Dimensioneringsmetoder för platta på mark utsatt för koncentrerad last

(1)

Postadress: Besöksadress: Telefon:

Box 1026 Gjuterigatan 5 036-10 10 00 (vx)

Dimensioneringsmetoder för platta på mark

utsatt för koncentrerad last

Analysis methods for slabs on ground subjected to

concentrated loading

Johan Gripeteg

Sackarias Johansson-Näslund

EXAMENSARBETE 2016

Byggnadsteknik

(2)

Examinator: Peter Johansson Handledare: Kjell Nero Omfattning: 15 hp

(3)

Förord

Detta examensarbete är utfört under våren 2016 vid Jönköpings Tekniska Högskola inom ämnet byggnadsteknik i samarbete med VBK konsulterande ingenjörer AB. Vi vill rikta ett stort tack till vår handledare Kjell Nero och till David Froh på VBK som kommit med både goda råd och bra idéer under arbetets gång.

(4)

Abstract

Purpose: Despite many previous articles and tests on the subject “analysis methods for

concrete slabs on ground subjected to concentrated loading” there is still uncertainty on which analysis method to use and if the results correspond to real failure loads. The purpose of this study has been to evaluate and compare different analysis methods for slabs on ground subjected to concentrated loading.

Method: Initially literature studies was performed where different analysis methods

were studied. Three methods were chosen based on different aspects. It was found that A. Losbergs (1961) method was mainly used in Sweden while other countries in Europe used Meyerhofs (1962) method. Rao & Singhs (1986) method has a similar approach compared to Meyerhofs but ads two different types of failure modes. Two peer re-viewed articles were also chosen from which secondary data could be retrieved. The articles described tests where concrete slabs were loaded until failure. The test condi-tions were used to perform calculacondi-tions with the three analysis methods. A comparison was made between the test results and the results from calculations.

Findings: It is concluded that there are some differences between Losbergs, Meyerhofs

and Rao & Singhs analysis methods. Largely the three methods require the same input, they differ in selection of analysis solution, but despite a degree of variation of the calculation results the overall picture for the different loading cases are quite unified. For central loading all analysis methods result in a capacity lower than the test values, varying from 56% to 93% of the failure load. Concerning edge and corner cases the spread of results is even wider. Calculations for the reinforced slab results in a capacity higher than the test values while calculations for the plain concrete slab results in a capacity considerably lower than the test values.

Implications: The results in this study indicates that the three analysis methods are

applicable for internal loading. The spread of the results makes it difficult to estimate the margin to the actual failure load, but the safety factors according to Eurocode 2 should provide a safe failure margin. Regarding edge and corner cases it is more diffi-cult to draw conclusions due to the large spread of results. Further research and testing is needed.

Limitations: The study is limited to three analysis methods and the results from two

articles where two different concrete slabs were tested. Inclusion of additional analysis methods and articles with test results would expand the generalizability of the study. However due to the limitations of the extent of the study and disposable time this was not possible.

Keywords: Meyerhof, Rao & Singh, Losberg, concrete slab on ground, concrete slab

(5)

Sammanfattning

Syfte: Trots tidigare utredningar och undersökningar finns det idag en stor osäkerhet

hur väl de analysmetoder som finns för att analysera betongplattors bärförmåga över-ensstämmer med verkligheten. Rapportens syfte har varit att analysera och utvärdera olika analysmetoder för platta på mark utsatta för koncentrerade laster.

Metod: Inledningsvis startade arbete med en litteraturstudie där olika analysmetoder

studerades. Tre metoder valdes ut under litteraturstudien för att vidare analyseras och utvärderas. Under litteraturstudien konstaterades att Losbergs (1961) metod används i Svenska handböcker och dimensioneringsguider. I flera andra Europeiska länder an-vänds Meyerhofs (1962) metod vid dimensionering av betongplattor på mark. Rao & Singhs (1986) metod liknar Meyerhofs men beaktar ytterligare två typer av brott. Som grund för analysen och utvärderingarna har sekundärdata från två vetenskapligt grans-kade artiklar använts som indata för beräkningar med de valda metoderna. Jämförelser har sedan gjorts mellan de teoretiska och de dokumenterade värdena i artiklarna.

Resultat: De tre metoderna kräver i stort sett samma indata, de har olika ansatser men

ger trots en viss spridning i resultat en relativt samlad bild. De teoretiska värdena stäm-mer dock inte alltid så bra överens med de uppmätta värdena. För inre last ger samtliga metoder en för låg kapacitet i förhållande till uppmätta värden med en variation från 56% till 93% för de två provtryckta plattorna. Spridningen för kant- och hörnlast är ännu större, för den armerade plattan ger samtliga metoder för höga värden och för den oarmerade plattan ger metoderna för låga värden.

Konsekvenser: Resultatet i studien tyder på att de undersökta metoderna kan användas

vid beräkning av inre last. Det är dock oklart hur stor marginalen till brott är men an-vändning av de partialkoefficienter som är föreskrivna i Eurokod 2 bör ge en tillräcklig säkerhetsmarginal. För kant och hörnlast är det däremot svårare att dra några slutsatser, här krävs vidare studier och provtryckningar.

Begränsningar: Studien har varit begränsad till tre analysmetoder och data från två

provtryckningar. Inkludering av fler analysmetoder och provtryckningar skulle göra re-sultatet mer generaliserbart. På grund av studiens begränsning i tid och omfattning har detta dock inte varit möjligt.

Nyckelord:Platta på mark, koncentrerade laster på platta på mark, Losberg, Meyerhof, Rao & Singh, analysmetoder för platta på mark, koncentrerad last.

(6)

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1

1.1 BAKGRUND ... 1 1.2 PROBLEMBESKRIVNING ... 1 1.3 MÅL OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ... 1 1.3.1 Mål ... 1 1.3.2 Frågeställningar ... 1 1.4 AVGRÄNSNINGAR ... 2 1.5 DISPOSITION ... 2

2 Metod och genomförande ... 3

2.1 UNDERSÖKNINGSSTRATEGI ... 3

2.2 KOPPLING MELLAN FRÅGESTÄLLNINGAR OCH METODER FÖR DATAINSAMLING ... 3

2.3 VALDA METODER FÖR DATAINSAMLING ... 4

2.3.1 Litteraturstudie ... 4 2.3.2 Beräkningar ... 4 2.4 ARBETSGÅNG ... 4 2.5 TROVÄRDIGHET ... 5 2.5.1 Reliabilitet ... 5 2.5.2 Validitet ... 5

3 Teoretiskt ramverk ... 6

3.1 KOPPLING MELLAN FRÅGESTÄLLNINGAR OCH TEORI ... 6

3.2 MEYERHOFS ANALYSMETOD ... 6

3.2.1 Förutsättningar ... 6

3.2.2 Momentkapacitet ... 11

3.2.3 Enstaka koncentrerade laster ... 11

3.2.4 Multipla koncentrerade laster ... 12

3.3 LOSBERGS ANALYSMETOD ... 13

3.3.1 Inre last ... 14

(7)

3.3.3 Hörnlast ... 25

3.4 RAO &SINGHS ANALYSMETOD ... 27

3.4.1 Inre last ... 27

3.4.2 Last nära kant ... 28

3.4.3 Last vid kant... 29

3.4.4 Hörnlast ... 30

3.5 SAMMANFATTNING AV VALDA TEORIER... 30

4 Empiri ... 32

4.1 SEKUNDÄRDATA FRÅN ØVERLIS PROVTRYCKNINGSEXPERIMENT ... 32

4.1.1 Undergrund ... 32

4.1.2 Betongplatta... 32

4.1.3 Belastning ... 32

4.1.4 Materialegenskaper ... 32

4.1.5 Brottlast, brottstyp och sprickbildning ... 33

4.2 SEKUNDÄRDATA FRÅN ALANIS M. FL. PROVTRYCKNINGSEXPERIMENT ... 33

4.2.1 Undergrund ... 33

4.2.2 Betongplatta... 33

4.2.3 Provtryckning ... 34

4.2.4 Materialegenskaper ... 34

4.2.5 Brottlast, brottstyp och sprickbildning ... 34

4.3 BERÄKNINGAR ENLIGT MEYERHOF MED FÖRUTSÄTTNINGAR ENLIGT ØVERLI ... 35

4.3.1 Relativ styvhetsradie ... 35

4.3.3 Brottlastberäkningar... 35

4.4 BERÄKNINGAR ENLIGT LOSBERG MED FÖRUTSÄTTNINGAR ENLIGT ØVERLI ... 37

4.4.3 Kontaktytans ekvivalenta radie ... 37

(8)

4.6 BERÄKNINGAR ENLIGT MEYERHOF MED FÖRUTSÄTTNINGAR ENLIGT ALANI ... 41

4.7 BERÄKNINGAR ENLIGT LOSBERG MED FÖRUTSÄTTNINGAR ENLIGT ALANI ... 44

4.7.3 Kontaktytans ekvivalenta radie ... 44

4.8 BERÄKNINGAR ENLIGT RAO &SINGH MED FÖRUTSÄTTNINGAR ENLIGT ALANI ... 45

4.9 SAMMANFATTNING AV INSAMLAD EMPIRI ... 48

4.9.1 Redovisning av beräkningar enligt Øverli ... 48

4.9.2 Redovisning av beräkningar enligt Alani m.fl. ... 48

5 Analys och resultat ... 50

5.1 FRÅGESTÄLLNING 1 ... 50 5.1.1 Analys ... 50 5.1.2 Resultat ... 50 5.2 FRÅGESTÄLLNING 2 ... 50 5.2.1 Analys ... 50 5.2.2 Resultat ... 51 5.3 FRÅGESTÄLLNING 3 ... 52 5.3.1 Analys Øverli ... 52 5.3.2 Resultat Øverli ... 53 5.3.3 Analys Alani m.fl. ... 53

(9)

5.3.4 Resultat Alani m.fl. ... 54

5.4 KOPPLING TILL MÅLET ... 54

6 Diskussion och slutsatser ... 55

6.1 RESULTATDISKUSSION ... 55

6.2 METODDISKUSSION ... 55

6.3 BEGRÄNSNINGAR ... 56

6.4 SLUTSATSER OCH REKOMMENDATIONER ... 56

6.5 FÖRSLAG TILL VIDARE FORSKNING ... 56

7 Referenser ... 57

(10)

1 Inledning

1.1 Bakgrund

Uppsatsen är ett examensarbete på 15 hp inom huvudområdet byggnadsteknik. Bygg-ingenjörsprogrammet 180 hp på Högskolan i Jönköping, avdelningen för byggnadstek-nik och belysningsvetenskap, Tekniska Högskolan. Arbetet skrivs i samarbete med byggprojekteringsföretaget VBK i Skövde.

1.2 Problembeskrivning

Under åren har flera dimensioneringsmetoder tagits fram i syfte att analysera en plattas förmåga att motstå nedböjning och uppsprickning vid en eller flera punktlaster. I början av 1900-talet utformades en metod av pionjären H. M. Westergaard (Westergaard, 1926). Westergaard utgår ifrån att plattans betongtvärsnitt är elastiskt, det stämmer emellertid endast så länge lasten är liten (Dhir & Henderson, 1999). Under 1960-talet utarbetade Losberg (1961, 1978) och Meyerhof (1962) parallellt metoder för att göra beräkningar i brottgränstillstånd där betongtvärsnittet antas bete sig plastiskt. Under de kommande årtiondena utvecklades ytterligare modeller som utgår ifrån brottgränstill-stånd (Baumann & Weisgerber, 1983; Rao & Singh, 1986; Shentu, Hsu, & Jiang, 1997). Det har tidigare gjorts jämförelser mellan några av metoderna, i slutet av nittiotalet gjorde Department of Civil & Environmental Engineering på University College Lon-don (UCL) en omfattande jämförelse mellan Westergaards (1926), Meyerhofs (1962), Rao & Singhs (1986) och Shentu m.fl. (1997) modeller på plattor i storleken 3 x 3m (Dhir & Henderson, 1999). Men detta ledde inte till någon klar bild över vilken metod som ska användas då dimensioneringsmetoderna skiljer sig åt länder emellan.

Trots tidigare utredningar menar Azzi & Laird (2008) att det under lång tid funnits en oro för att det finns brister i förståelsen för hur plattor på mark beter sig vid belastning av koncentrerade laster. Detta har medfört att de metoder som använts och som används alltjämt inte har tagit tillvara plattans fulla kapacitet (Elsaigh, Kearsley, & Robberts, 2011). Detta styrks även av Alani, Rizzuto, Beckett, & Aboutalebis (2014) artikel, som jämför resultaten mellan provtryckningar av plattor med dimension 6 x 6 m där teore-tiska värden beräknades med Meyerhofs analysmetod. Författarna i artikeln kommer fram till att det blir en anmärkningsvärt stor skillnad mellan de teoretiska och empiriska värdena.

1.3 Mål och frågeställningar

1.3.1 Mål

Målet är att utvärdera och jämföra dimensioneringsmetoder för platta på mark.

1.3.2 Frågeställningar

1. Hur skiljer sig metoderna åt gällande dimensioneringsgång, tillämpbarhet och begränsningar?

2. Hur skiljer sig resultaten åt mellan metoderna vid beräkningsexempel? 3. Hur förhåller sig beräkningsresultaten till empiriska resultat?

(11)

1.4 Avgränsningar

De betongplattor som avhandlas kommer att vara oarmerade eller armerade med arme-ringsstänger eller armeringsnät. Undergrundens egenskaper och beteende kommer end-ast beskrivas översiktligt.

1.5 Disposition

Kapitel 2 - Metod och genomförande. Här beskrivs vilken typ av studie arbetet är och med vilka metoder det ska genomföras för att kunna nå arbetets mål och besvara fråge-ställningarna. Arbetet är kvantitativt och empiri samlas in genom litteraturstudier och beräkningar.

Kapitel 3 - Teoretiskt ramverk. Kapitlet redogör för de teorier som ligger till grund för arbetet och gör det möjligt att besvara frågeställningarna.

Kapitel 4 - Empiri. Den empiri som samlats in redovisas i detta kapitel. Empirin består av sekundärdata från litteraturstudier och beräkningar.

Kapitel 5 - Analys och resultat. Här analyseras insamlad empirisk data och ställs mot det teoretiska ramverket. I resultatet besvaras frågeställningarna och återkopplas mot målet.

Kapitel 6 - Diskussion och slutsatser. En sammanfattning av resultatet redovisas. Där-efter diskuteras metodval och resultat. Slutsatser och rekommendationer presenteras. Referenser - Vetenskapligt källmaterial redovisas.

(12)

2 Metod och genomförande

2.1 Undersökningsstrategi

För att svara på de ställda frågeställningarna så utfördes en litteraturstudie där olika dimensioneringsmetoder studerades. Under litteraturstudien gallrades dimensioner-ingsmetoder som var intressanta ut, antigen på grund av att de används kontinuerligt vid dimensionering av platta på mark eller för att de kunde tillföra något till de redan valda metoderna. Metoderna valdes sedan ut till att utgöra det teoretiska ramverket för studien. Ramverket är en grund för jämförelser och analyser i resultatdelen (Winter, 1992).

Det kvantitativa examensarbetet grundar sig på empirisk data som samlades in genom

beräkningar.Winter (1992) menar att det är fullt möjligt att utnyttja data ifrån tidigare

undersökningar då rådata i allmänhet endast har använts till den ursprungliga undersök-ningens syfte. Två referensartiklar valdes ut (Alani m.fl., 2014; Øverli, 2014) där be-tongplattor på mark har provtryckts. Förutsättningarna och resultaten från dessa studier låg sedan till grund för beräkningsexempel med analysmetoderna. Resultaten från be-räkningarna jämfördes sedan med varandra och med resultaten från Alani m.fl. (2014) och Øverlis (2014) studier (se Figur 1).

2.2 Koppling mellan frågeställningar och metoder för

datain-samling

1. Hur skiljer sig metoderna åt gällande dimensioneringsgång, tillämpbarhet och begränsningar?

För att svara på frågeställningen har litteraturstudier av relevanta böcker och artiklar utförts.

2. Hur skiljer resultaten sig åt mellan metoderna vid beräkningsexempel?

Frågeställningen besvaras genom att beräkningar med analysmetoderna genom-förs i enlighet med de förutsättningar som beskrivs i Alani m.fl. (2014) och Øverlis (2014) artiklar.

3. Hur förhåller sig beräkningsresultaten till empiriska resultat?

Resultaten från beräkningsexemplen jämförs med resultaten från provtryck-ningarna i Alani m.fl. (2014) och Øverlis (2014) artiklar.

(13)

Figur 1. Koppling mellan frågeställning och metod

2.3 Valda metoder för datainsamling

2.3.1 Litteraturstudie

En litteraturstudie syftar enligt Winter (1992) till att samla in den redan existerande kunskap som finns inom ett område. Litteraturen utgörs i detta fall av vetenskapligt granskade artiklar och handböcker. Nypublicerade artiklar redogör ofta för den senaste forskningen inom området, var forskningsfronten går medan handböcker visar en bre-dare redan etablerad kunskap. Denna kunskap utgör sedan ett teoretiskt ramverk som kan användas till att tolka och förklara det valda problemområdet. Litteraturstudien hjälper till att precisera och begränsa frågeställningarna som får anpassas efter den kun-skap som litteraturstudien givit och vad som är möjligt att undersöka (Winter, 1992).

2.3.2 Beräkningar

För att få klarhet och stöd i hur beräkningar används som metod så studerades ett antal artiklar där beräkningar utfördes och redovisades (Alani m.fl., 2014; Radi & Di Maida, 2014; Shentu m.fl., 1997; Øverli, 2014). I dessa artiklar gjordes även jämförelser med provtryckningar. Parametrar som partialkoefficienter och materialegenskaper har för-ändrats under åren. Med hjälp av Eurokod 2 (Swedish Standards Institute, 2008) och Technical Report 34 (TR34) (The Concrete Society, 2003) har nödvändiga parametrar anpassats till nu gällande normer. Detta gör det möjligt att utföra beräkningarna enligt förutsättningarna i Alani m.fl. (2014) och Øverli (2014) artiklar och att jämföra resul-taten från beräkningarna med provtryckningsresulresul-taten.

2.4 Arbetsgång

Litteraturstudien inleddes med sökningar efter relevanta vetenskapliga artiklar inom området för att få en överblick. De databaser som användes var Scopus och Worldcat local. Sökord som användes var ”concrete slab on ground”, ”concrete slab on grade”, ”point load”, ”concentrated load”. Under litteraturstudien noterades en rad teorier som tagits fram i syfte att analysera plattors på mark bärförmåga. För att göra arbetet mer överskådligt och hanterbart sökte författarna främst efter metoder som används inom Sverige och Europa.

Hur förhåller sig beräk-ningsresultaten till empi-riska resultat?

Hur skiljer sig meto-derna åt gällande di-mensioneringsgång,

till-lämpbarhet och

be-gränsningar?

Beräkningar

Hur skiljer resultaten sig åt mellan metoderna vid beräkningsexempel? Litteraturstudie

(14)

Efter genomgång av dimensioneringshandböcker och anvisningar kan det konstateras att det framförallt är Losbergs (1961, 1978) metod som används i Sverige vid dimens-ionering av plattor som utsätts för koncentrerade laster (Svenska Betongföreningen,

2008), (Losberg, 1961, 1978).Andra länder i Europa använder sig av Meyerhofs (1962)

metod vid dimensionering (The Concrete Society, 2016; Øverli, 2014).

Under litteraturstudien uppmärksammades att en metod framtagen av Rao & Singh (1986) omnämns i en rad artiklar och dimensioneringsanvisningar (Elsaigh m.fl., 2011; Kennedy & Goodchild, 2003; Øverli, 2014). Enligt Dhir & Henderson (1999) analyse-rar Rao & Singh om brottstypen är styv eller halv styv vilket skiljer sig från Losbergs och Meyerhofs sätt att se på brott. Därför inkluderades Rao & Singhs (1986) analysme-tod då denna möjligen skulle kunna tillföra något i analysen av betongplattor jämfört med de metoder som vanligen används inom Europa.

En grundförutsättning för att kunna besvara frågeställningarna var att hitta artiklar med sekundärdata som kunde användas vid beräkningar med metoderna. Två artiklar med värdefull sekundärdata hittades. De två artiklarna beskriver två provtryckningar på två olika typer av plattor, en oarmerad i dimensionen 6x6m och en dubbelarmerad i di-mensionen 3,5x3,5m (Alani m.fl., 2014; Øverli, 2014).

Utefter förutsättningarna i Alani m.fl. och Øverlis artiklar gjordes beräkningar med de tre analysmetoderna. Beräkningarna och resultaten redovisades, sammanställdes och analyserades.

2.5 Trovärdighet

2.5.1 Reliabilitet

De valda metodernas reliabilitet beskriver i vilken mån de ger tillförlitliga resultat och inte påverkas av tillfälligheter, en annan författare ska kunna använda samma metoder och få samma resultat (Winter, 1992). Litteraturen har samlats in från en rad olika för-fattare och institut och i de fall som motsägelsefulla uppgifter funnits så har de disku-terats och redovisats. Den sekundärdata som använts i arbetet har hämtats ifrån veten-skapligt granskade artiklar. Beräkningarna har genomförts enligt författarnas anvis-ningar och utförts i huvudsak med Excel. Kontrollräkning har också utförts för hand för att säkerställa att Excellformlerna utförts korrekt.

2.5.2 Validitet

Validitet beskriver en metod och dess resultats giltighet, i vilken mån metoden mäter det som den avser att mäta och om resultatet är relevant för problemet (Winter, 1992). Litteraturstudie och beräkningar är väl etablerade som metoder, det som bestämmer studiens validitet är valet av analysmetoder vilket beskrivs ingående i litteraturstudien, samt att bakgrunden till sekundärdata som inhämtats till beräkningarna utförligt redo-visas för läsaren. Enligt Patel & Davidsson (2011) är det viktigt att teori och empiri samlas in från flera olika källor. Förutom originalartiklar där de valda analysmetoderna presenteras så har andra källor använts där metoderna diskuteras eller används. Den insamlade sekundärdata som använts till beräkningar i studien har hämtas från två olika källor.

(15)

3 Teoretiskt ramverk

3.1 Koppling mellan frågeställningar och teori

I det här kapitlet presenteras teorierna som undersökts (se Figur 2). För teorierna ges bakgrundsfakta kring hur författaren för teorin resonerat och de förutsättningar som är gällande för beräkningarna. De matematiska ekvationer som använts för att göra jäm-förelser, analyser och beräkningar redovisas i korthet. För fullständiga formler och härledningar hänvisas läsaren till de refererade skrifterna (Losberg, 1961, 1978; Meyerhof, 1962; Rao & Singh, 1986).

Figur 2. Koppling mellan frågeställningar och teori

3.2 Meyerhofs analysmetod

3.2.1 Förutsättningar

1962 presenterade George Geoffrey Meyerhof en metod för att uppskatta den maximala bärförmågan för betongplattor på mark. Meyerhof konstaterade att spricklasten för en platta kan uppskattas med hjälp av elastisk teori enligt Westergaards (1926) metod, men för att beräkna maximal lastkapacitet i brottgränstillstånd så måste plastisk teori använ-das (Meyerhof, 1962). Metoden utnyttjar mer av plattans kapacitet än Westergaards (1926) elastiska analys då hela betongens böjdraghållfasthet utnyttjas om plattan är oar-merad. Dessutom så anser Meyerhof att plattans beteende efter sprickbildning (duktili-tet) kan utnyttjas till att bära ytterligare last då plattan är armerad i underkant. Marken under plattan antas bete sig elastiskt (Meyerhof, 1962; The Concrete Society, 2003). Meyerhof utvecklade tre olika lastfall beroende på var på plattan lasten angriper. Inre last som angriper centralt på plattan, kantlast och hörnlast. Metoden är tillämpbar både för oarmerad och armerad betongplatta (Meyerhof, 1962).

Undergrundens egenskaper

Meyerhof (1962) beskriver två olika modeller för hur mark beter sig vid belastning.  Winklers fjäderbäddsmodell, där marken tänks reagera som en tung vätska då

plattan belastas. Endast marken direkt under lasten deformeras och det vertikala Hur förhåller sig

beräk-ningsresultaten till empi-riska resultat?

Hur skiljer de tre meto-derna sig åt gällande di-mensioneringsgång, till-lämpbarhet och begräns-ningar?

Hur skiljer resultaten sig åt mellan metoderna vid beräkningsexempel?

Teorier:

Losberg Meyerhof Rao & Singh

(16)

marktrycket blir direkt proportionerligt mot lasten likt en elastisk fjäderbädd där fjädrarna är oberoende av varandra. Inga skjuvkrafter överförs till intilliggande undergrund. Bäddmodulen (𝑘) bestämmer likt en fjäderkonstant markens styv-het vid belastning. Bäddmodulens värde för olika jordtyper redovisas i Bilaga 1. Vid dimensionering av en plattas tjocklek så har bäddmodulens värde liten inverkan på tjockleken (h). 50 % ändring av 𝑘 ger 5% ändring av plattjocklek (The Concrete Society, 2003). Däremot har bäddmodulen större betydelse vid beräkning av nedböjning i brukgränstillstånd (Meyerhof, 1962; The Concrete Society, 2003; Westergaard, 1926).

 Marken reagerar som en elastisk fast kropp vid belastning. Både arean under lasten och intilliggande mark deformeras då skjuvkrafter överförs. Markens elasticitetsmodul (𝐸𝑠) betecknar här jordens styvhet och varierar med jordart

och belastningsvaraktighet (se Bilaga 1) (Meyerhof, 1962; The Concrete Soci-ety, 2003).

Relativ styvhetsradie

Westergaard (1926) introducerade på 1920-talet begreppet relativ styvhetsradie. Den relativa styvhetsradien är beroende av betongplattans styvhet och markens bäddmodul

(𝑘) eller elasticitetsmodul (𝐸_𝑠) beroende på vilken markmodell som väljs.

Betongplat-tans styvhet beräknas enligt nedan: 𝐸_𝑐𝑚∙ ℎ3

12 ∙ (1 − 𝑣_𝑐2₎

𝐸𝑐𝑚 [MPa] betongens elasticitetsmoduls medelvärde

ℎ [m] betongplattans tjocklek

𝑣_𝑐=0,2 Poissons tal för betong enligt Eurokod 2 (Swedish

Stan-dards Institute, 2008) Relativa styvhetsradien beräknas enligt:

Winklers modell 𝑙 = √ 𝐸𝑐𝑚 ∙ ℎ 3 12 ∙ (1 − 𝑣_𝑐2_)𝑘 4 𝑙 [m] relativ styvhetsradie

𝑘 [N/m3] undergrundens bäddmodul (se Bilaga 1)

Elastisk fast kropp

𝑙 = √𝐸𝑐𝑚 ∙ ℎ

3_{(1 − 𝑣}

𝑠2)

6(1 − 𝑣𝑐2)𝐸𝑠

3

(17)

𝐸_𝑠 [MPa] undergrundens elasticitetsmodul (se Bilaga 1)

Enligt TR34 (The Concrete Society, 2003) så är dessa två modeller extremer och jor-dens verkliga respons ligger någonstans där emellan men Winklers modell har tradit-ionellt varit den metod som använts. Winklers modell kommer användas i samtliga be-räkningar (Meyerhof, 1962; The Concrete Society, 2003).

Sprickbildning

När en koncentrerad last belastar en betongplatta på mark så uppstår spänningar och deformation av betongen. Spänningen blir som störst rakt under lasten där det största positiva momentet uppstår på grund av böjdragspänning. När momentet överskrider

betongens böjdraghållfasthet (𝑓_{𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙}) så uppstår ett koniskt brott på undersidan av

plat-tan och ett oändligt antal sprickor sprider sig radiellt ut från lastens centrum (se Figur 3). När lasten ökar så sker till slut ingen ökning av det positiva momentet på grund av redistribution av moment då tvärsnittet övergår från elastiskt till plastiskt. Däremot ökar det negativa momentet längs en cirkulär linje på ett avstånd av ca 2 styvhetsradier (𝑙) från lasten. När det negativa momentet uppnår betongens böjdraghållfasthet uppstår sprickor längs denna linje på ovansidan av plattan. I detta stadium menar Meyerhof att brottgräns har uppnåtts (Meyerhof, 1962; Radi & Di Maida, 2014; The Concrete Soci-ety, 2003).

(18)

Figur 3. Sprickutveckling radiellt och cirkulärt (The Concrete Society, 2003) Då en betongplatta utsätts för en koncentrerad last (𝑃) så uppstår det maximala positiva böjmomentet på undersidan av plattan rakt under lasten (se Figur 4). Momentets storlek avtar sedan radiellt från lastcentrum och är noll vid 1𝑙. Momentet blir sedan negativt och når negativt max vid 2𝑙. Vid 3𝑙 är momentet åter noll (The Concrete Society, 2003).

Radiella sprickor orsakade av positivt moment ,𝑀-𝑝. Cirkulära sprickor orsakade av negativt moment 𝑀𝑛

Positivt moment orsakar första sprickan på undersidan av plattan då böjdraghållfastheten överskrids positivt negativt

(19)

Figur 4. Uppskattad böjmomentfördelning för en intern last (The Concrete Society, 2003)

Inverkan av närliggande laster blir enlig Figur 4.  Om avståndet x < 𝑙 så ökar momentet vid P1.

 Om 𝑙 < x < 3𝑙 minskar det positiva momentet vid P1 något.  Om avståndet x > 3𝑙 så minskar momentet vid P1 försumbart.  Om 2𝑙 > x < 6𝑙 så ökar det negativa momentet.

För att kunna bestämma vilken påfrestning en last utsätter en platta för måste man veta lastens storlek och hur stor dess anläggningsyta mot betongen är. Ytan antas vara cir-kulär och ha radien 𝑎. I de fall då kontaktytan inte är circir-kulär så räknas arean om till en

tänkt cirkel med ekvivalenta radien 𝑎. För att undvika genomstansning så bör 𝑎 inte

vara mindre än halva plattans tjocklek (0,5ℎ) (Meyerhof, 1962; The Concrete Society, 2003).

För att hela momentkapaciteten ska kunna utnyttjas måste hela plattan ha fullt stöd av undergrunden. Det är också förutsatt att plattan är stor och att lasten angriper centralt. Med stor menar Meyerhof att avståndet för en inre last till kant ska vara minst 2l för oarmerad betong och 5l för armerad betong (Meyerhof, 1962). I TR34 (The Concrete Society, 2016) där Meyerhofs metod används som grund används dock inte dessa rikt-linjer. Här används istället avståndet 𝑙 + 𝑎 som riktvärde för inre last och kantlast (se 3.2.3). Dessa riktlinjer kommer användas i följande beräkningar. Meyerhof har på grund av matematiska svårigheter avsiktligt bortsett från att betongplattan kan böjas upp i kanter och hörn på grund av temperatur- och fuktgradienter (warping). Denna deformation orsakar skjuvspänningar och gör att plattan inte har full kontakt med mar-ken (Meyerhof, 1962).

I lastfallen nedan beskrivs Meyerhofs ekvationer för inre last, kantlast och hörnlast. Meyerhof har inte beskrivit hur de lastfall som angriper mellan de givna ska hanteras.

(20)

I TR34 skrivs dock att linjär interpolering användas i dessa fall. Det samma gäller i de fall då 0 <𝑎

𝑙 ≤ 0,2 (Meyerhof, 1962; The Concrete Society, 2016).

3.2.2 Momentkapacitet

Positiva momentkapaciteten (𝑀_𝑝) vid plattans underkant kan enligt TR34 beräknas

med överslagsformeln nedan (The Concrete Society, 2016).

Armerad betong

𝑀_𝑝 = 0,95 ∙ 𝐴_𝑠∙𝑓𝑦𝑘 𝛾_𝑠 ∙ 𝑑

𝐴_𝑠 [m2] armeringsarea

𝑓_𝑦𝑘 [MPa] armeringsstålets karakteristiska flytgräns

𝑑 [m] effektiv höjd

𝛾𝑠=1,15 partialkoefficient för armeringsstål

Den negativa momentkapaciteten (𝑀𝑛) beräknas till betongens böjdragskapacitet även

om plattan är armerad i överkant då Meyerhof definierar att plattan har nått brottgräns då cirkulära sprickan uppstår i överkant.

Oarmerad betong 𝑀 =𝑓𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙∙ ℎ 2 6𝛾_𝑐 𝑓_{𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙} [MPa] böjdraghållfasthet ℎ [m] betongtvärsnittets höjd 𝑓𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙 = 𝑘 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑚 𝑘 = 1,6 − ℎ 1000≥ 1,0 h i mm

𝑓𝑐𝑡𝑚 [MPa] draghållfasthetens medelvärde

3.2.3 Enstaka koncentrerade laster Inre last

Lastens centrum befinner sig mer än 𝑙 + 𝑎 från en kant

𝑎 𝑙 = 0 𝑃𝑢 = 2𝜋(𝑀𝑝+ 𝑀𝑛) 𝑎 𝑙 > 0,2 𝑃𝑢 = 4𝜋(𝑀𝑝+ 𝑀𝑛)/ (1 − 𝑎 3𝑙)

𝑎 [m] lastens ekvivalenta kontaktradie

(21)

𝑃_𝑢 [kN] Brottlast

𝑀_𝑝 [kNm/m] Plattans positiva momentkapacitet (underkant/konkav).

𝑀_𝑛 [kNm/m] Plattans negativa momentkapacitet (överkant/konvex).

Kantlast

Lastens centrum befinner sig på avståndet 𝑎 från en kant och mer än 𝑙 + 𝑎 från ett hörn

𝑎 𝑙 = 0 𝑃𝑢 = [𝜋(𝑀𝑝+ 𝑀𝑛)/2] + 2𝑀𝑛 𝑎 𝑙 > 0,2 𝑃𝑢 = [𝜋(𝑀𝑝+ 𝑀𝑛) + 4𝑀𝑛]/ (1 − 2𝑎 3𝑙) Hörnlast

Lastens centrum befinner sig på avståndet 𝑎 från kanterna vid ett hörn

𝑎 𝑙 = 0 𝑃𝑢 = 2𝑀𝑛 𝑎 𝑙 > 0,2 𝑃𝑢 = 4𝑀𝑛/ (1 − 𝑎 𝑙)

3.2.4 Multipla koncentrerade laster Dubbla koncentrerade laster

Om centrumavståndet (𝑥) mellan två laster är mindre än två plattjocklekar (2ℎ) så kan de ses som två samverkande laster där kontaktarean räknas som de två lasternas yta plus den yta som är mellan dem (se Figur 5).

Figur 5. Kontaktyta för två närliggande koncentrerade laster (The Concrete Soci-ety, 2003)

Arean (𝐴) blir då summan av två halvcirklar med radien 𝑎 och arean mellan halvcirk-larna 𝑥 ∙ 2𝑎:

𝐴 = 𝑥 ∙ 2𝑎 + 𝜋 ∙ 𝑎2

Ekvivalent radie:

𝑎 = √𝐴

(22)

Om två laster är på ett större centrumavstånd från varandra än två plattjocklekar (2ℎ) så beräknas brottlasten enligt nedan (se Figur 6).

𝑎 𝑙 = 0 𝑃𝑢 = [2𝜋 + 1,8𝑥 𝑙 ] [𝑀𝑝+ 𝑀𝑛] 𝑎 𝑙 > 0,2 𝑃𝑢 = [ 4𝜋 𝑙−𝑎 3𝑙 +1,8𝑥 𝑙−𝑎 2𝑙 ] [𝑀_𝑝+ 𝑀_𝑛]

Kvadrupla koncentrerade laster

𝑎 𝑙 = 0 𝑃𝑢 = [2𝜋 + 1,8(𝑥+𝑦) 𝑙 ] [𝑀𝑝+ 𝑀𝑛] 𝑎 𝑙 > 0,2 𝑃𝑢 = [ 4𝜋 𝑙−_3𝑙𝑎+ 1,8(𝑥+𝑦) 𝑙−_2𝑙𝑎 ] [𝑀𝑝+ 𝑀𝑛]

Figur 6. Multipla laster (The Concrete Society, 2003)

3.3 Losbergs analysmetod

Anders Losberg (1961, 1978) utvecklade under sin tid som professor på Chalmers Tek-niska Högskola i Göteborg teorier för att göra beräkningar på platta på mark. Hans teori är väl etablerad och använd i svenska handböcker (Svenska Betongföreningen, 2008). Losbergs teori omnämns även i en rad artiklar och rapporter världen över när analys-metoder för betongplattor på mark diskuteras (Radi & Di Maida, 2014).

I sin bok från 1961 presenterar Losberg ekvationssystem för att göra beräkningar på moment vid koncentrerade laster på inre delar av plattan, vid kant, momentfri fog och hörn. Losberg menade att de ekvationer som tidigare tagits fram för att beräkna mo-mentet i elastiskt tillstånd av bland annat av Hogg (1938), Holl (1938), Westergaard (1926) m.fl. inte ger en korrekt bild över en armerad plattas momentkapacitet i brott-gränstillstånd. Dock menade Losberg att det är möjligt att beräkna marktrycket via elas-ticitetsteorin trots att plattan befinner sig i plastiskt tillstånd. Vilket han också analyse-rar i sin artikel från 1978 genom att jämföra resultat från utförda provtryckningar med de teoretiska värdena från elasticitetsteori. Slutsatsen Losberg kommer fram till är att elasticitetsteorin ger en tillräckligt bra överenstämmelse för att användas vid beräkning av deformation och marktryck även då armeringen flyter. Det som dock bör beaktas som omnämns i artikeln är att det böjande momentet endast gav en tillfredställande likhet mot testresultatet tills armeringen började flyta. (Losberg, 1961, 1978)

(23)

Losbergs ekvationer är uppbyggda utifrån antagandet att brottgränstillstånd råder då cirkulära sprickor uppstår i ytan av betongen, alternativt att överkantsarmeringen flyter om sådan finns. Det som ska beaktas är att stansningen inte uppträder innan detta villkor är uppfyllt. Vidare menar Losberg att plattans böjstyvhet beräknas i stadium II och

fak-torn n1 kan sättas som grundval till 15. Inverkan av temperatur och krympning är

obe-fintlig för det positiva brottmomentet medan för de negativa brottmomenten bör böjd-raghållfastheten reduceras. Detta beaktas inte i Betongrapport nr 13 där endast det po-sitiva brottmomentet används (Svenska Betongföreningen, 2008).

De ekvationssystem som nedan presenteras är utifrån de sammanfattningar Losberg gör i sin avhandling från 1961. För de olika ekvationssystemen har dimensioneringsdia-gram hämtats från Betongrapport nr 13 (Svenska Betongföreningen, 2008). Tecken som används i detta kapitel (3.3) stämmer överens med Figur 7, Figur 9, Figur 10, Figur 12 och Figur 13.

3.3.1 Inre last

En inre last definieras av Losberg som en last med radien c (se Figur 7) som angriper en förhållandevis stor platta, relativt långt från fri kant (Losberg, 1961). Betongrapport nr 13 (Svenska Betongföreningen, 2008) definierar inre last för elastisk analys enligt följande, last som angriper en styvhetsradie eller längre från kant eller hörn.

För att beräkna problemet förutsätter Losberg två saker.

a) att radiella sprickor som sträcker sig fram till eller förbi brottscirkeln (se circular crack Figur 7) samt att momentet längs dessa sprickor är konstant med momentet som uppstår rakt under lasten.

b) att marktrycket inom brottszonen har ett förhållande som kan liknas vid en kon där

p0 är toppvärdet och t basradien. (Se Figur 7)

1_{n är förhållandet mellan betongen och armeringens E-moduler. När n sätts till 15 är detta även beaktat}

(24)

Enstaka punktlaster

Figur 7. Brottlinje vid enstaka last. Marktrycket uppskattas som linjärt mellan maxvärdet 𝑝0 och till den punkt där sprickan i överkant uppstår (Losberg,

1961) 𝑚 + 𝑚′= P 2π[1 − 8 9 𝑐 𝑟𝑜 − 𝛾𝜋 9 ( 𝑟_𝑜 𝑙) 2 ] 𝑟_𝑜 𝑙 = √ 𝑎 𝑙 𝛾𝜋(1 −3₄𝑟_{𝑡 )}𝑜 3

Dimensioneringsdiagram (se Figur 8.) beskriver förhållandet mellan positivt moment, last, kontaktyta och styvhetsradie för inre enstaka last har tagits fram av B. Westerberg (Svenska Betongföreningen, 2008).

(25)

Figur 8. Dimensioneringsdiagram för inre enstaka last. M står för positivmoment-kapacitet och P för brottlast. (Svenska Betongföreningen, 2008)

(26)

Dubbla punktlaster

Genom provtryckningar kom Losberg fram till att tätt placerade laster ger upphov till en elliptisk brottlinje, men att vid större avstånd bildar brottlinjen mer och mer två se-parata cirklar. Losberg noterar att det är svårt att komma fram till en korrekt brottlinje vid beräkning, speciellt vid åtanke att marktrycket beror på brottlinjen. För att kunna beräkna fallet har Losberg valt att se brottlinjen som två halvcirklar som förbinds med raka linjer emellan dem (se Figur 9) (Losberg, 1961).

Figur 9. Dubbla punktlaster (Losberg, 1961)

𝑚 + 𝑚′= P 2π{1 − 𝜋𝛾 ( 𝑟_𝑜 𝑙) 2 [1 −2 3 𝑟₀ 𝑡 + 2 𝜋 𝑑 𝑟₀(1 − 1 2 𝑟₀ 𝑡)]} 𝑟_𝑜 𝑙 = √ 1 + 1.33𝑐 𝑑 2𝜋𝛾 [(1 −2₃𝑟_{𝑡 ) +}𝑜 1_𝜋_𝑟𝑑 0(1 − 1 2 𝑟₀ 𝑡 ) + 2 3 𝑟₀ 𝑑(1 − 3 4 𝑟₀ 𝑡 )] 3

(27)

𝑚 Positivt maxmoment

𝑚′ Negativt maxmoment

𝑙 Styvhetsradie

𝑃 Last

𝑐 Kontaktytans radie vid cirkulär belastningsyta vid enkel eller dubbel last

𝑐 Vid en icke cirkulär belastningsyta sätts c till 2.36𝑥⃗. Där 𝑥⃗ är avståndet

mellan tryckcentrum för en fjärdedel av ytan till symmetriaxeln (se Figur 10).

𝑑 Avstånd mellan lastcentrum vid dubbla laster eller avstånd mellan

tryck-centrum och lasthalvorna vid förlängd last.

𝑟_𝑜 Radie till cirkulär spricka i överkant av betongen.

𝛾 Konstant som uppskattas utifrån teoretisk tryckkurva som utgår ifrån

elasticitetsteori.

𝑡 Basradien av kontrycket från marken under plattan.

𝑝_𝑜 = 𝛾 ∙𝑃

𝑙2

Dimensioneringsdiagram (se Figur 11) beskriver förhållandet mellan positivt moment, last, kontaktyta och styvhetsradie för inre dubbel last (Svenska Betongföreningen, 2008)

Figur 10. Exempel på olika lastförfaranden som kan behandlas med Losbergs teori för multipla punktlaster (Losberg, 1961)

(28)

Figur 11. Dimensioneringsdiagram vid dubbel inre last. M står för positiv moment-kapacitet och P för brottlast (Svenska Betongföreningen, 2008)

3.3.2 Kantlast

Brottlinjen som uppstår vid belastning nära kant kan inte uppskattas som en halvcirkel då detta skulle bryta jämnviktsvillkoren. För att kunna behandla problemet har Losberg approximerat brottlinjen efter en triangel (se Figur 12). Vidare menar Losberg att om kanten är förstyvad eller har extra armering ska detta beaktas speciellt.

(29)

Figur 12. Visar marktryck både längs med kanten och vinkelrätt mot den. För att behandla problemet förenklade Losberg synen på hur sprickan i överkant upp-kommer till triangulär enligt figuren(Losberg 1961)

𝑚_𝑒+ 𝑚′_𝑒 = 𝑃 4𝑡𝑎𝑛 𝛼 {1 − 𝛾𝑘( 𝑟𝑜 𝑙) 2 [1 −1 3 𝑟𝑜 𝑡 (1 + 𝑡 𝑡𝑘𝑡𝑎𝑛 𝛼)] 𝑡𝑎𝑛 𝛼} 𝑚_𝑒+ 𝑚′_𝑒 𝑚′ = 𝑡𝑎𝑛 2_𝛼

Dessa ekvationer bör inte användas vid stort lastförhållande (𝑎 =𝑐

𝑙). Vid

semicirkulär-yta bör 𝑎 inte överstiga 1.0 och vid cirkulär yta inte 0.6. Även momentförhållandet (𝑚𝑒+𝑚′𝑒

𝑚′ ) bör observeras så att detta inte överstiger 5. Vid stort lastförhållande menar

Losberg istället att nedan beskrivna förhållande är mer korrekt (Losberg 1961).

𝑚𝑒+ 𝑚′𝑒 = 𝑃 4[(1 + 𝑥⃗ 𝑟𝑜 ) 𝑡𝑎𝑛 𝛼 −4 3 𝛾𝑘( 𝑟₀ 𝑙) 2 (1 −3 8 𝑟₀ 𝑡 − 5 16 𝑟₀ 𝑡𝑘 𝑡𝑎𝑛 𝛼) 𝑡𝑎𝑛2𝛼] 𝑚′ =𝑃 4[(1 − 𝑥⃗ 𝑟_𝑜) cot 𝛼 − 24 3 𝛾𝑘( 𝑟₀ 𝑙) 2 (1 −1 4 𝑟₀ 𝑡 − 3 8 𝑟₀ 𝑡_𝑘tan 𝛼)] Värde på 𝑟𝑜

(30)

Vid cirkulär belastningsyta beräknas 𝑟𝑜 𝑙 enligt: 𝑟_𝑜 𝑙 = √ 1.5 𝑎 cot 𝛼 (1 + 4_{3) +}3_𝑙𝑀 + 𝑀′_𝑃 cot2_𝛼 𝛾_𝑘[1 −3₈𝑟_{𝑡 (1 +}𝑜 _𝑡𝑡 𝑘𝑡𝑎𝑛 𝛼)] 3

Vid halvcirkulär belastningsyta (exempelvis vid fog):

𝑟𝑜 𝑙 = √ 2 𝜋 𝑎 cot 𝛼 (1 + cot 𝛼) + 3 𝑙 𝑀 + 𝑀′ 𝑃 cot2𝛼 𝛾𝑘[1 −3₈𝑟_{𝑡 (1 +}𝑜 _𝑡𝑡 𝑘𝑡𝑎𝑛 𝛼)] 3

Vid godtycklig belastningsyta (Se Figur 13): 𝑟_𝑜 𝑙 = √ 1.5 cot 𝛼 (↔𝑥_𝑙 + 𝑦 ↔ 𝑙 cot 𝛼) + 3 𝑙 𝑀 + 𝑀′ 𝑃 cot2𝛼 𝛾𝑘[1 −3₈𝑟_{𝑡 (1 +}𝑜 _𝑡𝑡 𝑘𝑡𝑎𝑛 𝛼)] 3

𝑚 𝑜𝑐ℎ 𝑚′ _{Positivt och negativt maxmoment per enhetsbredd parallell}

mot kanten.

𝑚_𝑒 = μ ∙ 𝑚 𝑜𝑐ℎ 𝑚′_𝑒 = μ′∙ m′= maxmoment per enhetsbredd

i kantzon i rät vinkel mot kanten p.g.a förstärkt armering längs kanten. Där μ är armeringsmängd i procent.

𝑀 𝑜𝑐ℎ 𝑀′ Totalt förhöjd momentkapacitet p.g.a kantbalk eller

koncen-trerad armeringszon längs kanten.

𝑙 Styvhetsradie där hänsyn har tagits till om kanten är

förstyvad. Effektiv styvhet hos kanten beräknas för Dk enligt

nedan.

𝐷𝑘 =

1

𝑙 [𝐷(𝑙 − 𝑏𝑘) + (𝐸𝐼)𝑘]

Där (𝐸𝐼)𝑘 är den totala flexibla styvheten för en kantbalk med bredden 𝑏𝑘(≤ 𝑙)

𝑎 =𝑐

𝑙 lastutbredande förhållande för semicirkulär last eller

cirkulär last som tangerar kanten, där radien är c.

𝑥⃗,𝑦⃗ Avstånd från tryckcentrum till fri kant eller till vinkelrät

symmetriaxel i förhållande till kanten, alternativt halva last-ytan för godtycklig kantlast. (Figur 13)

(31)

𝑡, 𝑡_𝑘 𝑜𝑐ℎ 𝛾_𝑘 Konstanter för uppskattat marktryck (se Figur 12). För cir-kulär och halvcircir-kulär belastningsyta se Bilaga 5. Vid god-tycklig fördelad last kan samma värde som för cirkulär last approximativt användas då 𝑐 = 𝑥⃗.

Dimensioneringsdiagrammen (Se Figur 14 och Figur 15) beskriver förhållandet mellan positivt moment, last, kontaktyta och styvhetsradie för enkel och dubbel kantlast. (Svenska Betongföreningen, 2008).

Figur 13. Icke cirkulära lastytor och dess uppskattade brottlinjer. Lastarean karak-teriseras med hjälp av 𝑥⃗ och 𝑦⃗ (Losberg, 1961)

(32)

Figur 14. Dimensioneringsdiagram för last vid kant. M står för positiv momentka-pacitet och P för brottlast (Svenska Betongföreningen, 2008)

(33)

Figur 15. Dimensioneringsdiagram för last vid kant vid plastisk analys (Svenska Betongföreningen, 2008)

(34)

3.3.3 Hörnlast

Losberg (1961) menar att hörnlaster ska behandlas i enlighet med elasticitetsteorin som Westergaard (1926) utformade, då det kritiska snittet uppstår på ett sådant avstånd att det sammanfaller med den negativa brottgränsen. Detta innebär att maxmomentet be-gränsas till det maximala negativa moment plattan kan ta. Betongrapport nr 13 görs beräkningen via diagram (Svenska Betongföreningen, 2008).

Formel för hörnlast enligt elasticitetsteori

Vid beräkning för undergrund som ses som en fjäderbäddsmodell (se 3.2.1) används följande beräkning. Samma ekvation kan användas för en undergrund som liknas vid

en elastisk fast kropp om 𝑘 = 0.166√𝐶4

𝐷. 𝑚𝑒− = − 𝑃 2[1 − 1.23𝑎𝑘 0.6_] 𝑎_𝑘 = 𝑐 𝑙𝑘 𝑙_𝑘= √𝐷 𝑘 4 P Last 𝑚𝑒− Negativt brottmoment

𝑙𝑘 Elastisk styvhetsradie för fjäderbäddsundergrund

𝑐 lastytans radie

𝐷 𝐸𝐼

(1−𝑣𝑐2) styvheten hos plattan Formel för last i fogkors enligt elasticitetsteori

Vid beräkning för undergrund som ses som en fjäderbäddsmodell (se 3.2.1) används följande beräkning. Samma ekvation kan användas för en undergrund som liknas vid

en elastisk fast kropp om 𝑘 = 0.166√𝐶4

𝐷.

𝑚_𝑖𝑗− = −𝑃

2[1 − 0.74𝑎𝑘

(35)

Figur 16. Dimensioneringsdiagram för enstaka hörnlast. Momentet (M) är plattans negativa momentkapacitet och P är brottlasten (Svenska Betongföreningen, 2008)

(36)

3.4 Rao & Singhs analysmetod

3.4.1 Inre last

I Losbergs (1961, 1978) och Meyerhofs (1962) teorier beskrivs endast en typ av brott för platta på mark vid överskridande av böjdragshållfasthet, nämligen koniskt brott (se Figur 3). Rao & Singh (1986) beskriver i sin artikel ytterligare två typer av brott. Om den koncentrerade lasten inte är fast inspänd, som tex vid last från hjul, så uppstår ett halvstyvt brott (se Figur 17a). I detta fall uppstår en plastisk flytled (på avståndet 𝑐 från lastens centrum) på undersidan av plattan innanför lastens area med radien 𝑎. Om lasten är fast inspänd i plattan, ex pelare hopgjuten med plattan, så bildas ett styvt brott (se Figur 17b). Flytleden uppstår då utanför lastens area. Vid dessa typer av brott så blir jordtrycket större än vid koniskt brott med följden att brottlasten blir större. Vid koniskt brott så blir radien c=0 (Dhir & Henderson, 1999; Rao & Singh, 1986; The Concrete Society, 2003). Tyvärr saknas information i Rao & Singhs artikel angående uppskatt-ning eller beräkuppskatt-ning av c (Dhir & Henderson, 1999; Rao & Singh, 1986). S. Singhs har sökts utan resultat. På grund av detta kan endast min- (c=0) och maxvärde (c=a) beräk-nas för halvstyvt brott och minvärde (c=a) för styvt brott.

Figur 17. Brottsmodeller och jordtrycksfördelning för en stor platta: (a) Halvstyvt brott c ≤ a; (b) Styvt brott c ≥ a (Rao & Singh, 1986)

Halvstyvt brott 𝑃0 𝑀_𝑛+ 𝑀_𝑝 = 6𝜋 3 − 2(1 − 𝛽3_{) (2𝛼 +}𝛽3 𝛼2) 1 + 2𝛽3 _{− 3𝛽}4 Styvt brott 𝑃0 𝑀𝑛+ 𝑀𝑝 =2𝜋(1 + 2𝛽 3_{− 3𝛽}4₎ 1 − 2𝛽 + 2𝛽3_{− 𝛽}4

(37)

𝑏 𝐿= 0,6 + 2,3 𝑎 𝐿 𝛼 =𝑎 𝑏 (Se Figur 17) 𝛽 =𝑐 𝑏 (Se Figur 17)

3.4.2 Last nära kant

För att en last ska anses vara inre så måste den cirkulära sprickan vid 𝑟 = 𝑏 kunna

utvecklas fullt. Men för att det maximala negativa momentet (𝑀_𝑛) ska kunna uppstå så

måste plattan sträcka sig ett visst avstånd bortom 𝑟 = 𝑏, nämligen minst (1 + 𝑖)𝑏 (se

Figur 18a). 𝑖 är kvoten mellan negativ och positiv momentkapacitet (𝑀𝑛⁄𝑀𝑝). När

las-ten är närmare kanlas-ten än detta avstånd så kommer inte en cirkulär flytled att uppstå vid 𝑟 = 𝑏 på den sidan av lasten som vetter mot kanten som i Figur 18b.

Figur 18. Last i närheten av kant: (a) (Rao & Singh, 1986)

Lastfall likt Figur 18a beräknas som inre last enligt 3.4.1 och lastfall likt Figur 18b beräknas enligt nedan.

∫ 𝑄𝑏 = 2𝑀_𝑝 𝑏2 ∫ ( 1 + 𝑖 𝑚 ) 𝑚𝑏 sec 𝜃 𝑏𝑑𝜃 + 𝑠𝑒𝑐−1 0 2𝑀_𝑝 𝑏2 ∫ ( 1 + 𝑖 𝑚 ) (1 + 𝑖)𝑏𝑏𝑑𝜃 𝜋−𝑠𝑒𝑐−1 0

∫ 𝑄𝑏 Skjuvspänning längs streckade brottlinjen (se Figur 18).

𝑖 =𝑀𝑛

𝑀_𝑝

1 ≤ 𝑚 ≤ (1 + 𝑖)

(38)

∫ 𝑄𝑏 = 2𝜋𝑀𝑝 för 𝑖 = 0

∫ 𝑄𝑏 = 3,51𝑀𝑝 för 𝑖 = 1

Rao & Singh ger ingen lösning för laster som angriper mellan last vid kant och lastfall likt Figur 18c (Rao & Singh, 1986).

Halvstyvt brott [𝑄] =∫ 𝑄𝑏 𝑀𝑝 𝑃0 𝑀 = 3[𝑄] 3 − 2(1 − 𝛽3_{) (2𝛼 +}𝛽3 𝛼2) 1 + 2𝛽3_{− 3𝛽}4 Styvt brott 𝑃0 𝑀 = [𝑄](1 + 2𝛽3_{− 3𝛽}4₎ 1 − 2𝛽 + 2𝛽3_{− 𝛽}4

3.4.3 Last vid kant

Om en koncentrerad last med cirkulär yta (radie 𝑎) angriper en platta vid en fri kant likt Figur 19, så kommer radiella sprickor spridas utåt på undersidan av plattan till dess att den cirkulära sprickan på ovansidan uppstår.

Figur 19. Last vid kant (Rao & Singh, 1986)

Halvstyvt brott 𝑃₀ 𝑀 = 3(1 + 𝑖)𝜋 3 −2(1 − 2√2𝛽 3_{) (2√2𝛼 + √2}𝛽3 𝛼2) 1 + 4√2𝛽3_{− 12𝛽}4 −𝜋 4 Styvt brott 𝑃₀ 𝑀 = (1 + 𝑖)𝜋(1 + 4√2𝛽3_{− 12𝛽}4₎ 1 − 2√2𝛽 + 4√2𝛽3_{− 4𝛽}4 − 𝜋 4

(39)

3.4.4 Hörnlast Halvstyvt brott 𝑃0 𝑀 = 1,5(1 + 𝑖)𝜋 3 − 2(1 − 8𝛽3_{) (4𝛼 + 2}𝛽3 𝛼2) 1 + 16𝛽3_{− 48𝛽}4 −𝜋 8 Styvt brott 𝑃₀ 𝑀 = (1 + 𝑖)𝜋₂(1 + 16𝛽3_{− 48𝛽}4₎ 1 − 4𝛽 + 16𝛽3_{− 16𝛽}4 − 𝜋 8

3.5 Sammanfattning av valda teorier

Alla analysmetoderna utgår från flytgränstillstånd, plastisk analys av plattan och elas-tisk teori för undergrunden.

Meyerhofs ansats för sin metod är plastisk analys med gränslastberäkningar enligt ki-nematiska teoremet. Detta innebär att en brottlast kan beräknas genom att en brottsmek-anism antas. Brottlasten som räknas fram är då lika stor eller större än den verkliga brottlasten. Om den antagna brottsmekanismen avviker från den verkliga så erhålls alltså en brottlast som är större än den verkliga vilket säkert leder till kollaps. Detta gör att denna metod kan anses vara osäker. För att kompensera detta läggs en säkerhetsfak-tor/partialkoefficient på av konstruktören (Buyukozturk, Oral, 2004; Kennedy & Goodchild, 2003; Meyerhof, 1962; Radi & Di Maida, 2014).

Losbergs och Rao & Singhs ansats är plastisk analys med gränslastberäkningar enligt statiska teoremet. Enligt detta teorem så måste två kriterier uppfyllas. För det första så måste den valda brottsmodellen vara statiskt bestämd, momentfördelningen och de yttre lasterna ska vara i jämvikt. För det andra så får inte flytmomentet överskridas någon-stans i plattan. Den brottlast som erhålls är lika stor eller mindre än den verkliga så metoden kan anses vara säkrare än den kinematiska (Buyukozturk, Oral, 2004; Kennedy & Goodchild, 2003; Losberg, 1961, 1978; Rao & Singh, 1986).

Meyerhofs brottsmekanism antar ett koniskt brott, en oändlig mängd radiella sprickor på undersidan av plattan och en cirkulär spricka på ovansidan som uppstår på ett avstånd från lastcentrum som uppskattas ungefärligt till två styvhetsradier (Meyerhof, 1962; The Concrete Society, 2003). Losberg antar en liknande brottsmodell men den cirkulära sprickans radie beräknas genom ett iterativt förfarande (Losberg, 1961, 1978). Rao & Singhs brottsmodell är lik Meyerhofs men den cirkulära sprickans radie beräknas med en ekvation som bygger på data från statistisk analys av ett stort antal provtrycknings-experiment. Dessutom antas ytterligare två brottsmodeller, halvstyvt och styvt brott (se 3.4.1) (Rao & Singh, 1986).

Meyerhof tar på grund av matematiska svårigheter inte hänsyn till skjuvspänningar som kan uppstå vid kanter och hörn på grund av temperatur- och fuktgradienter (Meyerhof, 1962).

(40)

Losberg menar att betongtvärsnittet ska beräknas i stadium II vilket påverkar elastiska styvhetsraiden och tröghetsmoment, men vid tillämpning av Losbergs metod i Betong-rapport nr 13 så används stadium I liksom i Meyerhofs och Rao & Singhs metod (Svenska Betongföreningen, 2008; Losberg, 1961; Meyerhof, 1962; Rao & Singh, 1986).

(41)

4 Empiri

4.1 Sekundärdata från Øverlis provtryckningsexperiment

I Øverlis artikel från 2014 i Central European Journal of Engineering redogörs för en provtryckning som skett vid Norges Universitet för Vetenskap och Teknologi. Prov-tryckningen var en del av en masteruppsats där plattor på mark utsattes för koncentre-rade laster. Plattan som provtryckes i experimentet var en 120 mm tjock dubbelarmerad betongplatta (Øverli, 2014).

4.1.1 Undergrund

För att simulera en undergrund av makadam med en styvhet på 15 MN/m3 gjöts plattan

på ett 100 mm tjockt lager av Jackofoam 400 XPS. Materialet testades även för att säkerställa att rätt värde på bäddmodulen används, medelvärdet som erhölls var 15

MN/m3_.

4.1.2 Betongplatta

Plattan var 120 mm tjock och mätte 3,5x3,5 m, men spändes fast längs tre sidor för att simulera en större platta. Plattan dubbelarmerades med 8 mm nät med ett cc-avstånd på 156 mm, det täckande betongskiktet var 20 mm. Armeringens flytgräns var 560 MPa.

Betongen var av kvalitét C30/37. För att kontrollera tryckhållfastheten (fck) och

E-mo-dulen (Ecm) för betongen så provtrycktes ett antal betongkuber. 28-dagars

tryckhållfast-heten var 32,1 MPa och E-modulen 26,7 GPa. Sex stycken oarmerade balkar testades

även för att bestämma böjdraghållfastheten (fctm,fl), resultatet blev 5,1 MPa.

4.1.3 Belastning

Belastningen påfördes med hjälp av en hydraulisk domkraft. Kontaktytan bestod av en fyrkantig stålplatta med måtten 0,1x0,1 m. Belastningen ökades i steg om 20 kN.

4.1.4 Materialegenskaper 𝑘 15 MN/m3 h 0,12 m Betongklass C30/37 fck 32,1 MPa fctm,fl 5,1 MPa Ecm 26,7 GPa 𝑣_𝑐 0,2 (Poissons tal) d 0,088 m Es 200 GPa fyk 560 MPa As 322 mm2/m

(42)

4.1.5 Brottlast, brottstyp och sprickbildning

I undersökningen som är beskriven i Øverlis (2014) artikel var fokus på brottlast, de-formation samt när cirkulära sprickor uppstod. Tabell 1 är sammanställer vid vilken last cirkulära sprickor uppkom samt vad brottlasten och brottstypen var. Ur artikeln hämtas också beräknade värden för stansning.

Tabell 1. Sammanställning av sekundärdata från Øverli (2014) artikel

Lastfall Spricklast [kN] Brottlast [kN] Stansning Pelarperiferi [kN] Brottstyp [kN] Inre 325 390 302 Stansning Kant (1) 80 153 227 Böjning/stansning Kant (2) 85 140 227 Böjning/sansning Hörn (1) 33 70 151 Förankring/böjning Hörn (2) 30 52 151 Förankring/stans-ning

4.2 Sekundärdata från Alanis m. fl. provtryckningsexperiment

Alani m.fl. presenterar i tidskriften Structural Concrete ett provtryckningsexperiment som utfördes på University of Greenwich i England. Plattan var oarmerad, fyrkantig och mätte 6x6 meter, vilket är ovanligt stort för ett experiment. Många provtryckningar är annars utförda på plattor som är ca 3x3 meter (Alani m.fl., 2014). Storleken gör att plattan inte lyfts upp i kanterna vid provtryckningen utan är i full kontakt med under-grunden. Detta möjliggör att den negativa momentkapaciteten kan utvecklas fullt (Alani m.fl., 2014).

4.2.1 Undergrund

Undergrunden testades och bäddmodulen varierade mellan 45-55 MN/m3 med

medel-värde 50 MN/m3. Detta motsvarar väl packad sand (se Bilaga 1).

4.2.2 Betongplatta

Plattan utfördes oarmerad i betongklass C32/40 med ett vattencementtal (vct) på 0,55. Plattan mätte 6x6 m och hade tjockleken 0,15 m. Nio stycken betongkuber testades för

att bestämma tryckhållfastheten (𝑓𝑐𝑘) vilken blev 38,0 MPa. Possions tal sattes enligt

Eurocode 2 till 0,2 (Alani m.fl., 2014; Swedish Standards Institute, 2008). I artikeln har

betongens karakteristiska böjdraghållfasthet (𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑓𝑙) använts vid beräkning av

betong-tvärsnittets momentkapacitet. I följande beräkningar kommer betongens

(43)

4.2.3 Provtryckning

Belastningen påfördes med hjälp av en hydraulisk domkraft fäst vid en travers. Kon-taktytan bestod av en fyrkantig stålplatta med måtten 0,1x0,1 m. Belastningen ökades med konstant hastighet tills brott skedde.

4.2.4 Materialegenskaper 𝑘=50 MN/m3 h 0,15 m Betongklass C32/40 fck 38 MPa Ecm 34,8 GPa 𝑣𝑐 0,2 (Poissons tal)

4.2.5 Brottlast, brottstyp och sprickbildning

Under provtryckningen som är beskriven i Alanis m.fl. (2014) artikel dokumenterades när sprickor började uppkomma, brottlast samt vilken typ brottet var av. Ur artikeln hämtas också beräknade värden för stansning. Detta är sammanställt i Tabell 2.

Tabell 2. Sammanställning av sekundärdata från Alanis m.fl. (2014) artikel

Lastfall Spricklast [kN] Brottlast [kN] Stansning Pelarperiferi/ kontrollsnitt [kN] Brottstyp [kN] Inre - 479 290/125 Stansning Kant (1) 150mm från kant 12,6 407 218/77,5 Stansning Kant (2) 300mm från kant 10,9 443 218/89,7 Stansning Hörn (1) 300mm från hörn 10,5 262 143,8/76,3 Stansning Hörn (2) 150mm från hörn 20,0 192,0 151,7/58,8 Stansning

(44)

4.3 Beräkningar enligt Meyerhof med förutsättningar enligt

Øverli

4.3.1 Relativ styvhetsradie

Beräknas enligt Winklers modell.

𝑙 [m] relativ styvhetsradie

𝐸𝑐𝑚 26,7 [GPa] betongens elasticitetsmoduls medelvärde

ℎ 0,12 [m] betongplattans tjocklek

𝑣_𝑐 0,2 Possions tal för betong enligt Eurokod 2

(Swedish Standards Institute, 2008)

𝑘 0,15 [GN/m3] undergrundens bäddmodul 𝑙 = √ 𝐸𝑐𝑚 ∙ ℎ 3 12 ∙ (1 − 𝑣_𝑐2_)𝑘 4 = √ 26,7 ∙ 10 9_{∙ 0,12}3 12 ∙ (1 − 0,22_{)0,15 ∙ 10}9 4 = 0,404 𝑚 4.3.2 Momentkapacitet Positiv momentkapacitet 𝐴𝑠 3,22 ∙ 10−4 [𝑚2] armeringsarea

𝑓_𝑦𝑘 560 [MPa] armeringsstålets karakteristiska flytgräns

𝑑 0,088 [m] effektiv höjd

𝑀𝑝 = 0,95 ∙ 𝐴𝑠∙ 𝑓𝑦𝑘∙ 𝑑=0,95·3,22 ∙ 10−4· 560 ∙ 106· 0,088 = 15,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚

Negativ momentkapacitet

Negativa momentkapaciteten beräknas till betongens böjdraghållfasthet. 𝑓_{𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙} 5,1 [MPa] böjdraghållfasthetens medelvärde 𝑀_𝑛 = 𝑓𝑐𝑡𝑚,𝑓𝑙∙ ℎ 2 6 = 5,1 · 106_{∙ 0,12}2 6 = 12,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 4.3.3 Brottlastberäkningar Kontaktytans ekvivalenta radie

Kontaktytan är kvadratisk med sidan 0,1 m. Arean omräknas till en cirkels ekvivalenta radie.

A=0,1·0,1=0,01 𝑚2

(45)

𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑎2  𝑎 = √𝐴

𝜋 = √ 0,01

𝜋 = 0,056 𝑚

Inre last

Lastens avstånd till plattans kanter måste överstiga 𝑙 + 𝑎 för att räknas som en inre last. 𝑙 + 𝑎 = 0,404 + 0,056 = 0,46 𝑚

Plattan är 3,5x3,5 m. Om lasten angriper centralt på plattan så är avståndet till kant

3,5

2 = 1,75 𝑚 > 0,46 𝑚. Lastens centrum befinner sig mer än 𝑙 + 𝑎 från en kant så

lastfallet klassificeras som inre last.

𝑎 𝑙 = 0 𝑃𝑢 = 2𝜋(𝑀𝑝+ 𝑀𝑛) 𝑎 𝑙 > 0,2 𝑃𝑢 = 4𝜋(𝑀𝑝+ 𝑀𝑛)/ (1 − 𝑎 3𝑙)

𝑎 0,056 [m] lastens ekvivalenta kontaktradie

𝑙 0,404 [m] relativ styvhetsradie

𝑃_𝑢 [kN] brottlast

𝑀𝑝 15,1 [kNm/m] plattans positiva momentkapacitet

𝑀𝑛 12,2 [kNm/m] plattans negativa momentkapacitet

Förhållandet mellan lastens ekvivalenta radie och styvhetsradien beräknas till 𝑎

𝑙 =

0,056

0,404= 0,14

Båda fallen behöver beräknas.

𝑎 𝑙 = 0 𝑃𝑢 = 2𝜋(𝑀𝑝+ 𝑀𝑛) = 2𝜋(15,1 + 12,2) =172 kN 𝑎 𝑙 > 0,2 𝑃𝑢 = 4𝜋 (𝑀𝑝+𝑀𝑛) (1−𝑎 3𝑙) = 4𝜋(15,1+12,2) (1−0,056 3∙0,404) =360 kN Interpolering för 𝑎 𝑙 = 0,14 ger 360−172 0,2−0 = 360−𝑃𝑢 0,2−0,14  𝑃𝑢 = 303 𝑘𝑁 Kantlast

Lastens centrum befinner sig på avståndet 𝑎 från en kant och mer än 𝑙 + 𝑎 från ett hörn

𝑎

𝑙 = 0 𝑃𝑢 = [𝜋(𝑀𝑝+ 𝑀𝑛)/2] + 2𝑀𝑛 =

(46)

𝑎 𝑙 > 0,2 𝑃𝑢 = [𝜋(𝑀𝑝+ 𝑀𝑛) + 4𝑀𝑛]/ (1 − 2𝑎 3𝑙) = =[𝜋(15,1 + 12,2) + 4 ∙ 12,2]/ (1 −2∙0,056 3∙0,404) = 149 𝑘𝑁 Interpolering för 𝑎 𝑙 = 0,14 ger 149−67,4 0,2−0 = 149−𝑃𝑢 0,2−0,14  𝑃𝑢 = 124 𝑘𝑁 Hörnlast

Lastens centrum befinner sig på avståndet 𝑎 från kanterna vid ett hörn

𝑎 𝑙 = 0 𝑃𝑢 = 2𝑀𝑛=2 ∙ 12,2 = 24,5 𝑘𝑁 𝑎 𝑙 > 0,2 𝑃𝑢 = 4𝑀𝑛/ (1 − 𝑎 𝑙) = 4 ∙ 12,2/ (1 − 0,056 0,404) = 56,9 𝑘𝑁 Interpolering för 𝑎 𝑙 = 0,14 ger 56,9−24,5 0,2−0 = 56,9−𝑃𝑢 0,2−0,14  𝑃𝑢 = 47,1 𝑘𝑁

4.4 Beräkningar enligt Losberg med förutsättningar enligt

Øverli

Beräkningarna enligt Losberg görs utifrån de diagram som presenteras i Betongrapport nr 13 (se Figur 8, Figur 11, Figur 14, Figur 15 och Figur 16). För att göra beräkningarna enligt diagrammen krävs relativ styvhetsradie, lastens yta och momentkapacitet (Svenska Betongföreningen, 2008).

Vid beräkning av relativ styvhetsradie skiljer sig Betongrapport nr 13 (Svenska Betong-föreningen, 2008) från originalskriften av Losberg (1961) då relativa styvhetsradien ska beräknas i stadium ett enligt Betongrapporten medan Losberg i sin skrift hävdar att den ska beräknas i stadium två. Beräkningarna som kommer användas görs utifrån Betong-rapport nr 13 och därmed beräknas också relativa styvhetsradien i stadium ett. Jämfö-relse med beräkning enligt stadium två enligt Losbergs matematiska formler görs i bi-laga 2.

För att göra beräkning för inre- och kantlast behövs plattans positiva momentkapacitet. Beräkning av ett hörns kapacitet baseras på plattans negativa momentkapacitet. Se 4.3.2 för beräkningar.

𝑀_𝑝 15,1 [kNm/m] Plattans positiva momentkapacitet

𝑀_𝑛 12,2 [kNm/m] Plattans negativa momentkapacitet

4.4.3 Kontaktytans ekvivalenta radie

(47)

a=0,056 m

4.4.4 Brottlastberäkningar Inre last

Indata för beräkning av inre last enligt diagrammet från Betongrapport nr 13 (se Figur 8) är kontaktytans diameter (2a) dividerat med relativa styvhetsradien. Ur detta kan ett förhållande läsas ut ur grafen mellan brottlasten och plattans positiva momentkapacitet. Kontrollberäkning görs i Bilaga 2. 2𝑎 𝑙 = 0,112 0,404= 0,28 Ur graf vid 2𝑎 𝑙 = 0,28 0,28 ger 𝑀 𝑃 = 0,064 → 𝑃 = 𝑀𝑝 0,064= 15,1 0,064= 236 𝑘𝑁 Kantlast

Indata för beräkning av kantlast enligt diagrammet från Betongrapport nr 13 (se Figur 14) är kontaktytans diameter (2a) dividerat med relativa styvhetsradien. Ur detta kan ett förhållande läsas ut ur grafen mellan brottlasten och plattans positiva momentkapacitet. 2𝑎 𝑙 = 0,113 0,404= 0,28 Ur graf vid 2𝑎 𝑙 = 0,28 0,28 ger 𝑀 𝑃 = 0,125 → 𝑃 = 𝑀𝑝 0,125= 15,1 0,125= 121 𝑘𝑁 Hörnlast

Indata för beräkning av hörnlast enligt diagrammet i Betongrapport nr 13 (se Figur 16) är kontaktytans diameter (2a) dividerat med relativa styvhetsradien. Ur detta kan ett förhållande läsas ut ur grafen mellan brottlasten och plattans negativa momentkapacitet. Kontrollberäkning görs i Bilaga 2. 2𝑎 𝑙 = 0,113 0,404= 0,28 Ur graf vid 2𝑎 𝑙 = 0,28 0,28 ger 𝑀 𝑃 = 0,32 → 𝑃 = 𝑀𝑛 0,32= 12,2 0,32= 38,3 𝑘𝑁

(48)

4.5 Beräkningar enligt Rao & Singh med förutsättningar

en-ligt Øverli

Beräknas enligt 4.3.1 till l=0,404 m

Beräknas enligt 4.3.2 till

𝑀_𝑝 15,1 [kNm/m] Plattans positiva momentkapacitet

𝑀_𝑛 12,2 [kNm/m] Plattans negativa momentkapacitet

4.5.3 Brottlastberäkningar Kontaktytans ekvivalenta radie

Beräknas enligt 4.3.3 till a=0,056 m

Kontroll av lastfall

Enligt Rao & Singh så betraktas en last som inre om den cirkulära sprickan på ovansi-dan av plattan uppstår. För att denna ska kunna uppstå så behöver lasten befinna sig på ett minimiavstånd från kanten. I artikeln finns motstridiga uppgifter om vilket avstånd som krävs. Först uppges avståndet (1 + 𝑖)𝑏 och sedan b+(1 + 𝑖)𝑏 (Rao & Singh, 1986). Största avståndet b+(1 + 𝑖)𝑏 kontrolleras.

𝑖 =𝑀𝑛 𝑀𝑝 = 12,2 15,1= 0,812 𝑏 = 0,6𝑙 + 2,3𝑎 = 0,6 ∙ 0,404 + 2,3 ∙ 0,056 = 0,371 𝑚 𝑏 + (1 + 𝑖)𝑏=0,371 + (1 + 0,812)0,371 = 1,043 𝑚

Lasten befinner sig 3,5/2=1,75 m från kanten så lasten kan betraktas som en inre last.

Inre last

Lastfallet beräknas som ett halvstyvt brott eftersom lasten appliceras med ett provtryck-ningsdon som inte är förankrat i plattan.

𝛼 =𝑎 𝑏= 0,056 0,371= 0,151 𝛽 =𝑐 𝑏= 0 0,371= 0

(49)

𝑃₀ = (𝑀_𝑛+ 𝑀_𝑝) [ 6𝜋 3 − 2(1 − 𝛽3_{) (2𝛼 +}𝛽3 𝛼2) 1 + 2𝛽3_{− 3𝛽}4 _] = = (15,1 + 12,2) [ 6𝜋 3 − 2(1 − 03_{) (2 ∙ 0,151 +} 03 0,1512) 1 + 2 ∙ 03_{− 3 ∙ 0}4 _] = 215 𝑘𝑁 𝛼 = 𝛽 = 0,151 𝑃0 = (15,1 + 12,2) [ 6𝜋 3 − 2(1 − 0,1513_{) (2 ∙ 0,151 +}0,1513 0,1512) 1 + 2 ∙ 0,1513_{− 3 ∙ 0,151}4 _] = 245 𝑘𝑁 Kantlast 𝛼 = 0,151 𝛽 = 0 𝑃₀ = 𝑀 ∙ [ 3(1 + 𝑖)𝜋 3 − 2(1 − 2√2𝛽3_{) (2√2𝛼 + √2}𝛽3 𝛼2) 1 + 4√2𝛽3_{− 12𝛽}4 −𝜋 4 ] = = 15,1 ∙ [ 3(1 + 0,812)𝜋 3 −2(1 − 2√2 ∙ 0 3_{) (2√2 ∙ 0,151 + √2} 03 0,1512) 1 + 4√2 ∙ 03_{− 12 ∙ 0}4 −𝜋 4 ] = 108 𝑘𝑁 𝛼 = 𝛽 = 0,151 𝑃₀ = 15,1 ∙ [ 3(1 + 0,812)𝜋 3 −2(1 − 2√2 ∙ 0,151 3_{) (2√2 ∙ 0,151 + √2}0,1513 0,1512) 1 + 4√2 ∙ 0,1513_{− 12 ∙ 0,151}4 −𝜋 4 ] = 136 𝑘𝑁