Undervisning av problemlösning
En fenomenografisk studie av undervisning i problemlösning efter deltagande i matematiklyft
Camilla Sjölander Nordin
Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapsämnenans didaktik
Självständigt arbete på avancerad nivå 30 hp Matematikämnets didaktik
Masterprogrammet 60 hp Höstterminen 2016
Handledare: Kerstin Pettersson Examinator: Astrid Pettersson
English title: Teaching of problem solving. A phenomenographic study of problem solvings teaching after participating in a Boost for Mathematics
Undervisning av problemlösning
En fenomenografisk studie av undervisning i problemlösning efter deltagande i matematiklyft
Camilla Sjölander Nordin
Sammanfattning/Abstract
Denna fenomenografiska studie studerar lärares erfarande av fenomenet undervisning i
problemlösning efter att man deltagit i ett matematiklyft. Urvalet för studien är lärare för åk 4-6 och åk 7-9 som alla arbetat med problemlösningsmodulen. Dataunderlaget utgår från ett enkätunderlag som kompletterats med åtta intervjuer. För lärares lärande visar resultatet att de som inte längre arbetar utifrån kollegialt lärande i dag skapar egna organisationsformer. För lärare som arbetar utifrån ett fortsatt kollegialt lärande fortsätter man sitt arbete utifrån matematiklyftets modell men i vissa fall finns kvalitativt förändrade inslag. För undervisning i problemlösning visar resultat att lärare innehar ett kritiskt förhållningssätt inför undervisningens innehåll och form och Stein et al. (2008) fem
praktiker är synliga i deras undervisning. För de lärare som inte arbetar utifrån kollegialt lärande tar de till viss del stöd av de fem praktikerna, men då främst utifrån att ge stöd för lektionens form. Alla lärare ser att det är en utmaning i att arbeta med problemlösningsförmågor. I resultatet framkommer att lärare i mycket liten utsträckning låter eleven träna förmågan i att formulera egna problem.
This phenomenographic study is studying teachers experiencing the phenomenon of teaching of problem solving after they participated in a Boost for mathematics. The selection for the study is teacher for grades 4-6 and grades 7-9 who all worked with a module of problem solving. The data is based on a survey basis which is supplemented with eight interviews. For teachers’ learning the results show that those who are no longer working on the basis of collaboral learning, today create their own forms of organization. For teachers who are working from continuing collegial learning, the work on the Boost for mathematics basis model continues, but in some cases there are qualitatively changing elements. For problem solving teaching results show that teachers hold a critical approach to the teaching’s content and form and Stein et al. (2008), five practices are visible in their teaching.
Teachers who do not work on the basis of collaboral learning, take to some extent support by the five practices, primarily based on providing support for the lesson shape. All teachers see that it is a challenge to work with problem-solving abilities. The result shows that the teachers in very small degree allows students to practice problem posing.
Nyckelord/Keywords
Problemlösning, undervisning, kollegialt lärande, lärares lärande, förmågor, fenomenografi
Innehåll
1. Inledning ... 1
1.1 Att lära utifrån ett matematiklyft ... 1
1.2 Studiens disposition ... 2
2. Tidigare forskning ... 2
2.1 Lärares lärande ... 2
2.2 Problemlösningsundervisning ... 3
2.3 Problemlösning som förmåga och kompetens ... 5
3. Fenomenografi ... 7
3.1 Forskningsobjekt ... 7
3.2 Erfarenhet, medvetande och lärande ... 8
3.3 Fenomenografisk analys ... 8
3.4 Syfte och forskningsfrågor ... 9
4. Den empiriska studien ... 10
4.1 Urval ... 10
4.2 Genomförande och forskarens förhållningssätt ... 11
4.3 Analysverktyg ... 12
4.3.1 Modus ... 13
4.3.2 Generationer ... 13
4.3.3 Zoner ... 13
4.4 Resultatets karaktär ... 14
4.5 Objektivitet, validitet och reliabilitet ... 14
4.6 Etiska ställningstaganden ... 15
5. Resultat ... 16
5.1 Resultat av hur lärare erfar kollegialt lärande ... 16
5.2 Resultat av hur lärare erfar sin problemlösningsundervisning ... 19
5.2.1 Innehåll och form ... 20
5.2.2 Förberedelser ... 22
5.3 Resultat av hur lärare erfar förmågor knutna till problemlösningsundervisning .... 23
5.4 Sammanfattande resultat ... 26
5.4.1 Kollegialt lärande ... 26
5.4.2 Problemlösningsundervisning ... 26
5.4.3 Problemlösningsförmågor ... 27
6. Diskussion ... 28
6.1 Lärares erfarande av kollegialt lärande ... 28
6.2 Lärares erfarande av problemlösningsundervisning ... 30
6.3 Lärares erfarande av problemlösningsförmågor ... 32
6.4 Metoddiskussion ... 33
6.5 Resultatets användbarhet och vidare forskning ... 34 Referenslista ... 35
Bilagor ... 39
Förord
Nu lämnar jag skrivprocessen för denna studie. Det har varit en mycket lärorik och intressant tid på många olika sätt. Tack till er respondenter som gav av er tid och gjorde det möjligt för mig att genomföra mitt arbete.
Ett varmt tack till min handledare Kerstin som lugnt, tålmodigt och med fingertoppskänsla visat mig vägen.
Tack Jorryt för att du lyssnat och gett av din tid för att reflekterat kring mina funderingar.
Tack Mia för ditt engagemang och hjälp i att finna vägen in i respondenturvalet.
Tack Lena för dina vänliga ord när du troget stöttat mig då jag har haft behov av att få bolla mina tankar.
Jag upplever att jag är omgiven av många fina vänner. Tack för att ni, ingen nämnd och ingen glömd, på olika sätt har stöttat mig under denna resa.
Slutligen ett varmt tack till Staffan, Erik och Gustav, min familj. Jag är tacksam för att just ni är min familj!
Camilla
1
1. Inledning
Under de senaste åren har en fortbildningssatsning i matematik genomförts, ett uppdrag av Regeringen till Skolverket. Målet efter utbildningen var att lärare i högre utsträckning skulle ge en mer varierad undervisning. En undervisning anpassad till elevers förkunskaper och intresse. Läraren skulle lämna den ensidiga procedurhantering och höja undervisningens kvalité i matematik (Skolverket, 2011b).
Detta blev startskottet för matematiklyftet, en långsiktig fortbildningssatsning inom
matematikdidaktik. I delutvärderingen (2014) av matematiklyftet ges inget detaljerat svar på hur undervisning i ett specifikt ämnesinnehåll uppfattas av de lärare som deltagit. Denna studie berör lärares lärande och deras arbete med undervisning i problemlösning. Studiens syfte är att se hur lärare erfar sin undervisning i problemlösning efter att man deltagit i ett matematiklyft.
1.1 Att lära utifrån ett matematiklyft
Meningen med matematiklyftet var att skapa en förändrad undervisningskultur och fortbildningskultur och ändamålet var att stärka elevers måluppfyllelse i matematik (Skolverket, 2012a). Ellström (2005) talar om att när organisationer utvecklar ett sätt att tala om situationer visar det sig att dessa tanke- och handlingsmönster kan formas till rutiner som i sin tur på sikt kan komma att fastställas. Förändring i undervisningskulturen, som skulle bli synlig efter denna fortbildning, var bland annat att kollegialt lärande skulle implementeras (Skolverket, 2012a).
Matematiklyftet har utvecklats av forskare och lärarna genomförde denna utifrån kollegialt lärande med hjälp av en handledare. Helenius et al. (2015) skriver att modellen för matematiklyftet har tre kärnkomponenter, vilka interagerar med varandra. Beslut kring en av komponenterna påverkar de övriga två. Innehållet ser till vilket innehåll lärarna behöver och hur det relaterar till det lärarna redan kan. Uppgifter väljs utifrån att lärare ska se väsentligheten av att delta i dem samt att de är
konstruerade så att kontext och artefakter samverkar. Relationer ser till vilka förhållanden som är nödvändiga mellan modulskapare och lärare, lärare och lärare samt lärare och elever. I matematiklyftet hade lärarna möjlighet att välja innehåll utifrån vad som fanns att tillgå på lärportalen. Det var moduler som till exempel berörde geometri, språk i matematik och problemlösning. Modulerna var skrivna specifikt för olika stadier och skolformer. En modul bestod av 8 delar och varje del var därefter indelad i 4 moment. I moment A skulle lärarna läsa in sig på didaktisk litteratur och vid moment B diskuterade man i lärargruppen dessa texter samt planerade för en gemensam aktivitet. Vid moment C genomfördes lektionerna och moment D var en uppföljande gruppdiskussion och analys av genomförd lektion. I modulen för problemlösning är huvudbudskapet att ett problem ska kunna lösas på flera olika sätt och att lärare ska anpassa problemlösningsuppgiften utifrån elevens kunskapsmässiga nivå och erfarenhet (Karlsson & Palmér, in press). Urvalet för denna studie var lärare som undervisar i åk 4-6 och 7-9 samt deltagit i matematiklyftet. Ser man till problemlösningsmodulens innehåll för åk 4-6 och åk 7-9, skiljer sig rubriker emellan, men innehållsmässigt liknar de varandra trots skilda stadier.
Något som skiljer stadierna åt är att åk 4-6 i en del arbetar med att eleverna ska träna förmågan att formulera egna problem, vilket inte lyfts fram på samma sätt för åk 7-9. Åk 7-9 har däremot en del som explicit arbetar med det didaktiska kontraktet, vilket åk 4-6 saknar för denna modul. Det är en utmaning att arbeta med problem eftersom problemlösningsuppgiften i sig står i relation till den elev som ska arbeta med den. En problemlösningsuppgift kan inledningsvis vara ett problem, men vid ett
2
senare tillfälle visa sig vara en rutinuppgift. Det beror på att när en elev har mött ett problem förändras arten på denna aktivitet (Doorman, Drijvers, Dekker, Van den Heuvel-Panhuizen, De Lange & Wijers, 2007).
I delutvärdering av matematiklyftet (Skolverket, 2014) visar det sig att denna fortbildning har varit mycket uppskattad och gett förutsättningar för lärarna att utveckla sin undervisning. De upplever att deras ämnesdidaktiska kunskaper har ökat, att de gör medvetna val inför sina undervisningssituationer samt att de fått fler metoder att använda i sin undervisning. Ett avtryck av denna fortbildning har varit att det kollegiala samtalet har stärkt lärarnas engagemang inför ett fortsatt arbete inom kollegialt lärande.
1.2 Studiens disposition
I det inledande kapitlet görs en kort beskrivning av matematiklyftet. Kapitel 2 är en
litteraturgenomgång vars underrubriker berör lärares lärande, problemlösningsundervisning och problemlösning som förmåga och kompetens. Denna studie utgår från en fenomenografisk ansats och detta är centralt i avsnitt 3. Fenomenografin beskrivs utifrån forskningsobjekt, centrala begrepp så som erfarenhet, medvetenhet och lärande. Vidare lyfts tankar kring fenomenografisk analys för att därefter avsluta avsnittet med att berätta om studiens syfte och forskningsfrågor. Den empiriska studien karaktär och innehåll berättar jag om i avsnitt 4. Inledningsvis ger jag en överblick över studiens karaktär för att därefter mer ingående beskriva studiens urval, genomförande, analysmetod, och beskrivning av resultatens karaktär. Jag avslutar denna del med att reflektera kring begreppen objektivitet, validitet, reliabilitet samt de etiska ställningstaganden som varit nödvändiga för denna studie. I avsnitt 5 följer resultatet av denna studie, vilket ger en bild av hur lärare erfar att
problemlösningsundervisning kan se ut efter deltagande i ett matematiklyftet. I resultatet utgår jag från de aspekter som lärare erfar har betydelse för fenomenet undervisning i problemlösning så som lärares lärande, problemlösningsundervisning och problemlösningsförmåga. I en avslutande del sammanfattas resultatet kring dessa aspekter. I kapitel 6, diskuteras resultatet utifrån forskningsfrågorna vilket därefter följs av en metoddiskussion samt reflektioner kring denna studies användbarhet.
Avslutningsvis lyfter jag fram frågor för vidare forskning.
2. Tidigare forskning
Dispositionen av detta avsnitt blir att lyfta fram vad tidigare forskning säger kring lärares lärande, problemlösningsundervisning och problemlösning som förmåga och kompetens.
2.1 Lärares lärande
För att underlätta lärares lärande måste vi förstå den process som gynnar att lärare ges möjlighet att växa i sin profession och vilka villkor som främjar denna tillväxt (Clarke & Hollingsworth, 2002).
Lärares lärande gynnas av att i sitt arbete fokusera kring ett par aspekter. Dels behöver man se till vilka man behöver samarbeta med. Likaså behöver man sätta upp tydliga mål för sitt samarbete.
Samarbetsklimatet behöver vara gott och tillåtande och utifrån det behöver man ha gemensamma
3
ramar, begreppsspråk och social kompetens. Lärares lärande utvecklas om man upprätthåller goda relationer och arbetar för ett förtroende lärare emellan. Viktigt är även att man klargör vem som har vilka ansvarsområden (Thousand, Villa, & Nevin, 2006).
Inom matematiklyftet diskuterar lärarna innehållet med hjälp av handledare. Handledaren ger
återkoppling och inspel vid diskussionen så att lärarna upplever att de utvecklas. Olika metoder finns att tillgå för utveckling av lärares lärande så som aktionsforskning, learning-study och lesson-study (Skolverket, 2012b). Inom lesson study, som matematiklyftet refererar till, lyfter man fyra delar som har betydelse för elevers lärande. Det första är att lärare formulera lärandemål som man i ett andra steg kollegialt planerar kring. Det tredje steget blir att genomföra undervisningen. En undervisning som observeras och analyseras. Slutligen sker i det kollegiala arbetet en avslutande reflektion som i sin tur generar utvecklingstankar inför kommande undervisning (Groves, Doig, Widjaja, Garner, & Palmer, 2013). Tanken är att arbeta för en didaktisk utveckling där man ser till hur man på bästa sätt lär och erfar matematik. Läraren ska vara observant på att inte alltför allsidigt fokusera på att problemet ska få sin lösning utan se till vilken matematik eleven upplever och lär (Berg, Fuglestad, Goodchild, &
Sriraman, 2012). Om en metod ska inverka på elevernas lärande, behöver lärare ha en djupare
förståelse för varför en viss metod kanske kan vara bättre och när den kan användas. Timberley (2008) påpekar att praktisk klokhet behöver förbättras och förståelse för detta utvecklas i klassrummet
tillsammans med eleverna.
Gemensam planering är krävande. Det krävs att man på skolnivå och på egen hand tar ansvar för att lärares lärande ska ge resultat. Man behöver redan på universitetsnivå förbereda lärarstudenter och ge dem utbildning i effektiva samarbetsplaneringar och undervisningsmetoder (van Bommel, 2012). På skolnivå behöver man fortlöpande erbjuda yrkesmässig utveckling så den gemensamma planeringen stödjer olika elevers möjligheter att lyckas. Lärarens roll är komplex, utmanande och spännande och det ligger i lärarnas ansvarar att hålla sig à jour med utveckling inom skolans område både vad gäller kunskap och färdigheter (Thousand et al., 2006). För de som deltagit i matematiklyftet visar
delutvärderingen (2014) att lärare i högre grad reflekterar över den egna undervisningen. De har fått fler undervisningsmetoder, ökad kunskap i matematikdidaktik samt ett ökat engagemang för kollegialt lärande. För att undervisningskulturen nu ska utvecklas på lång sikt är det betydelsefullt att det kollegiala lärandet får fortsätta. Ellström (2005) talar om utförandets- och utvecklingens logik.
Utvecklingens logik fokuserar på idéutveckling för att förbättra och vidareutveckla nuvarande verksamhet medan utförandets logik fokuserar på att förverkliga nya tankar och idéer i praktisk verksamhet och båda behövs för att säkra verksamhetens utveckling. Långsiktigt kan båda dessa logiker vara väsentliga för en verksamhet för dess överlevnad och utvecklingskraft. En utmaning är däremot att finna en lagom balans och fördelning mellan satsningar på kortsiktiga resultat så som i utförandets logik och långsiktig utvecklingskraft som utvecklingens logik främjar.
2.2 Problemlösningsundervisning
Inom forskning om problemlösning studeras olika intresseområden så som skillnaden mellan olika typer av problem, vilka kognitiva funktioner och färdigheter problemlösningsuppgifter kräver.
Ytterligare forskning finns som visar på varianter av problem som fokuserar på betydelsen av de ämneskunskaper som krävs för det givna problemet. (Verschaffel, Depaepe & Van Dooren, 2014).
Problemuppgifter kännetecknas av att inte vara uppgifter av rutinartad karaktär utan en uppgift som man vid första anblicken inte vet hur man ska lösa (Verschaffel, Depaepe & Van Dooren, 2014;
Taflin, 2007). Lester (2013) beskriver att problemlösning är en verksamhet som kräver att eleverna
4
engagerar sig i en mängd olika kognitiva åtgärder, vilka i sin tur kräver viss kunskap och färdighet som inte är av rutinartad karaktär.
Problemlösning är därför konsten i att hantera ett problem som ännu inte har en känd, rutinmässig lösningsstrategi men som ger eleven möjlighet att utveckla nya lösningsstrategier (Taflin, 2007).
Aspekten av ett problem är knutet till den person som konfronteras med problemet. Ett problem kan idag vara ett problem för en elev, men imorgon utgöra aspekten av att vara en rutinuppgift. Detta kan förstås utifrån att när en elev har arbetat med problemet kommer problemets karaktär att förändras (Doorman et al., 2007).
Taflin (2007) beskriver problemlösning som en verksamhet som leder till många olika kunskaper och färdigheter. Problemuppgifter kan till sin prägel vara olika så som textuppgifter, benämnda uppgifter eller vardagsuppgifter. I dessa uppgifter omges det matematiska symbolspråket med text och textens syfte är att ange en matematisk modell. Här får man vara observant på vad som gör uppgiften till ett problem, det matematiska innehållet eller språket (Taflin, 2007). Vidare kan problem ha karaktären av att vara öppna uppgifter. Dessa öppna uppgifter har aspekten att kunna skapa flera möjliga lösningar (Sullivan, Griffioen, Gray, & Powers, 2009). Taflin (2007) har formulerat kriterier för problem som ska leda till matematisk medvetenhet och specifik kunskap. De problem som uppfyller detta benämns som rika problem och de kännetecknas av att introducera viktiga matematiska idéer, vara lätta att förstå, utmanande, kunna lösas på flera olika sätt, initiera en matematisk diskussion, fungera som brobyggare samt leda till att man skapar nya intressanta problem. Så, för att bli en framgångsrik problemlösare krävs att eleven har erfarenhet i att lära sig att lösa problem, kunskapsinnehåll, färdighet i att använda en mängd olika representationsformer och förmåga att känna igen och konstruera mönster (Lester, 2013).
Silver (1997) talar om att matematiska aktiviteter är intimt sammanvävda med kreativitet. I sin forskning visar han på hur det kreativa sammanlänkas då eleven löser och formulerar
problemuppgifter och att en lärare bör arbeta utifrån en matematikundervisning som till sin karaktär är undersökande. Så för att bli en skicklig matematiker behöver eleven träna kontinuerligt över en längre tid. Att som lärare använda sig av kvalitativa problemuppgifter räcker inte som mål för en god
undervisning. Läraren behöver ha kunskap om det matematiska innehållet och väva samman det med läroplanens syfte (Hill & Charalambous, 2012). Fyra praktiska principer lyfts fram för att möta eleven i dess lärsituation. Läraren behöver vara medveten om det innehåll som ska läras. Läraren måste ta en analytisk hållning till de fenomen som ska läras ut. Läraren måste se till att eleverna visar sina erfarenheter av lärande och läraren måste använda uppgifter som är integrerade i elevers
erfarenhetsvärld (Booth, 1997). Men det är inte enbart kunskap om ämnesinnehåll och pedagogik som krävs för att kunna bedriva god undervisning utan även om kunskap om lärandets innehåll (Ball, Thames, & Phelps, 2008; Liljekvist & van Bommel, 2013). Lärarens mål med problemuppgiften behöver vara väl genomtänkt. Där problem verkar som ett medel för att lära matematiska begrepp och metoder krävs av läraren att vara kunnig i att lyssna, observera och analysera eleven i sin
arbetsprocess. För att kunna göra detta behöver läraren välja och designa bra problemuppgifter, vara bekant med vilka metoder elever använder sig av, lyssna och observera, ställa de rätta frågorna vid rätt tillfälle samt veta när man ska kliva in eller hålla inne en kommentar. Läraren behöver även skapa ett gott klassrumsklimat för undersökande och skapande verksamhet. Läraren behöver veta vad som ska göras men även när det passar in. Vad som i det här skiljer en hantverkare från en novis är på vilket sätt planering och reflektion sker (Lester, 2013). Stein, Engle, Smith och Hughes (2008) påpekar att genom planering kan lärare förutse troliga elevlösningar och i och med det förbereda sig inför elevernas svar och strukturera elevers presentationer med tanke om att stödja deras matematiska
5
lärande. Tanken är att lärare med denna planering bättre ska vara förberedd inför de matematiska diskussionerna. Arbetet utgår specifikt från fem praktiker vilka är att förutse sannolika lösningar men även finna kritiska aspekter kring den problemlösningsuppgift som ska arbetas med. Vidare blir lärarens uppgift att överblicka elevens svar under det att eleverna arbetar med sina uppgifter för att därefter välja ut de elevpresentationer som klassrumsdiskussionen kan bygga på. Lärarens uppgift blir här att ordna elevpresentationerna på ett målmedvetet sätt för att kunna lyfta fram matematiska samband och kopplingar mellan elevernas lösningar med tanke om att belysa de viktigaste
matematiska idéerna. Dessa fem praktiker är tänkta att utgöra ett stöd för lärare i sin planering inför och under lektioner med tanke om att skapa bättre matematiska diskussioner. Tanken är även att detta ska vara något man successivt tränar in under en längre tid. Eleven behöver i sin undervisning få arbeta med problem där delar av träningen handlar om att man resonerar, utvecklar begreppsförståelse, tränar färdigheter samt bygger kunskap genom att se samband från tidigare kunskap och nytillkommen kunskap. Genom att använda ett undersökande förhållningssätt i matematikundervisningen kan lärarna hjälpa eleverna att utöka sin repertoar i strategi, flexibilitet och kreativa metoder (Silver, 1997).
Undervisning är en komplex verksamhet. Lärarnas ögonblickliga beslut om lektionens innehåll och process formas av flera faktorer, vilket inkluderar lärarnas kunskaper och deras föreställningar om vad som är viktigt att lära, hur eleverna lär sig, och hur man hanterar eleven beteende och hur man ska möta de yttre kraven (Timberley, 2008). Att arbeta med problemuppgifter kräver i många fall en förändrad undervisningskultur sett till vad kanske både elev och lärare är vana vid. Sociomatematiska normer kan lyfta aspekter av hur läraren strukturerar sin lektion eller organiserar elevgrupper. För elever kan sociomatematiska normer komma att utmanas i mötet mellan eleven och dem tänka matematiska problemuppgiften (Sánchez & García, 2014). Cobb (2004) menar att lärare behöver ta hänsyn till den process där elevernas nya identiteter i matematikklassrummet kan, över tiden, innebära förändringar i deras känsla över vem de är eller vem de vill bli (Cobb, 2004).
2.3 Problemlösning som förmåga och kompetens
I läroplanen lyfts fem centrala förmågor fram formulera problem och lösa problem, använda och analysera matematiska begrepp, välja och använda lämpliga metoder, föra och följa resonemang samt använda matematiska uttrycksformer (Skolverket, 2011 a). Läroplanen beskriver problemlösning både som ett mål och en strategi (Karlsson & Palmér, in press).
I det danska KOM-projektet talar man om de åtta kompetenserna. Dessa åtta kompetenser är indelade i 2 huvudgrupper och man lyfter även att kompetenser har beröringspunkter med varandra, se figur 1.
Dessa kompetenser kan sedan ses utifrån tre dimensioner utifrån vilken utsträckning eleven behärskar dessa kompetenser, vilka benämns som täckningsgrad, aktionsradie samt teknisk nivå. Täckningsgrad avser att beskriva hur många aspekter av något som en elev förfogar över. Aktionsradien avser att lyfta fram i vilka olika situationer eleven kan använda förmågorna och teknisk nivå beskriver på vilken avancerad nivå förmågan används i olika situationer (Undervisningsministeriet, 2002).
6
13
/./"3&/ /3t
i sin problemlösningskompetens än en som också kan lösa problem inom geometriom- rådet.
Den tekniska nivån hos en kompetens beskriver i hur begreppsligt eller tekniskt avancerade situationer som kompeten- sen kan aktiveras. En person som med nå- gon lämplig metod bara kan lösa polynom- ekvationer av grad 1 har lägre teknisk nivå på sin symbol- och formalismkompetens än någon som också kan behandla ekvatio- ner av grad 2.
Undersökande och produktiv
De olika kompetenserna har alla två sidor, en undersökande och en produktiv sida.
Den produktiva sidan av kompetenserna handlar om att kunna utföra de handling- ar som kompetensen innefattar.
Den undersökande sidan handlar om att kunna förstå, analysera och kritiskt bedöma redan utförda processer. Obser- vera att även detta är aktiva handlingar som den som besitter kompetensen skall kunna utföra.
Att fråga och svara i,
med om matematik Att använda språk och
redskap i matematik
Representations- kompetens
Symbol- och formalism- kompetens
Kommunikations- kompetens
Hjälpmedels- kompetens Resonemangs-
kompetens Modellerings-
kompetens Problemlösnings - kompetens
Tankegångs- kompetens
Figur 1 Bild av KOM-projektets åtta kompetenser. (Helenius, s.13, 2006)
Kilpatrick, Swafford och Findell (2001) beskriver matematisk kompetens utifrån fem kompetenser begreppsförståelse, procedur förmåga, strategisk förmåga, bearbetningsförmåga och produktiv disposition. Förmågorna ses inte heller här separerade utan är tätt sammanflätade och beroende av varandra då eleven ska utveckla sina matematiska färdigheter. I båda dessa verk lyfts
problemlösningsförmågan fram även fast den benämns på olika sätt så som problemlösningskomptens eller strategisk förmåga. I denna studie kommer vi använda begreppet problemlösningsförmåga.
I en situation där eleven ska lösa och hantera ett problem krävs ett målinriktat beteende av eleven eftersom hen behöver finna en mental representation som leder fram till att finna metod och strategi för att lösa problemet (Metallidou, 2009). Eleven behöver i sin problemlösningsförmåga ha ett flexibelt och produktivt tänkande och flexibiliteten utvecklas genom att eleven breddar sin kunskap i att lösa problem. Ett flexibelt tillvägagångssätt nämns som den huvudsakliga kognitiva förmågan man behöver för att lösa problem (Kilpatrick et al., 2001). Problemuppgifter gör att eleven tränar flexibilitet som för framtiden gynnar ett livslångt lärande (Metallidou, 2009). Flexibiliteten kan ta sig uttryck i att eleven behöver finna, skapa och justera sin metod. Det produktiva tänkandet i sin tur kräver att eleven kommer på ett sätt för att förstå och lösa problemet. För att eleven ska kunna hantera
problemlösningsförmågan är det nödvändigt att eleven har en samverkan mellan begreppsförståelse samt flyt i sitt tillvägagångssätt. På samma sätt kräver utveckling av problemlösningsförmågan en motiverande, stimulerande kontext för lärande (Kilpatrick et al., 2001).
Ytterligare en aspekt av problemlösningsförmågan är den språkliga. Matematiska instruktioner är precisa, kortfattade och sekventiellt uppbyggda. Så för att eleven ska bli självständig behövs att de inom problemlösningsförmågan ges möjlighet att träna läs- och studieteknik (Cobb, 2004; Hubbard,
7
1990). Det språkliga bygger inte bara på att man behöver förstå utan den språkliga förmågan har även betydelse för skriftlig, muntlig och inlyssnad kommunikation (Taylor & McDonald, 2007). Eleven behöver inom olika representationer kunna kommunicera sina tankar och lösningar. Läraren bör skapa en kontext där förväntningar skapas av att eleven producerar kreativa lösningar som diskuteras och stimulerar den kommunikativa förmågan i problemlösning (Taflin, 2007). Om man låter elever formulera egna problem samverkar elevens förmåga att lösa problem med förmågan att skapa egna problem. Goda problemlösare skapar fler matematiska problem som innehåller ett mer komplext innehåll (Silver & Cai, 1996). Lester (2013) visar på att vi vet väldigt lite om hur man kan förbättra elevernas metakognitiva färdigheter. Han lyfter att det är viktigt att framgångsrika problemlösare kan reglera sitt kognitiva beteende, men det saknas forskning som visar på att elever kan lära sig dessa beteenden.
3. Fenomenografi
Fenomenografi används inom kvalitativ empirisk forskningsinriktning. En forskning som innefattar olika inriktningar beroende på vilket slags fenomen man fokuserar på (Andersson, 2000).
Forskningsmetoden utvecklades via Göteborgs universitet för att studera hur människor förstår och uppfattar ett specifikt fenomen, objekt. Uppfattningen tolkas då utifrån ett erfarenhetsperspektiv där objektet ses som en relation mellan subjekt-objekt, relation mellan människan och dess omvärld.
Målet med en fenomenografisk studie är att på ett kvalitativt sätt tydliggöra och beskriva på vilket sätt man i variation erfar ett visst fenomen. Så inom fenomenografin försöker man finna variation och variationens konstruktion på de aspekter som definierar fenomenet. (Marton & Booth, 2000). Vi talar här till största del om kvalitativt innehåll, men även kvantitativt innehåll kan utforskas
fenomenografiskt. Beskrivningar bearbetas då via olika kvalitativa sätt utifrån hur det kvantitativa innehållet kan förstås (Dall’Alba et al., 1989). I denna studie kommer både kvantitativa och kvalitativa dataunderlag ligga som grund för den fenomenografiska analysen.
3.1 Forskningsobjekt
Forskningsobjektet kan beskrivas inom första och andra ordningens perspektiv av detta fenomen. I den första ordningens perspektiv är ett fenomen avgränsat och här finns ingen variation, vilket kan liknas vid ett konstaterande, ett uttalande om den fysiska världen eller om en speciell situation. Ett andra ordningens perspektiv är inte på förhand avgränsande. Beskrivningar i andra ordningens perspektiv innebär att orientera sig mot hur andra förstår aspekter av världen (Emanuelsson, 2001). Intervjufrågor avgränsar innehållet för frågan och intervjusvaret ger upphov till både förståelse för bakgrund samt uttryck för olika erfarande. Andra ordningens perspektiv tar uttalandet som en startpunkt för att därifrån utforska en persons förståelse av ett fenomen. Som intervjuare placerar man sig i
respondentens plats och försöker se situation och fenomen utifrån dennes perspektiv (Marton & Booth, 2000). Intervjuaren och respondenter är internt relaterade till ett gemensamt objekt, men uppenbart är att objektet kan uppfattas på olika sätt. Intervjuaren kan inte med säkerhet veta hur respondenter uppfattar det givna objektet men han eller hon har som avsikt att noggrant återge deras tänkbara sätt att
8
erfara (Emanuelsson, 2001). Som forskare behöver man ta ett steg tillbaka och lämna sitt eget erfarande av fenomenet, men samtidigt använda det för att lyfta fram ett varierat sätt att förstå det (Marton & Booth, 2000).
Inom fenomenografins teori finns centrala begrepp så som, erfarenhet, medvetande och lärande. I kommande avsnitt lyfter jag fram hur man ser dessa begrepp för att visa det perspektiv som senare blir belyst i analysen.
3.2 Erfarenhet, medvetande och lärande
Fenomenografi kan ses som innehålls-orienterad då innehållet som erfars ska ses som en integrerad del av något som ska förstås (Dall’Alba et al., 1989). Världen, aspekt av världen eller förståelseakten betraktas inom en icke-dualistisk ontologi där människa och värld är internt relaterade. Att erfara något är på så sätt ett samband mellan individen och omvärlden (Emanuelsson, 2001). Vi människor har tillgång till den värld vi erfar, en liten erfaren del av den kompletta världen. Inom fenomenografin söks skillnader i människor förmåga att erfara och samtidigt finns en medvetenhet om att vi inte kan beskriva ett erfarande i sin helhet. Tanken med icke-dualistisk ontologi är att den värld du eller jag befinner oss i är en erfaren värld av just oss som enskilda personer. Världen som beskrivs är alltid någons värld och forskaren beskriver alltid en annan persons erfarenhet av denna värld. Att erfara fenomenet är begränsat och i vårt medvetande urskiljer vi en variation av en begränsad mängd
aspekter av fenomenet, men vi ska inte se det som det enda som erfars eftersom nya vetenskapliga rön kan generera nya sätt att se på fenomenet (Marton & Booth, 2000).
Inom fenomenografin bildas det som erfars till en uppfattning, ett medvetande (Kroksmark, 2007).
Utanför vårt medvetande finns ett fält av erfarna aspekter som relaterar till objektet och benämns som den inre horisonten (Marton & Booth, 2000). Den inre horisonten är inte direkt utan ett för-givet- tagande som vi inte i första hand undersöker. Ett exempel är när vi står framför ett hus. Vi varseblir husets framsida, men vi upplever att huset har saker som vi inte direkt ser till exempel en baksida.
Detta är ett resultat av våra tidigare erfarenheter av hus (Kroksmark, 2007).
Fenomenografin riktar sig mot lärande så som att man lär sig att erfara, erfara fenomen och situationer.
Lärande kan därefter analyserar efter två aspekter vad-aspekten och hur-aspekten (Marton & Booth, 2000). Vad-aspekten syftar på det direkta objektet vilket exempelvis kan vara en stol, matematiskt bevis, kunskap eller ämnesinnehåll. Hur-aspekten visar på de processer som leder fram till vad- aspekten. I en analys består en uppfattning av en intentional akt, vilket menas med att medvetandet är riktat mot något speciellt. Hur-aspekten är den aspekt i den intentionala akten som man i en analys utgår ifrån och som framhåller förbindelsen till vad-aspekten (Kroksmark, 2007).
3.3 Fenomenografisk analys
I fenomenografisk analys, vilket kan ses som en hermeneutisk process, är resultaten forskarens beskrivningar av andras beskrivningar av ett fenomen. Den fenomenografiska analysmetoden vilar i huvudsak på intervjutsagor där man tolkar och organiserar utsagor i åtskilda uppfattade kategorier (Andersson, 2000; Dall’Alba et al., 1989). I analysen söker man i respondentens svar kvalitativa likheter och skillnader i hur de förstår fenomenet. Mönster av likheter och skillnader samlas därefter i beskrivande kategorier, som bearbetas vid upprepade tillfällen i en samverkande process där de beskrivande kategorierna slutligen blir det sökta resultatet (Andersson 2000; Carlsson, Fulop, &
9
Marton, 2001). I resultatet beskrivs helhet utifrån sina delar, aspekter och komponenter samt relationerna dessa emellan. Man tittar efter interna relationer vilket handlar om vad olika fenomen eller delar av ett fenomen betyder för varandra (Andersson 2000).
I en analysprocess är den forskande en lärande som utifrån fenomenet söker struktur och mening.
Forskarens bild blir genom en abduktiv process mer tydlig och genererar ny struktur där nya aspekter framträder. En abduktiv process kan beskrivas som en växling mellan induktion och deduktion.
Induktion ses som att data genererar teoretiska modeller och deduktion ses som det motsatta att en idé prövas mot det empiriska materialet. Abduktionens process blir att en ytlig idé går mot en djupare teori som prövas mot data. Detta förlopp sker i flera cykliska processer (Emanuelsson, 2001).
Beskrivningskategorier som träder fram ur den abduktiva processen innefattar välavgränsade grupper av fenomenets aspekter samt förbindelser dem emellan bildar det man kallar utfallsrum. I analys fokuserar man på ett av objektets aspekter och via denna aspekt finna olika omfattningar av variation.
Inom fenomenografin lyfter man fram att för att ett fenomen ska ges möjlighet att separeras behöver det finnas en variation som går att observera och fenomenografin fokuserar på denna variation.
Variationen ska avslöjas och man finner den genom kvalitativt skilda kategorier utifrån att det finns olika möjligheter att erfara ett fenomen (Marton & Booth, 2000). Kategorierna lyfts fram i en
hierarkisk form som visar på nivåer av förståelse och samband mellan uppfattningar (Dall’Alba et al., 1989). En utmaning är att avgöra när man anser sig ha urskilt och kategoriserat de huvudsakliga aspekterna hos det fenomen man studerar. Johansson (2009) menar att om man ser ett fenomen med nya ögon samtidigt som man känner igen vissa drag anses man som forskare vara på rätt väg.
3.4 Syfte och forskningsfrågor
Denna studie undersöker lärares erfarande av fenomenet undervisning i problemlösning. Utifrån ett något längre perspektiv visar studien på hur lärare nu idag erfar sin undervisning i problemlösning, det kollegiala lärandet samt hur lärare erfar de förmågor som undervisning i problemlösning knyter an till.
Det avgränsade syftet med studien är att beskriva variationen i hur lärare erfar undervisning i problemlösning efter att man deltagit i ett matematiklyft.
• Hur erfar lärare ett kollegialt lärande efter det att man har deltagit i matematiklyft?
• Hur erfar lärare sin problemlösningsundervisning efter att man deltagit i matematiklyft?
• Hur erfar lärare förmågor, relaterade till problemlösningsundervisning?
Studiens inramning består av ett urval lärare som deltagit i matematiklyftet samt genomfört modulen problemlösning. Mitt empiriska material grundar sig på lärare som är verksamma i årskurs 4-6 och 7- 9. Studien utgår från en inledande enkät som därefter följts av lärarintervjuer och det empiriska materialet utgår från att återge lärarnas erfarande. Fenomenografin har sin grund i att beskriva
fenomen i världen så som andra betraktar dem, och att blotta och beskriva variationen av detta (Marton
& Booth, 2000). I den här studien är jag intresserad av att se undervisning i problemlösning utifrån objekten lärares lärande, problemlösningsundervisning och problemlösningsförmågor. I resultatet beskrivs dessa objekt utifrån beskrivningskategorier av modus, generationer och zoner. Studien visar på lärares erfarande kring fenomenet undervisning i problemlösning med tanke om att hos läsaren skapa tanke och reflektion.
10
4. Den empiriska studien
Tidigare forskning lyfter fram vad som är väsentligt för att lärares lärande ska nå kvalité och varaktighet. Likaså lyfter forskning fram centrala aspekter för undervisning i problemlösning och komplexiteten kring elevens utveckling av sin problemlösningsförmåga. Denna fenomenografiska studie undersöker hur lärare erfar sin undervisning i problemlösning utifrån att man deltagit i ett matematiklyft. Studien utgår från enkät kombinerat med fördjupade intervjuer. Enkätens ändamål blir att fånga lärares uppfattningar kring kollegialt lärande, problemlösningsundervisning och
problemlösningsförmågor vilket sedan berikas av efterföljande intervjuer. Både enkät och intervju ligger som grund för den efterföljande analysen. Analysen sker utifrån en abduktiv process i ett andra ordningens perspektiv som i det efterföljande resultatet lyfter fram lärares beskrivningar av fenomenet undervisning i problemlösning. Flermetodsforskning kan ha argumentet mot sig att kvantitativ och kvalitativ forskning står för olika paradigm, men kombination av kvantitativ och kvalitativ forskning kan ses utifrån att det verkar för en utveckling av forskningsinstrumentet (Bryman & Nilsson, 2011).
Utifrån det empiriska materialet försöker jag beskriva lärares olika erfarande för undervisning i problemlösning. Larsson (2010) reflekterar kring nyttan med fenomenografiska studier och visar på att dessa kan öppna upp för förändring och reflektion.
4.1 Urval
I en fenomenografisk studie strävar man efter ett urvalsunderlag som tillför nya uppfattningar. Urval för enkät och intervju är inte slumpvis vald utan respondenter är relevanta till studiens syfte (Larsson, 2010). Fenomenografins tanke med att beskriva variationen i sätt att erfara får betydelse för urvalet av intervjupersoner. Urvalet ska här kunna beskriva en så stor variation som möjligt (Andersson, 2000).
Emanuelsson (2001) tillägger att i den stund man gör ett urval på detta sätt för man in en variation av datagenerering på ett kontrollerat sätt.
För denna undersökning har jag sökt lärare som deltagit i matematiklyftet. Alla moduler oavsett inriktning berör i någon del problemlösning men jag har begränsat urvalet genom att söka de lärare som arbetat med modulen vars hela inriktning är problemlösning. För mitt syfte har det haft betydelse att få möta lärare som för två år sedan deltog i matematiklyftet och jag önskar se vad som kan bli bestående över tid i hur de erfar sin undervisning i problemlösning.
I denna studie begränsade jag urvalet till lärare som undervisar åk 4-6 eller 7-9 och för att nå mitt urval av lärare tog jag kontakt med Skolverket. De godkände min förfrågan om att få ta del av vilka lärare som deltagit i matematiklyftet och som genomfört modulen problemlösning. Arbetsgången genom Skolverkets dokument blev att först se vilka handledare som ansvarat för modulen problemlösning för åk 4-6 och åk 7-9. Nästa steg blev att söka de skolor som handledaren ansvarade för. I det tredje steget sökte jag via skolans skolkod de lärare som deltagit i denna handledningsgrupp. För att säkerställa att enkäten skulle komma till lärare som fortfarande undervisade i matematik för angivet stadium sökte jag via skolans hemsida om lärarna fortfarande var verksamma inom ämne och stadium.
Genom enkäten sökte jag nå lärare som kunde tänka sig att ställa upp på en intervju. Responsen var låg, vilket gjorde att jag kompletterade med ett snöbollsurval. I ett snöbollsurval låter forskaren initialt söka kontakt med ett antal personer som är relevanta för undersökningens tema och använder därefter dessa personer för att söka kontakt med ytterligare respondenter (Bryman & Nilsson, 2011).
11
Sammanfattningsvis har urvalen och begränsningar för denna studie gjorts med tanke om att få ett empiriskt material vars variation lyfter fram hur lärare erfar fenomenet undervisning i problemlösning.
4.2 Genomförande och forskarens förhållningssätt
Datainsamlingen utgick från en webbenkät för att därefter följas upp med lärarintervjuer. Innan webbenkäten, som konstruerats via Artologik, Survey & Report, skickades ut gjorde jag ett par pilotenkäter för att se att jag kunde hantera dataprogrammet men även för att få en uppfattning om urvalet av frågor kunde vara relevant för min undersökning.
Den slutliga enkäten skickades ut med ett flertal påminnelser. Enkäten för årskurs 4-6 skickade ut till 100 respondenter med en svarsfrekvens på 24 lärare. För årskurs 7-9 var respondentutskicket till 53 lärare varav 23 lärare skickade in sina svar. Enkätfrågorna hade som mål att få en uppfattning om hur lärare erfor det kollegiala lärandet utifrån dess form och innehåll. Vidare ställdes frågor kring hur lärare uppfattade sin undervisning i problemlösinng. Underlag för dessa frågor utgick från vad kursplanen säger att problemlösning ska beröra, se bilaga 1. Urvalet av frågor var samma för åk 4-6 samt för åk 7-9, men jag skickade dem via två separata utskick.
Via enkäten försökte jag nå lärare som kunde tänka sig att medverka i en intervju. Responsen var låg på denna förfrågan. Endast en respondent från enkätutskicken kunde tänka sig att delta i en intervju.
Jag sökte istället intervjurespondenter via kontakter som jag personligen hörde av mig till via mail.
Utifrån de kontakter jag fick positiv respons från bad jag sedan dem om hjälp i att söka fler respondenter. Totalt fick jag på detta sätt tag på 8 lärare som kunde tänka sig att delta i en intervju.
Dessa 8 respondenter har inte genomfört enkäten.
Det genomfördes 9 intervjuer. 5 intervjuer med lärare för årskurs 4-6 och 4 intervjuer var med lärare för årskurs 7-9. Utifrån intervjuunderlagets frågor, se bilaga 2, försökte jag få lärares beskrivningar kring hur de erfar sin undervisning i problemlösning, vad som för undervisningen är gynnsamt samt vad som krävs av elever och lärare för att arbeta med problem. Intervjuerna försökte även lyfta fram vad lärare anser ha betydelse för undervisning i problemlösning då man arbetar utifrån kollegialt lärande. En intervju kunde inte användas eftersom det vid intervjutillfället framkom att det som urvalet grundade sig på inte stämde för denna respondent. Anledningen till att intervjuunderlaget plockades bort var att hen inte längre undervisade i matematik. Så resultatet vilar i slutskedet på enkätunderlag samt 8 genomförda intervjuer, 4 för varje stadium.
Intervjuerna genomfördes och spelades in via webbforumet Adobe Connect. I 4 fall hade respondenten svårigheter med att delta i detta webbforum, men det löstes genom att jag istället gjorde en inspelad telefonintervju. Intervjuformen var semistrukturerad och flexibel vilket innebär att intervjuaren har en uppsättning med frågor, men respondenten har stor frihet att utforma svaren på sitt eget sätt (Bryman
& Nilsson, 2011). Min strävan är att kunna visa på att vara en hantverksskicklig intervjuare, vilket syftar på att jag som intervjuare visar på kunnighet samt vet vad jag inom ämnet är ute efter, ställer tydliga frågor och håller en god struktur, visar mig vänlig och öppen för vilka aspekter för
intervjuämnet som är viktiga för respondenten samt under intervjun lyckas klargöra och vidga
respondentens uttalanden. I den semistrukturerande intervjun har jag ett antal frågor att utgå från, men syftet är att via uppföljningsfrågor och sonderande frågor ge respondenten möjlighet att berika sitt svar. Tystnaden är även den ett viktigt inslag i intervjun. Genom att tillåta tystnad visas respekt för respondenten på så sätt att hen får tid att associera och reflektera för att sedan på egen hand få möjlighet att bryta tystnaden med betydelsefull information (Kvale & Brinkmann, 2014). Inom
12
fenomenografisk forskning är det intervjuaren som konstruerar frågorna, vilka står i relation till forskningsfrågorna. Under datainsamlingen, som här är i form av intervju, är den särskilda aspekten den intervjuade som reflekterar över sitt erfarande utifrån vad man kan kalla ett meta-medvetande eftersom den intervjuade lyfter fram sitt och är medveten och sitt medvetande kring undervisning i problemlösning (Marton & Booth, 2000).
Kvalitativa forskare är intresserade av vad och hur respondenten lägger fram sina tankar. Jag som intervjuare är medskapare av intervjun utifrån det att jag inte samlar ihop uttalanden utan genom frågor leder fram till aspekter av ämnet som intervjupersonen kommer att ta upp. Analysen av en intervju fogas samman mellan respondentens berättelse till det som jag som skribent lägger fram i detta arbete (Kvale & Brinkmann, 2014). Man bör vara medveten om att analysen påverkas av de frågor som ställs. Problemformuleringar kan vara avgränsande mot den bakgrund utifrån vilken man försöker uppfatta fenomenet. Samtidigt påverkas problemformuleringen av den position som forskaren har samt av forskarens ambitioner och föreställningar om resultatens karaktär (Johansson, 2009). Min uppgift blir att ha ett kritiskt förhållningssätt och urskilja det väsentliga. I min intervju är målet att jag vill förstå. Inför intervjun är jag medveten om att jag och min respondent kliver in med en
förförståelse. Min teoretiska utgångspunkt gör att jag vill ställa vissa frågor. Vi kliver in med olika förståelsehorisonter och via intervjun utvecklas och fördjupas min förståelse. Detta betyder inte att vi behöver ha samma förståelse men vi har tagit del av varandras perspektiv.
Efter intervjutillfällena följde transkriberingsarbetet. Emanuelsson (2001) påpekar att transkriberat tal innebär att man förvandlar det talade språket till text. Transkriberingen är på så sätt ofullständig med avseende på det samtal som genomförts vid intervjutillfället. Jag gjorde transkriberingarna med tanke om att bevara betydelsen av det som sägs och transkriberingsarbetet genomfördes i huvudsak i direkt anslutning till den genomförda intervjun. Kvalitativa forskare är intresserade av vad och hur
respondenten säger något (Bryman & Nilsson, 2011). Utifrån det har mina transkriberingar gjorts i strävan av att exakt skriva ned det som blev sagt. Efter transkriberingen blev min uppgift att tolka de svar jag hade fått. Här möts praktisk och teoretisk förståelse. Mitt mål är att nå en
horisontsammansmältning mellan det praktiska och det teoretiska i strävan av att nå en djupare förståelse samtidigt som jag behöver vara medveten om att jag kan behöva ompröva min egen tolkning.
4.3 Analysverktyg
I avsnitt 3.3 beskrivs den abduktiva processen, objekt och beskrivningskategorier vilka är begrepp som ligger till grund för denna studies analys. I analysen studerar jag varje intervju i sin helhet för att förstå helheten. Vid inläsningen gjordes anteckningar, sammanställningar intervjuerna emellan för att se mönster. Inledningsvis utgick jag enbart från fenomenet undervisning i problemlösning, men efter några cykler sparade jag förtätade delar av varje intervju utifrån väsentliga delar. Jämförelse och tolkning av delarna visade på ett centralt objekt och dess underliggande aspekter resulterade i beskrivningskategorier. Objekten som blir underordnat fenomenet undervisning i problemlösning är lärares lärande, problemlösningsundervisning samt problemlösningsförmågor.
Genom inläsning av litteratur sökte jag finna stöd för beskrivningskategorier kring dessa objekt för att i resultatet kunna visa på variation och hierarki. Beskrivningskategorierna som objekten lutar sig mot är både resultatgrundande och litteraturgrundade och de beskrivs utifrån modus, generationer och zoner.
13 4.3.1 Modus
När något blivit praxis inom en organisation innebär det att det under en längre tid har utvecklats kloka sätt att utföra uppgifter på och att detta formats till rutiner och repetitiva handlingar (Ellström, 2005). Lärares lärande innebär att undervisningen hamnar under lupp och utifrån det kan eventuell förändring genomföras både inom lärares lärande och undervisning. Røvik (2008) visar på en praktik där organisationers utveckling kan beskrivas utifrån fyra översättningsregler kopiering, addering, strukturering och omvandling. Konsekvenserna av dessa översättningsregler kan visa sig på olika sätt så som svag omformning till omfattande omformning, vilka kan kategoriseras utifrån tre modus så som reproducerande modus, modifierade modus och radikalt modus. I ett reproducerade modus betonar man som regel kopiering. I ett modifierat modus är man trogen till originalet, men man lägger till eller drar ifrån vissa element. Slutligen i ett radikalt modus tillåter man sig att utforma egna och lokalt anpassade modeller. I denna studie ser jag till vilken variation av modus som lärare erfar kring lärares lärande och undervisning i problemlösning.
4.3.2 Generationer
Stein, Engle, Smith och Hughes (2008) menar att diskussion är en nyckelfaktor för bra
matematikundervisning och visar på en förändringsorienterad undervisning där undervisningen består av tre faser introducera, utforska och helklassdiskussion. I den första generationen av detta arbetssätt var lärarens roll av att bygga matematiska idéer otydliga. Tonvikten låg på att använda kognitivt utmanande uppgifter och under helklassdiskussion fokuserade man på att elevernas lösningar blev lyssnade på, ”visa och berätta”. I den andra generationens arbetssätt blev inriktningen att använda elevers utvecklade lösningar för att introducera klassrumsdiskussionen där läraren leder mot ett matematiskt tänkande. Denna förändringsorienterade undervisning leder sedan vidare mot de fem praktiker som skulle utgöra ett stöd för lärarens planering förutse, överblicka, välja ut, ordna och koppla ihop. Dessa fem praktiker utgjorde en grund inom matematiklyftets problemlösningsmodul med tanke om att stimulera undervisningens diskussion och lärande. Att förutse innebär att läraren i sin inledande planering försökte förutse vilka lösningar eleven kunde tänkas göra, både korrekta och inkorrekta. Då läraren överblickar finns uppmärksamheten på elevens matematiska tänkande när eleven arbetar med problemuppgiften. Utifrån denna överblick väljer sedan läraren ut och ordnar de elevlösningar som är lämpliga för helklassdiskussionen där målet är att visa på ett visst matematisk innehåll. Läraren har här möjlighet att i klassrumsdiskussionen låta eleven se matematiska kopplingar i relation till de strategier som använts samt vara behjälplig i att bedöma konsekvenserna av valda metoder och strategier. Så istället för att ha en diskussion med presentation av hur ett problem kan lösas på olika sätt är målet att få elevernas presentationer att samverka för att utveckla kärnfulla matematiska idéer (Stein et al, 2008). Efter att lärare deltagit i matematiklyftet tittar denna studie på hur lärare nu erfar sin undervisning i problemlösning utifrån dessa generationer.
4.3.3 Zoner
Emanuelsson (2001) visar i sin teoribildning kring kunnande på att objektet kan visa sig utifrån olika karaktärer, zoner. Emanuelsson benämner dessa zoner som stoffzonen, konceptuella-zonen samt proceduriella-zonen. Stoffzonen är faktabetonad och ser till undervisningens innehåll. I den
konceptuella-zonen sker en analys eller syntes kring objektet medan den proceduriella-zonen är av mer allmän karaktär som ser till hur läraren riktar formen på sin undervisning mer än till dess innehåll.
Zonerna kan ses separerade mellan varandra, men inom undervisning sker även skiften inom dessa zoner. Man talar här om en vertikal förflyttning på så sätt att till exempel stoffet öppnar upp för den
14
konceptuella analysen genom att analyseras och eventuellt leda mot en generalisering av flera stoff.
Ytterligare en riktning kan beaktas och det är den horisontella vilken syftar på att objektets miljö skiftar exempelvis kan objektet som presenteras i skolkontext förflyttas till en annan situation eller tillämpning inom vardagslivet. I denna studie lyfts lärares erfarande inom dessa zoner.
4.4 Resultatets karaktär
Utifrån beskrivningskategorierna har jag sökt variation och mönster för studiens resultat. Slutligen är min strävan att finna logik i mitt resultat då jag försöker se analysens resultat i relation till tidigare forskning och teoretiska perspektiv.
Resultatredovisning använder illustrerande tabeller och citat. Citaten ska inte ses som försök att bevisa att min analys är riktig, utan just som illustrationer.
I resultatet får vi ta del av 8 lärares beskrivningar. Lärarna symboliseras i citaten med en bokstav.
Lärare B, D, G och H arbetar med elever i åk 4-6 medan lärare A, C, F och E arbetar med elever i åk 7-9.
I enlighet med resonemangen ovan om förståelse i analysen gör jag inte anspråk på att ha den enda rätta tolkningen, men jag har strävat efter trovärdighet i mitt försök att nå den just nu och med min utgångspunkt bästa möjliga förståelsen. För att göra citaten mer läsbara har jag vid några tillfällen bearbetat dem genom att till exempel reviderat upprepningar och talspråk med tanke om att göra det som sagts mer lättförståeligt.
4.5 Objektivitet, validitet och reliabilitet
Vad som kan betraktas som sanning knyts an till begreppen objektivitet, validitet och reliabilitet. Inom fenomenografin talar vi om en omvärld som existerar utifrån vårt kunnande. De beskrivningar vi gör är både subjektiva och objektiva. Både objekt och subjekt bidrar med mening. (Emanuelsson, 2001).
En forskares hantverksskicklighet och förmåga att ifrågasätta sina tolkningar, överväganden och resultat är avgörande för giltigheten av en kvalitativ studie (Mårtensson, 2015). Den kvalitativa intervjun är en objektiv undersökningsform där man får ta hänsyn till flera perspektiv på begreppet objektivitet (Kvale & Brinkmann, 2014). Hantverksskicklighet innebär att forskaren håller sig objektiv till det material som ligger till grund för studien och låter sin egen intressesfär stå tillbaka. I denna studie studeras hur lärare erfar kring undervisning i problemlösning. Mina egna värderingar är inte relevanta utan måste ställas utanför och bekräftas där bekräftelse syftar på förmågan att ha kontroll över värderingar så att det inte påverkar undersökningen på ett avgörande eller skevt sätt (Bryman &
Nilsson, 2011). Men utifrån reflexiv objektivitet kommer denna studie innehålla reflektioner från min egen erfarenhet med syfte av att bidra med kunskap. Objektiviteten inom reflexiv objektivitet betyder att man är objektiv i förhållande till subjektiviteten (Kvale & Brinkmann, 2014).
Validitet handlar om hur metoden undersöker vad den påstår sig undersöka (Emanuelsson, 2001).
Trovärdigheten, den interna validiteten visar på hur troliga och sannolika resultaten är vilket inbegriper att forskningen utförs utifrån de regler som finns (Bryman & Nilsson, 2011). Validering, kvalitetskontroller, bör ske under hela forskningsprocessen under det att kunskapsproduktionen växer fram. Här är strävan att utöva en hantverksskicklighet av att kontrollera, ifrågasätta och teoretisera (Kvale & Brinkmann, 2014). Att använda flera metoder för en undersökning så kallad triangulering är ett sätt att stärka och bekräfta resultatet. I triangulering förknippas den ena forskningsstrategin och
15
dubbelkontrolleras mot det resultat som hör till den andra forskningsstrategin (Bryman & Nilsson, 2011). Denna studie bestod av en inledande enkät med efterföljande intervjuer. Karaktären på enkätens frågors berördes även i de uppföljande intervjuerna med tanke om att förtydliga lärares erfarande av fenomenet undervisning i problemlösning. Trianguleringen planerades i den initiala fasen med syfte av att ge ett berikande och fylligt resultat och allteftersom resultat växte fram vägde jag enkätsvar
gentemot intervjuunderlag mot varandra i flera cykler.
Reliabilitet syftar på tillförlitligheten huruvida ett resultat kan upprepas vid andra tidpunkter av andra forskare utifrån samma metod (Emanuelsson, 2001). Studiens överförbarhet, extern reliabilitet, syftar på att undersökningen kan replikeras (Bryman & Nilsson, 2011). En central idé inom fenomenografi är att när väl kategorierna är funna ska de i en replikation av undersökningen kunna användas av andra forskare utifrån samma data eller ny data, men man bör ha i åtanke att strikt replikation inte alltid är rimlig (Carlsson et al., 2001). Larsson (2009) menar att studier som genomförs i det förflutna är svåra att argumentera för att ingenting har förändrats. Denna studie är begränsad till ett enkätunderlag samt ett antal intervjuade respondenter vilka alla delger sina erfarenheter kring studiens frågeställningarna.
Strävan är här att nå ett djup där jag har fokus på det unika i kontexten samt på meningen eller betydelsen av det valda fenomenet (Bryman & Nilsson, 2011). Reliabiliteten ställs på prov utifrån det frågeunderlag som finns för denna studie och man behöver kritiskt granska och se om man på ett omedvetet sätt ställt ledande frågor som kan komma att påverka reliabiliteten. Vid de genomförda intervjuerna har jag utgått från samma frågeunderlag och mitt förhållningssätt har varit objektivt och neutralt för att i så stor utsträckning som möjligt inte påverka respondentens beskrivningar.
Man kan ställa sig frågan om sanningshalten i en fenomenografisk studie. Även om det finns tveksamheter kring att ha lyft fram det mest typiska för studien så har vi identifierat variationen som ger oss möjlighet att känneteckna hur en person erfar ett fenomen (Marton & Booth, 2000). Min strävan är att vara noggrann i min analys, men jag inser att resultatet är endast tillfälligt tills annan studie visar på förändringar över detta resultat.
4.6 Etiska ställningstaganden
Inför de respondenter som besvarat enkät samt deltagit i intervju behövde jag visa respekt. Respekten kan bland annat visas genom att man är medveten om de etiska ställningstaganden som studien ställs inför. Etiska ställningstaganden handlar om att finna en balans mellan olika intressen, vilka alla är legitima. Här kan nämnas två begrepp kunskapsintresset och integritetsintresset. Kunskapsintresset är intressant då ny kunskap är värdefull på så sätt att det kan bidra till utveckling för individ och
samhälle. Integritetsintresset är viktigt då respondenten har rätt till integritetsskydd (Hermerén, 2011).
Så i strävan att bidra till ny kunskap behöver dessa båda intressen samverka i god balans.
I en studie finns etiska behov av att respondenten avidentifieras för att respondentens identitet inte kan komma fram utifrån de svar som visas i resultatet. I denna studie avidentifierades personer som svarat på enkät eller som deltagit i intervju. Enkätens redovisade mätningar går inte att relatera till person och i de fall man relaterar ett intervjusvar används enbart en anonym bokstav.
Förutom enkät bestod denna studie av inspelade intervjuer. Här uppkommer etiska ställningstaganden som behövde tas i beaktning. Vid inspelning var det viktigt att respondenten informerades om studiens syfte samt ett samtyckeskrav (Hermerén, 2011). Urvalet av lärare fick via mail presentation och information om studiens syfte innan de utifrån egen fri vilja valde om de ville besvara enkäten eller inte.
16
Enkätens sista fråga var om de kunde tänka sig att ställa upp på en inspelad intervju. Jag presenterade intervjufrågornas karaktär. Lärarna fick även information om deras rättigheter till anonymitet och konfidentialitet samt att de hade den fria viljan att avbryta intervjun om de så önskade. Jag fick inte stor respons på denna intervjuförfrågan. Istället sökte jag respondenter via kontakter och
snöbollsurval. Via mailkontakt fick dessa personer samma information vad gällde frågornas karaktär samt att jag berör anonymitetskrav, konfidentialitetskrav och att de har den fria viljan att avbryta intervjun om de så önskade. Både i den inledande informationen om intervjun och vid intervjutillfället fick respondenten information om att det var frivilligt att delta och att man när man så önskade kunde avbryta intervjun. Information gavs även om att den intervjuade skulle förbli anonym samt att jag kommer göra mig av med dataunderlaget då denna studie är färdigställd.
När jag i analysen beskriver vad som erfars eller inte erfars kan det uppfattas som att jag nedvärderar lärarnas verksamhet. Detta är inte min tanke. Min tanke är istället att visa på kontrastering som visar på olika betydelser, vilket jag önskar ska bidra till kunskapsutveckling.
5. Resultat
Studiens syfte är att se hur lärare erfar undervisningen i problemlösning efter det att man deltagit i ett matematiklyft. Resultatet inleder med att lyfta lärares uppfattningar kring sitt kollegiala lärande utifrån om det finns kvar eller inte samt till vilken form och innehåll det nu utgår från. Lärarintervjuerna A, B, F och G arbetar fortfarande kvar utifrån ett kollegialt lärande medan C, D, E och H inte gör det.
Därefter berättar resultatet hur lärare erfar sin undervisning i problemlösning vilket introduceras med lärares uppfattning kring problemlösningsbegreppet och läromedelsinnehåll. Resultatet skildrar även hur lärare erfar sin undervisning utifrån de förmågor som undervisning i problemlösning berör.
Avslutningsvis sker en sammanfattning av resultaten.
5.1 Resultat av hur lärare erfar kollegialt lärande
Resultat av enkäten visar att lärare för åk 7-9 i högre utsträckning arbetar med kollegialt lärande jämfört med lärare för åk 4-6, se tabell 1. I de intervjuer som genomfördes var däremot ingen skillnad stadierna emellan om man arbetade utifrån kollegialt lärande eller inte.
Tabell 1 Kollegialt lärande.
Arbetar ni utifrån kollegialt lärande Ja Nej
Åk 4-6 (n = 24) 54,2 % 45,8 %
Åk 7-9 (n = 23) 73,9 % 26,1 %
För de som inte arbetar utifrån ett kollegialt lärande uppfattar lärare att det beror på hur man nu måste prioritera innehållet för ämnesträffarna eller att det är avsaknad av samarbetsmöjligheter. Man visar här på att arbeta utifrån ett radikalt modus där man inte utgår från givna arbetsformer utan skapar egna.
17
C: Allt fick stå åt sidan. Nu har vi möten en gång per vecka men de ska innehålla allt. Spontant blir det att man delar uppgifter.
D: Nej vi jobbar inte med kollegialt lärande. Det skulle jag inte säga att vi gör Jag hade gärna sett att det vart en fortsättning. Jag vet att vissa skolor gick, ja det var en fortsättning och jag var själv från min skola. Från början var vi tre sen var vi två sen var jag ensam så jag hade inte nån och bolla med.
För de som fortsätter i ett kollegialt lärande finns en variation kring hur man hanterar ledarskap, tidsomfattning, innehåll.
Tabell 2 Ledarskap för kollegialt lärande.
Vem leder era träffar Vi har en extern ledare Ämnesansvarig Vi delar på ansvaret
Åk 4-6 (n = 13) 40 % 20 % 40 %
Åk 7-9 (n = 17) 5,6 % 72,2 % 22,2 %
Enkäten visar att det är en variation kring hur man löst ledarskapet för det kollegiala lärandet. För åk 7-9 är det i huvudsak den ämnesansvarige som står för ledarskapet. För åk 4-6 kan ämnesansvarig ha denna roll, men i större utsträckning delar lärarna på detta ansvar eller så finns en extern handledare, se tabell 2.
Tabell 3 Omfattningen för kollegialt lärande.
I vilken omfattning ses ni? 1 gång per vecka 1 gång varannan vecka 1 gång per månad
Åk 4-6 (n = 13) 38,5 % 38,5 % 23,1 %
Åk 7-9 (n = 17) 12,5 % 12,5 % 75 %
Enkäten pekar på att åk 4-6 har något tätare mellan sina träffar än vad åk 7-9 har, se tabell 3. Tankar lyfts i intervjuerna kring vad som är optimalt i antalet träffar per termin.
F: När det var på matematiklyftet träffades vi ju varje vecka och det är ju, inte riktigt optimalt. Jag skulle säga att varannan vecka är det optimala. I och med att det var uppgifter som skulle göras emellan var det inte alltid att det hanns med att ha en lektion. Så varannan vecka tycker jag är optimalt för en nå en måluppfyllnad.
Citatet ovan visar på ett kritiskt tänkande där man analyserat matematiklyftets form och modifierat till i lärarnas uppfattning ett mer kvalitativt arbetssätt.
Tabell 4 Innehållet för kollegialt lärande.
Innehållet för träffarna baseras på
Matematiklyftets moduler
Lärobokens progression
Eget valda didaktiska områden
Kursplanen
Åk 4-6 (n = 13) 40 % 0 % 46, 7 % 13, 3 %
Åk 7-9 (n = 17) 50 % 5 % 40 % 5 %
I de intervjuer som genomfördes visade det sig att de som fortsatte med kollegialt lärande utgick från antingen ett reproducerande modus eller ett modifierat modus på så sätt att man fortsatte med
matematiklyftets moduler eller att man skapade eget utifrån valda didaktiska områden, se tabell 4.
