STATISTISK INFERENS I
DEMONSTRATIONSUPPGIFTER TILL DEN 26.3.2010
1 (a) Låt XµPoisson( ). Bevisa att väntevärdet E(X) = .- - (b) Låt XµBin(n,p). Bevisa att väntevärdet E(X) = np.
2. Antag att XµN(0,1), dvs. X är en kontinuerlig stokastisk variabel med täthetsfunktionen
g(x) = È21" e- x"# 2, x −R.
Bevisa att för alla , 5 .−R, X + 5 .µN( , . 52), dvs. X + är en stokastisk variabel5 . med täthetsfunktionen
f(x) = " e , x R
5
. È21
- " (x- )
#52
2 −
Ledning: Fördelningsfunktionen för X är F(x) = P{X Ÿx} = '-x_g(t)dt.
3. (a) Låt XµN(0,1). Bestäm täthetsfunktionen för X . Vad heter den motsvarande2 fördelningen?
Ledning: Bestäm först fördelningsfunktionen.
(b) Låt X , X ... , X vara oberoende, X1 2, n i µ N(0,1), i = 1, 2, .. , n. Bestäm fördelningen för !X .
i = 1 n
i2
4. Låt X och Y vara oberoende stokastiska variabler. Bevisa att
Xµ Poisson(-1), YµPoisson(-2) Ê X+YµPoisson(- -1+ 2), då - -1, 2>0.
Ledning: P{X+Y = n} = !P{X = k, Y = n-k}.
k = 0 n
5. XµBin(n,p). Bevisa att E(X) = np och Var(X) = np(1-p).
Ledning: Om Xµ Bin(n,p), så kan X framställas i form X( ) = = !I ( ), där A ,=
k=1 n
Ai i
i =1, ... , n, är oberoende händelser med P(A ) = p.i
