Technická univerzita v Liberci
FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚ-HUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ
Katedra: KMD
Studijní program: Učitelství pro základní školy
Studijní obor Učitelství matematiky pro 2. stupeň základní školy Učitelství zeměpisu pro 2. stupeň základní školy
ALGEBRAICKÉ VÝRAZY ALGEBRAIC EXPRESSIONS
Diplomová práce: 13–FP–KMD– 008
Autor: Podpis:
Bc. Adéla DONÁTOVÁ
Vedoucí práce: doc. RNDr. Jana Příhonská, Ph.D.
Počet
stran grafů obrázků tabulek pramenů příloh
136 1 0 5 57 5 + CD
V Liberci dne: 13. 12. 2013
Čestné prohlášení
Název práce: Algebraické výrazy Jméno a příjmení autora: Bc. Adéla Donátová
Osobní číslo: P11000851
Byl/a jsem seznámen/a s tím, že na mou diplomovou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb. o právu autorském, právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů, zejména
§ 60 – školní dílo.
Prohlašuji, že má diplomová práce je ve smyslu autorského zákona výhradně mým autorským dílem.
Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých autorských práv užitím mé diplomové práce pro vnitřní potřebu TUL.
Užiji-li diplomovou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědom povinnosti informovat o této skutečnosti TUL; v tomto případě má TUL právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vynaložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše.
Diplomovou práci jsem vypracoval/a samostatně s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedoucím diplomové práce a konzultantem.
Prohlašuji, že jsem do informačního systému STAG vložil/a elektronickou verzi mé diplomové práce, která je identická s tištěnou verzí předkládanou k obhajobě a uvedl/a jsem všechny systémem požadované informace pravdivě.
V Liberci dne: 13. 12. 2013
Bc. Adéla Donátová
Poděkování
Ráda bych poděkovala své vedoucí diplomové práce doc. RNDr. Janě Příhonské, Ph.D. za odborné vedení, za pomoc a cenné rady a především za vstřícnost při konzultacích a při vypracování diplomové práce.
Anotace
Tato diplomová práce se zabývá historií, teorií a praxí učebního celku Algebraické výrazy. Rozpracovává problematiku algebraických výrazu z didaktického hlediska (modelování, standardní manipulace a strategická manipulace). Vše je doplněno o soubor pracovních listů – zadání i správné řešení. Pracovní listy jsou určeny pro procvičení a automatizaci pracovních postupů v tomto tématu.
Klíčová slova: proměnná, celistvý výraz, mnohočlen, lomený výraz
Annotation
This dissertation deals with the history, the theory and the practice of the teaching topic of Algebraic expressions. It works up the problematic of algebraic expression in the didactic position (modeling, standard manipulation and strategic manipulation). All includes the set of the worksheets – tasks and the correct solutions. The worksheets are designed for the practice and the automation of the working methods in this topic.
Key worlds: the variable expression, the integral expression, the polynomial, thefractional expression
L´annotation
Cette dissertation s´occupe de l'histoire, de la théorie et de la pratique de la thème d'études des expressions algébriques. Elle élabore la problémathique des expressions algébriques à l'aspect didactique (le modelage, la manipulation standard et la manipulation stratégique). Tout est compléte de l'ensemble des lettres de travail – les réservations et les bonnes solutions. Les lettres de travail sont élaboré pour la pratique et l'automatisation des processus de travail dans cette thème.
Termes of la clé: l'expression variable, l'expression dense, le polynôme, l'expression fractionnaire
6
Obsah
Úvod ... 11
I. TEORETICKÁ ČÁST (teorie z literatury) ... 12
1. Jazyk matematiky ... 12
2. Stručný historický vývoj algebraických výrazů a algebry ve světovém měřítku 13 3. Stručný historický vývoj algebraických výrazů a algebry v českých zemích ... 15
4. Téma algebraických výrazů v pedagogických dokumentech ... 19
4.1 Zařazení v RVP ZV a v RVP G ... 19
4.2 Zařazení ve vybraných ŠVP ... 20
5. Srovnání vybraných učebnic a doprovodných textových děl ... 21
5.1 Fraus ... 22
5.2 Nová Škola ... 23
5.3 Prodos ... 24
5.4 Prometheus ... 24
5.5 TV Graphics ... 25
6. Didaktický pohled na téma ... 26
6.1 Modelování ... 28
6.2 Standardní manipulace se symboly ... 29
6.3 Strategická manipulace se symboly ... 30
7. Definice algebraického výrazu ... 30
8. Celistvý výraz ... 32
8.1 Mnohočleny ... 33
9. Úprava algebraických výrazů ... 34
9.1 Rozklad mnohočlenu ... 34
10.Operace s algebraickými výrazy ... 36
10.1 Sčítání ... 37
10.2 Odčítání ... 37
7
10.3 Násobení ... 38
10.4 Dělení ... 39
11.Lomené výrazy ... 41
11.1 Sčítání a odčítání lomených výrazů ... 41
11.2 Násobení lomených výrazů ... 42
11.3 Dělení lomených výrazů ... 44
11.4 Úpravy složených lomených výrazů ... 45
II. PRAKTICKÁ ČÁST (vytvoření pracovních listů) ... 46
Pracovní list č. 1: Algebraické výrazy – úvod ... 47
Pracovní list č. 2: Algebraické výrazy – sčítání a odčítání výrazů ... 51
Pracovní list č. 3: Algebraické výrazy – násobení ... 55
Pracovní list č. 4: Algebraické výrazy – dělení ... 58
Pracovní list č. 5: Algebraické výrazy – vytýkání ... 61
Pracovní list č. 6: Algebraické výrazy – vzorce ... 63
Pracovní list č. 7: Algebraické výrazy – slovní úlohy ... 65
Pracovní list č. 8: Algebraické výrazy – opakování (test) ... 68
Pracovní list č. 9: Algebraické výrazy – opakování (hry) ... 72
Pracovní list č. 10: Algebraické výrazy – opakování ... 75
Pracovní list č. 11: Algebraické výrazy – vytýkání a násobení výrazů ... 80
Pracovní list č. 12: Algebraické výrazy – vytýkání a vzorce ... 83
Pracovní list č. 13: Algebraické výrazy – vytýkání a vzorce ... 87
Pracovní list č. 14: Algebraické výrazy – lomené výrazy 1 ... 90
Pracovní list č. 15: Algebraické výrazy – lomené výrazy 2 ... 95
III. VÝZKUMNÁ ČÁST (ověření ve škole – realizace výuky, vyhodnocení) ... 101
1. Stanovení předpokladů ... 101
2. Podmínky experimentu ... 103
3. Charakteristika školních tříd ... 103
8
4. Přípravy jednotlivých vyučovacích hodin ... 106
4.1 Přípravy vyučovacích hodin pro 8. třídu ... 106
4.2 Přípravy vyučovacích hodin pro 9. třídu ... 112
5. Výsledky experimentu ... 114
5.1 Výsledky pozorování žáků ... 114
5.2 Výsledky dle žákovských řešení pracovních listů ... 115
5.3 Výsledky testu ... 123
5.4 Výsledky rozhovorů ... 125
6. Shrnutí výsledků z hlediska chyb žáků ... 128
7. Ověření předpokladů ... 129
Závěr ... 131
Zdroje ... 132
Tištěné zdroje ... 132
Internetové zdroje ... 135
PŘÍLOHY ... 137
9 Seznam použitých zkratek a symbolů proměnná
koeficienty mnohočlenu
algebraický výraz
, … algebraický výraz s proměnou
apod. a podobně
atd. a tak dále
cca circa
č. číslo
Eulerovo číslo
funkce s proměnnou
imaginární jednotka
k kořen mnohočlenu
k. kompetence
obor komplexních čísel
logaritmus
proměnná v oboru
obor proměnných čísel
n. l. našeho letopočtu
např. například
mnohočlen -tého stupně
popř. popřípadě
mnohočlen -tého stupně
P1 – P3 označení předpokladů
číslo pí
obor reálných čísel
obor kladných reálných čísel
10
RVP G Rámcový vzdělávací program pro gymnázia RVP ZV Rámcový vzdělávací program pro základní školy
s. strana
S obsah
goniometrická funkce sinus
ŠVP Školní vzdělávací program
tj. to jest
tzn. to znamená
tzv. tak zvaně
obor celých čísel
obor kladných celých čísel
ZŠ základní škola
9. A označení jedné z devátých tříd
odmocnina
druhá mocnina
plus
– mínus
násobení
dělení
rovnost
nerovnost
menší nebo rovno
větší nebo rovno
náleží
a zároveň
11
Úvod
Algebraické výrazy jsou tématem v matematice, se kterým se žáci poprvé setkávají už na první stupni základní školy, kde si musí zapamatovat vzorce pro obvody a obsahy rovinných obrazců. Podrobnější seznámení však nastává především až na druhém stupni základní školy a poté i na třetím stupni českého školství, kdy se na většině škol k algebraickým výrazům studenti v rámci hodin matematiky opět navrací. Pochopení algebraických výrazů a schopnost práce s nimi je v algebře jednou ze základních způsobilostí, které vedou k pochopení jiných matematických odvětví. Toto učivo je v rámci studia matematiky spirálovým tématem a jeho znalost je proto nutná k dalšímu vývoji matematických znalostí žáků základních, středních, ale i vysokých škol.
Hlavním cílem mé diplomové práce je vytvoření a praktické ověření souboru pracovních listů, které se zaměřují na práci s algebraickými výrazy tak, aby jejich vyřešení vedlo ke kvalitnější a rychlejší orientaci v této oblasti matematiky.
Diplomová práce je rozdělena na tři hlavní části. V první části se věnuji teoretickému podkladu algebraických výrazů a jeho umístění v rámci pedagogických dokumentů (Rámcový vzdělávací program pro základní školy, Rámcový vzdělávací program pro gymnázia, Školní vzdělávací programy). Ve druhé části jsou uvedena řešená zadání pracovních listů s nastíněnými postupy řešení, výchovně-vzdělávacími cíli, očekávanými výstupy a metodickými poznámkami. Poslední třetí část se zaměřuje na zadání experimentu, jeho předpokladů a následných výsledků.
Pro zpracování této problematiky bude využita odborná literatura, především učebnice pro základní a střední školy, Rámcový vzdělávací program pro základní školy, Školní vzdělávací programy škol, kde jsem v rámci svých praxí působila, internetové stránky vybraných nakladatelství, řízené rozhovory a pracovní listy vypracované žáky.
12
I. TEORETICKÁ ČÁST (teorie z literatury)
1. Jazyk matematiky
Matematika je obdobně jako jiné vědní disciplíny formulována v určitém jazyku.
Termínem jazyk rozumíme libovolný systém znaků, pomocí kterých se uskutečňuje myšlení a komunikace. Díky historickému vývoji můžeme ale objevit značně progresivní vývoj nejen v mateřském, ale i v matematickém jazyce. V pravěku se začínalo rytím do dřeva či kamene, kde člověk evidoval především počet, což vývojem dospělo až k dnešní podobě jazyka. Matematická symbolika tak urazila dlouhou a náročnou cestu.
Pro jazyk matematiky jsou charakteristické „vzorce“ a jazyk „okolo vzorců“.
Matematický jazyk vzorců má obvykle symbolický charakter a bývá mezinárodně srozumitelný. Jako příklad lze uvést např. zápis čísel a početních operací v určité soustavě, jazyk algebry, matematické analýzy a jiné. „Překladu“ matematického vztahu do českého jazyka však bude rozumět jen člověk, který český jazyk zná.
Obvyklé symbolické vyjadřování, jehož stručnost, relativní jednoznačnost a obvyklá mezinárodní srozumitelnost patří k jeho výrazným rysům, můžeme přiblížit popisem jeho „abecedy“ a „slov“. Abeceda symbolického jazyka (matematiky a logiky) se skládá z kategorií:
konstanty – symboly čísel (např. ), symboly množin (např. ), symboly určitých geometrických útvarů (např. bod , přímka ),
proměnné – symboly představující libovolný prvek určité množiny,
funktory – označení zobrazení a funkcí (např. ), algebraické operace ( ),
predikáty – označení relací (např. ),
logické symboly. ([12] s. 26 – 35; [21] s. 187 – 193)
Algebraické výrazy jsou základním symbolickým jazykem matematiky na základní a střední škole. Současná symbolika algebraického jazyka vznikla na konci 16. století a jejím objevitelem byl Francouz Franciscus Vièta (viz následující kapitola).
Algebraické výrazy umožňují přesný zápis, úsporné myšlení a vyjadřování. Jsou však potencionálním nositelem formalizmu, což lze vysvětlit jako mechanické a verbální
13
naučení se vzorcům a větám, které není podloženo skutečnému pochopení tématu.
Výborná schopnost manipulace s algebraickými výrazy je pro učitele známkou profesionality. K získání zkušeností a dovedností, které je k této manipulaci potřeba, musí učitel věnovat dostatek svého času a energie i k řešení náročnější úloh z tohoto tématu. ([12] s. 26 – 35; [21] s. 187 – 193)
2. Stručný historický vývoj algebraických výrazů a algebry ve světovém měřítku
Symbolika matematického jazyka prošla náročnou cestu, aby získala takovou podobu, jakou má v dnešní době.
Základy počítání, které se v dnešní době řadí do algebry, je možno datovat až do starověku. V minulosti bylo počítání velmi složité, protože nebyly známy znaky pro početní výkony a také nebyl zvlášť zavedený obecný zápis čísel. Výpočet úloh se prováděl pomocí zapisování celých vět, tím však bylo řešení nepřehledné a zdlouhavé.
Pokrok v algebraickém zápisu nastal až díky arabskému matematikovi Muhammadovi ibn Músá al-Chvárizmí (1. polovina 9. století), který ve své knize „Hisab aldžebr val mugabala“ zavedl pojmy algoritmus a algebra. V jedné kapitole tohoto algebraického traktátu popisoval praktické problémy: obchodní smlouvy, měření, výpočet ploch a závěti. V rámci algebry se ale zaměřoval především na řešení lineárních a kvadratických rovnic. Zatím však bez nám známé symboliky. ([1] s. 15; [24] s. 20;
[46] s. 90 – 92)
V počátcích rozvoje (5. století n. l.) matematiky v západní a střední Evropě docházelo k rozvoji pouze aritmetiky a geometrie. Algebra tu zatím své místo neměla. K prvnímu většímu seznámení s algebrou došlo až v 1. polovině 13. století, když se italský kupec Leonardo Pisanský (známý též jako Fibonacci) vrátil se svých cest po světě a sepsal knihu Liber Abaci. Tato kniha obsahovala aritmetické a algebraické znalosti, které získal na svých cestách. V algebře citoval především arabské matematiky, a to např. již zmíněného al-Chvárizmího. Liber Abaci byla i jednou z pomůcek, kterou byl do Evropy přinesen indicko-arabský způsob psaní číslic.
S rozšířením obchodu se šířil i zájem o matematiku, a to nejen o aritmetiku a geometrii, ale i o algebru, především však jejich praktické vědění. Teoretická matematika byla pěstována pouze scholastickými filozofy. To vše se změnilo na počátku 15. století, kdy
14
se zkoumání v matematice stalo velmi oblíbeným tématem. Podněty matematiků byly především v požadavcích vládců a ve schopnostech obchodní buržoazie.
([42] s. 76 – 93)
Zásadním zlomem však bylo, když se čísla začala zapisovat pomocí písmen. Největší zásluhu o to má francouzský matematik a advokát Franciscus Vièta (1540 – 1603) ve své práci „Isagoge in artem analyticam“, který jako první používá písmen pro označení konstant a proměnných a tím se začíná rodit nová moderní matematická symbolika. Viètův „jazyk písmen“ otevřel matematice nové možnosti a podstatně přispěl k rozvoji velkých fenoménů 17. století z tzv. nové racionality (vědecký rozmach), a to infinitezimálního počtu neboli diferenciálního a integrálního počtu (Isaac Newton, Gottfried Wilhelm von Leibniz), teorii pravděpodobnosti (Pierre de Fermat, Blaise Pascal), analytické geometrii (Pierre de Fermat, René Descartes). Postupně se zaváděly znaky pro početní výkony, vytvářela se symbolika algebry, zavedlo se i používání závorek. Vietovská soustava znaků prošla od svého objevení pouze několika změnami, jako příklad lze uvést a jiné. Upravená verze se používá až dodnes.
Franciscus Vieta je známý i tím, že rozluštil tajnou šifru španělského vojska, kterou Španělé využívali ve válce mezi Francií a Španělskem pro předávání tajných zpráv.
Tato šifra měla 500 symbolů. Dokonce Španělsko vzneslo žalobu papežovi proti Francouzům, kteří dle jejich slov užívají „černou magii“.
([1] s. 12 – 17; [12] s. 26 – 35 a s. 138 – 179; [35] s. 47 – 49)
Dalším mezníkem se stává 19. století, v němž lze nalézt bezprostřední kořeny téměř všech moderních matematických disciplín. Nutno zmínit především práci o neřešitelnosti algebraických rovnic stupně vyššího než čtvrtého od matematiků Nielse Henrika Abela (1802 – 1829) a Évariste Galoise (1811 – 1832), kteří vybudovali základy teorie grup. Z tohoto impulsu se zrodila moderní algebra.
15
3. Stručný historický vývoj algebraických výrazů a algebry v českých zemích
Počátky vývoje matematiky našich slovanských předků spadají do období raného feudalismu. V této době lidé uspokojovali především své potřeby vlastní prací – obdělávali půdu, chovali dobytek, zhotovovali různé předměty. Mladí získávali poznatky a dovednosti v rámci rodinné výchovy, nápodobou starších, pokusem a chybou. Slované této doby dokázali počítat do tisíce, uměli sčítat a odčítat, násobit a dělit, čísla zaznamenávali pomocí vrubů, tj. čárek vyrytých do kamene, kosti nebo dřeva. Měli i označení pro některé geometrické pojmy. ([23] s. 18 – 24)
Kolem 9. století začaly vznikat i první školy, zatím pouze pod záštitou křesťanské církve. Cílem byla příprava kněží. Učili se v nich číst, psát, vykládat Písmo svaté, zpívat, ale také základy aritmetiky a prvky astronomie. Rozvíjelo se tzv. trivium (gramatika, rétorika, dialektika) a kvadrium (aritmetika, musika, geometrie, astronomie). Společně tak tvořily sedmero svobodných umění, tj. vzdělávací obsah filozofického studia pozdějších univerzit.
První městské školy u nás vznikaly až ve 13. století. Jejich předpokladem byl stav hospodářských poměrů měst. Opět hlavní slovo v matematice měly aritmetika a geometrie. ([23] s. 18 – 24)
Počátky univerzitního studia v českých zemích spadají do 14. století, kdy byla roku 1348 postavena Karlova univerzita, kde byla již od samého počátku jejího působení dobrá úroveň matematické výuky. Přednášky se zaměřovaly především na aritmetiku a geometrii. Po vynálezu knihtisku se do popředí dostala i praktická aritmetika.
V 16. století do Prahy přichází mnoho světových matematiků a píšou zde svá díla, např.
Raymarus Ursus, Tycho Brahe atd. ([42] s. 76 – 93)
V období husitského hnutí (15. století) se matematika na městských školách nevyučovala. Pokud se někdo potřeboval či chtěl naučit počítat, musel tak udělat mimo školu u potulných učitelů či z rukopisných výtahů. Až na univerzitě byla zařazena výuka čtyřem početním úkonům (sčítání, odčítání, násobení, dělení). S objevením knihtisku, zámořskými objevy a rostoucím obchodem se však postavení matematiky mění. Umění počítat se stává jednou z nejdůležitějších dovedností vůbec. Vyučování se řídilo školními řády, ve kterých byly uvedeny i osnovy všech vyučovacích předmětů včetně rozvrhu hodin, kde bylo předepsáno na každou vyučovací hodinu v týdnu, jaký
16
předmět se bude vyučovat a s jakým obsahem. V těchto osnovách značně převažovala aritmetika a byl dán důraz na soustavné opakování učiva. Osnovy jednotlivých škol se mohly značně lišit, protože nebyl dán žádný povinný obsah. Nejznámější a nejvíce používanou učebnicí byla latinská učebnice Arithmeticae practicae methodus facilis (Friesius, 1572), kde byly popsány základy násobilky, mocnin, trojčlenky, aritmetické posloupnosti a jiné, ale i základy algebry. Již zmíněný rozvoj obchodu si vynutil znalost čtení, psaní a počítání v širší vrstvě obyvatel. Z tohoto důvodu vzniklo v letech 1530 – 1615 pět česky psaných učebnic (i s jejich speciálními odlišnostmi): ([23] s. 33 – 58)
Nové knihy vo počtech na cifry a na liny přitom některé velmi užitečné regule a exempla mince rozličné podle běhu kupeckého krátce a užitečně sebraná (Ondřej Klatovský, 1530) – objevuje se tu počítání se zlomky,
Isagogikum jenž jest první uvedení každému počínajícímu se učiti (Beneš Optát a Petr Gzel, 1535) – nejbližší podoba k dnešním učebnicím,
Knížka v níž obsahují se začátkové umění aritmetického tj. počtům na cifry neb liny poznání pro pacholata a lidi kupecké sebraná (Jiří Mikuláš Brněnský, 1567) – udává poprvé u nás i znaky a pro početní operace,
Aritmetika, tj. knížka početní neb umění počtův na linách a cifrách skrze exampla a mince rozličné, všem v handlech, v úřadech a v hospodářství se obírajícím velmi užitečná a prospěšná (Jiří Goerl, 1577) – řeší slovní úlohy rovnicemi, ale slovně bez symboliky,
Aritmetika, knížka počtův, přeložená do řeči moravské (Pavel Šram, 1615).
Největší rozvoj zažívá česká matematika, ale i české vzdělání celkově v době života našeho nejslavnějšího pedagoga Jana Ámose Komenského (1592 – 1670) – prosazování českého jazyka jako elementárního prostředku vyučování, zavedení jednotného školského systému, řádu do vyučování, jednotný nástup žáků na podzim, větší množství učeben, větší počet učitelů, nové vyučovací metody a mnohé další. ([23] s. 59 – 65) První větší knižní dílo věnující se algebře vzniká v době úpadku matematiky, a to během třicetileté války. Kniha Analysis speciosa (vydáno posmrtně roku 1720) vznikla na základě přednášek univerzitního profesora Jakuba Kresy. První část se věnuje operacím s mnohočleny a se zlomky, odmocninám, binomické větě a Pascalově trojúhelníku. I v dalších kapitolách je použito algebraické symboliky. ([23] s. 66 – 78) V 18. století společně s rozvojem manufakturní výchovy začaly převládat názory, že pro venkovské obyvatelstvo je znalost čtení, psaní a počítání velice důležitá. V českých
17
zemích bylo vytvořeno několik školských reforem, které se snažily dosavadní postavení matematiky zlepšit. V algebře se kladl důraz na znalost lineárních a kvadratických rovnic řešených doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Byly vydávány i závazné učebnice a metodické příručky pro učitele (např. od Jana Ignáce Felbingera Kniha metodní pro učitele českých škol v císařských královských zemích, v níž důkladně a jadrně se ukazuje, jakby v školním řádu určitý způsob učení netoliko vesměs, ale i zvláštně, při každé k učení nařízené věci, říditi se měl. Mimo přímosprávného ustanovení, jakby se učitelové školní ve všech dílech svého úřadu, též podobně říditelové, vrchní a jiní kteříkolivek dohlížitelové zachovati měli by školními řádu náležitě zadost učinili). Z předepsaných učebnic lze jmenovat např. Uvedení k umění početnímu k užívání škol českých v císařských královských zemích. Díl První. Pro selské a nejnižší městské školy (1776). V tomto díle se v kapitole, kde se žáci seznamují s početními operacemi, využívá písmen (prvky algebry). Jinak se učebnice zabývá především tématy aritmetiky. ([23] s. 79 – 98)
Ani v dalších letech se bídné postavení algebry v českých školách nezlepšilo.
Ve vydaných matematických učebnicích je jediným zmiňovaným tématem algebry řešení rovnic a jejich použití pro řešení matematických úloh. Žáci se s algebrou podrobněji setkávali až na gymnáziu, kde se vyučovala na základě latinské učebnice neznámého autora Elementa arithmeticae singularis et universalis (opět důraz na řešení rovnic, algebraické výrazy se využívají k vysvětlení matematických operací a úprav).
([23] s. 99 – 130)
V 2. polovině 19. století vzniká první česká hlavní škola (1848, v Praze). Nejdůležitější z předepsaných učebnic byly Cvičebná kniha k vyučování v počtech (1855) pro elementární školy a Arithmetika (1843, Dopler) pro gymnázia. Začínají se vydávat i první sbírky úloh (např. Bydžovský-Teplý-Vyčichlo). Algebra má svojí hlavní postavení stále na gymnáziích, a to především pro výpočet rovnic. Objevují se však již i témata, a to i na osmiletých gymnáziích:
Čtyři základní operace použité na jednočlenné a vícečlenné algebraické výrazy,
Úplná nauka o mocninách, mocniny a odmocniny užité na jednočlenné a vícečlenné algebraické výrazy,
Současné užití šesti základních operací na rozmanité složené algebraické jednočleny a mnohočleny, rozklady složených algebraických výrazů apod. ([23] s. 131 – 162)
18
Na obecné školy se tyto témata dostávají až ke konci 19. století. Prvními učebnicemi pro měšťanské školy, které se věnují algebraickým číslům neboli číslům relativním, jsou Kneidl-Marhanova (1886, 1888) Početnice pro měšťanské školy chlapecké a Početnice pro měšťanské školy dívčí. ([23] s. 163 – 208)
Na přelomu 19. a 20. století se upravuje i plán témat na středních školách. Algebraické výrazy se objevují v těchto vybraných tématech (dle učebních plánů reálek z roku 1879):
Čtyři základní operace s obecnými čísly v jednočlenných a vícečlenných výrazech (3. třída),
Výpočty druhých a třetích mocnin jednočlenných a vícečlenných algebraických výrazů i dekadických čísel (3. třída),
Nauka o řešení rovnic prvního stupně s jednou a s několika neznámými s užitím pro prakticky důležité úlohy (4. třída),
Neurčité (diofantické) rovnice prvního stupně (5. třída),
Nauka o mocninách a odmocninách a zvláště určování druhých a třetích mocnin vícečlenných výrazů, jakož i výpočet druhé a třetí odmocniny z vícečetných výrazů a zvláštních čísel (5. třída),
Rovnice druhého stupně s jednou neznámou (5. třída),
Výklad těch vyšších rovnic, které je možno převést na kvadratické, kvadratické rovnice se dvěma neznámými, v jednoduchých případech s více neznámými (6. třída) a jiné.
Učebnice algebry z druhé poloviny 19. století se od současných liší v terminologii a v rozšíření učiva o řadu dalších témat ve 20. století již neprobíraných. Také požadavky na matematickou přesnost úvah se od druhé poloviny 20. století zvýšily.
Důležitými učebnice týkající se algebraických výrazů jsou:
Algebra vyšším třídám středních škol českých E. Taftla (1887), kde jsou algebraické úkony (neboli operace s čísly) rozlišeny na skladné (přímé – sčítání, násobení, umocňování) a rozkladné (obrácení, nepřímé – odčítání, dělení a umocňování).
Algebraické výrazy jsou tu probrány souběžně s čísly zvláštními i obecnými, ve spojení s úpravami rovnic a s vlastnostmi operací.
Algebra pro střední školy J. Smolíka (1870), kde je k výkladu mnohočlenů uvedeno i téma mocnin. Dále autor zavádí pro mocniny druhého stupně název čtverec,
19
pro mocniny třetího stupně kostka, pro mocniny čtvrtého stupně dvojčtverec.
Při operacích s mnohočleny se probere i vysazení činitele (neboli vytýkání) a vzorce . ([23] s. 216 – 257)
Současné verze osnov matematiky vychází právě z osnov 19. století, které prošly několika změnami až k dnešnímu Rámcovému vzdělávacímu programu, popř. Školnímu vzdělávacímu programu.
4. Téma algebraických výrazů v pedagogických dokumentech
Předtím než bude vysvětleno téma algebraických výrazů z matematického hlediska, následující text uvádí zařazení dle současně nejdůležitějších dokumentů určených pro učitele a učitelky základních škol a gymnázií, a to dle Rámcového vzdělávacího programu pro základní školy a Rámcového vzdělávacího programu pro gymnázia.
Zařazení dle dalších typů střední škol není uvedeno, a to především z důvodu různě stanového rozsahu předmětu Matematika. Jako studentka Učitelství 2. stupně základních škol jsem se zaměřila především na problematiku na 2. stupni českého školství a uvedla jsem základní údaje ze Školních vzdělávacích programů pro základní školy, kde jsem měla možnost v rámci průběžné a souvislé praxe i následující postupy a příklady vyzkoušet přímo v praxi.
4.1 Zařazení v RVP ZV a v RVP G
Dle revidovaného (platnost od 1. 9. 2013) Rámcového vzdělávacího programu pro základní školy je téma algebraických výrazů koncipováno ve vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace, 2. stupeň, v tematickém okruhu Číslo a proměnná jako učivo s výstižným označením – Výrazy (číselný výraz a jeho hodnota, proměnná, výrazy s proměnnými; mnohočleny). Dále se algebraické výrazy promítají do dalšího učiva, a to do Rovnic (lineární rovnice, soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými) a to především při řešení slovních úloh pomocí rovnic. Téma Číslo a proměnná navazuje na prvostupňový tematický okruh Čísla a početní operace.
Vybrané očekávané výstupy dle RVP ZV tematického okruhu Číslo a proměnná pro učivo Výrazy:
provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu,
modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel,
20
užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek – část (přirozeným číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem),
matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných; určí hodnotu výrazu, sčítá a násobí mnohočleny, provádí rozklad mnohočlenu na součin pomocí vzorců a vytýkáním,
formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav. ([48] s. 29 – 34) Toto téma se dále vyučuje i na 3. stupni českého vzdělávání, např. v Rámcovém vzdělávacím programu pro gymnázia jsou algebraické výrazy koncipovány též ve vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace a dokonce i ve stejně označeném tematickém okruhu – Číslo a proměnná, jako na 2. stupni vzdělávání. Učivo je zde pojmenováno jako Výrazy s proměnnými, kde se řeší především mnohočleny, lomené výrazy a výrazy s mocninami a odmocninami. Dále se opět používají i v následujícím učivu – Rovnice a nerovnice.
Vybrané očekávané výstupy dle RVP G tematického okruhu Číslo a proměnná pro učivo Výrazy s proměnnými:
užívá vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel,
provádí operace s mocninami a odmocninami, upravuje číselné výrazy,
rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců, aplikuje tuto dovednost při řešení rovnic a nerovnic.
Při porovnání uvedených očekávaných výstupů pro 2. stupeň základních škol a pro gymnázia lze odvodit, že rozdíly jsou nepatrné a budou pravděpodobně markantní pouze v náročnosti jednotlivých příkladů určených pro jednotlivé stupně škol.
([49] s. 21 – 25)
4.2 Zařazení ve vybraných ŠVP
V rámci své pedagogické praxe jsem měla možnost vyučovat právě téma Algebraických výrazů na dvou libereckých školách, na Základní škole 5. května a na Základní škole Broumovská. Toto téma bylo dle školního vzdělávacího programu na Základní škole 5. května zařazeno do 1. poloviny 8. ročníku a na Základní škole Broumovská až do 2. poloviny 8. ročníku. Lomené výrazy však byly již obdobně na obou školách koncipovány v 1. polovině 9. ročníku. Na souvislé praxi jsem proto měla možnost vyzkoušet i své příklady určené nejen k procvičování, ale i k probrání nové látky. Dle ŠVP bylo toto téma v obou školách navrženo obdobně. ([55]; [56])
21
V 8. ročníku jsem v algebře navazovala na druhou a třetí mocninu a odmocninu.
Po probrání tématu Výrazy a jejich využití následovaly lineární rovnice. Učivo Výrazy a jejich využití se zaměřovalo především na proměnnou ve výrazu a operace s výrazy.
V 9. ročníku se na začátku školního roku k tématu opět vracelo nejprve formou opakování a poté se dále rozvíjely žákovské znalosti tohoto tématu přidání učiva, týkajícího se rozkladu výrazů na součin a vytýkání za pomoci vzorců, což pokračovalo až k novému tématu Lomené výrazy.
5. Srovnání vybraných učebnic a doprovodných textových děl
Pro některé učitele a učitelky se může stát výběr vhodné učebnice zásadním. Někdy se však stává, především u začínajících učitelů, že se musí spokojit s učebnicí, kterou vybral jiný učitel matematiky ještě před jeho/jejím příchodem do školy. A z důvodu náročnosti finančních nákladů není možné vybrané učebnice na přání začínajícího učitele vyměnit.
Vybrání vhodné učebnice však přináší nejen žákům, ale i učiteli značná pozitiva – např.
učebnice pomůže s výběrem obsahu učiva a v některých případech i s možným didaktickým řešením, jak žáky s tímto učivem seznámit. Navíc pro žáky zajímavá a vhodně upravená učebnice zcela jistě může podnítit zájem o učivo a značně ho i zpříjemnit.
Dále jsou uvedeny vybrané učebnice z českých nakladatelství a jejich hrubé porovnání.
Zaměřila jsem se především na díly z vydaných řad, které se věnují přímo tématu Algebraické výrazy. Zvolila jsem ty (Fraus, Prodos, Prometheus, pracovní sešity z TV Graphics), které jsem já osobně využívala na školách, kde jsem vyučovala v rámci svých průběžných a souvislých praxí. Navíc jsem přidala i nakladatelství Nová škola, kterou jsem si velmi oblíbila a často jsem z ní čerpala náměty do své výuky. Uvedené výhody a nevýhody jsou vypsány na základě rozhovorů s praktikujícími učiteli a především na mých vlastních osobních zkušenostech. Vše je doplněno o jednotlivé ukázky tématu Lomené výrazy všech publikací, které jsou v současné době k dispozici na českém trhu (viz Příloha P1).
22
5.1 Fraus
Nakladatelství Fraus bylo založeno roku 1991 v Plzni. Největšího rozmachu však zaznamenalo po roce 2003, kdy se kromě vydávání učebnic pro výuku cizích jazyků, začalo nakladatelství věnovat i práci na učebnicích pro další výukové předměty.
V dnešní době přináší instituce kolem 100 novinek ročně a řadí se tak mezi největší nakladatelství v České republice. V roce 2007 dokonce Fraus přichází na český trh s naprosto inovující novinkou – s interaktivní učebnicí. Z hlediska matematiky je k dispozici osm dílů, pro každý ročník dva díly učebnic, které jsou navíc doplněny o pracovní sešity pro žáky. Dále se v nabídce nachází i příručky pro učitele, kde jsou formulovány cíle jednotlivých tematických celků, metodické poznámky, komentáře k práci s učivem, náměty pro samostatnou práci žáků, náměty pro další rozšíření učiva, náměty na projekty a výsledky všech úloh ze základní učebnice i z pracovního sešitu.
Příručka obsahuje i informace o všem, co je uvedeno na liště, a to v takovém rozsahu, aby učitel nemusel tyto informace vyhledávat v jiných zdrojích. ([50])
Algebraické výrazy jsou opět koncipovány v učebnicích pro 8. (téma Výrazy) a pro 9. (téma Lomené výrazy) ročník. Kapitola je uvedena krátkým úvodem, který může učitele navnadit k tématům, které je nutno zopakovat. Dále se tu nachází menší množství variabilních příkladů, které slouží spíše jako ukázková cvičení. Pro další procvičování je nutno pro žáky obstarat další příklady a cvičení. Jinak učebnice obsahuje i kvalitní grafiku, která není příliš přeplácaná. Teorie je zde výrazně odlišena.
Velkou výhodou je však lišta, která obsahuje mezipředmětové vztahy, upozornění, zajímavosti, rozšíření učiva a mnoho další. Dalším významným pozitivem je možnost (od roku 2007) zakoupení interaktivní učebnice, která propojuje práci s multimédii a klasickou učebnicí, což znamená, že v i-učebnici jsou uvedeny všechny stránky dané učebnice, které jsou však rozšířeny o sadu aktivit a možností práce s dětmi. Obrázky lze zvětšit, k některým tématům se objevují videa, animace, další cvičení a mnohé další.
Velkým lákadlem je téměř 100 % podpora ve všech typech počítačů. ([3]; [4]; [5]; [6];
[7]; [8]; [50])
Výhody: kvalita textu, grafika, zvýraznění teorie, mezipředmětové vztahy, průřezová témata, interaktivní učebnice
Nevýhody: nedostatek příkladů (nutnost vlastnit sbírku nebo vytvořit pracovní listy)
23
5.2 Nová Škola
Brněnské nakladatelství Nová Škola vydává své publikace již od roku 1997 a zaměřuje se především na učebnice a pracovní listy pro základní školy. Pro předmět matematika se již nyní připravuje nová upravená řada učebnic a pracovních sešitů. Každý ročník 2. stupně základní školy obsahuje dvě základní učebnice – geometrie a algebry či aritmetiky. Vše je doplněno o několik pracovních sešitů. Navíc lze zakoupit i CD s množstvím příkladů, což umožní i interaktivitu při výuce. ([52])
Téma Algebraické výrazy je obsaženo v učebnici algebry pro 8. a 9. ročník a v pracovních sešitech Počtářské chvilky pro 8. ročník a Chvilky s algebrou pro 9. ročník. V 8. třídě se tak žáci seznámí s látkou Výrazy s proměnnou a učí se výrazy rozeznat, vypočítat hodnotu výrazu, dosazovat do výrazu, sčítat, odčítat a násobit výrazy. V 9. třídě pak své znalosti prohlubují a pronikají do problematiky lomených výrazů. Při prvním nahlédnutí do učebnice se může zdát být obsah nepřehledný, po dalším bádání však čtenář objeví zákonitosti napsaného textu. Kapitoly věnující se výrazům mají velké množství barev, každá barva tu má svojí funkci.
Objevují se tu žluto-hnědé tabulky se zábavnými příklady, modré tabulky s radami a upozorněními pro žáky, růžové tabulky s teorií a doplňkovými příklady. Dále autoři nezapomněli ani na ukázkové příklady, příklady pro nadané žáky (tzv. Zlatý test), obrázkovou motivaci pro žáky. Jediné, co jsem postrádala, bylo uvedení mezipředmětových vztahů. Tyto učebnice jsou doplněny i o pracovní sešity (Počtářské chvilky), které obsahují řadu příkladů k procvičování, kde se objevuje i propojenost učiva a spirálové učivo (příklady ke starší látce).
Uvedené výhody a nevýhody jsou pro starší řadu, protože v této době ještě není celá nová řada na českém trhu k dispozici. ([35]; [36]; [37]; [38]; [52])
Výhody: grafické zpracování, jednoduchost a kvalita textu, zajímavosti z dané oblasti, zajímavé a motivační úlohy, úlohy na rozvoj logického myšlení, propojenost učiva, CD s příklady
Nevýhody: počet učebnic, bez mezipředmětových vztahů, barevná „přeplácanost“
24
5.3 Prodos
Nakladatelství Prodos funguje na českém trhu již od roku 1990. Patří dokonce mezi první české nakladatelství, které vytvořilo první komentované učebnice pro učitele.
V současné době mnoho řad učebnic prochází změnami, doložkami, popř. jsou zcela přepracovány (např. matematika pro 1. stupeň). Učebnice určené pro 2. stupeň základní školy jsou pouze po menších úpravách a tvořeny vždy jednou učebnicí pro každý ročník, učebnicí s komentářem pro učitele, dvěma pracovními sešity, pracovními sešity s komentářem pro učitele, dvěma díly matematických minutovek. ([54])
Problematika algebraických výrazů v těchto učebnicích postrádá jakoukoliv počáteční motivaci a teorie je značně omezena, ale výrazně odlišena žlutými rámečky v textu.
Navíc se u těžších postupů řešení objevují i ukázkové příklady. Autoři používají i s mírou barevnost v textu, což podněcuje čtenáře k přečtení. Každá stránka je doplněna o šedou lištu, kde se nachází pomůcky pro řešení uvedených příkladů, zajímavosti z historie algebry a témata prohlubující učivo. Kniha je naplněna velkým množstvím příkladů na procvičování, které jsou v logickém sledu uspořádány do jednotlivých cvičení. ([24]; [25]; [26]; [27]; [28]; [29]; [39]; [40]; [54])
Výhody: grafické zpracování, podélná lišta s radami, doplňkovými otázkami, zajímavostmi, variabilita cvičení, ukázkové příklady
Nevýhody: bez mezipředmětových vztahů, bez interaktivity
5.4 Prometheus
Prometheus je jedno z nejstarších (1993) a nerozšířenějších českých nakladatelství, které se specializuje na výrobu školních učebnic a pracovních sešitů a dalších školních potřeb pro učební předměty – matematika a fyzika. Pro 2. stupeň základní školy jsou vytvořeny dvě ucelené řady, které se skládají ze dvou či tří dílů v každém ročníku.
Učebnice jsou dále doprovázeny pracovními sešity. Druhá řada je navíc doplněna o metodickou příručku pro učitele, kde se uvádí alternativní postupy výkladu, náměty k práci ve třídě, hry, historické poznámky a jiné. ([51])
Algebraické výrazy jsou součástí 1. dílů pro 8. ročník a 1. dílu pro 9. ročník (Lomené výrazy). Autoři se zaměřili především na matematická cvičení, teorie je zde minimální, ale postačující a vždy výrazně odlišena v textu. Avšak téma algebraických výrazů (Odvárko – Kadleček) postrádá jakoukoliv motivaci, neobjevují se zde ani motivující či zábavné příklady. Navíc grafika je příliš mdlá, vše je stylizováno do bílo-černo-modré
25
kombinace. Teorie je však jasná a stručná a výrazně odlišena v textu, dále se tu objevuje i mnoho příkladů na procvičování (navíc jsou další uvedeny ve sbírce), ale bez ukázkových příkladů. Velmi zajímavou kapitolou je část věnující se algebraických výrazům v matematice a v životě, která žákům přibližuje důležitost znalosti tohoto tématu. ([30]; [31]; [32]; [51])
V druhé řadě je látka dle mého názoru zpracována s větším důrazem a kvalitou, protože hned první stránka s kapitolou Výrazy obsahuje stručné uvedení do tématu, ukázky jednotlivých operací a řešené ukázkové příklady. Stále je však text koncipován pouze v tříbarevné verzi (bílá, černá, zelená pro 8. ročník a bílá, černá, modrá pro 9. ročník) a teorie není dostatečně vyznačená, a tak se ztrácí v textu. Žákům je stále k dispozici dostatek příkladů k procvičování jednotlivých matematických operací s výrazy. A autoři se navíc snaží zavést lištu jako u jiných nakladatelství, zatím však pouze se zadáním rozšiřujících příkladů. ([43]; [44]; [51])
Výhody: grafické zpracování teorie (1. řada), množství a variabilita příkladů, nepřetěžování žáků teorií
Nevýhody: bez motivace (1. řada), jednoduchost v barevnosti, bez mezipředmětových vztahů, absence ukázkových příkladů (1. řada), bez interaktivity
5.5 TV Graphics
TV Graphics je poměrně nová firma, která se zabývá výrobou pracovních sešitů. Učivo v každém ročníku je soustředěno do třech pracovních sešitů, kde jsou příklady označeny třemi písmeny A, B, C podle stupně náročnosti. A jsou jednoduché příklady, B složitější a C jsou nejnáročnější příklady. Každý větší celek je navíc opatřen opakovacím testem.
Pro učitele je možné objednat i CD s řešenými příklady. ([53])
Téma Algebraické výrazy se nachází ve 2. díle pro 8. ročník, kde se žáci procvičí v úvodu tématu, sčítání a odčítání, násobení a dělení celistvých výrazů, úpravě výrazů za pomoci vytýkání a dle vzorců, a v 2. díle pro 9. ročník, kde žáci utužují své znalosti v oblasti úpravy výrazů za pomoci vytýkání a dle vzorců, lomených výrazů. ([15]; [16];
[53])
Výhody: cena, diferenciace příkladů (rozdělení na A, B, C), množství a variabilita příkladů
Nevýhody: pouze pracovní sešity, černobílá grafika
26
6. Didaktický pohled na téma
Orientace v tématu algebraických výrazů, jejich operací a úprav je jednou z nejzákladnějších znalostí v matematice na základní a střední škole. Vědomosti v tématu jsou totiž nezbytným předpokladem k dalšímu studiu, protože v mnoha tématech matematiky se znalost algebraických výrazů předpokládá. V rámci výpočtu, který obsahuje počítání s algebraickými výrazy, můžeme detekovat několik druh chyb, a to od nejzákladnější numerické až po obtížnější chyby ve výpočtech. Podle druhu chyby pak učitel musí volit správnou korekci chyby a samozřejmě v některých případech popř. i zopakovat postup výpočtu.
Ve výpočtu můžeme nalézt chyby tohoto druhu ([12] s. 138 – 179; [21] s. 187 – 193):
numerické chyby – chyby vyplývající z nesprávného sečtení, odečtení, násobení, dělení výrazů s rozdílnými proměnnými,
Ukázkové příklady:
chyby způsobené zápisem – nepřehledně či neúplné zápisy, nedbalé psaní písmen a cifer, časté škrtání a přepisování,
podstatné chyby,
o chybné znaménko při odstranění závorky, Ukázkové příklady:
o nesprávné krácení,
Ukázkový příklad:
27 o chybné násobení dvojčlenu, Ukázkový příklad:
o špatné určení definičního oboru,
Ukázkový příklad:
o nesprávné umocňování či odmocňování,
Ukázkový příklad:
o chyby vyplývající z neznalosti operací s mocninami, Ukázkový příklad:
o chyby vyplývající z nevhodně zvolené strategie řešení, o jiné,
chyby vyplývající z osobnosti studenta – nepozornost, nesoustředěnost, časový spěch, „špatný den“, malá motivace k učení, špatný zápis postupu, nepochopení zadání, tápání, bezradnost, mentální omezení a jiné.
Z důvodu propojení mnoha témat matematiky je tato látka pro žáky náročná. Studenti mívají problémy s výpočty především na střední škole, kde náročnost látky graduje.
Obtížnost souvisí především s požadavky na abstraktní myšlení a zobecňování. Mnoho problémů může být způsobeno formalismem. Základní podmínkou orientaci v tématech algebry je pro žáky porozumění tomu, že „písmeno“ může mít v algebře více funkcí.
28
Základní významy písmen v algebře jsou ([12] s. 138 – 179):
proměnná, např. , kde je proměnná,
konstanta, např. , kde je konstanta,
neznámá v rovnici, např. , kde je neznámá,
pevně dané označení, např. .
Z didaktického hlediska můžeme práci s algebraickými výrazy rozdělit do tří hladin:
modelování (nejnižší hladina) – vyjadřování slovního textu symboly (např. sudé číslo zapsáno jako , kde ),
standardní manipulace se symboly – úprava algebraických výrazů podle dobře známých pravidel (např. ),
strategická manipulace se symboly (nejvyšší hladina) – taková úprava, ve které řešiteli nestačí nacvičené šablony řešení, ale potřebuje objevit myšlenku, neboli strategii postupu výpočtu, která by ho dovedla k cíli (např. ).
Hranice posledních dvou hladin je pohyblivá, což znamená, že závisí na úrovni řešitele.
Úloha může být jinak hladinově náročná pro žáka 8. třídy než pro žáka kvinty, ale rozdíl může být znatelný i mezi žáky 8. třídy a tercie. Drobné diferenciace může být rozpoznány i uvnitř dané třídy. ([12] s. 138 – 179)
6.1 Modelování
Modelování je sice nejnižší, ale zároveň i nejdůležitější hladinou jazyka algebry. Umět modelovat znamená správně chápat smysl a význam metody. Tato hladina se používá při řešení většiny slovních úloh, při počítání délek, obsahů, objemů, úhlů a v analytické geometrii. Nejčastějším způsobem, kterým se žáci v dnešní době učí modelovat, je napodobování. Učitel demonstruje postup výpočtu a žák poté imituje jeho kroky a postup zopakuje. Prvním krokem je pro žáky naučit se slovní zápis vyjádřit pomocí algebraického výrazu (viz Pracovní list č. 1 s. 47) a naopak algebraický výraz správně vyjádřit zápisem (viz Pracovní list č. 7 s. 65). ([12] s. 138 – 179)
Ukázkové příklady:
zápis sudého čísla:
obsah čtverce:
vzorec pro umocňování dvojčlenu
29
6.2 Standardní manipulace se symboly
Jedná se především o základní matematické operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení) s algebraickými výrazy, vztahy pro druhou (či třetí) mocninu a odmocninu, rozklady mnohočlenů na součin.
Metodě standardní manipulace s algebraickými výrazy naučíme žáky především usilovnou prací. Žáci by měli spočítat mnoho příkladů, aby se jim stal jazyk symbolů jasným.
Dobrá znalost standardní manipulace je nevyhnutelný předpokladem dalšího vzdělávání v matematice. ([12] s. 138 – 179)
Ukázkové příklady:
Upravte dané algebraické výrazy:
Řešení:
