NATUR-MILJÖ-SAMHÄLLE
Examensarbete i Matematik & lärande
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Uppvisat matematiskt innehåll i relation
till uttrycksformernas möjligheter och
begränsningar
Presented mathematical content in relation to the opportunities and
limitations of forms of expression
Roxana Domasneanu
Anna Linde Andersson
Ämneslärarexamen 270 hp 2020-01-14
Examinator: Petra Svensson Källberg Handledare: Lisa Björklund Boistrup
3
Förord
Hösten 2015 påbörjade vi vår resa på Malmö Universitet mot målet att bli matematiklärare på högstadiet och detta är vårt sista fotavtryck som studenter innan det är dags att göra nya avtryck som lärare i det svenska skolsystemet.
Vi vill tacka lärarna på Malmö Universitet som knuffat oss längs vägen mot läraryrket samt alla kurskamrater som gjort resan rolig.
Speciellt vill vi tacka vår handledare Lisa Björklund Boistrup som med sin expertis, omtanke och känsla för detaljer gjort det möjligt för oss att färdigställa arbetet. Vi vill även tacka de elever som deltog i studien.
Examensarbetet är ett resultat av ett samarbete men Roxana har burit huvudansvaret för bakgrund och metodologi. Anna har ansvarat för sammanfattning och resultat. Vi har tillsammans skrivit förord, syfte och frågeställningar samt diskussion. All text har korrekturlästs av den andra i de lägen där en person skrivit ensam och arbetet har i samverkan med vår handledare Lisa Björklund Boistrup reviderats av oss båda.
5
Sammanfattning
I detta arbete åskådliggörs det matematiska innehåll elever visar i muntliga respektive skriftliga situationer samt uttrycksformernas roller i dessa. Likheter och skillnader kartläggs med en jämförelse mellan muntliga och skriftliga situationer. På en kommunal grundskola i Malmö genomfördes en fallstudie med elever i årskurs 7 där de fick lösa uppgifter muntligt och skriftligt i olika ordningar. Det matematiska innehållet och uttrycksformernas roller belystes, kategoriserades och jämfördes för att sedan användas i slutsatsen. Slutsatserna diskuterades med koppling till teoretiska överväganden och tidigare forskning. Fallstudien visade att eleverna visar olika typer av kunskap muntligt och skriftligt. Muntligt visar eleverna på kunskap samt en kommunikationsförmåga då begrepp och valda metoder diskuteras i större utsträckning än i skriftliga situationer. Å andra sidan visar eleverna, rimligtvis, mer av sina individuella tankar skriftligt. Det skedde fler slarvfel vad gäller korrekta begrepp i den muntliga situationen och fler slarvfel vad gäller räknesätt och formelanvändning i den skriftliga situationen. Vad gäller de muntliga uttrycksformernas roller antog tonläge och ljudvolym en social roll medan handgester antog en kunskapsförmedlande, förklarande och stöttande roll. På samma sätt användes ritningar som ett stöd i de skriftliga situationerna. De muntliga och skriftliga situationerna visade sig innefatta olika fördelar beroende på elev, gruppkonstellation och uppgiftstyp.
Nyckelord: geometri, matematik, muntlig kommunikation, skriftlig kommunikation, uttrycksformer
6
Innehåll
Förord ... 3
Sammanfattning ... 5
1. Inledning ... 7
2. Syfte och frågeställningar ... 8
3. Bakgrund ... 9 3.1 Tidigare forskning ... 9 3.2 Styrdokument ... 12 4. Teoretiska överväganden ... 13 4.1 Sociokulturellt perspektiv ... 13 4.2 Socialsemiotik ... 14 4.3 Design för lärande ... 15 4.4 Analysverktyg i studien ... 15 5. Metodologi... 17 5.1 Kvalitativ metod... 17 5.2 Studiens design ... 18 5.3 Urval ... 18 5.4 Forskningsetiska överväganden ... 18
5.5 Genomförande och datainsamling ... 20
5.6 Analysmetoder ... 22
5.7 Studiens tillförlitlighet ... 23
6. Resultat ... 25
6.1 Matematiskt innehåll muntliga situationer... 26
6.2 Matematiskt innehåll i skriftliga situationer ... 31
6.3 Uttrycksformer i muntliga situationer ... 37
6.4 Uttrycksformer i skriftliga situationer ... 39
6.5 Sammanställning ... 40
6.6 Likheter i muntliga kontra skriftliga situationer ... 41
6.7 Skillnader i muntliga kontra skriftliga situationer ... 42
7. Diskussion ... 44
7.1 Matematiskt innehåll ... 44
7.2 Uttrycksformernas roller ... 45
7.3 Studiens begränsningar och bidrag ... 46
7.4 Förslag på framtida forskning ... 47
Referenser ... 48
Bilaga 1: Samtyckesblankett ... 51
Bilaga 2: Elevblad ... 54
7
1. Inledning
Skolverket (2011) menar bland annat att matematikens syfte är att använda uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. På våra partnerskolor under den verksamhetsförlagda utbildningen har vi lagt märke till hur elever ofta förklarar att de inte vetat hur de ska uttrycka sig på de skriftliga proven samt att vanligt förekommande repliker under muntliga diskussioner är ”jag vet inte hur jag ska förklara” eller ”vad säger man?”. Utifrån våra erfarenheter finns det osäkerhet i både muntliga och skriftliga prov, samt att antalet skriftliga prov är fler än de muntliga. Detta kan innebära en obalans i träningen i de olika situationerna. Palmér (2010) förklarar vikten av att föra en ämnesdialog mellan elever och lärare då det gjorde en viktig grund för förståelse av ämnet samt för att elever ska utveckla sina förmågor att uttrycka sig och använda relevanta begrepp.
Selander (2010) beskriver att skolan behöver anpassa sig utefter de förutsättningar som idag finns i det moderna samhället. Förutsättningarna förändras för eleverna i takt med samhällets utveckling och därmed förändras även deras verktyg de använder för att förstå sin omvärld. Under vår verksamhetsförlagda utbildning har vi mött en fyrkantighet kring den skriftliga situationens möjligheter att visa kunskap. Vi satt inte på några svar eller förklaringar till huruvida den skriftliga situationen var gynnsam eller inte för elevernas lärande och ville därför undersöka möjligheter och begränsningar med att tillåta fler uttrycksformer i de situationer där elever ska visa på kunskap. Denna problematik är därför en grund till detta arbete. Detta problem kan också vara en anledning till varför så få elever blir behöriga till gymnasiet och därför fann vi detta arbete relevant för vårt yrke. Efter en inledande forskningsöversikt uppmärksammade vi ett rikt underlag i den multimodala socialsemiotiken vad gäller uttrycksformer och matematiskt innehåll och bestämde oss därför för att genomföra en fallstudie för att få en bredare förståelse för för- och nackdelar med skriftliga och muntliga situationer.
8
2. Syfte och frågeställningar
Syftet med detta arbete är att jämföra det matematiska innehåll elever formulerar i relation till uttrycksformernas begränsningar och möjligheter. Uttrycksformerna i detta fall handlar om de i skriftlig och muntlig kommunikation.
Syftet är att besvara följande frågeställningar:
• Vilket matematiskt innehåll visar elever i muntliga respektive skriftliga
situationer?
• Vilka roller får olika uttrycksformer i skriftlig respektive muntlig uppgiftslösning? Inom ramarna för problemområdet och ovanstående frågeställningar är syftet även att besvara följande fråga:
• Vilka likheter och skillnader går det att urskilja i muntliga kontra skriftliga
situationer?
Uttrycksformer definierar vi utifrån Boistrups (2013) fyra exempel på uttrycksformer vilka är: prat, gester, bilder och artefakter/saker.
9
3. Bakgrund
Inför studien sökte vi i Libsearch efter vetenskapliga artiklar och avhandlingar som behandlar muntlig och skriftlig matematik. Friberg (2017) använder begreppen inledande sökning för att beskriva den första sökningen som görs för att förstå problemet och avgränsa forskningsproblemet. I den inledande sökningen sökte vi efter matematik som skolämne och inte efter specifika områden. Sökresultaten visade att algebra och geometri var utrett i större skala, baserat på vad som visades i Libsearch, än andra ämnen och därmed förfinades sökningen till algebra och geometri. Via granskning uppfattades geometri som det område med störst vetenskapligt underlag och således beslutades det att begränsa studien till geometri.
3.1 Tidigare forskning
Palmér (2010) skriver i sin bok om två motsatta föreställningar, en behavioristisk och en sociokulturell föreställning. Skribenten vill förmedla att den behavioristiska föreställningen innebär att kunskap, lärande och fakta ses som objektiva fakta och överförs från en person till den andra, det vill säga från en sändare till en mottagare. Den sociokulturella föreställningen innebär att kunskap skapas i en dynamisk process av lärande och kommunikation och den framträder deltagarnas olika perspektiv på omvärlden som de har byggt tillsammans.
Eftersom vi placerar oss i den sociokulturella traditionen anser vi att det behövs kommunikation mellan två eller fler personer för att kunskap ska skapas och utvecklas. I följande avsnitt har vi skrivit om forskning som behandlar muntliga och skriftliga situationer samt uttrycksformer som används för att kunna se vilka likheter och skillnader som finns i uppvisat matematiskt innehåll. Detta sker i relation till uttrycksformernas möjligheter och begränsningar samt i muntliga respektive skriftliga situationer.
3.1.1 Definition av skriftligt och muntligt språk
Bergvall (2016) skriver i sin doktorsavhandling om muntligt kontra skriftligt språk och vilka skillnader som finns mellan dem. Skribenten menar att i skriftspråk behövs mer struktur för att det ska bli tydligt för en läsare som inte är delaktig eller närvarande i textskapandet. I det muntliga språket kan personen använda sig av andra sätt för att göra
10
sig förstod genom kroppsspråk och prosodiska resurser, det vill säga tonfall. Bergvall (2016) knyter ihop skriftligt språk med skolspråk och muntligt språk med vardagsspråk. För att definiera vardagsspråk används begreppet primärdiskurs, vilket innebär språket som eleven lär sig i hemmiljön utifrån den sociala identiteten, elevens vanor och erfarenheter av språk och läsning. Skolspråket grundas på vardagsspråket (primärdiskurs) men eftersom skolspråket är en utveckling av primärdiskursen, då eleven lär sig utifrån en skolkontext, har den fått namnet sekundärdiskurs. Enligt Bergvall (2016) involverar sekundärdiskurs kommunikation mellan personer som inte är närstående och där man tillsammans möter nya typer av texter och språk. Hur enkel utvecklingen från primärdiskursen till sekundärdiskursen är för en elev, beror på hur mycket eleven är bekant med denna diskurs. Detta är en anledning till att det finns elever som upplever att utvecklingen från vardagsspråket till skolspråket kommer av sig själv, medan hos andra inträffar en stor krock mellan de olika diskurserna.
Palmér (2010) skriver också om skriftspråk men fokuserar mer på muntligt språk och muntlig kommunikation. Hon menar att det muntliga språket är grunden till läsning och skrivning och det är det första ett barn lär sig. Palmér (2010) anser att språket och den muntliga kommunikationen är den resurs vi använder för att förmedla information, bearbeta, ifrågasätta och kritiskt granska kunskap, samt förklara komplicerade processer och tolka omvärlden. Hon skriver också att muntligt språk är kontextbundet och personlig medan det skriftliga språket är formellt och mottagarorienterat. Palmér (2010) menar också att de utvecklas med hjälp av varandra och inte individuellt. Även Mouwitz (2006) anser att det finns ett samband mellan muntlig och skriftlig kommunikation. Han beskriver i sin avhandling hur matematiska diskussioner sällan sker utan penna och anger skriftligt stöd som en essentiell del för den som är van att lösa uppgifter skriftligt.
3.1.2 Bedömning av skriftlig och muntlig kommunikation
Palmér (2010) skriver om elevernas muntliga kompetens, vilket enligt henne handlar om färdigheter, kunskaper och attityder. Förutom språklig produktion är det viktigt att eleverna kan uttrycka sig själva och ta emot språkliga bidrag samt att samverka med andra. Hon menar att muntlig kompetens kan bedömas med hjälp av det nationella provet. Palmér skriver om det nationella provet i svenska men matematik har också muntliga nationella delprov.
11
Boistrup (2013) ger exempel på sex bedömningssituationer. Hon menar att läraren kan bedöma en elev i samband med den dagliga klassrumskommunikationen, under helklasspass i slutet av ett projekt, i samband med diagnoser och prov, i samband med summeringar i formulär eller bedömningsmatriser, betyg, samt i samband med utvecklingssamtal. Skribenten specificerar inte att det handlar om muntlig bedömning därför drar vi slutsatsen att det handlar om bedömning generellt, det vill säga både muntlig och skriftlig.
Boistrup m.fl. (2014) utförde en studie där de undersökte elevernas muntliga kommunikation inom algebra och hur läraren kan bedöma det. Skribenterna förklarar att kommunikation inom algebra kan ske genom att eleverna utbyter information mellan varandra med hjälp av att prata, lyssna, skriva, läsa, rita, diskutera och argumentera, alltså både kroppsliga och skriftliga uttrycksformer. De beskriver också att just den muntliga kommunikationen ger störst effekt för att skapa ett klimat så att eleverna kan lära sig och använda begreppen i algebra. Skribenterna skriver om tre frågeställningar, när, hur och vad lärarna ska bedöma. Boistrup m.fl. (2014) studie handlar om algebra men vi ser ingen anledning till varför detta inte skulle fungera i ett annat matematiskt område.
3.1.3 För- och nackdelar med muntlig respektive skriftlig bedömning
Videnovic (2017) jämförde i sin artikel skillnaden i det kanadensiska respektive europeiska utbildningsystem när det gäller vikten av muntliga prov speciellt i matematiken. Hon intervjuade totalt sju professorer. Fyra av dem var födda i olika länder i Europa: Bosnien, Polen, Rumänien och Ukraina. De jobbade som professorer i Kanada. De tre andra professorerna var födda i Kanada, USA och Tyskland, och de jobbade som professorer i Tyskland. De professorerna som var födda i Europa hade erfarenhet av muntliga examinationer, medan de två som var födda i Kanada och USA hade brist på denna sorts erfarenhet. Professorerna värderade muntlig examination som ett bättre alternativ för att eleverna ska visa sin förståelse. Skriftliga examinationer ansåg de gav eleverna mer procedurkunskap och instrumentell förståelse medan muntliga examinationer testar konceptuell kunskap och relationell förståelse. Instrumentell förståelse behandlar elevens sätt att gå tillväga, det vill säga vilken metod den använder för att lösa en uppgift (Skolverket, 2013). Relationell förståelse innebär ett intresse för förståelse om varför en viss metod fungerar och kopplingen mellan olika kunskaper kan göras (Skolverket, 2013). Från Videnovics (2017) artikel menar professorerna att de
12
skriftliga situationerna främst prövar metodval medan de muntliga prövar förståelse av metoderna och kopplingar mellan olika kunskaper.
Palmér (2010) skriver om fyra fördelar med muntlig kommunikation som hon anser som viktiga för att en lärare ska känna till. En fördel är att elevernas språk utvecklas när de pratar med varandra. Detta inverkar på deras kunskapsutveckling som anses vara den andra fördelen. Den tredje fördelen är att den muntliga kommunikationen utvecklar eleverna till mer demokratiska individer och de lär sig mer om principerna för demokrati. Eleverna lär sig att prata, lyssna förklara sig och förhandla sig till en kompromiss. Det menas också att samtal i mindre grupper är mer lärorika, eftersom de handlar inte bara om ämnet utan om det sociala spelet där eleverna visar sin identitet, relationer och makt i kamratgruppen förhandlas och lämnar plats för vissa personer att prata medan andra begränsas. Detta anses som fjärde fördelen med muntlig kommunikation.
3.2 Styrdokument
Skolverket (2011) menar att syftet med matematikundervisningen bland annat är att eleverna ska kunna argumentera logiskt och föra matematiska resonemang samt ”utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang.” (Skolverket, 2011, s.54). För att sammanfatta har Skolverket (2011) formulerat en förmåga som eleverna ska utveckla när det gäller förtrogenheten med matematikens uttrycksformer. Denna förmåga är att eleverna ska kunna ”använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.” (Skolverket, 2011, s.55). Detta citat visar att eleverna ska kunna samtala om frågeställningar, beräkningar och slutsatser vilket innebär att eleven också behöver kunna prata om matematik inte bara kommunicera i skriftspråk. I kunskapskraven (Skolverket, 2011) för årskurs 9 står det att eleverna ska kunna föra matematiska resonemang i redovisningar och diskussioner. Utifrån kursplanen för matematik för högstadiet ska eleverna både kunna skriva och diskutera matematik. Skolverket (2017) förtydligar syftet med undervisningen i matematik och menar att eleverna ska utveckla sin förmåga att kommunicera med och om matematik. Med begreppen kommunicera, vill Skolverket (2017) säga att eleverna ska skifta information om matematiska idéer och tankegångar, skriftligt, muntligt och med hjälp av andra uttrycksformer, med andra elever.
13
4. Teoretiska överväganden
Tre teoretiska perspektiv, i många avseenden likartade (Leijon & Lindstrand, 2012), har bestämts vara relevanta för studiens syfte och frågeställningar. Temat i syftet för studien är lärande i form av kommunikationsformer gentemot ämnesinnehåll. De teoretiska perspektiv som anses falla inom ramen för detta är sociokulturellt perspektiv, multimodal socialsemiotik och design för lärande. Samtliga teorier talar för lärande via mediering, det vill säga förmedling av kunskap. Vi positionerar oss i den sociokulturella traditionen med fokus på vad eleverna kan ensamma kontra tillsammans med andra. Från detta perspektiv fokuserar studien på kommunikation, uttryckssätt och teckenskapande på en nivå där visat innehåll belyses. Därför har vi valt att med grund i sociokulturell tradition, fördjupa oss i socialsemiotik för att titta närmre på just uttrycksform och tecken. Vi fördjupar oss även i design för lärande för att identifiera faktiska lärprocesser.
4.1 Sociokulturellt perspektiv
Lärande sker inte bara konstant med tiden, utan också i olika rum samt i samvaro med andra och med hjälp olika redskap. Lundgren m.fl. (2014) beskriver Vygotskijs teori och menar att lärandet skär genom kommunikation med mer kunniga personer. Detta är en process som sker kontinuerligt under hela livet och inte bara under vissa stunder. Denna teori betyder att utvecklingen går från social kompetens till individualitet till skillnad från kognitivismens syn på tänkandet som ursprungligen är ägt av individen. I skolan arbetar elever med befintlig kunskap och genom att använda språket med en mer kunnig person kan eleven utveckla sitt lärande.
När vi analyserar samt genomför undersökningen placerar vi oss i den sociokulturella traditionen. Valet av denna teori utgår ifrån syftet med undersökningen, där vi vill titta på skillnader i uttrycksformer hos elever i muntliga respektive skriftliga situationer. Teorin beskriver möjligheter att utvecklas mer i sitt lärande tillsammans med andra jämfört med att jobba själva vilket vi vill undersöka.
14
4.2 Socialsemiotik
Tecken är det mest centrala begreppet i semiotik och genom de socialsemiotiska glasögonen är tecken något som skapas snarare än används (Kress, 2010). Tyngdpunkten läggs, precis som i den sociokulturella traditionen, på inre och yttre världar och kopplingen däremellan då omvärldens fenomen representeras mentalt inombords och då skapar mening. Leijon och Lindstrand (2012) grundar socialsemiotiken i systematisk funktionell lingvistik (Halliday, 2004) som en teori kring språket. Den centrala utgångspunkten i denna teori är att kommunikation och representation anses vara sociala processer av teckenskapande. Vidare fördjupar de hur människor kommunicerar och skapar mening med hjälp av en mängd olika socialt och kulturellt formade semiotiska resurser eller teckensystem. För att definiera teckensystem anger Leijon och Lindstrand (2012) kategorier såsom talat språk, skrivet språk, bilder, gester, färg och ljud. För att beskriva teorins koppling till lärande används förklaringen av Kress (2003); att lärande är en process med stark koppling till det teckenskapande arbetet som sker när vi skapar representationer och använder tecken och text i kommunikationen.
Kress (2010) sätter begreppen representation och kommunikation mot varandra och menar att dessa ska vara i samspel om tecken ska vara till någon användning. Representation är den information man önskar förmedla till sin mottagare medan kommunikation fokuserar på mottagarens förståelse för tecknets innebörd. Kress utvecklar och förklarar vikten av att de tecken man avser använda måste ha en transparens och vara formad just för den specifika mottagaren. Boistrup (2013) skriver om tre funktioner eller metafunktioner som hon kallar det, som avspeglas i all kommunikation. De tre metafunktionerna heter interpersonell, ideationell och textuell. De funktionerna som är relevanta för vår studie är ideationell och textuell. Den ideationella metafunktionen handlar om elevernas erfarenheter och representationer av världen (Boistrup, 2013). Detta innebär att all diskussion handlar om något som eleverna kopplar till erfarenheter eller någonting de känner till. När det gäller denna funktion handlar det i vårt fall om innehållet i det eleverna kommunicerar. Den textuella metafunktionen handlar om konstruktionen av en text som är en sammansättning av olika uttrycksformer som samspelar med varandra (Boistrup, 2013). Vårt intresse av uttrycksformernas roller hänger samman med denna metafunktion.
15
4.3 Design för lärande
En individs förståelse gestaltas genom teckenvärldar i form av exempelvis ljud, gester och rörelsemönster. Förståelsen visar sig också i olika grad beroende på tidpunkten för framförandet och denna skillnad synliggör lärandet (Selander & Kress, 2010). Denna syn på framförandets timing och relationen till förståelsen är specifikt intresseväckande i denna studie eftersom uttrycksformerna här begränsas i olika ordning.
Design från lärande bygger på socialsemiotik men har större fokus på faktiska lärprocesser (Leijon & Lindstrand, 2012). Vikten av faktiska lärprocesser är särskilt relevant för denna studie eftersom innehållets variation i relation till uttrycksformerna har den största rollen i syftet. Design för lärande är, precis som vår studie, baserad mot bakgrund av det sociokulturella sammanhanget med fokus på teckenskapande processer på mikronivå, något som även ingår i socialsemiotiken. Per definition av Selander (2010) är design för lärande en inramning som skapats för lärande såväl som målsättningar, rum och resurser. Ställningstagandet i teorin beskrivs som djärvt och banbrytande då den anser att förutsättningarna för skolan har förändrats då vi befinner oss i en tid av teknikutveckling och globaliserad kommunikation. Detaljnivån på innehållet och uttrycksformerna som belyses i teorin om design för lärande är i denna studies kontext inte helt möjlig att förutse och därmed behöver vi även lyfta fram gråskalan som saknas i socialkulturens breda överskådning och socialsemiotikens mikronivå.
4.4 Analysverktyg i studien
Med inspiration från Boistrup (2013) kommer vi att analysera olika uttrycksformer. Boistrup (2013) ger fyra exempel på uttrycksformer, prat, gester, bilder och artefakter som hon definierar som saker. Dessa olika uttrycksformer har enligt Boistrup (2013) en central del gällande kommunikationen i matematikklassrummet. I vår analys av den muntliga situationen använder vi prat i form av tonlägen och ljudvolym. Gester synliggörs i form av handgester, antingen med fingrarna eller med artefakter som i vårt fall är pennan. I analysen för den skriftliga situationen kan skrift och ritningar motsvara uttrycksformen bilder.
Inspirerade från Bryman (2018) har vi byggt upp ett observationsschema (se bilaga 3) med hjälp av uttrycksformerna. Uttrycksformerna för muntlig kommunikation har valts
16
ut i ett observationsschema för att underlätta anteckningarna under observationerna. När forskaren konstruerar ett observationsschema är det viktigt att systemet för registreringen är lätt att följa och inte har många kategorier (Bryman, 2018).
17
5. Metodologi
I följande avsnitt kommer vi att skriva om vilken metod vi har använt för att samla in data samt hur vi har genomfört undersökningen, vilken studiens design är och hur vi har gjort urvalet. Vi kommer att diskutera de forskningsetiska överväganden samt studiens tillförlitlighet.
5.1 Kvalitativ metod
Utifrån studies syfte har en kvalitativ metod valts. En kvalitativ forskning är en forskningsstrategi som används för att lägga vikt på ord och tolkning av data. Genom en kvalitativ metod är kvantifiering av data irrelevant (Bryman, 2018). Det finns tre anledningar till varför vår studie klassificeras som kvalitativ. För det första är vår data grundad på erfarenhet, det vill säga med hjälp av sex observationer har vi byggt upp en erfarenhet. Utifrån erfarenheten dras olika slutsatser som därefter, tillsammans med tidigare forskning, används som svar för arbetets frågeställningar. Att jobba utifrån erfarenhet och sedan dra olika slutsatser kallas också för induktivt angreppsätt där vi använder observationer för att tolka och förstå dem för att senare generalisera (Bryman, 2018). För det andra används ett tolkningsperspektiv av observationerna och elevernas lösningar. Detta perspektiv är kopplat till en teori som kallas för interpretivism och bygger på förståelse och tolkning och denna är en kunskapsteoretisk ståndpunkt (Bryman, 2018). Den tredje anledningen är den ontologiska ståndpunkten, där vi befinner oss i konstruktionismen. Detta innebär att ”sociala företeelser och deras mening är något som sociala aktörer kontinuerligt får till stånd” samt ”att sociala företeelser och kategorier inte bara skapas via socialt samspel utan att de också befinner sig i ett tillstånd av ständig revidering.” (Bryman, 2018, s.58).
Deltagande observation innebär enligt Bryman (2018) att ”forskare engagerar sig då i en social miljö under en viss tid för att observera och lyssna i syfte att få en bild av den kultur som en social grupp uppvisar.” (Bryman, 2018, s.457) Denna metod är ett bra alternativ om forskaren vill göra ”en intensiv och detaljerad granskning av ett fall.” (Bryman, 2018, s.97) som är den metoden som vi anser mest passande för vår studie.
18
5.2 Studiens design
För studien används en kvalitativ metod och med hjälp av en deltagande observation gör vi en fallstudie. Detta innebär att den studiedesign som kännetecknar denna studie är fallstudiedesign. Detta utmärks av en detaljerad och ingående granskning av ett enda fall. Bryman (2018) förklarar begreppen fall med en fallstudie av en viss plats eller lokal och därför i vår studie är fallet en viss klass i en viss skola i Malmö. Enligt Bryman (2018) är målet med en fallstudie att synliggöra det fall som forskaren är intresserad av, vilket är anledningen till varför fall just den klassen och den skolan är vald.
5.3 Urval
Populationen för denna studie har valts utifrån bekvämlighetsurval. Detta innebär enligt Bryman (2018) att populationen är för tillfället tillgänglig för forskaren. Anledningen till att detta sätt har valts är att vi fick en möjlighet att samla in data som annars krävde mer tid att få in. Urvalet till studiens datainsamling bestod av 7 elever på samma kommunala grundskola i Malmö. Elever från årskurs F till 9, på två parallellspår, går på skolan och i denna studie deltog 7 elever från en klass i årskurs 7. Antalet elever valdes utifrån arbetets begränsade tidsperiod.
Skolans socioekonomiska index ligger i den översta kvartilen för skolor i Malmö. Detta är ett index som baseras på bakgrundsvariablerna föräldrarnas utbildningsnivå, föräldrarnas inkomst och föräldrarnas grad av bidragstagande (Skolverket, 2018). Det genomsnittliga meritvärdet i matematik på skolan är i cirka två poäng över snittet för Malmö kommun i årskurs 9 enligt Skolverkets statistik (2019). Poängen visar meritvärdet som används vid gymnasieansökningar där A är 20, C är 15 och E är 10.
5.4 Forskningsetiska överväganden
Denna studie styrs av de fyra forskningsetiska principer som Vetenskapsrådet (2002) kräver. Informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet som kommer att beskrivas i nästa stycke. Vetenskapsrådets syfte med principerna är att ge bestämda regler som styr förhållandet mellan forskare och undersökningsdeltagaren
19
så att det finns en god avvägning mellan forskningskravet och individskyddskravet om en konflikt uppstår.
För att uppfylla informationskravet behöver forskaren ”informera uppgiftslämnare och undersökningsdeltagare om deras uppgift i projektet och vilka villkor som gäller för deras deltagande.” (Vetenskapsrådet, 2002, s.7), att deltagandet är frivilligt och kan avbrytas när som helst samt att uppgifterna kommer att användas bara för studiens syfte. I samtyckesblanketten för denna undersökning finns information om vad studien handlar om, vilken uppgift eleverna har i studien, att deltagandet är frivilligt och kan avbrytas när som helst utan konsekvenser, samt att uppgifterna kommer att användas bara för studiens syfte (se bilaga 1).
Samtyckeskravet innebär att forskaren hämtar samtycke från undersökningsdeltagare och uppgiftslämnarens samtycke. (Vetenskapsrådet, 2002) I denna studie behövs också samtycke från vårdnadshavare, eftersom eleverna är under 15 år och deltar aktivt i undersökningen. Alla deltagare samt vårdnadshavare har lämnat in samtyckesblanketten underskriven och är medvetna om att de kan avbryta sin medverka när som helst utan att få några konsekvenser.
Konfidentialitetskravet beskrivs av Vetenskapsrådet (2002) som ett krav för att skydda medverkarnas identitet. Detta gör att forskaren behöver ge ”största möjliga konfidentialitet och personuppgifterna ska förvara på ett sådant sätt att obehöriga inte kan ta del av dem.” (Vetenskapsrådet, 2002, s. 12) I samtyckesblanketten finns information om hur Malmö Universitet behandlar personuppgifter samt att dessa ska förstöras när studien är examinerad. Studiens metod gör att deltagarna är helt anonyma och kan inte identifieras på något sätt.
Nyttjandekravet innebär att uppgifterna som har samlats in om deltagarna får användas endast för forskningsändamål och ”får inte användas eller utlånas för kommersiellt bruk eller andra icke-vetenskapliga syften.” (Vetenskapsrådet, 2002, s.14). Forskaren får inte heller använda personuppgifterna för att ta beslut eller åtgärder som påverkar den enskilde individen, såsom vård, tvångsintagning m.m. Denna information finns i samtyckesblanketten.
20
5.5 Genomförande och datainsamling
För att samla in data behövdes samtycke från elevernas vårdnadshavare. En samtyckesblankett formulerades utifrån Malmö Universitets riktlinjer för datainsamling av material från minderåriga elever och skickades därefter ut till berörda elevers vårdnadshavare. Sju elever lämnade in blanketten vilket påverkade vårt genomförande av datainsamling då vår plan från början var att ha tolv elever. Vi tog därför konsekvensen att paren/grupperna fick lösa två versioner av två uppgifter istället för två versioner av en uppgift.
Undersökningen handlade om att lösa fyra uppgifter. Eleverna delades först in i tre grupper, två grupper med två medlemmar och en grupp med tre medlemmar.
5.5.1 Val av uppgift och gruppindelning
Undersökningen bestod av fyra uppgifter och fyra situationer, två muntliga och två skriftliga. Den första uppgiften handlade om att beräkna sidorna för en pool genom att lösa och redovisa skriftligt och den andra var en liknande uppgift som skulle lösas muntligt. Den tredje uppgiften handlade om att beräkna antalet kuber på en bild skriftligt medan den fjärde var en liknande uppgift som den tredje men även den skulle lösas muntligt. Uppgifterna valdes från gamla nationella prov konstruerad av PRIM-gruppen, som är en forskningsgrupp som fokuserar på bedömning av kunskap och kompetens. Uppgiften om poolen kan hittas i det nationella provet för årskurs 6 år 2014/2015 i del D, uppgift 26. Uppgiften om kuberna kan hittas i det nationella provet för årskurs 6 som uppgift 29, del D från år 2015/2016. Anledningen till att vi valde dessa uppgifter var, förutom PRIM-gruppens godkännande, att vi personligen bedömde dem som de rikaste problemen med mycket utrymme för kreativitet och olika lösningar. Vi har använt dessa uppgifter till både de muntliga och skriftliga situationerna, den enda skillnaden är att vi har gjort två olika versioner av uppgifterna med olika namn på personerna och mått/tal. Detta har vi gjort för att eleverna inte ska få exakt samma uppgift igen.
På grund av bekvämlighetsurvalet kunde grupperna delas in med lite blandade kunskapsnivåer men med en skapligt jämn fördelning gällande verbal bekvämlighetsnivå i den muntliga situationen. Detta kunde kategoriseras med hjälp av dels betyg men också generellt bedömd kunskapsnivå av den undervisande läraren.
21
Efter att eleverna genomfört den första och andra uppgiften som handlade om en pool gjorde vi om grupperna när de skulle lösa den tredje och fjärde uppgiften (som handlade om kuber). Varje grupp arbetade i ett mindre grupprum där de löste de första uppgifterna antingen skriftligt eller muntligt beroende på vilken grupp de delats in i. För att undvika att någon grupp skulle göra samma uppgift två gånger fick vi dela upp det på följande vis gällande muntliga och skriftliga grupper: På de två första uppgifterna, det vill säga den med poolen började två grupper med den muntliga situationen och en grupp med det skriftliga och på de två sista uppgifterna med kuber började två grupper med den skriftliga situationen och en grupp med den muntliga situationen. Eleverna fick information om att det är viktig att inte prata med varandra om uppgifterna eftersom vi ville ha en verklighetstrogen reaktion från eleverna när de tog sig an uppgiften. Efter att grupp två avslutade båda situationerna för första uppgiften kom grupp ett in och utförde sina delar. När alla var klara med de första två uppgifterna kom de nya grupperna in och jobbade med de sista två uppgifterna.
5.5.2 Datainsamling
Datainsamlingen på arbetet är elevernas skriftliga lösningar på uppgiften i den skriftliga situationen, elevernas anteckningar på den muntliga delen och de anteckningarna som vi förde när vi observerade elevernas arbete.
5.5.3 Muntlig situation
Den muntliga situationen innebar att en grupp elever satt vid samma bord och fick varsitt elevblad, rutat papper, penna och suddgummi. De fick information om att de skulle lösa en geometriuppgift (se figur 1 och 2) inom matematiken och att materialet inte måste användas. När alla läst instruktionerna började gruppen lösa uppgiften.
22
När alla läst instruktionerna började gruppen lösa uppgiften samtidigt som vi antecknade individuellt utifrån ett observationsschema (se bilaga 3). När eleverna var klara och hade lämnat rummet gjorde vi en gemensam sammanställning av våra anteckningar.
5.5.4 Skriftlig situation
I den skriftliga situationen placerades eleverna individuellt på olika platser i ett rum. Eleverna fick varsitt elevblad och instruktioner om att försöka lösa den så långt hen kan utan assistans av läraren. Eleverna löste individuellt en geometriuppgift (se figur 3 och 4) där de hade tillgång till rutat papper, penna och suddgummi. De fick skriva sina lösningar på det rutade pappret så utförligt de kunde.
Figur 3 Skriftlig uppgift A Figur 4 Skriftlig uppgift B
För att samla in data på de skriftliga situationerna scannade vi in de uträkningar och svar som eleverna hade skrivit på sina rutade papper. Därefter kunde vi använda de scannade dokumenten som en del av vårt analysmaterial tillsammans med de anteckningar vi gjorde under våra observationer av den muntliga situationen.
5.6 Analysmetoder
Det matematiska innehållet i elevernas lösningar analyserades lite olika beroende på om det var en muntlig eller skriftlig kommunikation. I båda situationerna analyserades tal- och geometriförståelse samt begrepp.
I den muntliga situationen undersöktes, utöver det matematiska innehållet, det som formulerades muntligt i form av ordval och meningsbyggnad, även icke-verbal kommunikation i form av gester, pekande med finger, tonläge, blickar och tystnad.
23
Analysmetoden redovisas ytterligare under rubrik 6 i arbetetet.
5.7 Studiens tillförlitlighet
Bryman (2018) skriver i sin bok om olika sätt att bedöma en studies kvalitet. Han problematiserar begreppen validitet och reliabilitet och menar att vissa författare har försökt använda de begreppen i en kvalitativ forskning, medan andra menar att de är oanvändbara eller olämpliga. De författarna föreslår användningen av fyra andra begrepp som vi kommer att utgå ifrån, för att bedöma studiens tillförlitlighet. De begreppen är trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet och en möjlighet att styrka och konfirmera. Trovärdighet beror på hur troliga eller sannolika resultaten av undersökningen är (Bryman, 2018). I denna studie använder vi en teknik som heter triangulering. Detta innebär enligt Bryman (2018) att vi använder flera datakällor, metoder, observatörer och teoretiska perspektiv. Vi har valt att använda flera datakällor genom att göra en observation på sju elever och att vi är två observatörer vid undersökningen. Under genomförandet av undersökningen är det två personer som observerar och antecknar vilket ökar sannolikheten att resultatet som båda ser är mer trovärdig än om bara en observatör antecknar.
Överförbarhet innebär att resultaten kan användas i andra kontexter också (Bryman, 2018). I denna studie beskriver vi skolan hur detaljerat vi kan så att anonymiteten behålls. I detta fall är skolan den miljö som eleverna befinner sig i och andra kan bedöma om resultatet kan överföras till en annan miljö (Bryman, 2018).
Pålitlighet bemöter frågan om man kan få liknande resultat vid andra tillfälle. För att uppnå detta måste arbetet ha en tydlig och transparent beskrivning av forskningsprocessen (Bryman, 2018). Att vara tydliga och transparenta är vår vilja i skrivandet av denna studie.
En möjlighet att styrka och konfirmera betyder att forskaren är objektiv och egna värderingar har inte påverkat resultatet på något väsentlig eller felaktigt sätt. För att uppnå detta ska forskaren säkerställa att den inte har medvetet påverkat resultatet av undersökningen (Bryman, 2018). Vi är medvetna om att resultatet påverkas av vår tolkning av den data vi får in samt elevernas uttrycksformer och lösningar. Trots det har vi inte medvetet påverkat utförandet och resultatet av undersökningen. Vi är också
24
25
6. Resultat
Resultatet av fallstudien är kategoriserat utifrån arbetets syfte och frågeställningar. Det visade matematiska innehållet redovisas separat beroende på om situationen är muntlig eller skriftlig och uttrycksformerna är indelade på samma sätt.
Den första frågeställningen ”Vilket matematiskt innehåll visar elever i muntliga respektive skriftliga situationer?” besvaras under rubrik 6.1 och 6.2. Mönster och teman i det matematiska innehållet redovisas först för den muntliga situationen följt av den skriftliga. Matematiskt innehåll i de muntliga situationerna är kategoriserat efter talförståelse (Till exempel räknesätt), geometriförståelse (dimensioner, area, volym etc.) samt begrepp (exempelvis gånga och multiplicera).
Den andra frågeställningen ”Vilka roller får olika uttrycksformer i skriftlig respektive muntlig uppgiftslösning?” besvaras under rubrik 6.3 och 6.4. Uttrycksformer kategoriseras i två huvudkategorier på samma sätt som det matematiska innehållet; muntligt och skriftligt. Muntliga uttrycksformer delas in i tonläge och ljudvolym, handgester samt pekande. Vidare är skriftliga uttrycksformer indelade i skrift (bokstäver och text), ritningar (geometriska figurer) samt tal och symboler (siffror, räknesätt etc.). Under rubrik 6.5 sammanställs data av likheter och skillnader med syfte att introducera inför rubrik 6.6 och 6.7. Under dessa rubriker besvaras den tredje frågeställningen: ”Vilka likheter och skillnader går det att urskilja i muntliga kontra skriftliga situationer?”. Likheter och skillnader är under de sista tre rubrikerna uppdelade först efter praktiska resultat i form av tidsåtgång och kvantitet i skriftligt underlag. Likheter och skillnader är kategoriserat efter matematiskt innehåll skriftligt respektive muntligt och detsamma gäller för uttrycksformernas roller.
I tabellen nedan klargörs konstellationerna för de olika observationsgrupperna med förtydligande av uppgift, i vilken ordning redovisningen sker, antalet elever samt elevernas kodnamn vilka återkommer under resten av resultatavsnittet där delar från diskussionerna samt skriftliga elevsvar används som exempel för mönster och teman i fallstudien. Eleverna har samma kodnamn i båda gruppkonstellationer för att underlätta belysningen av mönster.
26
Tabell 1 Redogörelse för fallstudiens observationsgrupper
Grupp Uppgift Ordning Antal elever Elevernas kodnamn
1 Poolen muntligt - skriftligt 2 A1, B1
2 Poolen skriftligt - muntligt 2 A2, B2
3 Lådan muntligt - skriftligt 2 B1, B2
4 Lådan muntligt - skriftligt 2 A1, A2
5 Poolen muntligt - skriftligt 3 A5, B5, C5
6 Lådan skriftligt - muntligt 3 A5, B5, C5
På grund av sen inlämning av samtyckesblanketten har inte eleverna från grupp 5 och 6 kombinerats i olika konstellationer.
6.1 Matematiskt innehåll muntliga situationer
I detta avsnitt redovisas mönster/teman vad gäller matematiskt innehåll i de muntliga situationerna och således besvaras en del av den första frågeställningen: Vilket matematiskt innehåll visar elever i muntliga respektive skriftliga situationer?
Höjd röst markeras med VERSALER och betonade/utdragna ord markeras som understrukna. Icke-verbal kommunikation som nämns är skrift, pekande, ritningar, räkning på fingrar och sex gester som namnges samt illustreras i tabellen nedan.
Tabell 2 Illustreringar och namn på handgester
Drar osynlig linje Gör osynliga prickar Pekar
Rektangel med pekfingrar Rektangel med pekfingrar
och tummar Dirigerar
27
sidorna som sidor i x-, y- och z-led vilket illustreras i figuren nedan.
Figur 5 Illustrering av hur sidorna i de två uppgifterna kommer refereras till
6.1.1 Talförståelse
I samtliga elevgrupper uppmärksammades en förståelse för proportioner och förhållanden i pool-uppgiften då de under något stadie dividerade 240 med åtta. I två av tre grupper dividerades 240 med fyra först, följt av att eleverna märkte sina misstag.
I gruppen om tre elever påbörjades en uträkning av två av dem där 240 dividerades med 4. Den tredje eleven var från början inställd på att division med 4 var felaktigt men de två som trodde på resonemanget behövde fullfölja metoden innan de tvivlade. Ett segment av diskussionen löd:
B5 Ska man inte ta såhär delat på 4? (skriver 240 / 4)
C5 Nej.
AB5 Jo!
A5 Jo, den här är 3 gånger så stor. (pekar på långsidan)
Elev A och B fortsätter sin diskussion samtidigt som elev C försöker informera om deras misstag. Först när Elev C avbryter dem och höjer rösten går de med på att dividera med 8.
A5 … nä det blir jättekonstigt. Den är lång på båda sidor. B5 Det blir helt fel.
C5 … KOLLA! 1,2,3,4,5,6,7,8 (pekar med pennan). Så delar man med 8 för att få
28
A5 Aah…
En grupp dividerade med åtta utan att visa på någon förståelse för varför. I resterande två grupper förekom en diskussion kring varför de skulle dividera med åtta, där en förståelse för proportioner syntes. Ett exempel lyder:
B2 Asså kolla (ritar en rektangel). Då kan man ta eftersom det är 4 sidor, 2 långsidor så blir det 6,7,8 (pekar längs med rektangelns kanter).
A2 Så då ska vi ta delat på 8.
B2 Jag brukar tänka så.
Flertalet elever sa andra tal än det de skrev ner på sitt papper i uträkningarna. Ett exempel lyder:
B2 240 delat på 8 är … 35? (skriver 30) Jo men det borde det väl vara.
A2 (räknar på fingrarna) Jo det är 30. B2 Så 30 meter.
Det matematiska innehållet elever visar i muntliga situationer vad gäller talförståelse är en förståelse för tal och räknesätt samt att de kommenterar anledningen till valda räknesätt och tal.
6.1.2 Geometriförståelse
I uppgiften med poolen visade samtliga grupper förståelse för en rektangels omkrets. En grupp gjorde det tidigare nämnda misstaget att dividera 240 med 4 men kommenterade, efter korrekt uträkning att den tidigare kvoten, 60, utgjorde poolens summerade kortsidor. A1 Jag tänker först ha 240 delat på 4 (skriver kort division). Det blir 60. Det blir
för mycket så det är fel.
B1 Jag tänker 240 delat på 8 (skriver). Det blir 30.
A1 Ja det blir 30. Det kan vara 60 också delat på 2.
29
den senare kommentaren visar att eleven köpte den halverade sträckan som en kortsida. I uppgiften med kuberna visar en elev på förståelse för lådans tre dimensioner.
B1 Jag bara räknade ut arean (rektangel med pekfingrar och tummar) om de vore en
platt sak men här räknar man inte ut arean. … Jag räknade 1,2,3,4 (räknar med
pennan) sen 4 gånger 6 (skriver). … som är 48.
Eleven löser uppgiften med en metod att räkna ut basytan i x- och z-led för att sedan multiplicera basytan med höjden. En elev i en annan grupp använde en liknande metod men räknade ut basytan på planet i x- och y-led.
B5 Ja kolla hur många som får plats på bredden så här (drar osynlig linje). Också uppåt (drar osynlig linje). Det får plats 2 uppåt också 1,2,3,4,5,6 (gör osynliga
prickar) på bredden. Då e de ju 12 på en rad.
A5 12?
C5 På en rad?
De andra två eleverna visar förvirring kring Elev B:s tankesätt.
Uträkningarna av Elev A i första gruppen och Elev B i andra gruppen är desamma men synsättet och tankestrukturen skiljer sig. Figur 5 och 6 illustrerar elevernas olika basytor.
Figur 6 Basytan 6 * 4 = 24 Figur 7 Basytan 6 * 2 = 12
Det matematiska innehållet elever visar i muntliga situationer vad gäller geometriförståelse är en uppfattning om innebörden av begrepp såsom omkrets. Det sker även ett utbyte av uppfattningar av geometrins regler i form av exempelvis basyta och tredimensionella kroppar.
30
I båda uppgifter förekom korrekta och inkorrekta begrepp i diskussionerna. Det vanligaste slang-begreppet var ”gånga” istället för ”multiplicera”. Detta är vanliga felsägningar som eleverna använder mycket när de kommunicerar muntligt.
I pool-uppgiften använde samtliga elever begreppen sida, längd eller bredd vilket utgjorde det som uppgiften efterfrågade. Inga elever återkommer till begreppet omkrets som förekommer i uppgiftsformuleringen. Tabell 3 Elever n av N som nämner begrepp i pool-uppgiften i muntlig situation visar antalet n elever som nämner begreppen av totala antalet N elever.
Tabell 3 Elever n av N som nämner begrepp i pool-uppgiften i muntlig situation
sida längd bredd omkrets meter
n 3 1 2 0 3
N 7 7 7 7 7
I uppgiften med lådan förekom färre matematiska begrepp i den muntliga situationen. Problemet är rikare och därför tilläts mer kreativa lösningar som inte kräver användning av begrepp. Endast en grupp använde begreppet ”rad” vilket var ett begrepp som myntades av en elev följt av att resterande två elever använde det. Diskussionen har nämnts tidigare i texten men här redovisas ett påföljande segment i kommunikationen: B5 Ja kolla hur många som får plats på bredden så här (drar). Också uppåt (drar).
Det får plats 2 uppåt också 1,2,3,4,5,6 (prickar) på bredden. Då e de ju 12 på en rad.
A5 12?
C5 På en rad? (betonar ”rad”)
A5 Jag tog denna raden (drar pennan längs sidan) gånger denna (pekar) så fick jag uppåt så trappsteg.
Tabell 4 visar antalet n elever som nämner begreppen av totala antalet N elever.
Tabell 4 Elever n av N som nämner begrepp i kub-uppgiften i muntlig situation
sida längd bredd höjd rad area volym
n 1 0 1 1 3 1 0
N 7 7 7 7 7 7 0
31
elever som löste uppgiften använde metoden för att räkna ut en volym men ingen använde begreppet volym. De elever som använde geometriska begrepp använde area eller rad/sida/längd etc. som eleven i följande exempel:
B1 Det man får göra är väl att räkna hur många gånger det går på denna längden
(drar osynlig linje i x-led) och denna längden (drar osynlig linje i z-led) och denna
längden (drar osynlig linje i y-led).
I den muntliga situationen använde eleverna enheter (meter) i större utsträckning efter ett visst antal sägningar som i följande exempel.
A1 90 meter här (drar en osynlig linje längs långsidan), 90 meter här (drar osynlig
linje längs långsidan), 30 (pekar på kortsidan), 30 (pekar på kortsidan).
En annan elev slutade använda enhet efter en tillsägelse av en annan elev (se stycket nedan).
C5 90 cm (skriver). Eleven använder enhet
B5 METER!
C5 Den här 30 (pekar med pennan). Eleven använder inte enhet
I den muntliga situationen var användandet av enhet en bekvämlighetsfråga.
Det matematiska innehållet elever visar i muntliga situationer vad gäller begrepp är en förståelse för geometriska begrepp såsom längd, bredd, area etc. Dock används begreppen sida och rad mer än de specifika namnen som längd, bredd och höjd.
6.2 Matematiskt innehåll i skriftliga situationer
I detta avsnitt redovisas mönster/teman i det matematiska innehållet eleverna visar i de skriftliga situationerna. Därmed besvaras den andra delen i den första frågeställningen: Vilket matematiskt innehåll visar elever i muntliga respektive skriftliga situationer? Det matematiska innehållet är kategoriserat i tal- respektive geometriförståelse och begrepp.
32
Fem av sju elever löste pool-uppgiften med hjälp av att dividera omkretsen 120 med 6 för att sedan räkna ut en långsida genom att multiplicera med 2 eller addera. Resterande två elever använde andra metoder men samtliga elever fick fram rätt svar. En av dessa elever räknade först ut långsidan genom att dividera 120 med 3 för att sedan räkna ut kortsidan genom att dividera 120 med 6 (se Figur 8).
Figur 8 Lösning av elev B1
En elev räknade antagligen ut svaret genom att dividera 240 med 6 men skrev dock 5 på pappret (se Figur 9).
Figur 9 Lösning av elev B1
Den vanligaste metoden i elevernas skriftliga svarspapper var, som nämnt, att dividera 120 med 6. Två elever visade ett förstadium till uträkningen där de på olika sätt illustrerade betydelsen av proportioner. Nedanstående elev visade detta som produkter i form av × 1 och × 2 (Se Figur 10).
Figur 10 Elev B5S
33
med 6.
Den andra eleven betecknade först sidorna som kvoter innan hen dividerade 120 med 6 (Se Figur 11).
Figur 11 Svarspapper för elev B2S
En elev illustrerar ett liknande resonemang med sin ritning där hen först räknat ut en sjättedel av 120 för att sedan dela in poolens sidor i delar om 20 meter (se Figur 12).
Figur 12 Skriftlig lösning av pool-uppgiften (Elev A1S)
I uppgiften med lådan har 2 av 4 felaktiga svar orsakats av ett och samma räknefel; att eleverna skrivit produkten 25 efter multiplikation av 4 med 5. Metoden som användes av dessa var densamma som eleverna som beräknade rätt svar men räknefelet orsakade ett följdfel som ledde till ett inkorrekt svar; 75 i båda fall istället för 60.
För att besvara den första frågeställningen i fråga om skriftliga situationer visar eleverna kunskap om och förståelse för räknesättet som behövs för att lösa en uppgift av pooluppgiftens karaktär i fråga om proportioner och förhållanden. Det finns en variation bland eleverna vad gäller tolkningar av begreppet proportion. Vissa elever visar en konkret talförståelse i form av kvoter och vissa visar en mer kreativ och illustrerande
34
förståelse med hjälp av figurer.
6.2.2 Geometriförståelse
Av samtliga elever fick 3/7 fram korrekt svar på uppgiften med lådan i den skriftliga situationen. I de fyra felaktiga svaren är två av dem orsakade av ett räknefel trots korrekt metod, som nämnt tidigare, och i två av dem är metoden felaktig eller inte tolkningsbar. En av eleverna med felaktigt svar ritade den tredimensionella lådan men glömde en dimension i uträkningen, alternativt var ouppmärksam och misstog basytan för en kvadrat (se Figur 13).
Figur 13 Elevlösning av låd-uppgiften (Elev C5S)
Eleven har multiplicerat sidan i z-led med sig själv, antagligen i tron om att basytan är en kvadrat.
En annan elev som fick fram ett felaktigt svar använde en svårtolkad metod i form av addition. Elevbladet för samma elev är nedkladdat med prickar och tillritade kuber. I den skriftliga situationen dokumenterades det att eleven ritade till kvadrater för att fylla lådans sidoytor samt prickade av ”osynliga” kuber i lådan. Denna metod redovisades för även i den muntliga situationen. Man ser i på det rutade pappret att eleven adderat tal; antagligen de kuber hen räknat fram steg för steg på elevbladet. Se Figur 14 för elevlösning.
35
Figur 14 Skriftlig lösning av låd-uppgiften (Elev B2S)
Eleven ser inte den koppling mellan uppgiften och beräkning av volym som samtliga andra gjort. I den muntliga situationen framkom dock en aha-upplevelse så fallet är att eleven lärde sig i den muntliga gruppdiskussionen.
Av de tre elever som räknade ut korrekt svar består två av lösningarna utav de exakta raderna 4 × 5 = 20 och 20 × 3 = 60 (se Figur 15 och Figur 16).
Figur 15 Skriftlig lösning av låd-uppgiften (Elev A5S)
Figur 16 Skriftlig lösning av elev B1S
Den elev som visade på mer förståelse än dessa två stack ut på grund av dels en ritning men också med en annan syn på basytan; ett resonemang som användes av en annan elev i den muntliga situationen vilket nämns senare i texten.
Eleven i detta fall räknar ut antalet kuber i planet som utgörs av x- och y-led (se Figur 17) till skillnad från de andra eleverna som började med x- och z-led.
Figur 17 Skriftlig lösning av låd-uppgiften (Elev B5)
I pool-uppgiften var ritningar mer förekommande till skillnad från låd-uppgiften där det mest förekommande var pragmatiska uträkningar alternativt räkning av ”osynliga” askar på elevbladet.
36
Det matematiska innehållet eleverna visar vad gäller geometriförståelse i den skriftliga situationen är kunskap om area med vissa slarvfel vad gäller den tredje dimensionen i andra uppgiften. Flera slarvfel utöver detta förekommer vid multiplikation för beräkning av basyta. Vissa elever visar förståelse för låduppgiftens geometriska karaktär och löser den med formeln för beräkning av volym medan vissa löser den genom att räkna askarna en och en. Således visar inte alla elever ett matematiskt innehåll vad gäller geometriförståelse.
6.2.3 Begrepp
3 av 7 elever skrev enheter i sina skriftliga lösningar av pool-uppgiften i den skriftliga situationen och 1 elev skrev begreppet omkrets. Dock säger inte detta något om elevernas förståelse för begreppet omkrets, eftersom förståelse för begreppet omkrets är nödvändigt för att överhuvudtaget kunna lösa uppgiften. Att använda begreppet visar på kommunikationsförmåga snarare än begreppsförmåga.
I låd-uppgiften förekom nästintill inga begrepp utöver ”rad” eller längd/bredd i fåtalet fall. I pool-uppgiften var enheten meter given i uppgiften och i låd-uppgiften handlade det om antal vilket inte är lika bekant i standarduppgifter i läromedel när det handlar om geometri. De få elever som använde enhet i sina lösningar av låduppgiften skrev ”st” eller ”askar”; betydligt färre än de som angav meter i sina uträkningar av pooluppgiften. Det matematiska innehållet eleverna visar i den skriftliga situationen vad gäller begrepp är till viss mån användning av enhet samt en förståelse för omkrets, area och volym. Se Tabell 5 Redovisning av tidsåtgång i muntliga och skriftliga situationer efter ordning på uppgifterna. och Tabell 6 Redovisning av antal ord i muntliga och skriftliga situationer efter ordning på uppgifterna. för sammanställning av begreppsanvändning.
Tabell 5 Elever n av N som nämner begrepp i pool-uppgiften i skriftlig situation
sida längd bredd omkrets meter
n 0 2 1 2 4
N 7 7 7 7 7
37
sida längd bredd höjd rad area volym
n 0 0 1 1 1 0 0
N 7 7 7 7 7 7 0
6.3 Uttrycksformer i muntliga situationer
I detta avsnitt redovisas uttrycksformernas roller i muntlig uppgiftslösning och således besvaras en del av den andra frågeställningen: Vilka roller får olika uttrycksformer i
skriftlig respektive muntlig uppgiftslösning?
Uttrycksformerna i de muntliga situationerna kategoriseras som verbala i form av tonläge och ljudvolym samt icke-verbala i form av handgester och pekande.
6.3.1 Tonläge och ljudvolym
I majoriteten av grupperna förekom skifte av tonläge och ljudvolym men skiftena var olika beroende på gruppstorleken. I grupperna om tre elever var det mer förekommande att ljudvolymen skiftade från normal pratnivå till förhöjd röst och i grupperna om två var det vanligare med ett ljudvolymsskifte från normal pratnivå till viskningar.
Förhöjda ljudvolymer i rösten skedde oftast i samband med att fånga uppmärksamhet eller för att visa uppnådd förståelse, så kallade ”aha-upplevelser”, som i nedanstående samtal:
A5 Det är en 60 för båda 30.
C5 Men det är inte bara en 60, det är ju två… ja det är 60 jag kollade fel. B5 Men det är ju fel det är ju två sådana sidor (pekar).
A5 Nej en är 60.
B5 Ja exakt en är 90, det är 180 så en sån här är bara 30. AHAA.
Skifte av ljudvolym och/eller tonläge skedde ofta då eleverna kände sig osäkra på sina argument som i exemplet nedan.
38
B2 Jag brukar tänka så.
A2 Tystnad
B2 Jag vet inte hur du tänker (mumlar/viskar). 240 delat på 8 är… (tystnad)… 35?
(”sjungande” melodi).
I grupperna som gjorde den muntliga uppgiften först var ljudvolymen högre och konversationerna längre. Å andra sidan rådde tystnad under en längre stund i dessa situationer än de som gjorde den muntliga uppgiften efter att först ha löst den skriftligt. Detta säger oss att ljudvolym och tystnad är uttrycksformer som till viss mån får olika roller beroende på självsäkerheten hos eleverna. Bekanta uppgifter löstes mer bullrigt och obekanta uppgifter löstes mer aktsamt.
Sammanfattningsvis antar uttrycksformer i form av tonläge och ljudvolym en social roll snarare än en kunskapsförmedlande roll. Till viss mån användes tonläge och ljudvolym som en försvarsmekanism, i form av att antingen göra sin röst hörd vid säkerhet eller i form av att gömma sig vid osäkerhet.
6.3.2 Handgester
Handgester var, i princip, en lika förekommande uttrycksform i pool-uppgiften som i låd-uppgiften. Den mest förekommande gesten, utöver att peka med fingret eller pennan, var att dra en osynlig linje; en gest som nämndes i detta arbete under avsnitt 6.1.
Det vanligaste uttryckssättet när eleverna skulle referera till en sida i pooluppgiften var att dra en osynlig linje längs långsidan och sedan peka på kortsidan. I låduppgiften var det vanligaste sättet att referera på att dra en osynlig linje vid tal om lådans sidor och att peka på askarna.
Att ”dirigera” förekom mycket under elevernas tysta stunder då de tänkte individuellt men även under en diskussion, som nämnts tidigare:
B2 Andel 1 till … (dirigerar).
Elev B2 diskuterar poolens sidor och syftar på att långsidan är tre gånger så lång som kortsidan. Elevens sägning med tillhörande handgest illustreras i Figur 18 Illustrering av elev B2:s mening i kombination med handgest.
39
Figur 18 Illustrering av elev B2:s mening i kombination med handgest
Eleven försökte säga förhållandet 1:3; något de är bekanta med sedan arbete med skala och proportioner på matematiklektionerna.
Handgester som uttrycksform fick sammanfattningsvis en roll som kunskapsförmedlare när orden inte räckte till samt som en stöttande roll när eleverna förtydligade sina individuella tankesätt kring uppgiftlösningen.
6.4 Uttrycksformer i skriftliga situationer
6.4.1 Skrift
I det skriftliga underlaget användes skrift i form av text och siffor för att redovisa tankegångar och såklart för att utföra beräkningar. Elevernas skrift visade inte på något extraordinärt mönster vad gäller text och siffror och således kan denna uttrycksform inte redogöras för som en tydlig roll i skriftlig uppgiftslösning.
6.4.2 Ritningar
I Figur 19 Skriftlig lösning av pooluppgiften (Elev A1) framgår det hur eleven utnyttjat rutnätet; inte bara för att få raka linjer utan även för att illustrera proportion. Hen har först ritat en rektangel indelad i två kvadrater med 9 areaenheter och bredvid ritat samma rektangel utan indelningar.
Figur 19 Skriftlig lösning av pooluppgiften (Elev A1) Andel 1
till
40
Eleverna använde sig av figurer till större del i pooluppgiften där de ritade en rektangel. Rutnätet användes av majoriteten elever och dessutom utgjorde rektangeln deras officiella svar, som eleven i Figur 19 Skriftlig lösning av pooluppgiften (Elev A1), snarare än det klassiska ”Svar: …”. Detta kan bero på det faktum att ett officiellt svar formulerat som ”Svar: …” i just denna uppgift kräver användning av en mängd begrepp. Ett svar i denna uppgift vore ”Längden är 40 meter och bredden är 20 meter” vilket innehåller tre begrepp. Med bildstöd som svar kan eleverna visa samma förståelse utan att formulera en mening. I uppgiften med askarna användes inte figurer i någon större utsträckning.
Således antog ritningar som uttrycksform en roll som dels stöd för elevens tankegång samt en förmedlande roll till läsaren/läraren där eleven redovisade sitt slutgiltiga svar.
6.5 Sammanställning
I detta avsnitt redovisas en sammanställning av likheter och skillnader som data i form av tidsåtgång, med uppdelning mellan den muntliga och skriftliga situationen samt ordningen eleverna löste uppgifterna (muntligt eller skriftligt först). Således besvaras den tredje frågeställningen för första gången i detta avsnitt.
6.5.1 Tidsåtgång
I Tabell 5 Redovisning av tidsåtgång i muntliga och skriftliga situationer efter ordning på uppgifterna. redovisas medelvärdena på tidsåtgången för de grupper som arbetade muntligt först samt skriftligt först. I vissa grupper förekom en tidsskillnad eleverna emellan men analysen behandlar den sammanfattade tiden och således redogörs det endast för tidsåtgången åt den långsammaste elevens tid.
Tabell 5 Redovisning av tidsåtgång i muntliga och skriftliga situationer efter ordning på uppgifterna.
Medelvärde tidsåtgång muntligt
Medelvärde tidsåtgång skriftligt
Grupper med muntlig
uppgift först 3 min 15 sek 1 min 30 sek
Grupper med skriftlig
uppgift först 2 min 45 sek 4 min 30 sek
Hypotetiskt korrekt tog uppgiften som gjordes först längst tid, oavsett muntligt eller skriftligt. Det är också tydligt att den situationen med längst tidsåtgång var den skriftliga
41
i kombination med att ingen diskussion skett innan. Kortast tid tog den skriftliga lösningen efter att eleverna haft en muntlig situation först.
6.5.2 Skriftligt underlag
I Tabell 6 Redovisning av antal ord i muntliga och skriftliga situationer efter ordning på uppgifterna. syns medelvärdet för antal ord, tal och symboler i de skriftliga elevsvaren i muntliga och skriftliga situationerna organiserat efter ordningen på muntlig och skriftlig uppgift.
Det som räknats är ord, enheter, operatorer som additionstecken och likhetstecken, siffror och tal. Exempelvis består ”3 + 5 – 7 = 1 päron” av åtta antal ord i detta sammanhang. För det skriftliga underlaget som hämtades ur en muntlig situation har eleverna som inte skrev alls eliminerats eftersom de i dessa grupper samarbetade på samma papper.
Tabell 6 Redovisning av antal ord i muntliga och skriftliga situationer efter ordning på uppgifterna.
Medelvärde antal ord i skriftligt underlag i muntlig situation
Medelvärde antal ord i skriftligt underlag i skriftlig situation Grupper med muntlig
uppgift först 25 22
Grupper med skriftlig
uppgift först 26 30
Datan i tabellen har en likhet med tidsåtgången där den situation som tog längs tid även var den med störst kvantitet av ord. På samma sätt har den situation med kortast tid minst ord i det skriftliga underlaget.
6.6 Likheter i muntliga kontra skriftliga situationer
Under denna rubrik dras slutsatser om likheter i muntliga kontra skriftliga situationer med syftet att besvara den tredje frågeställningen. Röda trådar i de muntliga situationerna vad gäller matematiskt innehåll sammanställs och likheter i uttrycksformernas roller delges.
6.6.1 Matematiskt innehåll
En likhet som mellan den muntliga och skriftliga situationen är det ideationella metafunktionen som är ett begrepp inom socialsemiotiken. Detta betyder att
