HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
Algebraiska uttryck:
Räknelagar:
lagen va
distributi ac
ab c b a
lagar a
associativ bc
a c ab c b a c b a
lagar a
kommutativ ba
ab a
b b a
)
(
)
( ) ( ) ( ) (
,
+
= +
= +
+
= + +
= +
= +
Potenser:
a a1 =
a a a2 = ⋅
a a a a3 = ⋅ ⋅
…
a a a
an = ⋅ ( n gånger ) ---
= −
− ,nudda tal
jämnt tal n
) ,
( n
n n
a a a
) ( )
(a−b =− b−a
2
2 ( )
)
(a−b = b−a
--- Potenser med heltalsexponenter:
Om x och y är hela tal då gäller följande potenslagar:
---
(Aritmetiska) Rötter: n a =b⇔a=bn ( a≥0, b≥0, n=1,2,3...) För udda exponenter definieras även roten ur ett negativt tal:
n
n −a =− a ( a≥0, n=1,3,57,...) Potenser med rationella exponenter:
Om a>0, p och q hela tal, q≠0 då definieras q q p
p
a
a = .
b a b a
b a b a
b a b a
b a b a
−
=
− +
−
= +
−
+
=
−
−
+
= + +
) (
) (
) (
) (
ab b
a
ab b
a
ab b a
ab b a
−
=
− +
−
= +
−
=
−
−
= + +
) )(
(
) )(
(
) )(
(
) )(
(
b a b a b
a b a
b a b a b
a b a
− + =
= −
−
−
−
− =
= + + +
( )
0 ,
1
0 1 ,
, 0
0 = ≠
≠
=
≠
=
=
=
⋅
−
− +
a a
a a a
a a a
a
a a
a a a
x x
y x y x
y xy x
y x y x
0 , ,
0 ,
) (
≠
=
≠
=
=
−
b a a
b b
a b b a b a
b a ab
x x
x x x
x x x
1 av 4
HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
Potenser med reella exponenter: Ovanstående potenslagarna gäller även för reella exponenter för positiva baser.
Uttrycket ax är definierad för alla reella x om basena>0.
Exempel: a) 161/2 = 16 =4 b) 16−0.75 =16−3/4 =416−3 =(416)−3 =2−3 =1/8 Rationella uttryck (bråk)
Uttrycket b
a är definierat om och endast om b≠0.
Anmärkning: I nedanstående exempel och frågor antar vi att rationella uttryck är korrekt definierade dvs att nämnarna ≠0.
bd bc ad d c b
a +
=
+ ,
bd ac d c b
a⋅ = ,
bc ad c d b a
d c b a
=
⋅
= ,
bc a c b a c b a
=
⋅
= 1
,
b ac b c a c b
a = ⋅ =
1 .
Kvadreringsreglerna:
2 2
2
2 2
2
2 )
(
2 )
(
b ab a
b a
b ab a
b a
+
−
=
−
+ +
= +
Konjugatregeln:
2
) 2
)(
(a−b a+b =a −b
Exempel 1. Förenkla följande uttryck a) 2 2
2 5 10 3
) (
) ( ) (
a a
a ⋅
b) 2 3 2
2 3 10 2 3
) (
) ( ) (
b a
ab b
a ⋅
c) 10 4
10 3 3
2) ( )
(
b a
ab ab ⋅ −
−
Lösning.
a) 4 36
40 4
10 30 2
2 2 5 10 3
) (
) ( )
( a
a a a
a a a
a
a ⋅ = =
⋅ =
b) 4 6 28 20
26 32 6
4 6 2 20 30 2
3 2
2 3 10 2 3
) (
) ( )
( a b
b a
b a b
a b a b a b
a ab b
a ⋅ = ⋅ = =
c) 10 4 3 32
36 13 4
10 30 10 6 3 4
10
10 3 3
2) ( )
( a b
b a
b a b
a b a b a b
a ab
ab − =−
⋅ =
= −
−
⋅
−
--- Exempel 2. Faktorisera följande uttryck
a) a4x+a5y+a7z b) ax2 −ay2 c) ax−ay+by−bx Lösning.
2 av 4
HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
a) a4x+a5y+a7z=a4(x+ay+a3z)
b) ax2 −ay2 =a(x2 − y2)=a(x− y)(x+ y)
c) ax−ay+by−bx=a(x−y)+b(y−x)=a(x−y)−b(x−y)=(x−y)(a−b) ---
Exempel 3. Beräkna och förenkla
a) a ab
ab a b ab
b b a
+
⋅ −
−
−
2 2 2
3 2
b)
3 3 2 3
3
) (
c abc
c ab
c)
y x
y x
3 3
1 1
2 2
−
−
Lösning.
a)
b b a
a a
b a a b
a b
b a b a b b a a
b a a b a b
b a b ab a
ab a b ab
b b
a = −
+
⋅ −
− +
= − +
⋅ −
−
= − +
⋅ −
−
−
) (
) ( )
(
) )(
( ) (
) ( ) (
) ( 2 2
2 2 2
3 2
b)
3 3 2 3
3
) (
c abc
c ab
6 2 6 3 3
3 3
3
3 6 3 3
3 3
1 c a c b a
c c
ab c
c b a
c ab
=
⋅
=
=
c) xy
y x x y
xy y
x
x y x y x y
xy y
x x y xy
x y
y x
x y
y x
y x
3 ) ( 3 ) )(
( 3 3 3
3 3 3
1 1
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 = +
⋅ − +
= −
⋅ −
= −
−
−
=
−
−
ÖVNINGSUPPGIFTER
Beräkna och förenkla
1. a) ( a− 3)2 b) ( a− 2)3 c) (−2a2)3(−5a5)2 d) ax−3⋅a3−x
3 av 4
HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
2 . a) a2(a3+a)−a3(a2 −a) b) (−3ax)2 +(a2)x c) ax(ay +az)−ay(ax −a−y) d) (ax−3)2⋅a3−x
3 . a) (a3 +b+c)0 +5d0 b) 0 0
0 0
2z w x a
+ +
c) (a−3)−3⋅(a3)3 d) 7 1
2 3
) 2 (
) (
−
−
−
a a
4. a) 2 2
2 5 2 3
) (
) ( ) (
a a a ⋅
b) 5 3 2 2
2 3 10 2 3
) (
) ( ) (
c b a
ab c
b
a ⋅
c) 10 4
10 3 3
2) ( )
(
b a
ab a ⋅ −
− d) 10 4
9 3 3
2) ( )
(
b a
ab a ⋅ −
−
5. a) a b
b a
−
− 5
5 b)
ax bx
b a
−
−
c)
a b
b a
4 4
2 2
−
− d) a b
b a
−
− )2 (
e) a b
b a
−
− )3
( f) a b
b a
−
− )4 (
6. a)
x y
xy y
x x y
5
2 5
2 2 2
⋅ −
− b)
ab a
ab a b a
b b a
+
⋅ −
−
−
2 2 3 2
7. a) y y 2 1 1 1
−
−
b) b a b a
+
− 1 1
c) b a b a a b
+
− 1
d)
bx ax
b a a b
−
−
SVAR:
1. a) a6 b) −a6 c) −200a16 d) 1 2. a) a3 +a4 b) 10a2x c) ax+z +1 d) ax−3 3 . a) 6 b)
3
2 c) a18 d) 2a−13 4. a) a12 b) a22b20c6 c) −a6b26 d) a5b23 5. a) −5 b)
x
−1
c) 4
) (a+b
− d) b−a
e) −(a−b)2 [= −(b−a)2 ] f) (b−a)3 [=−(a−b)3] 6. a)
xy y x
5
+ b) ab−b2
7. a) 1 2
1
−
− y
y b) a b
a b
+
− c) a
a b−
d) abx
b a−
−
4 av 4
