LINEÁRNÍ INTEGRÁLNÍ TRANSFORMACE Fourierova transformace

(1)

1/29

LINEÁRNÍ INTEGRÁLNÍ TRANSFORMACE Fourierova transformace

Václav Hlaváč

Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze

katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz

http://cmp.felk.cvut.cz/∼hlavac

(2)

2/29

VÝCHOZÍ PŘEDSTAVA

Zpracování obrazů ≡ filtrace dvojrozměrných signálů.

prostorový filtr

frekvenèní filtr vstupní

obraz

pøímá

transformace zpìtná

transformace

výstupní obraz

Filtrace v prostorové oblasti. Pro 1D signály bychom řekli v časové oblasti.

Lineární kombinace vstupního obrazu s koeficienty (často lokálního) filtru.

Konvoluce.

Filtrace ve frekvenční oblasti. Převod do “frekvenční reprezentace”, tam filtrace, převod zpět.

Pro první představu stačí Fourierova transformace, ale jsou i další.

(3)

3/29

2D FOURIEROVA TRANSFORMACE

Myšlenka. Obrazová funkce f(x, y) se rozloží na lineární kombinaci harmonických (obecněji ortonormálních) funkcí.

Definice přímé transformace. u, v jsou prostorové frekvence v jednotkách [radián/vzorek].

F(u, v) =

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

f(x, y) e−2πj(xu+uv) dx dy

Periodicita. F(u, v) je komplexní funkce, periodická v u i v s periodou 2π.

F(u, v) se obvykle zobrazuje jen v intervalu u, v ∈ [−π, π].

Stejnosměrná složka. F(0, 0) je součtem všech hodnot f (x, y). Proto se nazývá stejnosměrnou složkou Fourierova transformace.

(4)

4/29

PODMÍNKY PRO EXISTENCI FOURIEROVY TRANSFORMACE

1.

∞

R

−∞

∞

R

−∞

| f

(

x, y

⁾

| dx dy < ∞.

2. f

(

x, y

)

může mít nejvýše konečný počet nespojitostí a konečně maxim a minim v každém konečném obdélníku.

3. f

⁽

x, y

⁾

nesmí mít nespojitosti s nekonečnou amplitudou.

Pro digitální obrazy Fourierova transformace vždy existuje,

protože digitální obrazy jsou omezené a mají konečný počet

nespojitostí.

(5)

5/29

INVERZNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE

f

⁽

x, y

⁾ ⁼

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

F

⁽

u, v

⁾

e

^2πj(xu+yv)

du dv

f

⁽

x, y

⁾

je lineární kombinací jednoduchých harmonických složek e

^2πj(xu+uv)

.

Díky Eulerovu vztahu (e

^jz ^{= cos}

z

⁺

j

^sin

z) jsou reálnými složkami

^sin

a imaginárními

^cos

.

Funkce F

(

u, v

)

udává váhy harmonických složek v lineární

kombinaci.

(6)

6/29

DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE Předpoklad: f

⁽

x, y

⁾

6

^{= 0}

jen v intervalu x ∈

^[0

, M −

^1]

y ∈

^[0

, N −

^1]

.

Přímá diskrétní Fourierova transformace F

⁽

u, v

⁾ ⁼

M −1

X

x=0

N −1

X

y=0

f

⁽

x, y

⁾

e

(−2πj/N ) xu

e

(−2πj/M ) yv

Inverzní diskrétní Fourierova transformace f

⁽

x, y

⁾ ⁼

M −1

X

u=0

N −1

X

v=0

F

⁽

u, v

⁾

e

(2πj/N ) xu

e

(2πj/M ) yv

V MATLABU realizují 2D FFT funkce fft2 a ifft2.

(7)

7/29

MATICOVÉ VYJÁDŘENÍ

LIN. INTEGRÁLNÍCH TRANSFORMACÍ

Vstupem je obdélníkový obraz f o rozměru M × N







f(0, 0) f(0, 1) . . . f(0, N − 1)

... ... ...

f(M − 1, 0) f (M − 1, 1) . . . f (M − 1, N − 1)







Přímá transformace se vyjádří pomocí součinu matic F = P f Q ,

kde P a Q rozměru M × M , resp. N × N jsou transformační matice.

Pro regulární matice P a Q lze zapsat inverzní transformaci f = P⁻¹ F Q⁻¹ .

(8)

8/29

SOUČIN MATIC ROZEPSÁN POMOCÍ SOUČTU PROSTOROVÉ FREKVENCE

Součiny matic

^F ^{= P f Q}

,

^f ^{= P}⁻¹ ^{F Q}⁻¹

,

kde

P

a

Q

rozměru M × M , resp. N × N jsou transformační matice, vyjádříme pomocí ve tvaru sum pro diskretizované

prostorové frekvence u

^{= 0}

,

¹

, . . . , M −

¹

; v

^{= 0}

,

¹

, . . . , N −

¹

F

(

u, v

) =

M −1

X

m=0

N −1

X

n=0

P

(

u, m

)

f

(

m, n

)

Q

(

n, v

)

.

f

⁽

m, n

^{) =}

M −1

X

u=0

N −1

X

v=0

P

⁻¹⁽

u, m

⁾

f

⁽

m, n

⁾

Q

⁻¹⁽

n, v

⁾

.

(9)

9/29

2D FOURIEROVA TRANSFORMACE V MATICOVÉM TVARU

Přímá Fourierova transformace

^F ^{= Φ}_{M M} ^{f Φ}_{N N}

, kde pro k, l

^{= 0}

,

¹

, . . . , J −

^{1 ;} Φ_{J J}(

k, l

^{) =} ¹

J

^exp

−j

²

π

J kl .

Zpětná Fourierova transformace

^f ^{= Φ}⁻¹_{M M} ^{F Φ}⁻¹_{N N}

, kde

^Φ⁻¹_{J J}⁽

k, l

^{) = exp(}²

πj

J kl

⁾

.

(10)

10/29

SPEKTRUM PROSTOROVÝCH FREKVENCÍ

Fourierův obraz F

(

u, v

)

je funkce komplexní proměnné.

(Komplexní) spektrum F

⁽

u, v

^{) =}

R

⁽

u, v

^{) +}

jI

⁽

u, v

⁾

Amplitudové spektrum |F

(

u, v

)

|

=

pR

²(

u, v

) +

I

²(

u, v

)

Fázové spektrum φ

⁽

u, v

^{) =}

tan

⁻¹

h

I(u,v) R(u,v)

i

Výkonové spektrum P

⁽

u, v

^{) =}

|F

⁽

u, v

⁾

|

² ⁼

R

²⁽

u, v

^{) +}

I

²⁽

u, v

⁾

(11)

11/29

PŘÍKLAD HRADČANY, VÝCHOZÍ OBRAZ 265×256

(12)

12/29

PŘÍKLAD HRADČANY, REÁLNÁ SLOŽKA SPEKTRA

(13)

13/29

PŘÍKLAD HRADČANY, IMAGINÁRNÍ SLOŽKA SPEKTRA

(14)

14/29

PŘÍKLAD HRADČANY, LOGARITMUS VÝKONOVÉHO SPEKTRA

(15)

15/29

PŘÍKLAD HRADČANY, VÝKONOVÉ SPEKTRUM JAKO OBRÁZEK

(16)

16/29

PŘÍKLAD RÝŽE, VÝCHOZÍ OBRAZ 265×256

(17)

17/29

PŘÍKLAD RÝŽE, REÁLNÁ SLOŽKA SPEKTRA

(18)

18/29

PŘÍKLAD RÝŽE, IMAGINÁRNÍ SLOŽKA SPEKTRA

(19)

19/29

PŘÍKLAD RÝŽE, LOGARITMUS VÝKONOVÉHO SPEKTRA

(20)

20/29

PŘÍKLAD RÝŽE, VÝKONOVÉ SPEKTRUM JAKO OBRÁZEK

(21)

21/29

PŘÍKLAD VODOROVNÁ ČÁRA, VÝCHOZÍ OBRAZ 265×256

(22)

22/29

PŘÍKLAD VODOROVNÁ ČÁRA, REÁLNÁ SLOŽKA SPEKTRA

(23)

23/29

PŘÍKLAD VODOROVNÁ ČÁRA, IMAGINÁRNÍ SLOŽKA SPEKTRA

(24)

24/29

PŘÍKLAD VODOROVNÁ ČÁRA, VÝKONOVÉ SPEKTRUM

(25)

25/29

PŘÍKLAD ČTVEREC, VÝCHOZÍ OBRAZ 265×256

(26)

26/29

PŘÍKLAD ČTVEREC, REÁLNÁ SLOŽKA SPEKTRA

(27)

27/29

PŘÍKLAD ČTVEREC, IMAGINÁRNÍ SLOŽKA SPEKTRA

(28)

28/29

PŘÍKLAD ČTVEREC, LOGARITMUS VÝKONOVÉHO SPEKTRA

(29)

29/29

PŘÍKLAD ČTVEREC, VÝKONOVÉ SPEKTRUM JAKO OBRÁZEK