Datavetenskapligt program Introduktionskurs i matematik 2003–09–26

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin

tel 471 3207

Prov i matematik

Datavetenskapligt program Introduktionskurs i matematik 2003–09–26

Skrivtid: 9–12.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Manuella skrivdon.

Den maximala po¨ angen f¨ or varje uppgift st˚ ar inom parantes. F¨ or full po¨ ang p˚ a en uppgift ska l¨ osningen vara v¨ al motiverad och l¨ asligt skriven. Maximal po¨ ang p˚ a tentan ¨ ar 32, f¨ or godk¨ ant kr¨ avs minst 15 po¨ ang.

1. a) F¨ orenkla 7 10 3 5 + 8

3

. [2p] b) F¨ orenkla 3 log( a

2 ) + log( 4

a ), d¨ ar a > 0. [2p]

2. L˚ at z och w vara tv˚ a komplexa tal. Tolka geometriskt (i det komplexa talplanet) f¨ oljande utsagor: a) |z − w| = 5 [2p] b) w = iz [2p]

3. L¨ os olikheten x + 2

x − 4 < 1. [3p]

4. L˚ at z = (1 − i)

. Best¨ am arg z (i radianer) och |z|. Skriv z p˚ a formen a + bi. [3p]

5. Best¨ am medelpunkt och radie f¨ or cirkeln x

+ y

+ 6x = 6 + 2y. [3p]

6. Formulera och bevisa Pythagoras sats. [3p]

7. Ange alla m¨ ojliga v¨ arden p˚ a cos v om sin v = 4 5 . [3p]

8. L¨ os ekvationen 4 cos 5x = √

4. (Svara i radianer) [3p]

9. L¨ os ekvationen sin x cos x

√ 2 = 1

4 . (Svara i radianer) [3p]

10. Best¨ am en ekvation f¨ or den linje som ¨ ar tangent till funktionen f (x) = 2x sin(x) d˚ a x = π

2 . [3p]

Lycka till!

Svar till tentamen i Introduktionskurs i matematik 2003–09–26

1. a) 3

14 b) log( a

2 ).

3. {x ∈ R; x < 4}.

4. z = 1/16.

5. Centrum ¨ ar (−3, 1), radien ¨ ar 4.

6. Se t.ex. Startboken s. 50.

7. cos v = ±3/5.

8. x = ± π

15 + 2πn

5 , n ∈ Z.

9. x = π/8 + πn eller x = 3π/8 + πn, n ∈ Z.

10. y = 2x.

2