UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
ETT EXEMPEL MED TV ˚A TANKAR.
Antag att vi har tv˚a lika stora tankar med volymen 24 l, inneh˚allande en saltl¨osning, A och B.
Antag att vi har ett fl¨ode av rent vatten i tank A med hastigheten 6 l/min och en dr¨anering fr˚an tank B med samma hastigheten s˚a att v¨atskem¨angden i systemet ¨ar konstant. Saltl¨osningen i b˚ada tankarna blandas genom ett v¨atskefl¨ode mellan tankarna. Fl¨odet fr˚an A till B ¨ar 8 l/min och fr˚an B till A 2 l/min.
Best¨am saltm¨angden i var och en av de tv˚a tankarna vid tiden t om m¨angden salt vid t0= 0 var x0 kg i tank A och y0 kg i tank B.
6 l/min
8 l/min
2 l/min
6 l/min
A B
24 l 24 l
L ¨OSNING:
L˚at x(t) och y(t) beteckna m¨angden av salt i tankarna A, resp. B vid tiden t . Koncentrationen i tank A ¨ar d˚a x(t)
24 kg/l och koncentrationen i B ¨ar y(t) 24 kg/l.
F¨or¨andringen av saltinneh ˚allet i A sker endast genom fl¨ode till och fr˚an B. Det inkommande fl¨odet ¨ar: 2 ·y(t)
24 =y(t)
12 kg/min och det utg˚aende fl¨odet ¨ar 8 ·x(t) 24 = x(t)
3 kg/min.
F¨or¨andringen av saltm¨angden i tank A ges, allts˚a, av:
dx dt =y(t)
12 −x(t)
3 ⇔x0= −x 3+ y
12
och p.s.s. i tank B:
dy dt =x(t)
3 −y(t)
12 −6 ·y(t)
24 ⇔y0= x 3−y
3. Allts˚a vi vill l¨osa ekvationssystem:
x0 = −x
3 + y
12
y0 = x
3 − y
3 Ett s¨att att l¨osa systemet ¨ar f¨oljande.
L¨os ut x fr˚an andra ekvationen: x= 3y0+ y . Derivera och s¨att in i f¨orsta ekvationen. Vi f˚ar:
x0= 3y00+ y0 och 3y00+ y0= −y0−y 3+ y
12⇔3y00+ 2y0+y
4= 0 ⇔ y00+2 3y0+ 1
12y= 0 som ¨ar en linj¨ar, homogen ekvation av andra ordning med karakteristiska ekvationen: m2+2
3m+ 1 12 = 0 med r¨otterna m1= −1
2 och m2= −1
6 och den allm¨anna l¨osningen:
y(t) = C1e−2t +C2e−6t.
Ins¨attningen i x(t) = 3y0(t) + y(t) ger:
x(t) = 3
−C1
2 e−2t −C2 6 e−6t
+C1e−2t +C2e−6t = −C1
2 e−2t +C2 2 e−6t och den allm¨anna l¨osningen till systemet ¨ar:
x(t) = −C − 1
2 e−2t + C2 2 e−t6 y(t) = C1e−2t + C2e−t6
Begynnelsev¨ardesproblem ger systemet:
(
x0 = −C1
2 + C2
2 y0 = C1 + C2
som har l¨osningen: C1= y0−2x0
2 och C2=y0+ 2x0
2 . L¨osningen till v˚art problem ¨ar allts˚a:
x(t) = − y0−2x0 4
e−t2 + y0+ 2x0 4
e−t6
y(t) = y0−2x0 2
e−t2 + y0+ 2x0 2
e−t6
