Föreläsning 7 FK2002

Föreläsning 7

FK2002

Föreläsning 7

• Binomialfördelning

• Poissonfördelning

• Att testa en hypotes

Binomialfördelningen

Betrakta ett experiment som består av försök varav är

. Mätningar har diskreta värden (lyckade, inte lyckade).

T.ex. att kasta en tärning, att flippa ett mynt.

Det finns en viss sanno

n lyckade försök

ν

likhet att ett vi får ett

1 1

t.ex. vi kasta en "tre" ( ), vi får klave inte krona ( )

6 2

=sannolikheten att vi inte får ett lycket försök =1- Vad är sannolikheten att få

p lyckat försök

p p

q p

lyckade försö ν

= =

,

( )

i försök ? ( , ) !

!( )!

binomial

n n p

k n

P n B n p q

n B

ν ν

ν ν

ν ν

= = −

−

≡

Fråga

Man drar ett kort från en kortlek och tittar på det. Sedan lägger man tillbaka kortet. Man gör detta fyra gånger.

Vad är sannolikheten att dra minst tre hjärter ?

3 1

4 0

! 1 3

; 4, ,

!( )! 4 4

4! 1 3

sannolikheten att få 3 hjärter: 3 0.05 5%

3!1! 4 4

4! 1 3

sannolikheten att få 4 hjärter: 4 0.004 0.4%

4!0! 4 4 sannoli

n n

P p q n p q

n

P

P

ν ν

ν ν

ν

ν

= − = = =

−

   

= =     = =

   

   

= =     = =

    kheten att få minst 3 hjärter=5+0.4=5.4%

Egenskaper av en binomialfördelning

( )

( ) ( )

( )²

2

,

, ,

2

(1) Betrakta en binomialfördelning för ett visst värde av . Om är stor (>~20) blir

binomialfördelningen normalfördelningen

normalfunktion= e

=medelvärdet, stand

n p

n p X

X

B

p n

B G

G A

X

σ

ν σ

ν

ν ν

σ

 − 

 

− 

 

=

=

∼

∼

ardavvikelsen, =konstant (2) Standardavvikelsen av antalet lyckade försök:

(1 )

A

np p

σ

= −

En jämförelse mellan en binomial- och normalfördelning

Binomialfördelningen Normalfördelningen

När n blir stor blir

Normalfördelning ~ binomialfördelning

Att testa en hypotes

En vaxtillverkare vill testa en ny typ av vax som

används mellan en skid och marken. Hur kan han/hon bestämma om vaxet fungerar.

En allmänn princip för att utföra ett statistiskt test:

(1) Uppskatta sannolikheten att resultatet av testet är konsekvent med den s.k. nollhypotesen dvs att vaxet inte fungerar.

(2) Om sannolikheten är mindre än en sannolikhetsgräns (t.ex.

5%) säger vi att det finns starka bevis för att vaxet fungerar.

Att testa vaxet

10,1 2

Betrakta ett test som består av 10 skidlopp.

Nollhypotesen innebär att sannolikheten att en behandlad skid skulle vinna: 1 .

2

Sannolikheten att de behandlade skidorna skulle vinna skidlopp (

p

P B

ν ν

=

=

10

10 10,1

2

10! 1

) !(10 )! 2

Sannolikheten att de behandlade skidorna skulle vinna 10 skidlopp

10! 1

(10) 0.1%.

10!(10 10)! 2 P B

ν ν

=   

−  

= =    =

−  

1 1 1

10, 10, 10,

2 2 2

10 10 10

Sannolikheten att de behandlade skidorna skulle vinna minst 8 skidlopp

(8) (9) (10)

10! 1 10! 1 10! 1

5.5%

8!(10 8)! 2 9!(10 9)! 2 10!(10 10)! 2

Tillverkaren kan kv

P = B + B + B

     

=   +   +   =

−   −   −  

antifiera hur framgångsrikt sitt vax är !

Ett annat exempel

Två kandidater deltar i ett val. Kandidat-1 påstår att sin opinionsundersökning visar att 60% av väljare ska rösta på honom. Kandidat-2 vill kolla detta påstående.

Hon gör sin egen opinionsundersökning.

Hon frågor 600 väljare som slumpmässigt valdes ut. Om 330 väljare säger att de ska rösta på kandidat-1 är detta konskevent med hans påstående ?

,

( )

Sannolikheten att väljare ska rösta på kandidat 1

Detta exempel handlar om en binomialfördelning med en stor (600)

normalfördelning binomialfördelning.

Medelvärdet av 600 0.6 360 Stan

P Bn p

n

X

ν ν

=

⇒

= × =

∼

dardavvikelsen = (1 ) 600 0.6(1 0.6) 12 360 330 30 2.5

np p

σ

σ

− = × − =

− = =

Använd tabellen:

Vi behöver arean under fördelningen

för 2.5 .

Andelen av arean=1- 0.99 0.01 Sannolikheten 1%

Det är väldigt osannolikt att kandidat-1 har rätt.

ν < X − σ

⇒

∼

∼

Poissonfördelning

( )

Sannolikheten att ett antal oberoende händelser t.ex. radioaktiva

sönderfall äger rum inom ett visst tidsintervall eller inom en viss volym.

Poissonfördelningen:

!

medelvärdet av antalet

P e

ν µ µ

ν µ

ν µ

= −

= händelser ; antalet händelser.

Standardavvikelser = .

Obs! En Binomialfördelning Poissonfördelning när sannolikheten av en händelse är liten och antalet prov är stort. T.ex. ett radioaktivt pr

p

ν µ

=

→

20

20

ov består av 10 kärnor och sannolikheten att en av dem ska sönderfalla inom ett visst intervall är ∼10⁻ .

Radioaktivt sönderfall

Ett radioaktivt prov emitterar alfapartiklar : 2 alfapartiklar per minut.

(a) Om antalet alfapartiklar som emitteras inom två minuter räknas vad är det förväntade resultatet för medelvärdet ?

(b) Vad är sannolikheten att ett experiment skulle finna att antalet alfapartiklar =medelvärdet ?

(c) Vad är sannolikheten för att observera alfapartiklar om 0,1, 2,3, 4 och för 5 ?

ν

ν ⁼ ν ^≥

( )

4 4

(a) Det förväntade resultatet : medelvärdet = 2 x 2 =4 Sannolikheten att få partiklar:

Prob( partiklar)= 4

! P e

ν

µ ν

ν ν

ν

−

=

( )

4 4

4 4

4 0 4 1

4 2 4 3

(b) Sannolikheten att få partiklar:

Prob( partiklar)= 4

! Prob(4 partiklar)= 4 0.20

4!

4 4

(c) Prob(0)= 0.02 ; Prob(1)= 0.07 ;

0! 1!

4 4

Prob(2)= 0.15 ; Prob(3)= 0.20

2! 3!

Prob(

P e

e

e e

e e

ν

ν

ν ν

ν

ν

−

−

− −

− −

=

=

= =

= =

≥

4 5 4 6 4 7

4 4 4

5)= ... 0.37

5! 6! 7!

e

e

e

+ + + =

Poissonfördelningar

Varje kärna har en viss sannolikhet att sönderfalla inom ett tvåminutesintervall

Poissonfördelningar är diskreta och osymmetriska

(för µ<∼5)

Ett exempel till

18 hönor bor i ett hönshus. Varje höna i hönshuset lägger ett ägg om dagen i

genomsnitt.

(a) Om jag kollar hönorna varje timme och tar

bort ägg som jag hittar vad är medelvärdet av antalet ägg som jag hittar när jag besöker

hönshuset ?

(b) Vad är sannolikheten att jag skulle hitta

0,1,2,3 eller fler än 3 ägg.

( ) ( )

0.75 0

0.75

0.75 1

0.75

0.75

(a) Medelvärdet av antalet ägg jag skulle förvänta mig att hitta varje timme:

= 1 18 0.75 24

(b) Prob(0 ägg)= 0 0.75 0.47 0!

Prob(1 ägg)= 1 0.75 =0.35 1!

Prob(2 ägg)=

P e

P e

P

µ

−

−

× =

= =

=

( ) ( )

0.75 2

0.75 3

0.75

0.75 4 0.75 5

2 0.75 =0.13

2!

Prob(3 ägg)= 3 0.75 =0.03 3!

0.75 0.75

Prob( 4 ägg)= + +...=0.007

4! 5!

e

P e

e e

−

−

− −

=

=

≥

Standardavvikelse

( )

1

Standardavvikelsen av en Poissonfördelning med medelvärdet

1 =

1

Man tolkar som ett fel i en individuell mätning.

T.ex. om man mäter radioaktivt sönderfall inom ett visst tidsinterva

N

i

N i

N

µ

σ ν µ µ

σ

=

= −

− ∑

ll är mätningen: .

Det är lättare att göra en kvantitativ tolkning av hur kan betraktas som ett fel i en mätning när blir stor (nästa sidan).

N N

N

µ

±

Poisson- och normalfördelningar

( )

( )

När blir stor (> ~5)

Poissonfördelning = Normalfördelning där och =

Detta betyder att vi kan använda normalfördelningen för att tolka osäkerheter. T.ex. en 68% sannolikhet att en m

P_µ GX _σ X

µ

ν ν µ σ µ

⇒

⇒ = =

ätning ligger mellan -

µ σ

µ

µ σ

ν

9

( )

P ν

Poisson: =9

X σ

µ

=

Ett exempel

Student A påstår att han har gjort en mätning av medelvärdet av kosmisk strålning dvs partiklar som träffar en detektor inom ett visst tidsintervall. Han har hittat i genomsnitt 9 partiklar per minut med en försummbart osäkerhet.

(a) Student B räknar antalet partiklar inom en minut. Hon mäter 12 partiklar. Är hennes

mätningar konsekvent med student As resultat ? (b) Student C räknar 115 partiklar inom 10 minuter.

Är student Cs mätningar konsekvent med

student As resultat ?

(a) Mätningen av medelvärdet (av student ) ger 9 partiklar per minut. Vi antar att osäkerheten är försummbar.

Om student As resultat är korrekt:

Felet i en individuell mätningen = 9 3 Student

A

⇒

=

⇒ Bs mätning :

12 3 partiklar inom en minut.

Konsekvent med student . A

±

⇒

Det ”korrekta” värdet av student A

Student Bs värde 9

( )

P ν

ν

(c) Student A medelvärde över ett intervall av 10 minuter:

=10 9 90

Felet i en individuell mätning över 10 minuter = 90 10.

Student C mäter 115 10.

Det är en stor skillnad (2.

s

µ

σ

× =

≈

±

5 ).

Sannolikheten att göra en mätning större än +2.5 1 0.99 0.01

Det är väldigt osannolikt att mätningarna är konsekventa.

σ

µ σ −

⇒

∼ ∼

Radioaktiva sönderfall med bakgrund

En student undersöker ett radioaktivt prov. Han mäter

2540 sönderfall inom 10 minuter. Han tar bort provet och mäter 95 sönderfall inom 3 minuter.

Vad är antalet sönderfall per minut från provet ?

Sig

( )

nal + bakgrund inom 10 minuter =2540 2540 2540 2540

Signal + bakgrund per minut = 254 5

10 Bakgrund inom 3 minuter =95 95

95 95

Bakgrund per minut = 32 3 3

Antalet sönderfall per minut = 254 5 3

±

⇒ ± = ±

±

⇒ ± = ±

⇒ ± −

(

)

Normal-, Binomial- och Poissonfördelningar

Fördelningen Funktion Standardevvikel

se (eller ”felet i en individuell

mätning”)

När uppstår denna fördelning ?

Normal En viss mätning ν kan ha kontinuerliga

värden och det finns att antal olika mätfel som förklarar varför mätningen inte har medelvärdet.

Binomial Två möjliga diskreta värden (t.ex.

krona,klave) . Vi vill beräkna

sannolikheten att få t.ex. ν kronor efter n prov om sannolikheten att få ett

lyckat försök är p.

Poisson Två möjliga diskreta värden (t.ex. en

kärna sönderfäller eller sönderfäller inte) eller . Vi vill beräkna

sannolikheten att få t.ex. ν

sönderfallna kärnor om medelvärdet är µ.

En Binomial -> Poissonfördelning när p är lite n och n är stor.

( )²

2 2

= e

X

G A

ν σ

 − 

 

− 

 

, ( )

!

!( )!

n n p

B n p q

n

ν ν

ν ν ν

= −

−

σ

(1 ) np − p

( ) !

P e

ν µ µ

ν µ

ν

= − µ

Binomalfördelning

Poissonfördelning

Normalfördelning

ν

( )

P

ν

( )

,

B

ν

blir stor

µ

blir stor blir liten.

n p

n=3

9

( ) P ν

ν

En gammal tentafråga

2006

En gammal tentafråga

2005

0 1 2 3 4 5 6 7

Tentan

• Om ett ämne är i boken men dök inte upp på

föreläsningarna kommer det inte att dyka upp på tentan.

• På webben:

– Gamla tentafrågor

• Räkneövning: 2011/12/6

– en fullständig gammal tenta.

– Kan anordna en extra räkneövning om detta behövs.

• Lycka till!

Sammanfattning

• Binomialfördelningen är en speciell funktion som tillämpas för diskreta ”yes/no” mätningar

• Poissonfördelningen är en gränsfunktion av binomialfördelningen

• Både fördelningar blir normalfördelningar under vissa förhållanden.

• Med tanken på den lämpligaste fördelningen

kan man göra hypotestester.