Problemlösning i matematik

Full text

(1)Estetisk-filosofiska fakulteten. Camilla Sjölander Nordin. Problemlösning i matematik ett lärandeobjekt för learning study. Problemsolving in mathematics an object of learning for learning study. Examensarbete 15 högskolepoäng Speciallärarprogrammet. Nivå: Datum: Handledare: Examinator: Karlstads universitet 651 88 Karlstad Tfn 054-700 10 00 Fax 054-700 14 60 Information@kau.se Karlsta www.kau.se. Avancerad 11.06.16 Michael Tengberg Solveig Hägglund.

(2) Abstract D-uppsats:. Program:. Nivå:. Termin/år: . Handledare:. Examinator:. Nyckelord:. 15 hp, LPADS7 Speciallärarprogrammet, 90 hp. Avancerad nivå Vt 2011 Michael Tengberg Solveig Hägglund problemlösning, learning study, variationsteori, strategier, speciallärare. ________________________________________________________________________________ Syfte:. Målet med undersökningen var att få kunskap om hur undervisningen kan stärka elevens förmåga att tillämpa problemlösning i matematik. Målet är att finna de kritiska aspekterna av att tillämpa problemlösning.. I undervisningssituationen fann jag det intressant att se vilka förändringar som gjorde skillnad för elevens lärande.. Teori/Metod:. Undersökningen är en learning study som utförs i en åk 8. Datamaterialet baseras på samtal, intervjuer, observationer och tester. Detta material ligger som grund då jag med hjälp av variationsteorin använder denna teori som analysredskap.. Resultat:. Resultatet visar eleverna saknade strategier och metoder för att utföra problemlösningsuppgifter. Vid cykel 1 visade testresultatet att eleverna förbättrade sin förmåga att arbeta med problemlösningsuppgifter då de deltagit i lektioner som bearbetade det valda lärandeobjektet. Däremot skedde ingen stor förbättring vid cykel 2.. De deltagande pedagogernas reflektion kring learning study blev positiv. De såg det som en förmån att få samarbeta kring ett specifikt lärandeobjekt. Learning study ser de som en god fortbildningsverksamhet inom skolan.. Speciallärarens roll skulle till karaktären kunna vara både handledande men även deltagande i en learning study. Resultatet visar att learning study som metod och variationsteori stöder specialläraren i sitt arbete att möta elever med särskilda behov i syfte att individualisera på bästa sätt..

(3) Abstract D-uppsats:. Program:. Nivå:. Termin/år: . Handledare:. Examinator:. Nyckelord:. 15 hp, LPADS7 Speciallärarprogrammet, 90 hp. Avancerad nivå Vt 2011 Michael Tengberg Solveig Hägglund problem solving, learning study, variationtheory, strategies, specialteacher. ________________________________________________________________________________ Purpose:. The purpose of this study was to gain knowledge of how teaching can enhance pupils’ ability to apply problem-solving in mathematics. The goal is to find the critical aspects of applying problem-solving.. In the teaching situation, I found it interesting to see what changes that made a difference to pupils’ learning.. Theory/Method:. This study is a learning study conducted in an eighth grade. The data is based on discussions, interviews, observations and tests. This material is the basis on which I am using the variation theory as an analytical tool.. Result:. Results show that pupils lacked strategies and methods for problem solving. The test result in cycle 1 showed that pupils improved their ability to work with problem-solving tasks when they participated in lessons dealing with the chosen object of learning. However, there was no significant improvement in cycle 2.. The participating educators' reflection on learning study was positive. They saw it as a privilege to collaborate around a specific learning object. They see learning study as a useful further training activity within school.. Specialteacher's role could be supervising, but also participating in a learning study. The results show that the learning study as a method and as a variation theory support special education teachers in their work to meet pupils with special needs in order to individualize the best way..

(4) Förord Ett arbete av detta skapas inte av endast en person. Många är de personer som har bidragit genom stöttning, guidning och delaktighet. Den här studien genomfördes tack vare de pedagoger och elever som med erfarenhet och engagemang deltog i denna undervisningsmodell learning study. Vill även skicka ett tack till mina kollegor och min arbetsledning som har stöttat mig under hela den tid jag har läst till speciallärare. Vill även tacka min handledare för goda råd och kloka reflektioner i samband med min skrivprocess. Slutligen vill jag tacka min underbara familj! Örebro, 2011 - 06 - 16 Camilla Sjölander Nordin.

(5) Innehållsförteckning Abstract Förord Innehållsförteckning 1. Inledning 1.1 . 1.2. 1.3 . 1.4 . Erfarenhet av problemlösning. Syfte och frågeställning. Avgränsning. Disposition och innehåll. 1 . 2. 2. 3. 2. Tidigare forskning 2.1 Speciallärarens roll. 2.1.1 Diagnos och individualisering. 2.1.2 Förmågor. 2.2 Problemlösning. 2.2.1 Historik. 2.2.2 Beskrivning av olika problemuppgifter. 2.2.3 Problemlösningsstrategier. 2.2.4 Undervisning av problemlösning. 2.2.5 Sammanfattning. 4 4 5 6 6 7 8 9 11. 3. Teoretiskt perspektiv 3.1 Lärandeobjektet. 3.2 Begrepp kring variation. 3.3 Sammanfattning. 12. 13 14. 4. Metod 4.1 Design experiment och lesson study. 4.2 Learning study. 4.3 Planering och genomförande. 4.3.1 Urval av deltagare. 4.3.2 Bortfall. 4.3.3 Undersökningens upplägg och design. 4.3.4 Planeringsmöte och analysmöte. 4.3.5 Elevernas resultat. 4.3.6 Videoinspelning av lektioner. 4.3.7 Analys. 4.4 Etiska riktlinjer. 4.5 Validitet och reliabilitet. 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19 20. 5. Resultat 5.1 Resultatredovisningens disposition. 5.2 Kritiska aspekter av det valda lärandeobjektet. 5.3 Förtest 1. 5.4 Lektion 1. 5.5 Eftertest 1. 5.6 Pedagogernas planering inför lektion 2. 5.7 Förtest 2. 5.8 Lektion 2. 5.9 Eftertest 2. 5.10 Slutsatser. 6. Diskussion. 22 22 23 23 25. 25 26 26 27 28.

(6) 6.1 . 6.2 . 6.3 . 6.4 . 6.5 . Metoddiskussion. Resultatdiskussion. Ett redskap för speciallärare . Morgondagens skola. Frågor för vidare forskning. Referenser. Bilagor. Samtycke Test 1 Test 2. 30 31. 32 33 34.

(7)

(8) 1. Inledning I detta arbete kommer ni att följa tre pedagogers gemensamma arbete med problemlösning i ämnet matematik. Pedagogerna kommer att arbeta med elever i årskurs 8. Metoden denna undersökning utgår från är learning study, en metod som fokuserar på att urskilja de kritiska aspekterna av ett lärandeobjekt. Lärandeobjektet avser de områden för lärande som man önskar utveckla. Det kan vara ett område inom ett traditionellt skolämne men även en förmåga (Holmqvist, 2006). I denna studie blir lärandeobjektet förmågan problemlösning. Den kritiska aspekten visar på de delar där eleven saknar kunskapsgrund. När de kritiska aspekterna är kartlagda är syftet att utforma en god undervisning som hjälper eleverna att nå ett lärande kring just dessa kritiska aspekter, för att i en förlängning resultera i att eleven bättre kan tillämpa problemlösning. Varken metod eller teori är något som pedagogerna har erfarenhet av sedan tidigare.. 1.1 Erfarenhet av problemlösning Anledningen till att jag valde denna elevgrupp är att jag i min vardag, som speciallärare och matematiklärare, dagligen möter elever som behärskar att rent rutinmässigt arbeta med matematik, men när de matematiska uppgifterna kombineras med språkets formulering stöter de på problem. En till synes lätt uppgift kan bli svår att ta till sig på grund av att den är textbaserad. Jag har mött elever som försöker klara matematikuppgiften genom att undvika att läsa de för dem tillsynes obegripliga orden, vilket resulterar i att uppgiften blir ofullständig. I lärsituationen är det då vanligt att läraren läser om uppgiften på ett sådant sätt att eleven kan ta den till sig och nå en förståelse. Skolverket (2008) menar att det inte i första hand gäller att förenkla textutformningen utan att istället skapa en medvetenhet om språkets betydelse. I Lgr 11 kan vi i kursplan för svenska ta del av de prioriterade målen vad gäller läsförmåga. Där framgår att eleven ska utveckla. lässtrategier för att förstå, tolka och analysera texter från olika medier. Att urskilja texters budskap, tema och motiv samt deras syften, avsändare och sammanhang. (Skolverket, 2010, s. 92). Roe och Taube (2006) samt Marton och Booth (1997) visar alla att läsförmågan har en betydande roll när det gäller förståelse och tolkning av matematikuppgifter.. Problems related to the text that could have a negative influence on mathematics performance were implicit information that requires inferences and interpretations of abstract relations, misleading information and low frequency words and expressions. (Roe och Taube, 2006, s. 138). När en person stöter på en uppgift - en text som ska studeras, ett problem som ska lösas eller något annat kan man säga att det finns ett slags samband mellan hur personen förstår texten, problemet eller själva inlärningssituationen, och hur han eller hon förstår de fenomen som är relevanta för förståelsen av texten, problemet eller situationen. (Marton och Booth, 1997, s. 112). Det finns även tillfällen när eleven konstruerar en egen förståelse kring vad de ska göra, utifrån de erfarenheter de har av hur matematiska uppgifter brukar vara uppbyggda. Hubbard (1990) berättar att det tar tid att läsa matematik och det krävs strategier. Även hon har mött de elever som efter första genomläsningen ger upp då de inte förstår innehållet eller saknar erfarenhet av vilka strategier som kan användas för att lösa uppgiften. Ett problem är att elever inte har fått lära sig de strategier som krävs för att kunna lösa matematiska problemuppgifter (Lester 1988). Om vi ser till läroböckernas struktur finns internationella studier som visar att merparten av uppgifterna i böckerna är av traditionell karaktär som inte ger några utmaningar i att tänka strategiskt (Lianghhuo och Yan, 2004; Bakker, Kolovou och van den Heuvel, 2009).. 1.

(9) I Lgr 11 i kursplan för matematik framgår att problemlösning är ett prioriterat område.. Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. (Skolverket, 2010, s. 31). Eftersom problemlösning är ett av målen behöver pedagoger bli medvetna om hur de arbetar och lyfter fram detta område i ämnet matematik (Lester, 1988). För att utveckla elevens problemlösningsförmåga i matematik så att han eller hon ser värdet av dessa kunskaper menar Skolverket (2003) att det finns behov av att utveckla flera områden inom matematik, bland annat genom att arbeta med begreppsförståelse, matematiskt tänkande och olika val av strategier då man löser matematiska problem. Vidare berättar de att reflektion och samtal kring dessa begrepp stärker elevens självtillit, självvärdering och kompetensupplevelse. När det gäller att nå ett lyckat resultat med problemlösning, framgår att strategier och språklig medvetenhet har en avgörande betydelse. Vi blir här påminda om att ämnena svenska och matematik behöver komplettera varandra för att eleven ska få en helhet i sitt lärande kring problemlösning i matematik.. 1.2 Syfte och frågeställningar Syftet med detta arbete är att få kunskap om hur undervisningen kan stärka elevens lärande vad gäller problemlösning i matematik. Centralt är att ta reda på vad i undervisningen som gör att eleven lär sig att tillämpa problemlösningsstrategier. De frågeställningarna som jag utgår från i detta arbete är: • Vilka är de kritiska aspekterna av att elever tillämpar problemlösning? • Vilka förändringar i undervisningens upplägg gör skillnad för elevens lärande? • Vilka slags skillnader leder det till?. 1.3 Avgränsning I detta arbete studerar jag hur eleven förmår arbeta med problemlösningsuppgifter i matematik. De utvalda problemlösningsuppgifterna är till textkaraktär uppbyggda som helhetssituationen där eleven själv ska kunna hitta själva uppgiften inne i situationen (Skolverket, 2008). I forskningslitteratur innefattar begreppet problemlösning flera innebörder. Jag kommer att begränsa mig och endast lyfta fram de varianter som har relevans för denna undersökning. Jag kommer inte att beröra elevens förmåga att arbeta med problemlösningsuppgifter som är formulerade med hjälp av matematiska symboler. Då man arbetar med learning study har de medverkande pedagogerna en nyckelroll i sammanhanget. Lärandeobjektet berör både ämnet matematik och svenska, vilket har haft betydelse för valet av de pedagoger som medverkar i detta arbete. I denna learning study har jag medvetet valt att arbeta med ämneslärare i både svenska och matematik i förhoppning om att de ska berika varandra med sina specifika ämneskunskaper. I en lärandesituation finns det flera aspekter att ta hänsyn till, som alla har stor betydelse för elevens lärande. Avgränsningen blir här att endast analysera lärandet som sker kring det valda lärandeobjektet. Aspekter som jag ej tar hänsyn till i detta arbete är till exempel maktsituationen i klassrummet, hur elever utvecklar insikter om varandra under lektionen eller det sociala klimatet i klassrummet (Holmqvist, 2006). 2.

(10) 1.4 Disposition och innehåll Detta arbete består av sex kapitel. I det första kapitlet presenteras en inledning som berör de tankar som har fått mig intresserad av den givna frågeställningen. Jag berättar även om syftet och frågeställningar med mitt arbete. Vidare framgår de avgränsningar jag kommer att ta hänsyn till. I det andra kapitlet lyfter jag fram vad tidigare forskning visar om speciallärarens roll med underrubriker som berör diagnos, individualisering och förmågor. Kapitlet avslutas med att jag berättar vad forskningen har att berätta om begreppet problemlösning. I det tredje kapitlet fördjupar jag mig i det teoretiska perspektivet. Variationsteorin är den teori som ligger till grund för detta arbete och jag lyfter fram dess centrala begrepp. I det fjärde kapitlet som berör metod ger jag en kort inledning om design experiment och lesson study som därefter leder vidare mot att beskriva den aktuella metoden för detta arbete, learning study. Efter detta presenterar jag hur planering och genomförandet har verkställts i detta arbete och avslutningsvis beskriver jag de etiska riktlinjer som jag utgår från. I det femte kapitlet beskrivs hur learning study som metod används då tre pedagoger arbetar med problemlösning i matematik. Processen av pedagogernas learning study redovisas utifrån det variationsteoretiska perspektivet. I det sjätte kapitlet följer en metoddiskussion och en resultatdiskussion. Diskussion sker utifrån undersökningens resultat. Här lyfter jag fram reflektioner som berör förändringsarbete mot morgondagens skola samt huruvida learning study kan vara ett redskap för speciallärare. Avslutningsvis noterar jag vilka frågor som skulle vara intressanta att lyfta i framtida forskning.. 3.

(11) 2. Tidigare forskning Avsnittet om tidigare forskning kommer jag dela in i två delar. Den första delen visar speciallärarens roll vad gäller att utföra en diagnos och individualisera elevens undervisning. Denna del visar även att problemlösning är en utav flera förmågor som eleven behöver få möjlighet att utveckla. I detta avsnitt används begreppet kompetens synonymt med begreppet förmåga. I texten som följer använder sig Kilpatrick, Swafford och Findell (2001) av begreppet förmåga och när det gäller den specifika problemlösningsförmågan används ordet strategisk kompetens. Undervisningsministeriet (2002) benämner ordet förmåga med kompetens och den specifika problemlösningsförmågan för problemlösningskompetens. I den andra delen berörs begreppet problemlösning. I detta avsnitt presenterar jag tidigare forskning om problemlösning. Jag berättar kort om hur problemlösning som begrepp växte fram både internationellt och här i Sverige. Vidare i detta avsnitt beskriver jag olika varianter av problemlösningsuppgifter. Avslutningsvis presenterar jag vad forskare säger om undervisning av problemlösning. Flertalet av dem reflekterar kring begreppet strategi. När det gäller undervisningens form och innehåll försöker jag visa på vad forskare ger som förklaring till vad som gör det bekymmersamt för många elever att tillämpa problemlösning?. 2.1 Speciallärarens roll I examensförordningen för speciallärare står det att man ska:. visa förmåga att kritiskt och självständigt identifiera, analysera och medverka i förebyggande arbete samt i arbetet med att undanröja hinder och svårigheter i olika undervisnings- och lärandemiljöer. (SFS, 1993, s. 3) visa fördjupad förmåga till ett individanpassat arbetssätt gentemot elever med inlärningssvårigheter. (SFS, 1993, s. 4). Att identifiera och analysera svårigheter för olika undervisnings- och lärandemiljöer kräver att specialläraren har redskap för detta. Learning study har som mål att finna de kritiska aspekterna av ett lärandeobjekt. Det kan jämföras med att speciallärarens uppgift är att utföra kartläggningar och diagnoser för att se var i lärandeutvecklingen han eller hon ska möta eleven. När eleven ska ledas in i att lära något nytt behöver specialläraren ha förmågan att på ett varierat och genomtänkt sätt skapa en god undervisning. Variationsteorin kan här visa sig vara ett gott redskap. Variation innebär att eleven ser något utifrån flera perspektiv och Holmqvist (2006) presenterar att lärande innebär att erfara omvärlden på ett nytt sätt. 2.1.1 Diagnos och individualisering. Malmer (2002) menar att förmåga och färdighet är något som går att påverka, och hon påpekar att skolan här har en avgörande roll. Vad gäller ämnet matematik har pedagogen till uppgift att utveckla elevernas matematiska tänkande, och för att få en god start behöver man möta eleven där han eller hon befinner sig och inte där pedagogen önskar att han eller hon skulle vara. För att möta eleverna på rätt nivå behöver pedagogen känna till elevens förkunskaper inom arbetsområdet. Ett dilemma som Löwing (2004) visar på är att lärare har en tendens att handleda innan de egentligen vet vad eleven har för problem. Kilborn och Löwing (2002) skriver om diagnosens betydelse. Om pedagogen vet målet som eleven ska nå är det av stor vikt att veta var eleven befinner sig kunskapsmässigt i relation till målet. De påpekar att pedagogen i sin undervisning är hjälpt av att låta eleven göra en fördiagnos för att se var man ska börja. Detta kan följas av en underhandsdiagnos för att avgöra om eleven kan tillgodogöra sig undervisningen. Avslutningsvis kan en efterdiagnos visa om den genomförda undervisningen 4.

(12) har gett ett tillfredsställande resultat. Kilborn och Löwing (ibid) betonar vikten av att diagnosen byggs upp på ett logiskt sätt som mäter rätt saker. Vilket i sin tur kräver att pedagogen har god didaktiskt kunskap i ämnet samt känner till elevens vanligaste tankegångar inom det givna området. En skriftlig diagnos ses ofta som en god inledande fas. Men om eleven visar upp felaktiga svar finns det behov av att komplettera den skriftliga diagnosen med samtal för att förstå elevens tankegångar i arbetet med matematik. För att kunna individanpassa elevens undervisning krävs att specialläraren har didaktiska kunskaper i hur man kan behandla ett visst stoff på olika nivåer, dessutom krävs att man har kunskap eller erfarenhet av för- och nackdelar med olika arbetssätt och arbetsformer (ibid). 2.1.2 Förmågor. Då eleven arbetar med problemlösning visar det sig att han eller hon under arbetets gång använder sig av ett flertal förmågor eller kompetenser. Speciallärare behöver ha en förståelse för vilka förmågor eleven redan har utvecklat samt se till vilka förmågor eleven behöver stärka.. En förmåga hör samman med individens personlighet, medan färdighet är något som är intimt förknippat med en viss form av aktivitet. Elever kan t ex uppvisa god färdighet i att utföra beräkningar inom de olika räknesätten, men kan ha påtagliga svårigheter (bristande förmåga) att bestämma vilket räknesätt som skall användas vid problemformuleringar. (Malmer, 2002, s. 56). För elevens lärande är det flera kompetenser som samspelar då man utvecklar en förmåga. Det danska Undervisningsministeriet (2002) berättar om att den heltäckande matematiska förmågan är indelad i åtta delkompetenser. Dessa åtta delkompetenser är i sin tur delad i två grupper. Under den första gruppen som lyder under rubriken att fråga och svara i, med, om matematik ligger dessa kompetenser: • tankegångskompetens • problemlösningskompetens. • modelleringskompetens • resonemangskompetens. Under den andra gruppen som benämns under rubriken att använda språk och redskap i matematiken finner vi dessa kompetenser: • representationskompetens • symbol- och formalismkompetens. • kommunikationskompetens • hjälpmedelskompetens. I en analys av elevens matematiska kompetens ska inte denna indelning övertolkas utan ses som att de enskilda kompetenserna har betydelse var och en för sig, men de har även beröringspunkter med varandra. Undervisningsministeriet (2002) beskriver en tredelad indelning på hur mycket en person behärskar en kompetens. Dessa nivåer kallas täckningsgrad, aktionsradie och teknisk nivå. Täckningsgrad avser att beskriva hur många av de aspekter som karaktäriserar en viss kompetens eleven i fråga behärskar. Aktionsradien visar hur många olika situationer som eleven kan använda kompetensen i och teknisk nivå avser hur begreppsligt och tekniskt avancerade situationer som kompetensen kan aktiveras i. Författarna Kilpatrick, Swafford och Findell (2001) ger beskrivningar på hur matematisk kunnighet vävs samman med hjälp av olika förmågor. De utgår från fem förmågor:. 5.

(13) • begreppsförståelse • procedurell kompetens • strategisk kompetens. • resonerande kompetens • produktiv, meningsfull, insikt. Dessa fem förmågor utgör ett ramverk i diskussion kring kunskap, färdigheter, förmåga och tilltro som bildar matematisk kunnighet. Förmågorna är sammanflätade och beroende av varandra i utvecklingen av elevens matematiska kunnighet. Forskning som baseras på kognitiv vetenskap förankrar sina idéer och bidrar till dessa fem förmågor. Fundamentalt för den kognitiva vetenskapens arbete har varit att hos eleven nå den centrala rollen av medveten förståelse. Hur elever symboliserar och sammanfogar delar av sin kunskap är nyckeln till om eleverna når en medveten förståelse, en förståelse som är användbar i problemlösning. Ett lärande som primärt utgår från att nå medveten förståelse är mer kraftfullt än att endast memorera (Kilpatrick et al, 2001). Kilpatrick, Swafford och Findell (2001) lyfter förmågan som går under namnet strategisk kompetens. Undervisningsministeriet (2002) benämner den vid begreppet problemlösningskompetens. Förmågan är nära knuten till problemlösning då den hänvisar till elevens fallenhet för att kunna formulera matematiska problem, presentera dem samt lösa dem (Kilpatrick, et al, 2001; Undervisningsministeriet, 2002). Elever ska lösa problemlösningsuppgifter på så sätt att de inte bara tillämpar matematik utan lär ny matematik (Van de Wall och Lovin, 2000). Problemlösning ska bidra till att eleven utvecklar många förmågor som de bär med sig i sin vardag. Genom att arbeta med problemlösning utvecklar eleven sin förmåga att läsa och tolka texter samt utvecklar sitt logiskt-analytiska tänkande. Vid de situationer där vi arbetar med problemlösning gynnas eleven i att argumentera, diskutera, kritiskt granska samt sovra bland fakta som lyfts fram av till exempel text, tabeller och diagram. I och med att eleven kan hantera problemlösning utvecklar den sin beredskap att möta och hantera vardagens situationer (Malmer, 2002).. 2.2 Problemlösning Problemlösning är inte till karaktären rutinartade uppgifter. Problemlösning kräver att eleven behärskar ett komplext arbetssätt på så sätt att han eller hon ska förstå problemet samt finna rätt strategi för att nå en lösning. Bakker, Kolovou och van den Heuvel (2009) beskriver problemlösning av att var en komplex aktivitet som kräver ett mer avancerat tänkande jämfört med matematiska färdigheter av mer rutinartad karaktär. 2.2.1 Historik Problemlösning och strävan efter att finna svar på olösta gåtor har alltid fascinerat oss människor.. Människor har i alla tider löst matematiska problem. På papyrusrullar från det gamla Egypten 1600 f KR finner man matematiska problem. Forskare studerar idag de problem som löstes i det gamla Kina, och de matematiska problem som formulerades och löstes i det antika Grekland är idag kända även för många människor som inte är matematiker av facket. (Ahlberg, 1992, s. 6). I slutet av 1970-talet växte sig problemlösning som matematisk undervisningsform stark i USA. Undervisning av problemlösning utgick från att finna lämpliga problem som kunde användas för olika stadier samt att finna lämpliga lösningsstrategier för olika typer av problem. Med detta förändrades lärarrollen, från att ha varit den ledande läraren till att bli den stödjande och inspirerande läraren som anammade de infallsvinklar som eleven lyfte fram. Då vi i Sverige fick en ny läroplan 1980, Lgr 80, blev innehållet i den påverkad av dessa internationella strömningar på så sätt att problemlösning fick en framträdande roll. I och med att problemlösning blev ett huvudmoment i Lgr 80 innebar det att det ökade språkets betydelse för 6.

(14) skolans matematikundervisning (Löwing, 2004). Det var även en markering av att matematiken inte bara skulle handla om färdighetsträning och algoritmer (Kilborn och Löwing, 2002). Allteftersom tankarna kring problemlösningsuppgifter har utvecklats och nu innefattar ett bredare spektra av varianter sker en fokusering på att eleven genom problemlösning ska konstruera sin egen kunskap (Möllehed, 2001). Skolverket (2001) redovisar däremot att svenska femtonåringar tycks ha svårare för att reflektera över och bedöma texter än att söka och tolka information. 2.2.2 Beskrivning av olika problemuppgifter. Problem förklaras som en svårighet där man måste anstränga sig för att kunna klara av. Det är en uppgift som kräver tankearbete och analytisk förmåga (Nationalencyklopedien, 2011). Ahlberg (1992) skriver att man i läroplanen avser att ett problem är en frågeställning som man vill lösa och som man kan lösa med en matematisk modell som inte är given. Denna typ av uppgifter kontrasteras mot tillämpningsuppgifter som definieras som en uppgift på vilken en erhållen matematisk modell tränas och tillämpas. Wyndhamn, Riesbeck och Schoultz (2000) utvecklar begreppet problemlösning och berättar att problemlösning är när man använder det man redan kan och har erfarenhet av i matematik på ett nytt rationellt, systematiskt och logiskt sätt. I samband med att eleven gör medvetna tankeexperiment tillägnar han eller hon sig ny matematik. Vidare lyfter de att problemlösning är när eleven få arbeta med vardagsbetonade och verklighetsnära frågor samt kluriga problem. Vid dessa tillfällen får eleven möjlighet att träna sig i att tillsammans med andra diskutera och tolka information, fakta och olika strategier och samband. Problemlösning bidrar även till att eleven kan använda sig av självbedömning och självkännedom vad gäller hans eller hennes matematiska kunskaper och färdigheter. Problemlösning är även när eleven låter sin tilltro till det egna matematiska kunnandet prövas vilket resulterar i att eleven utvecklar sin personliga egenskap vad gäller begåvning. Malmer (2002) visar ett engagemang för just problemlösning. Hon utgår från de textbaserade problemuppgifterna, ordproblem eller benämnda tal. Detta är uppgifter där eleven själv ska läsa sig till innehållet och utifrån det finna en strategi för att nå en lösning. Utöver detta kan problemlösningsuppgifter till karaktären vara enstegs-problem eller flerstegs-problem (Lianghuo och Yan, 2004). Rutinartade problemlösningsuppgifter löser eleven genom att använda sig av tidigare erfarenhet som kräver att eleven reproducerar och tillämpar redan kända procedurer. I kontrast till detta kräver problemuppgifter av icke rutinartad karaktär att eleven använder sig av produktivt tänkande eftersom eleven behöver komma på ett sätt att förstå och lösa problemet (Kilpatrick, Swafford och Findell, 2001; Bakker, Kolovou och van den Heuvel Marja, 2009; Lianghuo och Yan, 2004). Lianghuo och Yan (2004) talar om icke traditionella problemuppgifter. Som exempel ges: problemposing och project-problems. Möllehed (2001) berättar om problem-posing som har till syfte att dels införa helt nya problem dels omformulera gamla problem. Det kan användas av alla åldrar. Allt från att yngre elever formulerar och löser varandras problem till äldre elever som angriper svårare problem där de försöker visa framkomliga vägar att nå ett uppsatt mål. En utveckling av problem-posing är open-ended problem. Här arbetar man med olika typer av problem där man ger förutsättningar av olika slag men slutresultatet blir öppet, det vill säga att flera lösningar är korrekta. Varianter av detta finns på så sätt att pedagogen ger öppna förutsättningar med givet resultat eller att pedagogen ger en uppgift där både förutsättningar och resultat är av öppen karaktär (Möllehed, 2001; Lianghuo och Yan, 2004). Taflin (2007) beskriver att problemlösningsuppgiftens uppbyggnad ska vara av sådan art att den inte är av standardtyp och inte uppfattas som ett matematiskt problem. Ett problem ska istället av eleven uppfattas som ett problem som löses på ett vardagligt och konkret sätt. Taflin benämner dessa 7.

(15) problemlösningsuppgifter rika problem, som till sin karaktär påminner om project-problems, och ska leda till att eleven når matematisk medvetenhet och specifik kunskap.. 1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier. 2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid. 4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer. 5. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion. som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer. 6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare. 7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. (Taflin, 2007, s. 56). Journal-problem avser problemuppgifter där eleven skriftligen ska redogöra för sina idéer, reflektioner, frågor, personliga erfarenheter och vad nytt de lärt. Detta arbetssätt bidrar till ett underlag där pedagogen kan få användbar information om elevens kunskapsnivå (Lianghuo och Yan, 2004). 2.2.3 Problemlösningsstrategier. Problemlösningsuppgifter är till karaktären uppgifter som kräver en undersökning för att man ska nå ett svar. Men att lösa och formulera problem är inte samma sak. Det är möjligt att kunna formulera ett problem utan att vara i stånd till att lösa det. På motsvarande sätt är det möjligt att vara en duktig problemlösare utan att ha förmågan att formulera matematiska problem (Undervisningsministeriet, 2002). För att eleven ska kunna arbeta med strategisk kompetens behöver han eller hon hantera en mängd olika strategier för att sedan välja den strategi som passar bäst för det specifika problemet. Att bli strategiskt kompetent innebär att eleven undviker att söka siffror och arbeta med aritmetiska lösningar. Problemlösning kräver att eleven skapar sig en inre mental bild av uppgiftens betydelsefulla delar (Kilpatrick, et al, 2001). Ett problem är att elever inte får möjlighet att lära sig nödvändiga strategier för att på ett gott sätt kunna lösa problemlösningsuppgifter (Lester, 1988). Matematiska påståenden är kortfattade, precisa och uppbyggda av en sekvensartad struktur, som bygger på varandra. Varje ord och symbol har en mening som måste förstås (Hubbard, 1990). Det är därför viktigt att eleven får en regelbundenhet i att träna sin problemlösning, och pedagoger behöver inse att detta måste få ta tid (Hubbard, 1990; Lester, 1988). Även variation av strategier är betydelsefullt för att inte eleven ska ägna sig åt formaliserad problemlösningssituation på så sätt att eleven handlar efter ett givet mönster av en beprövad strategi och på så sätt arbetar utan att fördjupa sig i det problem som ska lösas (Ahlberg, 1992). Pólya (1945) arbetar efter fyra grundprinciper: förstå problemet, gör upp en plan, genomföra planen, se tillbaka. Dessa huvudrubriker har sedan underrubriker man behöver arbeta utifrån för att nå en lösning på problemet. Under rubriken förstå problemet ges dessa underrubriker: Förstå problemet • Förstår du alla ord? • Vad ska du undersöka? • Kan du återberätta problemet med egna ord?. • Kan du se en bild eller ett diagram som kan hjälpa dig att förstå problemet? • Finns det tillräckligt med information för att du ska hitta en lösning?. I arbete med att göra upp en plan hänvisar Pólya (ibid) till ett antal metoder. 8.

(16) Gör upp en plan • • • • • •. Pröva och gissa Gör en lista Eliminera möjligheter Använd symmetri Leta efter mönster Rita en bild. • • • • • •. Lös ett liknade men enklare problem Använd en modell Arbeta baklänges Använd en formel Lös en ekvation Var påhittig. När eleven valt metod är det dags att genomföra den. Om eleven misslyckas behöver han eller hon tänka om och eventuellt revidera sin plan. Slutligen är det dags att reflektera och tänka tillbaka på vad som fungerade bra och vad som fungerade mindre bra. Detta är en bra strategi att utföra för att lättare veta hur man ska lösa problem framöver (ibid). Även Kilpatrick, Swafford och Findell (2001) visar på betydelsen av strategi. För att eleven på ett bra sätt ska kunna arbeta med ett problem krävs att eleven förstår situationen inklusive dess karaktäristiska drag. Efter det behöver eleven utveckla en matematisk representation av problemet som fångar kärnan av de matematiska delarna och ignorerar de ovidkommande delarna. Det sistnämnda steget kan bli genomfört genom att eleven ritar, skriver en ekvation eller utför någon annan typ av handgriplig representation. Författarna till boken ger ett exempel på hur man på olika sätt kan möta ett matematiskt problem. Exemplet lyder:. At ARCO gas sells for 1.13 dollar per gallon. This is 5 cent less per gallon than gas at Chevron: How much does 5 gallons of gas cost at Chevron? (Kilpatrick, Swafford och Findell, 2001, s. 125). Det vanligaste är att eleven fokuserar på siffror, tal och nyckelord. Ett exempel på detta är att i uppgiften ovan styr ordet less till att man bör subtrahera 5 cents från 1.13 dollar för att få 1.08 dollar. I motsats till detta lyfter de modellen av att närma sig uppgiften på ett mer erfaret sätt genom att föreställa sig en medveten modell av situationen som beskrivs i problemet. En problemlösningsmodell är inte en visuell bild i sig, snarare en medveten representation som behåller den strukturella relationen bland de olika variablerna. Till exempel kan det vara att en elev för denna uppgifts två första meningar bildar sig en uppfattning av problemet genom att medvetet skapa sig en representation av en tallinje där man lokaliserar varje gallons kostnad i syfte att lösa problemet. Analyser av elevers ögonfixering avslöjar att erfarna problemlösare fokuserar på ord som ARCO, Chevron och this medan mindre erfarna problemlösare fokuserar på specifika siffror, tal och nyckelord hellre än att se relationen mellan de olika mängderna (Kilpatrick, Swafford och Findell, 2001). 2.2.4 Undervisning av problemlösning. I Ahlbergs (1992) avhandling är det centrala temat att undersöka elevers förståelse av aritmetisk problemlösning i en skolkontext. De testresultat som redovisas visar att det var en stor skillnad mellan de elever som deltagit i problemlösningsundervisning jämfört med den elevgrupp som deltagit i läroboksbunden undervisning. Eleverna i problemlösningsundervisningen löste i större utsträckning än i kontrollgrupperna uppgifterna i eftertestet. Lärobokens dominerande inslag i undervisningen har betydelse för elevens lärande i problemlösning. I två internationella studier (Lianghuo och Yan, 2004; Bakker Kolovou och van den Heuvel, 2009) visar resultatet att antalet utmanande problemlösningsuppgifter utgjorde en 9.

(17) mycket låg procentandel i den ordinarie läroboken. Problemlösningsuppgifter fanns till största del att tillgå när det var behov av extra material för de elever som hade arbetat färdigt med uppgifterna i boken. Taflin (2007) lyfter problematiken med att undervisa i problemlösning. Hon ser bekymret med att det är svårt att hitta rätt uppgifter och att arbeta efter en metod där läraren genom frågor leder eleven till att själv finna svaret, ett så kallat heuristiskt arbetssätt. Hon berättar att det är viktigt att pedagogen visar vilka matematiska kunskaper som används eller skapas. Viktigt är även att låta eleven lösa många problem och att denna undervisning löper under elevens hela skoltid. Läraren behöver strategier då det gäller att arbeta för inlärning av problemlösningsuppgifter. Det primära är att noga välja ut de uppgifter som eleven avses att arbeta med, men innan arbetet tar form behöver läraren tänka igenom vilken typ av guidning eleven kan tänkas behöva ges under arbetets gång. När sedan arbetet är igång har läraren till uppgift att vara aktiv och observera vad som sker för att ställa de frågor som leder eleven framåt i sitt lärande (Lester, 1988). Löwing kritiserar dagens undervisning av problemlösning och säger att den påminner om hur man förr lät eleverna räkna algoritmer dag ut och dag in utan att nå någon förståelse och utan att lära sig mer än algoritmer.. Idag arbetar eleverna med förutsägbara problem på ett liknande sätt, styrda av ett läromedel och utan att man problematiserar matematiken i problemen. Det betyder att man, trots all retorik om vikten av problemlösning, inte heller idag lär sig att lösa problem och inte heller att hantera enkla algoritmer. Är det resultatet av detta som ger så negativa resultat på nationella prov och internationella undersökningar? (Löwing, 2006, s. 208). I processen av att behärska problemlösning är det även av betydelse att eleven får utgå från enkel aritmetik men där vi utformar en varierad svårighetsgrad av själva språket (Jordan och Hanich, 2000). Löwing (2006) berättar om att det är viktigt att pedagogen gör språket tolkbart och tydligt för eleven. Denna språkliga process ska utgöra en röd tråd genom hela elevens studietid. Om eleven ska ha en möjlighet att förstå de abstrakta matematiska situationerna krävs att det ges möjlighet att utgå från en konkret situation som känns meningsfull för eleven. Österholm (2006) berättar att om strukturen i texten är komplex krävs det mer av eleven för att han eller hon ska skapa en mental representation av denna komplexa struktur. Malmer (1990) lyfter även hon att problemlösningsuppgifternas texter ofta är komprimerade och innehåller främmande ord. Saknar eleven dessutom erfarenhetsunderlag för den givna räknesituationen uppstår det svårigheter. Malmer (2002) beskriver detta arbete som en inlärningsprocess i sex olika steg. Den utgår från att tala och tänka, göra och pröva, synliggöra för att sedan gå vidare mot att formulera sin förståelse samt att tillämpa den för att avslutningsvis via kommunikation reflektera över det vi lärt.. Att möta eleven där den befinner sig är inte alltid helt lätt, något som Löwing (2006) presenterar. I hennes studie av olika lärsituationer fann hon att det ofta sker en, som hon beskriver som hastighetsindividualisering. I dessa situationer kan läraren bara fokusera på en eller två elever i taget. Det är även svårt att komma ihåg vad man diskuterade med varje elev då det sker snabba byten mellan de elever man pratar med. I början av en lektion med hastighetsindividualisering är eleverna aktiva och har klart för sig vad de ska göra.. Det ser för det mesta ut som om det handlar om problemlösning, och det skall ju eleverna arbeta med. När man granskar deras arbete lite noggrannare kan man konstatera att det för eleverna sällan handlar om att lära sig nya metoder eller att lära sig nya typer av problem. Vad eleverna i själva verket lär sig är i allmänhet att följa ett speciellt, förutsägbart mönster i kombination med att de med hjälp av miniräknare och facit lär sig att leta sig fram till rätt svar på respektive uppgift. (Löwing, 2006, s. 206). 10.

(18) Det krävs en noggrann och genomtänkt planering där syftet är att göra en lektion som är enkel att administrera för läraren så att fokus kan läggas på vad som ska problematiseras och diskuteras under lektionen (ibid). Kilpatrick, Swafford och Findell (2001) utgår från att eleven ska lära matematik genom problemlösning. Grunden för problemlösningsuppgifter utgår från att problemlösningsuppgiften måste möta eleven där den befinner sig i sin kunskapsutveckling samt att uppgiften ska vara relevant för det eleven matematiskt sett ska lära. Det kräver även att eleven får bekräftelse och förklaringar av svar och metoder som används. Elever behöver inte bara tillämpa matematik utan lära ny matematik poängterar (Taflin, 2007). När eleven möter väl valda problemlösningsuppgifter och fokuserar på lösningsmetoder, resulterar det i ny förståelse av matematik som härleds utifrån uppgiften. När eleven aktivt söker relationer, matematiska mönster, provar vilken metod som fungerar och vilken metod som inte fungerar, motiverar sina svar eller utvärderar och utmanar andras tankar arbetar de på ett optimalt och engagerande sätt som inbjuder till reflektion kring de idéer som ingår. Vinster i att arbeta med problemlösning är att eleverna upplever en meningsfullhet med matematiken. Problemlösning bidrar till att eleven stärker sitt självförtroende i att de är kapabla att arbeta med matematik. Det material de producerar genom att diskutera och redovisa ger pedagogen värdefull information i hur han eller hon ska vidareutveckla sin undervisning för att hjälpa den enskilda eleven, utveckla en progression i undervisningen samt i kommunikationen med föräldrar. 2.2.5 Sammanfattning. Pedagogen har till uppgift att utveckla elevens matematiska tänkande. För att möjliggöra detta behöver pedagogen möta eleven på rätt nivå. Pedagogen har stor nytta av att kartlägga elevens förkunskaper för att se var i utvecklingsprocessen pedagogen kan möta eleven. För att möta och individualisera för elevens lärandeutveckling krävs att pedagogen är didaktiskt kunnig i sitt ämne samt vet vilka för- och nackdelar det finns med olika arbetssätt och arbetsformer (Kilborn och Löwing, 2002). Problemlösning är en betydelsefull förmåga som eleven ska lära sig att behärska och tillämpa i syfte av att ha en beredskap i att möta och hantera vardagens situationer (Malmer, 2002). Problemlösning är även en utav flera kompetenser vilka man inte ska särskilja utan se i symbios och beroende av varandra då det gäller att utveckla elevens matematiska kunnighet (Kilpatrick, Swafford och Findell, 2001). I denna undersökning utgår jag från textbaserad problemlösning. Forskningen visar på en mångfald av textbaserad problemlösning som pedagogen kan utgå från i sin undervisning. Pedagogen kan välja utefter en uppgifts karaktär som passar syftet för vad eleven ska utveckla. Men att välja en lämplig uppgift räcker inte. Eleven behöver få möjlighet att regelbundet träna strategi och metod för att kunna hantera problemlösningsuppgifter. Problemlösning kräver att eleven skapar sig en inre mental bild av uppgiftens betydelsefulla delar för att nå en helhetsförståelse av uppgiften (Kilpatrick, et al, 2001). Undervisning av problemlösning är komplex vilket gör att pedagogen i sin undervisning behöver strategi för hur han eller hon ska gå tillväga med sin undervisning (Lester, 1998). Den tidigare forskningen visar på områden som behöver stärkas och utvecklas då det gäller att tillämpa problemlösning. I pedagogernas arbete kring problemlösning är det intressant att se på vilket sätt de arbetar för att lyckas med att stärka elevernas förmåga att tillämpa problemlösning?. 11.

(19) 3. Teoretiskt perspektiv Problemlösning är ett område inom matematik som kan vara bekymmersamt för elever att hantera. Ett område som genomsyrar matematikämnets alla ämnesområden. Trots denna spännvidd är den gemensamma nämnaren att problemlösning hanteras utifrån strategier oavsett vilket ämnesområde man fokuserar på. Jag finner det mycket intressant att se vilken eller vilka aspekter som är kritiska då eleven ska lära sig tillämpa lärandeobjektet problemlösning. För att nå svaret på denna fråga låter jag variationsteorin vara den teori som jag använder mig av i detta arbete. Variationsteorin har sina rötter i fenomenografin. Marton och Booth (1997) berättar om att forskning som utgår från fenomenografin har som mål att på ett kvalitativt och varierat sätt beskriva på vilket sätt man i variation erfar ett visst fenomen. Vidare berättar de att fenomenografin har som grund att beskriva fenomen i världen så som andra betraktar dem. Syftet är att tydliggöra och beskriva variationer i synnerhet i ett pedagogiskt sammanhang. Variationsteorin som begrepp tar sin utgångspunkt i empiriska lärandestudier med fenomenografin som teoretiskt perspektiv (Runesson, 2005). Ett av de centrala begreppen inom variationsteori är lärandeobjekt. Variationsteorin lyfter fram de olikheter som visar sig i lärandet och beskriver vad som är nödvändigt för att nå ett lärande (Runesson, 2005). Variationsteori är en beskrivningsmodell för lärande och den utgår från ett icke dualistiskt synsätt vilket innebär att erfarenhet definieras i relationen mellan människan och omgivningen (Pang, 2003). Världen ses som en, men uppfattas och erfars på olika sätt. Lärande ses på så sätt som en förändring mellan individen och världen (Runesson, 1999). Från variationsteorins perspektiv beskrivs de nödvändiga förutsättningar som krävs för ett lärande på följande sätt att lärande definieras av förändringen av hur man ser, upplever eller förstår någonting. Det centrala är att den lärande på något sätt ska uppleva det som ska läras (Runesson, 2005). Undervisning som utgår från variationsteorin låter eleven urskilja och erfara de kritiska aspekterna i tillämpning av problemlösning. Syftet är att eleven ska få möta ett undervisningsinnehåll av variation kring det som upplevs som kritiskt för lärandeobjektet. På så sätt ska eleven nå ett lärande av själva lärandeobjektet. Vidare argumenterar Runesson för att mönster av variation har betydelse för lärandet och ska ses som fundamental när det gäller att utveckla en särskild kompetens. I detta avsnitt som berör det teoretiska perspektivet variationsteori tänker jag redogöra för variationsteorins grundtankar vad gäller lärande och lyfter då fram begreppen lärandeobjekt, urskiljning, kritiska aspekter. I avsnittet som följer lyfter sedan jag fram variationsteoretiska begrepp så som kontrastering, generalisering, del-helhet, separation (varians och invarians) och samtidighet/fusion.. 3.1 Lärandeobjektet Lärande har olika innebörd för olika individer. Dels kan lärande ses som att den lärande har som mål att memorera och söka fakta dels kan lärande ses som att den lärande söker en mening i det som lärs. Lärandeobjekt avser det avgränsade kunskapsområde man har valt att fokusera på i den kommande lärsituationen. Det kan vara ett område inom ett traditionellt skolämne men även en enskild förmåga (Holmqvist, 2006). Marton och Tsui (2004) berättar om att arbetsprocessen kring ett lärandeobjekt sker i olika steg. Pedagogen behöver ta reda på vad eleven har för erfarenheter av lärandeobjektet och finna de kritiska aspekterna som saknar kunskapsgrund. Efter det har pedagogen till uppgift att skapa förutsättningar så att eleven urskiljer delarna, de kritiska aspekterna, av lärandeobjektet men även att ge möjlighet för eleven att vidga erfarenheterna av lärandeobjektet. Processens olika steg sker inte utifrån en kronologisk ordning utan alla steg är beroende av varandra och genomförs i en symbios av varandra.. 12.

(20) Vad man lär sig och hur man lär sig är två aspekter som har betydelse för inlärningen av lärandeobjektet. Marton och Booth (1997) hänvisar till att vad-aspekten, det direkta lärandeobjektet, syftar på förståelsen av det ämne som texten behandlar så som Pythagoras sats, problemlösning eller ekvationer. Hur-aspekten, det indirekta lärandeobjektet, är en generell aspekt som refererar till förståelsen av handlingar till exempel att läsa, återge eller urskilja. Inom begreppet lärandeobjekt finns underliggande begrepp. Det intentionella lärandeobjektet, iscensatta lärandeobjektet och erfarna lärandeobjektet (Holmqvist, 2006). Det intentionella lärandeobjektet avser det fenomen som läraren har för avsikt att utveckla hos sina elever. Det intentionella lärandeobjektet ses utifrån pedagogernas perspektiv och skildras utifrån vad pedagogen planerar, gör och säger (Marton, Runesson och Tsui, 2004). Det iscensatta lärandeobjektet speglar det som sker med själva lärandeobjektet i klassrumssituationen. Pedagogen förverkligar sina intentioner och det som sker i klassrummet är det som forskaren betraktar och analyserar.. Genom att videoinspela lektionerna kan vi presentera hur vi har uppfattat vad eleverna erbjöds respektive inte erbjöds i termer av kritiska aspekter av lärandeobjektet, hur dessa presenterades (samtidigt eller en och en) samt vilken variation lärare och elever tillsammans konstruerade, och vad eleverna egentligen erbjudits att lära. (Holmqvist, 2006, s. 23). I ett klassrum finns olika individer som uppfattar lärandeobjektet utifrån sina perspektiv. För eleven uppstår då det erfarna lärandeobjektet. Enligt Holmqvist (2006) beskrivs det erfarna lärandeobjektet som det som eleven faktiskt utvecklade och erfor av lärandeobjektet under den givna lektionen. Marton och Booth (1997) menar att lära är detsamma som att få möjligheten att erfara något på ett annat sätt än tidigare. Det kan uttryckas som att eleven utifrån lärandeobjektet får möjlighet att urskilja och åtskilja de kritiska aspekter som han eller hon tidigare inte gjort. Runesson (1999) beskriver att objektet måste urskiljas från den omgivande kontexten. Delarna måste i processen urskiljas men även relateras till varandra och till helheten. I pedagogens arbete finns en viktig uppgift i att kontrollera att eleven har samma föreställning av lärandeobjektets kritiska aspekter som pedagogen. Grunden förutsätts vara gemensam av pedagogen och eleverna för att uppgiften pedagogen vill att eleven fokuserar på ska bli meningsfull.. 3.2 Begrepp kring variation Inom variationsteorin finns begrepp som i kommande stycke kommer lyftas fram. Begreppen är: kontrastering, generalisering, del-helhet, separation (varians och invarians), samtidighet/fusion. Lärarens roll är att möjliggöra för den lärande att upptäcka nya aspekter av lärandeobjektet. För att eleven ska nå en förståelse måste läraren göra det möjligt för eleven att urskilja de kritiska aspekter som har betydelse för lärandet (Marton och Tsui, 2004). I undervisningen behöver eleven få möjlighet att urskilja de olika delarna, de kritiska aspekterna, samt skifta perspektiv på dessa. Eleven behöver få möjlighet att upptäcka delarna var för sig. Men eleven behöver även upptäcka de kritiska aspekterna i en relation av varandra. Samtidigheten har betydelse för att se helheten och nå en förståelse. Marton, Runesson och Tsui (2004) berättar att eleven behöver möta olika typer av variation för att skifta perspektiv på lärandeobjektet. Som elev kan man bara urskilja det som varieras, pedagogen måste leta efter ett variationsmönster som är nödvändig för att utveckla den efterfrågade förmågan. Vidare berättar de att inom problemlösning i matematik finns olika aspekter av variation. Det kan 13.

(21) vara olika strategier eller olika tal. En specifik lösningsstrategi visar på ett värde av variationsaspekten medan en annan lösningsstrategi visar på ett annat värde av variationsaspekten. För att nå en förståelse för någonting behöver vi möta en variation som visar på en kontrastering. Med det menas att pedagogen påvisar på vad lärandeobjektet inte är i jämförelse med vad det är. För att förstå betydelsen av ordet ”mindre” behöver eleven förstå vad ordet inte betyder, till exempel ”färre”. Eleven behöver dessutom möta en variation så att han eller hon kan överföra sin förståelse på en mer övergripande nivå. Eleven behöver möta objektet i flera situationer som det naturligt finns med i. För att förstå vad ordet ”mindre” betyder behöver eleven få möjlighet att möta ordet i flera olika situationer då det används. På så sätt lär sig den lärande att generalisera. Tidigare berörde jag begreppet urskiljning. Pedagogen ska göra det möjligt för eleven att urskilja del och helhet. Men för att delarna ska få en mening behöver man möta delarna var för sig men även samtidigt. Detta kan byggas upp genom att visa delarna i ett rangordnade system, hierarkiskt, eller i en följd av sammanhängande företeelser, sekvens. I ett exempel skrivet av Marton, Runesson och Booth (2004) ges en beskrivning av del och helhet.. I didn´t have much money this morning when I went to school. Bob gave back 4 kronor that he had borrowed from me last week, and with that I could buy a green chocolate bar for 7 kronor. How much money did I have this morning when I came to schoool. (Marton, Runesson och Booth, 2004, s. 6). En del av eleverna kunde lösa uppgiften på en gång medan andra elever fick kämpa för att nå en lösning. De elever som hade svårigheter med uppgiften såg den som en aritmetisk additionsuppgift; barnet hade några kronor till att börja med och fick sedan ytterligare 4 kronor, vilket sammanlagt blev 7 kronor. Det som skapade problem var frågan: Hur kan du addera om du inte vet vad du ska addera? De elever som lyckades lösa uppgiften utgick från vad de fick, det vill säga 4 kronor. Därefter räknade de tre enheter, 5, 6, 7, och föreställde sig dessa tre enheter. De elever som lättare kom fram till en lösning såg inte problemuppgiften som en addition eller subtraktion utan som en del-helhets uppgift, där helheten och en utav delarna var given. De berättar vidare om att skillnaden i hur eleverna som med lätthet arbetade med uppgiften jämfört med dem som inte gjorde det relaterade inte så mycket till hur de gjorde. Istället hade det stor betydelse i hur de förstod och uppfattade uppgiften (ibid). I lärandesituationen kan eleven få möta en variation på så sätt att en aspekt hålls konstant medan den andra aspekten varieras i förhållande till den konstanta. Denna separation berör begreppen varians och invarians. Som exempel kan man ge ordet ”rymma”. I arbetet kan pedagogen vid genomgången/övningen hålla fast vid själva ordet ”rymma”, invarians, men visa att det har olika varianter av betydelse till exempel ”innehålla” eller ”fly”, varians. Om det finns flera kritiska aspekter att ta hänsyn till behöver eleverna erfara en fusion, en samtidighet av alla aspekter. Det är när de kritiska aspekterna sätts samman som eleverna når en erfaren förståelse (Marton och Tsui, 2004). Författarna Marton, Runesson och Tsui (2004) hävdar även att ett effektivt resultat uppnås om pedagogen först får separera de kritiska aspekterna för att sedan sammanföra dem i en fusion.. 3.3 Sammanfattning Variationsteorin innehåller flera begrepp. Jag har här lyft fram lärandeobjektet som ett begrepp som syftar på det avgränsade kunskapsområde man har valt att fokusera på i den kommande lärsituationen. Det kan vara ett område inom ett traditionellt skolämne men även en enskild förmåga (Holmqvist, 2006). För att eleven ska nå ett lärande behöver han eller hon få möjlighet att urskilja de kritiska aspekterna av lärandeobjektet. För att nå ett lärande av de kritiska aspekterna behöver de 14.

(22) ses utifrån en variation. Pedagogen behöver finna ett variationsmönster som är nödvändig för att utveckla den efterfrågade förmågan (Marton, Runesson och Tsui, 2004). Lärandeobjektet består av de underliggande begreppen intentionella lärandeobjektet, iscensatta lärandeobjektet och erfarna lärandeobjektet. Begreppen visar på olika perspektiv av lärandeobjektet. Det är pedagogens, forskarens och elevens perspektiv som lyfts fram och redovisas via dessa begrepp. Till sin hjälp att lyfta fram variationsteorin krävs en metod som passar dess syfte. I denna undersökning har valet blivit learning study eftersom teori och metod på ett naturligt sätt är anpassade till varandra.. 15.

(23) 4. Metod Design experiment, lesson study och learning study är tre forskningsmetoder som fortfarande är under utveckling. I learning study finns drag från design experiment och lesson study. Det är intressant att se dessa metoders släktskap men även vad som skiljer dem åt och ger deras olika karaktärer. I detta avsnitt berättas om dessa tre olika forskningsmetoder. Först sker en sammanfattning av design experiments och lesson studies olika karaktärer för att därefter mer ingående berätta om learning study som metod. Vidare i detta avsnitt berättar jag om undersökningens planering och genomförande.. 4.1 Design experiment och lesson study Ann Brown och Allan Collins introducerade i 1990-talets början metoden design experiment. Då forskaren arbetar med design experiment är utgångspunkten att arbeta från tidigare forskning som berör undervisning. Forskaren prövar en teoretisk version och ser hur den fungerar i verkligheten. För att nå kvalité arbetar designforskaren och pedagogerna tillsammans fram möjligheter för designen i praktiken. I denna typ av forskningsarbete uppkommer flera variabler som forskaren observerar. Variabler som forskaren exempelvis tar hänsyn till och mäter är sociala-, lärande- och systemvariabler. Dessutom tar forskaren hänsyn till variabler som berör miljö, de lärandes natur, resurser, fortbildning och variabler som styr vid genomförandet av undervisningen (Gustavsson och Wernberg, 2006). Lesson study är en metod som har sitt ursprung i Japan. Dess grundtanke är att utveckla undervisningen och det direkt i klassrumspraktiken. Pedagoger arbetar fram så kallade forskningslektioner. Lesson study har cyklisk arbetsform och utgår från att pedagoger i ett lärarlag arbetar kring ett efterfrågat arbetsområde. En lesson study består av åtta steg och inleds med att pedagogerna definierar ett problem man önskar forska om och utifrån det sker en lektionsplanering. Målet är att kunna utveckla elevens förståelse kring det valda arbetsområdet och detta har pedagogerna som fokus då de planerar. Under denna noggranna planering finns tillgång till lämplig litteratur och dokumentation. Efter den genomförda forskningslektionen sker en utvärdering och reflektion av den givna lektionen. Utifrån detta underlag sker en revidering av lektionen och slutligen genomförs den reviderade lektionen, men nu i en ny klass. Vid den reviderade lektionen bjuds personal från kollegiet in. Vid den slutliga revideringen deltar all personal som var med vid den reviderade lektionen. Avslutningsvis sker en dokumentation och därefter delar pedagogerna med sig av sin erfarenhet till andra skolor (ibid).. 4.2 Learning Study Gustavsson och Wernberg (2006) berättar om att learning study som modell är en kombination av lesson study och design experiment. Den fyller två syften då det är en forskningsmetod men även en modell för lärarfortbildning. I en learning study arbetar forskare och pedagoger gemensamt. De fokuserar på att presentera kritiska aspekter för eleverna på olika sätt som krävs för att förstå ett lärandeobjekt. Vidare berättar de om att cykeln vanligtvis är uppbyggd på de steg som följer nedan: 1. Inledningsvis gör pedagogerna ett val av ett avgränsat lärandeobjekt. Ett lärandeobjekt som väljs utifrån pedagogernas tidigare erfarenheter. 2. Pedagoger analyserar och diskuterar fram kritiska aspekter kring lärandeobjektet. Till sin hjälp har man uppgifter som visar elevernas kunnande inom lärandeobjektet. Detta underlag får pedagogen fram utifrån test eller intervjuer. Ytterligare hjälp i detta moment är att pedagogerna tar del av didaktisk litteratur samt delger varandra sina tidigare erfarenheter kring lärandeobjektet. 3. Pedagogerna planerar därefter gemensamt en lektion och under själva planeringen har de som fokus att utgå från en lärandeteori. 16.

(24) 4. Forskningslektionen genomförs i elevgrupp A och dokumenteras med en videoinspelning av lektionen. Det blir en flexibilitet i hur lektionen genomförs då elevens respons på innehållet ges stort utrymme. Däremot behåller pedagogen sitt fokus på lärandeobjektet. 5. Forskningslektionen analyseras. Underlag till denna analys är de för- och eftertest som genomförts i anslutning till själva lektionen samt den videoinspelade lektionen. 6. Därefter planeras lektion B utifrån det underlag pedagogerna fått från deras tidigare analys. 7. Den planerade forskningslektionen genomförs nu i elevgrupp B. Även denna elevgrupp får utföra de för- och eftertest som är tänkta i detta arbete. 8. På samma sätt som tidigare sker en analys av elevgrupp B:s lektion och utifrån detta planeras ytterligare en lektion, lektion C. 9. Forskningslektion C genomförs enligt samma rutiner som tidigare. 10. Nu sker en analys av forskningslektion C, men här sker även en analys av alla tre lektionernas resultat vars syfte är att finna vad det är som har avgörande betydelse för elevernas lärande av lärandeobjektet. 11. Ett fördröjt eftertest ges i vissa sammanhang för att se om eleven nått ett generativt lärande. Ett generativt lärande innebär att eleven utvecklar en förståelse av lärandeobjektet på så sätt att han eller hon erhåller en förmåga i att se kvalitativa skillnader av lärandeobjektet, vilket i sin tur leder till att eleven fortsätter att utveckla sin förståelse genom att se lärandeobjektet på ett nytt sätt i nya lärtillfällen och situationer. Avslutningsvis sker en skriftlig dokumentation av den genomförda learning study-cykeln. I en learning study kan de kritiska aspekterna variera men själva lärandeobjeketet består. Learning study är flexibel i sin form på så sätt att man utgår från två till fyra lektioner. Syftet är att det utgår från en upprepad process med variation (ibid, 2006).. 4.3 Planering och genomförande I detta avsnitt lyfter jag fram de urval som har haft betydelse för denna undersökning samt hur vi hanterade situationen då elevunderlaget krympte till antal. Jag berättar om undersökningens upplägg och design som följs av hur planerings- och analysmötena var till struktur och innehåll. Därefter berättas om utformningen av elevernas test och betydelsen av de videoinspelade lektionerna. Avslutningsvis sammanfattas vad man kan ta del av i resultatavsnittet. Jag visar att resultatet utgår från lärandebjektets olika faser samt vilket data material som ligger till grund då jag har bearbetat, analyserat och presenterat resultatavsnittet. 4.3.1 Urval av deltagare. Då jag gjorde urval av pedagoger gjorde jag det utifrån den frågeställning jag arbetar med. Problemlösning i matematik berör ämnet matematik och svenska. Valet blev att jag kontaktade en pedagog i matematik och en pedagog i svenska. Pedagogerna arbetar på en högstadieskola i en mellanstor stad. Valet föll på en skola där jag i min egen yrkesprofession inte har någon anknytning till vare sig pedagoger eller elever. Vid vår första träff presenterade sig ytterligare en pedagog i matematik som visade sig ha stort intresse inför detta arbete. Slutligen ingick det tre pedagoger i denna undersökning. De pedagoger jag samarbetat med undervisar i klass 8 och 9. I samråd med dem gjorde vi valet att göra denna undersökning i klass 8 då deras ramverk var något mer flexibelt än klass 9. Totalt medverkade 15 elever som fördelades i två grupper. Vi kallar dem här grupp A och grupp B. 4.3.2 Bortfall. Både i cykel 1 och 2 har det blivit bortfall av elever på grund av sjukdom. Detta resulterade i att vid uppstarten av en cykel deltog fler elever än vid det slutliga eftertestet. Det primära för oss blev att se till att de elever som deltog vid eftertestet hade tagit del av alla delar av learning study-cykeln. 17.

No results found