Följande är en liten del av ikke publicerade blivande lärobok av Russell Hatami.
Långdivision och
dess fyra! populära uppställningar
1 Division 1.1 Definition
Division (lat. divi_sio, av di_vido 'dela'), delning, indelning, avdelning; en av de grundläggande operationerna inom aritmetiken. Division är omvändningen till multiplikation, i analogi med att subtraktion är omvändningen till addition. … Hist.: sedan 1655; av lat. divisio 'delning', till dividere, se dividera.1
Övningsexempel 1. Dela 19 med 3 och bestäm kvot och resten.
Lösningsförslag:
3 6 1 3 1 3 18 3
1 18 3
19 .2 D.v.s. vill vi dela 19 med 3 finner vi 6 stycken 3 i 19 och resten som är 1 innehåller ingen 3.
Svar: 19
har 6 och 1.
3 kvoten resten
1.2 Heltalsdivision och kortdivision
Heltalsdivision
Heltalsdivision har funnits länge. I skolmatematiken ser vi heltalsdivisionen redan i mitten av 1700- talet då Celsius använde den i sin lärobok. Här nedan redovisas två uppställningar av Celsius divisionsalgoritm för följande heltalsdivision.
Celsius heltalsdivision:
Alternativ 1.
759 379 rest 1.
2 Alternativ 2.
759 : 2 379 15
=19 =1
1 NEO
2 Vi brukar skriva svaret i blandform, alltså bestående av heltal och bråktal som 3 61.
Definition:
Division av heltal med heltal i kvot och rest kallas för heltalsdivision.
Kommentar: I talet 19 ryms det 6 stycken 3 och en ett. M.a.o.
Talet 19 är lika med 6 st. 3:or plus talet 1 D.v.s.
19 6 3 1, vilket kallas för divisionsalgoritm.
Metodidaktisk kommentar. Jämför denna aritmetiska skrivformen som mycket längre fram kommer kan eleverna se i djupare aritmetik/talteorialgebra/ som t.ex.
𝑎 = 𝑘𝑏 + 𝑟.
Tre exempel på heltalsdivision.
I. 203;rest 2 1829 9
II. 0; rest 3 73
III.
26 13
Alternativ 1:
13.
rest
; 26 0 13
Alternativ 2:3
1.
rest
; 2 0 1 26 13
Övningsexempel 2. Vi utför följande heltalsdivisioner. Vi försöker stegvis förklara själva operationen.
a. 7 ..... ...
, rest
14
Lösningsförslag: I talet 7 finns det ingen (0 stycken) 14; d.v.s. själva talet 7 är rest. Alltså har vi svaret enligt följande:
7 0, 7 14 rest
3 Eftersom förkortar vi täljaren och nämnaren med 13 så förkortas även resten med 13. Men deras förhållande är däremot konstant.
b. 78105 ..... ...
, rest
6
Lösningsförslag: Vi utför heltalsdivisionen ett steg i taget från vänster till höger. Varför? Därför att vid division av större tal, t.ex. 10 000-tal, när vi får en rest, kan det läggas ihop med positionstalet steget innan, tio gånger mindre, i detta exempel 1000-talet. Siffran (figuren/tecknet) 7 respektive, 8, 1, 0 och 5 sitter i positionerna 10 000, respektive 1000, 100, 10 och entalet. Som vi ser betyder 0 här avsaknad av tiotalet. Här nedan går vi igenom divisionen steg efter steg. Du kommer att upptäcka att divisionsalgoritmen är identisk med den divisionsuppställning, liggande stolen, trappan eller ännu äldre variant fågelpinnen eller hur du önskar ställa upp och namnge den, helt enkelt den uppställning som du har lärt dig en gång i tiden och är van att göra. Minns du ingen variant, så kan vi tillsammans möjliggör detta.
Steg 1:
1
7 8 1 0 5 1
6
Resten är 1, som tillsammans med siffran 8 bildar talet 18 (varför?), som vid division med 6 ger kvoten 3 och ingen rest.
Steg 2:
1 0
7 8 1 0 5
13
6
Steg 3: I 1 finns det ingen (= 0) sexa och resten är 1:
1 1
7 8 1 0 5
130
6
Steg 4: 1 tillsammans med 0 bildar talet 10 (varför?). Alltså finns i tian en sexa och resten är 4.
1 1 4
7 8 1 0 5
1301
6
Steg 5: Tecknet 4 tillsammans med symbolen 5 bildar talet 45 (varför?). 45 delat med 6 har kvoten 7 och resten 3.
78105
6 = 13017; 𝑟𝑒𝑠𝑡 3.4
4 Hur kan du kontrollera, utan miniräknare, att din kortdivision är korrekt?
Metodidaktisk komentar. Att förenkla, är inte bara för enkelhetens använding/utseende/skrivandets skull, utan också ännu viktigare för en djupare inlärning, där reflektion och begreppsförhållande spelar betydande roll; inte minst att lära sig att använda sina kunnande, annrs glöms bort och reduceras reflektionsförmåga kraftigt. Vilket spelar avgörande roll både i inlärning och forskning.
Vi ser att både täljaren och nämnaren är delbara med 3. Så förenklar vi:
261035
2 = 13017; 𝑟𝑒𝑠𝑡 1.
Metodidaktisk fråga.
1. Varför, i dessa två divisioner, får vi samma kvot men olika rester?
2. Vad kan vi upptäcka om en person får svaret 13517; rest 1?
1 1 4
7 8 1 0 5
13017, rest 3.
6
Kortdivision
Första egenskapen i kortdivision är, liksom heltalsdivision, att inte alla detaljer i divisionsoperationen skrivs ner.5 Den andra egenskapen hos kortdivision är att vi kan, vid behov och beroende på elevens kunskapsnivå, kräva att svaret skall ges som vid heltalsdivision eller i en av formerna bråk, decimal, blandad och procent. Vi upptäcker att skolmatematiken har utvecklat heltalsdivisionen upp till kortdivision. Alltså heltalsdivisionen är ett underordnat begrepp till kortdivision.
Divisionsalgoritm där man räknar direkt på bråkstrecket och där inte alla uträkningar bokförs.
Kommentar. Metoden är lätt att använda om nämnaren är ett ensiffrigt tal. Exempel: Vi dividerar 86 med 2. Först delar vi tiotalen (8/2 = 4). Sedan delar vi entalen (6/2 = 3). Vi får 4 tiotal och 3 ental = 40 + 3 = 43.6
Operationen för kortdivision liknar den vid heltalsdivision. När eleverna är relativt förtrogna med hela processen kan vi även utföra kortdivisionen på ett ännu lite kortare sätt. I ovanstående första övningsexempel kan vi svara som ½ eller 0,5. I den andra uppgiften kan vi fortsätta såsom 13017 +3
6
vilket efter förkortningen kan skrivas som 13017 +1
2. Ett sådant svar består av både i formen heltal och bråktal. Därför kallas denna form för blandadform. I det symboliska spåreket vann, med praktikens förståelsestyrckan, formen 130171
2 . Alltså plustecknet varit onödigt. Men ändå språkmässigt, kan denna form, till en börja, skapa tvetydlighet. Ett annat svar kan vara i decimalformen 13017,5. Båda formerna är enklaste form i matematiska betydelsen.
1.3 Delningsdivision och innehållsdivision
Här nedan tas upp två sätt att tänka på vid division. Att observera de två skilda tankesätten, hjälper, troligen, eleverna att kunna reflektera över själva operationen.
5 För närmare information se Långdivision.
6 Matematiktermer för skolan, Christer Kiselman och Lars Mouwitz, s.33 NCM.
Fram till början på 1960-talet, då division var uppdelad i delningsdivision och innehållsdivision. fanns det alltså 5 räknesätt i Sverige De två olika divisionssätten hade också olika beteckningar … delningsdivision (betecknades med bråkstreck, / ) … innehållsdivision (betecknades med kolon, : )7
Delningsdivision (likabehandlingsdivision) Utgångspunkten är täljaren
D.v.s. vi önskar dela täljaren i visst antal lika delar (= nämnaren). M.a.o. undersöker vi antalet medlemmar (föremål) i varje grupp på sådant sätt att antalet grupper skall vara lika många som nämnaren.
Övningsexempel 3. Om du delar 50 st. godisbitar mellan 5 personer, hur många godisbitar får varje individ, om var och en ska få lika många?
Lösning:
50 10 5 Med bilder:
Svar: Tio godisbitar per glad individ.
Innehållsdivision (rymsdivision) a. Utgångspunkten är nämnaren.
b. D.v.s. vi undersöker hur många gånger nämnaren finns i täljaren (hur mycket ryms nämnaren i täljaren?).
c. Metoden är mycket användbar i huvudräkning.
Övningsexempel 4. Hur många femkronorsmynt kan du få istället för en femtiolapp?
Lösning:
50 10 5
Med bilder:
7 http://ncm.gu.se/media/biennal/dokumentation/2008/resources/file/618.pdf, 140101.
1 0 1
0 1
0 1
0 1 0
5 5 5
5
Svar: 10 st. 5 kronors mynt.
Övningsexempel 5. Hur många femkronorsmynt kan du få istället för 54 kronor?
Lösningsförslag: 10; rest 4.
54 5 D.v.s. 54 kronor kan bestå av 10 stycken 5–kronorsmynt och fyra 1–kronorsmynt. Lösningen som ger 10,8 är helt fel i denna kontext. Eftersom 0,8 stycken 5–
kronorsmynt finns inte att användas.
Övningsexempel 6. (innehållsdivision) 8 Du ska åka buss och en bussresa kostar 12 kronor.
Hur många resor kan du åka för 63 kronor?
Övningsexempel 7. (delningsdivision) Emelie, Lotta, Johan och Anna hade pallat 38 äpplen tillsammans. Hur många äpplen får de var?
Innehållsdivision och distributiva lagen för division
Det är av stor betydelse, speciellt vid huvudräkning, att kombinera innehållsdivisionens principtänkande med distributiva lagen. Här nedan tydliggör vi med lösta exempel.
Övningsexempel 8. Utför följande divisioner med hjälp av innehållsdivision och den distributiva lagen för division.
OBS! De exemplen som tas upp här nedan är lite svårare än vanligt.
II. 3584 35 III. 3517
29
IV. 13
438
I. 3584
35
Lösningsförslag: Vi utgår från nämnaren och tänker: hur många gånger ryms 35 i 3584?
(innehållsdivision). Därefter, för att kunna få svar på vår första fråga, funderar vi på lämpliga 35- multipel (såsom 3500, 350, 70, 105, o.s.v.) för att senare kunna använda oss av den distributiva lagen enligt följande:
Alternativ 1:
8 Exempel 3 och 4 är av Anna, Johan, Emelie och Lotta, Ht-07(med lite ändring).
3584 3500 84 3500 70 14
35 35 35
3500 70 14 14
35 35 35 102 35
.1: 102, rest 14 .2 : 102 2
5 .3 : 1022
5 .4 : 102, 4 alt
alt
alt alt
Har vi räknat rätt? Är 3584lika med 351024?Vi kan med hjälp av inversen till division, dvs.
multiplikation, prova om vi kalkylerade korrekt.
3584 14 3570 4 102
35 .
Alltså utförde vi en korrekt division med ett korrekt svar.
Alternativ 2: Eftersom både täljaren och nämnaren går att dela med 7 är det trevligare att först förkorta bråket med 7 och därefter utföra divisionen.
3584 / 7 512 500 10 2
35 / 7 5 5
500 10 2 2
5 5 5 102 5
Svar:
.1: 102, rest 2,
.2, .3 och .4 som ovan.
alt
alt alt alt
Varför får vi två olika svar i alternativ 1, beroende på vilken metod vi väljer? I första metoden fick vi svaret 102 och rest 14 och nu i andra metoden står det 102 och rest 2? Det verkar mycket mysko!
Övningsexempel 9. Diskutera detta i din grupp och lägg upp svaret på Moodle eller så tar ni upp det i klassrummet när vi har lektion.
II. 3517 29 :
Lösningsförslag: Vi utgår från nämnaren och tänker hur många gånger ryms 29 i 3517?
(innehållsdivision). Därefter, för att kunna svara på vår första fråga, funderar vi på lämpliga 29- multipel (såsom 2900, 290, 58, 580 o.s.v.) för att senare kunna använda oss av distributiva lagen enligt följande:
29. 121 8 29 1 8 20 100
29 ...
8 29 580 2900 29
37 580 2900 29
617 2900 29
3517
Svar:
Alt.1. .
29
121 8 Alt.2. . 29
121 8 Alt.3. 3517
29 = 121, rest 8 (liksom i kortdivision)
Tredje uppgiften gör du själv.
Fundera själv först och diskutera sedan i din grupp kring vad som är värdet med denna långräkning? Varför inte använda den gamla hederliga metoden eller helt enkelt en miniräknare?
En student frågar: Har jag tänkt rätt?
13.
rest
; 2 39 110
33 58 4290 39
91 4290 39
4381
Det är rätt svar. Men är uträkningen okej eller finns det ett enklare sätt?
Lärarens svar: En viktig anledning till att kombinera innehållsdivisionens egenskap med distributiva lagen är för att succesivt kunna lära sig att utföra huvudräkning. Nämnaren är här 39. Ett tips är att, med avseende på täljaren, tänka på nämnarens enkla multipel, här 3900, 390,
och 39 2
78 117339.Vid behov kan vi använda dessa.
Ett korrekt förslag kan vara följande:
täljaren = 4381=3900+483=3900+390+91=3900+390+78+13
talet (3900+390+78+13) ersätter täljaren. Nu, om vi delar täljaren med 39 en i taget, får vi:
13.
rest
; 112 2 10 39 100
13 39 78 39 390 39
3900 39
13 78 390 3900 39
4381
Sedan kontrollerar vi vår division med hjälp av multiplikation.
? 13 39 112 4381
Är
Först måste vi utföra multiplikationen
8 6 3 4
6 3 3
8 0 0 1
1 9 1
3 2 1 1
utfört.
korrekt division
är vår Alltså
.
? 4381 11
4370 11
2 4368 13
4368 4381
Är Ja
Vad jag menar med enkel multipel är att detta inte ska kräva någon uppställning. 10, 100, ... gånger ett tal är en enkel multipel. Eller: 2 respektive 3 gånger 39 är, liksom 2 respektive 3 gånger 40, men 2 respektive 3 enheter mindre, d.v.s. (80-2) och (120-3) som är 78 respektive 117.
Övning 1. Vilka alternativ svar kan vi tänka oss?
1.4 Långdivision och dess fyra ! populära uppställningar
Först kommer vi att skriva ner alla delmoment som görs i en division. Exempelvis tar vi exemplet ovan som vi har använt i heltalsdivision. Dvs.
3.
rest
; 13017 78105 6
Här ovan ser vi fyra delar i denna helhet som vi kallade för kortdivision. De fyra delarna har följande namn:
I. täljaren (dividend) som är talet 78105 II. nämnaren (divisor) som är talet 6 III. kvot som är talet 13017 och slutligen IV. rest som är talet 3.
Det arbete eller den
operation
som möjliggjorde svaret 13017; rest 3. Sedan har vi opererat steg för steg; d.v.s. vi har delat talet 78105 med talet 6. Nu får varje grupp försöka skriva ner alla delarna i denna operation, som egentligen är den femte delen av divisionsalgoritm.Definition:
Om vi skriver ner alla de fem komponenterna (delarna) av divisionsalgoritm kallas denna metod för Långdivision. Alltså har vi en divisionsalgoritm men många olika uppställningar. Hur vi placerar de fem delarna i vår långdivision är principiellt en smaksak. Under historiens gång har människan varit förtrollad och galenkär i olika uppställningar i olika länder vid olika tidsperioder. Ibland hände det att förtrollningen tog över förnuftet helt och skapade en vampyr.
Denna vampyr drack inte blod, utan något ännu värre, självförtroendet hos individer. Detta p.g.a. att då ledande individer hävdade att endast en enda uppställning fick användas, som exempelvis fågelpinnen, trappan, liggande stolen eller vad sjuttsingen man vill kalla den! Det som skiljer de olika uppställningarna ifrån varandra är enbart placeringen av de fem olika delarna i långdivisionen. Det är anmärkningsvärt att tre av de fem delarna egentligen placeras exakt likadant i de flesta olika uppställningar. Under täljaren skrivs operationen och på sista raden av operationen skrivs resten.
1. Långdivision och dess fyra olika uppställningar.
Fem viktiga delar i divisionsalgoritmen ( 925 644: 16 =? ) I. Dividend (täljaren) 925 644
II. Divisor (nämnaren) 16 III. Kvot 57 852
IV. Rest (även om den är lika med noll) 12
V. Operationer. (Dess största delen står i alla uppställningar under dividend)
Om vi skriver ner alla de fem komponenterna (delarna) av divisionsalgoritm kallas denna metod för Långdivision. Alltså har vi en divisionsalgoritm men många olika uppställningar. Hur vi placerar de fem delarna i vår långdivision är principiellt en smaksak.
Exempel från en äldre lärobok från Sverige. Vanäs skriver att ”prövningen av divisionsresultatet betraktas i räknelärorna under 1600 – talet som en angelägen uppgift.” 9 Exempel ovan är från 1818.
OBS! Vi bör även idag, betrakta den viktig uppgift, där relationen mellan division och multiplikation synliggörs.
Övningsexempel. Dividera 3517 med 29 och svara med två decimaler.
OBS! Svaret krävs med två decimaler, är det nödvändigt att från början ha tre extra nollor enligt följande:
9 Erik Vanäs, Divisions historia i Sverige i LYCHNOS –Lärdomhistoriska samfundets årsbok 1954 – 1955, s.149.
I. Fågelpinnen/Italiensk10
0 0 0 , 7 1 5 3
9
2
1 6 0
8
5
7 3
0
9
2
0 , 8 0
8 ,
5
0 2 , 2
3 0 ,
2
0 7 1 , 0
5 4 1 ,
0
5 2 0 , 0 Svar:121,28.
Engelsk uppställning, som finns även i Celsius lärobok är en variant av Italiensk uppställning.
Engelsk uppställning, härstammande från Italien, men införd till England på 1500-talet och allmänt använd där under de följande århundradena. 11
10 Italiensk uppställning är den samma som jag lärde mig i grundskolan i 50 – talets Iran. Den härstammar inte metoden från Italien. Men den finns i första räckneboken med namnet Treviso från 1473. Troligen därför kallas Italiensk.
29
121,275
Rest
1774, Celsius12
13
12 Celsius Anders, Arithmetica eller räkne – konst, 1754, s.107.
13 Celsius Anders, Arithmetica eller räkne – konst, 1754, s.103. Finns även i Celsius 1741 (se Erik Vanäs s.155).
II. Celsius uppställning (norska)
År 1727 utkom Anders Celsius' Arithmetica. Här påträffar vi för första gången i en svensk räknelära kolon som divisionstecken. Tecknet härrör från Leibniz, som använde det i en avhandling 1684. … Celsius inför en divisionsuppställning, … Det är därför möjligt, att denna uppställning är Celsius' eget initiativ, och att det kan vara berättigat att kalla den »Celsius' uppställning». Emellertid kan man konstatera, att metoden inte vann någon spridning och att Celsius själv övergav den.14
275 , 121
9 2 0
0 0 , 7 1 5
3 :
9
2
1 6 0
8
5
7 3
0
9
2
8, 0 Heltalsresten. (Svar i blandadform 121 8
29 )
8 ,
5
0 2 , 2
3 0 ,
2
0 7 1 , 0
5 4 1 ,
0
5 2 0 , 0
Svar i decimalform:121,28.
14 Erik Vanäs, Divisions historia i Sverige i LYCHNOS –Lärdomhistoriska samfundets årsbok 1954 – 1955, s.155.
Rest
1727, Celsius uppställning.15
15 Erik Vanäs, Divisions historia i Sverige i LYCHNOS – Lärdomhistoriska samfundets årsbok 1954 – 1955, s.155.
III. Trappan (liksom Gardiner)
3 5 1 7 , 0 0 0
2 9
0 6 1
5 8
0 3 7
2 9
0 8 , 0
5, 8
2 , 2 0
,2 0 3
0 , 1 7 0
0, 1 4 5
0 , 0 2 5
2 9
1 2 1, 2 7 5
Rest:
IV. Liggande stolen
0 0 0 , 7 1 5 3
9
2
8 5
7 3 0
9
2
0 , 8 0
0 2 , 2
3 0 ,
2
0 7 1 , 0
5 4 1 ,
0
5 2 0 , 0
Övningsexempel. Dividera 190058 med 38. Divisionen skall göras i form av långdivision.
Divisionsuppställning väljs av dig. Det spelar ingen roll om du väljer Celsius (norska), fågelpinnen, trappan, liggande stolen eller en egen uppställning. Det är mycket viktigt att alla fem komponenterna i långdivisionen är korrekt nedskrivna. Svara i blandadform. Kontrollera med multiplikation om ditt svar är korrekt.
OBS! Går att förenkla, är det ännu klokare att göra innan du sätter igång med divisionen, tack.
19 . 95029 2
/ 38
2 / 190058
121,275
29
1 6 0
8 ,
5
Rest
5001 19
: 9 2 0 5
9
5
9
0 0
0
2 0
0
9 2
9 1
0 1
Svar:
19 5001 10
9 1 0 5 9
1 0 0 5
9 0 0 5 4
9 1
1 0 0 5
95019 + 10 = 95029. Alltså är svaret korrekt!
Rest
En jämförelse mellan trappan och liggande stolen
Trappans och liggande stolens uppställningar är nästan varandras spegelbilder. Se här nedan.
Täljare och nämnare i division motsvarar dividend respektive divisor.
Här ovan görs en bildmässig jämförelse mellan två, i Sverige
!
, välkända och omdiskuterade luppställningar; trappan och liggande stolen. Den blågråa rektangeln symboliserar en ”spegel”.D.v.s. placeringen av de fem komponenterna i långdivisionen för uppställningarna trappan och liggande stolen är varandras spegelbilder.
Metodidaktisk reflektionsfråga. Är det, ur ett inlärningsperspektiv, verkligen uppställningens form (smaksak) som är viktigt eller själva långdivisionens algoritm.
Tänk över, vilken katastrofala skada skapades både i skolmatematiken och ännu värre hos mängder av individer!
1. Täljare 3. Operationer
utom multiplikation 4. Rest 1. Täljare
3. Operationer utom multiplikation 4. Rest
5. Kvot 5. Kvot
2. Nämnare 2. Nämnare
Divisions huvuduppställning/ar i olika länder
16Celsius, Italiensk och liggande stolen bygger på delningsdivision. Trappan och Gardiner bygger på innehållsdivision. Alltså, kan vi hävda att vi kan dela olika uppställningarna i två huvuduppställningar med lite olika nyanser.
Celsius Italiensk
1. Norge
2. Albanska (Kosovo) 2 3. Libanan 4
4. Bosinska 7 5. Kroatiska 7 6. Serbiska 7 7. Nordsamiska 22 8. hile 32
9. Eritrea 36
10. Norra Etiopien 36 11. Tyska 38
12. Ungerska 39
1. Sverige
2. Afrikansk (sydafrika) 1 3. Irak 4
4. Iran 9
5. Afganistan (Dari) 9 6. Franska 12
7. Grekiska 14 8. Italienska 16 9. Nederland 21
10. Afganistan (Pashto) 24 11. Portugisiska 27
12. Rumänska 29 13. Ryska 30 14. Spanien 32 15. Bolivia 32 16. Colombia 32 17. Turkiska 37
Trappan/Gardiner
17Liggande stolen
1. Sverige 2. Engelska 10 3. Finska 11 4. Isländsa 15 5. Kinesiska 17 6. Kurdiska 18 7. Irak 4
8. Semaliska (Somali) 31 9. Swahili (Tanzania) 33 10. Tamir (Sri Lanka) 34 11. Thai (Thailand) 35
12. Bangladesh 6, Indien 6, Danska 6
1. Polska 26 2. Sverige
16 Se Kulturmöte i matematikundervisning – eksempler fra 41 språk.
17Gardiner är nästan som en kombination av Celsius ( kvotens placering) och trappan N og T placering.
Presentation av Kashis multiplikations uppställning
Exempel 7. Multiplicera med hjälp av Kashimetoden.
a) 9 med b) 78 med 23 c) 87 med 98 d) 305 med 295 Lösningsförslag enligt Kashi18:
a) 9763
b) 238184
c) 87988526
d) 305 295 89975
18Läs gärna Matematikens historia av Bo Göran Johansson, Studentlitteratur, 2004,s.299-300.Se gärna s.67 – 68 i Frits Wigforss bok från 1957, Den grundläggande matematikundervisning, nyutgåva 2005, Högskolans Tryckeri, Kalmar. Här också http://www.aprender-mat.info/danes/historyDetail.htm?id=Al-Kashi
9
6 7 3
2 3
4 8 2 1
6
enta l tiotal
8 4 1
8 7
7
9
8 6 6
3
5 6 7
2
6 4
6 2
5 8 3 6
ental tiotal
hundratal tusental
hundratal
3 0 5
2
5 9
1 0 0 6
2
7 0
4 5
2 5 5
1
0
