fr, lokala exn.

KONT Tid: 13

Kurser ( Analy Lärare:

Hjälpm För god kurs-PM Denna l Fullstän

1. Bestä

2. Beräk

3. Best

4. Bestä

5. a) Un dess b) Sk

Lycka t

TROLLSK 3:15-15:0

: Analys o sdelen) Fredrik Ber medel: Enda

dkänt krävs M.

lapp får ej b ndiga lösnin

äm största m

kna följande

äm tangente

äm talet a så

ndersök fun asymptoter kissa kurvan

till!

KRIVNIN 00

och linjär alg rgholm, Ing ast formelbl

5 poäng av behållas utan ngar och sva

möjliga defin

e gränsvärd

ens ekvation

å att funktio

nktionen

f

r, lokala ex n.

NG 28 no

gebra, HF10 ge Jovik, A

ad (miniräk 9 möjliga p n lämnas in ar skall pres

nitionsmäng

3

= ln( x y

de

li

x

n till kurvan

onen y = x

)

( x x

f = −

xtremvärden

ov 2011

008, Linjär Armin Halilo

knare är int poäng. Godk n tillsamman

senteras till

gden till fun

s

2

) +

− x x

15 im 5

3

−

−

→

x

x

n 3x² + y²

x x² + a får

x2

xe

⁻ , och n och infle

r algebra oc ovic, Exam e tillåten) känd kontro ns med lösn

alla uppgift

nktionen

) 2 sin( x +

5 3

.

= i punkt4

ett minimum

h ange ektionspunk

h analys , H inator: Arm

ollskrivning ningar.

ter.

.

ten (1, 1).

m för x=2.

kter .

HF1006 min Halilovi

g ger bonus

( 2p)

( 1p)

(2p)

(1p)

(2p)

(1p) ic

enligt

Lösning 1. ( 2p) Uttryck Uttryck Vi fakto

x

−x 3

3

( x

x −

Al Svar: F

Anmär med hjä och form eftersom Grafen t

Vi ser a

Svar: F Rättnin 1 poäng

2. ( 1p) Metod

lim

3

=

x→

Svar:

gsförslag o

ket sin(x+2 ket ln(3x−x oriserar (*)

– + )

x –

lltså 3x− x Funktionen

kning. En a älp av grafen

men

m koefficien till 3xy= −

att 3x− x² >

Funktionen ä ngsmall: 1 p g om man l

1.

lim

→

5

3

x x

x

( 5

1 + x

3 10

1

ch rättning

)

2 är definie

2)

x , [och och använd

0 0 + 0

2 >0

x om

är definiera annan meto

n till funktio

nten (– 1) f x2

−

>0 om 0<x

är definierad poäng för k löser olikhe

− =

− l

15 3 x x

x

3 10

1 )

3 =

gsmall:

erat för alla därmed hela

3x− x² der nedanstå

+ + +

m 0<x<3.

ad om 0 <

d att lösa o onen 3xy=

framför x² ä

<3.

d om 0 <

orrekt ställt eten på ett k

−

−

→

5 1

lim

3

x x

x

3

a x.

a funktione

>0 ående tecke 0 ) 3 ( − x >

x

3 + 0 0

< x < 3.

olikheten 3x x2

x− , som

är negativ.

< x < 3.

t villkoret 3 korrekt sätt.

+

⋅ + 15

3 x x

n ] är defin (*) entabell för 0

+ – –

2 >0

− x

x ä

m är en para

0 3x− x² > .

.

= lim

→

3 3

3 x

nierat om att lösa olik

är att bestäm abel med n

−

− )(

3 ( 5 x

x

kheten

mma lösnin nollställen 0

+

−

) 3 3 x

ngen och 3

=

Metod 2. ( L’ Hospitals regel)

] '

" , 0

" 0 15 [ 5 lim 3

3

l Hospitals regel

x x

x

= L

−

−

→ =

3 10

1 5

2 1

lim3 =

→

x

x

Svar:

3 10

1

Rättningsmall: 1 poäng om allt är korrekt ( metod och svar)

3. Vi deriverar implicit båda leden och får:

6 2 0 →

I punkten (x,y) = (1,1) får vi då att

1,1 3 ö

Tangentens ekvation fås då med

→ 1 3 1 →

Svar: y=−3x+4

Rättningsmall: Korrekt derivatan ger 1p. Allt korrekt =2p

4. Vi deriverar för att hitta stationär punkt 2 → 0 → 2 0

För 2 får vi 16 0 → ö 16 ä 2 ä !

2 2

2 32

2 0 → Funktionen har ett minimum för x=2.

:

Rättningsmall: Allt korrekt =1p 5. a)

Asymptoter:

Funktionen är definierad och kontinuerlig för alla x. Därmed har funktionen inte någon lodrät (vertikal ) asymptot.

Vi undersöker vågräta asymptoter:

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

∞

∞

= −

= −

+∞

→ +∞

→

( ) lim , obestämt uttryck,

lim

2

x x

x

e

x x

f

, vi använder l’Hospitals

regel

2 0

lim − 1

2

=

=

x→+∞

xe

x

Därför är y=0en vågrät asymptot då x→+∞. Samma resultat får vi då x_→−∞ :

2 0

lim − 1

₂

=

−∞

→ x

x

xe

Därmed är x-axeln, både höger och vänster, vågrät asymptot.

Extremvärden:

Stationä f’(x)=0 Två stat _⎜⎜

⎝

⎛− S1

) (x f ′′

Eftersom ) ( ₁

′′ S f

) ( ₂

′′ S f

( Anmä Inflekti Inflexio vise ver

) (x f ′′

′′ x ( f

Tre lösn

1 =− x Grafen

Anmär O(0,0).

Grafen Rättnin 1. asym ger 1 p Allt kor b) Korr

ära punkter => (2x²- tionära punk

− 2

, 1 2

1 e

4 ) = xe

^−x

m

2 4⋅ 1

−

= e

2 4 1

)= ⋅ e⁻ ärkning: Sa ionspunkte onspunkt är rsa. I en såd

4 ) = xe

^−x

0 ) = ⇔ x

ningar 2

3 , x₂

:

kning: Efte Vi kunde för x≤ 0 får ngsmall: a) mptoter, 2. e

oäng.

rrekt i a-del ekt b- delen

är lösninga

1) =0,

kter

⎟⎟⎠

⎞

− 2 1

och S

2

2 ( 2

x

− x

0 0

2 1

<

−

−

h

0 0

2 1

>

−

−

h amma sluts er: f ′′ x( )

en punkt dä dan punkt är

2

2 ( 2

x

− x

4 6

( −

⇔ x

2 = , 0 x3

ersom f(–x) undersöka r vi genom ) Korrekt lö extrempunk len ( lösning n ( grafen til

r till f’(x)=

=> x²=1/2

⎜⎜⎝

⎛ −

2

, 1 2 S 1

) 1 2 x

²

− e

⁻

har funktion

har funktion ats kan vi få

=0

är funktione r andraderiv

)

2

1 e x −

⁻

) 4 x

³

e

^−x2

2 3

3 =+ .

= – f(x) är funktionen att rotera ösning och s

kter eller 3.

gsmetoden ll funktione

=0 . 2, => x=

⎟⎟⎠

⎞

− 2 1

2 1 e

x2

−

nen ett lokal

nen ett lokal få med hjälp

en växlar m vatan , om d

2

( 6

x

x

−

=

6

⇔ x (

funktionen n och rita gra

180º kring svar för en a

inflektionsp och svar) g en) ger 1 po

1/ .

lt maximum

lt minimum p av förstade

mellan att var den existera

) 4 x

²

e

⁻

−

) 4

²

=

− x

udda och d afen, först e origo den d av följande:

punkter, er 2 p.

äng.

m i punkten

i punkten S erivatans tec

ra konvex o ar, lika med

x2

−

= 0

därmed sym endast för x delen som sv

S1;

S2; cken)

och konkav d noll.

mmetrisk i pu ≥ 0 . varar mot x

eller

unkten x ≥ 0 .