Övningar i Automationsteknik FK

(1)

Ovningar i Automationsteknik FK ¨

Tidsdiskret reglering: Diskretisering av analoga regulatorer

3.1. Inf¨ors beteckningen i(t) =Rt

0e(τ )dτ s˚a blir Euler-bak˚at p˚a i(t) i(t) = i(t − h) + he(t), t = kh, k = 0, 1, 2, . . .

Egentligen bör man införa en annan beteckning för den tidsdiskreta signalen, t.ex. fsamplad(k) = f (kh), k = 0, 1, 2, . . . s˚a att rekursionen ovan kan skrivas

isamplad(k) = isamplad(k − 1) + he^samplad(k)

men av tradition och bekv¨amlighet undertrycks denna distinktion mellan tid- skontinuerlig och tidsdiskret signal s˚a att man medvetet slarvar genom att (n˚agot f¨orvirrande) helt enkelt bara skriva

i(k) = i(k − 1) + he(k) vilket tillsammans med

u(k) = K

e(k) + 1 Ti

i(k)

definierar den tidsdiskreta PI-regulatorn. Det finns ingen anledning att skriva om den rekursiva formeln (differensekvationen) för i(k) som en summa eftersom just rekursionen är den som används d˚a man ska koda sin PI-regulator (i = i + h*e). Observera att det som brukar kallas I-delen av PI-regulatorn egentligen utgörs av ^K_T_ii(k) och inte av i(k) själv.

3.2. Genom att betrakta den bak˚at-Eulerska varianten av en PI-regulator i(k) = i(k − 1) + he(k)

u(k) = K

e(k) + 1 Ti

i(k)

kan man direkt konstatera att K = 3 och Ti= 0.5.

3.3. Med bak˚at-Euler blir implementeringen i(k) = i(k − 1) + he(k) d(k) = e(k) − e(k − 1)

h u(k) = K

e(k) + Tdd(k) + 1 Tii(k)

(2)

vilket med v¨arden insatta blir:

i(k) = i(k − 1) + 0.02e(k) d(k) = e(k) − e(k − 1)

0.02 = 50(e(k) − e(k − 1)) u(k) = 2

e(k) + 0.05d(k) + 1 0.2i(k)

= 2e(k) + 0.1d(k) + 10i(k)

Z-transformen och tidsdiskreta ¨ overf¨ oringsfunktioner

3.4. Utan att titta i Z-transformtabellen erh˚alles Pe(z) =

∞

X

k=0

pe(k)z^−k= 1 · z⁻⁰= 1

3.5. Om tabell anlitas kan l¨osningen direkt skrivas upp som z^−d 1

1 − z⁻¹ = 1 z^d− z^d−1 Utan tabell g˚ar ocks˚a bra:

Z[se(k − d)] =

∞

X

k=0

se(k − d)z⁻^k =

∞

X

k=d

1 · z⁻^k=

∞

X

k^′=0

z⁻^(k^′^+d)=

= z^−d

∞

X

k^′=0

z^−k^′ = z^−d 1

1 − z⁻¹ = 1 z^d− z^d−1 3.6. Z-transformen blir

Z[(−1)^k] =

∞

X

k=0

(−1)^kz⁻^k=

∞

X

k=0

(−z⁻¹)^k = 1

1 − (−z⁻¹) = 1

1 + z⁻¹ = z z + 1

3.7.

Z[f (k)] = 5z⁻³(1 + z⁻¹+ z⁻²+ z⁻³+ z⁻⁴)

3.8.

Z[f (k)] =

∞

X

k=0

f (k)z⁻^k= 1 + z⁻²+ z⁻⁴+ · · · =

∞

X

k=0

(z⁻²)^k= 1

1 − z⁻² = z² z²− 1

3.9.

a.

Z[f (k)] =

∞

X

k=0

f (k)z⁻^k=

∞

X

k=0

(2^k−1)z⁻^k = 1

1 − 2z⁻¹− 1

1 − z⁻¹ = z z − 2− z

z − 1 =

(3)

= z

(z − 1)(z − 2) = z z²− 3z + 2 b.

Z[f (k)] =

∞

X

k=0

f (k)z^−k=

∞

X

k=0

0.5^kz^−k+

∞

X

k=0

0.2^k−4z^−k =

=

∞

X

k=0

(0.5z⁻¹)^k+ 0.2⁻⁴

∞

X

k=0

(0.2z⁻¹)^k= 1

1 − 0.5z⁻¹− 625 1 − 0.2z⁻¹ c.

Z[f (k)] = 5Z[pe(k−2)]+3Z[se(k−4)] = 5z⁻²+ 3z⁻⁴

1 − z⁻¹ = 5z⁻²− 5z⁻³+ 3z⁻⁴

1 − z⁻¹ =5z²− 5z + 3 z³(z − 1) 3.10.

Z f (k) − f(k − 1) h

= F (z) − z⁻¹F (z)

h = 1 − z⁻¹

h F (z) = z − 1 zh F (z) 3.11. Z-transformering av b˚ada leden ger

(1 − 3z⁻¹+ 2z⁻²)Y (z) = 1 ⇔ Y (z) = 1

1 − 3z⁻¹+ 2z⁻² = z² z²− 3z + 2 =

= z z

(z − 1)(z − 2) = z

2

z − 2 − 1 z − 1

= 2 z

z − 2− z z − 1 Invers Z-transformering av detta ger

y(k) = 2 · 2^k− 1, k ≥ 0

3.12. Z-tranformering ger

(1 − 1.2z⁻¹+ 0.35z⁻²)Y (z) = 2z⁻¹U (z) vilket ger ¨overf¨oringsfunktionen

H(z) = 2z⁻¹

1 − 1.2z⁻¹+ 0.35z⁻² = 2z

z²− 1.2z + 0.35 = 2z (z − 0.5)(z − 0.7) Polerna blir z = 0.5 och z = 0.7.

3.13. Omskrivning ger

(1 − 1.4z⁻¹+ 0.45z⁻²)Y (z) = (z⁻¹− z⁻²)U (z) Efter invers Z-transformation och lite omflyttning blir sambandet

y(k) = 1.4y(k − 1) − 0.45y(k − 2) + u(k − 1) − u(k − 2)

(4)

Diskretisering av tidskontinuerliga system

3.14. L˚at h beteckna samplingsintervallet a.

H(z) = 3 + 2h z − 1 b.

H(z) = 3 2

1 − e^−2h z − e⁻^2h c.

G(s) = 4

s(s + 2) = 2 s− 2

s + 2 =⇒ H(z) = 2h

z − 1−1 − e⁻^2h z − e⁻^2h =

= (2h − 1 + e⁻^2h)z + 1 − (1 + 2h)e⁻^2h

(z − 1)(z − e⁻^2h) = (2h − 1 + e⁻^2h)z + 1 − (1 + 2h)e⁻^2h z²− (1 + e⁻^2h)z + e⁻^2h d.

G(s) = 1 − s

(s + 1)(s + 3) = 1 s + 1− 2

s + 3 =⇒ H(z) = 1 − e^−h z − e⁻^h−2

3

1 − e^−3h z − e⁻^3h =

= (1 − e⁻^h)(z − e⁻^3h) −²3(1 − e⁻^3h)(z − e⁻^h) (z − e⁻^h)(z − e⁻^3h) = 1

3

(1 − 3e⁻^h+ 2e⁻^3h)z + 2e⁻^h− 3e⁻^3h+ e⁻^4h z²− (e⁻^h+ e⁻^3h)z + e⁻^4h

3.15. Av bekvämlighetsskäl väljes tabellmetoden.

H(z) = 2(1 − cos 2h) z + 1 z²− (2 cos 2h)z + 1 3.16. Tidsfördröjningen är 2 samplingsintervall s˚a att

H(z) = z⁻²4(1 − e⁻^2·2)

z − e⁻^2·2 ≈ z⁻² 3.93 z − 0.018

Kommentar: Den tidsdiskreta överföringsfunktionen har en pol mycket nära 0. Detta indikerar att tidskonstanten (T = 0.5 s) är mycket d˚aligt upplöst i denna l˚angsamma tidsskala (h = 2 s). Orsaken till detta är valet att anpassa samplingsintervallet till tidsfördröjningen (L = 4 s). Att välja ett kortare sam- plingsingsintervall förbättrar visserligen upplösningen av tidskonstanten men det ger ˚a andra sidan upphov till en större fördröjning d hos det tidsdiskreta systemet vilket höjer ordningen hos H(z).

3.17. Diskretiseringen blir

H(z) = 3(1 − e^−h/5) z − e⁻^h/5 a. h = 1 ger

H(z) = 3(1 − e⁻^0.2)

z − e⁻^0.2 ≈ 0.544 z − 0.819

(5)

b. h = 10 ger

H(z) = 3(1 − e⁻²)

z − e⁻² ≈ 2.594 z − 0.135 c. D˚a h → 0 g¨aller att

H(z) = 3(1 − (1 − h/5 + O(h²)))

z − (1 − h/5 + O(h²)) → 3h/5 z − 1 d. D˚a h → ∞ g¨aller att

H(z) → 3

z = 3z⁻¹

3.18. Med G(s) = _s+a^b blir den tidsdiskreta ¨overf¨oringsfunktionen b

a

1 − e⁻^ah z − e^−ah

Med h = 1 kan ekvationen e⁻â = 0.368 ställas upp vilket ger a = − ln 0.368 ≈ 1.0. Detta innebär i sin tur att b(1−e⁻¹) = 1.264 vilket ger b = 1.264/(1−e⁻¹) ≈ 2.0.

3.19. Med

G(s) = 3 1 + 0.5s och

H(z) = 31 − e⁻^h/0.5

z − e⁻^h/0.5 = 0.544 z − 0.819 blir h = 0.1 s.

3.20. Partialbr˚aksuppdelning av G(s) blir G(s) = a²

s²+ a² = a²

(s + ia)(s − ia) = 1 2

ia

s + ia+ −ia s − ia

Med ZOH-diskretisering avbildas detta p˚a H(z) = 1

2

1 − e^iah

z − e^iah+1 − e⁻^iah z − e^−iah

=1 2

(2 − e^iah− e⁻^iah)(z + 1)

(z − e^iah)(z − e^−iah) = (1 − cos ah)(z + 1) z²− 2 cos ah + 1 vilket skulle visas.

Egenskaper hos tidsdiskreta system

3.21. Först beräknas överföringsfunktionen:

H(z) = 2z⁻¹

1 − 0.5z⁻¹ = 2 z − 0.5

(6)

Amplitudfunktionen kan sen ber¨aknas som A(ω) = |H(e^iωh)| =

2 e^iωh− 0.5

=

2

cos ωh + i sin ωh − 0.5

= 2

p(cos ωh − 0.5)²+ (sin ωh)² =

= 2

pcos²ωh − 2 · 0.5 · cos ωh + 0.5²+ sin²ωh= 2

√1.25 − cos ωh Fasfunktionen blir

φ(ω) = arg H(e^iωh) = arg 2

e^iωh− 0.5 = − arg(cos ωh − 0.5 + i sin ωh) = f(ω) d¨ar funktionen f defineras som

f (ω) =







− arctancos ωh−0.5^{sin ωh} om ωh < π/3

−π/2 om ωh = π/3

−π − arctancos ωh−0.5^{sin ωh} om ωh > π/3.

och d¨ar 0 < ωh < π (f¨or att slippa vikning).

3.22. Den tidsdiskreta frekvensfunktionen ges av H(e^iωh) = 1

(eîωh)²− eîωh+ 0.25= 1 (eîωh− 0.5)²

Genom att utnyttja att |z|² = zz och att eîα = e^−iα kan amplitudfunktionen bekvämt beräknas enligt

A(ω) = |H(e^iωh)| =

1 (e^iωh− 0.5)²

= 1

|e^iωh− 0.5|² = 1

(eîωh− 0.5)(e⁻îωh− 0.5) = 1 1.25 − cos ωh Fasfunktionen blir inte mycket mindre bekväm att beräkna:

φ(ω) = arg H(e^iωh) = arg 1

(eîωh− 0.5)² = −2 arg(cos ωh−0.5+i sin ωh) = −2f(ω) med f (ω) som i föreg˚aende uppgift och där 0 < ωh < π.

3.23. Överföringsfunktionen är

H(z) = 0.6z⁻¹ 1 − 1.2z⁻¹+ 0.4z⁻²

Statiska förstärkningen blir allts˚a H(1) = _1−1.2+0.4^0.6 = 3. Ett mer intuitivt sätt att f˚a fram statiska förstärkningen är att direkt utg˚a fr˚an att sekvensen är stationär, dvs att u(k) = u0 och y(k) = y(k − 1) = y(k − 2) = y⁰. D˚a erh˚alles y0= 1.2y0− 0.4y⁰+ 0.6u0varav statiska förstärkningen y0/u0= 3.

3.24.

a. H(1) =_1+0.6−0.2^0.7 = 0.5 b. H(1) = 1−1+0.8−0.2^0.8+0.4 = 2

(7)

3.25.

a. Pol i z = −0.3 stabilt ty | − 0.3| < 1.

b. Schur-Cohn-Jury ger tabellen

1 −1.5 0.6 0.6 −1.5 1 0.64 −0.6

−0.6 0.64 0.0496

Eftersom 1 > 0, 0.64 > 0 och 0.0496 > 0 s˚a ¨ar systemet stabilt.

c. Schur-Cohn-Jury ger tabellen

1 −2 2 2 −2 1

−3 2

2 −3 5

Negativt tal i v¨ansterkolumnselementen ⇐ instabilt. Det g˚ar ocks˚a direkt att se att polerna 1 ± i vilka b˚ada har absolutbeloppet√

2 > 1.

d. Schur-Cohn-Jury ger tabellen

1 1 1 2

2 1 1 1

−3 −1 −1

−1 −1 −3

8 2

2 8

60

Eftersom det finns ett negativt tal bland ”vänsterkolumnen” (1 − 3 8 60)^T (bara förstakoefficienterna i de ”icke-speglade” raderna) s˚a är systemet instabilt eftersom minst en rot d˚a m˚aste befinna sig utanför enhetscirkeln. I detta fall

är detta ocks˚a möjligt att se eftersom produkten p1p2p3av de tre polerna är 2 (sistakoefficienten) s˚a d˚a m˚aste minst en av polerna ha ett absolutbelopp > 1.

3.26. Överföringsfunktionen för systemet är H(z) = 0.3z⁻¹

1 − 0.8z⁻¹ = 0.3 z − 0.8

˚Aterkopplat med u(k) = K(r(k) − y(k)) blir karaktersistiska ekvationen z − 0.8 + 0.3K = 0

s˚a att polen finns i z = 0.8 − 0.3K. För stabilitet krävs att polen befinner sig innanför enhetscirkeln dvs |z| < 1 vilket i detta fall innebär att −1 < 0.8 − 0.3K < 1 eller −0.2 < 0.3K < 1.8 dvs −2/3 < K < 6.

(8)

3.27. Tidskontinuerliga systemets överföringsfunktion är G(s) = 2

s + 1 Med ZOH-diskretisering erh˚alles

H(z) = 21 − e⁻^h z − e⁻^h

Med ˚aterkopplingen u(k) = K(r(k) − y(k)) ges den karakteristiska ekvationen av

z − e^−h+ 2K(1 − e^−h) = 0

Polens läge är d˚a z = e⁻^h− 2K(1 − e⁻^h). För att denna ska finnas i |z| < 1 m˚aste −1 < e⁻^h− 2K(1 − e⁻^h) < 1 eftersom det bara är en ensam (och därmed reel) pol. Detta villkor l˚ater sig översättas till att

−1 < 2K < 1 + e⁻^h

1 − e⁻^h ⇔ −0.5 < K < 0.51 + e⁻^h 1 − e⁻^h

med h = 0.2 s insatt kan den övre gränsen räknas ut s˚a att −0.5 < K < 5.017.

3.28. Denna g˚ang är det förstärkningen som är bestämd (K = 2) medan h är obestämd. Med utnyttjande av mellanresultatet −1 < e^−h− 2K(1 − e^−h) < 1 fr˚an förra uppgiften s˚a blir olikheten med K = 2 insatt

−1 < 5e⁻^h− 4 < 1 ⇔ 0.6 < e⁻^h< 1 ⇔ 0 < h < − ln 0.6 ≈ 0.5108

3.29. Karakteristiska ekvationen blir 1 + 0.6

z − 0.3K0.4z + 0.2 z − 1 = 0

vilket leder till polynomekvationen (z−0.3)(z−1)+0.6K(0.4z+0.2) = 0 eller z²+ (0.24K − 1.3)z + 0.3 + 0.12K = 0. Om man vill kan man använda Schur-Cohn- Jury eller ”Tustin”-Routh för att avgöra stabiliteten. Eftersom polynomet är av andra ordningen med parameterberoende i koefficienterna känns det bekvämare att använda ”stabilitetstriangeln” för polynomet z²+ a1z + a2= 0:

a2< 1 a2> a1− 1 a2> −a1− 1

Med a1= 0.24K − 1.3 och a2= 0.12K + 0.3 insatta i olikheterna ovan erh˚alles:

0.12K + 0.3 < 1

0.12K + 0.3 > 0.24K − 1.3 − 1 0.12K + 0.3 > −0.24K + 1.3 − 1

(9)

Dessa olikheter kan i sin tur skrivas om enligt:

0.12K < 0.7 2.6 > 0.12K 0.36K > 0

Eftersom den första av dessa olikheter är strängare än den andra erh˚alles villkoret för stabilitet:

0 < K < 0.7/0.12 ≈ 5.83

3.30. Det g¨aller att

G(s) = 3 s + 2

ZOH(h)

7−→ H(z) = 3 2

1 − e^−2h z − e⁻^2h

Med proportionell ˚aterkoppling med f¨orst¨arkningen K blir karakteristiska ekvationen

z − e^−2h+3K

2 (1 − e^−2h) = 0

vilket gör att polen blir p = e⁻^2h−^3K₂ (1−e⁻^2h). För stabilitet krävs att |p| < 1.

Eftersom detta handlar om en reel pol kan detta skrivas som −1 < p < 1 eller med uttrycket f¨or p insatt:

−1 < e⁻^2h−3K

2 (1 − e⁻^2h) < 1 (1) a. Med K = 2 kan olikheten (1) skrivas om som

−1 < e^−2h− 3(1 − e^−2h) < 1 ⇐⇒ 1

2 < e^−2h< 1

Endast den vänstra olikheten är intressant (gissa varför). Slutresultatet blir att h < ^{ln 2}₂ ≈ 0.367

b. D˚a K ¨ar obest¨amt kan olikheten (1) skrivas e⁻^2h− 1

1 − e⁻^2h = −1 <3K

2 < 1 + e⁻^2h

1 − e⁻^2h ⇐⇒ −2

3 < K < 2 3

1 + e⁻^2h 1 − e⁻^2h

h=0.693

≈ 1.11

c. I den h¨ogra olikheten till v¨anster om ekvivalenspilen ovan 3K

2 < 1 + e⁻^2h 1 − e⁻^2h

är högerledet alltid > 0 och g˚ar mot 1 d˚a h → ∞. Detta innebär att om K ≤ 2/3 kan olikheten inte uppfyllas för n˚agot h > 0. Lite mer noggrant kan man skriva om olikheten som

h < 1

2 ln3K/2 + 1 3K/2 − 1

vars högerled endast är definierat d˚a K > 2/3 dvs bara d˚a finns det n˚agon övre gräns för samplingsintervallet h.

(10)

Vikningseffekten (aliaseffekten)

3.31. Med fs = 48 kHz viks b¨orjan av ljudpulsen med sina 70 kHz ner till

”spökfrekvensen” |70 − 48| = 22 kHz vilken knappast kan höras av n˚agon mänsklig varelse. Observera att denna ligger strak under nyquistfrekvensen fs/2 = 24 kHz. Slutet av ljudpulsen viks däremot ner till |30 − 48| = 18 kHz vilken skulle kunna uppfattas av yngre personer med bra hörsel. En intressant observation är att vid svepet fr˚an 70 kHz ner till 30 kHz kommer fs= 48 kHz passeras. Den frekvensnervikta signalen kommer därför att svepa fr˚an 22 kHz ner till 0 Hz och därefter upp till 18 kHz. I mitten av svepet kommer allts˚a ganska l˚aga frekvenser att framträda i den samplade signalen även om pulsen

¨

ar s˚a kortvarig som 1/20 s (50 ms).

3.32. Med fs = 1/0.025 = 40 Hz kommer n¨atbrummet att vikas ner till frekvensen 50 − 40 = 10 Hz vilken kommer att synas i en logg av den samplade signalen.

Diskretiseringsmetoder

3.33. Med G(s) = _s+1¹ blir de olika diskretiseringarna

Euler-fram˚at: H(z) = G z − 1 h

= 1

z − 1 h + 1

= h

z − 1 + h

Euler-bak˚at: H(z) = G z − 1 zh

= 1

z − 1 zh + 1

= zh

(1 + h)z − 1

Tustin: H(z) = G 2(z − 1) h(z + 1)

= 1

2(z − 1) h(z + 1)+ 1

= h(z + 1) (2 + h)z − 2 + h

Impulssvarsinv.: H(z) = Z L⁻¹(G(s))

_t=kh = Z

L⁻¹

1 s + 1

_t=kh

=

= Z e⁻^t

t=kh = Z e⁻^kh = 1

1 − e⁻^hz⁻¹ = z z − e⁻^h Stegsvarsinv.: H(z) = z − 1

z Z

L⁻¹ G(s) s

_t=kh

=z − 1 z Z

L⁻¹

1

s(s + 1)

_t=kh

=

= z − 1 z Z

L⁻¹ 1

s − 1 s + 1

t=kh

= z − 1

z Z (1 − e⁻^t)θ(t)

t=kh =

= z − 1

z Z (1 − e^−kh) =z − 1 z

z

z − 1− z z − e⁻^h

= 1 − z − 1

z − e⁻^h =1 − e⁻^h z − e⁻^h

(11)

Rampsvarsinv.: H(z) =(z − 1)² zh Z

L⁻¹ G(s) s²

_t=kh

=

= (z − 1)² zh Z

L⁻¹

1

s²(s + 1)

_t=kh

=

= (z − 1)² zh Z

L⁻¹ 1 s²−1

s + 1 s + 1

t=kh

= (z − 1)²

zh Z (t − 1 + e⁻^t)θ(t)

t=kh =

= (z − 1)²

zh Z kh − 1 + e⁻^kh = (z − 1)² zh

zh

(z − 1)² − z

z − 1 + z z − e⁻^h

=

= 1 − z − 1

h + (z − 1)²

h(z − e^−h) = 1 −z − 1

h (1 − z − 1 z − e^−h) =

= 1 − z − 1

h (1 − e^−h

z − e⁻^h) =(1 − ¹h(1 − e⁻^h))z − e⁻^h+¹_h(1 − e⁻^h) z − e⁻^h

3.34. Med Euler-fram˚at som approximation blir den tidsdiskreta ¨overf¨oringsfunktionen H(z) = h

z − 1 + h

Polen ¨ar z = 1 − h s˚a f¨or h = 2 s blir systemet instabilt eftersom polen d˚a r˚akar vara −1.

Polplacering

3.35. Sambanden

Y (z) = B(z) A(z)U (z) U (z) = F (z)

C(z)R(z) −D(z) C(z)Y (z)

blir efter substitution av U (z) i den ¨ovre ekvationen Y (z) = B(z)

A(z)

F (z)

C(z)R(z) −D(z) C(z)Y (z)

vilket kan skrivas om som

(A(z)C(z)+B(z)D(z))Y (z) = B(z)F (z)R(z) ⇐⇒ Y (z) = B(z)F (z)

A(z)C(z) + B(z)D(z)R(z) 3.36. Eftersom A(z)C(z) + B(z)D(z) = P (z) kan slutna systemet beskrivas

med

Y (z) = B(z)F (z)

P (z) R(z) = KrB(z)

P (z) R(z) =: Hclosed(z) R(z)

Statiska förstärkningen för slutna systemet f˚as genom insättning av z = 1 i Hclosed(z):

1 = Hclosed(1) = KrB(1)

P (1) ⇐⇒ Kr=P (1) B(1)

(12)

3.37. Z-transformering ger f¨orst

Y (z) = 0.6z⁻¹ 1 − 0.7z⁻¹U (z)

vilket möjliggör identifiering av A(z) = 1 − 0.7z⁻¹ och B(z) = 0.6z⁻¹. Detta ger nA = 1 och nB = 1 vilket (enligt ”gradtalsregeln”) ger nC = nB− 1 = 0 och nD= nA− 1 = 0. Därför blir regulatorns polynom s˚a enkla som C(z) = 1 och D(z) = d0 (motsvarande P-reglering). Polynomekvationen blir

(1 − 0.7z⁻¹) · 1 + d00.6z⁻¹= P (z) = 1 − 0.5z⁻¹

vilket t¨amligen omg˚aende resulterar i att d0 = (−0.5 + 0.7)/0.6 = 1/3 ≈ 0.333.

Börvärdesförstärkningen beräknas sen som Kr= ^{P (1)}_B(1) =^1−0.5_0.6 = 5/6 ≈ 0.833.

3.38. Eftersom A(z) = 1 − 0.7z⁻¹och B(z) = 0.65z⁻¹+ 0.35z⁻² s˚a ¨ar nA = 1 och nB = 2. Utan integration i regulatorn v¨aljs nC= nB−1 = 1 och n^D= nA− 1 = 0 s˚a att regulatorpolynomen blir p˚a formen C(z) = 1+c1z⁻¹och D(z) = d0. Alla poler i −0.5 ger att P (z) = (1 − 0.5z⁻¹)² (ty nP = nA+ nB− 1 = 2).

Polynomekvationen A(z)C(z) + B(z)D(z) = P (z) ser d˚a ut s˚a h¨ar:

(1 − 0.7z⁻¹)(1 + c1z⁻¹) + (0.65z⁻¹+ 0.35z⁻²)d0= 1 − z⁻¹+ 0.25z⁻² Koeffecientekvationssystemet blir (f¨orutom den triviala ekvationen 1 = 1):

−0.7 + c¹+ 0.65d0= −1

−0.7c1+ 0.35d0= 0.25

med lösning d0= 0.04/0.805 ≈ 0.0497 och c1= −0.3 − 0.65d0≈ −0.332. Bör- värdesförstärkningen blir (om statiska förstärkningen för slutna systemet ska vara 1) Kr = P (1)/B(1) = (1 − 0.5)²/(0.65 + 0.35) = 0.25. Regulatorn kan skrivas p˚a formen C(z)U (z) = KrR(z) − D(z)Y (z) vilket i detta fall blir

(1 − 0.332z⁻¹)U (z) = 0.25R(z) − 0.0497Y (z)

Vitsen med detta är att det sen är lätt att skriva upp regulatorn p˚a en form som är lämplig för kodning i ett program:

u(k) = 0.332u(k − 1) + 0.25r(k) − 0.0497y(k)

Motsvarande C-kod blir ju d˚a u = 0.332*u + 0.25*r - 0.0497*y; eller p˚a n˚agot mer generaliserbar form u1 = u; u = 0.332*u1 + 0.25*r - 0.0497*y;

(sparande av gamla styrsignaler och ärvärden blir viktigt för regulatorer av högre ordning).

3.39. Med A(z) = 1 − 0.7z⁻¹ och B(z) = 0.6z⁻¹ blir nA = 1 och nB = 1.

Integration i regulatorn ger villkoret nC = nB = 1 och nD = nA = 1 dvs C(z) = 1 − z⁻¹ och D(z) = d0+ d1z⁻¹. D˚a nP = nA+ nB = 2 innebär alla poler i z = 0.5 att P (z) = (1 − 0.5z⁻¹)². Därför blir polynomekvationen AC + BD = P i detta fall följande:

(1 − 0.7z⁻¹)(1 − z⁻¹) + 0.6z⁻¹(d0+ d1z⁻¹) = 1 − z⁻¹+ 0.25z⁻²

(13)

Ekvationssystemet f¨or polynomkoefficienterna blir denna g˚ang

−1.7 + 0.6d⁰= −1 0.7 + 0.6d1= 0.25

vilket direkt ger d0= 0.7/0.6 ≈ 1.167 och d¹= −0.45/0.6 = −0.75. Börvärdes- förstärkningen blir Kr= P (1)/B(1) = (1−0.5)²/0.6 ≈ 0.417 (eller ännu enklare Kr= D(1) = d0+d1≈ 0.417 pga att regulatorn är integrerande (fundera själv ut varför detta gäller)). Regulatorn skrivs ˚aterigen p˚a den implementeringsvänliga formen C(z)U (z) = KrR(z) − D(z)Y (z):

(1 − z⁻¹)U (z) = 0.417R(z) − (1.167 − 0.75z⁻¹)Y (z) vilket kvickt och lätt översätts till

u(k) = u(k − 1) + 0.417r(k) − 1.167y(k) + 0.75y(k − 1)

3.40. Med A(z) = 1 − 1.3z⁻¹+ 0.4z⁻² och B(z) = 0.4z⁻¹+ 0.4z⁻² blir nC = nB − 1 = 1 och nD = nA − 1 = 1 varav ansatsen C(z) = 1 + c1z⁻¹ och D(z) = d0+ d1z⁻¹. Med alla poler i z = 0.2 och nP = nA+ nB − 1 = 3 blir P (z) = (1 − 0.2z⁻¹)³ vilket leder till att polynomekvationen A(z)C(z) + B(z)D(z) = P (z) i det aktuella fallet kan skrivas

(1−1.3z⁻¹+0.4z⁻²)(1+c1z⁻¹)+(0.4z⁻¹+0.4z⁻²)(d0+d1z⁻¹) = 1−0.6z⁻¹+0.12z⁻²−0.008z⁻³ Ekvationssystemet f¨or koefficienterna blir

−1.3 + c1+ 0.4d0= −0.6 0.4 − 1.3c¹+ 0.4d0+ 0.4d1= 0.12

0.4c1+ 0.4d1= −0.008

Det kan vara illustrativt att s¨atta upp detta ekvationssystem p˚a matrisform.

F¨or att tydligare se strukturen i ekvationssystemet medtages ¨aven den trivialt uppfyllda koefficentekvationen 1 = 1:







1 0 0 0

−1.3 1 0.4 0

0.4 −1.3 0.4 0.4

0 0.4 0 0.4











 1 c1

d0

d1







=





 1

−0.6 0.12

−0.008







Det finns naturligtvis flera vägar att lösa detta ekvationssystem men en väg är denna följd av radoperationer:







1 0 0 0 1

−1.3 1 0.4 0 −0.6

0.4 −1.3 0.4 0.4 0.12

0 0.4 0 0.4 −0.008













1 0 0 0 1

0 1 0.4 0 0.7

0 −1.3 0.4 0.4 −0.28 0 0.4 0 0.4 −0.008













1 0 0 0 1

0 1 0.4 0 0.7

0 −1.7 0.4 0 −0.272 0 0.4 0 0.4 −0.008













1 0 0 0 1

0 1 0.4 0 0.7

0 −2.7 0 0 −0.972 0 0.4 0 0.4 −0.008







(14)







1 0 0 0 1

0 1 0.4 0 0.7

0 1 0 0 0.36

0 0.4 0 0.4 −0.008













1 0 0 0 1

0 1 0.4 0 0.7

0 1 0 0 0.36

0 1 0 1 −0.02













1 0 0 0 1

0 1 0.4 0 0.7

0 1 0 0 0.36

0 0 0 1 −0.38













1 0 0 0 1

0 0 0.4 0 0.34

0 1 0 0 0.36

0 0 0 1 −0.38













1 0 0 0 1

0 0 1 0 0.85 0 1 0 0 0.36 0 0 0 1 −0.38





 vilket tolkas som c1= 0.36, d0= 0.85 och d1= −0.38. Börvärdesförstärkningen blir Kr= P (1)/B(1) = (1 − 0.2)³/(0.4 + 0.4) = 0.64. Regulatorn kan skrivas

u(k) = −0.36u(k − 1) + 0.64r(k) − 0.85y(k) + 0.38y(k − 1) I C-programkod skulle regulatorn kunna kodas

y1 = y;

y = adin(0);

u1 = u;

u = -0.36*u1 + 0.64*r - 0.85*y + 0.38*y1;

adout(0,u);

Observera att gamla värden p˚a signalerna m˚aste sparas undan innan signalerna uppdateras. Möjligen hade man klarat sig utan variabeln u1 men detta fungerar inte längre för högre ordningens regulatorer.

3.41. Samma process som i föreg˚aende uppgift dvs A(z) = 1 − 1.3z⁻¹+ 0.4z⁻² och B(z) = 0.4z⁻¹+ 0.4z⁻²skall regleras, denna g˚ang dock med integralverkan i regulatorn. Med gradtalsvillkoren nC = nB= 2 och nD= nA= 2 tillsammans med kravet p˚a att C(z) skall inneh˚alla faktorn 1 − z⁻¹ (integralverkan) blir ansatsen C(z) = (1 − z⁻¹)(1 + c1z⁻¹), D(z) = d0+ d1z⁻¹+ d2z⁻². Eftersom i detta fall nP = nA+ nB = 4 betyder ”alla poler i z = 0.2” att P (z) = (1 − 0.2z⁻¹)⁴. Polynomekvationen AC + BD = P blir därför denna g˚ang (1−1.3z⁻¹+0.4z⁻²)(1−z⁻¹)(1+c1z⁻¹)+(0.4z⁻¹+0.4z⁻²)(d0+d1z⁻¹+d2z⁻²) =

= 1 − 4 · 0.2z⁻¹+ 6 · 0.2²z⁻²− 4 · 0.2³z⁻³+ 0.2⁴z⁻⁴ vilket kan utvecklas till

(1−2.3z⁻¹+1.7z⁻²−0.4z⁻³)(1+c1z⁻¹)+(0.4z⁻¹+0.4z⁻²)(d0+d1z⁻¹+d2z⁻²) =

= 1 − 0.8z⁻¹+ 0.24z⁻²− 0.032z⁻³+ 0.0016z⁻⁴ Ekvationssystemet kan direkt skrivas p˚a matrisform som







1 0 0 0 0

−2.3 1 0.4 0 0

1.7 −2.3 0.4 0.4 0

−0.4 1.7 0 0.4 0.4

0 −0.4 0 0 0.4











 1 c1

d0

d1

d2







=





 1

−0.8 0.24

−0.032 0.0016







Denna g˚ang utelämnas detaljer i form av mellanled i ekvationslösningen och lösningen blir c1= 0.616, d0= 2.21, d1= −2.318 och d2= 0.62. Regulatorpoly- nomen blir allts˚a C(z) = (1 − z⁻¹)(1 + 0.616z⁻¹) = 1 − 0.384z⁻¹− 0.616z⁻²och

(15)

D(z) = 2.21−2.318z⁻¹+0.62z⁻². B¨orv¨ardets koefficient blir Kr= P (1)/B(1) = (1 − 0.2)⁴/(0.4 + 0.4) = 0.512. Styrlagen blir

u(k) = 0.384u(k−1)+0.616u(k−2)+0.512r(k)−2.21y(k)+2.318y(k−1)−0.62y(k−2) Denna g˚ang blir C-koden f¨or regulatorn

y2 = y1 y1 = y;

y = adin(0);

u2 = u1;

u1 = u;

u = 0.384*u1 - 0.616*u2 + 0.512*r - 2.21*y + 2.318*y1 - 0.62*y2;

adout(0,u);

3.42. Systemet

G(s) = 3e⁻^2s 1 + 5s diskretiseras med olika samplingsintervall h.

a. Om h = 2 s blir det diskretiserade systemets ¨overf¨oringsfunktion H(z) = z⁻¹3(1 − e⁻^h/5)

z − e⁻^h/5 = 3(1 − e⁻^0.4)z⁻² 1 − e^−0.4z⁻¹

vilket ger A(z) = 1 − e⁻^0.4z⁻¹= 1 + a1z⁻¹och B(z) = 3(1 − e⁻^0.4)z⁻²= b2z⁻². Regulatorpolynomen blir C(z) = 1 + c1z⁻¹ (nC = nB− 1 = 1) och D(z) = d⁰ (nD= nA− 1 = 0). ”Gradtalsvillkoret” n^P = nA+ nB− 1 = 1 + 2 − 1 = 2 blir denna g˚ang lite lurigt att tolka pga att alla polerna placeras i z = 0 (deadbeat).

Det kan tyckas konstigt att s¨atta P (z) = 1 men detta ska tolkas som P (z) = (1 − 0 · z⁻¹)². polynomekvationen A(z)C(z) + B(z)D(z) = P (z) blir allts˚a

(1 + a1z⁻¹)(1 + c1z⁻¹) + b2z⁻²d0= 1 och ¨oversatt till ekvationssystem p˚a matrisform blir detta





1 0 0

a1 1 0 0 a1 b2







 1 c1

d0



=



 1 0 0





vilket har lösningen c1= −a1= e⁻^0.4=≈ 0.6703 och d0= a²₁/b2= e⁻^0.8/(3(1 − e⁻^0.4)) ≈ 0.4543. Börvärdesförstärkningen blir K^r = P (1)/B(1) = 1/b2 ≈ 1.011. Regulatorn kan skrivas

u(k) = −c1u(k−1)+Krr(k)−d0y(k) = −0.6703u(k−1)+1.011r(k)−0.4543y(k)

b. Samplingsintervallet h = 1 s innebär tv˚a samplingar p˚a tidsfördröjningen (2 s). Den här g˚angen blir därför överföringsfunktionen för det diskretiserade systemet

H(z) = z⁻²3(1 − e⁻^h/5)

z − e⁻^h/5 = 3(1 − e⁻^0.2)z⁻² 1 − e⁻^0.2z⁻¹

(16)

dvs A(z) = 1 − e^−0.2z⁻¹= 1 + a1z⁻¹ och B(z) = 3(1 − e^−0.2)z⁻³= b3z⁻³. D˚a nC = nB− 1 = 2 och n^D = nA− 1 = 0 blir C(z) = 1 + c¹z⁻¹+ c2z⁻² och D(z) = d0. Med deadbeat (polerna i z = 0) blir polynomekvationen

(1 + a1z⁻¹)(1 + c1z⁻¹+ c2z⁻²) + b3z⁻³d0= 1 eller i utvecklad form

1 + (a1+ c1)z⁻¹+ (a1c1+ c2)z⁻²+ (a1c2+ b3d0)z⁻³= 1 Matrisvarianten av ekvationerna blir







1 0 0 0

a1 1 0 0

0 a1 1 0 0 0 a1 b3











 1 c1

c2

d0







=





 1 0 0 0







Ekvationssystemet har l¨osningen c1= −a¹= e⁻^0.2 ≈ 0.8187, c²= a²₁= e⁻^0.4≈ 0.6703 och d0 = −a³1/b3=≈ −1.009. K^rblir P (1)/B(1) = 1/b3≈ 1.839 s˚a att styrlagen blir u(k) = −0.8187u(k − 1) − 0.6703u(k − 2) + 1.839r(k) + 1.009y(k).

3.43. Systemet

G(s) = 20 s(s + 4)=5

s− 5 s + 4 ZOH-diskretiseras till

H(z) = 5h z − 1−

5

4(1 − e⁻^4h)

z − e^−4h = b1z + b2

z²+ a1z + a2

= b1z⁻¹+ b2z⁻² 1 + a1z⁻¹+ a2z⁻² där b1= 5(h −¹₄1 − e^−4h), b2= 5(−he^−4h+¹₄(1 − e^−4h)), a1= −(1 + e^−4h) och a2 = e^−4h. Med h = 0.05 s erh˚alles b1≈ 0.02341, b2≈ 0.02190, a1≈ −1.8187 och a2≈ 0.8187. Villkoren p˚a ordningstalen är nC= nB−1 = 1 och nD= nA− 1 = 1 vilket lyckligtvis överensstämmer med förslaget i uppgiften. Ordningen p˚a P (z) blir nP = nA+ nB− 1 = 3. Sätt därför P (z) = 1 + p1z⁻¹+ p2z⁻²+ p3z⁻³ s˚a att polynomekvationen kan skrivas

(1 + a1z⁻¹+ a2z⁻²)(1 + c1z⁻¹) + (b1z⁻¹+ b2z⁻²) = 1 + p1z⁻¹+ p2z⁻²+ p3z⁻³ Matrisversionen av koefficientekvationssystemet blir







1 0 0 0

a1 1 b1 0 a2 a1 b2 b1

0 a2 0 b2











 1 c1

d0

d1







=





 1 p1

p2

p3





 De tv˚a fallen l¨oses separat (detaljer utel¨amnade).

a. P (z) = (1 − 0 · z⁻¹)³vilket ger p1= p2= p3= 0. L¨osningen blir c1≈ 0.6944, d0≈ 48.02 och d¹≈ −25.95. K^rblir P (1)/B(1) = 1/(b1+ b2) ≈ 22.07.

b. P (z) = (1 − 0.5z⁻¹)³ vilket ger p1 = −1.5, p2 = 0.75 och p3 = −0.125.

L¨osningen blir c1≈ 0.06428, d0≈ 10.87 och d1≈ −8.109. Kr blir P (1)/B(1) = (1 − 0.5)³/(b1+ b2) ≈ 2.758.

Den tydligaste skillnaden p˚a de b˚ada regulatorerna är att deadbeat-regulatorn (a) inneh˚aller betydligt högre förstärkningar än regulatorn i (b).

(17)

Minsta-kvadrat-metoden

3.44.

a. Parametervektorn utg¨ors av

θ =a b

Observera att parametriseringen skiljer sig lite fr˚an definitionen av Φ i det f¨orberedande avsnittet. Fr˚an tabellen kan Y och Φ h¨amtas:

Y =





 y(1) y(2) ... y(5)







=





 0.5 0.2 1.10 0.42 0.16







och Φ =







y(0) u(0) y(1) u(1) ... ... y(4) u(4)







=







0 1

0.5 0 0.2 2 1.1 0 0.42 0







F¨orst ber¨aknas matrisen Φ^TΦ:

Φ^TΦ =

P5

k=1(y(k − 1))² P5

k=1y(k − 1)u(k − 1) P5

k=1(u(k − 1))²

=1.6764 0.4 0.4 5.0

D¨arefter ber¨aknas Φ^TY : Φ^TY =

P5

k=1y(k − 1)y(k) P5

k=1u(k − 1)y(k)

=0.8492 2.7

Till sist ber¨aknas l¨osningen (skattningen) ˆθ enligt θ = (Φˆ ^TΦ)⁻¹Φ^TY =1.6764 0.4

0.4 5.

−1

0.8492 2.7

≈0.3850 0.5092

=ˆa ˆb

Detta tolkas som att MK-skattningarna av parametrarna a och b ¨ar ˆa ≈ 0.3850 respektive ˆb ≈ 0.5092.

b. Denna g˚ang antas a vara känd (a = a0= 0.4) vilket innebär att parametervektorn av okända parametrar nu reducerats till θ = b. Konsekvensen av detta

¨ar att definitionen av Y och Φ m˚aste ¨andras (a0= 0.4):

Y =







y(1) − a0y(0) y(2) − a0y(1)

... y(5) − a⁰y(4)







=





 0.5

0 1.02

−0.02

−0.008







och Φ =





 u(0) u(1) ... u(4)







=





 1 0 2 0 0





 Nu blir skattningen av den enda ok¨anda parametern b

ˆb = ˆθ = (Φ^TΦ)⁻¹Φ^TY ≈ 0.508

c. Det minimala v¨ardet p˚a f¨orlustfunktionen i deluppgift (a) blir

V (ˆθ) =

5

X

k=1

(y(k) − ˆay(k − 1) − ˆbu(k − 1))²= (Y − Φˆθ)^T(Y − Φˆθ) ≈ 0.0001772

(18)

RMS-v¨ardet p˚a skattningens fel blir allts˚a √

0.0001772 ≈ 0.0133.

3.45.

a. Först beräknas P (1) utg˚aende fr˚an att P (0) = I (där I=enhetsmatrisen) och att ϕ(0) = (y(0) u(0))^T = (0 1)^T:

P (1) = P (0)−P (0)ϕ(0)ϕ^T(0)P (0)

1 + ϕ^T(0)P (0)ϕ(0) =1 0 0 1

−

1 0 0 1

0 1

0 11 0 0 1

1 + 0 11 0 0 1

0 1

=1 0

0 0.5

D¨arefter kan felet (”a priori”) ber¨aknas

ε(1) = y(1) − ϕ^T(1)ˆθ(0) = 0.5 − 0 10 0

= 0.5

Nu kan n¨asta parameterskattning ber¨aknas:

θ(1) = ˆˆ θ(0) + P (1)ϕ(1)ε(1) =0 0

+1 0 0 0.5

0 1

0.5 =

0 0.25

P˚a samma s¨att erh˚alles i tur och ordning i n¨asta iteration:

P (2) = P (1)−P (1)ϕ(1)ϕ^T(1)P (1)

1 + ϕ^T(1)P (1)ϕ(1) =1 0 0 0.5

−

1 0 0 0.5

0.5 0

0.5 01 0 0 0.5

1 + 0.5 01 0 0 0.5

0.5 0

=0.8 0

0 0.5

ε(2) = y(2) − ϕ^T(2)ˆθ(1) = 0.2 − 0.5 0

0 0.25

= 0.2

θ(2) = ˆˆ θ(1) + P (2)ϕ(2)ε(2) =

0 0.25

+0.8 0 0 0.5

0.5 0

0.2 =0.08 0.25

b. Med P (0) = 10I blir resultatet ist¨allet P (1) =10 0

0 10/11

, ε(1) = 0.5, θ(1) =ˆ

0 5/11

≈

0 0.455

och

P (2) =20/7 0 0 10/11

, ε(2) = 0.2, θ(2) =ˆ 2/7 5/11

≈0.286 0.455

I Fig. 1 visas samtliga iterationer b˚ade f¨or (a) och (b).

(19)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

In− och utsignal

b

a

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Parametrarna a och b (2 olika fall)

Figur 1: Konvergens hos parametrar f¨or tv˚a olika initialv¨arden p˚aP.