  L )0,( xf )( xf )( L ),0(

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR cosinusserier,sinusserier

1 av 7 SINUSSERIER OCH COSINUSSERIER

I föregående lektion (stencil om Fourierserier) har vi visat hur man utvecklar en periodisk funktion i en trigonometrisk serie.

Kan vi utveckla en funktion som är definierad endast på intervallet [0, L] (och därmed varken periodisk eller udda eller jämn) i en trigonometrisk serie?

Svaret är Ja (om funktionen uppfyller villkoren i konvergenssatsen). Vi kan även välja att utveckla i sinusserie, cosinusserie eller i en Fourierserie som i allmänt innehåller både sinus-och cosinusfunktioner.

Låt f(x) vara en funktion som är definierad på intervallet ( L som är styckvis kontinuerlig 0, ) och har styckvis kontinuerlig derivatan. Notera att f(x)är därmed varken udda eller jämn eftersom den inte är definierad på ett interval som är symmetriskt kring origo dvs ett intervall av typen (a,a). Vi har sätt i föregående lektion om Fourierserier att

1. jämna periodiska funktioner representeras av cosinusserier 2. udda periodiska funktioner representeras av sinusserier

3. en periodisk funktion som är varken udda eller jämn har både sinus- och cosinus funktioner i sin Fourierserie.

Därför, för att utveckla f(x), som är definierad på intervallet ( L i en cosinus- eller 0, ) sinusserie betraktar vi f(x)som en del av en periodisk jämn eller udda funktion f₁(x)med perioden T=2L.

1. COSINUSSERIE:

För att utveckla f(x), som är definierad på intervallet ( L i en cosinusserie utökar vi 0, ) definitionen till ( L ,0)så att den nya funktionen f₁(x)blir jämn dvs uppfyller

) ( )

( ₁

1 x f x

f   . Därmed blir











 

) 0 , ( ), (

) , 0 ( ), ) (

1(

L x x f

L x x x f

f ,

) ( )

( ₁

1 x T f x

f   där T=2L.

Därefter bestämmer vi Fourierkoefficienterna genom



 ²

0

) cos(

) 4 (

T

n f x n x dx

a T , b_n=0. (F1)

där T=2L (och T  L 2 ),

T



 2

 (

L

 ) 

2 av 7 Tillhörande cosinusserie är











1

) 2 cos(

) (

n

n n x

a x

s .

Serien konvergerar mot f₁(x)i alla x där f₁(x)är kontinuerlig. Eftersom f₁(x)= f(x) på (0,L) konvergerar cosinusserien mot f(x) i punkterna x( L0, )där f(x) är kontinuerlig.

Hur gör vi i praktiken vid utveckling av f(x) i cosinusserien ? Helt enkelt, bestämmer vi a med formel (F1) och bildarserien . _n

--- 2. SINUSSERIE:

På liknande sätt kan vi utveckla (samma funktion) f(x), som är definierad på ( L i en 0, ) sinusserie .

Vi bestämmer Fourierkoefficienterna



 ²

0

sin ) 4 (

T

n f x n xdx

b T , a =0, (F2) _n

där T=2L (och T  L 2 ),

T



 2

 (

L

 ) . 

Tillhörande sinusserie är ( ) sin( )

1

x n b x

s

n

n 







.

3. FOURIERSERIE MED PERIODEN T=L

Vi kan även utveckla f(x), som är definierad på intervallet ( L i en Fourierserie med 0, ) perioden T=L. Vi betraktar f(x) som en del av den periodiska funktionen g(x)som har grund period T=L och uppfyller g(x) f(x) för x( L0, ). Vi bestämmer

Fourierkoefficienterna med hjälp av följande formler



 ^T

n f x n xdx

a T

0

cos ) 2 (

, ^{bn }_T



0

sin ) 2 (

(F3)

där T=L, och T



 2

 .

Tillhörande Fourierserie är [ cos( ) sin( )]

) 2 (

1

0 a n x b n x

x a s

n

n

n   









Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR cosinusserier,sinusserier

3 av 7

Förklaring för gränserna i ovanstående integraler: Vi kan använda formlerna







 ²

2

cos ) 2 (

T

T

n g x n xdx

a T ,







 ²

2

sin ) 2 (

T

T

n g x n xdx

b T (*)

men då måste vi bestämma uttrycket för periodiska funktioneng(x)i intervallet [–T/2,0]. Det är enklare att integrerar över intervallet [ T där 0, ] g(x) f(x)och där f(x)är given.

Anmärkning: När vi bestämmer a och _n b vid Fourierutveckling använder vi oftast formerna _n (*) dvs integrerar över intervallet [–T/2,T/2]. Men, enligt egenskaper för periodiska

funktioner med perioden T, kan vi beräkna integral över vilket som helst intervall [a,a+T] av längden T exempelvis över [0,T], som vi gör i ovanstående formel ( F3).

---

ÖVNINGAR:

Uppgift 1.

Vi betraktar funktionen f(x)x, x(0,1) . Utveckla f(x) i en

a) cosinusserie b) sinusserie c) Fourierserie med perioden L.

och rita grafen till serien i alla tre fall.

Lösning:

Notera att f(x) är varken udda eller jämn eftersom den är definierad endast på (0,1).

a) Cosinusserie :

Vi betraktar att f(x) är en del av

en jämn periodisk funktion som har period

T=2L=2, och som har samma värden på intervallet (0,1) som f(x). Vi använder formlerna



 ²

0

) cos(

) 4 (

T

n f x n x dx

a T , b =0. (F1) _n

) 1 , 0 ( , ) (x x x f

där T=2 Alltså

_T⁴



a_n

= si [ 2 x

4

0 _T



a

T

Därmed

 )

a(x s

Cosinu (Notera Grafen t

b) Sinu Nu betr en udda T=2L=2

Vi anvä

där T=2

Alltså

2L=2 (och har vi



0

cos(

)

(x n

f

T

co ) in(



 n

x

n 

) (

2

0



T

d ges cosinu







1

0 c

2 _n aⁿ a

usserien är e a att f( x)är till )s_a(x är

usserie aktar vi att a periodisk f

2, och som h

änder formle

2L=2 (och h T L

2 ⁼¹⁾



x)dx 2 n

0 ]1 ) os(

2 2

 n

x

n =

1 2

1

0



usserien av



 ) cos(n x

en jämn pe r kontinuerli

r symmetris

) ( x f är en funktion som

har samma

erna  4

n T

b

h T L

2 ⁼¹⁾

),  T



0

cos(

2 x nx

= cos(_{2 2})

2 

 n

n





 

1

2( 2 1

n n

riodiskfunk ig på (0,1).) sk i y-axeln

del av m har perio

värden på i



0

sin ) (

T

n x T f

), T



 2



4 av 7





 2

 )dx

x (pa

2

1 2( 1 )

n

 







2 2) 1cos(

1 ⁿ n  n

ktion som ä )

n:

d

intervallet (0

 dxx n ,

 ( L

 ) .

art. int. eller

2 2

1 )



n  .

) nx

är på interv

0,1) som f

an=0,

BETA)

allet (0,1) li

) (x .

(F2)

ika med f(x)x.

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR cosinusserier,sinusserier

5 av 7







1

0 2

0

) sin(

2 ) sin(

) 4 (

dt x n x dx x n x T f b

T

n  = (part. int. eller BETA)

= 0

]1 ) sin(

) [ cos(

2 _{2 2}









n x n n

x n

x 

 =









n n

n

n ⁿ ( 1)^{n 1}

) 2 1 2( 0 ) 2cos(

 

 



 

 .

Tillhörande sinusserien är ( 1) sin( )

2 ) sin(

) (

1

1

1

x n n

x n b x

s

n

n

n n

b 







 



 



 .

Sinusserien är en udda periodiskfunktion som är på intervallet (0,1) lika med f(x)x.

Grafen till sinusserien är ( 1) sin( ) 2

) (

1

1

x n n

x s

n

n

b 





 

 är en periodisk funktion som är

symmetrisk i origo:

c) Fourierserie med perioden T=L.

I det här fallet betraktar vi att f(x) är en del av en periodisk funktion som har period T=L=1 och som har samma värden på intervallet (0,1) som f(x).

Vi använder formlerna





T

n f x n xdx

a T

0

cos ) 2 (

, ^{bn }_T



0

sin ) 2 (

(F3)

där T=L=1 , och   2 2



 T .

Till skillnad från fall a och b är T=L i det här fallet !!!

(Kolla ovanstående förklaring om gränserna dvs varför vi använder



0

istället



 2 /

2 / T

T

.)

Vi har 1

1 cos 2

)

2 ( ¹

0 0

0 _T





a

T

.

för n=1,2,3…. har vi

_T



a_n

= si [ 2 x





0

2 b T

T n

= 2[x

Tillhöra ) (x s_c 

Grafen t

Notera a

Anmär samman

Uppgift

Lösning

jämn eft eller en symmet Nu betr



0

cos )

(x n

f

c 2

) 2 in(



 n

x

n 



0

sin )

(x n

f

T

2 ) 2 cos(



 n

x

n 

ande Fourie 2 ₁[

0 a

a

n







till serien s

att värdet i

kning: Vi h nfaller på in

t 2. Utveck

g: Notera (e ftersom den udda funkt trisk kring o aktar vi att







10

dx x n

4 ] ) 2 cos(

2 2

 n

x n







10

dx 2 x

4 ) 2 sin(

2 2

 n

x

 n

rserie är ) cos(nx 

) ( x s_c :

en diskontin

har fått tre o ntervallet (0

kla f(x)

en gång till) är definiera tion kräver origo dvs so

) ( x f är en



0

2 cos( n x

x 

0 1=

4 2 2cos(

n



0 ]1

) = co

2

sin(n x

b_n 



nuitets punk

olika utveck ,L)=(0,1).

), cos(x x

) att funkti ad endast på

vi att funkt om är av typ

del av en u

6 av 7

 )dx

x (pa

1 2 )

2

2  



 n

n

 ) dx



 n n 2

0 ) 2

os( 

)]

x = 2 1

1 n







kt c är s_c(c) klingar till fu

2) , 0 ( 

 i en

ionen f(x) å intervallet tionen är de pen (-a,a) el

udda period

art. int. eller

4 0 1 1

2

2 



 n

(part. int. e

 n

 1



2 1 sin(

[ n



2 ) ) s_c(c 

funktionen f

n sinusseri

),

cos(x

t )

,2 0 ( 

 x

finierad på ller [-a,a].) disk funktio

r BETA)

eller BETA)

)]

2nx

2 ) ( 

s_c c .

) (x

f men al

e.

2) , 0 ( 



x v

. (I definitio ett intervall

n som har p )

lla tre

varken är ud onen av en j l som är

period

dda eller jämn

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR cosinusserier,sinusserier

7 av 7

T=2L=  , och som har samma värden på intervallet (0,  /2) som f(x).

Vi använder formlerna ^



0

sin ) 4 (

T

n f x n xdx

b T , a =0, (F2) _n

där T=2L= (och T L

2 = /2), T



2

 ( ) . 2

Alltså





 ²

0 2

0

) 2 sin(

) 4 cos(

) sin(

) 4 (



 ^{x nx dx}

dx x n x T f b

T

n = (man kan använda BETA men vi

beräknar integralen med hjälp av trig. formeln [sin( ) sin( )]

2 ) 1 cos(

)

sin(a b  ab  ab )

0 2 ] / ) 1 2 (

) ) 1 2 cos((

) 1 2 (

) ) 1 2 cos((

2[ )]

) 1 2 sin((

) ) 1 2 [sin((

2 1 4 ²

0











 



 









)] 1 2 (

1 )

1 2 ( [ 1 ] 2 ) 1 2 (

2) ) 1 2 cos((

) 1 2 (

2) ) 1 2 cos((

2[

 

 

 

 



 

n n

n n n

n







 .

(Notera att ) 0,

2 cos(5 , 0 2 ) cos(3 , 0 2)

cos(     

…

dvs )

)2 1 2 cos(( _ 

n = )

)2 1 2

cos(( _ 

n =0 . )

= (4 1)

] 8 ) 1 4 ( [ 4 ] 2 ) 1 2 (

1 )

1 2 ( [ 1 ] 2 ) 1 2 (

1 )

1 2 ( [ 1 ] 2 0 0 2[

2

2  

 

 

 

 

 





 n

n n

n n

n n

n   



 ^.

Tillhörande sinusserien är sin(2 )

) 1 4 ( ) 8

sin(

) (

1 2 1

n nx x n

n b x

s

n n

n









   

  ^.

Svar: sin(2 )

) 1 4 ( ) 8

(

1

2 nx

n x n

s

n



 

 