E-mail:
nystrom@isy.liu.se
,
mino@isy.liu.se
6th June 2003
AUT
OMATIC CONTROL
COM
MUNICATION SYSTE
MS
LINKÖPING
Report no.:
LiTH-ISY-R-2505
Submitted to
Technical reports from the Control & Communication group in Link¨oping are
Where two segments meet, a zone is introduced and inside this zone, the
path has to be made smooth in order to be able to maintain a reference
velocity. In Cartesian space this is accomplished either by interpolating
the two segments, or by generating the path in the zone using splines.
The Cartesian path is then transformed into joint space. The path in
joint space is built up by cubic spline functions. Only the position (and
not the orientation) of the robot tool is studied and simulated.
Den h¨
ar rapporten visar resultat fr˚
an simuleringar av en industrirobots
r¨
orelse. Banorna roboten f¨
oljer ¨
ar uppbyggda av linjer och cirkeldelar.
Kring de punkter d¨
ar bandelarna m¨
ots, dvs i h¨
ornen, l¨
aggs s.k. zoner. I
dessa g¨
ors banan mjukare f¨
or att en referenshastighet ska kunna h˚
allas. I
kartesiska koordinater sker detta genom interpolering mellan bandelarna
som bildar h¨
ornet eller genom att zonbanan byggs upp av olika typer
av splinefunktioner. I ett andra steg transformeras den kartesiska banan
till en bana i motorvinkelkoordinater. I motorvinkelkoordinater byggs
banan upp av kubiska splinefunktioner. Endast den geometriska delen av
banplaneringsproblemet studeras h¨
ar, vilket inneb¨
ar att inga tidsaspekter
¨
ar medtagna. Vidare har ingen h¨
ansyn tagits till robotens orientering.
Keywords: path planning, trajectory generation, cubic spline,
carte-sian space, joint space
3.1.1
Tv˚
a linjesegment med spetsig zonvinkel . . . 13
3.1.2
Tv˚
a linjesegment med trubbig zonvinkel . . . 33
3.1.3
Ett cirkel- och ett linjesegment med spetsig zonvinkel . . . . 52
3.1.4
Tv˚
a cirkelsegment med spetsig zonvinkel . . . 71
motorvinkelkoordinater byggas banorna upp av kubiska splinefunktioner. Detta ¨
ar
det f¨
orsta och det andra steget i figur 1.1. I den h¨
ar rapporten visas ytterligare
resultat fr˚
an simuleringar av en robots r¨
orelse, dvs ˆ
q(
l
c
) fr˚
an det mellersta steget i
figur 1.1 studeras. Simuleringarna utf¨
ors p˚
a en robot med tre l¨
ankar med
antropo-morfistisk geometri. Endast robotens position kommer att studeras.
q(l
c
)
^
Kartesisk
bana
p(l), p(l
c
)
Geo. korrekt
ledbana
Dyn. planering
& optimering
l
c
(t)
banplanering
Figur 1.1. Bangenereringens olika steg: fr˚
an en bana i kartesisk koordinater till en
geo-metriskt korrekt ledbana och slutligen dynamisk planering och optimering.
banor uppbyggda av tv˚
a kubiska polynom och slutligen zonbanor uppbyggda av
tv˚
a fj¨
arde och tv˚
a tredje gradens polynom. I detta kapitel kommer dessa banor att
transformeras till banor i motorvinkelkoordinater. Banorna i
motorvinkelkoordi-nater kommer att byggas upp av kubiska splinefunktioner, dvs de kommer att ha
utseendet
ˆ
q(
l
c
) =
a3l
3
c
+
a2l
2
c
+
a1l
c
+
a0
(2.1)
Transformeringen av banan kommer att ske sektionsvis. Algoritmen som anv¨
ands
f¨
or att transformera sektion
j + 1 har samma utseende som algoritm 2, kapitel 5 i
[2].
2.1
Simulering
Transformeringsmetoden fr˚
an [2] kommer att provas p˚
a tv˚
a olika banor som b˚
ada
best˚
ar av tv˚
a linjesegment. De tv˚
a linjesegmenten bildar i den ena banan en spetsig
vinkel och i den andra en trubbigare. Fakta om omvandlingen kan ses i [2, tabell
6.1]. H¨
ar kommer endast 2 brytpunkter att anv¨
andas i varje splinefunktion.
2.1.1
Tv˚
a linjesegment med spetsig zonvinkel
Figur 2.2-2.4 visar fallet d˚
a roboten f¨
oljer en bana som bildas av punkterna
p1
,
p2
och
p3
d¨
ar
p1
=
0.74 0.49 0.50
p2
=
0.35 0.60 0.50
(2.2)
Banan visas i figur 2.1. I figur 2.2 har delfigurerna f¨
oljande betydelse:
Siffrorna 1, 2 och 3 visar resultaten fr˚
an ledvariablerna
θ
1
,
θ
2
samt
θ
3
.
2.2(a) Visar
P(l) − ˆP(l), dvs skillnaden mellan ¨onskad bana och erh˚allen bana.
P˚
a x-axeln visas i hur m˚
anga punkter utv¨
arderingen har skett.
2.2(b) Visar brytpunkternas l¨
agen f¨
or splinen ˆ
q(
l
c
). De lodr¨
ata markeringarna i
figuren visar var zonen b¨
orjar och slutar.
2.2(c) Visar f¨
orstaderivatorna
dˆ
q(l
c
)
dl
c
. De lodr¨
ata markeringarna i figuren visar var
zonen b¨
orjar och slutar.
2.2(d) Visar andraderivatorna
d
2
q(l
ˆ
c
)
dl
2
c
. De lodr¨
ata markeringarna i figuren visar
var zonen b¨
orjar och slutar.
2.2(e) Visar
d ˆ
P(l
dl
c
)
c
. Resultatet fr˚an de ber¨aknade punkterna i den f¨orsta
sektio-nen markeras med ”×” medan resultatet fr˚an den andra sektiosektio-nen markeras
med ”
·”.
2.2(f ) Visar
d
2
P(l
ˆ
c
)
dl
2
c
. Resultatet fr˚an de ber¨aknade punkterna i den f¨orsta
sektio-nen markeras med ”
×” medan resultatet fr˚an den andra sektionen markeras
med ”
·”.
Figur 2.3-2.8 ¨
ar gjorda p˚
a samma s¨
att och har motsvarande betydelse.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6
x
y
z
(a) P(l) − ˆ
P(l)
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 2 1. 5 1 0. 5 0 0.5 1 1.5 21
2
3
l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 80 60 40 20 0 20 401
2
2
3
3
l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
)
c
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002 1.0025l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
l
c
(f)
d
2
P(l
dl
ˆ
2
c
)
c
Figur 2.2. Utv¨ardering d˚
a zonbanan skapats med ett andra gradens polynom. Spetsig
vinkel i zonen.
0 100 200 300 400 500 600 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
antal ber¨
aknade punkter
[m
]
(a) P(l) − ˆ
P(l)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5[ra
d
]
l
c
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
)
c
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 2.3. Utv¨ardering d˚
a zonbanan skapats med tv˚
a tredje gradens polynom. Spetsig
vinkel i zonen.
(a) P(l) − ˆ
P(l)
(b) brytpunkter hos ˆ
q(l
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
)
c
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9975 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002 1.0025l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 2.4. Utv¨ardering d˚
a zonbanan skapats med tv˚
a fj¨
arde och tv˚
a tredje gradens
polynom. Spetsig vinkel i zonen.
Figur 2.6-2.8 visar fallet d˚
a roboten f¨
oljer en bana som bildas av punkterna
p1
,
p2
och
p3
d¨
ar
p1
=
1.00 0.02 0.50
p2
=
0.70 0.20 0.50
(2.3)
p3
=
0
.74 0.49 0.50
Banan visas i figur 2.5.
0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6
x
y
z
(a) P(l) − ˆ
P(l)
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1. 5 1 0. 5 0 0.5 1 1.5 21
2
3
l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 20 15 10 5 0 5 10 151
2
3
3
l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
)
c
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9995 1 1.0005 1.001l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 2.6. Utv¨ardering d˚
a zonbanan skapats med ett andra gradens polynom. Trubbig
vinkel i zonen.
0 100 200 300 400 500 600 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
antal ber¨
aknade punkter
[m
]
(a) P(l) − ˆ
P(l)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5[ra
d
]
l
c
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −30 −20 −10 0 10 20 30l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
)
c
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 2.7. Utv¨ardering d˚
a zonbanan skapats med tv˚
a trejde gradens polynom. Trubbig
vinkel i zonen.
(a) P(l) − ˆ
P(l)
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
)
c
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1 1.0002 1.0004 1.0006 1.0008 1.001l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 2.8. Utv¨ardering d˚
a zonbanan skapats med tv˚
a fj¨
arde och tv˚
a tredje gradens
polynom. Trubbig vinkel i zonen.
3.1
Simulering
3.1.1
Tv˚
a linjesegment med spetsig zonvinkel
Figur 3.2-3.19 visar fallet d˚
a roboten f¨
oljer en bana som bildas av punkterna
p1
,
p2
och
p3
d¨
ar
p1
=
0.74 0.49 0.50
p2
=
0.35 0.60 0.50
(3.1)
p3
=
0.45 0.35 0.50
Banan visas i figur 3.1. I figur 3.2 har delfigurerna f¨
oljande betydelse:
Siffrorna 1, 2 och 3 visar resultaten fr˚
an ledvariablerna
θ1
,
θ2
samt
θ3
.
3.2(a) Figur ¨
over hela banan samt den parabelformade zonbanan skapad av ett
andra gradens polynom.
3.2(b) Visar brytpunkternas l¨
agen f¨
or splinen ˆ
q(
l
c
). Brytpunkterna som ligger
innan och efter zonen markeras med ”
×” medan brytpunkterna som ligger i
zonen markeras med ”o”. Brytpunkterna som ligger precis i zongr¨
ansen har
utseendet ”•”.
3.2(c) Visar f¨
orstaderivatorna
dˆ
q(l
c
)
dl
c
. De lodr¨
ata markeringarna i figuren visar var
zonen b¨
orjar och slutar.
c
var zonen b¨
orjar och slutar.
3.2(e) Visar
d ˆ
P(l
dl
c
)
c
. Resultatet fr˚an de ber¨aknade punkterna innan och efter
zonen markeras med ”
×” medan resultatet fr˚an zonen markeras med ”·”.
3.2(f ) Visar
d
2
P(l
ˆ
c
)
dl
2
c
. Resultatet fr˚an de ber¨aknade punkterna innan och efter
zonen markeras med ”
×” medan resultatet fr˚an zonen markeras med ”·”.
Figur 3.3-3.76 ¨
ar gjorda p˚
a samma s¨
att och har motsvarande betydelse.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6
x
y
z
(a) Hela banan samt zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 2 1. 5 1 0. 5 0 0.5 1 1.5 2l
c
1
2
3
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40l
c
1
2
3
(d)
d
2
dl
q(l
ˆ
2
c
)
c
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9975 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
l
c
(f)
d
2
P(l
dl
ˆ
2
c
)
c
Figur 3.2. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 3
brytpunkter. Zonbana skapad med linj¨
ara
l-kurvor.
0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: cosinusformad
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60 70 80
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.3. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 3
brytpunkter. Zonbana skapad med cosinusformade
l-kurvor.
(a)
Fr˚
an
zonmitt
och
ut:
linj¨ar-kombinationen samt den parabelformade
zonbanan.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −80 −60 −40 −20 0 20 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.996 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60 70
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 3.4. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel.
3 brytpunkter. Zonbana skapad med en linj¨
arkombination av cosinusformad och linj¨
ar
0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −80 −60 −40 −20 0 20 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.996 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.5. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som styckvis linj¨ar funktion med k = 6.
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.6. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som styckvis linj¨ar funktion med k = 21.
0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −80 −60 −40 −20 0 20 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.996 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.7. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som andragradskurvor med k = 6.
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.8. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som andragradskurvor med k = 21.
0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −80 −60 −40 −20 0 20 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.9. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som tredjegradskurvor med k = 6.
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.10. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som tredjegradskurvor med k = 21.
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65
[m
]
[m]
(a) Hela banan samt zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −80 −60 −40 −20 0 20 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
)
c
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002 1.0025l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 3.11. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 4
brytpunkter. Zonbana skapad med linj¨
ara
l-kurvor.
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: cosinusformad
samt parabelformad zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.996 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003 1.004 1.005l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60 70 80
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.12. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 4
brytpunkter. Zonbana skapad med cosinusformade
l-kurvor.
0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59
[m
]
[m]
(a)
Fr˚
an
zonmitt
och
ut:
linj¨ar-kombinationen samt den parabelformade
zonbanan.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −80 −60 −40 −20 0 20 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9975 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002 1.0025l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 3.13. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel.
4 brytpunkter. Zonbana skapad med en linj¨
arkombination av cosinusformad och linj¨
ar
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9975 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.14. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 4
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som styckvis linj¨ar funktion med k = 6.
0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9975 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002 1.0025l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.15. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 4
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som styckvis linj¨ar funktion med k = 21.
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −80 −60 −40 −20 0 20 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9975 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002 1.0025l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.16. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 4
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som andragradskurvor med k = 6.
0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9975 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.17. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 4
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som andragradskurvor med k = 21.
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −80 −60 −40 −20 0 20 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002 1.0025l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 60
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.18. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 4
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som tredjegradskurvor med k = 6.
0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9975 0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.19. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en spetsig vinkel. 4
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som tredjegradskurvor med k = 21.
0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.4 0.45 0.5 0.55
x
y
z
0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
[m
]
[m]
(a) Hela banan samt zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1. 5 1 0. 5 0 0.5 1 1.5 2
l
c
[ra
d
]
1
2
3
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1. 5 1 0. 5 0 0.5 1 1.5 2l
c
1
2
3
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 15 10 5 0 5 10 15l
c
1
1
2
2
3
3
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
)
c
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9995 1 1.0005 1.001l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 6 7 8
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 3.21. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel. 3
brytpunkter. Zonbana skapad med linj¨
ara
l-kurvor.
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: cosinusformad
samt parabelformad zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1 1.0002 1.0004 1.0006 1.0008 1.001l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 2 4 6 8 10 12 14
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.22. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel. 3
brytpunkter. Zonbana skapad med cosinusformade
l-kurvor.
0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
[m
]
[m]
(a)
Fr˚
an
zonmitt
och
ut:
linj¨ar-kombinationen samt den parabelformade
zonbanan.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1 1.0002 1.0004 1.0006 1.0008l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 2 4 6 8 10 12
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 3.23. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel.
3 brytpunkter. Zonbana skapad med en linj¨
arkombination av cosinusformad och linj¨
ar
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1 1.0002 1.0004 1.0006 1.0008l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.24. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som styckvis linj¨ar funktion med k = 6.
0.65 0.7 0.75 0.8 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9995 1 1.0005 1.001l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.25. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som styckvis linj¨ar funktion med k = 21.
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 1 1.0001 1.0002 1.0003 1.0004l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.26. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som andragradskurvor med k = 6.
0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −15 −10 −5 0 5 10 15l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 1 1.0001 1.0002 1.0003 1.0004 1.0005l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.27. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som andragradskurvor med k = 21.
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1 1.0002 1.0004 1.0006 1.0008l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.28. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som tredjegradskurvor med k = 6.
0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −15 −10 −5 0 5 10 15l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9994 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 1 1.0001 1.0002 1.0003 1.0004l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.29. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel. 3
brytpunkter.
l-kurvor skapade med ϕ(τ) som tredjegradskurvor med k = 21.
(a) Hela banan samt zonbana.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −15 −10 −5 0 5 10 15l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
)
c
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1 1.0002 1.0004 1.0006 1.0008l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 3.30. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel. 4
brytpunkter. Zonbana skapad med linj¨
ara
l-kurvor.
0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: cosinusformad
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
l
c
[ra
d
]
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1 1.0002 1.0004 1.0006 1.0008l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 2 4 6 8 10 12 14
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
c
)
Figur 3.31. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel. 4
brytpunkter. Zonbana skapad med cosinusformade
l-kurvor.
(a)
Fr˚
an
zonmitt
och
ut:
linj¨ar-kombinationen samt den parabelformade
zonbanan.
(b) Brytpunkter hos ˆ
q(l
c
).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2l
c
(c)
dˆ
q(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15l
c
(d)
d
2
dl
ˆ
q(l
2
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1 1.0002 1.0004 1.0006 1.0008 1.001l
c
(e)
d ˆ
P(l
dl
c
c
)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 2 4 6 8 10 12
l
c
(f)
d
2
dl
P(l
ˆ
2
c
)
c
Figur 3.32. Utv¨ardering av bana med tv˚
a linjesegment vilka bildar en trubbig vinkel.
4 brytpunkter. Zonbana skapad med en linj¨
arkombination av cosinusformad och linj¨
ar
0.65 0.7 0.75 0.8 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
[m
]
[m]
(a) Fr˚
an zonmitt och ut: k = 6, k = 21
samt parabelformad zonbana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
