva.

Man kan även bestämma den konjuktiva minimalformen med QMC-metoden. Man skall d˚a ställa upp funktionstabellen med endast de rader för vilka funktionen antar värdet 0 (i stället för 1), övriga steg oförändrade. Detta ger p˚a samma sätt som med Karnough-diagram en disjunktiv minimalform f¨or X, som kan omvandlas till konjunktiv minimalform f¨or X med de Morgans lagar.

Vid användning av programmet primp eller qmc s˚a skall man ta logisk icke p˚a varje enskilt funktionsvärde, s˚a beräknar programmet disjunktiv minimalform f¨or X, som kan omvandlas till konjunktiv minimalform f¨or X.

Man kan även se att man fr˚an Karnoughdiagram eller QMC-primimplikatorer direkt kan utläsa den konjunktiva minimalformen. Man skall göra som när man utläser den disjunktiva normalformen, men byta ut + mot · och vise versa (och sätta parenteser där det behövs, för + skall ju ske före ·), samt ta logiskt icke p˚a alla enskilda variabler. Detta är analogt med hur konjunktiv normalform bestämdes i kapitel 2.1.

För att det minimala uttrycket skall hittas bör s˚aväl den disjunktiva som den konjunktiva minimalformen undersökas.

Observera att f¨or programmering av uttrycken kan det totala antalet operationer (additioner och multi- plikationer) ofta ytterligare minskas genom distributionslagarna (R14)^′, (R15)^′. T.ex.

X = BD + BC + AD + AC = B· (D + C) + A · (D + C)

= (A + B)· (D + C)

I detta fall r˚akade detta leda till den konjunktiva minimalformen. Detta g¨aller dock ej allm¨ant.

(33)

2.3. KOMBINATORISKA AUTOMATIONSPROBLEM 33

2.3 Kombinatoriska automationsproblem

I ett kombinatoriskt automationsproblem best¨ams utsignalerna fr˚an styrsystemet som booleska funktioner av insignalerna.

- --

un

u2

u1

yn

y2

y1

Insignaler Utsignaler

(fr˚an process) (till process)

... ...

Jämför Ex. 2.1. De booleska funktionerna följer ur specifikationerna och kan sammanfattas i form av en funktionstabell. De i avsnitt 2.2 diskuterade metoderna kan sedan tillämpas för att vid behov förenkla de booleska uttrycken.

Hasard

D˚a ett kombinatoriskt automationsproblem realiseras med hjälp av logiska grindar bör man beakta even- tuell förekomst av sk. statisk hasard, och konstruera nätet s˚a att det är hasardfritt. Problemet illustreras av följande exempel.

Exempel 2.11 Betrakta en funktion X med Karnaugh-diagrammet nedan.

AB 00 01 11 10

C 0

1

1 1 1

Funktionen har tv˚a v¨asentliga primimplikatorer vilka ger den disjunktiva minimala formen X = AC + AB

Funktionen kan tydligen realiseras med hj¨alp av tv˚a AND- och en OR-grind:

C B A

AC AB

X

&

≥ 1

Betrakta nu vad som h¨ander d˚a insignalerna ¨andras fr˚an 011 till 111:

AB 00 01 11 10

C 0

1

1 1 1-1

(34)

34 KAPITEL 2. BOOLESKA FUNKTIONER Funktionen X har fortfarande v¨ardet 1 och ändras s˚aledes ej. I praktiken är emellertid tv˚a grindar aldrig exakt lika snabba. Om den nedre grinden i figuren är n˚agot snabbare än den övre, s˚a är utsignalerna fr˚an AND-grindarna 0 under ett kort ögonblick efter att den nedre grindens utsignal ändrats fr˚an 1 till 0, men innan den övre grindens utsignal ändrats fr˚an 0 till 1. Systemets utsignal ser d˚a ut s˚a här:

0 -

1 X

t Detta o¨onskade beteende kallas statisk hasard.

Statisk hasard kan undvikas genom att observera att hasard inte förekommer för variabelförändringar som sker inom en primimplikator som medtagits i realiseringen (t.ex. ändringen 001 till 011 förorsakar ej hasard för nätet ovan). Vi inkluderar därför lämpliga icke-väsentliga primimplikatorer för att undvika hasard:

AB 00 01 11 10

C 0

1

1 1 1

I icke-v¨asentlig primimplikator X uttrycks nu i den icke-minimala formen

X = AC + AB + BC Denna funktion kan realiseras med tre AND- och en OR-grind:

C B A

X

&

≥ 1

Denna realisering ¨ar hasardfri.

Nuförtiden förverkligas logikstyrningsproblem oftast med hjälp av programmerbar logik eller mikrodatorer, i vilka de booleska funktionerna programmeras. Dessa fungerar s˚a att utsignalerna ges nya värden först d˚a hela programmet utförts, varefter cykeln upprepas, osv. S˚aledes uppst˚ar problemet med statisk hasard inte vid implementering med hjälp av programmerbar logik resp. mikrodatorer.

(35)

Kapitel 3

Sekvensstyrningsproblem

Vid kombinatoriska styrproblem av den typ som betraktades i avsnitt 2.3, och i Ex. 2.1, bestämdes utsignalerna fr˚an styrsystemet som booleska funktioner av insignalerna. För att förverkliga mera generella sekvensstyrningsproblem bör systemet ocks˚a h˚alla reda p˚a tillst˚andet som processen befinner sig i vid en given tidpunkt. Detta sker i praktiken genom att införa tillst˚andsvariabler{xi}, vilkas värden definierar systemets olika tillst˚and. Styrsystemet kan schematiskt beskrivas med följande figur.

- -- --

- --

..

. ... ...

... ... ... un

... u2

u₁

ym

... y2

y₁

x_p ... x1

x⁺₁, . . . , x⁺_p Minne

Logisk funktion

Nytt tillst˚and Tillst˚and

Insignaler (fr˚an process) Utsignaler(till process)

Figur 3.1: Styrsystem med minne

H¨ar ¨ar utsignalerna y1, . . . , ymtill processen och tillst˚andsvariablernas nya v¨arden x⁺₁, . . . , x⁺_p (det nya tillst˚andet) booleska funktioner av insignalerna u1, . . . , unfr˚an processen samt tillst˚andsvariablerna x1, . . . , xp

(det tidigare tillst˚andet).

De booleska funktionerna kan behandlas med de metoder som diskuterades i avsnitt 2. Det nya problemet som tillkommer vid sekvensstyrningsproblem är att definiera tillst˚and och tillst˚andsvariabler samt att bestämma hur de nya v¨ardena x⁺₁, . . . , x⁺_p skall bestämmas.

Sekvensstyrningsproblem kan ytterligare indelas i deterministiska sekvensstyrningsproblem, d¨ar processen skall genomg˚a en p˚a förhand bestämd sekvens (t.ex. fyllning och t¨omning av reaktor), och stokastis- ta sekvensstyrningsproblem, d¨ar systemet skall funktionera rationellt för godtyckliga insignalsekvenser (jmf. Ex. 1.1). De stokastiska sekvensstyringsproblemen är i allmänhet besvärligare att behandla än de deterministiska.

Vippor

Medan kombinatoriska styrproblem kan realiseras enbart med hjälp av logiska grindar, fordrar sekventiella styrproblem dessutom element som h˚aller reda p˚a tillst˚andet, dvs. fungerar som minne. I elektroniken realiseras minnesfunktioner med hjälp av vippor (flip-flops).

Den viktigaste typen av vippa ¨ar RS-vippan (Reset-Set) (¨aven SR-vippa), vars symbol och sanningstabell ges i Fig. 3.2

Vippan fungerar allts˚a s˚a, att f¨or S = 1 (Set) blir x = 1, för R = 1 (Reset) blir x = 0, och för R = S = 0 f¨orblir x vid sitt tidigare v¨arde. Vippan fungerar allts˚a som en minnesfunktion, där värdet hos variabeln

35