p.g.a. att en supraledare fullst¨ andigt utesluter yttre magnetf¨ alt.

16. Supraledning

[HH10, Do’s anteckningar, Kittel 12, AM 34]

Meissner-effekten, d¨ ar en magnet leviterar ¨ over en supraledare

p.g.a. att en supraledare fullst¨ andigt utesluter yttre magnetf¨ alt.

16.1. Allm¨ ant

Ett stort antal grund¨ amnen och kristallina kemiska f¨ oreningar f¨ orlorar sin elektriska resistivitet och blir supraledande vid l˚ aga temperaturer. K¨ annetecknande f¨ or supraledande ¨ amnen ¨ ar att de ¨ ar perfekta diamagneter, dvs. de utesluter magnetiska f¨ alt fullst¨ andigt, och att supraledningsf¨ orm˚ agan f¨ orsvinner i ett tillr¨ ackligt starkt yttre magnetiskt f¨ alt.

Laddningen transporteras i supraledare av elektronpar som beter sig som om de vore bundna till varandra med en attraktiv kraft; mer om detta senare.

Den supraledande str¨ ommen kan h˚ allas oattenuerad i otroligt l˚ anga tider. Det har gjorts m¨ atningar

d¨ ar en str¨ om h˚ allits konstant i ˚ ar; i ett experiment best¨ amdes att tidskonstanten f¨ or attenuation

m˚ aste vara minst 100000 ˚ ar.

16.1.1. Supraledande material

Det f¨ orsta supraledande materialet observerades av Kamerlingh Onnes i Leiden ˚ ar 1911. H¨ ar ¨ ar en

kopia av den ursprungliga bilden ¨ over uppt¨ ackten:

En genomg˚ ang av grund¨ amnena visar att en stor del blir supraledande vid n˚ agon temperatur, och

¨ annu fler (de m¨ arkta med en asterisk *) vid ett h¨ ogt yttre tryck:

l˚ ag temperatur, men i.o.m. att transitionen ¨ ar mycket sensitiv till orenheter, har man inte kunnat best¨ amma detta med s¨ akerhet. T.ex. en Fe-orenhet per 10

atomer i Mo ¨ ar tillr¨ ackligt att f¨ orst¨ ora supraledningen i Mo, och en % Gd i La s¨ anker dess transitionstemperatur fr˚ an 5.6 till 0.6 K.

Maximitemperaturen f¨ or transitionen hos grund¨ amnen ¨ ar 9.5 K f¨ or Nb.

H¨ ar ¨ ar en tabell p˚ a n˚ agra supraledande legeringar och oxider:

L¨ ange trodde man att det ¨ ar om¨ ojligt att komma mycket h¨ ogre ¨ an 20 K i transitionstemperaturen T

; rekordet var f¨ or en god stund 23 K i Nb

Ge. Det fanns t.o.m. teoretiska argument f¨ or att maximet b¨ or vara av denna storleksordning.

D¨ arf¨ or kom det som en verklig revolution d˚ a Bednorz och Muller ˚ ar 1986 hittade en lantanid-

metall-oxid, La

Ba

CuO

som hade en transitionstemperatur p˚ a 35 K. Det uppstod en frenetisk forskningsverksamhet f¨ or att hitta andra s.k. h¨ ogtemperatur-supraledare (“high-T

supercon- ductors”), och nu har man hittat s˚ adana i flera olika typer av material.

16.1.1.1. Indelning av supraledare enligt materialtyp

Supraledare kan idag enligt typen av material och transitionstemperaturen indelas i ˚ atminstone fyra olika klasser.

• Traditionella l˚ ag-temperatur-supraledare (“low-T

superconductors”). Dessa har en transi- tionstemperatur p˚ a h¨ ogst 23 K. Alla grund¨ amnes-supraledare och vanliga metall-legeringar som ¨ ar supraledare h¨ or hit. De f¨ orsta hittades ˚ ar 1911 av Kamerlingh-Onnes, och deras supraledningsmeka- nism f¨ orklaras av den s˚ a kallade BCS-teorin. Typiskt ¨ ar dessa vanliga metaller vid rumstemperatur.

• Cu-baserade h¨ og-temperatur-supraledare (“Cu-based high-T

superconductors”).

var deras uppt¨ ackt en stor ¨ overraskning. Till dags datum innehas supraledningsrekordet i T

av HgBa

Ca

Cu

O

som har T

= 138 K, men den mest studerade h¨ ogtemperatur-supraledaren

¨ ar yttrium-barium-kopparoxid YBa

Cu

O

(ofta betecknat YBCO f¨ or enkelhet skull), som har T

= 92 K. Notera underindexet δ: dessa har det karakteristiska draget att de ha en del syrevakanser, som har en avg¨ orande roll f¨ or supraledandet. T.ex. i YBCO ¨ ar maximiet i supraledningstemperatur vid δ = 0.15, medan vid δ = 0.6 f¨ orsvinner supraledningen helt!

I och med att dessa har en transitionstemperatur som ¨ ar h¨ ogre ¨ an kokpunkten f¨ or kv¨ ave (77 K) ¨ ar de mycket beh¨ andiga att arbeta med, f¨ or flytande kv¨ ave ¨ ar billigt och allm¨ ant tillg¨ angligt. Tyv¨ arr

¨ ar detta ungef¨ ar deras enda f¨ ordel ur praktisk synvinkel: det ¨ ar extremt sv˚ art att tillverka l˚ anga elledningar av dessa material.

Supraledningsmekanismen ¨ ar inte k¨ and: BCS-teorin l¨ ampar sig inte helt f¨ or att f¨ orklara den, men ingen alternativ teori har hittills (˚ ar 2012) f˚ att allm¨ ant godk¨ annande.

• Supraledande fullerener och organiska material Ytterligare en klass av supraledande material

utg¨ ors av dopade fullerener, d.v.s. fotbollsmolekylen C

och dess sl¨ aktingar. Genom att dopa dem

t.ex. med alkalimetaller kan man komma upp till transitionstemperaturer kring 40-50 K. Rubidium-

thallium dopad C

har t.ex. observerats ha T

= 45 K

.

((Det finns ocks˚ a en rapport om supraledande fullerener vid 117 K av Jens Hendrik Sch¨ on, men han blev senare fast f¨ or f¨ orfalskning av data och de flesta av hans publikationer har ˚ atertagits. D¨ arf¨ or ¨ ar fulleren-resultatet n¨ astan s¨ akert falskt.))

Aven organiska material kan vara supraledande, med ˚ ¨ atminstone delvis liknande egenskaper som fullerener uppvisar. Mekanismen f¨ or supraledning i dessa ¨ ar oklar, BCS-teorin verkar inte fungera helt h¨ ar heller.

• Magnesiumdiborid. ¨ Overraskningarna kring supraledning slutade inte ˚ ar 1986. ˚ Ar 2001 fann Jun Akimitsu vid Tokyos universitet att magnesiumdiborid MgB

¨ ar supraledande med T

= 39 K.

Orsaken att detta var en ¨ overraskning var fr¨ amst att i motsats till de komplexa kopparoxiderna, ¨ ar

magnesiumdiborid ett helt vanligt material som n¨ astan bokstavligen kunde ha k¨ opts fr˚ an ett vanligt

apotek. ¨ And˚ a hade ingen kommit p˚ a att unders¨ oka om den ¨ ar supraledande f¨ ore Akimitsu, som

ocks˚ a m¨ arkte det av en slump. MgB

beter sig ungef¨ ar som de normala l˚ agtemperatursupraledarna,

d.v.s. BCS-teorin kan f¨ orklara dess egenskaper.

till sina egenskaper till samma klass av material som koppar-oxid- supraledarna, dvs. BCS-teorin fungerar inte.

• Supraledning i H

S vid h¨ ogt tryck. Den allra senaste ¨ overraskningen kom ˚ ar 2015, d˚ a Mikhail

Eremets grupp i Tyskland uppt¨ ackte att den mycket vanliga gasen v¨ atesulfid H

S (allm¨ ant k¨ ant

som gasen som orsakar lukten av ruttna ¨ agg) ¨ ar supraledande vid en s˚ a h¨ og temperatur som 203 K,

d˚ a den ¨ ar i fast form i extremt h¨ ogt tryck (150 GPa).

16.1.2. Till¨ ampningar

I praktiskt arbete finns det tre extra viktiga temperaturer f¨ or materialfysiker och -ingenj¨ orer. De ¨ ar 4.2 K, 77 K och 300 K.

Den f¨ orsta ¨ ar kokpunkten f¨ or flytande He, den andra flytande kv¨ ave (LN2 i arbetsslang), och den tredje naturligtvis rumstemperatur. Orsaken att de tv˚ a tidigare ¨ ar viktiga ¨ ar att det beh¨ andigaste s¨ attet att h˚ alla ett material nerkylt ¨ ar att kyla ner det antingen med He- eller N

-v¨ atska. F¨ or priset mellan dessa material finns en bra tumregel: flytande He kostar som (god) whisky, flytande kv¨ ave som mj¨ olk.

Detta f¨ orklarar det stora intresset i YBCO: i.o.m. att det ¨ ar supraledande vid flytande kv¨ ave-

temperatur, ¨ ar det potentiellt extremt mycket billigare att anv¨ anda ¨ an de traditionella supraledarna,

som kr¨ aver flytande He. Nackdelen med YBCO och alla andra h¨ ogtemperatur-supraledare ¨ ar att de

˚ Ar 2002 utgjordes marknaden till ung. 99 % av klassiska supraledare, medan h¨ og-temperaturledarna bara st˚ ar f¨ or ungef¨ ar 1 % av marknaden

.

En av de fr¨ amsta tillverkarna p˚ a dessa ¨ ar f.¨ o. det f¨ oredetta Outokumpu Superconductors (numera ¨ agt av det internationella f¨ oretaget Luvata), som tillverkar kopparkablar med extremt m˚ anga, extremt tunna (ner till 20 nm) Nb-baserade supraledare. De anv¨ ands bl.a. som ledare i supraledande magneter i partikelacceleratorer (KEK, CERN), fusionsreaktorer, och i “magnetic resonance imaging”-bilder (MRI).

Det som verkligen skulle vara revolutionerande var om man kunde tillverka supraledare som fungerar vid rumstemperatur. Tyv¨ arr ser inte oddsena alltf¨ or lovande ut f¨ or detta; utvecklingen ser ut att ha stannat kring 100 K. Men det finns visst hopp ¨ annu om att man kunde tillverka tunna ytskikt som

¨ ar supraledande vid betydligt h¨ ogre temperaturer.

16.1.3. Indelning av supraledare enligt magnetiska egenskaper

Supraledarna indelas i 2 olika typer enligt de magnetiska egenskaperna. Den enklare typen (I) k¨ annetecknas av f¨ orekomsten av ett v¨ aldefinierat, kritiskt magnetiskt f¨ alt H

(T ), som har ett maximalt v¨ arde vid T = 0 och som blir 0 d˚ a T = T

I supraledarna av typ II finns tv˚ a skilda kritiska f¨ altniv˚ aer:

H

< H

(1)

F¨ or f¨ altstyrkor som ¨ ar mindre ¨ an H

utesluts det magnetiska f¨ altet fullst¨ andigt fr˚ an supraledaren.

F¨ or f¨ altstyrkor H i mellanomr˚ adet: H

< H < H

genomtr¨ anger det magnetiska f¨ altet partiellt

supraledaren, medan supraledningsf¨ orm˚ agan f¨ orsvinner. I mellanomr˚ adet ¨ ar det magnetiska f¨ altet

inom supraledaren koncentrerat till smala tr˚ adartade omr˚ aden som kallas vortexlinjer. Dessa bildar

ett regelbundet gitter av parallella linjer.

V¨ ardet p˚ a H

kan vara extremt h¨ ogt i vissa typ II-supraledare, upp till storleksordningen 50 T

(h¨ ogre ¨ an man kan m¨ ata, detta ¨ ar en extrapolation). Om man sedan ¨ annu kan uppn˚ a en h¨ og

magnetisk hysteresis, har man vad som kallas en “h˚ ard supraledare” som kan anv¨ andas f¨ or att

tillverka extremt h¨ oga magnetf¨ alt. Det ¨ ar just dessa material som Outokumpu et co. anv¨ ander.

16.1.4. Kritiska f¨ alt, str¨ ommar och temperaturer

I supraledare av typ I har det kritiska f¨ altet B

eller H

ett enkelt temperaturberoende:

B

(T ) = B

(0) 1 − T

T

!

(2)

som illustreras h¨ ar f¨ or kvicksilver:

Vidare g¨ aller att supraledare bara kan b¨ ara begr¨ ansade str¨ omt¨ atheter och att supraledningsf¨ orm˚ agan

f¨ orsvinner d˚ a str¨ omt¨ atheten ¨ overstiger en kritisk gr¨ ans. Den kritiska str¨ omt¨ athetens v¨ arde sam-

manh¨ anger med den kritiska magnetiska f¨ altstyrkan. Str¨ omt¨ atheten ger upphov till ett magnetiskt

f¨ alt, vars styrka inte f˚ ar ¨ overstiga det den kritiska f¨ altstyrkans v¨ arde B

p˚ a supraledarens yta.

16.1.5. Meissner-effekten

Ett viktigt drag i typ I:s supraledare ¨ ar att de i det supraledande stadiet fullst¨ andigt repellerar

magnetiska f¨ alt. Detta ¨ ar k¨ ant som Meissner-effekten. Orsaken ¨ ar att d˚ a provet kan leda perfekt,

kommer den att generera str¨ ommar p˚ a sin yta, som f¨ orm˚ ar fullst¨ andigt att kancellera det yttre

f¨ altets verkan:

Detta kan beaktas i de flesta fall med att kr¨ ava att

B = µ

(H + M) = 0 =⇒ M = −H (3)

vilket motsvarar en suskeptibilitet p˚ a

χ = −1 (4)

P.g.a. detta beteende kallas supraledare ofta perfekta diamagneter.

16.1.6. Energigapet

F¨ or supraledarna g¨ aller att energif¨ ordelningen har ett energigap med vidden ∆ centrerad vid Fermienergin, vilket inneb¨ ar att elektroner kan flyttas till ett ledningsband bara om de tillf¨ ors en energim¨ angd som ¨ overstiger ∆.

Detta energigap skall dock inte blandas med det i halvledare och insulatorer; den har i sj¨ alva verket ett helt annat ursprung, som h¨ arr¨ or sig till den supraledande mekanismen. V¨ armekapaciteten som orsakas av gapet har ocks˚ a temperaturberoendet

e

(5)

ist¨ allet f¨ or beteendet exp(−∆/k

T ) som observeras normalt.

H¨ ar ¨ ar n˚ agra v¨ arden p˚ a energigapet:

Supraledare kan b¨ ara v¨ axelstr¨ om s˚ a l¨ ange dennas frekvens uppfyller villkoret

~ω < ∆, (6)

d¨ ar ∆ ¨ ar energigapet vid Fermiytan.

16.2. London-ekvationen

((Denna paragraf ges i CGS-enheter))

Att s¨ aga att supraledarna inte har n˚ agot magnetf¨ alt i sitt inre ¨ ar uppenbart lite problematiskt, ty det s¨ ager ingenting om hur transitionen sker - det ¨ ar inte s¨ ardeles trov¨ ardigt att den i verkligheten skulle ske vid en atom¨ art skarp gr¨ ansyta. D¨ arf¨ or beh¨ ovs en mer avancerad modell som kan behandla supraledare. F¨ or att man inte heller vill kasta hela den klassiska elektrodynamiken ¨ overbord, har man utvecklat en fenomenologisk modell som kan beskriva supraledning och ¨ ar konsistent med Maxwells ekvationer.

Den fenomenologiska beskrivningen av supraledare utg˚ ar fr˚ an antagandet att elektronerna i en

supraledare bildar tv˚ a skilda elektronsystem - ett supraledande och ett normalt. Den supraledande

och den normala elektrongasens densiteter n

och n

bildar den totala elektront¨ atheten n:

16.2.1. Egenskaper hos perfekta ledare

F¨ or att beskriva elektroner i supraledare, anv¨ ander vi f¨ orst normala elektrodynamik f¨ or att h¨ arleda ekvationer f¨ or perfekta ledare.

Den supraledande komponenten av elektrongasen, som saknar resistivitet, responderar mycket snabbare till transienta f¨ alt ¨ an den normala komponenten. D˚ a den supraledande str¨ ommen sak- nar dissipation g¨ aller den klassiska r¨ orelseekvationen f¨ or den genomsnittliga hastigheten f¨ or de supraledande elektronerna i ett elektriskt f¨ alt:

m dv

dt = −eE (8)

Detta ¨ ar allts˚ a samma ekvation som i frielektronmodellerna utom att termen som beskriver spridning fr˚ an fononer eller orenheter

p

τ (9)

saknas.

Den supraledande str¨ omt¨ atheten ¨ ar

j = −ev

n

, (10)

varigenom

dj

dt = n

e

m E. (11)

Fouriertransformation leder till

j(ω) = i n

e

mω E, (12)

varigenom den frekvensberoende konduktiviteten blir

σ(ω) = i n

e

mω . (13)

Enligt Faradays lag i elektrodynamiken ¨ ar

∇ × E = 1 c

∂B

∂t (14)

Maxwells ekvation f¨ or den magnetiska induktionen ¨ ar

∇ × B = 4π

c j (16)

ifall den dielektriska f¨ orskjutningsstr¨ ommen bortl¨ amnas.

De tv˚ a senaste ekvationerna kan allts˚ a anv¨ andas f¨ or att beskriva magnetf¨ alt och ledningsegenskaper

i perfekta ledare.

16.2.2. Egenskaper hos supraledare

Ett godtyckligt statiskt magnetiskt f¨ alt B leder till en motsvarande statisk str¨ omt¨ athet j genom ekvation (16). I s˚ afall ¨ ar Faradays induktionslag (14) automatiskt satisfierad. F¨ or beskrivningen av supraledare som inte till˚ ater statiska magnetiska f¨ alt m˚ aste ett ytterligare villkor tillfogas. Ett s˚ adant

¨ ar den s.k. London-ekvationen, som postuleras f¨ or supraledare:

∇ × j + n

e

mc B = 0 (17)

Notera allts˚ a att denna lag ¨ ar helt fenomenologisk; den ¨ ar inte h¨ arledd p˚ a n˚ agot s¨ att, utan anv¨ ands bara f¨ or att den fungerar bra i normala fall, och ¨ ar konsistent med Maxwells ekvationer. Den kan f¨ orst˚ as vara en mer restriktiv form av ekvation (15), som ju s¨ ager att

2

En supraledare och en perfekt ledare ¨ ar allts˚ a inte samma sak!

Ekvation (17) kan ocks˚ a f¨ orst˚ as vara motsvarigheten f¨ or Ohms lag i supraledare; i.o.m. att σ = ∞ i supraledare ¨ ar Ohms lag i sig sj¨ alvt ganska onyttig h¨ ar. Men London-ekvationen ger ett s¨ att att ber¨ akna str¨ ommen i supraledare.

Den fr¨ amsta orsaken till Londonekvationens form ¨ ar att den leder till Meissnereffekten ! Kombination av Londonekvationen (17) och Maxwellekvationen

∇ × B = 4π

c j (19)

ger

∇ × (∇ × B) = ∇(∇ · B

| {z }

=0

) − ∇

B = 4π

c ∇ × j = − 4πn

e

mc

B. (20)

samt

∇ × (∇ × j) = ∇( ∇ · j

| {z }

=0 ty inga k¨allor finns

) − ∇

j = − n

e

mc ∇ × B = − 4πn

e

mc

j. (21)

och allts˚ a de tv˚ a ekvationerna



 



 



∇

B − 1

λ

B = 0,

∇

j − 1

λ

j = 0.

(22)

H¨ ar har parametern λ

definierats som

λ

= s

mc

4πn

e

(CGS). (23)

eller

λ

=

r m

µ

n

e

(SI). (24)

λ

representerar den s.k. penetrationsl¨ angden f¨ or det magnetiska f¨ altet i supraledaren, och kallas Londons penetrationsdjup. Med ett typiskt v¨ arde p˚ a n

= 10

f˚ ar man λ

= 170 ˚ A.

Om ytan f¨ or det supraledande materialet ¨ ar z = 0, med supraledaren i omr˚ adet z > 0 och

vars l¨ osning ¨ ar

B(z) = B

e

, z ≥ 0. (26)

Detta resultat visar att det magnetiska f¨ altet bara kan tr¨ anga in i supraledaren i ett ytskikt vars

storleksordning ¨ ar ∼ 100 ˚ A:

16.3. BCS-teorin

Den mikroskopiska teorin f¨ or supraledning har formulerats av Bardeen, Cooper and Schrieffer, och d¨ armed f˚ att namnet BCS-teorin. Den fungerar extremt bra i l˚ ag-T supraledare. F¨ or h¨ og-T supraledare fungerar den inte fullst¨ andigt.

Tyv¨ arr ¨ ar BCS-teorin alldeles f¨ or komplicerad f¨ or att genomg˚ as matematiskt p˚ a denna kurs. D¨ arf¨ or

g˚ ar vi bara igenom dess viktigaste kvalitativa drag och resultat.

16.3.1. Energigap och Cooper-par

Utg˚ angspunkten i teorin ¨ ar energigapet ∆, som separerar de n

supraledande elektronerna fr˚ an de

¨ ovriga i normala tillst˚ and, som ovan redan diskuterades.

Det finns mycket experimentella bevis f¨ or gapets existens. Den kan m¨ atas direkt t.ex. genom att belasta en fog mellan en supraledare och en normal ledare med en sp¨ anningsskillnad. Om fogen ¨ ar ett tunt isolerande skikt kan elektroner tr¨ anga genom fogen den p.g.a. kvantmekaniska tunneleffekten.

Det visar sig att tunnelstr¨ ommen upptr¨ ader f¨ orst d˚ a sp¨ anningsskillnaden ¨ over fogen ¨ overstiger v¨ ardet

∆V = ∆/e, d¨ ar ∆ ¨ ar “energigapets” storlek.

Ett annat bevis f¨ or gapets existens ¨ ar att elektromagnetiska v˚ agors absorption ¨ okar drastiskt vid en viss frekvens, d˚ a fotonernas energi ¨ ar tillr¨ acklig att excitera elektroner ¨ over gapet.

Frekvensen d¨ ar absorption b¨ orjar ¨ ar

hν = 2∆(0) (27)

vid 0 K (∆ ¨ ar ju en funktion av T , som vi s˚ ag ovan). Denna faktor tv˚ a ¨ ar minst sagt mystisk:

normal excitering kr¨ aver ju bara en energi ∆. Orsaken till faktorn tv˚ a ¨ ar att varje foton m˚ aste

excitera tv˚ a elektroner f¨ or att kunna absorberas i det supraledande tillst˚ andet !

Detta leder till insikten att ledning i supraledare inte sker av enskilda elektroner, utan av elektronpar!

Dessa par kallas Cooper-par.

Energin 2∆(0) ¨ ar bindningsenergin hos ett Cooper-par, och absorptionsprocessen inneb¨ ar i sj¨ alva verket att en foton bryter upp ett Cooper-par.

Hur i all v¨ arden kan tv˚ a elektroner vara bundna, d˚ a de ju b˚ ada ¨ ar negativa och borde repellera varann? Orsaken (det ¨ ar h¨ ar teorin b¨ orjar bli komplicerad) ¨ ar att gittervibrationer kan ˚ astadkomma en effektiv positiv v¨ axelverkan mellan de tv˚ a elektronerna.

Det visar sig dessutom att alla par b¨ or vara identiska f¨ or att maximera energiminskningen som orsakas av paren. P.g.a. detta anses supraledning vara ett kooperativt fenomen, lite p˚ a liknande s¨ att som ferromagnetism. I b˚ ada ¨ ar energiminskningen per par eller spinn som uppn˚ as desto st¨ orre, ju fler som ¨ ar i samma tillst˚ and.

Vid T=0 ¨ ar alla elektroner parade i Cooper-par, men vid h¨ ogre temperaturer b¨ orjar de brytas upp

I en ren metall ¨ ar medelavst˚ andet mellan Cooper-par i metaller av storleksordningen ξ

= ~v

π∆(0) (28)

vid 0 K, d¨ ar v

¨ ar elektronernas Fermi-hastighet. ξ

¨ ar k¨ ant som BCS-koherens-l¨ angden. Enligt BCS-teorin ¨ ar ∆(0) = 1.76k

T

, vilket ger med typiska v¨ arden T

= 10 K och v

= 10

m/s

ξ ∼ 10

˚ A (29)

Notera att detta ¨ ar ett extremt avst˚ and f¨ or tv˚ a elektroner i ett gitter, d˚ a det ju ryms tusentals enhetsceller och d¨ armed gitterkonstanter mellan elektronerna!

F¨ or att f¨ orst˚ a b¨ attre varf¨ or dessa par uppkommer f¨ oljer vi nu samma v¨ ag som Cooper sj¨ alv tog i

tiderna.

16.3.2. Cooper-problemet

Inspirationen till BCS-teorin kom ur f¨ oljande enkla problem.

Cooper l¨ oste Schr¨ odinger-ekvationen f¨ or tv˚ a v¨ axelverkande elektroner i n¨ arheten av en Fermi-sf¨ ar av icke-v¨ axelverkande elektroner. Visserligen ¨ ar detta problem totalt orealistiskt, men om det ledde till insikten som gav Cooper Nobelpriset torde detta f¨ orl˚ atas honom...

Problemet kan illustreras p˚ a f¨ oljande s¨ att. Tv˚ a elektroner som v¨ axelverkar med varann har de

fixerade v˚ agtalen k

och k

utanf¨ or Fermiytan av ickev¨ axelverkande elektroner:

V˚ agfunktionen hos de tv˚ a elektronerna kan utvecklas till att bli en linj¨ ar kombination av plana v˚ agor, ψ(r

, r

) = X

k1

X

k2

f (k

, k

)e

e

(30)

d¨ ar de icke-v¨ axelverkande elektronernas roll ¨ ar att inhibera summeringen till planv˚ ags-tillst˚ and utanf¨ or Fermi-sf¨ aren (|k

|, |k

| > k

)

Cooper s¨ okte sedan efter tillst˚ and av denna form vars energi skulle vara mindre ¨ an 2ε

, dvs. energin

f¨ or tv˚ a elektroner just vid Fermiytan. S˚ adana tillst˚ and skulle motsvara bundna elektrontillst˚ and, vars

existens skulle tyda p˚ a att det normala tillst˚ andet ¨ ar instabilt gentemot att tillst˚ andet kollapsar till det bundna tillst˚ andet.

F¨ or den l¨ agsta energin ¨ ar masscentrum f¨ or elektronerna i vila, vilket kan uppn˚ as bara med k

= −k

= k, i vilket fall v˚ agfunktionen reduceras till

ψ(r

, r

) = X

k>kF

g(k)e

(31)

d¨ ar fortfarande allts˚ a |k| > k

.

Cooper konstaterade att bundna tillst˚ and existerar alltid, oberoende av hur svag attraktionen ¨ ar.

Detta ¨ ar ganska s˚ a ¨ overraskande om man j¨ amf¨ or med vakuum, d¨ ar bundna tillst˚ and f¨ or tv˚ a partiklar existerar bara f¨ or v¨ axelverkningar starkare ¨ an n˚ agon gr¨ ansstyrka.

BCS-teorin grunder sig p˚ a antagandet att de bundna tillst˚ andena existerar ocks˚ a d˚ a elektronerna

innanf¨ or Fermisf¨ aren v¨ axelverkar med varann.

16.3.3. Den attraktiva elektron-elektron-v¨ axelverkan

F¨ or att f¨ orst˚ a hur den attraktiva e-e-v¨ axelverkan kan uppst˚ a, kan vi f¨ orst p˚ aminna oss om att tv˚ a elektroner i en metall l˚ angt fr˚ an varandra kommer knappast att v¨ axelverka alls via den elektrostatiska v¨ axelverkan. Detta orsakas av att en fri elektron repellerar elektroner bort fr˚ an sin omgivning, och skapar d¨ armed ett lokalt omr˚ ade med positiv effektiv laddning, och negativ effektiv laddning utanf¨ or detta omr˚ ade, som fungerar som en avsk¨ armning.

Den attraktiva kraften uppkommer av att ledningselektronen som repellerat elektroner bort fr˚ an den

lokala omgivning, nu ser lite av de positiva atomk¨ arnorna, och har allts˚ a en attraktiv v¨ axelverkan

med de positiva jonerna i materialet. Detta leder till att den kan dra jonerna in lite mot sig, och

skapa ett omr˚ ade med en effektivt positiv laddning kring sig Men i.o.m. att elektronen r¨ or sig mycket

snabbare ¨ an jonerna, hinner den l¨ amna omr˚ adet f¨ orr¨ an jonerna relaxeras tillbaka till grundtillst˚ andet,

s˚ a den positiva laddningen kvarst˚ ar f¨ or en stund.

Om nu en annan ledningselektron kommer in i detta omr˚ ade, kommer den att attraheras av den

positiva laddningen. Detta kan leda till en koppling i r¨ orelse mellan de tv˚ a elektronerna, som skapar

Cooper-paren.

att elektronerna utbyter virtuella fononer. Fononerna ¨ ar virtuella d¨ arf¨ or att elektronens energi kan vid l˚ aga temperaturer inte ¨ andras tillr¨ ackligt,

∼ ~ω

(32)

d˚ a T << Θ

(Θ

¨ ar Debye-temperaturen), f¨ or att skapa en verklig fonon. En virtuell fonon skapas av en elektron och absorberas av en annan i en s˚ a kort tid,

∆t . 1

ω

(33)

att dess existens ¨ ar till˚ aten av os¨ akerhetsrelationen

∆E∆t . ~

2 (34)

D˚ a vi vet att Θ

∼ 300 K, kan vi uppskatta ∆t:

∆t ∼ 1

ω = ~

~ω

= ~

~ω

= ~

k Θ = 25 fs (35)

Under denna tid hinner en elektron med en hastighet kring Fermihastigheten v

r¨ ora sig

∆x = v

∆t = v

~

k

Θ

= r 2ε

m ∆t (36)

som med ett typiskt v¨ arde p˚ a Fermienergin ε

= 2 eV blir 200 ˚ A.

Detta kan ocks˚ a anses vara de virtuella fononernas “r¨ orelsel¨ angd”, om man t¨ anker sig att man kan ers¨ atta elektronernas v¨ axelverkan via en n¨ astan or¨ orlig fonon under tiden ∆t med att anv¨ anda en o¨ andligt snabb v¨ axelverkan ¨ over str¨ ackan ∆x.

BCS-teorin grundar sig p˚ a denna f¨ orenkling, och h¨ arleder d¨ arifr˚ an de flesta viktiga storheter i

superkonduktivitet korrekt.

16.3.4. BCS-grundtillst˚ andet

I BCS-teorin ¨ ar alla elektroner parade vid 0 K. Elektronerna ¨ ar ju fermioner, s˚ a ett par av elektroner

¨ ar bosoner. F¨ or att alla v˚ agfunktioner ¨ ar dessutom identiska, beskrivs supraledning ofta att vara p.g.a. Bose-Einstein-kondensation av Cooper-par.

Detta illustreras i f¨ oljande bild, som visar tv˚ a tillst˚ and vid 0 K:

Bild a) ¨ ar det normala tillst˚ andet. Bild b) illustrerar BCS-grundtillst˚ andet. BCS-tillst˚ andet inneh˚ aller

blandningar av en-elektron-orbitaler som ¨ ar ovanf¨ or Fermi-energin ε

. Det kunde f¨ orst verka som

om fall b) ¨ ar h¨ ogre i energi ¨ an fall a), och f¨ or den kinetiska energin ¨ ar detta de facto fallet. Men den attraktiva v¨ axelverkan mellan elektronerna kommer att s¨ anka p˚ a energin p˚ a detta system under systemet i fall a) (j¨ amf¨ or med Cooper-problemet ovan).

Vi skriver nu ner en v˚ agfunktion som motsvarar detta grundtillst˚ and. V˚ agfunktionen f¨ or alla Cooper- par kan fortfarande skrivas som en summa av plana v˚ agor, men nu har vi inte mera restriktionen k > k

,

ψ(r

, r

) = X

k

g(k)e

(37)

I de flesta (kanske alla) supraledare visar det sig dessutom att v˚ agfunktionen ¨ ar sf¨ ariskt symmetriskt, dvs.

ψ(r

, r

) = ψ(|r

− r

|) = ψ(r

) (38)

s˚ a att Cooper-paren har inget banimpulsmoment. Den sf¨ ariska symmetrin leder till att g(k) beror

bara p˚ a magnituden av k,

metriska rymd-v˚ agfunktion med en antisymmetrisk spinn-v˚ agfunktion, φ(1, 2) = ψ(|r

− r

|) 1

√ 2 (↑↓ − ↓↑) (40)

s˚ a spinnena i varje Cooper-par ¨ ar motsatt ordnade.

(tanken¨ ot f¨ or de som tycker om att grubbla om kvantfysik: f¨ ors¨ ok f˚ a en intuitiv bild ¨ over hur en virtuell fonon kan ordna upp spinn hos elektroner...)

En v˚ agfunktion f¨ or N elektroner som har N/2 Cooper-par alla i samma tillst˚ and kan skrivas

Ψ(1, 2, 3, . . . , N ) = P {φ(1, 2)φ(3, 4) · · · φ(N − 1, N )} (41) d¨ ar P ¨ar en operator som g¨ or produkten antisymmetrisk vid utbyte av vilka som helst tv˚ a elektroner.

Ekvation (41) ¨ ar v¨ asentligen BCS-modellens grundtillst˚ ands-v˚ agfunktion.

Som ett exempel p˚ a hur P g¨ or funktionen antisymmetrisk visar vi hur detta kan g¨ oras f¨ or tv˚ a elektronpar:

Ψ(1, 2, 3, 4) = P {φ(1, 2)φ(3, 4)} (42)

= 1

√ 3 [φ(1, 2)φ(3, 4) − φ(1, 3)φ(2, 4) − φ(1, 4)φ(3, 2)] (43)

Om man nu t.ex. byter ut 1 ↔ 3 f˚ ar man Ψ(3, 2, 1, 4) = 1

√ 3 [+φ(3, 2)φ(1, 4) − φ(3, 1)φ(2, 4) − φ(3, 4)φ(1, 2)] (44)

= 1

√ 3 [−φ(3, 4)φ(1, 2) − φ(3, 1)φ(2, 4) + φ(3, 2)φ(1, 4)] (45)

= 1

√ 3 [−φ(1, 2)φ(3, 4) − φ(3, 1)φ(2, 4) + φ(1, 4)φ(3, 2)] (46)

= 1

√ 3 [−φ(1, 2)φ(3, 4) + φ(1, 3)φ(2, 4) + φ(1, 4)φ(2, 3)] (47)

= −Ψ(1, 2, 3, 4)

(48)

d¨ ar vi i n¨ astsista steget anv¨ ant oss av v˚ agfunktionens φ antisymmetri.

I alla supraledare d¨ ar man kunnat definitivt best¨ amma Cooper-parens natur har v˚ agfunktionen visat

sig vara antisymmetrisk.

16.3.5. F¨ orklaring f¨ or o¨ andlig konduktivitet

F¨ or att ge en kvalitativ f¨ orklaring p˚ a den o¨ andliga konduktiviteten i supraledare m˚ aste vi f¨ orst beskriva hur det ¨ ar m¨ ojligt att uppn˚ a ett ledande tillst˚ and genom att ge en r¨ orelsem¨ angd f¨ or alla pars masscentrum. En str¨ om motsvarar en v˚ agfunktion av formen

φ = e

φ

(49)

d¨ ar φ

¨ ar v˚ agfunktionen f¨ or ett icker¨ orligt elektronpar, och r ¨ ar deras masscentrum-koordinater.

Ekvationen motsvarar en r¨ orelsem¨ angd ~q hos paret, och d¨armed en hastighet

~q = 2mv (50)

I.o.m. att Cooperparets laddning ¨ ar −2e blir str¨ omt¨ atheten j = − n

2 2e ~q

2m = − n

e~q

2m (51)

f¨ or en t¨ athet av n

supraledande elektroner per volymenhet.

Nu ¨ ar den kvarvarande fr˚ agan varf¨ or inte spridning fr˚ an orenheter och fononer begr¨ ansar p˚ a

ledningsf¨ orm˚ agan, p˚ a samma s¨ att som den g¨ or det i vanliga ledare.

Det finns tv˚ a t¨ ankbara sannolika fonon-v¨ axelverkningprocesser: en d¨ ar en fonon absorberas av ett Cooper-par, som d¨ armed bryts upp, en annan d¨ ar tv˚ a elektroner kombinerar till att forma ett Cooperpar och samtidigt avger en fonon:

I ett supraledande tillst˚ and i j¨ amvikt sker dessa processer hela tiden med samma sannolikhet, f¨ or

genom process b) med samma frekvens. D¨ armed kommer inte fononspridningen att s¨ anka p˚ a ledningsf¨ orm˚ agan.

Orenheter igen kan inte sprida Cooper-par alls, f¨ or att spridning fr˚ an orenheter ¨ ar en elastisk

process: om ett Cooper-pars r¨ orelsem¨ angd ¨ andras, ¨ andras ocks˚ a dess bindningsenergi, s˚ a detta ¨ ar

en inelastisk process som inte ¨ ar m¨ ojlig.

16.4. H¨ ogtemperatur-supraledare

Vi ser ¨ annu i lite st¨ orre detalj p˚ a strukturen hos h¨ og-T supraledare. Vi tar den mest bekanta, YBCO eller

YBa

Cu

O

(52)

som exempel. H¨ ar ¨ ar δ n˚ agot tal ≤ 1, och typiskt kring 0.1. Denna supraledare klassificeras som en

1-2-3-supraledare p.g.a. antalet metallatomer i den.

Strukturen inneh˚ aller CuO

-plan i zx- och zy- planen i figuren. De flesta h¨ og-T supraledare inneh˚ aller dylika CuO

- eller NiO

-plan.

Ifall δ = 1, saknas atomerna O(4) och O(5) helt.

Detta tillst˚ and ¨ ar ickeledande. Om man nu mins- kar p˚ a δ, kommer de extra O-atomerna att b¨ orja fylla platserna O(4) och O(5) slumpm¨ assigt.

Syre-atomerna p˚ a dessa platser fungerar som acceptorer i halvledare, och leder allts˚ a till h˚ altillst˚ and. Men dessa h˚ al ¨ ar till en b¨ orjan loka- liserade.

D˚ a man minskat p˚ a δ under 0.6, sker en strukturf¨ or¨ andring, O(4)-tillst˚ andena b¨ orjar fyllas framom O(5)-tillst˚ andena. Samtidigt blir mate- rialet en metall, i.o.m. att h˚ alena delokaliseras.

Om man kyler ner materialet vid δ = 0.6 visar sig superkonduktivitet tr¨ ada in vid T

∼ 40 K.

Om man ytterligare minskar p˚ a δ, ¨ okar T

, f¨ or

att n˚ a ett maximum p˚ a 92 K d˚ a δ = 0.1.

Superkonduktiviteten i YBCO beror p˚ a att h˚ alena (!) som introducerats av syre-atomerna bildar Cooper-par.

P.g.a. kristallstrukturen och dess n¨ ara samband med ledningsegenskaperna ¨ ar superkonduktivitetse- genskaperna i YBCO starkt anisotropiska. Den kritiska str¨ ommen ¨ ar t.ex. mycket st¨ orre f¨ or ledning i xy-planet ¨ an f¨ or ledning i z-riktning.

P.g.a. det h¨ oga v¨ ardet p˚ a T

och l˚ aga Fermihastighet hos YBCO ¨ ar koherensl¨ angden (storleken p˚ a Cooper-parens v˚ agfunktion)

ξ

= ~v

π∆(0) (53)

d¨ armed ocks˚ a mycket liten, bara av samma storleksordning som enhetscellen. Penetrationsdjupet

igen visar sig vara mycket stort. Dessa fakta leder till att h¨ og-T supraledare ¨ ar av typ II med extremt

stora v¨ arden p˚ a H

.

16.5. Fl¨ odes-kvantisering och livstiden hos supraledare

Det faktum att alla Cooper-par har samma v˚ agfunktion g¨ or att beteendet hos alla supraledande elektroner ¨ ar fullst¨ andigt beskriven av denna ena v˚ agfunktion. Detta inneb¨ ar att hela den makro- skopiska laddningst¨ atheten p˚ a ∼ 10

el/m

kan beskrivas med bara tv˚ a platsvariabler, och g¨ or att kvantmekaniska effekter kan observeras direkt p˚ a makroskopisk skala.

En intressant f¨ oljd av de kvantmekaniska aspekterna ¨ ar att det magnetiska fl¨ odet Φ kvantiseras.

Man kan visa att kvantiseringen blir

Φ = ± πn~

e = ±nΦ

(54)

d¨ ar Φ

¨ ar fl¨ odets kvantum (en fluxoid eller fluxon), som har v¨ ardet

Φ

= 2.07×10

T m

(55)

Denna effekt ¨ ar tillr¨ ackligt stor f¨ or att kunna m¨ atas experimentellt:

Kvantiseringen av fl¨ odet leder ocks˚ a till att str¨ ommen i supraledaren kvantiseras. Detta leder i sin tur till att den blir extremt h˚ allbar mot yttre st¨ orningar.

Vi uppskattar nu hur l¨ ange en s˚ adan str¨ om kan h˚ allas utan att attenueras (ber¨ akningen ¨ ar i CGS-enheter).

Vi betraktar en supraledande ring med l¨ angden L och tv¨ arsnittsarean A.

En fluxoid kan inte l¨ acka ut ur ringen och d¨ armed attenueras med n˚ agon annan mekanism ¨ an att

en termisk excitation g¨ or att en minimivolym av den supraledande ringen ¨ ar moment i det normala

(ickesupraledande) tillst˚ andet.

Sannolikheten per enhetstid att en fluxoid l¨ acker ut ¨ ar

P = (f¨ ors¨ oks-frekvensen) × (aktiveringsbarri¨ aren) (56) Aktiveringsbarri¨ aren ¨ ar

e

(57)

d¨ ar barri¨ arens fria energi ¨ ar

∆F = (minimivolymen) × (grundtillst˚ andets ¨ overskott i fri energi) (58) Den minsta m¨ ojliga volymen som m˚ aste komma i det normala tillst˚ andet f¨ or att en fluxoid kunde fly ¨ ar av ordningen

Rξ

(59)

d¨ ar R ¨ ar ledarens radie och ξ ¨ ar koherensl¨ angden hos materialet. Energidensiteten hos det normala

tillst˚ andet ¨ ar H

/8π, s˚ a barri¨ arens energi ¨ ar

∆F ≈ 10

erg = 10

J. Med att anv¨ anda ung. 8 K f˚ ar man d˚ a

e

= e

≈ 10

(61)

Den karakteristiska frekvensen med vilken en fluxoid kan f¨ ors¨ oka l¨ acka ut ¨ ar ∆/~. Om nu t.ex.

∆ = 1 meV, blir f¨ ors¨ oksfrekvensen nu ung. 10

1/s. Utl¨ ackningssannolikheten P blir d˚ a

P ∼ 10

× 10

1/s = 10

1/s (62)

och tiden f¨ or att fluxoiden skulle l¨ acka det inversa v¨ ardet p˚ a detta,

T = 1

P = 10

s (63)

Universums livstid hittills ¨ ar ung. 10

˚ ar s˚ a i enheten Universums livstider blir detta

10

s = 1

60 × 60 × 24 × 365 1

10

10

Universums livstider (64)

= 1

3×10

10

Universums livstider (65)

= 3×10

10

Universums livstider (66)

= 10

Universums livstider (67)

S˚ a ˚ atminstone med denna mekanism skulle supraledandet i praktiken aldrig avta avsev¨ art.

Tanken¨ ot: anta att man skulle tillverka en supraledande slinga med konstant str¨ om, och skjuta

upp den i rymden i en riktning d¨ ar den aldrig kommer att kollidera med n˚ agot i det accelererande

Vad har du ˚ atminstone l¨ art dig i detta kapitel?

• Du k¨anner till begreppen supraledande material, kritisk temperatur, kritiska magnetf¨alt, Meissner-effekt, Cooper-par

• Du k¨anner till ˚ atminstone fem klasser av supraledande material

• Du vet skillnaden mellan typ-I, typ-II, l˚ ag- och h¨ ogtemperatursupraledare

• Du k¨anner till att “perfekta ledare” och supraledare inte ¨ar helt samma sak

• Du vet kvalitativt att energigap och Cooper-pars Bose-Einsteinkondensation leder till supraledning

• Du vet att mekanismen f¨ or h¨ ogtemperatur-supraledning ¨ ar ett av de st¨ orsta ol¨ osta

problemen i fysiken.