Halvautomatisk styrning av järnvägskran
Björn Skoog
ation och retardation. Regulatorn har tagits fram och testats i en simuler-ingsmiljö. Den har sedan implementerats i ett PLC-system och provkörts i labmiljö med PLC och motorer. Regulatorn har förbättrad prestanda jäm-fört med den regulator som tidigare använts för andra typer av kranar. Den är också lättare att trimma in vid idriftsättning.
För positionsåterföringen på de tre rörelserna lyft, tralla och kranåk, har olika typer av givare undersökts och rekommenderat.
Abstract
For transporting containers on and of railway chassies in a container terminal a Rail Mounted Railway Crane, RMRC, is used. The RMRC that is fully manually controlled will be equipped with a semi automatic positioning system to make the positioning easier and faster. The targetpositions of the containers are sent from the terminal logistics system to the crane via a communication link. To enable a smooth trasportation preventing mecanical stress a suitable position regulator has been developed. The regulator has been developed and tested in a simulated environment. It has also been implemented in a PLC-system and tested in a lab with a PLC and motors. The new regulator has better performance than earlier regulators used for positioning of other crane types. It is also easier to tune.
Different position sensors suitable for the three movements, hoist trolley and gantry, have been evaluated and recommended.
Tack riktas till de personer som givit mig stöd och hjälp under arbetets gång. Speciellt tack till mina handledare och mina nära medarbetare på ABB som svarat på mina frågor och bidragit med sin kunskap.
Ingen nämnd, ingen glömd.
Västerås Oktober 2009 Björn Skoog
Nomenklatur
ARMG, Automatic Rail Mounted Gantry. Automatisk stapelkran som sta-plar containrar.
RMRC, Rail Mounted Railway Crane. Kran som lastar containrar till och från järnvägsvagnar.
STS, Ship To Shore. Kajkran som lastar containrar mellan fartyg och land. BFC, Barge Feeder Crane. Kajkran som lastar containrar mellan mindre fartyg och land.
PLC, Programmable Logic Controller. RFID, Radio Frequency IDentification.
1 Inledning 1 1.1 Bakgrund . . . 1 1.2 Syfte . . . 1 1.3 Problemställning . . . 2 1.4 Avgränsningar . . . 3 2 Metoder 5 2.1 Positionsgivare . . . 5 2.2 Positionsregulatorn . . . 5 3 Positionsmätning 7 3.1 Absolutlägesgivare . . . 7 3.1.1 Roterande absolutlägesgivare . . . 7 3.1.2 Linjära absolutlägesgivare . . . 8 3.1.3 Laserpositionsgivare . . . 8 3.1.4 Radar . . . 9 3.2 Andra mätmetoder . . . 9 3.2.1 Relativ mätning . . . 9 3.3 Rekommendationer . . . 10 4 Positionsreglering 11 4.1 Olika krantyper . . . 11 4.2 Krav på prestanda . . . 13 4.2.1 Positionering . . . 13 4.2.2 Påverkan på mekaniken . . . 14
4.2.3 Åtgärder för att minska de mekaniska påfrestningarna 15 4.3 Regulator . . . 16
4.4 Ny regulator . . . 18
4.4.1 Analys av regulator . . . 18
4.4.2 Design av ny regulator . . . 19 iii
4.5 Simuleringar med den nya regulatorn . . . 21
4.5.1 Simuleringsmodell . . . 21
4.5.2 Simuleringsresultat . . . 22
4.5.3 Varför inte PID-regulator . . . 26
5 Implementering 27 5.1 Compact ControlBuilder AC800M . . . 27
5.2 Programmering . . . 28
5.3 Test i lab med AC800 och motorset . . . 29
5.4 Lab miljö . . . 29 5.5 Lab test . . . 29 6 Slutsatser 33 6.1 Resultat . . . 33 6.2 Fortsatt utveckling . . . 36 Bibliography 37 List of Figures 39 List of Tables 41 iv
Kapitel 1
Inledning
1.1
Bakgrund
I en container terminal så hanteras containertrafiken mellan båt, lastbil och järnväg. När containrarna kommer in till terminalen mellanlagras de i vän-tan på vidare transport. På mellanlagret jobbar helautomatiska stapelkranar ARMGer (Auotmatic Rail Mounted Gantry)med att stapla containrarna. Mellan mellanlagret och järnvägen transporteras containern på ett termi-nalchassi. En järnvägskran, RMRC (Rail Mounted Railway Crane) är plac-erad över ett antal järnvägsspår. Det finns även plats för terminal-chassin under kranen. Kranen flyttar containrarna mellan terminal-chassin och järn-vägsvagnar. RMRCn körs idag helt manuellt av en operatör som sitter i en kabin placerad under trallan. I kabinen finns ett operatörsinterface där kör-ordrar presenteras för operatören. I körordern står det på vilken vagn en container ska hämtas eller lämnas. Vid hämtning kör operatören kranen till järnvägsvagnen och hämtar upp containern. Han kör sedan enbart tral-lan till en fil för terminal-chassin. En lastbilschaufför positionerar chassiet under kranen med hjälp trafikljus på kranen. Operatören sätter sedan ned containern på chassiet.
1.2
Syfte
För att underlätta för kranoperatören vill man lägga nu till en funktion där kranen automatiskt förflyttar sig till den position där en container ska sättas ned eller plockas upp. Automatiken startas av operatören, och kan när som helst avbrytas av operatören. Därför kallas den semiautomatisk
En körorder presenteras på operatörsinterfacet. Operatören accepterar den föreslagna körordern och koordinaterna skickas till PLCn. Operatören star-tar där efter den automatiska förflyttningen genom att med foten trycka på en pedal. Kranen förflyttar sig då till de angivna koordinaterna. Operatören får manuellt lyfta upp containern för att sedan åter igen trycka på pedalen.
2 Inledning
Figur 1.1: RMRC
Kranen förflyttar sig nu till koordinaterna för nedsättning av containern, där operatören manuellt sätter ned containern. Införning av semiautomatik kommer att minska risken att fel container hanteras. Detta eftersom oper-atören inte hanterar någon data utan bara godkänner det som föreslås av logistiksystemet.
1.3
Problemställning
För att möjliggöra en automatisk positionering så behövs en regulator. Till de helautomatiska stapelkranarna finns det idag en positionsregulator. Den är dock svår att trimma in och den är också svårt att få den att vara skonsam mot mekaniken. Vid designen av regulatorn ska det undersökas om regula-torn ska ta hänsyn till dynamiken i lasten (pendlingar i lasten). Hänsyn skall tas till det mekaniska slitaget som kan uppstå i växellådor och kopplingar på grund av det glapp som finns i kombination med ändring av rotationsrik-tningen med höga moment
Positionsåterföringen kan ske med olika typer av givare. En del av arbetet är att titta på olika typer av givare och se vilken typ som passar bäst för de olika rörelserna på kranen. Lyft, Tralla och Kranåk.
Den färdiga designen ska implementeras i ABBs PLC AC800. AC800 är en del i ett system av hårdvara och mjukvara för automation och övervakning
sreglering som utgångspunkt. Simuleringar skall först göras med lämpligt simuleringsverktyg, därefter ska en implementering i en befintlig PLC-miljö göras. d.v.s. fokus vid programmeringen ska ligga på regulatorn och dess tillhörande funktioner.
Vid studier av Positionsgivare skall vikten läggas på själva givaren, dess egenskaper och vilken typ av givare som passar bäst till de olika rörelserna på kranen. Hur givaren fungerar i detalj ska inte presenteras
Kapitel 2
Metoder
2.1
Positionsgivare
För att ta reda på olika typer av positionsgivare det finns så har Internet varit till stor hjälp. Även intervjuer med medarbetarna på ABB har gett god information. Speciellt vad gäller de alternativa sätten att mäta och för utvärderingen.
2.2
Positionsregulatorn
För framtagningen av den nya positionsregulatorn var utgångspunkten den befintliga regulatorn. Intervjuer med konstruktörer och idriftsättare har var-it en stor källa till information, både vad gäller funktionen i praktiken men även problem och förbättringspotentialen. Simuleringar av den gamla regu-latorn har gett god insikt i dess funktion.
Simuleringarna som gjorts i MATLAB har i första hand varit till för att förstå principen och de olika begränsningarna i de båda regulatorerna. Efter implementeringen av regulatorn i Compact ControlBuilder AC800M gjordes tester i labmiljö för att komma närmre vekligheten och se alla fördröjningar i systemet. Ett leveransprojekt sattes upp i labbet med en AC800M sammankopplad med en styrpanel med knappar och joystickar samt ett drivsystem bestående av en frekvensomriktare och en motor.
Kapitel 3
Positionsmätning
För att få en bild av positionsgivare och deras egenskaper så har några olika typer av positionsgivare studerats. Nedan presenteras de olika typerna och deras egenskaper, samt en rekommendation för vilken givare som passar bäst på kranens olika rörelser.
3.1
Absolutlägesgivare
3.1.1 Roterande absolutlägesgivare
En roterande absolutlägesgivare använder sig av mekanik eller optik för att hålla reda på vinkeln och hur många varv den har roterat. Givaren kan rotera ett begränsat antal varv innan räknaren för antalet varv slår runt.
Figur 3.1: Roterande absolutlägesgivare från FRABA
Tidigare gavs positionen från givaren via gray code [1]på ett antal digi-tala utgångar. Antalet signaler berodde på upplösningen. Gray-code skiljer sig från binär kod på så sätt att endast en bit åt gången ändras. Detta för att undvika situationer då bitarna inte ändras exakt samtidigt. Numera så
8 Positionsmätning
är givarna digitaliserade och man kan koppla dem via en fältbuss direkt till en PLC. I PLCn skalas signalen om till en position med hjälp av eventuell utväxling och diameter på hjul eller lintrumma. Signalen från givaren har vanligtvis en upplösning på 10-14 bitar. En 12x12 bitars givare har 4096 steg per varv (eller ppr pulses per revolution)och kan räkna +/-4096 varv. Up-plösningen fås av omkretsen på hjulet dividerat med pulstalet för ett varv. Om omkretsen är 5 m så blir upplösningen 1,22 mm. Max åksträckan blir 5 * 4096 m. D.v.s. ca 20 km.
3.1.2 Linjära absolutlägesgivare
En linjär absolutlägesgivare består av ett läshuvud och en linjal. Linjalen monteras längs färdsträckan medan läshuvudet monteras på den rörliga de-len. Omvänd montering kan förekomma för vissa applikationer. När läshu-vudet rör sig längs linjalen så läser det kontinuerligt av positionen. Det är viktigt att läshuvudet alltid ligger nära linjalen annars kan inte avläs-ning ske. Avläsavläs-ningen kan ske optiskt, magnetiskt, induktivt eller kapaci-tivt. Linjära absolutlägesgivare finns för avstånd upp till över 1 km med noggrannheter på ner till 0.1 mm.
Figur 3.2: Linjära absolutlägesgivare. Till vänster, WCS från Pep-perl+Fuchs. Till höger Pomux från SICK
3.1.3 Laserpositionsgivare
En laserpositionsgivare består av två delar. Den ena är själva lasern med tillhörande elektronik. Den andra är en reflex som lasern mäter emot. Re-flexen är inte alltid nödvändig utan man kan ofta klara sig utan den. Det finns två olika sätt att mäta avstånd med laser. Det ena är att man skickar iväg en ljuspuls mot reflexen och sedan mäter man hur lång tid det tar innan pulsen kommer tillbaka. Pulserna skickas kontinuerligt så att positionen kan uppdateras ofta utan avbrott med hög uppdateringstid. Noggrannheten är typiskt 1 - 5 mm
därför en synkronisering innan den kan böja mäta. En sådan synkronisering kan ta upp till 3 sekunder. Noggrannheten är ca 1-5 mm. Uppdateringstiden är ner till ett par hundra ms.
Eftersom laserpositionsgivare arbetar med ljus är det viktigt att sikten är fri mellan lasern och reflexen. Regn dimma och snö är saker som kan störa mätningen På långa avstånd blir den även känslig för om den är korrekt vinklad mot den reflekterande ytan. Det gör den dessutom vibrationskänslig eftersom vibrationer kan få den att peka utanför den reflekterande ytan.
3.1.4 Radar
En radarpositionsgivare fungerar på liknande sätt som en laserpositionsgi-vare. Den består av 2 delar som båda är sändare och mottagare. Även här kan man klara sig utan mottagare men då blir noggrannheten försämrad. Varje enhet har en egen identitet och risken för att se närliggande enheter av misstag är därför eliminerad.
Fördelen med radar är att den inte är lika känslig mot vinkelfel, och därmed vibrationer, som en laser. Däremot är det lika viktigt att sikten är fri. Med en frekvens av 61,0 - 61,5 MHz kan man på sin höjd hålla ett papper mellan enheterna utan att störa mätningen.
En radarpositionsgivare mäter upp till 500 m med en noggrannhet på 1 cm.
3.2
Andra mätmetoder
Beroende på applikationen så begränsas mätningen av olika parametrar så som max avstånd, risk för skador på utrustningen, fri sikt, mekaniska tol-eranser mm. Då måste alternativa mätmetoder hittas där man kombinerar flera metoder.
3.2.1 Relativ mätning
Relativ mätning innebär att man har ett mätsystem som kan mäta en ko-rtare sträcka än den man önskar mäta. När mätsystemet kommer nära sin maxgräns så nollställer men dess uppmätta position och adderar i det överordnade värdet på synkpositionen. När mätsystemet åter kommer nära sin max gräns i samma riktning så nollställer man återigen positionen och synkroniserar det överordnade systemet mot ett nytt positionsvärde. På det-ta sätt kan man fortsätdet-ta tills man täckt hela den önskade sträckan. För att välja ut det positionsvärde som ska adderas vid varje synkposition så behövs
10 Positionsmätning
ett annat mätsystem som inte behöver vara så noggrant. Man jämför posi-tionen från det mindre noggranna systemet med det noggranna systemets position för att avgöra vilken synkposition som är närmast.
Exempel på ett relativt positionsmätsystem är att använda sig av motorns pulsgivare och räkna pulser. med hjälp av hjuldiameter, utväxling och puls-givarens pulstal (pulser per varv) så kan man få fram den relativa förflyttnin-gen. Det grova mätsystemet kan bestå av en roterande absolutlägesgivare placerad på ett frirullande hjul. Synkroniseringspulsen tas från en digital givare när den passerar en flagga på den kända positionen
Det grova mätsystemet kan även bestå av ett RFID system där transpon-drarna/taggarna placeras ut längs sträckan som ska mätas. Transpondern innehåller positionsvärdet som kan läsas in på ett längre avstånd. När man sedan passerar över transpondern så genereras en synkpuls.
3.3
Rekommendationer
Problemen med fri sikt och vinkelkänslighet gör att lasergivare inte är lämpli-ga för någon av de tre rörelserna på kranen. Positionsvärdet måste komma utan avbrott och hopp. Radarpositionsgivaren har klara fördelar över laser-givaren vad gäller vinkelfel men problemet med sikten gör den ändå till en svag kandidat. Den roterande absolutlägesgivaren är ett givet val för lyftet eftersom den enkelt kan placeras på lintrummans axel. En linjär ab-solutlägesgivare är i praktiken inte möjligt att montera på ett enkelt sätt. Nackdelen med montage på lintrumman är att man får mätfel på grund av lintöjning. På en RMRC är linorna så pass korta att man kan leva med det men på en STS, beskriven i kapitel 4.1, så är töjningen väsentlig
När det gäller trallan så kan man använda både en linjär givare eller roterande givare som placeras på ett hjul. En roterande givare är betydligt billigare än en linjär givare, men när den monteras på ett hjul så finns der risk för att hjulet slirar. Även på ett frirullande hjul där ingen motor driver runt hjulet så blir det i längden problem. Erfarenheten visar att det är svårt att montera hjulet helt i linje med rälsen. Det innebär att det inte roterar exakt rätt sträcka utan positionen driver långsamt iväg ju längre man kör. Valet för trallan blir därför en linjär absolutlägesgivare. För kranåket blir det nå-got svårare att välja givare. En roterande givare har samma problem här som för trallan. En linjär givare kan teoretiskt användas men rent praktiskt så ställer det till problem. Linjalen som måste monteras på marken, blir där ganska utsatt för mekanisk åverkan. Man kan inte garantera att ingen trampar på linjalen eller att någon bråte hamnar på den. Här är en relativ mätmetod troligtvis det bästa.
Kapitel 4
Positionsreglering
4.1
Olika krantyper
I en containerterminal kan man hitta ett flertal olika typer av kranar. STS (Ship To Shore), BFC (Barge Feeder Crane), ARMG (Automatic Rail Mounted Gantry), RMRC, osv. STS och BFC kranarna står båda vid kajen
Figur 4.1: Till vänster BFC, till höger STS
och lastar av och på båtar. BFCn är en mindre kajkran som jobbar mot de mindre regionala fartygen och pråmar. Dess lyfthöjd är upp till 25 m och den har ett utlägg över fartyget upp till 40 m. STSen är betydligt större. Den har en lyft höjd på runt 40 m och ett utlägg över skeppet på 60-70 m. Båda krantyperna har alltså långa linor mellan trallan och lyftoket. Det innebär att lasten lätt börjar pendla när trallan förflyttar sig. Vid positioner-ing av trallan på en kajkran så måste man ta hänsyn till de långa linorna och utpendlingen när man accelererar och retarderar. Under förflyttning av trallan regleras hastigheten så att lasten, förutom vid acceleration och re-tardation, hänger lodrätt under trallan. Detta ger en ganska komplicerad reglerloop där hastighetsreferensen beror dels på trallans positionsfel dels
12 Positionsreglering
på lastens utpendling. Kranåket på kajkranarna rör sig långsamt och med långa accelerationsramper. Det körs endast när man förflyttar sig mellan containerstaplarna på fartyget. I det läget har man lyftoket högt för att minimera pendelrörelser. Kranåket förflyttas manuellt. ARMGn är en kran som staplar containrarna på varandra för mellanlagring. Containrarna är byggda för att kunna staplas upp till åtta stycken på varandra. I de flesta fall väljer man dock att endast stapla 6 stycken på varandra. Detta beror på att man då kan ha en styv linföring s.k. reptorn som motverkar utpendling av lasten. Linorna är då dragna så att de bildar en vinkel mellan trallan och lyftoket, både i x-led (tralla) och y-led (kranåk). Ju kortare linor (ju högre upp oket befinner sig) desto större vinkel och styvare reptorn får man. Ju längre linor desto svagare reptorn. Om containrarna skulle staplas högre så blir vinkeln alltför liten för att ha någon effekt. Om vinkeln skulle öks så måste containrarna placeras längre ifrån varandra för att linorna inte ska stöta emot containerstapeln vid sidan om. En ARMG med raka linor har
Figur 4.2: Till vänster reptorn, till höger raka linor
samma typ av reglering som en STS på grund av den pendlande lasten. En ARMG med reptorn har inga krav på att reglera utpendling av las-ten eftersom linföringen motverkar detta. En enklare positionsregulator där hastighetsreferensen beror av positionsfelet används här. RMRCn är mycket lik ARMGn men den är betydligt lägre eftersom den bara flyttar contain-rarna och inte staplar dem. Den är dessutom oftast smalare än en ARMG eftersom man inte har färre spår mellan benen. Eftersom den är så låg så har den alltid reptorn. Den enklare positionsregulatorn duger bra även här.
Figur 4.3: ARMG
4.2
Krav på prestanda
Eftersom RMRCn är mest lik en ARMG med styv linföring så väljer vi att utgå från ARMGn i prestandakraven.
4.2.1 Positionering
För att en kran ska kunna sätta ned eller plocka upp en container så måste den positioneras i x-led och y-led. Detta måste ske snabbt och med cen-timeternoggrannhet. Kranen har två positioneringssystem. Det ena består av kranåket och trallan där båda rörelserna positioneras av var sin regu-lator av den typen som behandlas i denna rapport. Det andra är ett hy-drauliskt, alternativt elektriskt, system för finpositionering (micro motion) som är placerat på lyftoket. Det senare av de båda tar även hänsyn till om en container står något roterad i förhållande till kranen. Kombinationen av dessa två system ger noggrannheten och snabbheten. En alltför noggrann positionering av kranåk och tralla tar alltför lång tid. En alltför dålig posi-tionering av kranåk och tralla ger att micro motion systemet måste jobba mycket och i värsta fall gå i ändläge. Då måste kranåk och tralla positioneras om.
14 Positionsreglering
Figur 4.4: Micromotion
4.2.2 Påverkan på mekaniken
Den regulator som finns på de helautomatiska stapelkranarna, och som de-signen i detta arbete utgår ifrån, klarar positioneringen utifrån de krav som ställts på den. De problem som finns med regulatorn är inte så mycket pre-standa utan främst att den inte tar hänsyn till mekaniken. När en
positioner-Figur 4.5: Referenskedjan
ing ska ske så ger positionsregulatorn ut en hastighetsreferens. Drivsystemet accelererar rörelsen till hastighetsreferensen enligt en inbyggd ramp och med hjälp av en varvtalsregulator. Eftersom varvtalsregulatorn i drivsystemet inte ska vara en flaskhals vid positioneringen så är den normalt hårt trim-mad. Detta innebär att momentreferensen och derivatan på momentrefer-ensen ut från varvtalsregulatorn i drivsystemet kan vara väldigt stor. Detta gör i sin tur att de små glapp som finns i kopplingar och växellåda
häm-vid långa linor kan göra att reptornet kollapsar, d.v.s. att linorna på den motsatta sidan till färdriktningen blir slaka och vi får en utpendling trots allt. När lyftoket sedan pendlar tillbaka och linorna sträcks så blir det stora mekaniska påfrestningar på såväl linor och linföringens mekaniska delar som på trallans struktur. Accelerationen hos kranåket är oftast för låg för att or-saka en kollaps av reptornet även om det finns fall där det kan förekomma. Däremot för trallan är det lätt hänt. Speciellt vid långa linor och låg last. De mekaniska påfrestningarna bli förstås större då reptornet kollapsar vid hög last.
4.2.3 Åtgärder för att minska de mekaniska påfrestningarna
Hur kommer man då tillrätta med dessa två problem? När det gäller mo-mentspikar i växellådor så används det för manuella kranar och traverser ofta en s.k. S-ramp för hastigheten. S-rampen gör så att accelerationen inte ökar momentant till maxvärdet, utan istället rampas upp och ned. Med en
Figur 4.6: Linjär acceleration och S-acceleration med respektive derivata liten S-ramp kan glappet hämtas upp mjukt innan fullt accelerationsmoment uppnås. Påfrestningarna på drivlinemekaniken blir minimal. Dessvärre kan dagens positionsregulator inte ta hänsyn till en S-ramp. Den kommer istäl-let att skjuta över positionen. Alternativt måste positionsregulatorn göras långsammare vilket leder till att det tar för lång tid att positionera kranen. När det gäller kollaps av reptorn så skulle även här en S-ramp göra stor nytta. Tiden för en kollaps av reptornet är mycket längre än den tid det tar att hämta upp glappet i en växellåda. Därför blir tiden för en S-ramp betydligt längre i fall då man vill förhindra kollaps av reptorn.
16 Positionsreglering
4.3
Regulator
En vanligt förekommande positionsregulator för olinjära begränsade system är den som är baserad på accelerationsrampen i drivsystemet. Följande kän-da uttryck gäller för en konstant acceleration. Eller som vid positionering, en konstant retardation.
s= v0t+ at2/2 (4.1)
v= v0+ at (4.2)
Om man löser ut t ur de båda formlerna och sätter v0 till 0, får man.
s= v2/2a (4.3)
Ekvivalent
v=√2as (4.4)
Med enbart formel (4.4) som positionsregulator så kommer man att köra full hastighet så länge det går, för att sedan retardera ner till 0 hastighet. I verkligheten finns det fördröjningar i systemet i form av långa cykeltider som gör att en ideal ramp inte går att följa. Det behövs även marginaler ifall målpositionen måste justeras. För att lösa detta så har man fört in en förstärkningsfaktor KP ar som har ett värde mellan 0 och 1.
v=p2asKP ar (4.5)
Den gör att man börjar retardera tidigare och med lägre acceleration. Dessvärre visar det sig att KP ar måste vara mycket liten för att man inte ska skjuta över positionen. Då blir retardationsrampen lång och därmed får man en dålig prestanda. För att avhjälpa detta så har man en s.k. slutregulator, som är en rent linjär regulator, och som kopplas in vid korta avstånd.
v= sKLin (4.6)
Där KLin är en förstärkningsfaktor för den linjära regulatorn. I slutändan så har man alltså två regulatorer som måste samtrimmas för att få önskvärd funktion.
Prestanda är det, som tidigare nämnts, inte så mycket att anmärka på, men vad händer om man inför en S-ramp i drivsystemet. Så länge S-tiden inte är alltför stor så kan man trimma om regulatorn så att man kan använda den. Det går ganska bra vid små S-tider men erfarenheten visar att vid större S-tider, upp emot 1 sekund och mer, tar det dock väldigt lång tid att nå slutpositionen.
Figur 4.7: Reglering med slutregulator. KP ar = 0.66, KLin=0.8. Grön kurva är positionsfelet i (m) och blå kurva är hastigheten i (m/s). X-axeln ät tiden i (s)
Figur 4.8: Reglering med slutregulator och S-ramp på 1 sekund. KP ar = 0.66, KLin =0.8. Grön kurva är positionsfelet i (m) och blå kurva är hastigheten i (m/s). X-axeln ät tiden i (s).
18 Positionsreglering
4.4
Ny regulator
Kravet på en ny regulator är att man, på den varvtalsreferens som regulatorn skapar, kan lägga en S-ramp utan att det påverkar prestanda. Regulatorn i kapitel 4.3 som bygger på ekvation (4.4) har ingen term för tiden i sig. Den kommer därför, som vi såg i kapitel 4.3, att ha problem om man im-plementerar en S-ramp i t.ex. drivsystemet.
4.4.1 Analys av regulator
Vi har tidigare sagt att den nya positionsregulatorn ska kunna hantera en S-ramp. De kända relationerna mellan s, v och t som vi använde i kapitel 4.3 gäller bara för konstant acceleration Det är alltså inte lika enkelt att ta fram ett uttryck analytiskt för den nya regulatorn.
Utgångspunkten för analysen är ekvation (4.4) på sidan 16 och dess ekviva-lent ekvation (4.3) på sidan 16.Förhållandet mellan dessa undersöks för att sedan kunna återanvända det i framtagningen av den nya regulatorn. Från ekvation (4.4), ritas hastigheten v och integralen av v, sträckan s, med avseende på tiden för ett antal retardationer med olika starhastigheter men med samma acceleration.
Figur 4.9: Retardation med linjär ramp. Integrerad åksträcka Ur grafen tas starthastigheten, vT op , och slutpositionen för s och sätts
1,00 1,00 0,50 1,00 2,25 1,50 0,50 2,25 4,00 2,00 0,50 4,25 6,25 2,50 0,50 6,25 Tabell 4.1: Förhållandet s och v2
Tabellen visar att förhållandet gäller för alla starthastigheterna.
4.4.2 Design av ny regulator
För att hitta en väg till ett nytt uttryck görs samma sak som ovan. Hastigheten v och integralen av v, sträckan s, ritas med avseende på tiden för ett antal retardationer med S-ramp och olika starthastigheter. Accelerationen i detta exemplet är som ovan 0,5 m/s2 och S-tiden är 1 sekund.
Figur 4.10: Retardation med S-ramp. Integrerad åksträcka
Ur grafen tas åter igen starthastigheten, vT op , och slutpositionen för s och sätts upp i en tabell.
20 Positionsreglering s vT op a Ny regulator 0,50 0,50 0,50 Okänt 1,50 1,00 0,50 Okänt 3,00 1,50 0,50 Okänt 5,00 2,00 0,50 Okänt 7,50 2,50 0,50 Okänt
Tabell 4.2: Förhållandet s och ?
Uppgiften är nu att ta fram formeln som beräknar s med värdena i tabellen. Man ser snabbt, genom att prova, att s = v2/2a inte längre gäller.
Genom att titta på hur formeln är uppbyggd matematiskt kan man komma vidare. Formeln (4.3) kan generellt beskrivas med ett polynom.
s= k1v2+ k2v+ k3 (4.7)
Där k1 är 2a1 . k2 och k3 är båda 0
Ett rimligt antagande är att den nya regulatorn kan beskrivas på samma sätt fast då med ett värde på k26= 0. Konstanten k3 ska fortfarande vara 0
eftersom vi vill att hastigheten ska vara 0 när positionsfelet är 0.
s= k1v2+ k2v (4.8)
För att få fram ett värde på k2 så görs en enhetsanalys på formeln (4.8).
Observera att i enhetsanalysen står s för sekunder och inte för sträcka. m= m2 s2 m s2 + k2 m s (4.9) m= m + k2 m s (4.10)
Detta ger att k2 måste vara av en tid, (s). Den uppmärksamme märker
då att det tillägg som gjorts på den nuvarande regulatorn är en S-ramp som definieras av den tiden som grundaccelerationen förlängs, tS. Om man provar att i formeln (4.8) använda sig av tS som k2 så visar sig efter lite
gissa, pröva att k2= tS
2 löser uppgiften.
Det verkar ju också rimligt om man tänker att man i snitt färdas med halva hastigheten under tiden tS jämfört med vad man gör med en linjär ramp. Det nya förhållandet mellan s och v2+ v blir alltså.
s= v
2
2a+ tSv
2 (4.11)
Ekvivalent formel till (4.8) är
7,50 2,50 0,50 7,50 Tabell 4.3: Förhållandet s och v2+ v
Med k1 och k2 enligt ovan så blir den nya positionsregulatorn
XXXXXXXX (4.13)
4.5
Simuleringar med den nya regulatorn
I 4.4.2 togs formeln (4.13) fram för den nya regulatorn. För att se hur bra, och under vilka förutsättningar, den fungerar så sätts en simuleringsmiljö upp där stegsvar på positionen kan göras. För Simulering av reglerloopen användes Simulink, en del av MATLAB [3], som är ett numeriskt beräkn-ingsprogram utvecklat av MathWorks.
4.5.1 Simuleringsmodell
Systemet som ska simuleras är olinjärt med begränsning i hastighet och ac-celeration. S-rampen gör att även accelerationens derivata, också kallad jerk (engelska för ryck eller knyck), är begränsad. Om vi som tidigare kallar den åkta sträckan för s så är hastigheten dess derivata ¯˙s , accelerationen dess andraderivatan ¯¨s och jerk dess tredjederivata ¯...s . Till att börja med behövs en modell för att kunna simulera S-rampen. S-rampen tar in en varvtalsref-erens och ger ifrån sig ett varvtal som följer refvarvtalsref-erensen men med en S-form vid ändrad hastighet. Det finns ett känt uttryck i litteraturen för den tidsop-timala förflyttningen i ett dubbelintegrerat system, som är√2ce [4].Där c är en konstant och e är reglerfelet. Vi använder oss av denna formel för att med ett hastighetsfel skapa en accelerationsreferens. Se bild 4.11 Modellen sätts in i modellen för S-rampen. Bild 4.12. accelerationsreferensen minus den återkopplade accelerationen multipliceras med ett stort värde med enheten (1/s) för att ge en jerk med stor derivata vid nollgenomgång. Jerkvärdet begränsas och integreras till en acceleration, som i sin tur integreras till en hastighet. Accelerationen återkopplas och subtraheras från accelerationsref-erensen Hastigheten återkopplas och subtraheras från hastighetsrefaccelerationsref-erensen till ett hastighetsfel.
22 Positionsreglering
Figur 4.11: Modell för den tidsoptimala förflyttningen
Figur 4.12: Modell av en S-ramp
För att få rätt hastighet ur modellen av S-rampen måste värden sättas på konstanterna och begränsningarna. Hastighetsintegratorn begränsas med systemets max och min värden på hastighet. Accelerationsintegratorn be-gränsas med systemets max och min acceleration. Jerkbegränsningnen sätts till a/tS. Det är denna begränsningen som ger själva S-formen på hastighet-skurvan. Förstärkningsfaktorn på accelerationsfelet ska vara så stor som möjligt för att få en bang-bang styrning på jerkvärdet. I simuleringen sätter dock sampeltiden i MATLAB gränsen eftersom man får sampel brus vid hö-ga förstärkninhö-gar. Ett värde större än 1000 ger ett bra simuleringsresultat utan att sampeltiden måste vara extremt liten. I uttrycket√2ce sätts c till samma värde som jerkbegränsningen d.v.s. a/tS. Om den inte har samma värde så kommer det att påverka S-formen på hastighetskurvan då man re-tarderar.
Nästa steg är att simulera kranens position. Ett enkelt och fullt tillräckligt sätt är att integrera hastigheten.
Slutligen har formeln för regulatorn, formel (4.13), implementerats och an-passats att klara negativa positionsfel. Återkopplat och med en referens ser systemet ut som nedan.
4.5.2 Simuleringsresultat
Om inget annat anges så är grön kurva hastigheten blå positionsfelet och röd accelerationen, alla ritade över tiden. Positionsfelet vid start är 20(m) och accelerationen är 0.4(m/s2) Vi börjar med att provköra den nya
Figur 4.13: Reglermodell
marginaler för systemets fördröjningar och för en ändring av målpositionen så kan man inte retardera med samma acceleration som drivsystemet. Därför fördes förstärkningsfaktorn KP ar in. Om vi sätter k2 = 0 blir den nya
regu-latorn densamma som den gamla enligt formel(4.4). Alltså gäller förstärkn-ingsfaktorn KP ari den nya formeln på precis samma sätt. Man förde även in en slutregulator som var mjukare på slutet för att inte skjuta över. Vi provar att sätta tS i regulatorn till 0.5 och ser då att vi kan få ett mjukt avslut på förflyttningen. Se figur 4.15
Det betyder att istället för att ha en slutregulator så bör vi alltså kunna manipulera ts i den nya regulatorn för att uppnå liknande resultat.
Nu ska vi se om regulatorn klarar det vi tagit fram den för. Vi skickar reg-ulatorns varvtalsreferens genom funktionen för S-ramp. Se figur 4.16. Här ser vi att beteendet till en början ser bra ut. Vi får ett S när vi börjar retardationen men mot slutet gör positionsfelet ett par överslängar innan det landar på 0. Detta beror på att referensen från positionsregulatorn dröjs av S-rampen. För att komma tillrätta med detta så måste den för-dröjningen räknas in i positionsfelet. Eftersom S-rampen ligger tS/2 s efter så drar vi ifrån vact∗ tS/2 m från positionsfelet. Se figur 4.17. Ljusblå kurva är det kompenserade positionsfelet som regulatorn använder. Detta ger ett mycket bättre resultat. Vidare simuleringar visar att även KP ar påverkar kompenseringen. Om KP ar = 0.5 så kommer man att retardera med halva accelerationen. Då ligger S-rampen tS/2 ∗ 0.5s efter referensen. Den kor-rekta kompenseringen blir då −vact∗ tS/2 ∗ KP ar. Formel(4.13) kan alltså modifieras till.
XXXXXXXX (4.14)
Modellen på systemet uppdateras också så att återkopplingen av hastigheten fås med. I ett verkligt system så är det förmodligen bättre att använda varvtalsreferensen som kommer från S-rampen istället för att använda den uppmätta hastigheten. Detta för att undvika att mätbrus påverkar signalen.
24 Positionsreglering
Figur 4.14: Reglermodell. Kompenserad för fördröjning av varvtalsreferensen
Figur 4.16: Positionsstegsvar tS= 0,5(s), S-ramp= 0,5(s)
Figur 4.17: Positionsstegsvar tS= 0,5 s med S-ramp och kompensering för positionsfelet
26 Positionsreglering
Vi har nu åter igen en positionering utan översläng. Om man gör ett antal stegsvar med olika positionsfel och olika tider på S-rampen så blir de alla stabila. Det visar sig att man kan minska k2 till tS/4 innan
hastighet-sreferensen blir instabil. Vid lägre värden kan den komma i självsvängning. Om k1 sätts lägre än 1/2a så börjar regulatorn snabbt att skjuta över målet.
Vi har nu kommit fram till en ideal regulator med en prediktiv återkoppling. Hur kommer den nu att fungera i verkligheten. I verkligheten så kommer regulatorn att köras i en PLC med en inte alltför snabb cykeltid. Det innebär att man kan ha förflyttat sig en bit från det att positionsvärdet avlästes tills det att regulator gör en beräkning med värdet. Detta kan man approxima-tivt kompensera för i PLCn genom att titta på hur lång man förflyttat sig från föregående sampel och anta att man förflyttat sig långt när nuvarande sampel exekverats.
Nu har vi kommit så långt med regulatorn att vi anser att vi tagit hand om de problem vi kan förutse. De problem som återstår får man lösa genom att trimma på k1 och k2. Ett exempel på möjliga scenario är att målpositionen
under retardation skulle ändra sig till en position närmre kranen. För att regulatorn ska kunna hantera det så får den inte retardera med full retarda-tion. Detta löser man genom att sätta KP ar <1 så att retardationen börja tidigare och pågår lägre. När positionsfelet ändras så ändras varvtalsrefer-ensen till driften. Eftersom vi före ändringen inte retarderar fullt så kan nu drivsystemet göra det och hinna ifatt så att vi fortfarande hinner med att stanna. S-rampens inverkan är fortfarande densamma.
4.5.3 Varför inte PID-regulator
De flesta förknippar en regulator med en PID eller PI regulator. Skulle det då inte vara enklast att använda en sådan även för positionsreglering. Svaret på den frågan är nej. Det här systemet är olinjärt och därför inte möjligt att på ett enkelt sätt reglera med en PID/PI regulator. Den regulator som tagits fram är i grunden en P-regulator. Återkopplingen av hastigheten kan man säga är en återkoppling av derivatan på positionen. Därmed får vi en PD-regulator. En integrering av positionsfelet går inte att införa eftersom det finns begränsningar i jerk, acceleration och hastighet. Samtidigt kan man dock säga att hela systemet är sjävintegrerande. Ett kvarstående positionsfel kommer att ge hastighets referens, om än liten. Drivsystemets varvtalsreg-ulator som är av PI/PID typ kommer då att följa referensen.
Kapitel 5
Implementering
5.1
Compact ControlBuilder AC800M
Compact ControlBuilder AC800M som är ett programmeringsvektyg för ABBs PLC-system AC800. Verktyget installeras tillsammans med en OPC-server för kommunikation mot ett HMI (Human Machine Interface) och eventuell annan utrustning. Compact ControlBuilder AC800M använder de PLC-programmeringsspråk som ingår i standarden IEC61131-3 [5]. Språken är följande.
• Structured Text ST • Instruction List IL
• Sequential Function Chart SFC • Function Block Diagram FBD • Ladder Diagram LD
ST och IL är båda textbaserade språk. ST Är ett högnivåspråk som är mycket likt Pascal [6] medan IL mer liknar assembler. SFC, FBD och LD är alla grafiska språk. SFC är bra för att göra sekvenser där varje steg kan vara ett arbetsmoment eller en del i en automatisk sekvens. Övergångarna mellan stegen är villkor som avgör om steget är slutfört. FBD kan liknas vid ritningar av digital logik medan LD kan liknas vid reläscheman. Med FBD kan man bygga egna funktionsblock som kan innehålla kod på något av de fem språken. Det gör det mycket flexibelt och enkelt att få en överblick av programmet utan att i detalj se all koden. LD var när det kom ett enkelt sätt för en elektriker att lära sig PLC-programmering. Det är dock begränsat till logiska och enkla funktioner och används idag helst för mindre PLC-program.
28 Implementering
5.2
Programmering
Eftersom man på ABBs kranavdelning använder sig av FBD så implementer-ades regulatorn med ST och kapslimplementer-ades in i ett funktionsblock. Inkapslingen av koden görs genom att externa signaler deklareras som in och utparame-trar medan lokala variabler deklareras som variabler. Funktionsblocket för
Figur 5.1: Exempel på FBD i CompactControlBuilder AC800M regulatorn innehåller inte enbart matematiken för regulatorn utan också om-skalningar av signaler, villkor för hur och när regulatorn ska användas mm. Funktionsblocket delades därför in i flikar, för att strukturera koden, där varje flik innehåller ST kod för sin del av funktionsblocket. Exekveringen i en PLC sker cykliskt enligt en bestämd cykeltid. Exekveringsordningen är uppifrån och ned samt mellan flikarna från vänster till höger.
5.4
Labmiljö
Testet utfördes i det befintliga lab som finns i ABBs lokaler på Finnslätten i Västerås. En ABB AC800 PLC laddades med programmet till RMRCn som modifierats för labmiljön. En ABB ACC800 frekvensomriktare med en motor kopplades till PLCn. En PC kopplades till PLCn för styrning och till frekvensomriktaren för monitorering av värden. Testet skiljer sig från verkligheten främst för att motorn inte har någon last. De fördröjningar som finns i PLCn och drivsystemet är dock liknande dem på en kran.
Figur 5.3: Labuppställningen
5.5
Lab test
De parametrar som trimmades på var samma som man kan förvänta sig trimma på i verkligheten d.v.s. KParoch tS. Till att börja med gjordes tester för att hitta begränsningar i systemet som kan påverka regleringen. Det visar sig att om S-tiden i driften är 0 så kan positioneringen skjuta över ett par gånger. Detta kan bero på att motorn är obelastad. Problemen minskade när varvtalsregulatorn i frekvensomriktaren slöades ner. För att komma ifrån problemen helt så sattes en lägsta nivå på den S-tiden som regulatorn känner till. När den tiden sattes till 0.2 (s) så försvann problemen helt för att sedan återkomma när S-tiden i frekvensomriktaren sattes till 0.1 (s). 0.2 (s) är förövrigt två gånger cykeltiden som PLC-programmet körs med. Själva testet
30 Implementering
i labbet består av 2 serier med stegsvar med steglängderna 15 (m), 10 (m), 5 (m) respektive 0,5 m samt ett steg på 9.5m där målpositionen ändras 1 m närmre aktuell position när önskad retardationshastighet uppnåtts. I första serien är S-tiden 0.1 (s) och i andra serien är den 1 (s). Signalerna som visas är positionsfel, hastighet och varvtalsderivata (accelerationen) med färgerna svart, röd respektive blå.
Figur 5.4: Serie med stegsvar. tS = 0.1KP ar = 0.8. Svart, positionsfel; Röd, hastighet; Blå, varvtalsderivata
Figur 5.5: Serie med stegsvar. tS = 1KP ar = 0.8. Svart, positionsfel; Röd, hastighet; Blå, varvtalsderivata
I figur 5.4 kan man se att varvtalsderivatan på två av stegsvaren svänger nära mål positionen. Förmodligen beror det på labuppsättningen men det bör verifieras vi tester på en kran. För övrigt ses ingen översläng för något av de testade steglängderna. En minskning i målpositionen med en meter under retardation klaras också av tack vare att KP ar är mindre än 1. Försök med KP ar = 1 gjordes också för att testa stabiliteten i regulatorn. Även där
ses i figur 5.6. Det visar sig att det faktiskt går att trimma in även den så att den klarar av en S-ramp för alla testade steglängder.
Figur 5.6: Serie med stegsvar på den befintliga regulatorn. tS = 1KP ar = 0.6. Svart, positionsfel; Röd, hastighet; Blå, varvtalsderivata
Kapitel 6
Slutsatser
6.1
Resultat
Det kunde ganska tidigt konstateras att eftersom en RMRC använder rep-torn i sin linföring så pendlar inte lasten under trallan. Därmed behöver inte regulatorn ta hänsyn till dynamiken i lasten. Däremot fanns det prob-lem med kollapsande reptorn och momentspikar som går hårt år växellådor och kopplingar. De problemen går man runt genom att införa en S-ramp i drivsystemet. Glapp kan nu hämtas upp innan fullt moment uppnås och reptornet ges en möjlighet att få med sig lasten utan att kollapsa.
Om man jämför simuleringsresultaten med resultaten i labbet så ser man att de är mycket lika. Figurerna 6.1 och 6.2 visar ett stegsvar på 10 (m) med en S-tid på 1 (s) och en förstärkning KP ar på 0.8. Både simuleringen och testet i labbet når målpositionen på ca 14 (s). Vid en förstoring kring slutskedet visat i figurerna 6.3 och 6.4 så ser man mindre skillnader mellan det simulerade resultatet och det verkliga resultatet från labbet. De beror på de små skillnaderna som finns. Återföringen av varvtalet i simuleringen är en rent integrerad signal medan återföringen från varvtalet i labbet tas från drivsystemets S-ramp. PLCns cykeltid är 100 (ms) medan drivsystemets är ca 10 (ms).
Den nya positionsregulatorn som tagits fram tar nu hänsyn till drivsys-temets S-ramp och positionerar utan att skjuta över, precis som tanken var. Förutom att de ställda kraven uppnåddes så fick man några fler positiva förändringar
• Slutregulator för korta förflyttningar är borttagen • Inga fler parametrar att ställa in
34 Slutsatser
Figur 6.1: Stegsvar 10m i simulatorn. tS = 1KP ar = 0.8. Svart, positionsfel; Röd, hastighet; Blå, varvtalsderivata; Rosa, hastighetsreferens
Figur 6.2: Stegsvar 10m i labbet. tS = 1KP ar = 0.8. Grön, hastighetsrefer-ens; Blå, hastighet; Röd, positionsfel
Figur 6.3: Stegsvar 10m i simulatorn. Förstoring av slutskedet. tS = 1KP ar = 0.8. Svart, positionsfel; Röd, hastighet; Blå, varvtalsderivata; Rosa, hastighetsreferens
Figur 6.4: Stegsvar 10m i labbet. Förstoring av slutskedet. tS = 1KP ar = 0.8. Grön, hastighetsreferens; Blå, hastighet; Röd, positionsfel
36 Slutsatser
6.2
Fortsatt utveckling
Det som återstår att göra är verifiering av resultaten på en riktig kran. I kapitlet 4.5.2 så nämdes det att man kan manipulera tS för att få ett mjukt avslut på förflyttningen så att man inte skjuter över målpositionen. Detta har inte behövts vid vare sig simulering eller tester i lab. Det måste under-sökas om man klarar sig utan den möjligheten i verkligheten. Speciellt i de fall man använder små S-tider.
Som fortsättning på arbetet med att ha god prestanda men samtidigt skona mekaniken, kan man titta på hur drivsystemets varvtalsregulator trimmas. Om man nu alltid kommer att ha en S-ramp i drivsystemet så kanske man inte behöver trimma varvtalsregulatorn så hårt. Samtidigt får det inte påver-ka positionsregulatorns prestanda.
Litteraturförteckning
[1] Gray code. http: // en. wikipedia. org/ wiki/ Gray_ code 2009 10 20
[2] Scilab Officiel hemsida, http: // www. scilab. org/ platform/ 2009 10 20
[3] MatLab Officiel hemsida, http: // www. mathworks. com/ products/ matlab 2009 10 20
[4] Tidsoptimal förflyttning Optimal Relay and Saturating Control Systems Synthesis E.P.Ryan, 1982.
[5] IEC61131-3 http: /en. wikipedia. org/ wiki/ IEC-61131-3 2009 10 20
[6] Pascal http: /en. wikipedia. org/ wiki/ Pascal_ ( Programming_ language) 2009 10 20
Figurer
1.1 RMRC . . . 2
3.1 Roterande absolutlägesgivare från FRABA . . . 7
3.2 Linjära absolutlägesgivare. Till vänster, WCS från Pepperl+Fuchs. Till höger Pomux från SICK . . . 8
4.1 Till vänster BFC, till höger STS . . . 11
4.2 Till vänster reptorn, till höger raka linor . . . 12
4.3 ARMG . . . 13
4.4 Micromotion . . . 14
4.5 Referenskedjan . . . 14
4.6 Linjär acceleration och S-acceleration med respektive derivata 15 4.7 Reglering med slutregulator. KP ar = 0.66, KLin =0.8. Grön kurva är positionsfelet i (m) och blå kurva är hastigheten i (m/s). X-axeln ät tiden i (s) . . . 17
4.8 Reglering med slutregulator och S-ramp på 1 sekund. KP ar = 0.66, KLin =0.8. Grön kurva är positionsfelet i (m) och blå kurva är hastigheten i (m/s). X-axeln ät tiden i (s). . . 17
4.9 Retardation med linjär ramp. Integrerad åksträcka . . . 18
4.10 Retardation med S-ramp. Integrerad åksträcka . . . 19
4.11 Modell för den tidsoptimala förflyttningen . . . 22
4.12 Modell av en S-ramp . . . 22
4.13 Reglermodell . . . 23
4.14 Reglermodell. Kompenserad för fördröjning av varvtalsrefer-ensen . . . 24
4.15 Positionsstegsvar tS = 0,5 (s) . . . 24
4.16 Positionsstegsvar tS = 0,5(s), S-ramp= 0,5(s) . . . 25
4.17 Positionsstegsvar tS= 0,5 s med S-ramp och kompensering för positionsfelet . . . 25
5.1 Exempel på FBD i CompactControlBuilder AC800M . . . 28
5.2 Exempel på ST i CompactControlBuilder AC800M . . . 28
40 FIGURER
5.4 Serie med stegsvar. tS = 0.1KP ar = 0.8. Svart, positionsfel; Röd, hastighet; Blå, varvtalsderivata . . . 30 5.5 Serie med stegsvar. tS = 1KP ar = 0.8. Svart, positionsfel;
Röd, hastighet; Blå, varvtalsderivata . . . 30 5.6 Serie med stegsvar på den befintliga regulatorn. tS = 1KP ar =
0.6. Svart, positionsfel; Röd, hastighet; Blå, varvtalsderivata . 31 6.1 Stegsvar 10m i simulatorn. tS = 1KP ar = 0.8. Svart,
posi-tionsfel; Röd, hastighet; Blå, varvtalsderivata; Rosa, hastighet-sreferens . . . 34 6.2 Stegsvar 10m i labbet. tS = 1KP ar = 0.8. Grön,
hastighet-sreferens; Blå, hastighet; Röd, positionsfel . . . 34 6.3 Stegsvar 10m i simulatorn. Förstoring av slutskedet. tS =
1KP ar = 0.8. Svart, positionsfel; Röd, hastighet; Blå, varv-talsderivata; Rosa, hastighetsreferens . . . 35 6.4 Stegsvar 10m i labbet. Förstoring av slutskedet. tS = 1KP ar =
Tabeller
4.1 Förhållandet s och v2 . . . 19
4.2 Förhållandet s och ? . . . 20 4.3 Förhållandet s och v2+ v . . . 21
