EXPONENTIALEKVATIONER ( Ekvationer som har obekanta i en eller flera exponenter.) Metod 1.

EXPONENTIALEKVATIONER

( Ekvationer som har obekanta i en eller flera exponenter.)

Metod 1. Med hjälp av potenslagar skriver vi båda leden som potenser med lika baser ( en potens på varje sida)

𝑎𝑎^{𝑓𝑓(𝑥𝑥)} = 𝑎𝑎^{𝑔𝑔(𝑥𝑥)}

Därefter identifierar vi exponenter och får följande (enklare) ekvation 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥).

Här finns potenslagar som vi oftast använder när vi löser exponentialekvationer:

Potenser med reella exponenter: Uttrycket ^ax är definierad för alla reella x om basen

>0 a .

Om a>0, b>0 , x och y är reella tal då gäller följande potenslagar:

q p

q p

a

a = (Om a>0, p och q hela tal, q ≠0)

Exempel1.

Lös ekvationen 2 ∙ 4^𝑥𝑥 = 8 Lösning:

( )

, 1

1 , ,

0 =

=

=

=

=

⋅

−

− +

a a a a a a

a a

a a a

x x

y x y x

y xy x

y x y x

, , )

(

x x

x x x

x x x

a b b

a

b a b

a

b a ab



 



=



 





 =



 





=

−

1 av 7

Vi använder potenslagar och skriver båda leden som potenser med basen 2 2 ∙ 4^𝑥𝑥 = 8 ⇔

2 ∙ (2²)^𝑥𝑥 = 2³ ⇔ 2¹∙ 2^2𝑥𝑥 = 2³ ⇔

2^2𝑥𝑥+1 = 2³ ( 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 1)

Vi harskrivit vänsterledet som EN potens med basen 2 och högerledet som EN potens med SAMMA bas).

Därför kan vi identifiera exponenter i ekv 1 2^2𝑥𝑥+1 = 2³ ⇔

2𝑥𝑥 + 1 = 3 ( 𝑉𝑉𝑉𝑉 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑓𝑓å𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑡𝑡𝑉𝑉𝑒𝑒𝑒𝑒) 2𝑥𝑥 = 2 ⇔

𝑥𝑥 = 1

( Anm: Den här gången är det enkelt att kontrollera lösningen: 2 ∙ 4¹ = 8 , OK) Svar. 𝑥𝑥 = 1

Exempel 2.

Lös ekvationen 1

4 ∙ 2^3𝑥𝑥 = √8 Lösning:

1

4 ∙ 2^3𝑥𝑥 = √8 ⇔ 2⁻²∙ 2^3𝑥𝑥 = �2³ ⇔ 2^{3𝑥𝑥−2} = 2^3/2 ⇔

( Vi identifierar exponenter och får en enkel ekvation) 3𝑥𝑥 − 2 =3

2 ⇔

2 av 7

3𝑥𝑥 = 2 +3 2 ⇔ 3𝑥𝑥 = 7

2 ⇔ 𝑥𝑥 =7

6

Svar: = 7/6 Exempel 3.

Lös ekvationen

�2 3�

𝑥𝑥+1

=9 4 Lösning:

�2 3�

𝑥𝑥+1

= �3 2�

2

( 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑉𝑉𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑒𝑒𝑎𝑎!)

�2 3�

𝑥𝑥+1

= �2 3�

−2

Nu har vi lika baser och kan identifiera exponenter 𝑥𝑥 + 1 = −2 ⇔

𝑥𝑥 = −3 Svar. x = − 3 Exempel 4.

Lös ekvationen 5 ∙ 5^𝑥𝑥+1= 1 Lösning:

5 ∙ 5^𝑥𝑥+1= 1 ⇔ 5^𝑥𝑥+2 = 1 ⇔

Det är uppenbart att exponent x+2 = 0 och 𝑥𝑥 = −2.

Alternativt men vi kan också skriva 1 som 5⁰ 5^𝑥𝑥+2 = 1 ⇔

3 av 7

𝑥𝑥 = −2 Svar: 𝑥𝑥 = −2 Exempel 5.

Lös ekvationen 2^𝑥𝑥+1 = 5^𝑥𝑥+1 Lösning:

2^𝑥𝑥+1 = 5^𝑥𝑥+1

Den här gången har vi olika baser men samma exponent. Vi delar ekvationen med 5^𝑥𝑥+1 och får

2^𝑥𝑥+1 5^𝑥𝑥+1 = 1

Som vi kan skriva

�2 5�

𝑥𝑥+1

= 1

Och därför 𝑥𝑥 + 1 = 0 eller 𝑥𝑥 = −1.

Svar: 𝑥𝑥 = −1 Uppgift 1.

Lös följande exponentialekvationer

a) 2^𝑥𝑥 = 8 b) 10^𝑥𝑥= 1/100

c) 3 ∙ 9^𝑥𝑥 = 27 d) ¹₅∙ 25^𝑥𝑥 = √5^𝑥𝑥 e) 3^2𝑥𝑥+4= 4^2𝑥𝑥+4 f) 7 ∙ 13^{2𝑥𝑥−2} = 7 ∙ 4^{2𝑥𝑥−2}

Svar: a) 𝑥𝑥 = 3 b) 𝑥𝑥 = −2 𝑐𝑐) 𝑥𝑥 = 1 d) 𝑥𝑥 = 2/3 e) 𝑥𝑥 = −2 f) 𝑥𝑥 = 1

Några exponentialekvationer ( som innehåller potenssummor) löser vi genom att vi först faktoriserar båda leden

4 av 7

Uppgift 2. Lös följande exponentialekvationer.

( Tips: Faktorisera först varje led genom att bryta ut en gemensam faktor.) 𝑎𝑎) 3^𝑥𝑥+2 + 5 ∙ 3^𝑥𝑥+1+ 2 ∙ 3^𝑥𝑥 = 26

𝑏𝑏) 2^𝑥𝑥+2 + 3 ∙ 2^𝑥𝑥+1+ 5 ∙ 2^𝑥𝑥 =¹⁵₂ Lösning a)

3^𝑥𝑥+2 + 5 ∙ 3^𝑥𝑥+1+ 2 ∙ 3^𝑥𝑥 = 26 ⇔ 3^𝑥𝑥( 3² + 5 ∙ 3¹+ 2) = 26 ⇔ 3^𝑥𝑥∙ 26 = 26 ⇔ 3^𝑥𝑥 = 1 ⇔ 𝑥𝑥 = 0

Svar: 𝑎𝑎) 𝑥𝑥 = 0 b) 𝑥𝑥 = −1

Uppgift 3. Lös följande exponentialekvationer med hjälp av en lämplig substitution.

a) 5^2𝑥𝑥− 6 ∙ 5^𝑥𝑥+ 5 = 0 b) 2^2𝑥𝑥− 6 ∙ 2^𝑥𝑥+ 8 = 0 Lösning a)

Med hjälp av substitutionen 5^𝑥𝑥= 𝑡𝑡 (*)

får vi en andragradsekvation 𝑡𝑡²− 6𝑡𝑡 + 5 = 0

Som har två rötter 𝑡𝑡1 = 1 𝑒𝑒𝑐𝑐ℎ 𝑡𝑡₂ = 5 ( kontrollera själv)

Nu bestämmer vi motsvarande x med hjälp av substitutionen 5^𝑥𝑥= 𝑡𝑡.

5^𝑥𝑥 = 1 ger 𝑥𝑥₁ = 0 och

5^𝑥𝑥 = 5 ger 𝑥𝑥2 = 1

Svar: 𝑥𝑥1 = 0, 𝑥𝑥2 = 1 b) 𝑥𝑥1 = 1, 𝑥𝑥₂ = 2

5 av 7

Metod 2. (Logaritmering av båda leden)

Den här metod används oftast om vi INTE kan skriva båda leden med hjälp av en bas som t ex i ekvationen ( där b 𝑏𝑏 ≠ 𝑑𝑑 )

𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏^{𝑓𝑓(𝑥𝑥)} = 𝑐𝑐 ∙ 𝑑𝑑^{𝑔𝑔(𝑥𝑥)}

För att förenkla ekvationen logaritmerar vi båda leden. Man kan använda vilken som helst logaritmbas men vi använder oftast basen e (≈ 2.7) eller basen 10.

Alltså får vi

ln�𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏^{𝑓𝑓(𝑥𝑥)}� = ln (𝑐𝑐 ∙ 𝑑𝑑^{𝑔𝑔(𝑥𝑥)} )

Anmärkning: Innan man använder den här metoden måste man repetera logaritmlagar speciellt nedanstående (där a, b>0):

ln(𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏) = ln𝑎𝑎 + ln𝑏𝑏 ln �𝑎𝑎

𝑏𝑏� = ln𝑎𝑎 − ln𝑏𝑏 ln(𝑎𝑎^𝑛𝑛) = n ∙ ln𝑎𝑎 ln(1) = 0

Exempel1.

Lös ekvationen 2 ∙ 3^𝑥𝑥 = 5 Lösning:

Vi logaritmerar båda leden ( vi kan t ex välja logaritm med basen e, den naturliga logaritmen) och får

ln (2 ∙ 3^𝑥𝑥) = ln(5),

som vi utvecklar med hjälp av logaritmlagar:

ln(2) + ln (3^𝑥𝑥) = ln(5) (regeln: ln(𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏) = ln𝑎𝑎 + ln𝑏𝑏 ) Vi förenklar vidare och får en enkel (linjär) ekvation

6 av 7

ln(2) + 𝑥𝑥ln (3) = ln(5) [ regeln ln(𝑎𝑎^𝑥𝑥) = x ∙ ln𝑎𝑎 ) ] Härav

𝑥𝑥 ln 3 = ln 5 − 𝑒𝑒𝑒𝑒2 och

𝑥𝑥 =^{ln 5−𝑙𝑙𝑛𝑛2}_ln3 [=^ln�_ln3^52� ] Svar: 𝒙𝒙 =^{ln 5−𝑙𝑙𝑛𝑛2}_ln3

Uppgift 4. Lös följande exponentialekvationer a) 2 ∙ 3^𝑥𝑥 = 5 ∙ 7^𝑥𝑥 b) 3 ∙ 5^𝑥𝑥+4 = 2 Svar: a) x = ^{ln 5−𝑙𝑙𝑛𝑛2}_ln3−ln7 ( = ^ln�_ln�⁵²3^�

7� ) b) 𝑥𝑥 = ln 2−𝑙𝑙𝑛𝑛3−4𝑙𝑙𝑛𝑛5

ln5

7 av 7