Fakulteten för teknik- och naturvetenskap Matematik
David Ström
Nya symbolhanterande räknare i praktiken
En pilotstudie i två svenska NV-klasser
New Handheld CAS in Practice
A Pilot Study in Two Swedish Science Classes
Examensarbete 15 hp (ECTS Credits)
Lärarprogrammet
Datum: 2008-06-02
Handledare: Peter Mogensen
Karlstads universitet 651 88 Karlstad
Abstract
In 2006 the National Agency for Education in Sweden decided to allow handheld CAS at national tests in mathematics for all secondary school students from autumn 2007. The decision was subject to an intense debate, e.g. in the periodical Nämnaren.
The prototype of a new handheld CAS was tested in seven ‘pilot classes’ at four Swedish upper secondary schools from December 2006. I have followed two of these classes until autumn 2007 when they used the final version of the calculator TI-Nspire CAS.
The purpose of this pilot study is to find out how the new handheld CAS works in practice in these two classes on the science program, mainly from the student’s perspective, but also from the teacher’s perspective.
The idea is to test different methods, that can be used in a larger investigation.
Among other things, the background gives an overview of the history of handheld computing aids, and a brief history of electronic computing aids in the Swedish school. Earlier research focuses on calculators in school, primarily graphic calculators.
The methods of observation are diaries on the use of calculators, diagnostic tests and students’
and teachers’ questionnaires. I also compare students’ marks between classes and classify some book exercises to exemplify possible use of CAS.
The result gives a nuanced picture with both positive and negative sides. The schools need to consider which classes should use the new calculators and offer further education to the teachers.
New teaching methods, new mathematics textbooks and a reformed education for future teachers are needed to take full advantage of the possibilities offered by this new technology.
I leave several suggestions for further research.
Keywords: calculator, computer algebra system, handheld cas, ti-nspire cas
Sammanfattning
Skolverket beslutade 2006 att tillåta symbolhanterande räknare på nationella prov i matematik för alla gymnasieelever från höstterminen 2007. Beslutet debatterades flitigt t.ex. i tidskriften Nämnaren.
Prototypen till en ny symbolhanterande räknare testades i sju ’pilotklasser’ vid fyra svenska gymnasieskolor från december 2006. Jag har följt två av dessa klasser t.o.m. höstterminen 2007 då de använde den färdiga räknaren TI-Nspire CAS.
Syftet med denna pilotstudie är att ta reda på hur den nya symbolhanterande räknaren fungerar i matematikundervisningen i de två pilotklasserna på gymnasiets NV-program, främst ur elevernas perspektiv, men också ur lärarnas.
Tanken är att pröva olika metoder, som kan användas i en större undersökning.
Bakgrunden ger bl.a. en översikt av de handburna räknehjälpmedlens historia och en kortfattad historik över elektroniska hjälpmedel i den svenska skolan. Tidigare forskning tar upp miniräkna- ren i skolan och då främst grafräknaren.
Observationsmetoderna är miniräknardagböcker, diagnostiska test, elev- och lärarenkät. Jag jämför också klassernas kursbetyg och klassificerar ett antal matematikuppgifter m.a.p. möjlig användning av CAS.
Resultatet gav en mångfacetterad bild med både positiva och negativa sidor. Skolorna behöver ta ställning till vilka klasser som ska använda symbolhanterande räknare och erbjuda lärarna fortbildning. Det behövs metodutveckling, nya läromedel och en reformerad lärarutbildning för att fullt kunna dra nytta av den nya teknikens möjligheter.
Jag lämnar flera förslag på fortsatt forskning.
Nyckelord: datoralgebra, datorstöd, symbolhanterande miniräknare, ti-nspire cas
INNEHÅLL
1 INLEDNING OCH SYFTE ...1
1.1 Syfte ... 1
2 BAKGRUND...2
2.1 De handburna räknehjälpmedlens historia...2
2.1.1 Fingerräkning... 2
2.1.2 Tidig minneshantering... 2
2.1.3 Räknebräden (counting boards) ... 2
2.1.4 Kulramar (abaci) ... 2
2.1.5 Räknestickor (slide rules) ... 3
2.1.6 Mekaniska räknemaskiner (mechanic calculators) ... 3
2.1.7 Miniräknare (pocket calculators)... 3
2.1.8 Utvecklingen fram till grafräknaren (graphing calculators) ... 4
2.1.9 Symbolhanterande räknare (handheld CAS)... 4
2.1.10 Fickdatorer och handdatorer (PDA, personal digital assistants)... 4
2.2 Datoriseringen av den svenska gymnasieskolan...5
2.2.1 Datorer i skolan ... 5
2.2.2 Funktionsräknare och grafräknare ... 5
2.2.3 Symbolhanterande räknare ... 5
2.3 Vad säger gymnasieskolans läroplan om elektroniska hjälpmedel?...6
2.4 Några Matematikdidaktiska perspektiv ...8
3 TIDIGARE FORSKNING OM ELEKTRONISKA HJÄLPMEDEL I SKOLAN ... 10
3.1 Göte Dahlands forskning (1993-1998) ... 10
3.1.1 Datorstöd i matematikundervisningen (Dahland 1993) ... 10
3.1.2 Elektroniska hjälpmedel i gymnasiets matematikundervisning (Dahland 1995)... 10
3.1.3 Grafiska miniräknare och elevers tolkning av resultat (Dahland & Lingefjärd 1996)... 11
3.1.4 Elektroniska hjälpmedel i matematikundervisningen (Dahland red. 1997)... 11
3.1.5 Matematikundervisning i 1990-talets gymnasieskola (Dahland, 1998)... 11
3.2 Didaktiska uppsatser (2000-2006) ... 12
3.2.1 Symbolhanterande miniräknare i matematikundervisningen (Palm 2000) ... 12
3.2.2 Grafräknaren i matematiken – en undersökning av användande och attityder (Andersson 2001)... 13
3.2.3 Miniräknaren i dagens gymnasieskola (Nordström 2005) ... 13
3.2.4 Användandet av den grafritande räknaren i gymnasieskolans matematikundervisning (Davidsson & Mårtensson 2006) ... 13
3.2.5 Den grafritande räknaren som ett medierande redskap (Falkebo Peters & Schrab 2006) ... 14
3.3 Forskning om symbolhanterande hjälpmedel (1997-2007)... 14
3.3.1 The State of Computer algebra in Mathematics Education (Berry & Monaghan red. 1997) ... 14
3.3.2 Computer algebra systems in secondary school mathematics education (Fey, Cuoco, Kieran, McMullin & Zbiek red. 2003) ... 15
3.3.3 The Case for CAS (Böhm, Forbes, Herweyers, Hugelshofer & Schomacker 2004)... 15
3.3.4 Nordisk matematikdidaktik (NOMAD)... 16
3.3.5 The International Journal for Technology in Mathematics Education (IJTME)... 17
3.3.6 The International Journal of Computers for Mathematical Learning (IJCML)... 17
3.3.7 The Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching (JCMST) ... 17
3.3.8 Övriga källor för tidigare och pågående forskning ... 17
4 FRÅGESTÄLLNING OCH FORSKNINGSFRÅGOR... 18
5 METOD ... 19
5.1 Den studerade gymnasieskolan ... 19
5.2 Klasserna i undersökningen... 19
5.3 Min undersökning... 20
5.3.1 Miniräknardagbok ... 20
5.3.2 Diagnostiska test ... 20
5.3.3 Elevenkät ... 20
5.3.4 Jämförelse av kursbetyg i matematik... 21
5.3.5 Kategorisering av uppgifter i matematik kurs E ... 21
5.3.6 Lärarenkät... 22
5.3.7 Övriga forskningsfrågor ... 22
5.4 Begränsningar ... 22
5.5 Bortfall ... 22
6 RESULTAT ...24
6.1 Miniräknardagbok... 24
6.1.1 Översikt ... 24
6.1.2 Ett urval citat ... 25
6.2 Diagnostiska test... 26
6.2.1 Huvudräkning ... 26
6.2.2 Handräkning ... 27
6.3 Elevenkät, hösten 2007... 28
6.4 Jämförelse av kursbetyg i matematik ABCD... 32
6.5 Kategorisering av uppgifter i matematik kurs E ... 33
6.6 Lärarenkät... 33
6.7 Övriga forskningsfrågor ... 34
7 DISKUSSION ...35
7.1 Diskussion av den egna undersökningen ... 35
7.1.1 Miniräknardagböcker... 35
7.1.2 Diagnostiska test ... 35
7.1.3 Elevenkät ... 36
7.1.4 Jämförelse av kursbetyg i matematik ABCD ... 37
7.1.5 Kategorisering av uppgifter i matematik kurs E ... 37
7.1.6 Lärarenkät... 37
7.1.7 Övriga forskningsfrågor ... 38
7.2 Slutdiskussion... 38
7.3 Förslag till fortsatt forskning... 40
7.3.1 Berry & Monaghan (red. 1997) ... 40
7.3.2 Egna förslag till fortsatt forskning ... 40
8 TACK...42
REFERENSER ...43
1 Inledning och syfte
Jag har varit fascinerad av elektroniska räknare alltsedan min pappa köpte en Prinztronic MC991. Den var hutlöst dyr (ca 1100 kr), stor och klumpig (ca 0,7 kg), men klarade de fyra räknesätten och kunde lagra ett tal i minnet. Det var något närmast magiskt att kunna räkna ut summan, differensen, produkten eller kvoten av två tal ögonblickligen bara genom att trycka på en knapp.
När jag själv skulle köpa miniräknare 1980 föll valet på Texas Instruments’ TI-57, en programmerbar funktionsräknare. De 50 programstegen kunde t.ex. användas till primitiva spel, typ Gissa vilket tal! På tidigt 1980-tal kom även de första hemdatorerna. Jag var lycklig ägare till först en VIC-20 och senare en Commodore 64. När det laddningsbara batteriet i miniräknaren lade av köpte jag en ny TI-57 II, med LCD-skärm i stället för lysdioder. Min första grafritande räknare, en äldre modell av Casio cfx-9850GB med 32kB minne, köpte jag begagnad 1999.
Den främsta anledningen till att jag valt att skriva om symbolhanterande räknare i mitt examens- arbete är att jag, under min första verksamhetsförlagda utbildning (VFU) på gymnasiet ht 2006, hamnade i en ’pilotklass’ på NV-programmet i åk 2, där eleverna använde symbolhanterande räknare. I december 2006 bytte dessa elever från TI-89 till TI-Nspire CAS+, en prototyp av en helt ny modell, som ännu inte fanns på marknaden. På skolan fanns ytterligare en pilotklass, då i åk 1, som också de skulle använda prototypen. Jag blev nyfiken på vad eleverna skulle tycka om sina nya räknare och hur de skulle använda sig av dem i skolarbetet. Jag återkom till skolan under vt 2007 och även under ht 2007, då eleverna använde den färdiga räknaren TI-Nspire CAS.
CAS, Computer Algebra System på svenska datoralgebrasystem, är ett datorprogram som kallas symbolhanterande, eftersom det inte bara räknar numeriskt (med siffror) utan även förenklar uttryck, faktoruppdelar, löser ekvationer, beräknar gränsvärden, deriverar och integrerar. Exakt vad man kan göra eller inte göra beror naturligtvis på vilken programvara man använder.
Symbolhanterande program för datorer är t.ex. Derive, Maple, Mathematica, Maxima och MuPAD.
(Wikipedia 2008: Computer algebra system) Casio grundades 1946 i Tokyo av Tadao Kashio (Wikipedia 2008: Casio). Namnet Casio har alltså inget med CAS att göra, däremot tillverkar man flera räknarmodeller med CAS-programvara. Övriga tillverkare av symbolhanterande räknare är Hewlett-Packard och Texas Instruments. Alla de symbolhanterande räknare jag känner till har dessutom samma grafiska och numeriska möjligheter som grafräknare utan CAS.
1994 tillåter Skolverket grafräknare vid vissa centrala prov och ht 2007 blir de symbolhanterande räknarna tillåtna vid nationella prov i matematik. (Skolverket 2006)
1.1 Syfte
Syftet med denna pilotstudie är att ta reda på hur den nya symbolhanterande räknaren fungerar i matematikundervisningen i de två pilotklasserna på gymnasiets NV-program, främst ur elevernas perspektiv, men också ur lärarnas.
Tanken är att pröva olika metoder, som kan ligga till grund för en större undersökning.
1 Kursiv, blå text är hyperlänkar till webbsidor på www, vanligtvis ordförklaringar eller illustrationer till det som nämns i texten. Normal, blå text länkar till andra ställen i uppsatsen. Klicka på den blå texten för att följa länken. Alla länkar tillgängliga [2008-05-17]. Några externa länkar kommer naturligtvis att bli inaktuella med tiden, men jag bedömer att nyttan av att fram till dess snabbt kunna hitta t.ex. bilder och förklaringar, överväger irritationen över att någon länk blivit inaktuell. Webbsidor i referenser markeras med årtal ’(2008)’ och återfinns under Referenser. Jag har använt Harvardsystemet för hänvisningar, citat och referenser. (Strömquist 2006:45-48; Geidne 2006:18-20)
2 Bakgrund
Jag har försökt ge en översikt av utvecklingen av de räkneverktyg, som ligger till grund för dagens miniräknare och handdatorer. Sedan följer en kortfattad historisk beskrivning av hur datorer och olika typer av miniräknare introducerats i svensk skola från 1970-talet och framåt. Därefter redogör jag för läroplanernas skrivningar om elektroniska hjälpmedel och avslutningsvis försöker jag placera utvecklingen i ett matematikdidaktiskt perspektiv.
2.1 De handburna räknehjälpmedlens historia
Våra dagars elektroniska miniräknare har en intressant förhistoria, som jag valt att beskriva med utgångspunkt i Georges Ifrahs utförliga verk Räknekonstens historia – Från forntiden till dataåldern (Del 1 & 2: 1981, 1994 svensk utgåva 2001, 2002) För information om räknestickor och olika miniräknarmodeller har jag använt flera källor från Internet [jan 2008].
2.1.1 Fingerräkning
Sedan förhistorisk tid har människan använt fingrarna för att räkna och för att lära sig räkna. Det gäller både grundtal för antal (ex. fyra – alla fingrar på ena handen utom tummen) och ordnings- tal (ex. fjärde – det fjärde fingret på handen). ”Människans hand erbjuder sig alltså som den enklaste och mest naturliga räknemaskinen.” (Ifrah 2001:46-48) Ifrah beskriver även metoder för fingerräkning från olika kulturer, det antika ”fingerspelet” morra, fingermultiplikation av tal mellan 5 & 10, 10 &
15 eller 15 & 20 samt ett kinesiskt sätt att räkna till 10 000 000 000 på tio fingrar. Fingrar heter digiti på latin, jfr. engelskans digit – siffra. Här ligger alltså ursprunget till våra dagars digitalteknik.
(Ifrah 2001:79-101)
2.1.2 Tidig minneshantering
Cromagnonmänniskan ristade skåror i ben redan 35 000-25 000 f Kr. Karvstocken, en skårad träbit användes redan för 40 000 år sedan och är därmed äldre än hjulet. Den användes för bokföring i England ända till år 1826, vid torghandel i flera europeiska länder och i Franska bagerier långt in på 1900-talet. Andra kulturer knöt istället knutar på snören för att hålla reda på skulder, skatter etc. (Ifrah 2001:102-115)
2.1.3 Räknebräden (counting boards)
En slät yta med parallella linjer och räknebrickor användes av greker, etrusker och romare hundratals år före vår tideräkning. Fickräknebrädet – en metallplatta med nio skåror för flyttbara knappar från vår tideräknings början – kallas ”den första fickräknaren”. I Rom skrev man också på sand- eller vaxtavlor och så sent som i början av 1500-talet debatterade abakister mot algorister huruvida räknebrädet eller räkning med penna var att föredra. I Kina användes en annan typ av räknebräda med små ”ribbor”, som lades ut på ett rutnät. (Ifrah 2001:303-316, 413-418)
2.1.4 Kulramar (abaci)
Den kinesiska kulramen omnämns först på 1300-talet, och används ännu i Kina. Ifrah berättar om en tävling, som ägde rum i Japan 12 november 1945, strax efter kriget, där en japansk kulramsmästare besegrade[!] en amerikan med elektrisk räkneapparat. Själva har vi väl alla räknat addition och subtraktion på kulram under vår tidiga skolgång. Ifrah beskriver hur man räknar multiplikation på en kinesisk suan pan. I Japan kallas den soroban, i ryssland stjoty och på latin abacus. Kulramen kan förutom de fyra räknesätten även användas för kvadrat- och kubikrötter.
Ifrah räknar också upp kulramens nackdelar: en relativt lång lärotid, behovet av ihärdig träning, en noggrann ”fingersättning” och ett helt stabilt underlag. (Ifrah 2001:418-425)
2.1.5 Räknestickor (slide rules)
År 1614 publicerar skotten John Napier den första logaritmtabellen. Året efter konstruerar engelsmannen Henry Briggs en tabell med decimallogaritmer (basen 10). (Ifrah 2002:426) Fördelen med logaritmerna är att istället för att multiplicera två stora tal för hand, så adderar man logaritmerna för talen och får på så vis logaritmen för svaret. En division motsvaras av en subtraktion av två logaritmer, kvadraten blir en dubblering och kvadratroten en halvering. År 1622 uppfinner engelsmannen William Oughtred räknestickan genom att placera två logaritmskalor sida vid sida. Man kunde nu läsa av svaret direkt på räknestickan. Nya modeller kom och på 1700- talet utökas den med kvadrat- och kubikskalor. Mängder av olika modeller dyker upp på marknaden, ett 250-tal bara under 1800-talet. År 1891 skapar William Cox den dubbelsidiga räknestickan. Utvecklingen går framåt med fler olika skalor. På 1960-talet producerar ett japanskt företag en miljon räknestickor om året. Räknestickan användes vid i stort sett alla tekniska beräkningar under ca 350 år. (Oughtred Society 2008) Alla tabeller och räknestickor räknar med avrundade närmevärden och räknestickan kräver att man uppskattar storleksordning, eftersom den bara ger värdesiffrorna i svaret.
2.1.6 Mekaniska räknemaskiner (mechanic calculators)
Ifrah (2002:435-541) beskriver utförligt ”Maskinräkningens historia från begynnelsen fram till datorn”.
En föregångare till räknemaskinerna var 1500-talets podometer, en slags stegräknare med kugghjul, som användes för att mäta avstånd. År 1623 konstruerar den tyske astronomen Wilhelm Schickard sitt halvmekaniska räkneur. Han skriver till sin vän Johannes Kepler: ”Det du kan räkna ut för hand har jag just försökt göra mekaniskt [...] Jag har konstruerat en maskin som omedelbart och automatiskt räknar de tal man ger den, adderar, subtraherar, multiplicerar och dividerar [...]” (Ifrah 2002:
444). Räkneuret förstördes dock vid en brand året efter. Den 19-årige Blaise Pascal blev den förste att 1643 visa en räknemaskin för allmänheten. Hans maskin klarade addition och subtraktion med en serie kugghjul, men hade vissa tekniska problem; bl.a. låste sig mekanismen då flera hjul visade siffran nio[!]. Flera exemplar, troligen ett 50-tal, tillverkades och såldes över hela Europa. Tysken Gottfried Wilhelm Leibniz blir den förste att 1694 bygga en helmekanisk räknemaskin som även klarade multiplikation och division. 1704 byggdes ett andra exemplar, men Leibniz’ maskin byggde på ny, mer komplicerad teknik och masstillverkades aldrig. Nästa viktiga framsteg var fransmannen Thomas de Colmars aritmometer konstruerad 1820 och sedan förbättrad flera gånger. Den såldes i stor skala över hela världen och många andra kopierade Thomas’
maskin, som var hållbar, praktisk och driftsäker. (Ifrah 2002: 445-447) År 1874 bygger den Karlstadbördige ingenjören Willgodt T Odhner sin första räknesnurra, som 1945 tillverkas i 14 olika modeller och säljs ända in på 1970-talet. (Nöring 2008) En annan klassiker är den bärbara miniatyrräknaren Curta, endast 10 x 5 cm och 230 g lätt, tillverkad i Liechtenstein 1947-1970.
(Tout 2008)
2.1.7 Miniräknare (pocket calculators)
Under senare halvan av 1800-talet utvecklas räknemaskiner med tangentbord och under första halvan av 1900-talet elektromekaniska räknemaskiner, som räknade med hjälp av reläer som slår till och från. Dessa maskiner var flyttbara, men knappast bärbara. Ifrah beskriver sedan den komplicerade utveckling som leder fram till 1940-talets datorer, som var enorma och bokstavligen vägde ton. Radiorören gjorde dem tusentals gånger snabbare än de snabbaste elektromekaniska maskinerna och när radiorören sedan byttes mot transistorer kom den första bärbara elektroniska räknaren Anita, tillverkad i England i början av 1960-talet. Jack Kilby på Texas Instruments skapade 1958 den första integrerade kretsen med halvledartransistorer på en platta av kisel. Denna revolution möjliggjorde lanseringen av den första kommersiella elektro- niska fickräknaren 1970-71. (Ifrah 2002:533-538) Pocketronic tillverkades i Japan, kostade $395, vägde 880 g och krävde stora fickor: 21x10x5 cm. (Woerner 2008) Räknedosan eller miniräkna- ren, som den kom att kallas, utvecklades och blev billigare, mindre och fick minne. I mitten av
1970-talet lanserades miniräknarklockan, ett digitalt armbandsur med pyttesmå miniräknarknappar.
Dessa klockor blev billigare på 1980-talet och tillverkas än idag av t.ex. Casio. (Wikipedia 2008) 2.1.8 Utvecklingen fram till grafräknaren (graphing calculators)
1972 introducerar Hewlett-Packard HP-35, en multifunktionsräknare med invers-, exponent-, logaritm- och trigonometriska funktioner, en elektronisk ersättare till räknestickan. Sådana räknare kallas funktionsräknare, tekniska räknare eller vetenskapliga räknare (scientific calculators).
1973 lanseras Sharp EL-805, den första miniräknaren med LCD-skärm (Liquid Crystal Display).
Skärmarna med flytande kristall är till en början dyra, men strömförbrukningen sjunker till ca en hundradel jämfört med tidigare lysdiod-skärmar. Utan LCD hade inte grafräknaren varit möjlig.
1974 kommer den första programmerbara miniräknaren: HP-65. Man kunde mata in program i upp till 100 steg och spara på magnetremsa. Vad jag vet är alla grafräknare idag programmerbara.
1985 kommer Casio fx-7000G, den första grafräknaren, med en LCD-skärm på 8x16 tecken.
Liknande modeller, men med större minne och fler funktioner, säljs fortfarande [jan 2008] t.ex.
Sharp EL9900W, Casio FX-9750G+ och TI-82 STATS. Priset ligger mellan 500 och 700 kr, medan mer avancerade modeller kan kosta det dubbla. En vanlig teknisk räknare kostar 60-80 kr.
Räknarinfo: Woerner (2008), priser från Clas Ohlson, Kjell & Company, Teknikmagasinet.
Kärt barn har många namn: Vanligast är utan konkurrens grafräknare följt av grafritande räknare/
miniräknare och sist kommer grafisk räknare/miniräknare. Google-sökning [maj 2008].
2.1.9 Symbolhanterande räknare (handheld CAS)
En symbolhanterande räknare är egentligen en liten dator, som är programmerad att kunna hantera matematiska uttryck. Programvaran förkortas ofta CAS (Computer Algebra System).
Pionjärarbete utfördes av nobelpristagaren Martin Veltman 1963 och sedan utvecklades CAS under 1970-talet. Den första symbolhanterande räknaren var HP 28, som kom 1987. Med den kunde man bl.a. lösa algebraiska ekvationer och derivera funktioner. Texas Instruments presenterade 1996 den symbolhanterande räknaren TI-92 utrustad med programmet Derive. För funktioner hos dessa räknare se 2.2.3. (Wikipedia 2008; Hicks 2008; Woerner 2008)
2.1.10 Fickdatorer och handdatorer (PDA, personal digital assistants)
En fickdator (Pocket PC) har ett tangentbord, medan handdatorn (Palmtop) i stället har en tryckkänslig skärm. Den första fickdatorn Psion Organiser 1 lanserades 1984. Utvecklingen har idag lett fram till s.k. smartphones, hybrider mellan handdator och mobiltelefon. (Wikipedia 2008) Handdatorer finns enligt Pricerunner (2008) i alla prisklasser mellan 1 000 och ca 20 000 kr. Det finns åtskilliga CAS- program för PDA, bl.a. Maple och Mathematica, men även flera gratisprogram. (FSF 2008) TI-92 och efterföljaren Voyage 200 har QWERTY-knappar och liknar fickdatorer, medan Casios ClassPad 300/330 med sin tryckkänsliga skärm mest liknar en handdator. Casios Algebra FX2.0, HP-modellerna och TI-89 är traditionella miniräknare, medan TI-Nspire är svårare att kategorisera. Den är större än en traditionell räknare och utrustad med pekare och ABC-knappar.
Idag tillverkas CAS-räknare av Hewlett-Packard (HP 40gs , HP 48gII , HP 49g+ , HP 50g), Casio (Algebra FX2.0 , ClassPad 330) och Texas Instruments (TI-89 Titanium , TI-Nspire CAS) Priset ligger från ca 1100kr (Algebra FX2.0) och uppåt. (Zenit ab Läromedel 2008)
2.2 Datoriseringen av den svenska gymnasieskolan
Jag har valt att kortfattat följa Dahlands (1998) redogörelse för tiden fram till mitten av 1990-talet och presenterar därefter den symbolhanterande räknaren och Skolverkets beslut att tillåta dem vid nationella prov i matematik från och med höstterminen 2007. När jag använder termen grafisk räknare är det ofta i referat eller citat av Dahland, som föredrar den beteckningen framför grafräknare. (Dahland 1998:9)
2.2.1 Datorer i skolan
De första skoldatorerna var enstaka minidatorer; stora, dyra maskiner vars operativsystem kunde finnas på hålkort och behövde matas in på nytt efter strömavbrott. I slutet av 1970-talet kom skoldatorerna ABC80, Apple II och senare Compis. Dessa s.k. mikrodatorer såldes i stora upplagor, byggde på den tidens 8-bitsprocessorer och programmerades bl.a. i BASIC. Utvecklingen drevs ofta av entusiastiska lärare, men t.ex. Compis-projektet utmärktes av centralstyrning genom statliga bidrag. I mitten av 1980-talet konkurrerade MS-DOS ut Compis-datorernas CP/M 86- operativsystem. Skolan tvingades in i ett kostsamt systembyte till IBM-kompatibla PC. Enligt Skolverket användes 1994 i landets gymnasieskolor: 72% PC med Windows, 21% PC med OS/2, 4% Apple Macintosh, 3% övriga typer. I genomsnitt fanns det en dator på 10 elever och en dator på 7 lärare i den kommunala gymnasieskolan. (Skolverket 1994:16 se Dahland 1998:156-160) Sedan dess har utvecklingen gått vidare med Internet-datorer, fler datorer i datasalar och lärarrum och även fler bärbara datorer hos elever och lärare den svenska gymnasieskolan.
2.2.2 Funktionsräknare och grafräknare
”Räknestickan kom snabbt ur bruk inom alla sina tillämpningsområden när elektroniska miniräknare med tillgång till de vanligaste matematiska funktionerna introducerades under slutet av 1970-talet.” (Dahland 1998:72)
Funktionsräknaren introducerades först av eleverna och accepterades därefter av lärare och skolmyndigheter. Den påverkade matematikundervisningens innehåll och metoder genom att stegvis ersätta alla tidigare använda tabeller för olika matematiska funktioner. I slutet av 1980-talet introduceras grafräknaren. Den ger möjlighet att rita en eller flera funktioners grafer på skärmen, man kan välja koordinatsystem, ”zooma” in/ut, ”spåra” koordinater m.m. När räknaren används till beräkningar sparas de senast utförda på skärmens textrader. (Dahland 1998:185)
”Tre egenskaper gör de grafiska miniräknarna attraktiva vid en jämförelse med datorer. De har ett jämförelsevis lågt pris, de har tillräckliga prestanda för de flesta syften i gymnasiets matematikundervisning och de är fullständigt mobila.”
(Dahland 1998:160)
1994, samma år som de nya läroplanerna kommer, tillåter Skolverket för första gången graf- räknare vid vissa centrala prov. Detta får stora konsekvenser; bara under hösten samma år säljs enligt uppgift 30 000 - 40 000 grafiska miniräknare i Sverige. (Dahland 1998:13,161) Enligt Carina Kroninger [e-post 2008-02-29] var totalmarknaden ifjol [2007] för grafritande räknare ca 48 000 - 50 000 enheter i Sverige. En nyhet på senare år är att gymnasieskolorna själva köper in miniräknare och lånar ut till eleverna. Fördelen med detta system är dels att eleverna själva slipper köpa dyra räknare, dels att alla elever en klass får samma modell.
2.2.3 Symbolhanterande räknare
Enligt Dahland (1998:161) har den nya generationens räknare funnits sedan mitten av 1990-talet.
Han syftar då på modellen TI-92, som liksom övriga symbolhanterande räknare inte var tillåten att använda på nationella prov vid denna tid. Använde man symbolhanterande programvara i gymnasieskolan var det datorprogram, som Derive och Mathematica. (se Dahland 1998 II:156)
Vad kan då den symbolhanterande räknaren, som inte en grafräknare klarar?
- Den förenklar uttryck:
1 4 4 2
−
− x
x ger 4⋅ x( +1) och (sin(x))2 + (cos(x))2 ger 1.
- Den faktoriserar uttryck: factor(4x3 −x2 −16x+4) ger (x−2)⋅(x+2)⋅(4⋅x−1). - Den löserekvationer exakt: solve(x2 −2x−1=0,x) ger x =−( 2 −1)or x= 2+1, solve(2x =10,x) ger
) 2 ln(
) 10
=ln(
x och solve( x x ,x
12 2 1
3− + =
+ ) ger
576 19297
=
x .
Naturligtvis kan man få samma närmevärden som på en vanlig grafräknare också.
- Den deriverar funktioner: ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
x x dx
d 2 1
ger 12 2⋅x+ x .
- Den integrerar funktioner:
∫
(x2−2x+1)dx ger x33 −x2 +x (utan konstantterm, min anm.) Den kan dessutom beräkna gränsvärden, summor och serier. Den Taylorutvecklar funktioner, löser differentialekvationer [med randvillkor], räknar obehindrat med komplexa tal och hanterar bråktal med hundratals siffror i täljare och nämnare, listan kan göras lång. Olika modeller har sina möjligheter och sina begränsningar, men det är alltid stor skillnad mellan räknare ”med CAS” och räknare ”utan CAS”.2Ht 2007 blir de symbolhanterande räknarna tillåtna vid nationella prov i matematik för alla elever.
Skolverket skriver:
”Som hjälpmedel på del II i de nationella proven i matematik anges att symbolhanterande räknare inte är tillåtet att använda med undantag för de lärare som genomgående använder dessa i sin undervisning. Det har framförts att denna restriktion bromsar utvecklingen inom matematikundervisningen. Skolverket har därför beslutat att symbolhanterande räknare blir tillåtna från och med höstterminen 2007. Det bör betonas att prov och provmaterial kommer att utformas på så sätt att det inte ska vara någon fördel att använda symbolhanterande räknare som hjälpmedel.” (Skolverket 2006)
Thunberg & Lingefjärd (2006) kritiserar beslutet i ett öppet brev till Skolverket och debatten har sedan fortsatt på Nämnaren debatt (NCM & Nämnarens webbplats 2008) med ett 15-tal inlägg av olika debattörer [feb 2007] även Lindholm (2006) uttalar sin skepsis till beslutet.
2.3 Vad säger gymnasieskolans läroplan om elektroniska hjälpmedel?
I kursplanen för matematik för den tidigare gymnasieskolan, där jag själv gick 1984-1987, gällde för NT-linjerna (3-årig naturvetenskaplig och 4-årig teknisk linje) följande mål:
”Eleven skall genom undervisningen i matematik bli väl förtrogen med några väsentliga matematiska begrepp och metoder, förvärva färdighet i att tillämpa matematiska begrepp och metoder samt uppöva färdigheten i numerisk räkning även med tekniska hjälpmedel.” (Skolverket 2008a:5, min fetstil)
Bland 17 huvudmoment nämns två med särskild anknytning till elektroniska hjälpmedel:
Lösning av ekvationer, ekvationssystem och olikheter med grafisk-numeriska metoder.
Datalära, tolkning och skrivning av enkla program, enkla numeriska metoder för ekvationslösning och integralberäkning. (Skolverket 2008a:5)
2 Många grafräknare har funktioner för t.ex. bråkräkning, vissa komplexa beräkningar och numerisk lösning av ekvationer, numerisk beräkning av derivator och integraler, men kännetecknande för CAS är förmågan att kunna förenkla uttryck, faktorisera, lösa ekvationer exakt, derivera och integrera funktioner, kort sagt: Att kunna hantera matematiska bokstavsuttryck symboliskt i stället för att enbart räkna numeriskt (med siffror).
Efter gymnasiereformen, 1991-1994, ersattes Lgy 70 av Lpf 94, linjerna blev 3-åriga nationella program, centralproven (CP) blev nationella prov (NP) och alla elever, oavsett program, läser kurs A i matematik. Nya skrivningar kom att ersätta de tidigare:
Under matematikämnets ”syfte” stod 1994-2000: ”Eleverna skall [...] lära sig att med förtrogenhet och omdöme använda sig av miniräknare och datorer som matematiska verktyg.” (Skolverket 2008b)
Under ämnets ”karaktär och struktur” stod:
”Tillgången till nya tekniska hjälpmedel förändrar delvis matematikens innehåll och metoder. Många rutinoperationer, främst av numerisk och grafisk karaktär, kan nu utföras av miniräknare och datorer. Inriktning mot förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultat samt förmåga att dra slutsatser blir viktigare än isolerad färdighetsträning. [...] Inom matematikämnet utnyttjas algebraiska, numeriska och grafiska metoder – de senare både utan och med hjälp av miniräknare och datorer.” (Skolverket 2008b)
Under ”bakgrund” stod:
”Den tekniska utvecklingen har medfört att matematiken fått nya och kraftfulla verktyg men detta ställer också ökade krav på användarens kunskaper.” (Skolverket 2008b)
Bland ”Några speciella inslag” stod:
”Kursplanerna i matematik lägger stor vikt vid förståelse. Tack vare nya tekniska hjälpmedel har kraven på färdighetsträning minskat och möjligheter och utrymme för utveckling av begreppsförståelse och problemlösningsförmåga [har ökat].” (mitt tillägg) (Skolverket 2008b)
”Datorlära betraktas inte längre som ett särskilt kunskapsområde. Kravet på att själv kunna programmera har ersatts av krav på att kunna utnyttja färdig programvara på ett medvetet sätt. Tillgången till grafräknare och till matematiska verktygsprogram för datorer underlättar för eleverna att tillägna sig kunskap om och förmåga att värdera olika problemlösningsstrategier och att låta algebraiska, numeriska och grafiska metoder komplettera varandra. Övrig lämplig programvara att utnyttja i undervisningen är kalkylprogram för att lösa problem inom bl.a. det ekonomiska området, statistikprogram för att hantera stora datamängder och symbolhanterande program för att bearbeta algebraiska uttryck och utföra exakta beräkningar.” (Skolverket 2008b)
Efter år 2000 står det mindre om elektroniska hjälpmedel i ämnesbeskrivningen matematik. Det står inte nämnt under ”ämnets syfte”, men det sista av de s.k. strävandemålen lyder:
”Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna utvecklar sina kunskaper om hur matematiken används inom informationsteknik, samt hur informationsteknik kan användas vid problemlösning för att åskådliggöra matematiska samband och för att undersöka matematiska modeller.” (Skolverket 2008c)
Här har man valt att använda ett nytt ord, informationsteknik: ”samlingsbegrepp för datateknik och telekommunikation i samverkan” (NE.se 2008), ”ett ganska vagt begrepp, oftast avses utnyttjandet av datorer och Internet för informationshantering” (Svenska datatermgruppen 2008) När informationsteknik används för att åskådliggöra matematiska samband och för att undersöka matematiska modeller, tolkar jag det som att det sker via Internet. Ska det syfta på t.ex grafräknare och CAS-program måste it-begreppet tolkas annorlunda. Jag erkänner att jag inte riktigt förstår vad Skolverket menar.
Under ”ämnets karaktär och uppbyggnad” står följande om tekniska hjälpmedel:
”Tillgången till tekniska hjälpmedel har delvis förändrat matematikämnet. Såväl numeriska, grafiska som algebraiska metoder utnyttjas och nya typer av problem av mer sammansatt karaktär kan studeras i ämnet. De tekniska hjälpmedlen har dock begränsat värde utan kunskaper om begrepp och metoder. Förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultat samt förmåga att dra slutsatser är grundläggande i gymnasieskolans matematikämne.”
(Skolverket 2008c)
I kursmålen för Matematik A stod fram till år 2000:
”Efter genomgången kurs skall eleven [...] i aritmetik ha erfarenhet av användning av datorprogram vid beräkningar.
[...] i funktionslära kunna utnyttja grafritande hjälpmedel.” (Skolverket 2008d: MA200)
Efter år 2000 står det:
”Eleven skall [...] med och utan tekniska hjälpmedel med omdöme kunna tillämpa sina kunskaper i olika former av numerisk räkning med anknytning till vardagsliv och studieinriktning [...] ha vana att vid problemlösning använda dator och grafritande räknare för att utföra beräkningar och åskådliggöra grafer och diagram.”
(Skolverket 2008d: MA1201)
Jag hittade inga motsvarande formuleringar bland kursmålen för kurs B. Däremot stod i de tidigare målen [1997-2000] för kurs C:
”Efter genomgången kurs skall eleven i algebra och funktionslära känna till hur dataprogram kan utnyttjas som hjälpmedel vid studier av matematiska modeller i olika tillämpade sammanhang. [...] i differentialkalkyl inse sambandet mellan en funktions graf och dess derivator av första och andra ordningen samt kunna använda detta i olika tillämpade sammanhang med och utan grafritande hjälpmedel.” (Skolverket 2008d: MA203)
I de nuvarande kursmålen [2000- ] står, något annorlunda formulerat:
”Eleven skall känna till hur datorer och grafiska räknare kan utnyttjas som hjälpmedel vid studier av matematiska modeller i olika tillämpade sammanhang. [...] kunna använda sambandet mellan en funktions graf och dess derivata i olika tillämpade sammanhang med och utan grafritande hjälpmedel.” (Skolverket 2008d: MA1203)
För kurs D gällde tidigare:
”Efter genomgången kurs skall eleven [...] förstå tankegången bakom några numeriska metoder för ekvationslösning och vid problemlösning kunna använda grafisk/numerisk programvara [...] förstå tankegången bakom några metoder för numerisk integration och vid problemlösning kunna använda grafisk/numerisk programvara för att beräkna integraler.” (Skolverket 2008d: MA204)
Nu står samma sak, med tillägget symbolhanterande programvara:
”Eleven skall [...] kunna förklara och använda tankegången bakom någon metod för numerisk ekvationslösning samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara [...] kunna redogöra för tankegången bakom och kunna använda någon metod för numerisk integration samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara för att beräkna integraler.” (Skolverket 2008d: MA1204)
I målen för kurs E hittar jag inte någonting nämnt om elektroniska hjälpmedel, inte heller i målen för Matematik breddning eller Matematik diskret. En ny gymnasiereform (GY-07) planerades länge och skulle ha genomförts med början ht 2007. Det blev dock borgerlig valseger [sep 2006]
och 2006-10-11 meddelar dåvarande skolminister Jan Björklund att reformen inte kommer att genomföras. (Eriksson 2006)
2.4 Några Matematikdidaktiska perspektiv
Med Dahland (1998) som utgångspunkt räknar jag upp några didaktiska perspektiv och begrepp, som kan vara relevanta i diskussionen om elektroniska hjälpmedel i matematikundervisningen.
Dahland (1998:40-44) redovisar en teoretisk bakgrund med tre didaktiska modeller för matematik beskrivna av Blankertz (1987). Jag saknar kunskap och erfarenhet för att kunna sätta mig in i dessa modeller, däremot uppskattar jag resonemanget om ”elementära didaktiska föreställningar” som följer. Frågorna Vad? (vilket innehåll), Varför? (varför just det innehållet) och Hur? (val av metod och arbetssätt) kan gälla kursavsnitt, enstaka lektioner eller moment och de kan ställas av
nybörjaren likaväl som av den erfarne läraren (fritt efter Dahland 1998:46). Dahland ställer även de didaktiska frågorna om användningen av elektroniska hjälpmedel:
”Vad för slags teknik skall jag använda i den önskade tillämpningen?” Val av verktyg och teknisk miljö.
”Varför är den tekniska ansatsen motiverad?” Analys av ämnesinnehåll och val av framställning.
”Hur ska det [undervisningen] gå till?” Lärobok, tekniska tips och lärarens muntliga framställning måste förenas till en studiemiljö. (fritt efter Dahland 1998:51-52)
Enligt Dahland (1998:107) saknas en allmänt accepterad definition av begreppet lärande. En definition av inlärning ges av Arfwedson & Arfwedson (2002:25) ”En bestående förändring i, eller en modifikation av, en individs förmåga att åstadkomma någonting [praktiskt eller teoretiskt]”. Förändringen sker genom påverkan, t.ex. erfarenhet, undervisning, tankearbete eller annan övning. Andra inlärningsdefinitioner kan handla om ändrat beteende, ny förståelse eller ny kunskap. Men inte heller begreppet kunskap är entydigt definierat enligt Dahland (1998:107).
En beskrivande definition med fyra olika former av kunskap används i Bildning och kunskap - särtryck ur läroplanskommitténs betänkande skola för bildning (SOU 1992:94) (Skolverket 1997:31-34) Det olika formerna är fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet. Sven-Eric Liedman belyser kunskapsbegreppet ur olika perspektiv i sin bok Ett oändligt äventyr: Om människans kunskaper.
Liedman (2002) beskriver kunskap som ”sitter i kroppen”, ”tyst kunskap” och han talar om kunskap som visdom, klokhet och bildning. Ytterligare ett perspektiv på kunskap får man kanske hos KK-stiftelsen, som arbetar för att öka Sveriges konkurrenskraft genom att stödja Kunskaps- och Kompetensutbyte mellan näringsliv och universitet/högskolor, främja IT- användning och stödja viss profilforskning i Sverige. (KK-stiftelsen 2008)
Det finns en mängd teorier om lärande. Dahland presenterar tre, som utvecklats under 1900-talet och periodvis ansetts relevanta för matematikinlärning: behaviorismen samt två konstruktivistiska teorier. I ”Lusten att lära – med fokus på matematik” (Skolverket 2002:9-10) beskrivs tre andra teorier för lärande, som alla påverkat våra nuvarande läroplaner (Lpfö 98, Lpo 94 och Lpf 94): social- konstruktivism, metakognitiv teori och symbolisk interaktionism. De teorier för inlärning vi stiftat bekantskap med tidigare under lärarutbildningen är främst behaviorism, konstruktivism, kognitivism samt Säljös (2000) sociokulturella perspektiv. Min egen syn på detta överflöd av teorier är att de beskriver verkligheten ur olika perspektiv och att en skicklig pedagog använder de metoder som passar bäst för de elever och det område som undervisas just då.
Den amerikanske psykologen Jerome Bruner, företrädare för den kognitiva inlärningsteorin, ger i
”The Process of Education” (1960) en bild av barn som aktiva problemlösare, redo att utforska
’svåra’ ämnen. Bruner betonar fyra teman (Smith 2002, fritt översatt):
- Strukturens roll i lärande och undervisning: Om lärandet innan ska underlätta senare lärande, så måste det ge en tydlig bild av hur kunskaperna hänger samman.
- Mognad för lärande: Skjut inte upp undervisning för att ämnet anses ’för svårt’, utan utgå från hypotesen att man kan undervisa alla ämnen till alla barn på något sätt, oavsett mognadsgrad. Följ
’spiralprincipen’ och återvänd gång på gång till ämnet.
- Intuition och analytiskt tänkande: Intuitionen är försummad och behöver tränas i skolan.
Den är en viktig beståndsdel i ’produktivt tänkande’.
- Motiv för lärande: Intresse för ämnet är det ideala. Eleven får inte bli en ’passiv’ åskådare, utan ett brett intresse måste väckas.
”Det har skrivits ca 20 000 avhandlingar i pedagogik. Kontentan av dessa är inte mycket mer än, att en lärare som har god kontakt med sina elever, kan entusiasmera dem och har mycket goda kunskaper i sitt ämne,
den läraren får dem att lära sig ämnet.” Jerome S. Bruner (1915 – )
3 Tidigare forskning om elektroniska hjälpmedel i skolan
I sin doktorsavhandling ”Matematikundervisning i 1990-talets gymnasieskola” gör Dahland (1998) en bred undersökning av hur matematikundervisningen påverkats av datorer, miniräknare och grafiska räknare i 1990-talets svenska gymnasieskola. Han nämner då och då även symbol- hanterande programvara och räknare. Dahland (1998) inleder med att presentera sina tidigare arbeten (Dahland 1993; Dahland 1995; Dahland & Lingefjärd 1996; Dahland red. 1997).
Dahlands resultat och slutsatser om datorer och grafiska räknare känns ofta aktuella även i dagens diskussion om symbolhanterande räknare. Därefter följer några didaktiska uppsatser om miniräknare samt forskning om symbolhanterande räknare.
3.1 Göte Dahlands forskning (1993-1998)
3.1.1 Datorstöd i matematikundervisningen (Dahland 1993)
Med datorstöd betecknar Dahland ”användningen av datorn som pedagogiskt hjälpmedel för undervisning och studier”. Andra betydelser är ”själva det datorprogram som utnyttjas”, ett ”räknetekniskt hjälpmedel” eller ett ”inlärningshjälpmedel”. (Dahland 1993:37)
Dahland tar upp ”symbolbehandling” med program som Derive och föregångaren Mumath. Han översätter och gör ett sammandrag av dansken Langberg (1990) som anger fyra områden inom matematikundervisningen, som genom datorstöd kan komma att påverkas på ett avgörande sätt:
1. Man kan på alla nivåer behandla uttryck av större komplexitet än med manuella metoder.
2. När eljest tidsödande och långtråkig symbolmanipulation görs med dator kan begreppsmässig förståelse och planering av problemlösning få utrymme som tidigare inte varit möjligt.
3. Symbolmanipulerande program ger de studerande en impuls till experimentellt och undersökande arbetssätt i samband med algebraiska resonemang.
4. Undervisningen blir mera verklighetsanknuten genom att kunna utnyttja realistiska exempel och arbeta med större modeller.
(Langberg 1990:11, se Dahland 1993:105, Dahlands översättning och sammandrag)
Dahland varnar för faran att man blir beroende av programmens tillförlitlighet. I praktiken blir det omöjligt att kontrollera resultaten med andra metoder. Han ger exempel på att ”buggar”
förekommit. Det krävs stor matematikteoretisk kunskap för att kunna tolka resultaten rätt.
”Värdet av arbetet med datorstöd ligger till stor del i efterarbetet och därför kommer många traditionella aktiviteter att framgent ha en stark ställning. Det är ett metodiskt problem att utnyttja sådana kraftfulla program, som nu nämnts, i skolmatematiken.
De didaktiska Vad och Hur-frågorna är ännu till stor del obesvarade.” (Dahland 1993:105)
Dahland ser ett metodiskt problem med programmen. Langberg skriver om denna ambivalens:
”Det är alltså något, som tyder på, att användande av symbolmanipulatorer kan ha en positiv effekt på de studerandes utbyte av undervisningen, men att det fortfarande en öppen fråga, var balansen mellan användande av sådana verktyg och traditionell handräkning ska ligga, för att uppnå traditionell inlärning. Kanske kan ett alltför ensidigt bruk av symbolmanipulatorer på grundläggande nivå ge allvarliga problem, när eleverna ska undervisas i mer avancerade ämnen.”
(Langberg 1990:13, se Dahland 1993:105, min översättning från danska)
3.1.2 Elektroniska hjälpmedel i gymnasiets matematikundervisning (Dahland 1995)
Dahland (1993) var en pilotstudie till denna större studie, genomförd 1994 i ett område med 57 västsvenska gymnasieskolor, av vilka 44 kom att ingå i undersökningen. Sedan den föregående studien hade de grafiska räknarna slagit igenom på gymnasiet och därmed försköts intresset från rent datorstöd till elektroniska hjälpmedel i allmänhet. Studiens avsikt var att ”[...] kartlägga spridningen och användningen av datorer, traditionella miniräknare och grafiska miniräknare [...och] att skapa en bild av skolornas programbibliotek inom matematikområdet.” (Dahland 1995:3, se Dahland 1998:9)
Av symbolhanterande program fanns Derive vid 19 skolor och Mathematica vid 2 skolor av 44.
(se Dahland 1998 II:156).
”Program som Derive och Mathematica aktualiserar frågan om vad som är viktigt att lära ut. Det är relevant att diskutera vad som är kunskaper i matematik. Man måste reflektera över utvärdering av kunskaper i matematik när lärare och elever under studieprocessen har använt kraftfulla elektroniska hjälpmedel. Det ger konsekvenser för till exempel elevers skriftliga redovisning av lösningar. Det matematiska språket påverkas. [...] Problemlösning och begreppsbildning är områden inom vilka det saknas konsensus om effekterna av elektroniska verktyg. [...] Datorns egenskap att fungera som katalysator måste observeras så att man inte aningslöst blandar samman vissa fenomen med deras orsaker.” (se Dahland 1998:14)
Dahland skriver ang. diskussionen om metodiska konsekvenser av datorstöd och användning av grafiska miniräknare: ”Det gäller att fråga sig hur den nya tekniken kan användas för att bearbeta uppställda problem[,] inte att leta efter problem som passar för den nya tekniken.” (se Dahland 1998:14)
Lärarkompetensen utvecklas i två faser, dels tekniska färdigheter med verktyget, dels metodisk tillämpning av tekniken integrerad i undervisningen. Fördelarna med datorstöd är bl.a. att man kan studera områden som tidigare inte varit inom räckhåll och att tekniken spar tid, som kan användas till begreppsbildning och samtal kring matematik. (se Dahland 1998:14-15)
3.1.3 Grafiska miniräknare och elevers tolkning av resultat (Dahland & Lingefjärd 1996)
Denna studie (Dahland & Lingefjärd 1996) genomfördes 1995 bland ca 100 gymnasieelever och syftet var att undersöka om deras dokumentation och lösningsstrategier påverkades av tillgången till grafiska räknare. Studien hade sex uppgifter som gymnasieeleverna skulle lösa. Man under- sökte deras förmåga att redovisa en lösning, att ange miniräknaranvändning och hur de tolkade räknarresultaten. ”Den nu presenterade studien, [...] bekräftar att frågor på prov kan klassificeras i enlighet med hur eleverna tenderar att formulera sina skrivna lösningar.” (Dahland & Lingefjärd 1996:50, se Dahland 1998:22)
Att dokumentera logiska lösningar behärskas inte tillräckligt och eleven måste kunna tolka informationen på skärmen och samtidigt ha tillräcklig förståelse att se sambandet mellan det matematiska problemet och räknarens möjligheter. Svårigheten att översätta mellan bildskärmens symboler och skrivna grafer och algebraiska symboler är ett språkproblem. (se Dahland 1998:22) Författarna drar bl.a. slutsatserna att ”[...] traditionella metoder med största sannolikhet kommer att påverkas av de nya verktygen i en omfattande grad.” och att ”Ju bättre man behärskar tekniken och ju bättre kunskap i matematik man har, desto kraftfullare verktyg är den grafiska miniräknaren. Detta ställer krav på en dubbel kompetens hos den undervisande läraren och den studerande eleven.” (se Dahland 1998:22).
3.1.4 Elektroniska hjälpmedel i matematikundervisningen (Dahland red. 1997) Dahland (1998) gör ett kort sammandrag av den rapport han sammanställt om De elektroniska hjälpmedlens konsekvenser. Jag väljer ett citat, som kunde handlat om symbolhanterande miniräknare:
”Grafiska miniräknare i gymnasieskolan innebär krav på kompetens i matematik kompletterad med förståelse för miniräknarens arbetssätt. Miniräknaren rätt använd betyder att effektivt integrera dess teknik med andra arbetsformer.
Användningen övergår i missbruk om man använder miniräknaren när den är onödig och olämplig eller ger missvisande resultat.” (se Dahland 1998:24)
3.1.5 Matematikundervisning i 1990-talets gymnasieskola (Dahland, 1998)
Dahland (1998) beskriver en enkätundersökning bland 197 matematiklärare vid 17 västsvenska gymnasieskolor. Syftet med studien var att undersöka ”hur gymnasielärare i matematik i sin undervisning har påverkats av tillgången till moderna elektroniska hjälpmedel.” (Dahland 1998:210)
57% av lärarna lät eleverna använda sina miniräknare obegränsat. En av dem frågar sig hur man ska göra om grafräknarna får Derive. (Dahland 1998 II:58)
Bland positiva iakttagelser hos eleverna kan nämnas: ökad förståelse för grafer och sambandet mellan funktion och graf, man hinner ägna sig åt fler och mer realistiska problem, ökat intresse.
Bland de negativa: sämre ”räknefärdighet”, räknarna används till enkla uppgifter och eleverna glömmer att räkna i huvudet, sämre redovisning av lösningar, eleverna ”vet” inte vad de gör.
(Dahland 1998 II:84-85)
Dahland tar förutom grafiska räknare även upp användningen av CAS i undervisningen och kritiserar den på vissa grunder, bl.a. kommer godtrogna användare att stöta på problem p.g.a.
begränsningar i programmens algoritmer, otillförlitliga resultat kan vara svåra att upptäcka och ett alltför starkt beroende av verktygen kan hämma elevernas kreativitet och problemlösnings- förmåga. Han ger exempel på några uppgifter att lösas med dator eller symbolhanterande räknare (Dahland 1998:187) och konstaterar:
”Med tillgång till symbolhanterande verktyg löser man uppgiften på en bråkdel av den tid det tar med traditionell behandling.
Även elever med god förståelse för algebra och förmåga att hantera algebraiska uttryck behöver arbeta noggrant under avsevärd tid för att lösa problemet manuellt. Numera behöver alltså ett stödjande verktyg inte vara en dator med lämpligt program.
Tillgängligheten ändras påtagligt när eleven använder en egen miniräknare. Därmed ökar sannolikheten för att redskapet används och att problemtypen rutiniseras även av elever som är mindre försigkomna. Kraven på att förstå uppgiftens problem kvarstår oförändrade.” (Dahland 1998:188).
Dahland beskriver experimentellt arbete i laborationsform, med symbolhanterande hjälpmedel (såväl dator som miniräknare). Metoden tillåter manuell manipulation och kan ge empiriska erfa- renheter som stöd för begreppsbildning inom det bearbetade området. Han ger exemplet derivata och diskuterar sedan förmågan att rätt hantera verktygen; förstå teknikens språk och att kunna tolka de resultat man får. Dahland talar om ”algebraisk skuldkänsla” (Vilken lösningsmetod anses
’finast’?) och ”effektiv användning eller missbruk”, d.v.s. att känna programmet/räknarens begränsningar. (Dahland 1998:188-206)
”En lärare med erfarenhet av symbolhanterande verktyg i undervisningen menar att det är de duktigare eleverna som tillgodogör sig verktygen bäst. För svaga elever kan ett avancerat verktyg snarast vara en belastning, ytterligare en sak man skall lära sig.
Dessa elevers problem är att på språklig nivå ta del av matematiken.” (Dahland 1998:259)
I sitt slutord skriver Dahland: ”Gymnasieskolans matematik kommer, när symbolbehandlande verktyg accepterats, att påverkas än starkare än vad den här studien har beskrivit.” (Dahland 1998:281)
3.2 Didaktiska uppsatser (2000-2006)
Jag konstaterar att miniräknaren i skolan varit ett vanligt ämne för didaktiska uppsatser. Här följer sammandrag av ett examensarbete om symbolhanterande räknare, samt några av de arbeten jag fann på uppsatser.se (Valentin 2007). De handlar huvudsakligen om grafräknaren i gymnasieskolan.
Några tar även upp symbolhanterande räknare. Det var bl.a. ur dessa uppsatser, som jag hämtade inspiration till min egen undersökning.
3.2.1 Symbolhanterande miniräknare i matematikundervisningen (Palm 2000) Det enda examensarbetet ägnat åt symbolhanterande räknare fann jag via en Google-sökning.
Anders Palms problemformulering lyder:
• Är symbolhanterande hjälpmedel i gymnasieskolans undervisning av godo eller av ondo?
• Kan eleverna bibehålla tillräckliga kunskaper inom traditionell matematik om de har tillgång till ett så kraftigt hjälpmedel?
• Om så, kan undervisningen se ut som den gör idag eller måste presentationen av matematikämnet förändras?
Palm använde TI-89 i tre smågrupper av NV-elever, 3+3 elever i åk 2 (Ma D) samt 3 elever i åk 3 (Ma E & F). Eleverna använde annars TI-83, en vanlig grafräknare. De fick 30 min introduktion med övningsuppgifter för att bekanta sig med den symbolhanterande räknaren. Sedan följde huvuduppgiften, att lösa ett eller flera av Palms egna CAS-problem. Palm skriver i sin sammanfattning:
”Det eventuella införandet av symbolhanterande miniräknare, så kallade CAS-räknare, i gymnasieskolan måste ske varsamt. Räknarna kan rätt använda vara en enorm tillgång i matematikundervisningen men det finns samtidigt en del faror med dem. För att kunna använda dem på rätt sätt måste därför såväl lärare som lärarutbildare noga tänka igenom vad matematikundervisningen skall innehålla och vilka matematiska kunskaper hos eleverna som skall bedömas. Det jag läst om aktuell forskning på området och de inblickar jag fick i några elevers första möte med CAS-räknare i min egen undersökning, gör att jag ställer mig positiv till att prova dem.”
Han avslutar med konstatera:
”Vi står inför en ny teknisk revolution på miniräknarfronten. Inför vi CAS-verktyg på gymnasieskolan, blir matematik- undervisningen aldrig mera sig lik.”
3.2.2 Grafräknaren i matematiken – en undersökning av användande och attityder (Andersson 2001)
Martin Andersson (2001) gör en slags pilotstudie om grafritande miniräknare och skriver bl.a.
följande i sin slutsats:
”Min erfarenhet, efter att ha varit ute på matematiklektioner under vårterminen 2001, är att de flesta ger upp huvudräkningen helt och slår in alla uträkningar i grafräknaren hur enkla beräkningarna än må vara.”
”Att det underlättar förståelsen för eleverna och att man kan variera undervisningen mycket med grafräknarens hjälp är två argument som har etsat sig fast hos mig och gjort att jag vridit mig mer mot den positiva sidan.”
”Efter att ha gjort denna undersökning kan man konstatera att det krävs fler och större undersökningar inom detta område i Sverige och speciellt nu när nästa generation grafräknare, den symbolhanterande grafräknaren, gör sitt intåg i gymnasieskolan.”
3.2.3 Miniräknaren i dagens gymnasieskola (Nordström 2005)
Daniel Nordströms (2005) arbete syftar till att undersöka hur gymnasieelever använder sina mini- räknare och hur de ser på sitt eget användande, men även också om det finns några skillnader mellan killars och tjejers användande av och attityder till miniräknaren.
Undersökningen ska försöka besvara fyra grundfrågor:
• Hur använder lärarna miniräknaren i sin undervisning i dag och hur ser de på användandet av den?
• Hur använder eleverna miniräknaren?
• Hur skiljer sig elevernas och lärarnas uppfattning?
• Finns det några skillnader mellan tjejer och killar vad gäller användande av och uppfattning om miniräknaren i skolan?
3.2.4 Användandet av den grafritande räknaren i gymnasieskolans matematikundervisning (Davidsson & Mårtensson 2006)
AnnaKarin Davidsson och Jenny Mårtensson (2006) skriver om den grafritande räknaren som hjälpmedel i matematikundervisningen. Syftet med studien är att undersöka hur gymnasielärare använder den grafritande räknaren i undervisningen. Deras frågeställningar är:
1. Hur använder gymnasielärare den grafritande räknaren i matematikundervisningen enligt dem själva?
2. Till vad anger gymnasielärare att de använder den grafritande räknaren i matematikundervisningen?
3. Vad anger gymnasielärare är anledningen till att de väljer att använda den grafritande räknaren i matematikundervisningen?
4. Varifrån anger gymnasielärare att de får information och idéer om hur den grafritande räknaren kan användas i matematikundervisningen?
3.2.5 Den grafritande räknaren som ett medierande redskap (Falkebo Peters &
Schrab 2006)
Michael Falkebo Peters och Linus Schrab (2006) skriver om Den grafritande räknaren som ett medie- rande redskap. Deras perspektiv är tydligt sociokulturellt och deras övergripande forskningsfråga är
”På vilka sätt presenterar två läroböcker i gymnasiets matematikkurs C den grafritande räknaren i samband med begreppet derivata och dess tillämpningar?” med följdfrågan ”Hur förhåller sig läroböckernas texter och dess räkneövningar till den grafritande räknaren som ett medierande redskap?” I sitt arbete nämner de symbolhanterande räknare på flera ställen, bl.a. undersöker de hur införandet av en sådan räknare påverkar elevernas förhållningssätt till matematiken ur ett sociokulturellt perspektiv.
(Falkebo Peters & Schrab 2006:12-13)
3.3 Forskning om symbolhanterande hjälpmedel (1997-2007)
Dahland (1998) konstaterar: ”Forskningen kring CAS som pedagogiskt hjälpmedel är relativt omfattande.”
Femton doktorsavhandlingar har noterats mellan 1988-1995 och de typer av CAS som studerats är Mathematica, Derive, Maple, Toolkit och True Basic. Slutsatserna är mestadels positiva, bl.a.
ökad begreppsförståelse, bättre bevarande av räknefärdighet, förbättrad attityd mot matematik.
Det återstår dock mycket forskning om hur CAS påverkar undervisningen i matematik. (Dahland 1998:175)
Detta är vad jag funnit om CAS i undervisningen. Jag börjar med att referera tre böcker, sedan nämns fyra tidskrifter och några övriga källor för tidigare och pågående forskning.
3.3.1 The State of Computer algebra in Mathematics Education (Berry &
Monaghan red. 1997)
Boken innehåller artiklar från ett internationellt symposium, som hölls på Hawaii, i augusti 1995.
Författarna kommer från 11 länder och boken är indelad i fem delar: Läroplanen, Bedömning, Skriva för CAS, Få lärare att använda CAS i klassrummet, Förståelse. Allt är mycket strukturerat och i kapitel 1 definieras viktiga begrepp som vita låd-fasen: kognitiv inlärning, svarta låd-fasen:
tillämpning av kunskapen. De används som modeller för olika sätt att undervisa. Enligt vita/svarta låd-principen lär man sig först det nya kunskapsstoffet för hand (vit låda) och använder sedan t.ex.
en bevisad formel för att lösa olika problem (svart låda). Tanken är att man stoppar in olika värden i en ”låda” och ut kommer ett resultat.
• När lådan är vit, så är innehållet det viktiga: -Vad händer i lådan? Förstå hur och varför.
• När lådan är svart, så är resultatet det viktiga: -Vad blir resultatet? Kunna använda, t.ex.
med CAS.
Enligt den omvända svart/vita låd-principen börjar man med att experimentera och använda CAS som en svart låda. När man upptäckt ett samband verifierar man det genom att pröva, testa, beräkna och slutligen bevisa sambandet (vit låda).
Fönsterväxlings-metoden (The Window Shuttle Method) går ut på att man t.ex. arbetar numeriskt i ett fönster och grafiskt i ett annat. När man ändrar en parameter för en funktion i det ena fönstret, så kan man direkt se hur funktionsgrafen påverkas i det andra.
Modul-metoden: En modul kan vara en funktion eller ett program, som själv använder andra moduler och/eller själv används av andra. Mitt ex: En modul som beräknar sannolikheten för olika pokerhänder kan bestå av en lista på olika kombinationer av kort, t.ex. fyrtal. Sannolikheten för fyrtal beräknas med nCr-funktionen, en modul i räknaren, som använder n-fakultet, som i sin tur bygger på multiplikation, etc. Modulen själv kan ingå i ett taktikprogram för en pokerdator.
(Berry & Monaghan red. 1997:33-36)
I fortsättningen av kapitlet förs en diskussion om evolution av läroplaner, snarare än revolution och en rad exempel på typisk användning av CAS. Kapitel 2 tar upp bedömning och examination med hjälp av CAS. Eleven ska enligt en hypotes tillgodogöra sig nya matematiska områden numeriskt, grafiskt och algebraiskt för att internalisera dem fullständigt. (Berry & Monaghan red.
1997:78-79) Man diskuterar även ”livlinor” för svagare elever och kapitlet avslutas med 4 exempel på olika uppgifter för bedömning.
Det följande kapitlet är matnyttigt för den som ska skriva arbetsblad, övningar, laborationer etc.
för att användas med CAS. Kapitel 4 är argumenterande och konstruktivt skrivet. Hur ska man göra för att komma över motstånd och problem, som man kan möta vid introduktionen av CAS i utbildningen? Det avslutande kapitlet handlar om hur CAS påverkar elevernas förståelse. Förf.
slogs av hur lite som var känt, hur lika många studier var samt hur svårt det var att organisera vad som var känt eller behövde undersökas ytterligare. (Berry & Monaghan red. 1997:163) Den
”dubbla didaktiska pyramiden” presenteras med mediet (CAS) i mitten, läraren, eleven, gruppen och kunskapen i var sitt hörn. Den andra s.k. roll-pyramiden består av lärande-rollen (Learner), informationsanskaffaren (Information provider), handledaren (Tutor), ”oraklet” (Oracle – något som behöver tolkas) i var sitt hörn och interlokutören (Interlocutor – den som man talar med) någonstans emellan hörnen. Därefter följer ett avsnitt med då aktuell forskning och boken avslutas med 12 frågeställningar för fortsatt forskning (Berry & Monaghan red. 1997:190-202 se 7.3.1). Tyvärr läste jag denna bok i ett sent skede, då min egen undersökning redan var genomförd.
3.3.2 Computer algebra systems in secondary school mathematics education (Fey, Cuoco, Kieran, McMullin & Zbiek red. 2003)
Computer algebra systems in secondary school mathematics education är i mitt tycke den mest intressanta boken, med sin blandning av 18 forskningsartiklar från sammanlagt 10 länder (flest från USA).
Boken är utgiven av National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) och består av 4 delar:
• Perspectives for Analyzing CAS Potential
• Examples of CAS at Work in the Curriculum and Class-room
• Evidence and Implications from Research
• CAS and Assessment of Mathematical Understanding and Skill.
Varje del består av en kort introduktion och sedan följer artiklarna inom resp. område, varvat med korta Activities. Det finns rikligt med referenser i de flesta av artiklarna.
Jag beklagar att denna bok liksom Berry & Monaghan (red. 1997) kom in i arbetet efter det att min egen undersökning redan var slutförd, men rekommenderar den varmt för den som vill forska vidare inom ämnet.
3.3.3 The Case for CAS (Böhm, Forbes, Herweyers, Hugelshofer & Schomacker 2004)
En sammanställning av forskning kring symbolhanterande räknare finns i The Case for CAS. Den är utgiven av T3 Europe (T3 - Teachers Teaching with Technology™)
”At Texas Instruments we are committed to providing excellent, value for money professional development for maths and science teachers to support them in using TI technology. This training is provided to schools and other educational establishments through T3 - Teachers Teaching with Technology™.” (Texas Instruments 2008)
De fem medförfattarna är alla T3-ansvariga eller instruktörer i sina resp. hemländer och jag läser denna publikation med reservation att författarna kan, medvetet eller omedvetet, ha överdrivit
