Envariabel SF1625: Föreläsning 2. Envariabel SF1625: Föreläsning 2

Envariabel SF1625: Föreläsning 2

Planering, Modul 1

Översikt över modul 1 (seminarium nästa måndag) Funktion mm (kap P)

Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad

Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde (kap 1)(Idag)

Precis definition Räkneregler

Ett specialgränsvärde Kontinuitet (kap 1)

Precis definition

Satser om kontinuerliga funktioner Min/Max

Mellanliggande värden

Tidigare...

Vilka av nedanstående funktioner ärelementära?

f (x ) = tan x + 2 sin 3x g(x ) = |x |

H(x ) =

(1 om x ≥ 0

0 om x < 0

k (x ) =x⁹sin x²− e^x2 (tan x + ln x )²

Filmerna tills idag

Några frågetecken att räta ut:

Är x⁴− x²− 12 jämnt delbart med x − 2?

cos(47π/3) = 1/2

Om g(x ) =^x_{x −1}²⁻¹, varför är inte g(x ) = x + 1 helt enkelt?

Varför går inte 1/x mot oändligheten då x går mot 0?

Gränsvärden — intuitivt

1. Avgör om det finns något tal R sådant att x − 1

x²+1 < 1 100 för alla x sådana att x > R.

2. Avgör om det finns något tal R sådant att sin x < 1

100 för alla x sådana att x > R.

(Ange ett sådant tal R om det finns. Rita gärna en figur där du prickar in ditt R och visar vad det betyder.)

Gränsvärdesdefinitionen i ∞

På matematiska:

x →∞lim f (x ) = L betyder:

för varje  > 0 finns ett tal R så att |f (x ) − L| <  för alla x sådana att x > R.

Eller på ren svenska:

x →∞lim f (x ) = L betyder:

vi kan få funktionsvärdena f (x ) hur nära L som helst bara genom att välja x tillräckligt stort.

Gränsvärdesdefinitionen i ∞

Vi skriver även att

f (x ) → L då x → ∞ d.v.s. “f (x ) går mot L då x går mot oändligheten”.

Gränsvärdesdefinitionen i en punkt

På matematiska:

x →alim f (x ) = L betyder:

för varje  > 0 finns ett tal δ > 0 så att |f (x ) − L| <  för alla x sådana att 0 < |x − a| < δ.

Eller på ren svenska:

x →alim f (x ) = L betyder:

vi kan få funktionsvärdena f (x ) hur nära L som helst bara genom att välja x tillräckligt nära a.

Gränsvärdesdefinitionen i en punkt

Vi skriver även att

f (x ) → L då x → a d.v.s. “f (x ) går mot L då x går mot a”.

Gränsvärde

Syftet med definitionen är att tala omvad begreppet gränsvärdebetyder.

Sedan använder vi definitionen för atthärleda räkneregler för gränsvärden som gör det lättare att räkna på gränsvärden.

Man använder sällan definitionen för att räkna, men i svåra fall, när inget annat hjälper, måste vi använda den.

Exempel: lim

x →ax = a (självklart?)

Gränsvärde

Reglerna som härleds med hjälp av definitionen är 1. Gränsvärdet av en summa

2. Gränsvärdet av en produkt 3. Gränsvärdet av en kvot 4. Instängningsregeln

Dessutom härleds vissa standardgränsvärden.

Gränsvärde

Gränsvärdesregler: Om vi vet att f (x ) → L och g(x ) → M då x → a så gäller att

1. f (x ) + g(x ) → L + M då x → a 2. f (x )g(x ) → LM då x → a

3. f (x )/g(x ) → L/M då x → a förutsatt att M 6= 0 4. Om g(x ) ≤ f (x ) ≤ h(x ) för x i en omgivning av a och

dessutom g(x ) och h(x ) har samma gränsvärde när x → a, så måste även f (x ) ha detta gränsvärde.

Exempel: lim

x →ap(x ) = p(a) för polynom p

Gränsvärde

Ett viktigt standardgränsvärde:

lim

x →0

sin x x =1

(Bevisas t.ex. m.h.a. olikheten sin x ≤ x ≤ tan x för små x ≥ 0.)

Övning

Beräkna gränsvärdet:

t→0lim sin 2t

t Beräkna gränsvärdet:

x →2lim

x²− 5x + 6 x − 2

Höger- och vänstergränsvärde

Högergränsvärde: Om man i gränsvärdesdefinitionen begränsar sig till x som ligger till höger om a talar man om högergränsvärde, skrivet lim

x →a⁺f (x )

Vänstergränsvärde: Om man i gränsvärdesdefinitionen begränsar sig till x som ligger till vänster om a talar man om vänstergränsvärde, skrivet lim

x →a⁻f (x )

Krav för gränsvärde: För att gränsvärdet lim

x →af (x ) ska existera krävs att både höger- och vänstergränsvärdena existerar och är lika.

Gränsvärden och oändligheten

Gränsvärde i oändligheten: lim

x →∞f (x ) = L betyder att vi kan få f (x ) hur nära L som helst bara genom att välja x tillräckligt stort.

Oändliga gränsvärden: Om man kan få f (x ) större än vilket tal som helst bara genom att välja x tillräckligt nära a så säger man att lim

x →af (x ) = ∞. Detta är ett s k oegentligt gränsvärde, eftersom ∞ inte är ett tal.

(Motsvarande kan förstås göras för −∞ också)

Övning

1. Vad är vänster- respektive högergränsvärde för f (x ) = x

x g(x ) = 1

x H(x ) =

(1 om x ≥ 0 0 om x < 0 i punkten x = 0?

2. Bestäm

x →∞lim

px⁶+4x³+1 − x³.