Waveletová transformace
Vybrané partie matematiky – X17VPM
Tomáš Hejda hejdatom@fel.cvut.cz
12. prosince 2009
1 Úvod
Waveletová transformace je relativně nový nástroj pro analýzu signálů v časově-frekvenční ob- lasti. Byla představena na počátku 80. let 20. století Morletem et al., který ji použil pro vyhod- nocení seismických dat [6]. Waveletová transformace provádí rozklad funkce (signálu) 𝑓 (𝑡) do prostoru generovaného bází waveletů. Wavelety jsou funkce impulsního charakteru. Báze wave- letů se vytváří pomocí translace a dilatace tzv. matečního waveletu. Dalším takovým rozkladem je např. vzorkování, kde jako bázi používáme
𝜁𝑖(𝑡) = sinc(︂ 𝑡 − 𝑖𝑇𝑝 𝑇𝑝
)︂
, (1.1)
kde 𝑇𝑝 je vzorkovací perioda [9], nebo Fourierova transformace, kde bázovými funkcemi je systém exponenciál
𝜁𝜔(𝑡) = 𝑒𝑗𝜔𝑡, (1.2)
kde 𝜔 = 2𝜋𝑓 , 𝑓 ∈ R.
V následujícím textu definujeme a popíšeme waveletovou transformaci, objasníme její přínos pro zpracování signálů, přičemž uvedeme její výhody oproti jiným transformacím, a nakonec shrneme její aplikace.
2 Popis waveletové transformace
Při zpracování signálů se využívá matematických transformací k získání dalších informací o sig- nálu, které nejsou zjevné z jeho časového průběhu. Velmi často používanou transformací je Fou- rierova transformace (FT). Tato transformace je definována vztahem [1]
𝑓 (𝜔) =^
∫︁ ∞
−∞
𝑓 (𝑡) 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡. (2.1)
Jedná se tedy o skalární součin funkce či signálu 𝑓 (𝑡) a báze (1.2). Po aplikaci Fourierovy trans- formace na signál 𝑓 (𝑡) získáme jeho frekvenční spektrum ^𝑓 (𝜔). Fourierova transformace posky- tuje díky periodičnosti komplexní exponenciály perfektní rozlišení ve frekvenční doméně, avšak nulové rozlišení v časové doméně a neumožňuje tedy vyšetřovat vlastnosti signálu v časové a frek- venční oblasti současně [1]. Jinými slovy, díky Fourierově transformaci můžeme zkoumat, v jakém množství je daná frekvence v signálu zastoupena, nikoliv však již, v jakém časovém intervalu se tato frekvence vyskytuje. Časovou informaci nepotřebujeme v případě tzv. stacionárních signálů, u nichž se frekvenční složky s časem nemění. Fourierova transformace signálů nestacionárních, tj.
signálů, jejichž frekvenčí složky se s časem mění, neposkytuje informaci o výskytu jednotlivých frekvenčních složek v čase [8].
Pro analýzu nestacionárních signálů je vhodnější tzv. krátkodobá Fourierova transformace (Short-Time Fourier Transform, STFT), která je definována vztahem [12]
STFT (𝜔, 𝜏 ) = ⟨𝑓, 𝑔𝜔,𝜏⟩ =
∫︁ ∞
−∞
𝑓 (𝑡) 𝑤*(𝑡 − 𝜏 ) 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡, (2.2) kde
𝑔𝜔,𝜏(𝑡) = 𝑤 (𝑡 − 𝜏 ) 𝑒𝑗𝜔𝑡. (2.3)
Signál 𝑓 (𝑡) je tedy nejprve vynásoben okenní funkcí 𝑤(𝑡 − 𝜏 ) a poté je na takto omezený signál aplikována klasická Fourierova transformace.
Krátkodobá Fourierova transformace je limitována Heisenbergovým principem neurčitosti [1].
Heisenbergův princip neurčitosti je fyzikální problém popsaný vztahem [12]
Δ2𝑡Δ2𝜔 ≥ 𝜋
2, (2.4)
kde
Δ2𝑡 =
∫︁ ∞
−∞
𝑡2|𝑓 (𝑡)|2𝑑𝑡 (2.5)
a
Δ2𝜔=
∫︁ ∞
−∞
𝜔2
⃒
⃒
⃒ 𝑓 (𝜔)^
⃒
⃒
⃒
2
𝑑𝜔. (2.6)
Heisenbergův princip neurčitosti tedy říká, že konkrétní frekvenční složky nelze lokalizovat v kon- krétním časovém okamžiku. Lze zjistit pouze časové intervaly, ve kterých se určité pásmo kmi- točtů vyskytuje. Čím delší bude časový interval, tím konkrétnější informaci získáme o jeho frek- venčním obsahu, ale tím horší bude lokalizace frekvencí v čase. Čím užší časový interval zkou- máme, tím horší bude rozlišení jednotlivých frekvencí, ale dané frekvenční pásmo bude přesněji lokalizované na časové ose.
Nestacionární signál je vhodné násobit dostatečně úzkou okenní funkcí, v jejímž rámci bude signál stacionární. Získáme tak lepší rozlišení v čase. Čím užší však použijeme okenní funkci, tím horší dostaneme rozlišení ve frekvenční doméně. A naopak, použijeme-li širší okenní funkci, dostaneme horší rozlišení v časové doméně a lepší rozlišení ve frekvenční doméně.
Hlavní nevýhoda krátkodobé Fourierovy transformace tkví v konstantní šířce okenní funkce během celého výpočtu. Musíme se tedy rozhodnout, zdali je pro naše účely výhodnější dobré rozlišení v čase, nebo ve frekvenci.
Problém s rozlišením řeší waveletová transformace, která v průběhu výpočtu mění šířku okenní funkce – waveletu. Wavelety jsou impulsní funkce a lze je obecně definovat jako translace a dilatace matečního waveletu (mother wavelet ) 𝜓(𝑡) vztahem [1]
𝜓𝑎,𝑏(𝑡) = 1
√︀|𝑎|𝜓(︂ 𝑡 − 𝑏 𝑎
)︂
, 𝑎, 𝑏 ∈ R, 𝑎 ̸= 0, (2.7)
kde 𝑎 je parametr měnící měřítko waveletu (scaling parameter ) a 𝑏 parametr posouvající wavelet v čase vůči vyšetřovanému signálu (translation parameter ). Množina funkcí 𝜓𝑎,𝑏(𝑡) tvoří orto- gonální bázi [5]. Waveletových funkcí je velké množství, průběhy čtyř typů matečních waveletů jsou na obrázku 2.1.
-10 -5 0 5 10
-0.5 0 0.5 1
Mexican hat wavelet
-10 -5 0 5 10
-1 -0.5 0 0.5 1
Morlet wavelet
0 1 2 3
-2 -1 0 1 2
Daubechies 2 wavelet
-10 -5 0 5 10
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Meyer wavelet
Obrázek 2.1: Některé typy matečních waveletů generované funkcí wavefun z balíčku Wavelet Toolbox [11]
v programu MATLAB [10]. Informace o jednotlivých typech waveletů lze nalézt v [11].
Waveletová transformace ve spojitém čase (continuous-time wavelet transform, CWT) je de- finována jako skalární součin funkce 𝑓 (𝑡) a báze funkcí 𝜓𝑎,𝑏(𝑡) [6]
𝒲 (𝑎, 𝑏) = ⟨𝑓, 𝜓𝑎,𝑏⟩ = 1
√︀|𝑎|
∫︁ ∞
−∞
𝑓 (𝑡) 𝜓*(︂ 𝑡 − 𝑏 𝑎
)︂
𝑑𝑡. (2.8)
Obraz signálu je tedy funkcí dvou proměnných, měřítka 𝑎 a času 𝑏. Měřítko 𝑎 je nepřímo úměrné tzv. pseudofrekvenci 𝑓𝑎 [11].
𝑓𝑎= 𝑓𝑐
𝑎Δ, (2.9)
kde 𝑓𝑐[Hz] je centrální frekvence waveletu a Δ je vzorkovací perioda.
Waveletová transformace obchází Heisenbergův princip neurčitosti tím, že poskytuje dobré časové rozlišení na vyšších frekvencích a dobré frekvenční rozlišení na nízkých frekvencích, což odpovídá špatnému rozlišení v měřítku na nízkých frekvencích. Tuto vlastnost ilustrují obrázky 2.2 a 2.3. Z právě popsaných důvodů se waveletová transformace hodí pro analýzu signálů, které obsahují nízké frekvence v celé své délce a vysoké frekvence jen v krátkých časových intervalech [8].
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1 0 1
čas t [s]
s(t)
Obrázek 2.2: Kosinusový signál s lineárně rozmítanou frekvencí vygenerovaný v programu MATLAB po- mocí funkce chirp [10]. Frekvence v čase 𝑡 = 0 s je 35 Hz a v čase 𝑡 = 1 s je 5 Hz.
waveletové koeficienty W(a,b)
čas b [s]
měřítko a [-]
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
50 100 150 200
Obrázek 2.3: CWT signálu z obrázku 2.2 vypočítaná v programu MATLAB pomocí funkce cwt z balíčku Wavelet Toolbox [11]. Použit byl Mexican hat wavelet. Z obrázku je patrné, že vysoké kmitočty mají dobré rozlišení v měřítku (tj. špatné rozlišení ve frekvenci) a dobré rozlišení v čase (v grafu vlevo dole), zatímco nízké kmitočty mají dobré rozlišení ve frekvenci (špatné rozlišení v měřítku) a špatné rozlišení v čase (v grafu vpravo).
Rovnice (2.8) popisuje míru podobnosti mezi waveletem a úsekem signálu 𝑓 (𝑡), se kterým příslušný wavelet porovnáváme. Čím bude měřítko 𝑎 menší, tím bude wavelet v čase užší (kom- primovanější) a bude korelovat s vyššími kmitočty obsaženými v signálu. Zvětšováním hodnoty 𝑎 docílíme rozšíření (dilatace) waveletu v čase a wavelet bude korelovat s nízkými kmitočty signálu. Pro každý časový posun 𝑏 se přes všechny časy 𝑡 integruje součin waveletu a signálu.
Pokud signál obsahuje např. nějakou diskontinuitu v čase 𝑡 = 𝑇 , bude pro malou hodnotu mě- řítka 𝑎 při časovém posunu 𝑏 = 𝑇 tato diskontinuita s komprimovaným waveletem korelovat a hodnota koeficientu 𝒲(𝑎, 𝑏) pro dané hodnoty 𝑎 a 𝑏 bude relativně vysoká. Diskontinuita bude přesně lokalizována v čase 𝑏 = 𝑇 . Při použití Fourierovy transformace bychom ve spektru sice viděli frekvenční komponenty na vyšších kmitočtech, ale neměli bychom žádnou informaci o tom, kde se diskontinuita nachází. Tento příklad názorně ilustrují obrázky 2.4, 2.5 a 2.6. Algoritmus výpočtu CWT1 dle definičního vztahu (2.8) lze tedy shrnout do šesti bodů [11]:
1. Na počátku výpočtu se nastaví hodnota měřítka 𝑎 (typicky 𝑎 = 1) a hodnota posunu v čase 𝑏 = 0 s.
2. Wavelet s měřítkem 𝑎 a časovým posunem 𝑏 se nejprve vynásobí s vyšetřovaným signálem.
3. Integrací součinu přes všechny časy 𝑡 se získá waveletový koeficient 𝒲(𝑎, 𝑏), který vyjadřuje míru podobnosti waveletu s daným úsekem signálu. Čím větší je hodnota koeficientu, tím větší je podobnost mezi waveletem a příslušným úsekem signálu.
4. Poté se wavelet posune o malou hodnotu vpravo, tj. zvýší se hodnota časového posunu 𝑏.
Kroky 2. až 4. se opakují tak dlouho, dokud není pro dané měřítko 𝑎 vyšetřen celý časový průběh signálu.
5. Nyní se změní hodnota měřítka 𝑎, hodnota času 𝑏 se nastaví na 𝑏 = 0 s a začne se od kroku 2.
6. Kroky 2. až 5. se opakují pro všechna měřítka 𝑎.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.5 0 0.5
čas t [s]
s(t)
Obrázek 2.4: Sinusový signál o frekvenci 10 Hz a s diskontinuitou v podobě posunu fáze o 𝜋/2 v čase 𝑡 = 0,25 s.
1CWT je, jak plyne z jejího názvu, spojitá transformace. Počítač však pracuje se vzorky signálu a tedy i s diskrétními posuny v čase 𝑏 a měřítky 𝑎. Výsledkem je konečný počet waveletových koeficientů 𝒲(𝑎, 𝑏), které aproximují spojitý průběh v časově-měřítkové doméně. Pro digitální zpracování signálů byl vyvinut rychlý algoritmus výpočtu waveletové transformace, diskrétní waveletová transformace (Discrete Wavelet Transform, DWT). DWT představuje konkrétní implementaci waveletové transformace a je popsána např. v [6], [8], [11] nebo v [12].
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
f [Hz]
|S(f)|
Obrázek 2.5: Jednostranné amlitudové spektrum signálu z obrázku 2.4 vypočítané v programu MATLAB pomocí funkce fft [10]. Na obrázku jsou kromě spektrální čáry na kmitočtu 𝑓 = 10 Hz patrné i postranní laloky způsobené diskontinuitou v signálu. Ze spektra vypočítaného po- mocí Fourierovy transformace však nemáme žádnou informaci o poloze diskontinuity v čase.
Z tvaru spektra lze pouze usuzovat, že se v časové oblasti jedná o ostrý přechod, neboť prů- běhu | sin 𝑥/𝑥| ve frekvenční doméně odpovídá obdélníkový průběh v doméně časové.
waveletové koeficienty W(a,b)
čas b [s]
měřítko a [-]
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
50 100 150 200
Obrázek 2.6: CWT signálu z obrázku 2.4 vypočítaná v programu MATLAB pomocí funkce cwt z ba- líčku Wavelet Toolbox [11]. Použit byl Morletův wavelet. Malý rozsah měřítek byl zvolen záměrně, aby waveletové koeficienty odpovídající kmitočtu 10 Hz, jež mají relativně vyso- kou amplitudu, nezastínily koeficienty odpovídající diskontinuitě v signálu. Na obrázku je patrná diskontinuita přesně lokalizovaná v čase 𝑏 = 0,25 s. Dále je patrné zhoršování časo- vého rozlišení s rostoucím měřítkem 𝑎 (klesající frekvencí). Diskontinuity v časech 𝑏 = 0 s a 𝑏 = 1 s jsou způsobeny omezenou délkou signálu.
3 Aplikace waveletové transformace
Z předchozího textu plyne, že waveletová transformace se využívá především k analýze nestaci- onárních procesů. Podívejme se nyní na některé konkrétní aplikace.
3.1 Komprese dat
Jednou z nejrozšířenějších aplikací waveletové transformace je datová komprese [7]. V roce 1993 vytvořila FBI – CJIS (Federal Bureau of Investigation – Criminal Justice Information Services Division) ve spolupráci s NIST (National Institute of Standards and Technology ), LANL (Los Alamos National Laboratory ) a společnostmi z komerčního sektoru standardy pro digitalizaci a komprimaci otisků prstů. Důvodem byla především značná rozsáhlost databáze otisků prstů s ohledem na v té době vysokou cenu za GB úložného prostoru [4].
První možností komprese byla bezeztrátová komprese, avšak ta poskytuje kompresní po- měr maximálně 2:1 [7]. Druhou možností byla ztrátová komprese. Standard JPEG nepřicházel v úvahu, neboť ze snímků maže důležité detaily a vkládá do nich rušivé ostré přechody. Komprese pomocí waveletové transformace se ukázala pro komprimaci snímků otisků prstů jako ideální, ne- boť zachovává detaily a do snímku na rozdíl od JPEGu nevkládá ostré hrany, nýbrž jej spíše vyhlazuje, což pro daný typ dat nepůsobí tak rušivě [7].
Princip ztrátové komprese spočívá buď ve vymazání komponent signálu (obrázku) s nízkou energií a zachování komponent s vysokou energií, nebo ve vymazání vysokofrekvenčních dat a zachování nízkofrekvenčních dat, nebo v kombinaci obojího. Až na základě konkrétní aplikace se rozhodne o tom, který z principů se použije, a waveletová transformace toto rozhodnutí značně zjednodušuje (první princip souvisí s amplitudou waveletových koeficientů a druhý se změnou měřítka) [7].
3.2 Odstranění šumu ze zašuměných dat
Metodu, která využívá waveletovou transformaci k odstranění šumu ze signálu, představil v roce 1993 David Donoho ze Stanfordské univerzity [2]. Princip metody spočívá v použití filtrů, které průměrují data, a filtrů poskytujících detaily. Některé z vypočtených waveletových koeficientů odpovídají detailům v datové posloupnosti. Pokud jsou tyto detaily zanedbatelné, mohou být vypuštěny, aniž by výrazněji ovlivnily charakteristiky signálu.
Nejprve se stanoví práh, se kterým se porovnávají příslušné koeficienty. Všechny koeficienty menší než daný práh jsou nastaveny na nulovou hodnotu. Následně je inverzní waveletovou transformací vypočten průběh signálu oproštěného od šumu [4]. Výsledek aplikace metody na jednoduchý signál je demonstrován na obrázku 3.1.
3.3 Počítačové a lidské vidění
Na počátku 80. let 20. století začal britský vědec David Marr v laboratoři umělé inteligence (Artificial Intelligence Laboratory) na MIT (Massachusetts Institute of Technology ) zkoumat umělé vidění pro roboty. Chtěl zjistit, proč byly první pokusy o vytvoření funkčního umělého vidění pro roboty neúspěšné [4].
Zpočátku Marr formuloval tři otázky:
∙ Jakým způsobem určit obrysy objektu ze změn jeho svítivosti?
∙ Jakým způsobem je možné vnímat hloubku?
∙ Jakým způsobem je vnímán pohyb?
Následně vyvinul algoritmy, které jeho otázky vyřešily [4].
Podle Marra je lidský zrak komplikovaná hierarchická struktura zahrnující několik úrovní zpracování obrazu. Na každé úrovni poskytuje sítnice obrazovou reprezentaci, která postupně
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2
0 2
čas t [s]
s n(t)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1 0 1
čas t [s]
s dn(t)
Obrázek 3.1: Demonstrace odstranění šumu ze signálu pomocí waveletové transformace. K sinusovému signálu o frekvenci 𝑓 = 10 Hz a amplitudě 𝐴 = 1 byl přičten gaussovský bílý šum s rozptylem 𝜎2= 0,1. Pro demonstraci bylo použito grafické rozhraní balíčku Wavelet Toolbox programu MATLAB [10], které se vyvolá příkazem wavemenu. Použit byl Daubechies 2 wavelet, pět hodnot měřítek a metoda Soft-Thresholding [3]. Horní graf znázorňuje průběh zašuměného signálu, dolní pak průběh signálu, na který byla aplikována výše zmíněná metoda.
mění prostorové měřítko. Marr tvrdil, že změny intenzity se v obraze vyskytují na různých měřítkách, takže pro jejich optimální detekci jsou nutné operátory o různých délkách. Dále tvrdil, že náhlé změny intenzity vytváří v první derivaci obrazu špičky nebo ostrá minima. Na základě těchto dvou tvrzení stanovil, že zrakový filtr by měl být diferenciálním operátorem a měl by být schopen pracovat na různých měřítkách. Tomuto operátoru se v současnosti říká Marrův wavelet [4].
David Marr zemřel na leukémii 17. 11. 1980 [13].
3.4 Sdružené zdrojové a kanálové kódování v digitální komunikaci
Zdrojové kódování se používá z důvodu přenosu informace kanálem s omezenou kapacitou. Ně- které situace dovolují zdrojové a kanálové kódování oddělit. Například pro přenos zpráv mezi dvěma body skrze známý časově invariantní kanál lze navrhnout optimální metodu kanálového kódování k dosažení kanálové kapacity, tj. dosáhnout rychlosti 𝑅 [kb/s] takové, že 𝑅 ≤ 𝐶, kde 𝐶 je kapacita kanálu. Úkolem zdrojového kódování je redukovat přenosovou rychlost tak, aby odpovídala přenosové rychlosti kanálu [12].
V jiných situacích však separaci zdrojového a kanálového kódování nelze použít, např. po- kud uvažujeme časově proměnný kanál s vícecestným šířením nebo kanály s mnohonásobným přístupem. V takových případech může být výhodné navrhnout zdrojové a kanálové kódování společně, aby bylo možné použít např. více přenosových rychlostí. Princip, který se ve všech těchto příkladech využívá, se nazývá víceúrovňový přenos (multiresolution transmission) a je za- ložen na představě, že přenosový systém je schopen v závislosti na podmínkách v kanálu pracovat na rozdílných přenosových rychlostech. Takové chování přenosového systému může být dosaženo různými technikami. Pointou však je použití víceúrovňového zdrojového kodéru a celá problema- tika přizpůsobení zdroje na rozdílné přenosové rychlosti se nazývá víceúrovňové sdružené zdojové a kanálové kódování (multiresolution joint source-channel coding ) [12].
3.5 Další aplikace
Waveletová transformace nachází další využití např. v predikci zemětřesení, analýze turbulencí, detekci hran v obrázcích či v syntéze zvuku [4].
4 Závěr
Waveletová transformace představuje účinný matematický aparát pro analýzu signálů v časově- měřítkové (frekvenční) oblasti. Hodí se zejména pro analýzu nestacionárních procesů s časově omezenými vysokofrekvenčními složkami.
Práce si kladla za cíl porovnat waveletovou transformaci s Fourierovou a krátkodobou Fou- rierovou transformací, vysvětlit princip analýzy signálu pomocí této transformace a shrnout její základní aplikace. Některé vlastnosti waveletové transformace byly demonstrovány simulacemi v programu MATLAB [10].
Reference
[1] Debnath, Lokenath. Wavelet Transforms and Their Applications. Boston: Birkhäuser, 2002.
565 s. ISBN 0-8176-4204-8.
[2] Donoho, David. Nonlinear Wavelet Methods for Recovery of Signals, Densities, and Spectra from Indirect and Noisy Data (abstract). In Proceedings of Symposia in Applied Mathema- tics. American Mathematical Society, 1993, p. 173–205.
[3] Donoho, David. De-Noising by Soft-Thresholding. IEEE Transactions on Information The- ory, vol. 41, no. 3, May 1995.
[4] Graps, Amara. An Introduction to Wavelets [online]. c○1995–2004, last modified on 12th May 2004 [cit. 2009-11-07]. <http://www.amara.com/IEEEwave/IEEEwavelet.html>.
[5] Macháč, Jan. Vybrané partie matematiky [zápisky z přednášek]. Praha: ČVUT FEL, katedra elektromagnetického pole, zimní semestr 2009.
[6] Mertins, Alfred. Signal analysis [online]. Hoboken: Wiley, 2001. 310 s. ISBN: 9780470841839.
<http://www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/bookhome/88511485>.
[7] Mix, Dwight F. – Olejniczak, Kraig J. Elements of Wavelets for Engineers and Scientists [on- line]. New Jersey: Wiley, 2003. 236 s. ISBN: 0-471-46617-4. <http://www3.interscience.
wiley.com/cgi-bin/homepage/?isbn=9780471668886>.
[8] Polikar, Robi. The Wavelet Tutorial [online]. c○1994–2000, last update on 12th January 2001 [cit. 2009-12-06]. <http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html>.
[9] Sýkora, Jan. Teorie digitální komunikace. Dotisk prvního vydání. Praha: nakladatelství ČVUT, 2005. 343 s. ISBN 80-01-02478-4.
[10] The MathWorks, Inc. MATLAB [ISO]. Ver. 7.5.0 (R2007b). 15th August 2007.
[11] The MathWorks, Inc. Wavelet Toolbox – Documentation [online]. c○1984–2009, [cit. 2009- 12-09]. <http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/wavelet/>.
[12] Vetterli, Martin – Kovačević, Jelena. Wavelets and Subband Coding [online]. c○2007, second edition 2007 [cit. 2009-11-07]. <http://www.waveletsandsubbandcoding.org/>.
[13] David Marr (neuroscientist) [online], last modified on 28th November 2009 [cit. 2009-12-09], Wikipedia. <http://en.wikipedia.org/wiki/David_Marr_(neuroscientist)>.
