N atom m tot. r = Z m atom

(1)

Räkneövning 2 – fria elektroner och reciproka gittret

1. Silver, Ag, har fcc-struktur, atomnummer 47, atomvikten 107,87 u, yttre elektronkonfigurationen 4d¹⁰5s¹ och densiteten 10490 kg/m³.

a) Beräkna tätheten n av ledningselektroner i silver (antal/m³)?

b) Beräkna Fermienergin för silver (i eV)?

Lösning:

a) Av silvers elektronkonfiguration kan vi sluta oss till att silver avger en elektron till elektrongasen. Tätheten av ledningselektroner blir då:

†

n = N_elektron

V = Z ⋅ N_atom

V = Z ⋅m_tot

V ⋅ N_atom

m_tot = Z ⋅ r m_atom Numeriskt ger detta (med Z = 1) att:

†

n = 1⋅ 10490

107,87 ⋅1,6603⋅10^-27 = 5,857 ⋅10²⁸m^-3

b) Fermienergin ges av:

†

E_F = h²

2m

(

3p²n

)

^{2 3}

Numerisk får vi då att:

†

E_F =

(

1,05459 ⋅10^-34

)

²

2 ⋅ 9,10953⋅10^-31 ⋅ 3p

(

²⋅ 5,857 ⋅10²⁸

)

^{2 3}J = 8,81⋅10^-19 J = 5,50 eV 2. Beräkna tillståndstätheten vid Fermiytan,

†

D e( )_F hos silver? Ange svaret i de båda enheterna J^-1m^-3 respektive eV^-1atom^-1. Du får anta att silverstycket har en makroskopisk kubisk form vid räknandet.

Lösning:

I en kub med volymen

†

V = L³ ger Schrödingerekvationen lösningar med

†

k_i = 0, ± 2p L , ± 4p

L ,L, vilket betyder att varje tillstånd i k-rummet upptar en volym som är

†

V_k = 2p L Ê Ë Á ˆ

¯ ˜

3

=8p³

V . Enligt Pauliprincipen kan vi endast ha två elektroner per tillstånd i k-rummet (en med spinn upp och en med spinn ner). Betrakta en sfär med radien k i k-rummet (motsvarande en konstant energi

†

e_k = h²

2mk² på ytan av sfären). Då är antalet tillåtna tillstånd med en energi

†

e<e_k:

(2)

†

N e( )^{= 2 ⋅}^V^sfär

V_k = 2 ⋅ 4pk³ 3 8p³ V = V

3p²k³= V 3p²

2m h² Ê Ë Á ˆ

¯ ˜

3 2

⋅e^{3 2}

Tillståndstätheten ges av antal tillstånd per energi, vilket vi får genom att derivera detta uttryck:

†

D( )e ⁼ ^dN( )^e

de ⁼ V 2p²

2m h² Ê Ë Á ˆ

¯ ˜

3 2

⋅ e fi D( )e V = 1

2p² 2m

h² Ê Ë Á ˆ

¯ ˜

3 2

⋅ e

Numerisk ger detta vid Fermiytan med hjälp av Fermienergin från föregående uppgift:

†

D( )e V = 1

2p²

2 ⋅ 9,10953⋅10^-31 1,05459 ⋅10^-34

( )

²

Ê

Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

3 2

⋅ 8,81⋅10^-19 1

Jm³ = 9,97 ⋅10⁴⁶ 1 Jm³

Omräknat till enheten eV^-1atom^-1 med atomtätheten (lika med elektrontätheten eftersom Z=1) från föregående uppgift ger att:

†

D e( )

V = 9,97 ⋅10⁴⁶⋅1,60219 ⋅10^-19 5,857 ⋅10²⁸

1

eV ⋅ atom= 0,273 1 eV ⋅ atom

3. Den keramiska supraledaren YBa₂Cu₃O₇ har en ortorombisk struktur med gitterparametrarna a = 3,82 Å. b = 3,88 Å och c = 11,69 Å. I en ortorombisk struktur är alla gitterparametrar olika långa, men gittervektorerna

†

a ₁, a ₂och a ₃ är fortfarande ortogonala mot varandra.

a) Beräkna de reciproka gittervektorerna för en ortorombisk struktur?

b) Vad händer med de reciproka gittervektorerna i en tetragonal struktur där

†

a = b ≠ c respektive i en kubisk struktur där

†

a = b = c?

c) Beräkna längden av en reciprok gittervektor i YBa2Cu3O7 med Millerindex (110)?

Lösning:

a) Eftersom gittervektorerna är ortogonala mot varandra, kan vi välja ett rätvinkligt koordinatsystem så att gittervektorerna ligger längs med de tre koordinataxlarna, dvs. vi har att:

†

a ₁= aˆ x , a ₂ = bˆ y , a ₃= cˆ z

Volymen av enhetscellen är således

†

V = abc, vilket även kan erhållas ur:

(3)

†

V = a ₁⋅ a ( ₂¥ a ₃) ^{= a 0 0}( )^⋅

0 b 0 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ ¥ 0 0 c Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ È

Î Í Í Í

˘

˚

˙

= a 0 0( )^⋅

bc 0 0 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ = abc

De reciproka gittervektorerna ges nu av:

†

b ₁= 2p a ₂¥ a ₃ a ₁⋅ a ( ₂¥ a ₃) ⁼

2p abc

0 b 0 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ ¥ 0 0 c Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ = 2p abc

bc 0 0 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ =2p a x ˆ

†

b ₂= 2p a ₃¥ a ₁ a ₁⋅ a ( ₂¥ a ₃)⁼

2p abc

0 0 c Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ ¥ a 0 0 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ = 2p abc

0 ac

0 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ =2p b y ˆ

†

b ₃= 2p a ₁¥ a ₂ a ₁⋅ a ( ₂¥ a ₃)⁼

2p abc

a 0 0 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ ¥ 0 b 0 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ = 2p abc

0 0 ab Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ =2p c z ˆ

b) Genom att direkt jämföra med beräkningen av de reciproka gittervektorerna för den ortorombiska strukturen, ser vi att för en tetragonal struktur där

†

a = b gäller det att:

†

b ₁=2p

a x , b ˆ ₂=2p

a y , b ˆ ₃=2p c z ˆ

På samma sätt får vi att för en kubisk struktur med

†

a = b = c gäller att:

†

b ₁=2p

a x , b ˆ ₂=2p

a y , b ˆ ₃=2p a z ˆ

c) En reciprok gittervektor med Millerindex (hkl) tecknas allmänt:

†

G hkl( )^{= hb}1+ kb ₂+ lb ₃ Längden av

†

G 110( )^{hos YBa}²^Cu³^O⁷ kan således tecknas:

†

G 110( ) ^{= 1⋅}^2p

a x + 1⋅ˆ 2p

b y + 0 ⋅ˆ 2p

c z =ˆ 2p a Ê Ë Á ˆ

¯ ˜

2

+ 2p b Ê Ë Á ˆ

¯ ˜

2

Numeriskt ger detta att:

†

G 110( ) ⁼ ^Ê_3,82^2p

Ë Á ˆ

¯ ˜

2

+ 2p 3,88 Ê Ë Á ˆ

¯ ˜

2

Å^-1= 2,308 Å^-1

4. Man kan genom förångning framställa mycket tunna filmer av metalliska grundämnen som bara är några få atomlager tjocka. I en mycket tunn film

(4)

betyder detta att filmen kan betraktas som en näst intill två-dimensionell ledare.

Betrakta en tunn metallfilm med ytan A=L² och finn ett uttryck för tillståndstätheten hos elektronerna i en två-dimensionell ledare?

Lösning:

I en två-dimensionell ledare har vi endast en elektrongas i planet. Lösningen av Schrödingerekvationen ger på samma sätt som för en tre-dimensionell ledare att tillåtna k-värden ges av:

†

k_x,k_y = 0, ±2p L , ± 4p

L ,L

Ytan av varje k-punkt (i två dimensioner) är således

†

A_k= 2p L Ê Ë Á ˆ

¯ ˜

2

=( )2p ²

A . Enligt Pauliprincipen kan vi endast ha två elektroner per tillstånd i k-rummet (en med spinn upp och en med spinn ner). Betrakta en cirkel med radien k i det två- dimensionella k-rummet (motsvarande en konstant energi

†

e_k = h²

2mk² på avståndet k från cirkelns mitt). Då är antalet tillåtna tillstånd med en energi

†

e<e_k:

†

N( )e ^{= 2 ⋅} ^A^sfär

A_k = 2 ⋅ pk² 4p² A = A

2p ^k

2 = A 2p

2m h² ⋅e

Tillståndstätheten ges av antal tillstånd per energi, vilket vi får genom att derivera detta uttryck:

†

D e( )⁼ ^{dN e}( )

de = Am ph²

5. Bilden nedan visar Brillouinzonen för silver som är fcc och har en kubisk gitterparameter på 4,09 Å. Beräkna k (absolutbeloppet av vågvektorn) i vardera punkten X, L och K på ytan av Brillouinzonen?

z

x

y G

X

L

W K U

(5)

Lösning:

Silver är fcc med gitterparameter a = 4,09 Å. De primitiva gittervektorerna (i det direkta gittret) för en fcc-struktur är (se Kittel):

†

a ₁=a

2(y + ˆ ˆ z ) ^{; a}2= a

2(x + ˆ ˆ z ) ^{; a}3= a

2(x + ˆ ˆ y ) Volymen av den primitiva enhetscellen är:

†

V = a ₁⋅ a ( ₂¥ a ₃) ^{= 0} ^a

2 a 2 Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ ⋅ a 2

0 a 2 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ ¥ a 2 a 2 0 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ È

Î Í Í Í

˘

˚

˙

= 0 a

2 a 2 Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ ⋅

- a² 4 a² 4 a² 4 Ê

Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

= a³ 4

Detta kan även inses från den kubiska enhetscellen för fcc som har volymen

†

a³ och 4 atomer i basen, vilket ger att den primitiva enhetscellen har volymen

†

a³ 4. De reciproka gittervektorerna blir nu:

†

b ₁= 2p a ₂¥ a ₃ a ₁⋅ a ( ₂¥ a ₃) ⁼

2p a³ 4

a 2 0 a 2 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ ¥ a 2 a 2 0 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ = 2p a³ 4

- a² 4 a² 4 a² 4 Ê

Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

=2p

a (- ˆ x + ˆ y + ˆ z )

†

b ₂= 2p a ₃¥ a ₁ a ₁⋅ a ( ₂¥ a ₃)⁼

2p a³ 4

a 2 a 2 0 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ ¥ 0 a 2 a 2 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ = 2p a³ 4

a² 4 -a² 4

a² 4 Ê

Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

=2p

a (x - ˆ ˆ y + ˆ z )

†

b ₃= 2p a ₁¥ a ₂ a ₁⋅ a ( ₂¥ a ₃)⁼

2p a³ 4

0 a 2 a 2 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ ¥ a 2

0 a 2 Ê Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

˜ ˜ = 2p a³ 4

a² 4 a² 4 -a² 4 Ê

Ë Á Á Á

ˆ

¯

˜

=2p

a (x + ˆ ˆ y - ˆ z )

Det reciproka gittret är således ett bcc-gitter med gitterparameterna

†

b = 4p a , vilket visas i figuren nedan.

4pa

4pa 4p

a

4pa x

x 2^.

(6)

Ur figurens geometri framgår att avståndet till de olika punkterna på den inritade BZ-gränsen kan beräknas utifrån följande samband.

X:

†

k =2p

a = 1,536 ⋅10¹⁰m^-1 (halva avståndet till gitterpunkten i

†

4p

a 0 0 Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ ) L:

†

k =1

2⋅ 3 ⋅2p

a = 1,33⋅10¹⁰ m^-1 (halva avståndet tillgitterpunkten i

†

2p a

2p a Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ ) K: Ligger längs (110)-riktningen och har samma avstånd till origo som till gitterpunkten i

†

2p a

2p a Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ . Låt punkten K:s läge längs (110)-riktningen vara

†

x x 0

( ). Då måste det enligt Pythagoras sats gälla att:

†

x²= 2p a Ê Ë Á ˆ

¯ ˜

2

+ 2 ⋅2p a -x Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

2

= 4p²

a² +8p²

a² -4p 2

a x + x² fi x = 3p

a 2 = 1,629 ⋅10¹⁰m^-1