/
D. D.
specimen staticum,
De
CENTRO
GRAVITATIS, CUJUS
PARTEM PRIOREM,
consent. ampliss. facult. philosoph.
IN REG. ACAD. UPS AL.
SUB PRiESIDlO
MAG. SAMUELIS DURÜI,
Phys. PROFESS. Reg. et Ordin,
nec non Reg. Acad. Scient. Holm. Membri, DISSERTATIONS GRADUALI
PUBLICO EXAMI NI MODESTE SUBMIT1IT Regius Alumnus
SVENO LUNDEEN PET. FIL.
SMOLANDUS.
in audit, gustaviano die x. junii,
anni mdcclviii.
H. A. M. S.
V P S A L 1 JE,
Excud. l. M. HÖJER, Reg. Acad. Jypogr,
1. N. f.
on diu confiderarunt Phyfici naturam cequilibrii corporum, priusquarn depre-
henderunt, efife iri quclibet corpore
fåle pundum , ut fi iilud teneretur fi-
xum quavis ratione, totum corpus ma¬
neret quiefum , utcunque circa illud
moveretur, quod didum eft Centrum Gravitatis, Fa-
cile hinc conclufere , quod, fi corpora quaecunque, ut
aedificia, turres, cofumns , lapides &c. firma efFenj &
ftabilia, necefiario iftorum centrum gravitatis fuftinere-
tur, five reda demifia ex centro grävttafris corporis, per- pendicularls in planum telluris, caderet inf ra bafin cor¬
poris; Coadi itaque fuere artifices expifcari hocce cen¬
trum in datis cafibus; ut vero hoc eo fäcilius fieret, id
Itt (e fumferunt Mathematici, ut methodos t rade ren t ht-
veniendi centrum gravitatis corporis da ti. „ Licet maxi-
mopere fit doiendum, quod tempus, rerum edax , con- fumferit pleraque veterum fcripta in hoc genere, quem- admodum in plerisque aliis» ramen laetemur unicum,
eumque aureum nobis refiduum effe lihellum, nimirum fubtiliflimi Syrajzufani ARCHIMEDIS, De Planis /Equi-
• '
»lift-.. A .j. ■> ponde-
I <S»
> 3 C SÄ3>
ponderantibus, feu De centris gravium planorutn, qui-
bus 8c pluribus inventis luis genuinum Staticae & Mech*.
nicöe prsebuit fundamentum. Paraphrafin, Pifauri An.
I577. editarn , in iliurn conferipftt GUlOUS UBAL- DUS, in qua partim Archlmedis demonftrationibus ufus
fuit, partim fuis, rem feiiciter illuftravlt. PAPPUS A*
LEXANDRINUS, fcriptor IV. fec. quifumma cura col- legit fragmenta operum Veterum Mathematicorum ejus
tempore refidua T pauciftima huc fpeélantia adtulit, in
Prsefat. Libri 8:vi Colle&ionum Mathem. hane dedit De¬
finitionen! Centri gravitatis corporis, quod fit pun- élum inträ pofitum , a quo fi grave dependens men-
te concipiatur, dum fertur quiefcit, 8c fervat eam,quarn
in prineipio habebat pohtionem, neque in ipfa latione
circunivertitur. Inter primos autem, qui poft refiaura-
tas litteras , aliquid de centro gravitatis folidorum tradi-
derunt baud immerito referuntur, LUCAS VALERIUS
fato fundlus An. 1618. & PREDERICUS COMMAN-
DINUS. An. 1675. Uterque edidit librum De Centro
Gravitatis. Inventionem deinceps centri gr. tam in fi- guris planis quam in fuperficiebus 8c folidis, uberius ex- pofuere, JOHANNES de la FAILLE e focietate Jefu,
qui fcripfit De Centro Gr. partium Circuli 8c Ellipfeos,
ac obiit An. idf2, atque SIMON STEVINUS 8c PAU¬
LUS GULDINUS, hic in traäatu fuo De Centro Gr.
trium fpecierum, quantitatis continuae, Vlennse Auftriae
An. iöJ5- in folio publicato, ille in Tom. 2. operum
fuorum Math. Lugduni Batav. An. 1634. editor. F. STE-
PHANUS de Angelis, diverfis temporibus, varia quo-
que Venetiis edidit opufeula laude fua dignifiima, quo-
rum primum An. 1659. agit De infinitis parabolis infinf-
tisque folidis, ex variis rotationibus ipfarum partiumque
earundem genitis, una cum nonnullis ad prxdi&arum ma- gnitudinum aliarumque centra gr. attinentibus. Secun-
A 2 dum
) 4 ( «39
flum An \66o. quod Mifcellaneum Geometrlcum audtt »
cxhibet centra gr. quorundam (olidorum a Geometris an-
tea non confideratorum , pariterque fuperficierum cur-
varum & cujuscunque portionis fphaeric« fuperficiei.
Tertium & quartum continent centra gr. quam pluri-
um folidorum & infinitarum cochlearum. An. i<*74« pro.
dl« Lueduni Gallorum CLaUDII FRANCISCI MIL-
LIET DECHALES Curfus feu Mundus Mathematicus
in Fol. cujus in Tom, I. prseter alia, quae ad Staticarn
pertlnent etiam breviter docuit centro-barycam iinea-
rum planorum & folidorum , fed non ulterius progres- fus eft , quam qul eum prsecefierunt 5 etenim propofitio-
nes aus ad folida fpe&ant, ut ipfe fatetur , plersque
Cunt LUCAE VALERII & FREDERICI CÖMMANDl-
NI licet demonftrationes, qua partem diverfae reperi-
antur. Omnium autem abfolutiffimam, faltem ampliffi»
main" pertra&ationem Decentro gr. Tom.I.dedit JOH.
WALLISIUS, in qua multa ad Geometriam fublimio-
rem fpedantia una evolvuntur. A prloribus, qui rem Geomctrice aggrefli funt, in eo recedit, quod Arith-
metica fua infinitorum contlnue utatur. Opus auåore fuo dignum public! juris ta&um eft Oxoniaj An. 166g,
Hsecce autem omnia, licet mira fagacitate fint inven-
ta & demonftrata, funt valde fpecialia, nec longius hoc
in rVegotio progredi valet Geometria ; aliam omnino f'a-
ciem induit ha:cce theoria, feliciftima inventione Metho«
di fluxionum Annis idCj. & 1666, quam fummo NEW«
TONO gratiftima debet omnis pofteritas; hacce etenim, vel, ut aliisplacet, Analyfi Infinitorum, faciliima opera
Invenitur centr. gr. quarumvis datarum Ünearum, figu-
rarum & fuperficierum , quemadmodum fufius oftende»
runt recentiorum plurimi, ut HAYES in fuo libro di&o Treatife of fluxions, CARRE in Traite des centresde
pefenteur, SIMPSON in Do&rine of fluxions & RO*
BÜX*
"<£<& ) s ( 9X9
BILLARD In Application de fa Geometrie ordinalrC) 6t des Calcul Differentiel & Integral Anno 1741. edifa, ubi plurima congeffit hujus generis problemata. Non ver®
heic fubftitit induftria recentiorum, fed plures & elegan-
tiflimas excogitarunt & ediderunt proprietates centri gra-
vitatis, velut HUGENIUS In (uis operibus, TSCHIRN-
HAUSIUS in Adtis Eruditorum, MAC LAÜRINUS in Treatife & of fluxions, & alii. Uiterius progreffi funt^
oftenderunt necefiitatem ufumque hujus Theoriae in Oeconomia animali, ut BORELLUS De motibus anima- lium > in Geometria dimetiendo fuperficies & follda ro- tatione genita, ut VARIGNONIUS in A&is Acad,Paris;
1714. in determinando fitu corporis innatantis flttido, ut ARCHIMEDES de Infidentibus Humido & Gel. Dn.' D. ALEMBERT in Traité des fluides pag. 25. Poll Newtonum etiam lllum infequentes Phyfici demonftra-
runt utilltatera confiderationis Centri gr. plurium cor- porum fyftema quoddam componentium in inquiren-
dis motibus ipforum, quo ipfo motus fyftematis corpo-
rum eadem fere facilitate determinatur, ac motus cor¬
poris folitarü. Egregla funt, qute huic finl nuperrime
attulerunt MACLAURINUS in libro nunquam fatls
laudato Treatife of fluxions di&o & An. 1742. impres«
fo, atque Dm Ds ALEMBERT in eximio tra&atu TRAf*
TEde DYNAMIQUE An. i74J,&CeI. CAMUSTin ele-
gantiflimo opere Coursdes Mathematiques An. 1752. PIu-
ra quoque prceftantiffima, qu« hanc theoriam concernunf, habentur fparfa in Aétls Eruditorum, Aétis Acad. Reg.
Parif. & alibi. Ut hujus do&rinse, tam jucundse , quam utilis, aliquod habeamus quafi corpus, conflitui prseci-
pua huc pertinentia & alibi fparfim edita in compen-
dium mittere , cujus Partem Priorem, oculis Tuis L.
H. jam fubjicio, iperans fore, ut mltiorem huic addas cenfuram.
i h
<£*2 ; 6 ( $X0
§ l.
Virti, qua corpus nullo impediente obftaculo, ad
fuperficiem aquae ftagnantis perpendiculariter tendit, di-
cimus Gråvit a tem. Experienria fatis evidtum eft, nul¬
luni efie corpus nullaraque corporis particuiara, qu# vi
hacce non agatur> quaeque ea propter dicitur Gravis.
Cum itaque particulas corpus conftituentes, per fe gra-
ves confideremus, fingulce oifedtione perpendiculari ver-
fus aquse fuperficiem etiam feruntur, & hce ipfe diredtio-
nes , fecundum quas Gravitas conftanter agit, revera quidem ad fe invicem convergunt, tarnen in rninori di-
ftantlafifte errore fenfibili haberi poflunt parallel«.
Cum jam qusevis corporis particula, ponderofa cenfenda
fit» pondus maß« totius corporis, nihil aliud eft, quam
fijmma ponderum particularum , unde fequitur , maflfa
corporis non tnutata » pondus feu effectum Gravitatis
haudquaquam variari, quomodocunque variatur figura.
Redta vero fecundum quam corporis Gravitas agit, //"-
ne a dicitur verticalis feu direcito gravitatis.
Ita fi globulus plumbeus filo fufpendatur, adtio Gra¬
vitatis globuli filum verticaliter ftatirn extendit« readtio
autem fiii globulum retinendl huic plane eft oppofita.
§. IL
Centrum Gravitatis corporis cujusåam , eft pimäum^
quo manente fixo» corpus in quemcunque fitum redigitur
tamen poftea quiefcit.
Adeoque omne corporis pondus, in hoc pundto eft quafi coadtum. Hinc Centrum gravitatis folura pro corpore gravi, in demonftrationibus intérdum adblberi
fölet. Pundtum vero hoc aut extra aut inträ corpus po- fitum eft j ita Sphaerae Centrum Gravitatis fitum eft inträ ejus fuperficiem , fed arcus circuli nop item.
Quaevis redta per Centrum Gr. cörporis dudta Axis dicitur aquilibrii.
A i Quod-
) 1 c (ö®
Quodvis planum , per Centr. Gr. du<5lum dicitur Planum <equilibrii.
Et quemadmodum infinita redarum & planorum
multitudo per punctum quodvis duci poteft , ita efiam
<Axiurr» & planorum sequilibrii multitudinem concipere li¬
cet infinitam. Cum quaelibet ejusdem corporis pars, per fe fpedata, fit corpus grave, cuilibet fuum quoque eft
Centrum Gr. particulare, in quo colieda ceqfeatur, o- mnis partis hujus Gråvitas, adeo ut Centrum Gr. totius corporis , nihil aliud fit , quam Centr. Gr. Centrorum partium. Eadem ratione facile pofiumus concipere, plu-
ra diftinda corpora ita cohserere poffe, ut unum quafi
conftituant corpus, cujus Centrum Gr. totum corporurn
fingulorum pondus contineat.
Corpus autem tali modo pluribus compofitum &y*
flema torporum diel folet , & Centrum ipfius Gr. Cen¬
trum Syftematls nominatur.
Centrum magnitudinls , per quod figura plana vel
folida in duas partes sequales dividitur, idem eft, in iU
Iis homogeneis, quse fecundum Iongitudinem in partes fimiies & sequales fecari pöftunF, ac Centrum Gravitatis.
Schol. Licet punda, Iinese & fuperficies, Geome¬
tris non fmt nlfi termini extenfionum, & adeo pondere
deftituantur , illa tarnen in Staticis ut gravia confi-
deramus , & propterei Centra ipforum Gr. indaga-
mus. Licet elementa infinite parva corporum & figura¬
rum planarum, non fint plana & linese, tarnen heic abs»
que metu erroris ita haberi pofifunt, adeo ut Centrum
Gr, corporis & figurse planae fit cenfenduna Centrütft
omniurn elementorum, atque inveftigatio Centri Gr.
corporis vel figurse planse, fit inveftigatio Centri pla*
norum vel linearum unde coneipiuntur compofita.
k Iii
<£££ ) 8 ( S&2
§. Ht.
ft« * r. Si plura torpora A, i?, C libere fufpendantur in l\
funiculo DG per Centra F, F, G transeunte, pun- ttutn fufpenfionis D fixum & Centra Gr. parttcularia E,EG, ut & fyflematis, in eadem rett a verticalt DG éeprebenduntur.
Quando fyftema corporum horum ad quietem per- venerit, quodlibet corpus, ex quo inferius pendet, ut
pundum fixum, & funiculus ut linea infiexibilis confide-
rari poteft.
Qyum omnls corporis C gravitas (it in Centro Gr.
G quali unita , & ex illo pundo pendeat corpus, illud
mox filum (§. i») verticaliter extendit, & filum ut re¬
da infiexibilis fpedari poteft, quarum extremitates (unt
punda G, F ergo punda G, F funt in eadem reda ver«
ticali. Sed corpus C, gravitate fua non aliter agit in pundum fufpenfionis F ac fi ei efifet affixum , quare con»
cipere pofiumus i totam corporis C gravitatem efle In
pundo F coadam. Cum jam pondus pundi F, feu cor¬
porum C, & B in pundum E Centrum Gr. Corporis A, agat 9 erunt per praec, punda E, F, in eadem reda verti- cali. Si jam corpora A, B, C ut partes fyftema compo»
nentes confiderentur, quod in pundo D (ufpenfum «equi-
librium tenet, fequitur, Centr. Gr. Syftematis efte in reda DG.
Corol. Hinc patet, Centr. Gr, linea; redae gravis,
efte in ipfa pundum quoddam.
$. IV.
Fig* 2. Centrum Gr* Syftematis duorum corporum cequt
gr avium, eft in medio rett te centra Worum con•
jungentis.
Sin t A, B duo corpora seque gra via, quorum Centra, C, D reda conjungantur CD, quae in E bifariam feda filo
fofpendatur, dico Syftema sequliibrium fervareln fuuquo-
cun-
) 9 (
cunque, five horizontal! ßve ad horizontcm inellnafa Dem. In cafu priori veritas ftatim patet, cum nul- la inveniatur ratio, cur una pars alteram movebit > quam-
obrem in eequillbrto Sylterna neceflario manebit.
Caf. i. Cum reda CD ad horlzontem incli- Flg. /.
natur, concipiarnus in piano verticali per pun¬
ctum E redam horizontalem FEG, cui occurrunt dire- dionesGr. corporum verticales CF, DG, & fit FE =3 EG,
cum fit CE=: ED, Si redam FEG cum CD in pundo F.
firmiter conjungi cogitemus, tum corpus A refpici pol«
eft, quafi filoCF fufpenfum, & corpus B quafi ftylo DG
fuftentatum. Agit igitur tota corporum gravitas in ex- tremitates redce FEG, eodem modo, ac Ii ad illas efient adplicata. Itaque per caf. I. Sylterna immobiliter quiefcit
& Centr. Gr. Syliematis, in medio redse exiftit.
GoroL 1. Si duo corpora aeque gravia, vel Fig% 2.
quotquot placet, paria, ad diflantias sequales a
pundo E, ad redarn CD adplicentur, liquet, pundun»
E femper manere Centr. Gr. horum, & Syftematis.
Coroi 2. Elementa figurarum tanquam corpora par-
\va refpicimus, omnis igitur figura , cujus elemento-
rum Centra in eadem lunt reda, habet in pundo hujus intermedio Centr. fuum Gr., fi modo elementa hsec, ad
diftantias sequales a Centro, bina qualibet vice fumta se#
qualia deprehendantur. Liquet etiam Centr. Gr» linese
redae efle in pundo, ubi bifariam fecatur, quod quoque
centrum magnitudinis audit.
Corel. 3 Si Sylterna duorum corporum, A,B, in me¬
dio redas Centra ipforum conjungentis , fufpenlum vel
fuftentatum, sequilibrium tenet, erunt corpora seque gravia» Si enim non. Sit tum corpus A gravius ipfo B,
auferatur igitur exceflus, & aequilibrium obtinebitur. Sed
corpus A una cum exceflu etiam sequiponderat ipfi B, quod
implicat, ergo corpora seque gravia fünf.
«W ) !0( (5%2>
§. V.
Centrum Gr. Par alle loqrammi, Circuit ? Elfipfeort
polygoni regularis, cujus latera funt paria , in media re-
B £ t figur am in ditas partes äquales fet antis, Paralleli-
pipedi, in medio reffte Centra bafeos & lat er i s oppofiti
tonjungentis , Cylindri, Spb&r<e & Elltpfoidis in medio
Axeos exifiit.
Hoc facile deprehenditur, fi confideremus omnes hat figuras elemen tis efle compofitas, quorum centra parti,
cularia in eadern inveniuntur reda. Coneipiamus igitur
Parallelograrnmum, Circulum, Eliipfin, Polygonum, com»
pofita efle redis paralielis 5 Parallelepi pedum lamellis pa«
rallelogrammis sequalibus; Cylindrum lamellis circulari-
bus sequalibus 5 Sphoeram & Ellipfoidem lamellis circula-
ribus, fed inaequalibus.
Quoniam igitur Parallefogrammum, Circulus, Elli«
pfis, Polygonum redis paralielis perimetro terminatis ,
conftant, quarum fingulce Centrum fuum in pundo in-
termedio habent, reda, quse duas harum in partes quales dlvidit, etiani omnes reliquas bifariam fecabit &
confequenter ipfam figuramj Itaque omnia elementorum
centra in eadem reda funt. Cum jam elementa harum figurarum in diftantiis sequalibus a pundo hujus rede in-
termedio , bina qualibet vice fumta oequaiia funt, erit
per (Cor. 2. §. IV.) pundum intermedium redse, Pa¬
rallelogrammum, Circulum, Eliipfin, Polygonum in par¬
tes aequales dividentis , Centr. Gr. barum figurarum. Eo-
dem modo demonftratur Centr. Gr, ParalJelipipedi & Cy¬
lindri efle in medio red® centra bafeos & plani oppofiti connedentis, nec non Sph®r® & Ellipfoidis efle in nie- dio Axeos.
Perimefrorum & Superficieruna harum figurarum,
Centra eadem efle ac Centra figurarum clarius eft, quam tat demonftratione egeat*
I. VI»
) tt i
§• VL
Irianguli cujuscunque Centr, Gr* invenire. Fiq, 4«
Sit Triang. ABC, cujus Centr. Gr. quaeritur;
a pundo A ducatur reda AD latus oppofitum BC bifa*
riam fecans in pundo D. Imaginemur triang. ABC e- lementis redse BC efie compofitum, quse omnia una cum
bafi, reda AD bifariarn fecat. Elementorum igitur o-
mnium Centra Gr. erunt in AD, quamobrem (per §*
§. 3. 4.) Centr. Gr. Syftematis hoc eft Trianguli,
ABC in illa invenltur. Si a pundo B ducatur BE latus oppofitum AC bifariam fecsns in E, eodem modo apparet
Centrum Trianguli efie in ipfa. Eft vero eriam in AD,
quare erit in iplarum pundo interfedionis F.
Corol Si punda D, E jungantur reda, erit DF ~ fAD,
& AF = |AD. Nam, ob triangula DCE, BCA Emilia,
erit CE: CA::ED: AB, & ob triangula DFE, AFB Emi¬
lia, erit ED: AB.\*DF: FA, quare CE!CA::DF: AF. Sed
CE=s i CA ergo DFs § FA hoc eft DF=|AD,& FA =3 I AD,
§. VII.
T rapezii ABDG Centrum Gr. det er minär e*
Ducatur diagonalis ADtrapezium in triangula ADB,
ADC dividens, quorum centra gr. (§. VI.) Ent in pun-
dis E, F,dudaEF, erit Centr. Gr. triangulorum feu fy-
ftematis (§. III.) in reda EF. Ducatur etiam diagona¬
lis CB efficiens triang. ACB, CBD. Centra horum pari
modo quceEta, Ent in pundfs G,H, & in reda hasc con-
jungente erit Centr. Syftematis. Cum jam Centr. Gr.
trapezii erit, & inreda EF, & in reda GH,necefiario e-
rit in ipfarum interfedione K. Q E. D.
§. VIII.
Pentagoni & Hexagoni redilinei cujuscunque eodem
modo indagari poteft. Ducatur Diagonalis Pentagonum
In partes dividens, quarum una eft triangulum, altera
B 2 trape-
(SS® ) « ( as®
»ranczium. Centra horum Gr. (§. VI. VII.) combinen-
rur refl». ln Qua Centrum Gr. Syftematu (eu figur« po-
Cm ett. Pari ratlone duéh alla diametro tnangulum
& ttapezium aliud efficiente, erit quoque Centr. Gr.
Svftematls in refla horum Centra conjungente. Hs
vero du® rett® Centra utriusque Sy liemans conneaen-
,es , fe Invicem fesant, & punflum interfeélionu ent
fYntr Gr Pentagoni. •
Hexagonum fimlliter du<flis duabus diametns, que
nnatuor diverfa conftituunt trapezia habere Centr. Gr. in
nuntfo interfedionis reaarum centra trapeziorum con-
neaentium modo jam allato oftenditur.
Pariter invenitur Centr. Gr, cujusvis plani re^ilf.
nei, dividendo liguram, duabus vicibus in duo polygona.
§• fi
Centr Gr. Prismåtts cujusvis ef t in medio rett&
centra bafium conjungentis,, Namconfideremus, quodll.
bet Prifma lamellis parallells bafibus efife compofitum,
oatet rediam Centra bafium conneaentem, etiam trans-
ire per omnia elementorum Centra , qusmobrem , ut
fsenius demonftravimus r Centrum Gr. eft in medio hu-
ius reace. Qyum indicavimus (§. VIII.; quomodo
Centr Gr. cujusvis plani redilinel indagetur, faciie con- ftat ' quomodo Centrum cujuslibet Prifmatis invenietur,
§. X.
Pyratnidis cujus cunque Centr, Gr. reperitur in vetta
u vertice ad bafeos Centrum Gr. ducfa quoe ncbisj heic
brevitatls gratia dicatur Axis. Concipiamus pyramidem
refolvi in lamellas bafi parallelas & fimiles. Qyum la¬
mells omnes Centra fua Gr fimiliter ac bafis pcfita ha- beant, transibit reéta a vertice pyramidis duåa ad Centr.
baleos , per omnium lamtjlarum Centr. Gr. quare per (§. IIU Centrum Gr. Pyramidis quoque in hac pofi-
,um eft'
«. vt.
WS? ) ii C W?
$. XI.
Detmninare Cetitr♦ Gr. Fyramidi s triangularis* Fiq. f*
Bifecetur triangulorum BCD , ACD latus
commune DC in G, dudis ad angulos oppofitos redis AG, BG, fumatur GF=|AG, & GE = |GB, Con-
nedentur EA, FB. Hs duse redas in eodem piano nl-
mirum AGB exiftentcs, fe invieem (ecant in pundo H, quod Centr Gr. pyramidis efle dico.
Dem. Cum AG fit tripla ipfius EF, & GB fit tripla ipfius EG erunt punda E,F, Centra gr. triangulorum
ACD, BDC Ted fi haec triangula fuccelfive confideren-
tur, ut bafes pyramidis, erit , (§. XJ Pyramidis Centr.
Gr. in FB , AE adeoque in illaruni pundo interfedionis H.
Corol. /. Conjundis E, JF, erit EHs-JaE, &
AH = |AE. Cum AG, & BG in eadem proportione
fedce fint in pundis E, F, erit FE, parallela ipfi AB
quamobrem triangula GEF, ABGj EHF, AHB funt fi-
milia, quare GE: GB;:FE: AB & FE: AB::EH: AH, fed
GE= | GB (§. VI. cor.) ergo EH=: f AH= £AE, &
AH=|AE.
Corot. 2. Si a vertice Pyramidis cujuseunque, reda
ad centrum Gr. bafeos ducatur, & ita fecetur, ut pars
vertici vicinior fiat tripla illiusa centro bafeos, pundum
fedionis erit Centrum Gr. Pyramidis. Confideremus pyramidem, cujus bafis fit planum quodvis redilineum,
partitam eße in tof pyramides trianguläres , in quot tri¬
angula dlvidi potdl bafis. A vertice communi conci-
piamus redas ad centra bafeos triangulorum dudas. Re¬
da a vertice Pyramidis ad Centrum Gr. duda ita divida-
tur, ut pars vertici vicinior fit tripla reliquae, & imagi-
nemur planum dudurn bafi parallelum per pundum hoc
fedionis, facile demonftratur illud proportionaliter feca-
re redas, a vertice ad Centra fingula bafeos dudas, ut
fiant omnes vertici viciniores, triplse reliquarum, adeo¬
que
\
) i4 (
iiue punda interfedionis Axiurn, erunt Centra Gr. par<
ticuhriom Pyramid um. Cum centra particularia in eo- dem quoque piano exiftant, erit in illo etiam Centr, Gr, Syftematis h. e. totius pyramidis. Sed Centrum Gr, py- ramidis eft in axe, quare erit in pundo, quo planum
axem fecat,
Corol.j. Cum Conus in Methodo Indivifibilium con- fideretur, ut Pyramfs laterum infinitorum, patet Centr.
Gr, Coni efte in pundo Axeos cujus diftantia a vertice tripla eft illius a bafi.
5. XII.
Fig- 7. Cum duo pondera AB extremitatibus re&& CD
tion gravis eilligata filts CG, DH & EF, fufpen- fa in (gquihbrio fint, pondera erunt in ratione reciproca
di fl ant i artim a pundo fufpenfionis, feu Centro Gr. b. e.
A: B::DF: FC.
Concipiamus redarn infiexibilem MN gravitatis ex- pertem per centra ponderum dudam. Sit dimidium fum-
mx ponderum A, B fuper redarn GH sequaiiter difper-
fum & dimidium ponderis A fefe extendat ad pundum K
& dimidium ponderis B occupabit refiduum HK, adeo
tit erit A: B::GK:KB. Fiat GM=GK, KH^HN, fu¬
per quas rellqua dimidia ponderum fupponantur sequali-
ter dispergi* Et licet pondera fuper redarn MN duplam ipfius GH, hoc modo difpergantur, fitus tarnen Centro*
rum Gr. nec mutatur, nee aequilibrlum turbatur, cum ut
prlus agant in extremitates CD filorum beneficio. Prse-
terea obférvamus Centrum Gr. redae MN sequaiiter one-
ratce (§. IV, Cor. 2.) efle in pundo ejus intermedio L &
in diredione fiü verticali. Cum MN dupla £it tam ipfius GH, quam ML, erit ML^GHj ablata vero parte com«.
muniGL, erit MG s LH, fed MG =: GK, ergo GK =s LH;
addita utrobique KL, erit GL=KH. Jam vero eft
A:B::GK:KH, quare, fi pro GK, & HK fubftituantur
ipfis
) 15 C
Ipfis äquales LH, GL, erit A: B::HL: L,G. Cum autetn dire&iones filorum CG, FL, DH, fint verticales & conle- quenter parallel« fecant reélas CD, GH in partes propor¬
tionales, adeo ut HL: LG:: DF: FC, fed eft A: B:: HL: LG, ergo A:B::DF:FC.
Corol. Duo pondera A,B ad extremitafes red« appen- fa in «quilibrio erunt, fi diftantiae a punéto fufpenfionis
Et (unt reciproce, ut pondera h, e. A?B:: FD:FC. Si
non. Ex aiio ig!tur punéfco P, ubi In «quilibrio inane¬
bunt, fufpendantur. Itaque A: B:: DP: PC fed eft A:Brr
DF: FC, quare erit DF: FC:: DP: FC & componendo DC: FC::DC: CP, quodefi abfurdunij ergo in É, sequilt- brium fervabunt»
Schol. Qyum heic confideremus fila ut graviratis expertia, ad aequilibrium nihil referf, titrum pondera ad
extremitates ipfas reéne CD immediate appiicentur, an fiiis longioribus, vel brevioribus fufpendantur.
§. XIII.
Datis ponderihus quotcunque corporum A, //, C, Fig.
tina cum (itu Centrorum ur* fingulorum F, F, G,
invenire Centrum gr. Syftewatis, five centra partieukiria
in eodem fint piano, five non,
Centra duorum corporum quorumcunque E, F* con- jungantur. Reéta EF i ta dividaturin K ut fit A;B::FK:
KE quare (f. XII. Cor. L) Centrum Gr. corporum A,B
eft in pundo K, in quo femma horum ponderum cenfea-
tur colleéla» Ulterius conneélantur centra K & G refåa GK, quae dividatur in L ut A+-B: C: :GL: LK ideo pun¬
ctum L eft Centrum Gr. Syftematis corporum. Fa¬
dern ratione indagatur Centrum Gr. Syftematis fi plura
fint Corpora. Demonftratio facilius ex antecedentibus deducitur, quam ut Hlam heic afferamus.
§.XIV.
) 16 c c
j. XIV.
Prseeedentla aliam nobis oflferunt methodum, inda- gandi Centra Gr. corporum, nimirum confiderando eo-
rum momenta. *
Produélum ex corporis ponnere & diitontia Centri
Gr ipfius a puncfto vel linea redh quacunque, vocamus
Moment um, relative ad hoc punftum, vel linesm. M0*
m^ntum igitur relative ad pun&um vel lineam quandarn,
quam Ax em nominamus, per pondus corporis divifum,
dat diftantiam Centri Gr. corporis ab hoc punélo vel
^inG*Corol, Moirenta duorum corporum sequalia fiunf,
dum relative ad centrum Gr. Syftematis vel Axem quem- cunque per hoc transeuntem defumuntur.
Fja. 7 Si F eft Centrum Gr Corporum , erit A:B::DF:
FC, quare A-h-FC=: B-h-FD. Si relative ad Axem Fi g, g. quemcunque GH, duélae parallel® CG, DH red-
dunt triangula CFG» DHF funilia, quare CG:
DH:: CF: FD Ted CF: FD:: B: A & propterea CG: DH:: B: A
& confequenter A +- CG ss B 4- DH.
$. XV.
Fig. g. Si a centris C, D, Gravitatis partkularibus du$.
rum corporum A, fl & et Cent ro Gr. Syftematis
F åucantur paralleU quavis CM, DK, FE, ad Axem YZ fecantem redarn CD in pund o $ vel i; producta A x CM
vel Cm , B x DK vel Dk, A*-Bx FE expriment Momen «
ta corporum & Syftematis relative ad Axem YZ fiveper- pendieularem fivc obliquam.
Caf. i. Cum corpora ad eandem parten» Axeos con-
ftitötalunt, fumma Momentorurn corporum A, B, se- qualis erit Momento Centri Gr. Syftematis F, hoc eft
A x CM+-B x DK= Ä+-B x FE.
Per
>1 y( %m
Per pun<flum F ducatur GH Axi YZ parallela OC*
rurrenS: CM & DK producta in pönélis G, H, quare GM= FE = HK. Itaque DK aut KH - DH=; FE - DH
& CM ÄirCG4-GM ss CG+-FE erit B x DK =: B x FE- B x DH & A x CM =; A x CG-H A x FE. Ergo B x DK+-
A x CM =3 B x FE — B x DH+- A x CG+- A x FE. Sed ($.
XIV. cor.J B x DH =3 A x CG quamobrem fe invicem de- ftruunt ideoque erit B x DK-f-A x CM =3 B-+-A x FE,
Caf. 2. Cum Axis inträ corpora reperitur tum dif-
ferentia Momentorum «qualis erit momento Centri Gr»
Syftematls, id eft A x Cm- B x Dk=s A+-Bx Fe QyumCmautCG+-G«n=: CG-nFe& Dk aut DH—•
Hk =3 DH — Fe, itaque A x Cm =s A x CG+- A x Fe &
B x Dk =2 B x DH— B x Fe quae sequatio a priori dematur, Propterea A x Cm — B x Dk — A x CG+- A x Fe— B x
DH-+-B x Fe Sed A x CG=s B X DH ergo A x Cm— B x
Dk=: A+-B x Fe.
Cor, Hinc quando punélurn J cadat extra corpora InreétaCD erit A x CJ-f-B x DJ=s A+-B x FJ. Quando au-
tem punélum i inter corpora cadat, erit B x Di— A x Ci =a A-t-BxFi.
§. XVI.
Si per Centra Gr. payticularia F,F,G, in Fig.&
eadem reSta non extftentia, corpornm quotcunque
A, B, C, & per Centrum Gr. Sy/lematis L ducantur ad A-
xem YZ, parallell Gg, Ee, Ff, Ll; reprxjentabunt producta C h G%, A * Ee > B* Ef Momenta corporum
A, B, C refpe&u Axeos YZ ef A+-B-*-€h Ll repra/enta*
bit Momemum Sy/lematis refpe&u ejusdem Axeos.
Caf. i. Quando omnia corpora ad eandem Axeoc partem conftituta fuerint> erit fumma tyfomentorum o- mniura corporum sequalis Momento Centri Gr.L Fyfte-
C maus»
) 18 (
cnatif, hoc cft., A x Ee. -B x Ff+-C x Gg=s A+-B-»-C k Lf
Sit punélum K Centrum Gr. corporum A, B.
Duéla Kk ad Axim YZ erit ($, XV.) A x Ee+-B x Fi =3 A-nßxKk. Jam pondera A & B ut unum confideren»
tur in K pofitum. Sit iterum punélum L Centr. Gr. Sy-
flematls corporum A, B» C. Duéla LI erit A+-B xKk-t-^
C x Gg =3 A-hB-h C x LI fed A+-RxKk=: AxEe-nB*
Ff, ergo A x Ee+- B x Ff+- C x Gg A-h B-h C x LI & Li
_
A x Ee-HB x Ff-nC x Gg
AHB+-C
Caf. 2* Quando corpora non ad eandem Axeos Y2
partem funt conftituta, Sit corpus A ad alteram partem
Axeos in punélo E, tum differentia inter Momentum
corporis ab una parte Axeos & fummam Momentorum
ab altera parte % cequalis erit Momento Centri Gr» totius
Syfiematis, h. e. B x Ff+- C x Gg— AxEe = B+- ChA x
Li. Hoc eodem modo demonftratur.
Corel. /. Si Axis , cujus refpeélo Momenta confide-
rantur, transeat,. per Centr. Gr. corporis cujusdam, Mo*
mentum illlus corporis nu!Tum eft, cum di/lantia frt nulfa*
Corol 2. Per hane Methodum poffunt quoque Cen¬
tra Gr. fijperficrerum IndagarL
Corol. A Centris Gr. corporum A, B, C, ut cun»
que in éodem piano pofirorum, & a Syflematis Centro
Lr ad Axem YZ ducantur reélse parallel» Ee, Ff, Gg,
LI $ ad reélam Li per Centrum Syflematis transeuntem &
produélamy fr opus>v, ducantur a Centrls corporum reélae
EE, FF* GG, parallel» Axl YZ. Ob reélas Ee, El; Ff,
Fl 5 & GgrGl«qu»res,atqueAxEe-HBxFf+-CxGg=3
Å-hB-hC x Ll erit A x EI+- B x FI-h C x Gte.åhB+-C x
LI. Ai-
i» ) j-q i wr
Li* Adeoque fi corporum quotlibet Centra Gr. fint fn ea-
dem reåa, & punétum quoddam extra ipfa in illa fuma-
tur, erit furorna produ&orum ex quovis eorpore infuam
a punélo diftantlam, sequalis Produ&o ex diftantia Cen-
tri Gr. Syftematls in fummam ponderum corporum. Ea-
dem valent, (i quaedam corpora pofita fint ab altera par¬
te Axeos, folum obfervetur, quod illorum diftantise ab>
Axe negative iumantur.
5. XVII.
Centrum Gr4 Sy/kmatis corporum quotcunque in €*•
dem piano fitorum det er minär e.
Caf. t- Si corporum fingulorum Centr. Gr. Fig.
fint in eadem refta FE, nimlrum in pun<ftis
F, G, E; In illa re<fta, fi placet producta, fumatur punélum quod vis 1, a quo fumatur Lira A x EI-hB x F1«hC * Gl.
Demonftratio apparét(cor. j.^.xvi.) "Ä+-B-+-C
Caf. 2. Si corporum A, B, C Centra non fint in ea*
dem re<fta; fit YZ Axis, cui In v ad angulum quem*
cunque oecurrat alius Axis yz. A Centris particularibui
corporum ducantur re&ae ad Axem utrumque älteri pa¬
rallel«. Et quaefita fj.XVIJ diftantia Centr! Gr» ab Axe primo YZ, fumaturvn in Axe fecundo yz, ipfi aequalis.
Similitur qu«ratur diftantia Centr. Gr. ab Axe fecundo
yz, fit illa vi, A pun&o n ducatur reda Axi YZ paral-
lela & a pundo i ducatur reda Axi fecundo paralleia, fe"
cabunt hae fe invlcem in pun&o L. Dico fllud effe Cen¬
trum Gr. Corporum. Demonftratio ex antecedentibus facillime colligitur.
Suponamuspondera corporum A, B, C=s <5,3,f refpe- dlive, diftantlas yero ab Axe primo YZ, Ee, Ff, Gg=s 4,16,12 erit Ll=s A x Ee+- B * Ff -fr-C * Ggr; 14^48-Hgo m pf.
A~<—B-i—C """" 14
itaque fi a pun&Q v in Axe fecundo yzjfumatur vn=s pf
v i c t erit
) *> (
erit Centr. Gr. Syftematis in reda nQ_, qua? per pun-
dam n parallela axi YZ ducatur.
Sint ab Axe fecundö diftanfiae Ee< FfrGg:S Jj4>8> e»
rltLn= B x Ff*-C x Gg— A * Eess n>h 40-- 18 33 2f •
Ah—BH- G 14
Sumatur ergo ab Axe fecund© yz in reda nQ, nL=r
erit L Centr. Gr SyBematis.
Si vero Axes in Centro Gr* unius corporis A, fibt*
iretipfi occurrerent fequenres eruuntur valöres diftantia-
fum. Sint in eo cafu diftantlasab Axeprimo Ff,Ggs y,4 ab Axe fecundo äquales d, 8. Erit ab Axe primo diftatt.
ftia LI ~ * B x Ff *«• C x Gg sa f y+- 20 sa 2\ & ab Axe fe«
A -+-ß h— C 14 cundoss iS h-4q=5
14
Schol. Pofuimus hadenus Axes Momentorum & cor*
pora ornnia Syftematis, quorurn Centrum commune in- dagavimus, In eodem piano, fed f» acciderit, ut in diver- fis eflent planis, tum loco Axeos concipiatur planum ad quod redas parallelas a Centris corporum particularibui
duci imaginemur.
% XVIII.
JFig,t0> Si allatis folum adplicetur Anatyfis Recentiorurn,
habebimus generalem methodum in omni fere cafu determinandi Centr. Gr. datse Figurse, Lineas vel fuperff-
cieL Nimirum » qvum , ut ex anrecedentibus paret, Centr» Gr Figurae planar fit in interfedione duorurn A-»
xium sequilibri!, hsec unice erit quserenda, vel pofitio
duorum Axiom aequilibrii, quae heic eodem fundamento Inveitigatur, atque fadum eft in (§. XVII.)5 confidera-
tur figura refoluta in elementa asqulponderantla, & duo
aflumuntur Axes momentorum . unus ut AF, qui duci-
tur ab initlo abfciHarufii A par a lie lus ordinatac 5 & alter
AC
§XD ) 2i ( ££9
AC Ipfe Axis figur®. Relatione horum elementorimi ponderantium feu ponderum ad priorem Axem AF obri-
netur diftantia Centri Gr. ab iilo, cui cequalis ex ACab-
feindatur AH; relarione Ipforum ad alterum AC habetur tlillantia Centri ipfius ab AC, cui ®qualis ex a abfcin-
datur AE» red® ex pundis H, E, inventls, du<äse paralle¬
ll fingulis Axibus momentorum, erunt Axet ®quilibrii,
& ipforum interfedio erit Centr. Gr. Figur®. Sit i:o
AMBC planum, quod fuper Iineam GH ®quiponderat.
Confideretur ordinata MN ut pondus, & fit AN= x, MN
s y erit MN * AN feu yx momentum ipfius refpedu A-
xeos AF, quod igitur in differentiam ipfius AN dudurn
dabit yxdx differentiam momenti plani AMNj cujus
fumma, pofito x — AC, exprimit momentum fotius pla¬
ni, qu® igitur fumma per aream ABC £eu Sfydx) dlvifa-
j2t diftantlam AH Centri Gr. ab Axe AF, hulc S(yöxj
aqualis fumta AH & ex H duda HG paraliela Axi AF*
erit ijla unus Axis aequiiibrii transiens per Centr. Gr. fi¬
gur®. Pari modo quaeri poteft inBC diftantia Centri Gr.
a pundo R Sed expedhius , a purido C, cum AC as-
fumitur axis momentorum ; Nimirum cum elementum fi¬
gur® feu ydx heie fit pondus , hoc dudo in fy ipfius
vvdx
Centr. Gr, diftantlam ab AC habebitur, —Mornen-
tu m, & ejus fummå rlivHa per furnmam ponderum feu areiriv figur® hoc eft ™^~^-exprimit diftantlam Centr Gr. aft
AC v cui fi io AF ®qualis fumatur AE & a pundo E ducatur
reda paralkda ipfi A C, in ipfi erit quoque Centr. Gr, figur®,
adeoque in interfedione K. Si reda AC fecuerit figurana
In partes äquales & fünftes» transibit ipfa per Centr, Gr.
quod
) ** C <§*3)
quod obtinebitur abfcindendo ab ipfa redarn «qualem i^Cxydix
_iSfxydx)
i6(ydx>r ^(ydx)
Sic a:o ABC figura folida, rotatione curvce A MB circa Axim AC genita, & fit MN feétio ipfius bafi pa- rallela, quae erit clrculus radio y defcriptus. Dicatur is
tantifper A, exprimet Ax momentum, & Axdx ipfius differentiam, cujus fumma divifa per SfAdxj fummam pon¬
derum, obtinebitur diftantia quaefita Centri Gr» in Axe a
vertice fummenda. Si p dicatur area Circuii, cujus radius ert unltas, erit heie A=s pyy, adeogue AH —
*Hpy2dx>
S(y2xåx)
ÄS(yidx)
Haje ut facllius intelligantur, rem exemplis. illuftra-
bimus.
Fig. 4. Sit triäng. ABC cujus Centr. Gr, quaeritur. Ex
antea demonftratis erit, in reda AD bafin BC bifariam fecante, Centr Gr. triangulb Fiat AD=3a,BCs
bx
b,AN = x, MM ss y erit y =3 — & duda AG=c, per-
cx
pendiculari ad BC, erit AP= — ejusque differentia ert
31
cdx,
., , . bcx»dx
—' Momentum igitur erit yxdx =3 -a< cujus fumma
fc° per aream AMM sa divifa, dat dl- rtantiam Centri Gr. a verticess-fxss fAD, cum fit xas
AD. Et fic in ceteris.
Fig. n. Sit Sit ABC A|fs Semlparabola, x,MN s y, In cujus »quatio ert Momento yxdx y* fubfti- = px
tuitur
«W ) 2 J ( «S»
tuitur valor ipfiu« y fp|x4) erit ■S'Cpj.x|dx)= gP^?.?g -yX!i
jxy n
quae fumma per aream AMNä ex natura parab. di- vifa, fit |x; Si jam prox ponatur AC prodibit diftantia
Centri Gr. ab A =3 f AC=s AH.
Pro determinanda diftantia Centri Gr. a re$a AC,
in exprefiionem generalem , priui inventam
fubftituatur pro y», px, & integretur prodibit. fy, feu JBC =3 CL. Dudlis jara per pun&is Hf L reétts paralle¬
lls BC, AC, pundum interfedloni» K Centrum fiJtifc
Gravitatis.
Si ABCfit Segmentum Sphseree vel Sphaeroidls Fig*ti*
bb Fiat Axir major äs, & axis minor =3 b, erit yis x
ax — xx ex nat Ellipf. & In fummam Momentorum per
aream dlvifam fubftituto jam pro yz Ipfius va-
..
S(x dx k ax— xxY — lax?— |x4 — fax— Jx*
lore. 1 evadit — — ' —- 7—. ~—7—
.Sfdx x ax— xx fax3-» f xJ |a—fx
x * 4a— 3x— AK«.
Ä öi— 4X
Si Hat x=: |a, erit AKss Sin fiaf xss a, fiocefF~
Certr. Gr. quaeratur totius Sphaerae vel Sphasroidis, erit:
AK — Indiek) quod Centr-Gr. fit in Centr. magni-
tudinis, ut prius demonftravimus ex alio
fundamento.
$. XIX.
"
