Sb´ırka matematick´ych rozcviˇcek a dalˇs´ıch aktivit pro v´yuku funkc´ı

(1)

Sb´ırka matematick´ ych rozcviˇcek a dalˇs´ıch aktivit pro v´ yuku funkc´ı

Martina Chlumsk´ a

(2)

Uvod ´

Drˇz´ıte v ruce sb´ırku úloh, matematických rozcviˇcek a her pro výuku funkc´ı. Sb´ırka je primárnˇe urˇcená pro výuku funkc´ı na gymnáziu, to ale ne- znamená, ˇze nem˚uˇze být pouˇzita i na jiných stˇredn´ıch ˇskolách, nebo dokonce na ˇskolách základn´ıch - i proto nejsou aktivity nijak tˇr´ıdˇeny, protoˇze to, co m˚uˇze být na jedné ˇskole pouˇzito jako rozcviˇcka, m˚uˇze být na jiné ˇskole nápln´ı celé vyuˇcovac´ı hodiny, proto by tˇr´ıdˇen´ı mohlo být zavádˇej´ıc´ı a neúˇcelné.

Pro snadnˇejˇs´ı orientaci jsou u kaˇzdé aktivity vypsány druhy funkc´ı, které se v aktivitˇe objevuj´ı, a d˚uleˇzité pojmy, které je potˇreba ovládat, aby bylo moˇzné hru ˇci úlohu úspˇeˇsnˇe zvládnout. Kaˇzdá hra ˇci aktivita je také opatˇrena krátkým návodem a nˇekolika tipy, jak ji dále vyuˇz´ıt. Uvedený návod, ale nen´ı závazný, uˇcitel m˚uˇze s hrami dále pracovat, tak aby co nejlépe vyhovovaly jeho potˇrebám a potˇrebám jeho ˇzák˚u - m˚uˇze hry libovolnˇe krátit ˇci pro- dluˇzovat, mˇenit uspoˇrádán´ı ˇzák˚u ve tˇr´ıdˇe, rozdˇelovat menˇs´ı a ménˇe nároˇcnˇejˇs´ı d´ılˇc´ı úkoly mezi ˇzáky, do her se aktivnˇe zapojovat, ˇci vyuˇz´ıvat k jejich ˇreˇsen´ı modern´ı technologie (interaktivn´ı tabuli, poˇc´ıtaˇcové programy, apod.)

Materiály, hrac´ı karty, ˇci hern´ı plány je vhodné nakop´ırovat na tvrdˇs´ı pap´ır a nejlépe zalaminovat, tato pˇr´ıprava je samozˇrejmˇe pro uˇcitele nároˇcná, ale hry ˇci aktivity je pak moˇzné pouˇz´ıt opakovanˇe a nen´ı tˇreba pˇred kaˇzdou hodinou materiály chystat znovu - uˇcitel t´ım uˇsetˇr´ı jak mnoˇzstv´ı potˇrebného materiálu, tak ˇcas potˇrebný na pˇr´ıpravu.

Doufám, ˇze se mi touto sb´ırkou podaˇrilo ukázat, ˇze hry a aktivizaˇcn´ı metody maj´ı v matematice své pevné m´ısto - mohou zpestˇrit a zatraktivnit výuku matematiky, ale také pomoci ˇzák˚um ujasnit, upevnit a prohloubit znalosti a dovednosti.

(3)

Popiˇ s funkci - tabu

¹

C´ıl: Procviˇcován´ı komunikaˇcn´ıch dovednost´ı a uˇz´ıván´ı správné matematické terminologie. Práce s grafem funkce a vlastnostmi funkce.

Poˇcet hr´aˇc˚u: 2 a v´ıc

Pom˚ucky: kartiˇcky, tuˇzka, ˇctvereˇckovan´y pap´ır

Jak na to: Karty jsou na hromádce rubem vzh˚uru. Vyber si jednu kartu a nikomu ji neukazuj. Popiˇs graf funkce svému spoluhráˇci. Pˇri popisu nesm´ıˇs pouˇz´ıt slova uvedená na kartˇe, ani nesm´ıˇs prozradit rovnici dané funkce. Tv˚uj spoluhráˇc dle tvého popisu zakresluje funkci na pap´ır.

Pot´e porovn´ate oba grafy a vymˇen´ıte si role.

Pouˇzité druhy funkc´ı: lineárn´ı funkce, kvadratické funkce, funkce s absolutn´ı hodnotou, funkce lineárn´ı lomené, goniometrické funkce, moc- ninné funkce, logaritmické funkce

D˚uleˇzit´e pojmy: graf funkce, vlastnosti funkc´ı - komplexn´ı aktivita Tipy pro uˇcitele:

• Hru lze hrát ve dvojic´ıch, ve skupinách i s celou tˇr´ıdou (jeden ˇzák popisuje, ostatn´ı zakresluj´ı).

• Na zaˇcátku je moˇzné se dohodnout, ˇze hráˇc, který zakresluje, m˚uˇze klást otázky.

• Je moˇzné urˇcit ˇcasový limit (napˇr.: 1 minuta), který maj´ı hráˇci k dis- pozici. Po uplynut´ı tohoto limitu mus´ı pˇrestat pracovat a porovnávaj´ı zadaný a nakreslený graf funkce.

• Dle úrovnˇe ˇzáku je moˇzné pˇridávat poˇcet zakázanných slov.

1Pˇrevzato dle Heiko Etzold, Ines Petzschler a upraveno.

2

(4)

 vrchol

 symetrický

 perioda

 cosinus

 parabola

 maximum

 asymptota

 posunutý

 přímka

 protíná

 lichá funkce

 rostoucí funkce

(5)

 nepřímá úměrnost

 kladný

 sudá funkce

 otočený

 inverzní

 prostá funkce

 konstantní

 rovnoběžný

 přímka

 protíná

 omezená funkce

 definiční obor

(6)

Deskov´ a hra

²

C´ıl: Opakov´an´ı funkc´ı a jejich vlastnost´ı.

Poˇcet hr´aˇc˚u: 1 - 2

Pom˚ucky: hern´ı pl´an, figurka, tuˇzka

Jak na to: Postav figurku na pol´ıˇcko ˇc´ıslo 1. Pˇreˇcti si otázku a vyber správnou odpovˇed’, poté pokraˇcuj v cestˇe podle pokynu, který je uveden pod vybranou odpovˇed´ı. Pokud budeˇs postupovat správnˇe, vstoup´ıˇs cestou na vˇsechna pol´ıˇcka na hern´ım plánu. Pro snadnˇejˇs´ı orientaci a kontrolu si zapisuj ˇc´ısla pol´ıˇcek, která cestou navˇst´ıv´ıˇs.

Pouˇzité druhy funkc´ı: lineárn´ı funkce, kvadratické funkce, funkce s absolutn´ı hodnotou, lineárn´ı lomené funkce

D˚uleˇzit´e pojmy: funkce a jejich vlastnosti - komplexn´ı aktivita Tipy pro uˇcitele:

• Lze pracovat spoleˇcnˇe s vyuˇzit´ım interaktivn´ı tabule.

• ˇZáci mohou pracovat ve dvojic´ıch ˇci trojic´ıch - práce je potom efek- tivnˇejˇs´ı, protoˇze spolu mohou komunikovat, diskutovat a obhajovat si vlastn´ı nápady a názory. Pˇr´ıpadné nejasnosti si mezi sebou vysvˇetl´ı svým jazykem.

• ˇZáci si mohou do hern´ıho plánu psát, dˇelat poznámky nebo pol´ıˇcka vybarvovat, aby v pˇr´ıpadˇe, ˇze na dané pol´ıˇcko vstoup´ı znovu, na prvn´ı pohled vidˇeli, ˇze udˇelali chybu. S chybou je pak moˇzné dále pracovat - naj´ıt, kde a proˇc udˇelali chybu.

• Kontrolu pak ˇzáci mohou provést ve skupinách a sami si ujasnit, kde chybovali.

(7)

1

9

5

13

7

12

11

14

2

3

6

4

8

10

Je funkce

𝒚 = −𝟐|𝟒𝒙 − 𝟖| + 𝟑 prostá?

ANO

→jdi na políčko 11

NE

Grafem lineární lomené funkce je HYPERBOLA

PŘÍMKA

𝒚 = 𝟏 − |𝒙 + 𝟐|

Funkce

je v intervalu (−∞; −𝟐⟩

ROSTOUCÍ

KLESAJÍCÍ

𝒚 = −(𝒙 + 𝟑)^𝟐− 𝟏 Funkce

má maximum v bodě -3

3

Průsečík funkce 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟒 s osou x je [𝟐, 𝟎]

[𝟎, 𝟒]

Funkce

𝒚 = −𝟑𝒙^𝟐+ 𝟒𝒙 − 𝟏 je

KONVEXNÍ

→JSI V CÍLI

KONKÁVNÍ

Funkci 𝒚 = 𝒂𝒙 můžeme označit také jako

PŘÍMÁ ÚMĚRNOST

NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST

𝒚 = 𝒙^𝟐− 𝟒𝒙 + 𝟒 Funkce

má své minimum v bodě [−𝟐, 𝟎]

→JSI V CÍLI

[𝟐, 𝟎]

𝒚 = −𝟏, 𝒙 ∈ 𝐙 Funkce

JE PERIODICKÁ

NENÍ PERIODICKÁ

Definičním oborem funkce 𝒚 = ^{𝟑𝒙+𝟐}

𝟑𝒙^𝟐+𝟓𝒙+𝟐 je

𝑹 − {−𝟏; −^𝟐_𝟑}

𝑹 − {𝟐 𝟑^{; 𝟏}}

Funkce 𝒚 = 𝟓 je NEOMEZENÁ

OMEZENÁ

𝒚 = −|𝒙| + 𝟒 Funkce

je

SHORA OMEZENÁ

ZDOLA OMEZENÁ

Každá nepřímá úměrnost je

SUDÁ FUNKCE

LICHÁ FUNKCE

Předpisem lineární funkce, pro níž platí 𝒚 = −𝟒𝒙 + 𝒃, a jejíž graf

prochází bodem [−𝟏, 𝟑] je

𝒚 = −𝟒𝒙 + 𝟏𝟏

𝒚 = −𝟒𝒙 − 𝟏

→JSI V CÍLI

1

(8)

Pexeso

³

C´ıl: Procviˇcován´ı funkc´ı - pˇriˇrazován´ı grafu k pˇredpisu funkce. Trénován´ı pamˇeti.

Poˇcet hr´aˇc˚u: 1 - 4 Pom˚ucky: kartiˇcky

Jak na to: Rozstˇr´ıhané kartiˇcky rozloˇz na lavici. Tvým úkolem je hledat správné dvojice (v tomto pˇr´ıpadˇe graf funkce a jej´ı pˇredpis). Hraje- li jeden hráˇc, jsou kartiˇcky otoˇcené l´ıcem nahoru. Hraje-li v´ıc hráˇc˚u, pak mohou být kartiˇcky otoˇcené l´ıcem dol˚u. Hráˇc, který je na ˇradˇe, otoˇc´ı dvˇe kartiˇcky, pokud k sobˇe kartiˇcky patˇr´ı, hráˇc si je ponechá a m˚uˇze hrát jeˇstˇe jednou. Pokud k sobˇe kartiˇcky nepatˇr´ı, tak je hráˇc otoˇc´ı nazpˇet a ve hˇre pokraˇcuje dalˇs´ı hráˇc. V´ıtˇezem je hráˇc s nejvyˇsˇs´ım poˇctem správných dvojic.

Pouˇzité druhy funkc´ı: lineárn´ı funkce, kvadratické funkce, funkce s absolutn´ı hodnotou, lineárn´ı lomené funkce

D˚uleˇzit´e pojmy: graf funkce, funkˇcn´ı pˇredpis, vlastnosti funkc´ı Tipy pro uˇcitele:

• Lze pracovat samostatnˇe, ve dvojic´ıch i ve skupink´ach.

• Hru m˚uˇzeme hrát ve dvou variantách - bud’ zjednoduˇsenou verzi, kdy jsou kartiˇcky otoˇceny l´ıcem nahoru, nebo klasickou verzi, kdy jsou kartiˇcky otoˇceny l´ıcem dol˚u. Druhá varianta je o hodnˇe nároˇcnˇejˇs´ı.

Záleˇz´ı vˇzdy na úrovni ˇzák˚u.

• Kartiˇcky mohou být vyuˇzity i jinak - pˇri hˇre m˚uˇzeme urˇcovat definiˇcn´ı obory, obory hodnot, popisovat vlastnosti funkc´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe m˚uˇze jeden ˇzák popisovat vybranou funkci, ostatn´ı hledaj´ı správnou kartiˇcku. Kdo ji najde jako prvn´ı, má bod.

(9)

𝒚 = 𝟓 𝒙

𝒚 = −𝒙 + 𝟏

𝒚 = 𝒙 − 𝟏

𝒚 = |𝒙 − 𝟏|

𝒚 = |𝒙| − 𝟏

𝒚 = 𝟓𝒙

𝒚 = 𝟓𝒙 ^𝟐

𝒚 = 𝟏 𝟓 𝒙 ^𝟐

𝒚 = 𝒙 ^𝟐 − 𝟏

𝒚 = (𝒙 − 𝟏)

^𝟐

𝒚 = 𝒙 ^𝟐 + 𝟏

𝒚 = (𝒙 + 𝟏)

^𝟐

(10)

Piˇ skvorky

⁴

C´ıl: Opakov´an´ı funkc´ı.

Poˇcet hr´aˇc˚u: 2

Pom˚ucky: hern´ı pl´an, kartiˇcky

Jak na to: Jeden z hráˇc˚u si zvol´ı koleˇcka, druhý kˇr´ıˇzky. Stˇr´ıdavˇe si vyb´ıraj´ı pol´ıˇcka a odpov´ıdaj´ı na otázky uvedené na hern´ım plánu. Pokud hráˇc odpov´ı správnˇe, poloˇz´ı na dané pol´ıˇcko sv˚uj ˇzeton (bud’ koleˇcko, nebo kˇr´ıˇzek). Hráˇc, který jako prvn´ı z´ıská tˇri pol´ıˇcka vedle sebe (v ˇrádku, sloupci nebo na úhlopˇr´ıˇcce), vyhrává.

Pouˇzité druhy funkc´ı: lineárn´ı funkce, kvadratické funkce, funkce s absolutn´ı hodnotou, funkce lineárn´ı lomené, goniometrické funkce, moc- ninné funkce

D˚uleˇzit´e pojmy: graf funkce, vlastnosti funkc´ı - komplexn´ı aktivita Tipy pro uˇcitele:

• Hru je moˇzné hrát i na body - tedy nen´ı nutné propojit tˇri pol´ıˇcka, ale z´ıskat, co nejv´ıc bod˚u. V takovém pˇr´ıpadˇe se hraje aˇz do úplného zaplnˇen´ı hern´ıho plánu.

• Je moˇzné se s ˇzáky domluvit, co se bude d´ıt s pol´ıˇckem v pˇr´ıpadˇe, ˇze je ˇzákova odpovˇed’ ˇspatná - napˇr´ıklad:

· m˚uˇze odpovˇedˇet protihr´aˇc,

· pol´ıˇcko nez´ısk´a nikdo,

· o pol´ıˇcko si mus´ı stˇrihnout,

· dostanou náhradn´ı otázku a kdo prvn´ı odpov´ı, ten z´ıskává pol´ıˇcko, atd.

• Hru lze hr´at ve trojic´ıch - dva hr´aˇci hraj´ı proti sobˇe a tˇret´ı je

”soudce“,

(11)

𝑦 = 𝑥²+ 4𝑥 + 1.

Urči souřadnice vrcholu paraboly

𝑦 = |5 − 2𝑥|.

Urči minimum funkce

𝑦 = 𝑥⁴+ 𝑥²− 1 Rozhodni, zda je funkce

sudá nebo lichá.

𝑦 = 𝑥 𝑥²+ 1. Urči největší intervaly, na kterých je funkce monotónní

𝑦 = −1,5𝑥²+ 6𝑥 − 1 Vypočti hodnotu kvadratické funkce

v bodě -2.

𝑦 = 3𝑥 − 1.

Urči funkci inverzní k funkci

𝑦 =2𝑥 + 1 𝑥 − 3. Urči definiční obor funkce

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥.

Urči základní periodu funkce

𝑦 = 𝑥.

Popiš vlastnosti funkce 𝑦 = 𝑥²+ 4𝑥 + 1.

Herní plán

𝑦 = 𝑥²+ 4𝑥 + 1.

Rozstříhat

(12)

Vyˇ rad’ funkci

⁵

C´ıl: Opakov´an´ı funkc´ı. Obhajov´an´ı vlastn´ıho ˇreˇsen´ı.

Poˇcet hr´aˇc˚u: 1 - 2 Pom˚ucky: pracovn´ı list

Jak na to: Pozornˇe si prohlédni kaˇzdou ze ˇsesti ˇctveˇric funkc´ı. Jedna ze ˇctyˇr funkc´ı nepatˇr´ı mezi ostatn´ı (napˇr.: má jiný definiˇcn´ı obor neˇz ostatn´ı, nen´ı prostá, apod.), vyˇrad’ ji a svoji volbu zd˚uvodni. Zkus naj´ıt v´ıc ˇreˇsen´ı.

Pouˇzité druhy funkc´ı: lineárn´ı funkce, kvadratické funkce, funkce s absolutn´ı hodnotou, lineárn´ı lomené funkce, mocninné funkce

• Lze pracovat samostatnˇe, ve dvojic´ıch i ve skupinkách. Pˇr´ıpadnˇe i spoleˇcnˇe, kdy ˇzáci navrhuj´ı svá ˇreˇsen´ı, vysvˇetluj´ı a obhajuj´ı je pˇred ostatn´ımi.

• Je moˇzn´e vybrat jen jednu ˇctveˇrici funkc´ı a t´ymy mohou soutˇeˇzit o to, kdo vymysl´ı v´ıce moˇznost´ı ˇreˇsen´ı nebo v´ıce argument˚u pro vyˇrazen´ı funkce.

• Kde ˇreˇsen´ı lze vyuˇz´ıt i modern´ı metody - tedy vykreslován´ı graf˚u funkc´ı ve vhodném poˇc´ıtaˇcovém programu (napˇr.: GeoGebra) a jejich po- rovnáván´ı.

• Pokud ˇzáci ˇreˇsen´ı nevid´ı, potom mohou zakreslovat grafy funkc´ı do jednoho obrázku nebo si vytvoˇrit tabulku vlastnost´ı daných funkc´ı.

(13)

A

B C D

𝒚 = 𝟐|𝒙| 𝒚 = 𝟓

𝒚 = |𝒙 − 𝟒| 𝒚 =^𝟏

𝟐𝒙^𝟐− 𝟕 A

B C D

𝒚 = 𝒙 + 𝟑 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟏

𝒚 = |𝒙| 𝒚 =^𝟏

𝒙

A

B C D

𝒚 = −𝟐𝒙^𝟐+ 𝟒𝒙 + 𝟏

𝒚 = |𝒙 + 𝟐| − 𝟑 𝒚 = 𝟐^𝒙

A

B C D

𝒚 = 𝟑𝒙 𝒚 = −𝒙^𝟐

𝒚 = |𝒙| 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝟔 A

B C D

𝒚 = 𝒙^𝟐 𝒚 = −^𝟓

𝟑𝒙 + 𝟓

𝒚 = 𝟐 𝒚 = 𝒙^𝟑

A

B C D

𝒚 = 𝟐(𝒙 + 𝟏)^𝟐

𝒚 = 𝒙^𝟐+ 𝟐𝒙 − 𝟑

𝒚 = 𝒙^𝟐− 𝟔𝒙 + 𝟗

𝒚 = 𝟐𝒙^𝟐 ^{𝒚 = 𝟐𝒙}

𝟐+ 𝟒𝒙 − 𝟔

(14)

Vyˇ cti z grafu

⁶

C´ıl: Opakován´ı základn´ıch vlastnost´ı funkc´ı. Práce s obrázkem. Procviˇcován´ı pouˇz´ıván´ı správné matematické terminologie.

Poˇcet hr´aˇc˚u: 1 - 2 Pom˚ucky: karty

Jak na to: Vyber si jednu z karet, z grafu funkce vyˇcti chybˇej´ıc´ı informace a doplˇn je do textu pod obr´azkem.

Pouˇzité druhy funkc´ı: kvadratické funkce, lineárn´ı lomené funkce, moc- ninné funkce, goniometrické funkce

D˚uleˇzit´e pojmy: graf funkce, definiˇcn´ı obor, obor hodnot, vlastnosti funkc´ı Tipy pro uˇcitele:

• ˇZ´aci mohou pracovat samostatnˇe, ve dvojic´ıch i spoleˇcnˇe.

• Aktivitu lze obmˇeˇnovat - ˇzáci jsou rozdˇeleni do dvojic, kaˇzdý z dvojice má svoji vlastn´ı kartu. Oba ˇzáci si karty vypln´ı, ale neukazuj´ı je svému spoluhráˇci. Poté jeden z ˇzák˚u pˇreˇcte (kompletn´ı) text druhému a ten se snaˇz´ı graf funkce podle popisu nakreslit. Poté porovnaj´ı grafy funkc´ı, pokud se grafy liˇs´ı, tak ˇzáci prodiskutuj´ı, zda i nový graf vyhovuje popisu, nebo zda nˇekde udˇelali chybu (bud’ pˇri doplˇnován´ı textu, nebo pˇri kreslen´ı grafu). Potom si vymˇen´ı role.

• Karty mohou být také rozstˇr´ıhány na dvˇe poloviny. Jeden z dvojice má text, druhý má obrázek. Karty si navzájem neukazuj´ı. ˇZák, který má obrázek, popisuje funkci svému spoluhráˇci, ten podle popisu doplˇnuje text.

• Karty mohou být doplnˇeny, rozstˇr´ıhány a poloviny náhodnˇe rozdány ˇ

zák˚um. Úkolem kaˇzdého ˇzáka je naj´ıt spoluˇzáka s druhou polovinou karty - tedy ke grafu naj´ıt odpov´ıdaj´ıc´ı text.

(15)

Na obrázku je _________________

funkce se základní periodou _______.

Definičním oborem funkce je _________.

_____________________ je

________________ interval 〈−𝟏; 𝟏〉.

Funkce je _______________, tedy souměrná podle _________________.

Funkční hodnota v bodě ^𝝅

𝟐 je ___.

Na obrázku je _________________ funkce.

Grafem funkce je _____________. Bod [𝟏; 𝟐] označujeme jako _______________.

Přímky 𝒙 = 𝟏 a 𝒚 = ______ nazýváme _______________. ___________ obor této funkce je _________. Funkce protíná _________ v bodě [^𝟓

𝟐; 𝟎] a _____________

v bodě _________.

Na obrázku je graf _________________

funkce s celým __________ exponentem, který je _________. Funkce je _________

pro 𝒙𝝐(−∞; 𝟎) a _____________ pro 𝒙𝝐(𝟎; +∞).

Funkce je _______________, tedy souměrná podle _________________. A je _________ omezená.

Na obrázku je graf ____________ funkce, tedy __________ . Oborem hodnot je ______________ interval ___________.

Graf této funkce protíná osu 𝒙 v bodech ______ a ______. Bod [𝟏; −𝟒] označujeme jako _____________________________.

Funkce ______ prostá. V intervalu (−∞; 𝟏⟩

je funkce ___________, v intervalu

⟨𝟏; +∞) _____________.

(16)

Vybarvov´ an´ı

⁷

C´ıl: Procviˇcov´an´ı vlastnost´ı funkc´ı. Pr´ace s inverzn´ı funkc´ı.

Pom˚ucky: pracovn´ı list, pastelky Jak na to: Vybarvi obrazce.

Varianta A: Ke kaˇzd´e funkci najdi funkci inverzn´ı, pot´e obˇe pol´ıˇcka vybarvi stejnou barvou.

Varianta B: Kaˇzdou funkci zaˇrad’ do jedn´e ze ˇsesti kategori´ı, dle jej´ıch vlastnost´ı. Pro kaˇzdou kategorii si zvol jednu barvu a tou vybarvi vˇsechny funkce, kter´e do n´ı patˇr´ı.

Pouˇzité druhy funkc´ı: lineárn´ı funkce, kvadratické funkce, lineárn´ı lo- mené funkce, mocninné funkce, exponenciáln´ı funkce, logaritmické funkce

D˚uleˇzit´e pojmy: vlastnosti funkce, funkce inverzn´ı Tipy pro uˇcitele:

• ˇZáci mohou pˇri této aktivitˇe pouˇz´ıvat vhodné poˇc´ıtaˇcové programy, ve kterých je snadné vykreslit graf funkce. V takovém pˇr´ıpadˇe, m˚uˇze být aktivita zadána hned na zaˇcátku kapitoly o funkc´ıch (po probrán´ı vlastnost´ı funkc´ı) a ˇzáci mohou ve skupinách sami zjiˇst’ovat, jak jednotlivé koeficienty ovlivˇnuj´ı pr˚ubˇeh funkce, jej´ı graf a jej´ı vlastnosti. Pˇr´ıpadnˇe zkoumat jaký je vztah mezi funkc´ı a funkc´ı k n´ı inverzn´ı.

• Aktivita m˚uˇze být zadána i obrácenˇe - tedy ˇzáci dostanou pracovn´ı list vybarvený a jejich úkolem je vyˇsetˇrit, jakým zp˚usobem byly funkce tˇr´ıdˇeny a vybarvovány.

(17)

𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟐

𝒚 =𝒙 − 𝟐 𝟑 𝒚 =−𝒙

𝟐 + 𝟒

𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟖

𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙^𝟐 ˄ 𝒙 ∈ ⟨0; +∞)

𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙^𝟐 ˄ 𝒙 ∈ (−∞; 0⟩

𝒚 = √𝟐𝒙

𝒚 = −√𝟐𝒙 𝒚 = 𝒙^𝟐− 𝟔𝒙 + 𝟓

˄ 𝒙 ∈ ⟨3; +∞)

𝒚 =𝒙 + 𝟑 𝟓 − 𝒙

𝒚 =𝟓𝒙 − 𝟑 𝟏 + 𝒙

Varianta A

(18)

 není prostá

 je sudá

 je zdola omezená

 není prostá

 není sudá ani lichá

 je shora omezená

 není prostá

 je zdola omezená

 je prostá

 je rostoucí

 je buď omezená, nebo zdola omezená

 je prostá

 je lichá

 není omezená

 je rostoucí, nebo klesající

 není prostá

 je sudá

 je shora omezená

1

.

2

v

.

3

.

4

.

5

.

6

.

𝒚= 𝟏𝟐 𝒙 𝟐+𝟐

𝒚=𝟑𝒙−𝟐 𝒚=𝟐 𝒙

𝒚=−𝟏 𝟐𝒙𝟒 𝒚= 𝒙−𝟒

Varianta B

(19)

Spoj ˇ c´ıslo a p´ısmeno

⁸

C´ıl: Procviˇcován´ı vynáˇsen´ı graf˚u lineárn´ı funkce.

Pom˚ucky: pracovn´ı list, prav´ıtko, psac´ı potˇreby

Jak na to: Vynes do soustavy souˇradnic dané lineárn´ı funkce. Kaˇzdá z pˇr´ımek ti k ˇc´ıslu pˇriˇrad´ı p´ısmeno. P´ısmena potom pomoc´ı pˇriˇrazených ˇ

c´ısel zapiˇs do tabulky ve spodn´ı ˇcásti pracovn´ıho listu. Pokud budeˇs postupovat správnˇe, pak v tajence najdeˇs citát nˇemeckého matematika Richarda Couranta. K vynáˇsen´ı pˇr´ımek pouˇz´ıvej rýsovac´ı potˇreby a pracuj peˇclivˇe, jinak ti nevyjde jednoznaˇcné ˇreˇsen´ı.

Pouˇzit´e druhy funkc´ı: line´arn´ı funkce

D˚uleˇzit´e pojmy: pˇr´ımka, graf line´arn´ı funkce, funkˇcn´ı pˇredpis Tipy pro uˇcitele:

• Aktivita m˚uˇze být zkrácena t´ım, ˇze funkˇcn´ı pˇredpisy budou rozdˇeleny mezi ˇzáky - tedy kaˇzdý ˇzák bude hledat graf jedné ˇci dvou lineárn´ıch funkc´ı.

• ˇZáci mohou pracovat spoleˇcnˇe na interaktivn´ı tabuli. Postupnˇe chod´ı k tabuli a zakresluj´ı grafy funkc´ı, ostatn´ı ˇzáci kontroluj´ı správnost ˇreˇsen´ı.

• S pracovn´ım listem je moˇzn´e d´ale pracovat:

· Jeden ˇzák si vybere jednu funkci a sdˇel´ı ostatn´ım souˇradnice tˇr´ı bod˚u, kterými funkce procház´ı, ostatn´ı hádaj´ı, kterou funkci si vybral.

· Je zadána dvojice funkc´ı a ˇzáci zjiˇst’uj´ı, jestli existuje bod, kterým procház´ı oba jejich grafy. Pokud ano, tak urˇcuj´ı jeho souˇradnice.

· Je zvoleno jedno ˇc´ıslo a jedno p´ısmeno (nezávisle na pˇredchoz´ı aktivitˇe), ˇzáci maj´ı za úkol naj´ıt pˇredpis funkce, jej´ıˇz graf spojuje tyto dva prvky.

8Vlastn´ı n´amˇet.

18

(20)

𝒚 =𝟏

𝟐𝒙 + 𝟓 𝒚 =𝟑 𝟐𝒙 + 𝟖 𝒚 =𝟏

𝟓𝒙 − 𝟐

𝒚 = −𝟐 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟏

𝒚 + 𝟐𝒙 = 𝟏

𝒚 = −𝒙 + 𝟓

𝒚 = −𝒙 − 𝟒 𝟏

𝒚 = −𝒙 − 𝟔

(21)

Obr´ azky z funkc´ı

⁹

C´ıl: Procviˇcován´ı zakreslován´ı grafu funkce z pˇredpisu a sestavován´ı pˇredpisu funkce z grafu.

Pom˚ucky: pracovn´ı list, r´ysovac´ı potˇreby, psac´ı potˇreby

Jak na to: Varianta A: Popiˇs vˇsechny funkce z obr´azku a urˇci jejich de- finiˇcn´ı obor.

Varianta B: Vynes grafy vˇsech uveden´ych funkc´ı do soustavy souˇradnic.

Pouˇzité druhy funkc´ı: lineárn´ı funkce, kvadratické funkce, funkce s absolutn´ı hodnotou, mocninné funkce, goniometrické funkce

D˚uleˇzit´e pojmy: graf funkce, funkˇcn´ı pˇredpis, definiˇcn´ı obor Tipy pro uˇcitele:

• Jednotlivé funkce mohou být rozdˇeleny mezi ˇzáky. A potom zakres- lovány nebo zapisovány na (interaktivn´ı) tabuli.

• ˇZáci mohou kreslit a vytváˇret svoje vlastn´ı obrázky.

20

(22)

Varianta A

𝒇_𝟏(𝒙) =

𝒇_𝟐(𝒙) =

𝒇_𝟑(𝒙) =

𝒇_𝟒(𝒙) =

𝒇_𝟓(𝒙) =

𝒇_𝟔(𝒙) =

𝐃(𝒇_𝟏) =

𝐃(𝒇_𝟐) =

𝐃(𝒇_𝟑) =

𝐃(𝒇_𝟒) =

𝐃(𝒇_𝟓) =

𝐃(𝒇_𝟔) =

(23)

𝒈_𝟔(𝒙) =𝟏

𝟐(𝒙 − 𝟔)^𝟐 𝐃(𝒈_𝟔) = 〈𝟗 𝟐;𝟏𝟓

𝟐〉

𝒈_𝟕(𝒙) = 𝟏

𝟏𝟎(𝒙 − 𝟔)^𝟐+ 𝟎, 𝟗 𝐃(𝒈_𝟕) = 〈𝟗 𝟐;𝟏𝟓

𝟐〉

𝒈_𝟖(𝒙) = − 𝟏

𝟏𝟎(𝒙 − 𝟔)^𝟐+𝟏, 𝟑𝟓 𝐃(𝒈_𝟖) = 〈𝟗 𝟐;𝟏𝟓

𝟐〉

𝒈_𝟗(𝒙) = 𝟐 𝐃(𝒈_𝟗) = 〈𝟕 𝟐;𝟏𝟕

𝟐〉 𝒈_𝟏(𝒙) = 𝟎 𝐃(𝒈_𝟏) = 〈−𝟓;^𝟓_𝟐〉

𝒈_𝟐(𝒙) = 𝟑 𝐃(𝒈_𝟐) = 〈−^𝟕

𝟐; 𝟏〉

𝒈_𝟑(𝒙) = 𝟐(𝒙 + 𝟓) 𝐃(𝒈_𝟑) = 〈−𝟓; −^𝟕

𝟐〉

𝒈_𝟒(𝒙) = −𝟐|𝒙 − 𝟏| + 𝟑 𝐃(𝒈_𝟒) = 〈−^𝟏

𝟐;^𝟓

𝟐〉 𝒈_𝟓(𝒙) = −(𝒙 − 𝟔)^𝟐+ 𝟐 𝐃(𝒈_𝟓) = 〈𝟓; 𝟕〉

Varianta B

(24)

Kvadromino

¹⁰

Poˇcet hr´aˇc˚u: 1 - 2

Pom˚ucky: karty (rozstˇr´ıhan´e)

Jak na to: Uspoˇrádej rozstˇr´ıhané karty do ˇctveˇric - pro kaˇzdou funkci najdi jej´ı graf, pˇredpis, tabulku hodnot a definiˇcn´ı obor + obor hodnot. Jedná se o obdobu pexesa, jen se v pˇr´ıpadˇe kvadromina nehledaj´ı dvojice, ale ˇ

ctveˇrice.

Pouˇzité druhy funkc´ı: lineárn´ı funkce, funkce s absolutn´ı hodnotou, kva- dratické funkce

D˚uleˇzit´e pojmy: grafy funkc´ı, funkˇcn´ı pˇredpis, definiˇcn´ı obor, obor hodnot Tipy pro uˇcitele:

• ˇZáci mohou hrát jednotlivˇe, ve dvojic´ıch i ve skupinách.

• Kartiˇcky mohou b´yt rozloˇzeny na stole l´ıcem nahoru. ˇZ´aci tvoˇr´ı ˇctveˇrice - graf, tabulka hodnot, definiˇcn´ı obor a obor hodnot.

• Kartiˇcky mohou být rozloˇzeny l´ıcem dol˚u, ˇzáci je po jedné losuj´ı a pˇrikládaj´ı na správnou hromádku.

• Z kartiˇcek jsou vybr´any napˇr´ıklad grafy, kter´e jsou rozm´ıstˇeny po stole.

Ostatn´ı kartiˇcky jsou l´ıcem dol˚u, ˇzáci je losuj´ı a pˇriˇrazuj´ı ke správnému grafu.

• Hru lze hrát také jako klasické kvarteto. Tedy skupince ˇzák˚u se rozdaj´ı vˇsechny kartiˇcky tak, aby mˇeli vˇsichni stejný poˇcet kartiˇcek. Kartiˇcky si drˇz´ı v ruce (jako karty) a hráˇci si postupnˇe losuj´ı jednu kartu od hráˇce po své pravici. Pokud se mezi jejich kartiˇckami objev´ı celá ˇctveˇrice, hráˇc ji odloˇz´ı na st˚ul a má jeden bod. Pokud hráˇc nemá v ruce ˇzádné karty, hra pro nˇej skonˇcila. Hra pokraˇcuje tak dlouho, dokud nejsou

(25)

𝑦 = − 1

2 𝑥 + 2

𝑦 = 2 3 𝑥

𝑦 = −|𝑥|

𝑦 = |3 − 𝑥|

𝑦 = 1 − |𝑥 + 2|

𝑦 = 3

4 (𝑥 + 1)

²

− 3 x -2 0 2

y 3 2 1

x -3 0 3 y -2 0 2

x -2 0 1 y -2 0 -1

x 0 3 6 y 3 0 3

x -3 -2 0 y 0 1 1

x -3 -1 1 y 0 -3 0 D

_𝑓

= R

= R

H

_𝑓

= ⟨−3; +∞)

(26)

𝑦 = (𝑥 − 1)

²

+ 2

𝑦 = 1

2 𝑥

²

+ 𝑥 − 3

𝑦 = −2𝑥²+ 6𝑥 − 3

x 0 1 3 y 3 2 6

x -1 0 2 y

-

3,5 -3 1

= R

H

_𝑓

= (−∞; 1,5⟩

(27)

Loto

¹¹

C´ıl: Procviˇcován´ı urˇcován´ı definiˇcn´ıho oboru funkce. Procviˇcován´ı urˇcován´ı souˇradnic vrcholu paraboly.

Poˇcet hr´aˇc˚u: 1-2

Pom˚ucky: hern´ı pl´an, kartiˇcky

Jak na to: Pokryj kartiˇckami hern´ı pl´an.

Varianta A: K pˇredpisu funkce pˇriˇrad’ spr´avn´y definiˇcn´ı obor.

Varianta B: K pˇredpisu kvadratick´e funkce pˇriˇrad’souˇradnice vrcholu paraboly.

Pouˇzité druhy funkc´ı: lineárn´ı funkce, kvadratické funkce, funkce s absolutn´ı hodnotou, mocninné funkce, goniometrické funkce

D˚uleˇzit´e pojmy: vrchol paraboly, definiˇcn´ı obor funkce Tipy pro uˇcitele:

• Rozstˇr´ıhané kartiˇcky jsou rozloˇzené l´ıcem nahoru. ˇZáci rozstˇr´ıhanými kartiˇckami pokrývaj´ı hern´ı plán.

• Hr´aˇci hraj´ı proti sobˇe. Rozstˇr´ıhan´e kartiˇcky jsou poloˇzeny l´ıcem dol˚u.

Z´ˇaci se stˇr´ıdaj´ı, postupnˇe otáˇc´ı kartiˇcky a pokládaj´ı je na správné pol´ıˇcko hern´ıho plánu. Za kaˇzdé správnˇe zakryté pol´ıˇcko z´ıskávaj´ı jeden bod.

• Hru lze hrát i jako bingo. ˇZáci si do seˇsitu nakresl´ı tabulku 3x3 a do n´ı si náhodnˇe poskládaj´ı rozstˇr´ıhané kartiˇcky ˇci zap´ıˇs´ı souˇradnice vrchol˚u/definiˇcn´ı obory (podle toho, kterou variantu hrajeme). Uˇcitel postupnˇe ˇcte pˇredpisy funkc´ı v náhodném poˇrad´ı. ˇZák si ˇskrtá odpov´ıdaj´ıc´ı pol´ıˇcko v seˇsitˇe. Vyˇskrtá-li si celý ˇrádek, sloupec nebo

´

uhlopˇr´ıˇcku, vykˇrikne:

”Bingo!“ Prvn´ı hráˇc, který má bingo, je v´ıtˇezem.

11Bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´a.

26

(28)

𝑓

₁

: 𝑦 = √𝑥 + 2 𝑓

₂

: 𝑦 = √ 𝑥 + 2

4𝑥 − 6 𝑓

₃

: 𝑦 = 𝑥 + 1 𝑥 − 3 𝑓

− 1

𝑓₈: 𝑦 = (𝑥 − 2)²

𝑥²− 4𝑥 + 4 ^𝑓⁹: 𝑦 = √1 − 𝑥. √𝑥 + 1

⟨−2; +∞)

− 3𝑥

𝑉 [− 1 2 ; 3

4 ] 𝑉 [0; 2] 𝑉 [3; 0]

𝑉 [0; −6] 𝑉 [1; 3] 𝑉 [−2; −1]

𝑉 [−1; 3] _{𝑉 [2; −} ¹³

2 ] 𝑉 [− 3 2 ; 9

4 ]

Varianta B

Herní plán

Kartičky (rozstříhat)

(30)

Od funkce k funkci

¹²

C´ıl: Opakov´an´ı funkc´ı. Hled´an´ı vztah˚u mezi funkcemi.

Poˇcet hr´aˇc˚u: 1-2 Pom˚ucky: pracovn´ı list

Jak na to: Pozornˇe si prohl´edni kaˇzdou dvojici funkc´ı (dvˇe funkce v ˇr´adku).

Urˇci jejich funkˇcn´ı pˇredpis a do malého ˇctvereˇcku mezi nimi zapiˇs, jakou operaci mus´ıˇs provést, abys z funkˇcn´ıho pˇredpisu prvn´ı funkce dostal funkˇcn´ı pˇredpis druhé funkce.

Napˇr´ıklad je-li f₁ : y = x² − 2x − 3 a f₂ : y = x² − 2x + 2, pak do ˇ

ctvereˇcku mezi nˇe napiˇs +5.

Pouˇzité druhy funkc´ı: lineárn´ı funkce, kvadratické funkce, funkce s absolutn´ı hodnotou, mocninné funkce

D˚uleˇzit´e pojmy: graf funkce, funkˇcn´ı pˇredpis Tipy pro uˇcitele:

• Dvojice funkc´ı lze rozdat jednotlivým ˇzák˚um, aktivita se t´ım zkrát´ı.

• ˇZák˚um je moˇzné zadat grafy prvn´ıch funkc´ı a vyplnˇené ˇctvereˇcky uprostˇred. ˇZáci pak mohou sami kreslit nové grafy.

• ˇZáci pak mohou obecnˇe vysvˇetlovat úlohu jednotlivých koeficient˚u ve funkˇcn´ıch pˇredpisech.

(31)

(32)

(33)

Lodn´ı bitva

¹³

C´ıl: Procviˇcov´an´ı line´arn´ıch funkc´ı a jejich graf˚u. Vytvoˇren´ı strategie.

Pom˚ucky: pracovn´ı list, psac´ı potˇreby (2 barvy), prav´ıtko

Jak na to: Kaˇzdý hráˇc má sv˚uj pracovn´ı list. Do svého pracovn´ıho listu um´ıst´ı vˇsechny lodˇe (1 bitevn´ı lod’, 1 torpédoborec a 1 ponorku). Lodˇe se nesm´ı navzájem dotýkat, a to ani rohem. Kaˇzdý z hráˇc˚u pracuje sa- mostatnˇe a sv˚uj pracovn´ı list neukazuje svému spoluhráˇci. Po zakreslen´ı lod´ı si kaˇzdý z hráˇc˚u vybere jednu barvu, kterou bude zakreslovat svoje funkce do soustavy souˇradnic. Prvn´ı z hráˇc˚u vystˇrel´ı, tedy vymysl´ı rovnici lineárn´ı funkce, oba hráˇci si funkci zakresl´ı do svého pracovn´ıho listu. Pokud graf funkce procház´ı bodem, v nˇemˇz leˇz´ı lod’ druhého hráˇce, druhý hráˇc ˇrekne:

”Zásah!“ a prozrad´ı protihráˇci souˇradnice tohoto bodu. Jsou-li jiˇz zasaˇzeny vˇsechny body lodˇe, pak hráˇc ˇrekne:

”Lod’ potopena!“. Pokud graf funkce neprocház´ı lod´ı, nedˇeje se nic a na tahu je druhý hráˇc. Hráˇci se stˇr´ıdaj´ı po jednom výstˇrelu, bez ohledu na to, zda se trefili nebo ne. Hra pokraˇcuje tak dlouho, dokud jeden z hráˇc˚u nemá potopená vˇsechna plavidla. Hráˇci si jednou barvou zakresluj´ı svoje výstˇrely a druhou barvy výstˇrely svého protihráˇce. Pro lepˇs´ı orientaci a kontrolu je moˇzné si zapisovat jednotlivé výstˇrely obou hráˇc˚u do tabulky pod hern´ım plánem.

D˚uleˇzit´e pojmy: graf line´arn´ı funkce, funkˇcn´ı pˇredpis, souˇradnice bod˚u Tipy pro uˇcitele:

• Je vhodné si nejprve zahrát jedno kolo hry spoleˇcnˇe - kdy celá tˇr´ıda hraje proti uˇciteli a jednotlivé výstˇrely zaznamenávat na tabuli, aby kaˇzdý z ˇzák˚u porozumˇel pravidl˚um a vˇedˇel, jak hrát.

• Uˇcitel by se mˇel také ujistit, ˇze vˇsichni ˇzáci umist’uj´ı svoje lodˇe do mˇr´ıˇzových bod˚u (a ne doprostˇred ˇctvereˇck˚u ˇctvercové s´ıtˇe).

• Hra se dá r˚uznˇe obmˇeˇnovat - hrát mohou dva týmy, celá tˇr´ıda proti uˇciteli, apod.

• Je moˇzné zmenˇsit hern´ı plán, a nebo sn´ıˇzit poˇcet lod´ı, ˇc´ımˇz dojde ke zkrácen´ı hry.

• V závislosti na úrovni hráˇc˚u m˚uˇze být upraven i druh funkc´ı, kterými je moˇzno stˇr´ılet.

13Vlastn´ı n´amˇet, inspirov´ano bˇeˇznˇe pouˇz´ıvanou hrou.

32

(34)

JMÉNO: BARVA:

1 x 1 x 1 x

bitevní loď torpédoborec ponorka

(35)

Vyber spr´ avnou odpovˇ ed’

¹⁴

Pom˚ucky: pracovn´ı list, psac´ı potˇreby

Jak na to: Na kaˇzdou z deseti otázek vyber správnou odpovˇed’, t´ım z´ıskáˇs deset p´ısmen. Uspoˇrádáˇs-li tato p´ısmena do správného poˇrad´ı, dopln´ıˇs citát Alberta Einsteina.

Pouˇzité druhy funkc´ı: lineárn´ı funkce, kvadratické funkce, funkce s absolutn´ı hodnotou, goniometrické funkce

• Je moˇzné uspoˇrádat otázky do takového poˇrad´ı, aby na konci nemusela být p´ısmenka pˇremist’ována, tajenka potom vznikne rovnou, coˇz ˇzák˚um znaˇcnˇe usnadn´ı práci.

• Jednotlivé otázky lze rozstˇr´ıhat a rozm´ıstit po tˇr´ıdˇe nebo jiném pro- storu. ˇZáci potom jednotlivˇe nebo ve dvojic´ıch ve tˇr´ıdˇe hledaj´ı otázky, odpov´ıdaj´ı na nˇe a nakonec sestavuj´ı hledanou tajenku. Hra pak m˚uˇze být pojata i jako soutˇeˇz - kdo prvn´ı vyluˇst´ı tajenku, vyhrává.

34

(36)

1. Funkce 𝒚 = |𝒙 + 𝟐| − 𝟑 má své minimum v bodě

𝐁. [−2; −3] V. [−3; −2] A. [2; −3] Ý. [−3; 2]

2. Určete předpis lineární funkce f, víte-li, že 𝒇(𝟎) = 𝟏 ᴧ 𝒇(𝟐) = 𝟓.

𝐈. 𝑦 = 2𝑥 + 1 B. 𝑦 = 𝑥 + 5 O. 𝑦 = 5𝑥 + 1 Ý. 𝑦 = 𝑥 + 2 3. Která funkce je prostá na svém definičním oboru?

𝐍. 𝑦 = 𝑥²− 4 F. 𝑦 = |𝑥 + 1| L. 𝑦 = 2𝑥 + 5 T. 𝑦 = cos 𝑥 4. Vyberte funkci, která je zároveň sudá i lichá.

B. 𝑦 = |𝑥| E. 𝑦 = 0 T. 𝑦 = 𝑥 A. 𝑦 = 𝑥²

5. Určete předpis kvadratické funkce, která prochází osou x v bodech [−𝟑; 𝟎] a [𝟏; 𝟎].

𝐈. 𝑦 = 𝑥²− 2𝑥 − 3 U. 𝑦 = 𝑥²− 3𝑥 + 1 T. 𝑦 = 𝑥²+ 𝑥 − 3 Z. 𝑦 = 𝑥²+ 2𝑥 − 3

6. Určete rovnici funkce, která vyjadřuje závislost délky úhlopříčky čtverce na délce jeho strany.

𝐘. 𝑦 =^√2

𝑎 E. 𝑦 = 2√𝑎 Z. 𝑦 = 𝑎√2 S. 𝑦 = √2𝑎

7. Definičním oborem funkce 𝒈: 𝒚 =^𝒙^𝟑^+𝒙_𝟏+𝒙^𝟐^+𝒙+𝟏_𝟐 je:

T. R Š. (−∞; −1) ∪ (1; +∞) O. R - {1} R. R - {−1}

8. Na grafu lineární funkce 𝒇: 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟐 neleží bod:

A. [−2; −8] T. [0; −2] Ý. [3; 7] S. [−2; 3]

9. Určete funkci inverzní k funkci 𝒚 = −𝟒 + 𝟑√𝒙 𝐓. 𝑦 = 4 − 3√𝑥 Á. 𝑦 =^(𝑥+4)²

9 D. 𝑦 = −4√𝑥 + 3 L. 𝑦 =^(𝑥+3)²

16

10. Vyberte funkci, která je omezená.

𝐙. 𝑦 = 3𝑥 + 1 A. 𝑦 = 2𝑥²+ 1 S. 𝑦 = −|𝑥| N. 𝑦 = −2

Richard Courant, německý matematik

(37)

Najdi spr´ avn´ e dveˇ re

¹⁵

C´ıl: Procviˇcován´ı lineárn´ıch funkc´ı a zakreslován´ı nerovnost´ı.

Pom˚ucky: pracovn´ı list, psac´ı potˇreby, r´ysovac´ı potˇreby

Jak na to: Zaˇcni ve velkých dveˇr´ıch v levém horn´ım rohu. Hern´ı plán je rozdˇelen do ˇsesti ˇcást´ı/m´ıstnost´ı, v kaˇzdé z tˇechto ˇcást´ı zakresli vˇsechny nerovnosti, které najdeˇs v rámeˇcku. Pr˚unik tˇechto nerovnost´ı ti vytvoˇr´ı cestu, po které m˚uˇzeˇs doj´ıt ke správným dveˇr´ım. Projdeˇs- li tˇemito dveˇrmi, dostaneˇs se do dalˇs´ı ˇcásti hern´ıho plánu. Do ˇzádné z ˇcást´ı/m´ıstnost´ı nesm´ıˇs vstoupit dvakrát. V posledn´ı ˇcásti ti správné dveˇre ukáˇze ˇsipka. Zakresli celé svoje putován´ı a oznaˇc dveˇre, kterými jsi proˇsel nakonec.

D˚uleˇzit´e pojmy: graf line´arn´ı funkce, nerovnost, pr˚unik Tipy pro uˇcitele:

• Jednotlivé ˇcásti hern´ıho plánu mohou být rozdˇeleny mezi ˇzáky, aktivita se t´ım výraznˇe zkrát´ı. ˇReˇsen´ı jednotlivc˚u ˇci skupinek potom mohou být zakreslena na interaktivn´ı tabuli. Pˇr´ıpadnˇe se na zaˇcátku hern´ı plán m˚uˇze rozstˇr´ıhat a po vyˇreˇsen´ı zase pro kontrolu sloˇzit dohromady.

• ˇZáci mohou hledat i pr˚uniky jiných nerovnost´ı, kterými by se dostali ke stejným dveˇr´ım.

15Pˇrevzato dle Dan Wekselgreene a upraveno.

36

(38)

v 𝑦 ≥ 3 −1

2𝑥 𝑥 + 2𝑦 ≤ 12

𝑥 + 𝑦 ≤ −5 𝑦 ≤ −3𝑥 − 11

𝑦 ≤ 4 + 2𝑥 𝑥 − 𝑦 ≤ 5

2𝑦 ≥ 8

𝑦 ≥1 2𝑥 + 7

Na správné dveře ukazuje šipka:

𝑦 ≤ −1 2𝑥 + 6 𝑦 ≥ −4 − 𝑥

𝑦 ≥ −3

(39)

Pˇ riˇ rad’ graf

¹⁶

C´ıl: Matematizace reálných situac´ı. Zakreslován´ı závislost´ı z bˇeˇzného ˇzivota.

Pom˚ucky: pracovn´ı list, psac´ı potˇreby

Jak na to: Ke kaˇzdé situaci pˇriˇrad’ správný graf (pro snadnˇejˇs´ı kontrolu napiˇs jméno do prázdného pol´ıˇcka pod grafem). Jeden z graf˚u je nav´ıc, vymysli k nˇemu vlastn´ı reálnou situaci.

Pouˇzit´e druhy funkc´ı: -

D˚uleˇzité pojmy: rovnomˇerný/nerovnomˇerný pohyb, graf Tipy pro uˇcitele:

• ˇZáci mohou dostat pouze grafy funkc´ı a sami vymýˇslet reálné situace, jeˇz se daj´ı takto zakreslit. Nebo mohou dostat jen popisy reálných situac´ı a sami kreslit grafy.

• ˇZáci mohou do graf˚u zakreslovat i dalˇs´ı závislosti z reálného ˇzivota.

38

(40)

HONZA jel autem konstantní rychlostí, pak začal zpomalovat a zastavil na světelné křižovatce. Když se objevila zelená, rozjel se a zrychloval, dokud se znovu nedostal na původní rychlost.

KLÁRA jela rychleji a rychleji. Když se blížila ke křižovatce, začala zpomalovat, až úplně zastavila.

IGOR jel na kole do kopce. Když konstantní rychlostí vystoupal na vrchol, odpočinul si a po chvíli se vydal na cestu dolů.

TEREZA vyrazila na chatu. Vyjela od domu a zrychlovala, dokud nedosáhla maximální povolené rychlost. Jela podle předpisů, a když vyjela z obce, začala znovu zrychlovat.

(41)

Reˇ ˇ sen´ı

Deskov´a hra

1 → 3 → 6 → 14 → 8 → 7 → 13 → 4 → 11 → 12 → 9 → 5 → 2 → 10 Vyˇrad’ funkci

Pˇr´ıklady ˇreˇsen´ı:

1. D (y = ¹_x) - definiˇcn´ım oborem ostatn´ıch funkc´ı je R 2. A (y = x²) - ostatn´ı funkce jsou prost´e

3. C (y = |x − 4|) - ostatn´ı funkce jsou sud´e

4. D (y = 4x + 6) - grafy ostatn´ıch funkc´ı procház´ı poˇcátkem 5. B (y = −2x²+ 4x + 1) - ostatn´ı funkce jsou omezené zdola

6. A (y = x²+ 2x − 3) - grafem ostatn´ıch funkc´ı je stále stejná parabola, která je jen posunutá

Vyˇcti z grafu

1. Na obrázku je periodická funkce se základn´ı periodou π. Definiˇcn´ım oborem funkce je R. Oborem hodnot je uzavˇrený interval h−1; 1i.

Funkce je lichá, tedy soumˇerná podle poˇcátku. Funkˇcn´ı hodnota v bodˇe π/2 je 1.

2. Na obrázku je lineárn´ı lomená funkce. Grafem funkce je hyperbola.

Bod [1; 2] oznaˇcujeme jako stˇred hyperboly. Pˇr´ımky x = 1 a y = 2 nazýváme asymptoty. Definiˇcn´ı obor této funkce je R \ 1. Funkce prot´ıná osu x v bodˇe [5/2; 0] a osu y v bodˇe [0; 5].

3. Na obrázku je graf mocninné funkce s celým záporným exponentem, který je sudý. Funkce je rostouc´ı pro x ∈ (−∞; 0) a klesaj´ıc´ı pro x ∈ (0; +∞). Funkce je sudá, tedy soumˇerná podle osy y. A je zdola omezená.

4. Na obrázku je graf kvadratické funkce, tedy parabola. Oborem hodnot je polouzavˇrený interval h−4; +∞). Graf této funkce prot´ıná osu x v bodech [−1; 0] a [4; 0]. Bod [1; −4] oznaˇcujeme jako vrchol paraboly. Funkce nen´ı prostá. V intervalu (−∞; 1i je funkce klesaj´ıc´ı, v intervalu h1; +∞) je funkce rostouc´ı.

40

(42)

Vybarvov´an´ı

Obr´azek 1: Varianta A

(43)

Spoj ˇc´ıslo a p´ısmeno

1. A, 2. O, 3. S, 4. E, 5. N, 6. Z, 7. B, 8. V, 9. R, 10. M, 11. T, 12. H, 13. L, 14. ´Y

”Matematice nelze porozumˇet jen bezbolestn´ym a hrav´ym zp˚usobem.

Tak vzh˚uru do uˇcen´ı!“

Obr´azky z funkc´ı

Obr´azek 3: Varianta A

Obr´azek 4: Varianta B

42

(44)

Od funkce k funkci

1. f₁ = x²− 2x − 3; f₂ = f₁+ 5 2. g1 = x; g2 = g1· x²

3. h₁ = x²− 6x + 3; h₂ = h₁· (−1) 4. i₁ = 2x²+ 4x − 6; i₂ = i₁ ·¹₂ 5. j₁ = |x + 3|; j₂ = j₁− 4 6. k₁ = 5 + 2x; k₂ = |k₁| 7. l1 = x + 1; l2 = l1+ x 8. m₁ = x²; m₂ = m₁− 2 Vyber spr´avnou odpovˇed’

1. B, 2. I, 3. L, 4. E, 5. Z, 6. Z, 7. T, 8. S, 9. ´A, 10. N

”Matematika je jediný skuteˇcnˇe zaruˇcený zp˚usob, jak se zbláznit.“

Najdi spr´avn´e dveˇre

(45)

Pˇriˇrad’ graf

Obr´azek 6: Pˇriˇrad’ graf

44

Sb´ırka matematick´ych rozcviˇcek a dalˇs´ıch aktivit pro v´yuku funkc´ı