Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum:

(1)

Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum: 2004-12-21 Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar kan saknas eller vara bristfälliga.

De är också i vissa fall för kompakt skrivna. Detta för att spara kopieringskostnad.

_________________________________________________________________________

Uppgift 1

a) Uttrycken

kan skrivas ρβij = (1+τ)κij om i och j är olika.

kan skrivas ρβij = (1+τ)κij – τ(κ¹¹+κ₂₂+κ₃₃) om i och j är lika.

Detta sammanfattas ρβij = (1+τ)κij – τκkkδij b) Skriv i index(tensor)notation (obs inget skall visas)

vektor:

€

Dc Dt =∂c

∂t + u • ∇

( )

^c

index:

€

Dc_i Dt =∂c_i

∂t + u_j ∂c_i

∂x_j c) Förenkla

i) δinδrsWin = [i = n]= δ^rsWnn

ii) δrjδnnWjm = [j = r]=3W^rm

iii) δijδjkWki = [i = j]= δ^jkWkj = [k = j] = Wjj

Uppgift 2

a) Spänningsvektorn ges av FS (3.2)

€

t_i =σ_ijn_j. Där normalvektorn ska vara en enhetsvektor. Den givna normalvektorn har längd 1 så den behöver inte normeras.

Här fås

€

t =

20 30 10 30 50 25 10 25 60













 0,8 0,6 0













 MPa

€

=

20 ⋅ 0,8 30 ⋅ 0,6 10 ⋅ 0 30 ⋅ 0,8 50 ⋅ 0,6 25⋅ 0 10 ⋅ 0,8 25⋅ 0,6 60 ⋅ 0













 MPa

€

= 34 54 23













 MPa

b) Normalspänningens storlek ges av

€

t_n = t • n Här fås

€

t_n= 34 ⋅ 0,8 + 54 ⋅ 0,6 = 59,6 MPa Motsvarande vektor ges av t _n = t_nn Vilket ger t _n= 59,6

0,8 0,6









 MPa =

47,68 35,76









 MPa

(2)

2

c) Skjuvspänningsvektorn ges av

€

t _s= t − t n

Här fås

€

t _s= 34 54 23













 MPa −

47,68 35,76

0













 MPa

€

=

−13,68

−18,24 23













 MPa Storleken ges av

€

t_s = 13,68²+18,24²+ 23² = 32,4 MPa

Resultat a)

€

t = 34 54 23













MPa b)

€

t _n= 48 36 0













MPa,

€

t_n= 60 MPa c)

€

t _s =

−14

−18 23













MPa,

€

t_s = 32 MPa

Uppgift 3

Strömningen är inkompressibel, stationär, och oberoende av z-koordinat Rätlinjig strömning; endast strömning i x-riktning (hastighetskomposant vx.) a) Enligt ovan beror inte vx av t eller z, återstår x och y.

Kontinuitetsekvationen; div v = 0 ger här ∂v_x

∂x = 0 . Slutsats: oberoende av x återstår y

€

⇒ vx= vx(y)

b) Spänningstensorn för inkompressibel strömning ges av

€

σ_ij = -pδ_ij+ µ ∂v_i

∂x_j +∂v_j

∂x_i





 





 

Skjuvspänningen ges av

€

σ_xy = µ ∂v_x

∂x_y +∂v_y

∂x_x





 





  ^.Här är

€

v_y= 0 vilket ger

€

σ_xy = µ ∂v_x

∂x_y^. Då

€

y = h är

€

σ_xy = 0vilket ger randvillkoret

€

∂v_x

∂x_y = 0^. Resultat: Randvillkoret är

€

∂v_x

∂x_y = 0 då

€

y = h

(3)

c) Här är

€

F = g vilket ger komposanterna

€

F_x = g sinθ och

€

F_y= −g cosθ Naviers-Stokes ekvation (FS 6.5) med villkor enligt tidigare

€

0 = - ∂p

∂x +ρ^gsinθ⁺µ^∂

2v_x

∂y²

(1)

€

0 = - ∂p

∂y -ρgcosθ (2)

Ekv (2) ger

€

∂p

∂y = -ρgcosθ= konst alltså

€

p = -ρgycosθ+ f (x) Ekvation (1) kan skrivas

€

∂p

∂x = ρgsinθ +µ∂²v_x

∂y²

där vänsterled bara beror av x och högerled bara beror av y. Slutsats; både höger- och vänsterled är lika med en konstant. Konstantens värde kan bestämmas då

p = p_atm= konstant längs vätskeytan och dp/dx blir därför noll.

Differentialekvationen blir

€

0 = ρgsinθ +µ∂²v_x

∂y² Integration ger

€

∂v_x

∂y = −ρgsinθ

µ ^{y + A} och därefter

€

v_x = −ρgsinθ µ

y²

2 + Ay + B Randvillkor:

€

y = h;dv_x

dy = 0 och

€

y = 0;vx = −U vilket ger

€

A = ρgsinθ

µ ^h samt

€

B = −U Resultat

€

v_x = ρgsinθ

2µ ^{2hy − y}

(

2

)

^{− U}

(4)

4

Uppgift 4

Q

L

Elastiska linjens ekvation

€

q = −dT

d x = −d²M d x² = d²

d x² EId²w d x²



  

  Här är EI = konstant samt q= -Q/L Randvillkor

x=0; w=0 och M=0 x=L; w=0 och M=0

Här fås elastiska linjens ekvation

€

−Q

L = −dT

d x = −d²M

d x² = EId⁴w d x⁴ Integrering ger

€

−Q

Lx + A = −T = −d M

d x = EId³w d x³ Fortsatt integrering ger

€

−Qx²

2L+ Ax + B = −M = EId²w d x² Randvillkor då x=0 är

€

M = 0 ⇒ B = 0

Randvillkor då x=L är

€

M = 0 ⇒ −QL²

2L+ AL = 0

Vilket ger elastiska linjens ekvation

€

Q

2 x −x² L



  

  = EId²w d x² Integrering ger

€

d w d x = Q

2EI x²

2 − x³ 3L+ C



  

  Fortsatt integrering ger

€

w = Q 2EI

x³ 6 − x⁴

12L+ Cx + D



  

  Randvillkor då x=0 ger D=0 Randvillkor då x=L ger

€

0 = Q 2EI

L³ 6 − L⁴

12L− CL



  

  vilket ger

€

C = −L² 6 + L³

12L= −L² vilket ger förskjutningenn12

€

w = Q 2EI

x³ 6 − x⁴

12L−xL³ 12





 





 

€

w = Q

24 EI 2x³− x⁴ L − xL²



  

 

Symmetri ger att maximal förskjutning fås i mitten av balken alltså då x=L/2 vilket ger

€

w = Q 24 EI

2L³ 8 − L⁴

16L−L ⋅ L² 2



  

 

€

= QL³

384 EI

(

4 −1− 8

)

^{= −} ^5QL

3

384 EI

Resultat: Maximal nedböjning är

€

5QL³ 384 EI

vilket ger

€

A =Q 2

(5)

Uppgift 5

a) Kontrollvolym enligt figur i uppgiften

Krafter i x-riktning Hastigheter

Rörelsemängdslagen : (→) p1A2 – p2A2 = m.

(u2 – u1) (1)

Kontinuitet: u1A1 = u2A2 = Q = m.

/ρ (2)

(1)&(2)⇒ p2=p1– m.

A2 (u2 –u1) = p1– m. A2 m.

ρ ( 1 A2 – 1

A1) =p1+ m. 2 ρ ⋅

1 A2 ( 1

A1 – 1 A2) (3) Resultat: Trycket nedströms är p1+m. 2

ρ ⋅ 1 A2 ( 1

A1 – 1 A2) b) Energiekvationen (z=konst och α=1.):

€

−Δp_f ρ = u²

2 + p ρ













 ₁

2

=

€

u₂²− u₁²

2 + p_{2 −}p₁

ρ (4)

Engångsförlustkoefficienten definieras av

€

Δp_f = ¹₂ρU²ζ (5)

Den intressanta hastigheten är här U=u1. Sammanställning (3) och (4) ger

€

ζ u₁²

2 = u₁²− u₂²

2 + p_{1 −} p₂

ρ (6)

(3) ger

€

p_{1 −} p₂

ρ ⁼

˙ m ² ρ²A₂

1 A₂− 1

A₁



  

  (7)

(2) ger

€

u₁= m ˙

ρA₁ och u₂= m ˙

ρA₂ (8)

(7) och (8) i (6) ger

€

ζ ^m^˙

2

2ρ²A₁² = m ˙ ²

2ρ²A₁² − m ˙ ²

2ρ²A₂² + m ˙ ² ρ²A₂

1 A₂ − 1

A₁



  

 

€

= m ˙ ²

2ρ²A₁² + m ˙ ²

2ρ²A₂² − m ˙ ²

ρ²A₁A₂ = m ˙ ²

2ρ²A₁² 1− A₁ A₂





 





 

2

Resultat ζ = (1 – A1 A2 )2

c) Formeln ovan ger ζ=0,4096≈0,41

Kvot mellan areor på 0,36 svarar mot kvot mellan diametrar på 0,36 = 0,6. Vinkeln är 180°. Formelsamlingen ger ζ=0,42. Värdena överensstämmer bra.