Examensarbete
Att realisera problemlösning i gymnasieskolans
matematikundervisning
Författare: Alfred Sjögren Handledare: Torsten Lindström Examinator: Håkan Sollervall
Att realisera problemlösning i gymnasieskolans matematikundervisning To implement problem solving in high school’s mathematics teaching
Abstrakt
Problemlösning har ett stort utrymme i den svenska gymnasieskolan. Det är en del i alla matematikens gymnasiekurser och finns till för att lära elever lösa matematiska problem och ge dem insikt i viktiga matematiska koncept. Hur går detta till i praktiken? Syftet med studien är att undersöka: (1) hur lärare implementerar problemlösning i sin undervisning. (2) Om de upplever några problem i undervisningen om problemlösning.
(3) Hur upplever eleverna undervisningen kring problemlösning. För att besvara detta har metoden innefattat intervjuer med lärare och elever samt deltagande observationer.
Resultatet indikerar på att lärare tycker problemlösning är en av de viktigare delarna i matematiken men att undervisning lätt blir problematisk i flera aspekter. Till exempel tar problemlösning mycket tid att genomföra och eleverna har svag tilltro till sin egen förmåga vilket försvårar undervisningen.
Nyckelord
Problemlösning, undervisningsstrategier, matematik, gymnasieskolan.
Tack
Jag vill först rikta ett tack till alla de lärare och elever som ställt upp med sin tid för att göra denna studie möjlig. Jag vill även rikta ett stort tack till min handledare Torsten Lindström och examinator Håkan Sollervall för goda råd under arbetets gång. Tack också till alla kurskamrater som har läst mitt arbete i olika stadier. Till sist vill jag rikta ett tack till alla andra studenter och lärare som har hjälpt mig komma dit jag är idag, ni ligger mig varmt om hjärtat.
Alfred Sjögren
Abstract
Problem solving is given much attention in the Swedish upper secondary school. It is integrated in all syllabi for mathematics to teach students how to solve mathematical problems, and to give them insight into important mathematical concepts. How is this done in practice? The aim of this study is to examine: (1) how teachers implement problem solving in their teaching; (2) If teachers experience any challenges in their teaching of problem solving; (3) How students experience the teaching regarding problem solving. To answer this, the method has been to interview teachers and students, and observe lessons. The result indicate that teacher find problem solving as one of the most crucial aspects of mathematics but that the teaching easily faces a multitude of challenges, e.g., students’ lack of confidence in their own ability and that problem solving is time consuming.
Keywords
Problem solving, teaching strategies, mathematics, high school.
Innehåll
1 Inledning ____________________________________________________________ 2 1.1 Syfte ___________________________________________________________ 2 1.1.1 Frågeställningar ______________________________________________ 2
2 Bakgrund och tidigare forskning ________________________________________ 3 2.1 Tidigare läroplaner ________________________________________________ 3 2.2 Nuvarande läroplan________________________________________________ 3 2.3 Vad är ett problem? _______________________________________________ 4 2.3.1 Olika typer av uppgifter _________________________________________ 4 2.3.2 Definition av problem __________________________________________ 5 2.4 Problemlösning ___________________________________________________ 6 2.4.1 Problemlösningens faser ________________________________________ 6 2.4.2 Strategier ____________________________________________________ 6 2.5 Problemlösning i undervisning _______________________________________ 7 2.5.1 Lärarens uppgift och klassrumskultur ______________________________ 7 2.5.2 Problemlösningsförmåga _______________________________________ 9 2.6 Varför problemlösning? ____________________________________________ 9 2.7 Sammanfattning __________________________________________________ 9 3 Metod _____________________________________________________________ 11 3.1 Datainsamlingsmetod _____________________________________________ 11 3.1.1 Deltagande observatör ________________________________________ 11 3.1.2 Semistrukturerade intervjuer ____________________________________ 12 3.2 Urval __________________________________________________________ 13 3.3 Etiska överväganden ______________________________________________ 14 4 Resultat ____________________________________________________________ 15 4.1 Lärare A _______________________________________________________ 15 4.1.1 Lärarens matematiska problem och potentiella lösningar _____________ 15 4.1.2 Problemlösning i undervisningen ________________________________ 17 4.1.3 Problem med problemlösning ___________________________________ 18 4.2 Lärare B _______________________________________________________ 18 4.2.1 Lärarens matematiska problem och potentiella lösningar _____________ 18 4.2.2 Problemlösning i undervisningen ________________________________ 21 4.2.3 Problem med problemlösning ___________________________________ 22
5 Analys _____________________________________________________________ 24 5.1 Lärarnas problemlösningsuppgifter __________________________________ 24 5.2 Lärarnas arbetsmetoder ___________________________________________ 24 5.3 Elevernas uppfattning _____________________________________________ 26 6 Diskussion __________________________________________________________ 27 6.1 Resultatdiskussion _______________________________________________ 27 6.2 Metoddiskussion _________________________________________________ 27 6.3 Vidare forskning _________________________________________________ 28
Referenser ___________________________________________________________ 29
Bilagor _______________________________________________________________ I Bilaga A: Intervjufrågor till lärare ________________________________________ I Bilaga B: Intervjufrågor till elever _______________________________________ II
- ”Att hjälpa barn att bli bättre problemlösare är inte bara ett utomordentligt viktigt mål, det är också den mest spännande utmaningen en lärare kan få. Om jag bara fick ge ett enda råd till en lärare som har tänkt att börja med problemlösning, så skulle det vara: Kom ihåg att barn är problemlösare av naturen. Lärarens arbete är att försöka utveckla denna naturliga förmåga så långt det går […].”
(Lester, 1996, s.91)
1 Inledning
Problemlösning finns idag både som innehåll och förmåga i ämnesplanen. Det är en del i samtliga kurser i ämnesplanen för matematik på gymnasiet och kanske är det befogat.
Matematiken finns trots allt för att lära eleverna olika strategier för att kunna lösa matematiska problem och använda matematiken i samhälls- och yrkesrelaterade situationer. Flera har belyst hur problemlösning i undervisningen kan vara viktig för att effektivisera elevernas lärande (Lester, 1987; Hiebert & Grouws, 2007). Lester framhåller till exempel i arbetets inledande citat hur viktigt området är och att det för lärare kan vara ett spännande arbetssätt. För att matematikundervisningen inte ska vara begränsad till sina egna ramar och vara användbart i andra ämnen verkar problemlösning vara en väsentlig del av dess undervisning. Däremot är det inte helt oproblematiskt att arbeta med problemlösning i klassrummet och det kräver en del av både lärare och elever. Problem är av den naturen att eleverna på förhand inte ska känna till lösningsstrategin. Detta kan och ska i viss mån skapa svårigheter för elever, men för de elever som sedan tidigare är svaga i ämnet och kanske ger upp lätt kan det kännas utmanande. Även för lärare kan problemlösning skapa svårigheter. Det krävs att läraren är medveten om elevernas kunskapsläge och förser dem med problemlösningsuppgifter anpassade efter deras individuella kunskapsnivå. Frågor som kvarstår är hur gymnasielärare hanterar problemlösning i undervisningen och hur de realiserar undervisning som tränar elevernas problemlösningsförmåga.
Som blivande ämneslärare i matematik är det fördelaktigt att inneha en uppfattning om hur andra lärare undervisar om problemlösning och vad elever har för inställning till olika undervisningsstilar.
1.1 Syfte
Studien ämnar undersöka hur problemlösning implementeras i den svenska gymnasieskolan. Syftet är att få en uppfattning om hur lärare väljer att undervisa elever i området problemlösning och vilka utmaningar de upplever. Vidare kommer studien att undersöka elevernas inställning till undervisning inriktad på problemlösning.
1.1.1 Frågeställningar
• Hur implementerar svenska gymnasielärare problemlösning i sin matematikundervisning?
• Vilka svårigheter upplever lärare i undervisning vid problemlösning?
• Hur upplever elever lärarens undervisning när det gäller problemlösning?
2 Bakgrund och tidigare forskning
I detta kapitel presenteras hur problemlösning behandlats i tidigare läroplaner och hur dagens läroplan behandlar området. Speciellt redogörs för de krav som ställs på eleverna i ämnesplanen. Vad klassas som ett problem och hur ser och har matematiker sett på problem. Forskares och matematikers tankar kring problemlösningens olika faser och strategier presenteras.
2.1 Tidigare läroplaner
Problemlösning har i de olika läroplanerna ändrat karaktär och fokus har skiftat.
Undervisning inom problemlösning handlade fram t.o.m. Lgr 69 (Läroplan för grundskolan) om matematikundervisning för problemlösning. I senare läroplaner (Lgr 69 och Lgr 80) skiftade fokus till att handla om matematikundervisning om problemlösning. Lärare som undervisade om problemlösning kunde till exempel undervisa om strategier som verktyg för problemlösning. I Lpo 94 (Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet) innefattade matematikundervisningen att lära ut matematik via problemlösning. Eleverna ska då, genom problemlösning, utveckla matematiska tankar och idéer, inse värdet av matematiska symboler och få upptäcka matematiken (Taflin, 2007). I gymnasieskolans styrdokument för matematik har inte problemlösning varit lika tydligt framskrivet. Det första denna studie hittar om problemlösning finns i Lpf 94 (Läroplan för de frivilliga skolformerna) då problemlösning gavs mer utrymme. Att problemlösning blev en del av läroplanen grundade sig i att kraven på färdighetsträning minskade, vilket delvis berodde på nya tekniska hjälpmedel. Skolverket ansåg att matematisk problemlösning var av stor vikt i andra ämnen, främst de naturvetenskapliga och tekniska ämnena.
Eleverna skulle tillägna sig kunskap och en förmåga att värdera olika problemlösningsstrategier (Skolverket, 1994). Avsaknaden av begreppet problemlösning i tidigare läroplaner utesluter naturligtvis inte att problemlösning även tidigare haft en framträdande roll i matematikundervisningen.
2.2 Nuvarande läroplan
I Gy 11 (Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnasieskola) står det att undervisningen i matematikämnet syftar till att ge eleverna en förmåga att arbeta matematiskt. Undervisningen ska ge utrymme åt problemlösning, både som mål och medel. Eleverna ska ges förutsättningar att utveckla en förmåga att formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat (Skolverket, 2011b).
I det centrala innehållet för samtliga matematikkurser på gymnasiet finns en rubrik för problemlösning. Formuleringarna är ofta snarlika. Matematik 1a innehåller följande skrivningar om problemlösning:
• Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg.
• Hur matematiken kan användas som verktyg i behandlingen av omfångsrika problemsituationer i karaktärsämnena. Matematikens möjligheter och begränsningar i dessa situationer.
• Matematiska problem av betydelse för privatekonomi, samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
• Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.
I matematik 4 finns bland annat nedanstående formuleringar:
• Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
• Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
• Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.
Genom att analysera det centrala innehållet för de två kurserna kan vi se hur likartade formuleringar de innehåller. Övriga kurser följer samma mönster och det centrala innehållet ser ut på liknande sätt.
I kunskapskraven finns de förväntningar som korrelerar med det centrala innehållet.
Nedan redogörs för kraven i samband med problemlösning för matematikkursen 3b, för att uppnå betyget C.
- Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem. Dessa problem inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja och tillämpa matematiska modeller. Eleven kan med enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och alternativ till dem.
(Skolverket, 2011b) Markeringar i fet stil är begrepp och formuleringar som varierar beroende på vilket betyg som avses.
2.3 Vad är ett problem?
Att definiera vad som är ett problem är inte helt oproblematiskt. Detta för att problem inte uteslutande används i en matematisk kontext och i det sammanhanget finns inte heller någon universellt vedertagen definition. Traditionellt sett har problem uppfattats som rena rutinuppgifter och problemlösning har inte uppfattats som målet med en uppgift utan som ett steg i att underlätta uppnåendet av andra mål. Ur matematikernas perspektiv är grundtanken med problemlösning att problem ska vara förvirrande eller svåra. Universitetskurser i problemlösning har mål som sträcker sig från att studenterna ska utveckla kritiskt tänkande till att utveckla kreativitet. Det ska tilläggas att det från matematikernas sida inte är ett enhälligt sätt att se på problem, men de flesta tenderar att förhålla sig till den snävare avgränsningen om vad som klassas som ett problem (Schoenfeld, 1992).
2.3.1 Olika typer av uppgifter
Uppgifter kan fördelas i olika kategorier eftersom alla uppgifter inte kan ses som problem. Frank Lester menar att följande villkor måste uppfyllas för att en uppgift ska kunna uppfattas som ett problem:
• En individ eller en grupp som möter problemet vill eller behöver lösa det.
• Det finns på förhand ingen given procedur som garanterar eller innebär en komplett lösning.
• Individen eller gruppen måste anstränga sig för att finna lösningen.
(Taflin, 2007, s.30)
Jäder, Lithner & Sidenvall (2019) ger en liknande, om inte identisk, definition av problem. De menar att det för eleverna inte ska finnas en lösningsmetod och de till stor del själva måste konstruera en lösning. De skriver dock inget om de andra punkterna som Lester behandlar men dessa kan troligtvis anses vara underförstådda. Enligt dessa formuleringar kan alltså en uppgift vara ett problem för en elev men kanske inte för en annan. Detta gör det emellertid svårt att avgöra om en uppgift kan klassas som ett problem för en hel klass eller bara för några enskilda individer i en given klass.
Enligt Taflin (2007) går det att kategorisera uppgifter i tre underkategorier. Det finns allt från rutinuppgifter till olika typer av problem. De kan kategoriseras på följande sätt:
Figur 1: Schema för att definiera skillnad mellan olika typer av matematikuppgifter.
För tydlighetens skull definieras nu vad som syftas med de andra kategorierna textuppgift, rutinuppgift och underkategorin rika problem. Rutin- eller standarduppgift är en övning som inte leder till några svårigheter för eleven, en typ av uppgift hen redan är bekant med. Textuppgift/benämnd uppgift/vardagsuppgift är given med en text och eventuellt några matematiska symboler för att visa på en tillämpning av matematiken och/eller leda till en matematisk modell. En benämnd uppgift kan vara ett problem om den uppfyller kraven som finns ovan. I figur 1 påvisas att Taflin (2007) delar upp problem i två kategorier, rika problem och övriga problem. I boken Rika matematiska problem skriver Hagland et al. (2005) att problem kan delas upp så ty vissa problem inte bjuder in till reflektion och diskussion kring väsentliga matematiska idéer.
2.3.2 Definition av problem
Angående vad som är ett problem har även Skolverket (2011a) i sitt kommentarmaterial lämnat en definition vilken gäller för matematikundervisning. Likt Lester lämnar Skolverket (2011a) en relativt snäv bild av vad som klassas som problem. Skolverket skriver följande:
- Ett problem är en uppgift som inte är av standardkaraktär och inte kan lösas på rutin. Det innebär att varje frågeställning där det inte på förhand för eleven finns en känd lösningsmetod kan ses som ett problem.
(Skolverket, 2011a. s.2) Definitionen från Skolverket uppfyller majoriteten av de kriterier som går att finna i etablerad forskning och litteratur (Taflin, 2007; Jäder et al. 2019). Begreppsförklaringen är också den som matematiklärare i den svenska gymnasieskolan ska undervisa efter.
Därför är det den definition denna studie kommer att utgå ifrån.
2.4 Problemlösning
2.4.1 Problemlösningens faser
När definitionen vad som är ett problem väl fastställts kan det vara värt att undersöka hur elever kan tänkas lösa problem. I boken How to solve it skriver George Pólya (1945) om vad han anser vara de fyra faserna för att lösa ett problem. Första fasen är att förstå problemet, vad det är som behöver lösas. Den andra fasen handlar om att skapa en plan, hur problemlösaren ska gå tillväga. Fas tre innebär att genomföra den konstruerade planen, att faktiskt lösa uppgiften/problemet. Den sista fasen handlar om att kontrollera svaret och dess rimlighet. Denna metod är allmängiltig och går att applicera på all problemlösning och inte bara matematisk sådan.
Lester (1996) har utökat antalet faser i problemlösningsaktiviteten. Han benämner dem som olika tankeprocesser för problemlösning:
• Förstå/formulera frågan i problemet/situationen.
• Förstå villkoren för och variablerna i problemet.
• Välja/finna data som behövs för att lösa problemet.
• Formulera delproblem och välja lämpliga lösningsstrategier.
• Använda lösningsstrategin korrekt och nå delmål.
• Ge svar i termer av de data som ges i problemet.
• Värdera rimligheten i svaret.
• Göra lämpliga generaliseringar.
(ibid s. 89).
2.4.2 Strategier
Inom matematisk problemlösning finns olika strategier som utgör en viktig del i problemlösning. En sådan strategi är att använda heuristiker (Pólya 1945), till exempel
"rita en bild" eller att "pröva olika värden". Heuristikerna kan betraktas som tekniker för att undersöka en problemsituation och identifiera en metod för att lösa problemet.
Metoden ska resultera i ett svar (algoritm) medan strategin kan bidra till en lösning och fastställande av adekvat metod, men garanterar ej svar
För att träna elever i att välja rätt strategi och senare kunna tillämpa denna menar Lester (1996) att lärarens undervisning om strategier bör delas upp i två faser. I den första fasen ska eleverna undervisas i hur de kan använda en viss typ av strategi. Där bör fokus riktas mot vilken innebörd strategin har och vilka tekniker som kan behövas. Först när eleverna lärt sig använda en strategi ska de öva på att tillämpa den. Andra fasen innebär att eleverna ska lära sig när en viss strategi ska användas. Eleverna ska arbeta med problem och själva avgöra vilken strategi som kan tänkas vara lämplig. Lester (1996) menar att en elev inte lär sig av att enbart kopiera läraren, precis som att en person inte kan lära sig ett instrument enbart genom att spela av efter noter.
Schoenfeld (1983) redogör för strategier i ett annat perspektiv. Han behandlar strategiernas användning i undervisningen. Där använder han begreppen strategiska val och taktiska val. Ett taktiskt val innefattar algoritmiska val, standard proceduren samt heuristik. Om eleven löser problemet med ett taktiskt val så väljer hen en metod som enbart löser det enskilda problemet. Strategiska val är mer omfattande och de innefattar den kognitiva delen av problemlösningsprocessen, en förmåga till översikt och metakognitionen. De två valen kompletterar varandra i organisationen av problemlösning.
2.5 Problemlösning i undervisning
2.5.1 Lärarens uppgift och klassrumskultur
Inlärning av matematik tar plats i en social kontext genom interaktioner.
Konversationerna är en cyklisk process där den enskildes kunskap om matematik och gruppens kunskap om matematik återskapar varandra konstant genom utbytet av tankar.
I detta är inte bara kognition viktig utan också den affektiva och sociala aspekten mellan individerna i gruppen viktig (Andrá, et al. 2018). Att låta eleverna enbart jobba enskilt med problem kan alltså vara negativt för deras kunskapsinhämtning. Genom att låta eleverna först arbeta enskilt och sedan arbeta i mindre grupper gör att eleverna utbyter olika strategier och lösningsförslag vilket betyder att det därmed är gynnsamt för eleverna att arbeta i mindre grupper (Larsson, 2013). När gruppen ökar i storlek så ökar också processförlusterna på grund av koordinationssvårigheter. Även gruppens medlemmar kan känna en minskad gruppsammanhållning när storleken på gruppen ökar (Sjödin, 1991). Detta kan leda till att fördelarna med grupparbetet (utbyte av tankar och idéer) minskar. Ahlström et al. (1996) skriver att grupperna bör bestå av maximalt 3–4 elever, där samtliga elever måste inse sitt eget ansvar i arbetet. I dessa mindre konstellationer blir det också lättare för läraren att skapa sig en förståelse för elevernas tankesätt. Läraren kan få insikt om vad som går att utveckla och vad som behöver förändras.
Det visar sig i en undersökning som Bergqvist (2009) gjorde av 64 klassrum (2698 minuter analyserat) att eleverna 59% av tiden arbetade enskilt eller i mindre grupper. I studien analyserade också hur ofta eleverna arbetade med att utveckla de olika förmågorna, där problemlösning visade sig få minst tid. Det var bara 29% av tiden som eleverna använde sig av problemlösning. En relevant fråga i sammanhanget är varför eleverna arbetar så mycket själva när det påvisats fler positiva aspekter av att arbeta tillsammans. Enskilt arbete ger eleverna god träning i att räkna men ger inte tillfälle till att analysera och lösa problem (Ahlström, 1996). Boken blir ofta ett viktigt redskap för lärarna då det skulle bli allt för tidskrävande att utarbeta eget material. Det är inte rimligt att varje matematiklärare ska göra sina egna matematikuppgifter (Löwing &
Kilborn 2009). Och matematikböckers utformning ger ofta upphov till enskilt arbete. En annan aspekt är att undervisningen i svensk skola ska vara individanpassad.
Matematikböckerna möjliggör för eleverna att arbeta på sin egen nivå (Johansson, 2006).
Charles och Lester (1982) rekommenderar att lärarens upplägg på en problemlösningsaktivitet ska vara uppdelad i tre delar: (1) aktiviteten ska innefatta en klassrumsdiskussion före eleverna har börjat arbeta med uppgifterna, (2) eleverna försöker lösa uppgiften, (3) klassrumsdiskussion efter att eleverna har löst uppgiften. I den första delen bör läraren läsa och beskriva uppgiften tydligt för att eleverna ska få en förståelse för vikten av att läsa uppgiften noga och förstå vad problemet är. Läraren kan här ställa frågor kring förståelsen av problemet. Eleverna kan också få komma med möjliga lösningsstrategier utan att läraren avslöjar om det är metoder som kommer fungera eller ej. I den andra delen ska läraren observera elevernas försök till att lösa problemet och kan då se elevernas styrkor och svagheter. Här kan läraren hjälpa elever som hjälplöst sitter fast. Frågan uppstår dock hur mycket läraren ska hjälpa? I pedagogisk psykologi finns ett begrepp myntat av Lev Vygotskij som kallas
”scaffolding” (stöd/stöttning). Det kan definieras som en process som tillåter eleven att lösa ett problem eller uppnå ett mål som hen annars inte hade löst. Läraren hjälper eleverna att komma längre i sin kunskapsinhämtning genom att stötta, lite som en
konstruktion som tillfälligt har stöttning för att den inte ska falla ihop som sedan tas bort (Bakker, Smit & Wegerif, 2015). Dock kan det hända så att läraren ger för mycket information och leder eleven till rätt svar utan att hen själv har förstått, så kallad
”lotsning”. När vissa av eleverna börjar bli klara ska läraren be dem kontrollera deras svar och sedan ge dem variationer av originalproblemet. Detta görs i syfte att hjälpa eleverna bedöma sina lösningar och lära dem att generalisera sina lösningar. I sista diskussionen ska elevernas lösningar diskuteras och då identifieras olika metoder för att lösa en uppgift, för att lära eleverna när och hur en strategi kan användas. Det skulle också vara gynnsamt att jämföra problemet med tidigare problem och diskutera egenskaper hos problemet de löst (Charles & Lester, 1982).
Att införa problemlösning kan tyckas vara okomplicerat men att bara föra in några problemlösningsaktiviteter kan vara problematiskt (Hiebert et al. 1996). Han menar att läraren inte enbart kan föra in några matematiska problem och tro att undervisningen kommer att gynnas, utan undervisningen måste ändra karaktär. Klassrumskulturen och hur klassen arbetar med matematik måste ändras och det är lärarens uppgift att driva förändringen. Problematiken kan bero på att läraren och eleverna redan har upplevt en annan klassrumskultur. Enligt Bergqvist (2009) utgår den största delen av matematikarbetet från läroböckerna (57%), där en kort genomgång av algoritmen presenteras för att sedan ge flertalet rutinuppgifter. Problemlösningsuppgifterna kommer senare och det är endast de elever som är tillräckligt snabba som hinner med dem innan det är dags för nästa kapitel. Som beskrivs tidigare så är tidsaspekten en anledning till att böcker dominerar i klassrummet. Det skulle kunna tänkas att lärarna valde ut vilka uppgifter eleverna ska göra, så att alla hinner med problemlösningsuppgifterna men troligtvis skulle även detta vara en tidskrävande process.
Jaworski (1994) deltog under en längre tid i olika klassrum och observerade hur lärare undervisade. I ett försök att karakterisera undervisningen skapade och verifierade hon
”triaden”. Den blev en modell för vad hon anser att läraren har för faktorer att ta hänsyn till för att eleverna ska lära sig på ett optimalt sätt. Hon kom fram till tre förmågor som läraren måste ha, och dessa kallar hon för sin triad (se figur nedan). Triaden beskriver att läraren ska ha en känsla för den enskilda individen, vara medveten om svagheter samt styrkor för att kunna välja en lämplig uppgift som passar elevens kunskapsnivå.
För att lärarens undervisning ska ge upphov till detta så måste läraren besitta en organisatorisk förmåga.
Figur 2: triaden visualiserad av Taflin (2007, s.113).
2.5.2 Problemlösningsförmåga
Att öva upp problemlösningsförmågan är komplext och tar mycket tid. Pólya (1945) jämför övning av problemlösningsförmåga med att simma. Skickligheten förvärvas, anser han, genom att eleverna härmar, imiterar, övar och praktiserar. Ifall eleverna fastnar i matematisk problemlösning och inte klarar av att lösa ett problem menar Pólya att de bör få testa att lösa ett enklare problem för att samla mod och senare försöka sig på originalproblemet. Lester (1987) redogör för fyra fundamentala principer för att bli en bra problemlösare. Dessa har han formulerat utefter sin studie av forskningslitteraturen där han finner dessa som gemensamma i all relevant forskning kring problemlösning. Principerna är följande:
1) Eleven måste lösa många problem för att öva upp sin problemlösningsförmåga.
2) Problemlösningsförmågan utvecklas långsamt.
3) Elever måste tro att deras lärare tycker att problemlösning är viktigt.
4) De flesta elever gagnas av systematiskt planerade problemlösningsinstruktioner.
(ibid, s.38).
Den tredje punkten anser Lester vara den viktigaste, att läraren måste förmedla entusiasm och förklara vikten av problemlösning. Om läraren gör detta kommer eleven skapa ett liknande engagemang för problemlösning och därmed förbättra sin problemlösningsförmåga. Med ”systematiskt planerade problemlösningsinstruktioner”
menar Lester rätt sorts innehåll, en specifik undervisningsstrategi, det vill säga att veta hur man bäst hjälper sina elever samt riktlinjer för problemlösningsaktiviteten. Dessa riktlinjer kan exempelvis vara att reservera tillräckligt mycket tid åt problemet, låta eleverna jobba tillsammans, justera uppgifterna så de passar alla i klassrummet.
2.6 Varför problemlösning?
Ahlström et al. (2002) menar att det viktigaste målet för matematik är att utveckla elevernas lust och förmåga att lösa problem. Problemlösning i matematiken hjälper till att stimulera eleverna och väcker ett intresse för matematik. Forskning har visat att elever kan utveckla andra förmågor än bara problemlösningsförmågan när de arbetar med problem (Hiebert & Grouws, 2007). Elever som utmanas med problem och aktiviteter som kräver att de arbetar med olika matematiska idéer utvecklar begreppsförståelsen. Ytterligare presterar dessa elever lika bra eller bättre på rutinuppgifter än de elever som enbart har erfarenheter av en undervisning där eleverna till största del övar på det som demonstrerats av läraren (ibid). Eleverna lär sig alltså på ett helt annat sätt. Ahlström (1996) menar att arbetet med problemlösning kan ge mer än så. Han skriver så här:
- ’’Genom att lösa problem kan man utveckla tankar, idéer, självförtroende, analysförmåga, kreativitet och tålamod. Man lär sig att planera, upptäcka samband, förfina det logiska tänkandet och skaffar sig beredskap att klara situationer i livet.’’
(Ahlström et al. 1996, s.69).
2.7 Sammanfattning
Matematik är ett ämne där inlärningen sker i en social kontext. Elever lär sig genom att utbyta tankar och idéer med varandra (Andrá, et al. 2018). Problemlösning är en aktivitet där elever på ett naturligt sätt skulle kunna arbeta tillsammans. I nuvarande läroplan och ämnesplan har problemlösning en framträdande roll och är inte begränsad till enstaka matematikområden. Charles & Lester (1982) beskriver att en
problemlösningsaktivitet bör innefatta tre delar, (1) klassrumsdiskussion innan eleverna har börjat arbeta med uppgifterna, (2) arbete med problem, (3) klassrumsdiskussion efter. Flera förespråkar att arbetet med problemet ska ske enskilt och i grupp (Larsson, 2013; Ahlström et al. 1996). För att konstruera ett gynnsamt inlärningstillfälle ställs höga krav på läraren, eftersom hen måste besitta en organisatorisk förmåga, ha en känsla för eleven och välja en utmanande uppgift (Jaworski, 1994). Det måste finnas rätt riktlinjer för att en problemlösningsaktivitet ska bli så bra som möjlig. Eftersom eleverna ofta befinner sig på olika kunskapsnivåer behöver läraren ha en djup förståelse för varje elev och ge dem problem som passar elevgruppen generellt. Aktiviteten måste också ge eleverna tillräckligt med tid (Lester, 1987). Problemlösning tar tid att lära sig och ibland kommer eleverna misslyckas. Som lärare ska man inte lotsa eleverna till rätt svar utan istället ge eleverna ett enklare problem att lösa. Problemlösning inövas genom att eleverna härmar, imiterar, övar och praktiserar (Pólya, 1945).
Inför problemlösning krävs det också ett rigoröst förarbete. Eleverna måste få lära sig om hur de kan tänkas lösa ett problem, vilka metoder och strategier de kan tänkas ha nytta av. Lester (1996) menar till exempel att undervisningen kring detta ska delas upp.
Eleverna ska få lära sig hur en strategi fungerar och sedan få öva på att tillämpa dem.
3 Metod
I detta kapitel beskrivs och motiveras val av metod för datainsamling i syfte att besvara studiens frågeställningar. Här beskrivs också urvalet av lärare och elever, samt vilka etiska övervägande som gjorts.
3.1 Datainsamlingsmetod
För att besvara studiens frågeställningar har en kvalitativ metod valts där studien kommer kombinera deltagande observation med semistrukturerade intervjuer med lärare och elevgrupper. Nedan förklaras metoderna och varför de kan anses lämpliga för att besvara frågeställningarna.
3.1.1 Deltagande observatör
Den första frågeställningen handlar om hur gymnasielärare tillämpar problemlösning i sin undervisning. För att kunna besvara frågeställningen kan det vara viktigt som forskare att se hur undervisningen praktiseras och inte blint lita på lärarens intervjusvar.
I de deltagande observationerna studerades lärarens lektionsupplägg för att kunna granska vilka typer av uppgifter läraren väljer ut och hur hen låter eleverna arbeta med problemen. Intervjusvaren kan senare bidra med information om huruvida läraren alltid jobbar på det sättet eller om det finns andra arbetsmetoder som används. Som deltagande observatör skulle elevernas reaktioner på lektionens upplägg och struktur även kunna urskiljas. Därigenom skulle också svårigheter som uppkommer kunna observeras direkt.
Att vara en deltagande observatör är lämpligt för att undersöka kulturer, i det här fallet klassrumskulturen. Metoden bygger på direkta observationer av forskaren, ett fältarbete i en naturlig miljö där poängen är att observera saker som de normalt inträffar. I datainsamlingen använder forskaren sig själv som ett redskap, vilket gör att två observatörer kan ha olika bild av vad som inträffar i en viss situation. Aspekter som individuell kompetens, förmågan att observera, forskarens engagemang och minne är alla faktorer som spelar in vid en observation (Denscombe, 2016). Forskarens redogörelser återspeglar generella psykologiska faktorer som har med minnet och perceptionen att göra. Minnet är selektivt och väljer att registrera vissa händelser, och senare filtreras vissa saker bort från minnet och forskaren lämnas med en bild av ”det som hände”, perceptionen är alltså selektiv. Även de känslor forskaren har för stunden påverkar vad hen upplever (ibid). Detta kan upplevas oundvikligt men för att skapa en så korrekt bild av en situation som möjligt är det fördelaktigt att föra anteckningar på ett strukturerat sätt. Det finns olika typer av fältanteckningar som är aktuella vid deltagande observation. Mentala anteckningar är framförallt viktiga när skriftliga anteckningar kan vara olämpliga, till exempel om de kan störa observationen. Provisoriska eller preliminära anteckningar är korta, snabba anteckningar forskaren gör för att skapa en minnesbild av en händelse. Dessa ska skrivas ner mer detaljrikt senare. Fullständiga fältanteckningar skrivs ner utifrån de observationer och anteckningar som gjorts så fort tillfälle ges. Dessa tre fältanteckningstyper bör användas för att observationen ska ge en så korrekt bild som möjligt av vad som inträffade (Bryman, 2011).
Andra nackdelar med deltagande observation är att få tillträde till en viss miljö, vilket försvåras ytterligare i och med Covid-19. Samhället går just nu igenom en pandemi som kommer försvåra tillträdet till skolor. När studien gjordes var det fler skolor som inte tog emot eller var skeptiska till att låta studien äga rum för tillfället. Tillträdet till miljön
har vanligtvis andra bekymmer än en pandemi att förhålla sig till. Denscombe (2016) poängterar att det kan vara svårt att vara deltagande observatör på en skola p.g.a.
åldersskillnaden mellan forskaren och eleverna. När följande studie genomfördes var den deltagande observatören och elevernas ålder relativt nära, vilket enligt ovan nämnd källa borde underlätta för forskaren att ”smälta in” i miljön. Vad som också är viktigt för tillträdet är att ha någon som Denscombe (2016) kallar för en ”grindvakt” som kan hjälpa till att öppna dörrar. I denna studie förmodas läraren i mångt och mycket bli en grindvakt. En annan nackdel är representativiteten i data, eftersom det kan vara svårt att generalisera utifrån deltagande observation.
Det finns dock inte bara nackdelar med att göra en deltagande observation. I början av 3.1.1 redogjordes för hur deltagande observation kan vara en adekvat metod för att besvara studiens frågeställningar och Denscombe (2016) tar upp fler positiva aspekter som inte belysts än. Deltagande observation ger goda möjligheter till att få stora insikter i sociala processer och är därför lämpad att hantera komplexa realiteter.
I studien observerades två lektioner. Hos lärare A kunde observationen ske på plats och jag fick där introducera mig själv och förklara mitt besök. Senare befann jag mig i bakgrunden där observation kunde genomföras på ett säkert avstånd. Där kunde mentala- och fältanteckningar skapas. Hos lärare B fick observationen ske via internet.
Eleverna var ibland i helklass och ibland arbetade de i mindre grupper. Deltagandet följde eleverna och försökte observera så mycket som möjligt och skapa en helhetsbild av undervisningssituationen.
3.1.2 Semistrukturerade intervjuer
Intervjuer används för att besvara frågeställningar utifrån den data i form av utsagor som respondenterna bidragit med under intervjuerna. Den deltagande observationen fungerar i studien som ett komplement till intervjuerna. Framför allt är intervjuer en bra metod att använda när forskaren vill ta reda på åsikter, uppfattningar, känslor och erfarenheter (Denscombe, 2016). Frågeställning två och tre handlar just om upplevelser och erfarenheter och kan därför ses som en adekvat metod för att besvara dem. Även frågeställning ett kan finna delar av sina svar i intervjuer, då metoden fungerar utmärkt för att ta reda på komplexa frågor och priviligierad information1.
I studien genomfördes semistrukturerade intervjuer med lärare och elever. Dessa är inte strukturerade som ett vardagligt samtal men inte heller som ett slutet frågeformulär. I kvalitativ forskning finns en tyngd i intervjupersonernas egna uppfattningar och synsätt.
Frågeformuläret finns som hjälp men samtalen kan avvika från frågorna och röra sig i andra riktningar beroende på vad intervjupersonen finner viktigt (Bryman, 2011).
Frågorna kan ändra plats och följdfrågor kan uppstå utefter det som uppkommer i samtalen men i stort sett ställdes frågorna i den ordning som är angiven i intervjumallen, se bilaga A och B. Före observationstillfället studerades lärarens lektionsplanering studeras vilket gjorde att vissa intervjufrågor baserades på den.
I studien genomfördes gruppintervjuer med eleverna istället för personliga intervjuer.
Det kan ge fördelar gällande representativitet att genomföra gruppintervjuer då fler åsikter och synpunkter framkommer. Att fler elever intervjuas kan ge en större variation av åsikter och erfarenheter (Denscombe, 2016).
1 Priviligierad information är sådant som endast vissa personer i fältet, så kallade nyckelpersoner, besitter.
3.1.2.1 Utformning av intervjumall till lärare
Innan lektionen genomfördes en kortare intervju för att ta del av lärarens tankar och funderingar före kontra efter lektionens genomförande. Dessa frågor är främst för att förstå hur läraren tänker kring upplägget av en problemlösningsaktivitet. En fråga om svårigheter ställs för att undersöka om läraren redan är bekant med svårigheter som hen förväntar sig eller till och med försöker förebygga på något sätt.
Efter lektionen delades frågorna in i generella frågor samt frågor kring dagens lektion.
Anledningen till detta är för att undervisningen kring problem och problemlösning kan skilja sig åt från gång till gång. Läraren fick först berätta om dagens lektion och om den blev som planerat och vilka förändringar hen eventuellt hade velat göra. Senare kunde lärarens tankar och åsikter kring problem och problemlösning samt hur hen generellt arbetar och hade velat arbeta med problemlösning om, tid, pengar eller annat inte var ett hinder undersökas.
3.1.2.2 Utformning av intervjumall till elever
Intervjun inleds med en fråga om vad eleverna tycker om matematik. Detta görs delvis i syfte att få dem att prata och bli bekväma. Dessutom kan det vara intressant att se hur deras grundinställning till matematik påverkar resterande svar. Senare övergår intervjun till dagens lektion och vad eleverna tyckte om den, vad de lärt sig, vad som kan bli bättre och vad de identifierade som problemlösning. Vetskap om vad de identifierar som problemlösning kan vara intressant för att undersöka om de pratar om problemlösning och vad det är i klassrummet.
Precis som i intervjuerna med läraren övergår intervjun till mer generella frågor.
Uppdelningen sker för att skilja på dagens lektion och hur lektionerna ser ut när en deltagande observatör inte är närvarande. I den delen förklaras också vad ett problem är och då vad problemlösning kan vara.
3.2 Urval
Urvalet av lärare och klassrum att observera är en kombination av ett målinriktat urval, snöbollsurval och ett bekvämlighetsurval. Bryman (2011) skriver att de flesta som skriver om kvalitativa intervjuer rekommenderar ett målinriktat urval. I en deltagande observation menar han att det oftast handlar om ett bekvämlighetsurval i kombination med ett snöbollsurval (ibland kallat kedjeurval). Ett målinriktat urval är ett icke- slumpmässigt urval där lärarna och klassrummet ska väljas ut för att de är relevanta för studien. Bekvämlighetsurval innebär att forskaren väljer personer som finns tillgängliga för forskaren. Ett snöbollsurval är när forskaren med hjälp av de deltagare som hen initialt fått kontakt med får kontakt med andra. I studiens fall blir ett sådant urval självklart då lärarens elever (de som deltagit på lektionen som observerats) är de enda personerna som är lämpade att svara på frågor om lektionen.
Målinriktaturval i kombination med bekvämlighetsurval väljs för att få kontakt med relevanta lärare för studien samt att de lärarna som deltar jobbar i närområdet av Växjö.
Risken är annars att studien observerar och intervjuar lärare som inte alls jobbar med problemlösning trots att de har skyldighet att göra det enligt läroplanen.
Frågeställningarna hade då blivit omöjliga att besvara. Att lärarna måste arbeta i närheten av Växjö grundar sig i aspekten tid och pengar. För att detta arbete skall vara genomförbart som examensarbete ställs givetvis krav på hur långa resor som kan företas. Genom att söka efter matematiklärare på gymnasiet i Växjö med omnejd och
kontakta möjliga kandidater kunde urvalet av lärare bestämmas efter mejl och telefonkontakt. Detta resulterade i att två lärare intervjuades. Lärarna arbetar på olika gymnasieskolor på olika orter men båda är på mindre skolor. Lärare A har lång erfarenhet av läraryrket medan lärare B är relativt nyutbildad.
Målet var att urvalet elever som intervjuades efter lektionens genomförande skulle vara ett systematiskt urval. Alltså av alla elever som kan tänka sig delta i en gruppintervju plockar forskaren systematiskt ut till exempel var 7:e individ från ramen till urvalet.
Däremot var det få elever som ville delta i intervju vilket gjorde att alla elever som kunde tänka sig att bli intervjuade blev det (se metoddiskussion). Totalt resulterade detta i att fem elever intervjuades.
Att genomföra urvalet som beskrivs ovan kan vara problematiskt för validiteten. Men för att studien ska kunna genomföras inom den tidsramen som angivits är dessa val nödvändiga.
3.3 Etiska överväganden
Forskning som innefattar datainsamling från eller om människor kräver en etikprövning.
Studien har följt det grundläggande individsskyddskravet genom att följa Vetenskapsrådets (2002) allmänna huvudkrav. Alla deltagare i studien har informerats om studiens syfte och vilka villkor som gäller för deras deltagande. De informerades innan deltagandet om att det är helt frivilligt att delta och att de när som helst under processen kan avbryta sitt deltagande utan att det får några konsekvenser för dem.
Kravet på samtycke kan också medföra att föräldrarnas samtycke måste inhämtas om deltagarna är under 15 år. Eftersom denna studie intervjuar elever på gymnasiet är de allra flesta över 15 vilket kan verifieras genom läraren. Alla uppgifter som deltagarna har lämnat har getts största möjliga konfidentialitet och det är bara forskaren som har tillgång till materialet. I de fall där exempelvis elevernas lösningar presenteras är de anonyma samt har elevernas godkännande inhämtats. Alla insamlade uppgifter har endast använts för forskningens ändamål och allt material (intervjuer, med mera) raderas efter studiens publicering.
4 Resultat
I resultatet presenteras lärarnas problemuppgifter, potentiella lösningar som jag har utformat och elevernas lösningar. Lärarens tankar kring problemlösning och hur hen implementerar det i undervisningen presenteras samt elevernas tankar om att lära sig matematik via problemlösning.
4.1 Lärare A
4.1.1 Lärarens matematiska problem och potentiella lösningar
Lärare A har under en längre tid jobbat på samma skola och berättar att de problem hen valde till denna problemlösningsaktivitet är två som hen brukar använda sig av.
Uppgifterna introducerade läraren muntligt och på tavlan. Beskrivningarna kan därför skilja sig något från det eleverna fick höra. Målet med aktiviteten är att eleverna ska öva på att lösa problem med hjälp av derivata.
4.1.1.1 Uppgift 1
En bolls höjd h (meter) över marken kan beräknas med formeln: ℎ(𝑡) = 12 + 20𝑡 − 5𝑡2 där t = tiden i sekunder.
a) Rita funktionen (m.h.a grafritare) b) Vad står 12:an för?
c) När slår bollen i vattnet d) Beräkna högsta höjden Potentiell lösning
Lärare A berättar att uppgift a-c är till för att alla elever ska kunna påbörja uppgiften och egentligen inte ”problem” i samma bemärkelse som deluppgift d. Därför presenteras inte heller potentiella lösningar eller elevers lösningar till dessa. Hur kan uppgift d tänkas lösas? Eftersom uppgiften kommer från matematik 3c och lärarens mål är att öva eleverna i problemlösning med hjälp av derivata är det troligast att eleverna kommer använda den metoden. Uppgiften löses på följande vis: bollen vänder (har sin högsta höjd) när derivatan är lika med noll.
ℎ′(𝑡) = 0 ⟺ 20 − 10𝑡 = 0 ⟺ 𝑡 = 2 , ℎ(2) = 32 𝑚 Elevernas lösningar
Deluppgift d är det flera elever som har problem med, däremot antas flertalet av svårigheterna uppstå på grund av att eleverna inte läser uppgiften mer än en gång. Vissa elever räknar enbart ut vid vilken tidpunkt bollen har högst höjd och tänker att det är höjden de räknat ut.
Figur 3: en elevs försök på uppgift 1d
Det verkar vara förståelsen för vad de gör som saknas. Det är dock flertalet elever som klarar uppgiften galant vilket indikerar på att det inte är ett problem för dem.
4.1.1.2 Uppgift 2
Tillverka en låda utan lock av en rektangulär kartongbit med måtten 20cm × 30cm genom att klippa bort lika stora kvadrater i varje hörn och vik upp sidorna.
Figur 4: Illustration av uppgift 2
Potentiell lösning
Inledningsvis tecknas ett generellt uttryck för volymen:
𝑉(𝑥) = (30 − 2𝑥)(20 − 2𝑥)𝑥 = (600 − 100𝑥 + 4𝑥2)𝑥 = 600𝑥 − 100𝑥2+ 4𝑥3 För att ta fram den maximala volymen deriveras uttrycket och sätts lika med noll:
𝑉′(𝑥) = 600 − 200𝑥 + 12𝑥2
𝑉′(𝑥) = 0 ⟺ 600 − 200𝑥 + 12𝑥2 = 0 ⟺ 50 −200
12 + 𝑥2 = 0
𝑥 =200
24 ± √(200
24)2− 50 ≈ 8,33 ± 4,41 ⟹ 𝑥1 = 12,74, 𝑥2 = 3,92
Det är inte möjligt att klippa bort 12,74cm, alltså är det enda alternativet att klippa bort kvadrater som är 3,92 × 3,92𝑐𝑚2.
𝑉(3,92) = 600 × 3,92 − 100 × (3,92)2+ 4 × (3,92)3 ≈ 1056,31 Elevernas lösningar
I lösningarna framgår att eleverna har problem med resonemang, procedur och tillvägagångssätt. Ett flertal elever började med att testa sig fram genom att dels
använda papper och själv klippa och se vad som händer med volymen och dels genom att testa att räkna ut volymen för olika värden:
Figur 5: En elevs försök på uppgift 2
I Figur 5 presenteras ett vanligt fel i elevernas lösningar. När de kalkylerar längden eller bredden tar de inte bort båda kvadraterna. Här hjälpte läraren eleverna relativt mycket och förklarade hur de får fram rätt längd. Eftersom det kunde observeras att läraren förklarade för en elev på tavlan kunde alla elever få denna hjälp. Annars hade troligtvis de flesta eleverna inte kommit längre då det noterades att många elever fastnade i uppgiften. Ett annat fel eleven gör i sin procedur är att inte sätta parenteser på längden och bredden hen får fram. Något som fler elever gör, se figur till vänster.
Figur 6: Elev som inte sätter ut parentes.
4.1.2 Problemlösning i undervisningen
Lärare A ser problemlösning som den viktigaste delen i matematiken. Allt annat, som rutinuppgifter, andra förmågor med mera är bara verktyg. Alla delar behövs för att eleverna ska bli duktiga problemlösare, annars klarar de till exempel inte de mekaniska färdigheterna. När det kommer till problemlösningsaktiviteter använder lärare A en metod som kallas EPA (enskilt, par, alla). EPA-metoden går ut på att eleverna enskilt får sätta sig in i problemet en stund och sedan ska de arbeta tillsammans med bordsgrannen i några minuter och diskutera olika strategier och metoder för att lösa problemet. När eleverna fått arbeta med uppgiften och läraren känner att de flesta har kommit i mål går läraren igenom uppgiften på tavlan. Lärare A säger att hen brukar ha
några småfrågor först och sedan ett problem. Detta gör hen för att alla elever ska känna att de gjort något. Problem är uppgifter som ska ha flera dimensioner och låter eleverna tänka lite annorlunda säger läraren och berättar att vissa elever hatar uppgifter som har en något öppnare karaktär. Dessa elever kallar hen för ”mekaniska elever” (elever som är väldigt procedurinriktade). Det kan därför vara fördelaktigt att ha med uppgifter som passar alla. Problemen får dock inte vara för stora, utan de ska helst kunna lösas på 5–
10 minuter för att det ska vara genomförbart och för att eleverna inte ska tröttna.
Eleverna som intervjuades säger att matematiken inte blir speciellt kul när uppgifterna blir för svåra men att uppgifter som exempelvis problem 2 ger en känsla av att man verkligen vill lösa uppgiften. De säger att de nästan uteslutande arbetar på ett sätt i matematiken, läraren har först en genomgång och sedan räknar de i boken. Det är också där som eleverna mestadels av tiden övar upp sin problemlösningsförmåga. De tycker att de lär sig som mest när läraren håller i en genomgång men en av eleverna skulle vilja att de diskuterade problem mer i klassrummet tillsammans. I nuläget menar eleven att läraren kan bjuda in till diskussion med en enskild elev men avslutar elevens slutsats när hen upplever att eleven förstått. Eleven skulle istället vilja att hela klassrummet får föra en diskussion tillsammans tills de själva känner sig klara och inte tills läraren är nöjd.
4.1.3 Problem med problemlösning
I undervisning kring problemlösning finns det flera aspekter som försvårar undervisningen. Det största problemet har under de senare åren skiftat och det är nu språkbarriären som utgör det största problemet. Skolan som lärare A jobbar på har de senare åren fått många nyanlända till sin klass vilket gör det svårt för läraren att förstå vad det är eleverna inte förstår. Ibland har problemuppgifter en tillhörande text vilket gör att det är språket och inte matematiken som blir hindret för många elever. Det problemet som var störst tidigare, som fortfarande kvarstår, är att eleverna har en svag tilltro till sin egen förmåga. De läser uppgiften en gång och tror att de ska förstå direkt vad de ska göra, när de inte förstår ger de upp och ber om hjälp direkt. Detta gör senare att de tror att de är dumma och inte klarar av matematiken vilket i sin tur gör den tråkig.
En elev säger att matematiken inte blir kul när man inte förstår den. Ett annat hinder är att eleverna ofta saknar de matematiska färdigheterna som krävs för att tackla ett problem.
Eftersom problem är utmaningar för eleverna kan det ofta ta väldigt lång tid att genomföra en problemaktivitet. Lärare A säger att det finns mycket stoff inom området som måste behandlas vilket gör att hen som lärare inte har tid att undervisa om problemlösning som hen hade velat. Därför kan en aktivitet tvingas ta slut innan alla har hunnit att ge problemet en reell chans, därav har läraren några färre rutinuppgifter som förhoppningsvis alla ska kunna svara på. Om tid och resurser fanns skulle mer tid spenderats på problemlösning och den skulle även innehålla fler laborativa moment.
Arbetsmetoden som läraren använder har på senare tid också skapat ett problem då den kräver att eleverna ska arbeta tillsammans. Under coronapandemin har skolan som policy att alla elever ska sitta med ett avstånd till varandra. Detta gör det svårt för eleverna att diskutera problemen.
4.2 Lärare B
4.2.1 Lärarens matematiska problem och potentiella lösningar
Lärare B är en relativt ny lärare och finner problemlösning som viktigt. Hen säger att problemen är strukturerade så att det inte finns några på förhand givna lösningar för eleverna. Problemen ska inte heller innehålla för mycket information eftersom det ska
upplevas utmanande. Uppgifterna är ämnade för matematik 1 och är presenterade i detalj som eleverna fick dem.
4.2.1.1 Uppgift 1
Ett bilföretag hyr ut sina bilar i 2 veckor för 3500 kronor. Torbjörn vill enbart hyra en bil i 2 dagar och får då betala 700 kronor. Han anser att priset inte är rimligt om det vore proportionerligt mot antalet dagar. Hjälp Torbjörn att visa, motivera & argumentera för en lägre uthyrningskostnad.
Potentiell lösning
Hur kan Torbjörn tänkas motivera en lägre uthyrningskostnad? En lämplig metod är att göra en uträkning av vad bilen kostar per dag i uthyrningserbjudandet. 2 veckor motsvarar 14 dagar vilket ger oss följande kostnad per dag:
3500
14 = 250𝑘𝑟. 2 𝑑𝑎𝑔𝑎𝑟 ⟹ 2 × 250 = 500𝑘𝑟.
Alltså får Torbjörn betala 200kr mer (100kr mer per dag) än vad de som väljer att hyra 14 dagar gör. Dock vet vi inte om det existerar någon startkostnad som påverkar att Torbjörn får betala mer per dag.
Elevernas lösningar
Nästan alla grupper räknade ut hur mycket en dag kostar. Någon gjorde även en grafisk lösning, se nedan.
Figur 7: lösning av uppgift 1 av en av elevgrupperna.
Det uppstod en intressant diskussion i helklass. En av eleverna påpekade att de inte vet om det finns någon startkostnad för företaget och det kanske därför blir dyrare för Torbjörn.
4.2.1.2 Uppgift 2
Behållare K, L och M är lika höga, fylls med vatten av samma konstanta hastighet.
Graferna visar hur vattnets höjd förändras beroende av tiden för behållare K och L.
Figur 8: Grafen för behållare L och K samt alla behållares form.
A) Resonera och förklara vilka skillnader som kan tolkas från grafen mellan behållare K och L.
B) Resonera kring hur grafen till behållare M borde representeras i samma diagram.
Potentiell lösning
A) Eftersom K är en rät cylinder ökar vattenhöjden lika mycket hela tiden och funktionen blir då en rät linje. Cylinder L är uppdelad i två skikt som har olika radie. Höjden ökar först snabbare i L eftersom den till en början har en mindre radie. När vattnet når den övre delen av cylindern (där radien är större) ökar inte vattenhöjden lika snabbt då det krävs mer vatten för att öka vattenhöjden lika mycket i samma tidsintervall som innan. En annan skillnad är att L har en mindre volym än K då den blir full snabbare än K.
B) M är som L fast upp och ner och resonemanget följer samma princip fast i omvänd ordning:
Figur 9: Hur grafen till M kan tänkas se ut.
Elevernas lösningar
Flera av grupperna har inte svarat på uppgiften. Den väcker alltså många frågetecken hos eleverna och det framgick i gruppdiskussionen att några elever hade svårt att veta hur de skulle tänka. Grupperna som lämnar in lösningar kommer med kloka tankar kring problemet:
Figur 10: lösning av uppgift 2 av en av elevgrupperna.
Figur 11: lösning av uppgift 2 av en av elevgrupperna.
4.2.1.3 Uppgift 3
Växjös nyöppnade biograf kan maximalt ta in 350 personer. Biobiljetterna kostar 150 kronor för vuxna medan barn under 18 år betalar halva priset. Vid en fullsatt filmvisning använder biografen följande formel för att beräkna deras vinst V:
𝑉 = 150𝑥 + 75(350 − 𝑥) A) Förklara vad parentesen i vinstformeln betyder.
B) Vid en fullsatt visning blev vinsten 43 725 kronor. Hur många barn respektive vuxna var på plats?
C) Lös olikheten 𝑉 > 50 000. Tolka & förklara vad som beräknats.
Potentiell lösning
A) Parentesen (350 − 𝑥) = 𝑦 är antalet barn som besöker biografen.
B) Vinsten är 43725kr, vilket vi kan sätta in i formeln som vi fått för att sedan räkna ut antalet vuxna (x) och antalet barn (y).
43 725 = 150𝑥 + 75(350 − 𝑥) = 150𝑥 + 26 250 − 75𝑥 ⟺ 17 475 = 75𝑥
⟺ 𝑥 = 233 ⟺ 𝑦 = 117
C) Ett första steg skulle kunna vara att testa lite olika värden på x. Detta kan dock bli tidskrävande, men genom att vara lite selektiv i vilka värden man väljer x till så blir det inte allt för krävande. Ett annat alternativ är att sätta vinsten till 50 000kr och se hur många vuxna det motsvarar:
50 000 = 150𝑥 + 75(350 − 𝑥) = 150𝑥 + 26 250 − 75𝑥 ⟺ 23 750 = 75𝑥 𝑥 = 316,666 … , 𝑥 ≥ 317
Alltså måste antalet vuxna vara lika med eller överstiga 317st för att vinsten ska överstiga 50 000 kronor.
Elevernas lösningar
Två av grupperna lämnade in lösningar på A och en grupp lämnade in en fullständig lösning på B. Den andra gruppen förmodas fått slut på tid eller uppstod något räknefel.
Ingen grupp svarade på den sista delen av uppgiften.
Figur 12: lösning av uppgift 3 av en av elevgrupperna.
4.2.2 Problemlösning i undervisningen
Lärare B ser problemlösning som den del som sammanlänkar matematikens olika förmågor och påstår att det är en av de viktigare förmågorna som finns. Planeringen för en lektion som övar upp problemlösningsförmågan börjar redan dagarna innan genom att eleverna får förberedande uppgifter i läxa. Läraren säger att detta är för att få eleverna bekanta med innehållet. På ett sätt är detta för att förebygga vissa problem som
kan uppstå. Begrepp och vanliga procedurer med mera får inte begränsa eleverna, utan målet ska vara att öva upp problemlösningsförmågan. Efter att eleverna diskuterat läxan och läraren gett sin syn på uppgiften förklarar hen hur de kan tackla kommande problem. Hen delar in problemlösningen i fyra faser: (1) förstå vad uppgiften är (2) lägg upp en plan, (3) genomför planen, (4) kontrollera rimligheten i svaret. Detta var något som eleverna uppskattade. I intervju med dem sa några att det kan vara svårt att veta vilka steg man ska genomföra när det kommer till problemlösning. Uppgifterna förklarades först av läraren och eleverna blir sedan indelade i grupper. Grupperna delas antingen in slumpmässigt eller strategiskt av läraren. Det viktigaste är att grupperna ska fungera ihop men det finns även en tanke om att det ska finnas en balans mellan svaga och starka elever i grupperna. Skolan är liten vilket är till stor hjälp då läraren enklare vet vilka elever som passar med vilka. Att läraren ibland slumpvis delar in grupperna är för att efterlikna verkligheten, där man inte alltid får arbeta med människor man fungerar bäst med. På lektionen som observerades var det 6 elever i varje grupp.
Eleverna reagerade på antalet gruppmedlemmar och sa själva att de var för många och att det var svårt att fördela arbetet. De uttryckte att det inte fanns tillräckligt med material för att alla skulle ha något att göra. Eleverna fick 23 minuter till att lösa de tre uppgifterna och eleverna kommenterade att detta var för lite.
Efter grupparbetet återgick eleverna till helklass och genomförde en gruppdiskussion där grupperna fick visa hur de hade tänkt kring uppgifterna. Precis som lärare A jobbar även lärare B med EPA-metoden. Detta försökte hen att implementera på lektionen som observerades även om det den här gången fick skötas via internet då skolan tillfälligt gått över till distansundervisning (på grund av den rådande pandemin). I den sista delen där alla ska vara delaktiga tycker lärare B att det är viktigt att fler än bara de som har korrekta lösningar kommer till tals, för att alla ska se vilka problem som kan uppstå och hur man sedan kan tänkas överkomma dem.
Eleverna berättar i intervjun att de uppskattar problemlösning i undervisningen eftersom de får känna sig smarta när de löser en uppgift. Två elever sa dock att de känner sig irriterade resten av dagen om de inte lyckas lösa uppgifterna. En av eleverna berättar att hen tycker att hen lär sig som bäst när klassen diskuterar olika uppgifter. De menar även att de oftast arbetar med problemlösning i boken och inte särskilt ofta på sättet som de gjorde på lektionen som observerades.
4.2.3 Problem med problemlösning
Eftersom skolan som lärare B arbetar på tillfälligt stängt ner sin undervisning i skolan och nu enbart använder sig av distansundervisning, förväntar hen sig fler problem än normalt. Som alltid när det kommer till teknikens aspekter så kan det lätt uppstå teknikstrul som försvårar undervisningen. Det är inte bara lärarens utrustning som ska fungera utan även elevernas. Läraren säger också att gruppdiskussionerna är signifikant svårare online. Lärare B tenderar att i förväg välja ut vilka elever som ska visa upp sina lösningar, vilket visar sig bli svårare online då hen inte lika enkelt kan se hur eleverna löst uppgifterna.
Ett problem som råder både vid distansundervisning och vanlig undervisning är att eleverna kan finna det jobbigt att visa sina lösningar inför resten av klassen. För att förebygga detta måste man enligt lärare B konstant arbeta för att skapa ett tillåtande klimat i klassrummet och vara tydlig med att det är okej att göra fel. Problemlösning är något eleverna kan uppleva vara extra svårt menar läraren. Just för att det inte finns någon given strategi kan det vara klurigt för vissa. Eleverna berättade att de upplevde
gruppdiskussionen aningen kaotisk då det var svårt att veta vem i gruppen som skulle prata eftersom de pratade via länk och inte såg varandra. Det hände ofta att en elev i gruppen tog kommandot och fick redovisa majoriteten av det gruppen hade kommit fram till.
Den övergripande problematiken med problemlösning är tidsaspekten. I matematikens olika kurser, specifikt i matematik 1, råder stoffträngsel vilket gör att lärare B inte kan fördjupa sig på det sättet hen hade velat. Med större tidsfrist skulle eleverna få en bättre förståelse för problemlösning.
