f (  32)( ex ==== ===== ====== ====== ====== ===== ====== ====== ===

K D Ex

Fö B K V K go H

• T

• S

• S

• I

• S

• D til

====

Uppgift a) B

b) B

c) B

Uppgift Låt (f x Ange fu extremv

Kurs: HF19 atum: 22 a xaminator

ör godkänt b etygsgränse Kompletterin Vem som har Kompletterin odkänd rapp Hjälpmedel:

Till samtlig Skriv endas Skriv namn Inlämnade u Skriv klass Denna tenta llsammans m

=====

t 1. (4p) Bestäm def

Bestäm grä

Bestäm grä

t 2. (4p) 

3

) 2

( 2) x x

 x

 unktionens e värden och t

03 Matema augusti 201

: Armin Ha

betyg krävs er: För betyg ng: 9 poäng

r rätt till kom ng sker ca tv

porteras bet : Endast bif ga inlämnad st på en sida n och person uppgifter sk på omslage amenslapp f med lösning

======

finitionsmän

nsvärdet

nsvärdet

2 .

eventuella a typ (min/ma

atik 1, M

8 S

alilovic

s 10 av max g A, B, C, D

på tentame mplettering vå veckor ef

yg E, annar fogat formel e uppgifter a av pappere nnummer på kall markera et, A, B elle får ej behåll gar 

======

ngden för in

l

l

asymptoter ( ax) till funk

Moment TE Skrivtid 08

x 24 poäng.

D, E krävs 2 en ger rätt ti g framgår av

fter att tenta rs rapportera

lblad (minir fordras full et.

å varje blad as med krys er C.

las efter ten

======

nversfunktio

1

lim ln cos(

x

x

 x

0

2 4

limx^ x

 

(lodräta/våg ktionen f x(

EN2 (Analy 8:00 – 12:00

22, 19, 16, 1 ll komplette v betyget Fx amen är rätt

as F.

räknare är in lständiga lö d.

ss på omslag ntamenstillfä

=====

onen till fun

1)

x

gräta/sneda) )

x samt rita ys) 0

13 respektiv ering (betyg x på MINA tad. Om kom

nte tillåten) ösningar.

get

ället utan sk

======

nktionen (f

) och bestäm funktionen

ve 10 poäng g Fx).

SIDOR.

mplettering

n).

ka lämnas i

======

3 5

2 )

(x   e (2p) (1p)

(1p)

m alla lokal ns graf.

g.

är

n

===

6 5x

.

a

Uppgift 3. (2p)

a) Bestäm Taylorpolynomet av andra ordningen kring punkten x0 till funktionen 1

)

(x  x

f . (1p)

b) Beräkna approximativt 1.2 med hjälp av polynomet i a-delen. (1p) Uppgift 4. (2p)

Bestäm en primitiv funktion till funktionen ₂ 2 1

( ) 7 10

f x x

x x

 

  .

Uppgift 5. (2p)

Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då området som begränsas av kurvorna yx2 och yx, roterar kring x-axeln.

Uppgift 7. (4p)

Bestäm alla stationära punkter och avgör deras karaktär (Min/Max/Sadelpunkt) till funktionen xy

y x y

x

f( , )10 ³ ³3 . Uppgift 8. (2p)

Beräkna

2

D

y dxdy

x



då D är området som begränsas av 0  och x y 0 y 2. Uppgift 9. (4p)

Bestäm tyngdpunkts koordinater (x, y). för det området som definieras av

1 2 0 1

 

y x ,

1

0 x . (Formler för tyngdpunktskoordinater finns i formelbladet.)  

Lycka till!

Lösnin Uppgift

a)

D

b)

c) Rättnin a) Rätt i b) Rätt e c) Rätt e Uppgift

( ) f x  Funktio asympto Polynom asympto Vi unde

( ) ( ) f x f x

 

 

Funktio stationä Teckens lokala m Rättnin Rätt asy Rätt der är extrem

ngsförslag t 1. (4p)



2 3 )

(x f





5x 6

Definitionsm 32 0

 x

1

lim ln cos(

x

x

 x

0

2 4

lim

x^ x

 

ngsmall:

invers 1p rä eller fel eller fel t 2. (4p)

3

( 2)2

x x

onen är defin ot vid x2 mdivision g ot.

ersöker deriv

2 2

2

3 ( 2) ( 0

x x x x



 onen är inte är punkt.

studie visar minimum (s ngsmall:

ymptoter 1p rivata samt mpunkt ger g

  3e^{5x 6}



 



   3 ln y 2 mängd till i

2



 x 0 0 1) 1

 x



  L Ho

ätt definition

nierad för a 2.

ger ( ) f x ( vatan:

2

4

2

2( 2) 2)

( 8 1

x x

x x

 



 

definierad i

r att f(0) e grafen).

p.

rätt stationä r -1p. Rätt g

 



3

6

5 y

e ^x



 



 x

inversen:

0 

 x



2 ospital 

nsmängd 1p

lla x men in

3

( 2)2

x x

x 



3 4

8 ( 2) 0

x x x

x

 



 

i x2 och

0 är terrass

ära punkter graf ger 1p

  3 5

2



 

 ln

5 1 5 6

2 x .

1 1

2 4 x 4



p

nte för x2

2

4 12 4 x

  



3 2

4

12 2)

0,

x x x

x x

 



 därför inte

spunkt och

ger 1p. Fel



 

6 ln y x

 



  3 2 y

2 och därfö 16

4x 4



 som g

2 2

4

( 8

( 2) 2

x x x

x och

 





den heller e (6) 27

f  2

derivata ge



  3

2 y



¹(x) f

r finns lodrä

ger att yx

12)

6 x



 en

är

er 0p. Svar m



 

 ln

5 1 5 6

rät (vertikal)

4 x är en

med att terra



  3 2 x

)

sned

asspunkt

Uppgift 3. (2p) a) f(x) x1

2 1

) 1 2( ) 1

(   ^

 x x

f

2 3

) 1 4( ) 1

(   ^

 x x

f

Taylorpolynomet av andra ordningen kring x0

2 2

8 1 2 1 1 ) 0

! ( 2

) 0 ) (

0 )(

0 ( ) 0 ( )

( f x x x

x f f x

P     



 





I vårt fall: ²

8 1 2 1 1 )

(x x x

P   

b) , 0,2 1,2

8 1 2 1 1 )

(x x x² x förattberäkna

P    

095 , 1 2 , 8 0 2 1 , 2 0 1 1 ) 2 , 0 ( 1 2 , 0 2 ,

1   P      ²  .

Rättningsmall: rätt eller fel.

Uppgift 4. (2p)

Partialbråksuppdelning ger

2

2 1 3 1

( ) 1

7 10 5 2

f x x ger p

x x x x

   

   

2

2 1 3 1

( ) ( ) 3ln 5 ln 2

7 10 5 2

f x dx x dx dx x x C

x x x x

        

   

  

 

Rättningsmall: fel polynomdivision ger 0p.

Uppgift 5. (2p)

Områdets gränspunkter: x² x  x² x 0  x0 och x 1 Volymen:

1 1 3 5 1

2 2 2

0 0 0

( ) ( ) 2

3 5 15

x x

V  x dx x dx^  ^  

 

 

Rättningsmall: Rätt gränspunkter samt rätt uppställd volymintegral ger 1p. Fel integral 0p.

Uppgift 6. (4p)

xy y x y

x

f( , )10 ³ ³3

Stationära punkter via lösningar av 0 0



 





y och df x

df



























 











 



 

 

 



0 ) 1 ( 0

0

0 0

3 3

0 3 3

3 3 3

3

3 4

2

2 2

2 2

2 2

x x x

x x

y

x y y

x x

y y x

x y y

och df y x x

df

ger x₁0, y₁ 0 och x₂ 0, y₂ 1 två stationära punkter (0,0)och (1,1) 3

6 ,

6

2

2 2

2

2 





 

 



 



y x B f och y y

C df x x

A df

Punkten (0, 0) origo i det här fallet, är en sadelpunkt eftersom AC B90. Punkten (1, 1) ger AC B3690 som är Minpunkt.

Rättningsmall:

- Rätt partiella derivator ger 1p. Fel derivering ger 0p.

- Rätt beräkning av stationära punkten ger 2p.

- Rätt analys av punktens karaktär ger 1p.

Uppgift 8. (2p)

1 2 1 2 2 1

0 0 0 0 0

( 4 )

2 2 2(2 ) 2(2 )

D

y y y

dxdy dx dy dx dx

x x x x

 

    

     

    



^{2 ln(2} x⁾



¹₀ 2 ln 3 2 ln 2

   

Rättningsmall:

- Rätt integrationsordning och rätt beräkning av första integral ger 1p.

- Fel integrationsordning ger 0p.

Uppgift 9. (4p)

För beräkning av tyngdpunkten används formlerna:









D c

D c

dxdy D y

Arean y

dxdy D x

Arean x

) ( 1

) ( 1

1 2 0 1

1

0    

y x och

x

Arean: ln3

2 ) 1 1 2 2ln(

1 1

2

1 ¹

0 1

0

 

 

 

 





_x ^{dx x}

A

3 2 ln ) 1 1 2 4ln(

1 ) 2

1 2

2 1 2 (1 1

2

1

0 1

0 1

0 1 2

1

0 1

0



 

 

  

 



 





   



^{xdxdy dx xxdy} _x^{x dx} _x ^{dx x x}

D

6 1 4 1 12

1

1 2

1 2 1 2 ) 1

1 2 2 ( 1 )

1 2 (

1 2

1 1

2 1 2

1 ¹

0 1

0

2 1

0

2 1

0 1 2 2

1

0 1

0









 

 



 







 

 



 





 



    



^{ydxdy dx xydy} _x ^dx _x ^{dx x  dx} _x

D

Tyngdpunkter blir:

3 2 ln ) 1 3 2 ln (1 3 ln

2 )

(

1     





D

c xdxdy

D Arean x

3 ln

2 6 1 )

(

1  





D

c ydxdy

D Arean y

Rättningsmall:

- Rätt integralteckning samt rätt integration +1p. Fel i detta steg ger 0p.

- Ej hänsyn tagen till area -1p.

- Ovan rätt men ej beräknade tyngdpunktskoordinater -1p.