Correo de M. Alvarez: malvarezp@usb.ve
UNA METODOLOGÍA PARA COMBINAR LOS MANTENIMIENTOS FORZADOS Y PREVENTIVOS EN ETAPAS DE PLANIFICACIÓN
J. Bermúdez
1, M. Alvarez
1, R. Villasana
1, H. M. Khodr
21. Universidad Simón Bolívar
2. GECAD–Knowledge Engineering and Decision-Support Research Group of the Electrical Engineering Institute of Porto, Portugal
RESUMEN
El Mantenimiento Correctivo (MC) o forzado es clásicamente un evento de naturaleza aleatoria, pero el Mantenimiento Preventivo (MP) o programado puede ser considerado un evento determinístico. Ahora bien, estrictamente hablando es imposible predecir cuándo exactamente un equipo será parado por efectos de MP, ni cuánto tiempo durará en ese estado. Por ende, a pesar de cualquier programación que pueda realizarse, el MP es en realidad un evento aleatorio, cuyos tiempos de permanencia en cada uno de sus vertientes (equipo operativo / equipo no operativo), pueden considerarse exponencialmente distribuidos, si el equipo está dentro de su periodo de de Vida Útil. De ser así, la teoría de Markov puede ser utilizada para definir una forma de combinar los dos procesos aleatorios, a nivel de la tasa de fallas y la duración de las paradas para cada equipo, para posteriormente extender la aplicación a sistemas complejos, con generación y transmisión considerados simultáneamente.
En este trabajo se desarrolla tal esquema, el cual una vez formulado es aplicado a cálculos tradicionales de confiabilidad en sistemas de potencia, tales como LOLE, ELOL, Elementos en Serie/Paralelo y Conjuntos de Corte. Se hacen comparaciones con las consideraciones determinísticas tradicionales, que sirvan para ilustrar las bondades de la metodología propuesta.
Obviamente esta metodología se adapta perfectamente a las modernas simulaciones de Monte Carlo.
PALABRAS CLAVE
Confiabilidad de sistemas de potencia, mantenimiento preventivo, mantenimiento correctivo, modelo de tres estados, planificación de sistemas, LOLE, conjuntos de corte, simulaciones de Monte Carlo.
Comité Nacional Venezolano
II CONGRESO VENEZOLANO DE REDES Y ENERGÍA ELÉCTRICA
Noviembre 2009
C4-207
1
INTRODUCCIÓN
El estudio de confiabilidad de sistemas de potencia puede ser acometido por múltiples vías, dentro de las cuales se pueden resaltar las más comunes, que son: análisis serie-paralelo, probabilidad condicional, conjuntos de corte y simulaciones de Monte Carlo. Algunas de estas técnicas resultan ser más ventajosas en términos de tiempo de cómputo y practicidad, otras en su exhaustividad para la evaluación de estados que puede visitar un determinado sistema durante su operación. Sin embargo dichos estudios de confiabilidad, asumen que los elementos del sistema son elementos reparables, modelados con dos estados en cuanto a cadenas de Markov se refiere. La razón primordial por la cual esto es así, es debido a que el mantenimiento preventivo (MP) de los elementos del sistema es considerado absolutamente determinístico, lo que quiere decir que no existe ningún tipo de aleatoriedad ni en la ocurrencia de dicho mantenimiento ni en su duración. Existen razones de peso que motivan a los autores de este trabajo a pensar que tales suposiciones no son válidas, entre ellas la aleatoriedad intrínseca de los procesos, los retardos administrativos, el error humano en las decisiones gerenciales y condiciones operativas críticas del sistema en el momento del mantenimiento preventivo. En este trabajo se presentará una metodología práctica para atacar el estudio de disponibilidad, el cual, por definición, incluye el efecto del MP. Por razones exclusivamente de simplicidad en este trabajo no se hará distinción entre los términos confiabilidad y disponibilidad. La metodología propuesta es un conjunto de reglas de cálculo claras que permitirán cuantificar de forma aproximada la confiabilidad de un sistema. Estas reglas no son más que un proceso previo de obtención de tasas de transición equivalentes, que emulan el efecto combinado del mantenimiento preventivo y correctivo en cada elemento, y dado a que esta combinación resulta en un modelo de dos estados, uno operativo y uno fallado equivalente, es posible aplicar las reglas de combinación convencional de elementos en configuraciones serie-paralelo, conjuntos de corte, etc. La metodología ha sido concebida como una aplicación para planificación de sistemas de potencia. En el caso de operación de sistemas, la herramienta apropiada, según los autores, es la Confiabilidad Centrada en Mantenimiento (RCM) [12]. A lo largo del trabajo se mostrarán las ventajas de dicha metodología frente a otras aproximaciones provenientes de la literatura con casos de estudio didácticos.
MODELO DE MARKOV DE DOS ESTADOS
Un elemento reparable del sistema de potencia operando en su período de vida útil, puede ser representado con un modelo de Markov de dos estados como el que se presenta a continuación:
Comp Operable
(1)
µdt λdt
Comp Fallada
1-λdt
(2)1-µdt
Fig. 1. Modelo de Markov de dos estados.
λ = tasa de falla (número de fallas / año)
µ = tasa de reparación (número de reparaciones / año) (1) dt = intervalo de tiempo tan pequeño como se quiera
λ, µ = constantes.
Con este modelo de dos estados se pueden aplicar las técnicas clásicas de evaluación de confiabilidad en sistemas de generación y sistemas de transmisión, dados los valores en régimen permanente de R y Q de cada elemento, y así poder determinar el efecto combinado de los elementos en un sistema.
(1)
(1)
1 P 1
1 1
donde P es la matriz de transición.
dt dt
dt dt
λ λ
µ µ
→ =
∴ = −
→ =
−
∑ ∑
1
2
P ; confiabilidad R.
P ; inconfiabilidad Q.
u u
u λ
λ λ
= +
= +
2
MODELO DE MARKOV TRES ESTADOS
Cuando se incluye el efecto aleatorio del mantenimiento preventivo para un elemento del sistema de potencia, el modelo de Markov es el siguiente:
B MC MP
λ
′′λ
µ
′′µ
ÉXITO FRACASO
( )
1 dt dt dt
P : dt 1 dt 0
dt 0 1 dt
λ λ λ λ
µ µ
µ µ
− +
−
−
′′ ′′
′′ ′′
B MC MP
B MC MP Fig. 2. Modelo de Markov de tres estados.
Las probabilidades de régimen permanente, con dt=1, se hayan de inmediato, aplicando la teoría de Markov, para obtener:
B=Bien
MP=Mantenimiento Preventivo MC=Mantenimiento Correctivo
(2)
Es posible mediante la teoría de frecuencia y duración obtener un modelo equivalente de 2 estados en donde las técnicas de estudio de confiabilidad básicas sean aplicables de forma directa. Este modelo de dos estados se obtiene al agregar los estados MC y MP en un estado que representa la salida aleatoria del componente (estado fallado equivalente).
"
( ) ; Q ( ) ( )
( ) ( ) ;
eq;
eqR P B P MC P MP
f f
f P B
R Q
λ λ λ µ
= = +
= ⋅ + = = (3)
MODELO DE MARKOV DE NUEVE ESTADOS PARA DOS ELEMENTOS EN SERIE O PARALELO.
La Figura 3 muestra el modelo de Markov 9 estados. Con este modelo se pueden combinar dos elementos del sistema en serie o paralelo, dependiendo de que estados sean considerados como estados exitosos y estados de fracaso. En este modelo el solapamiento de los mantenimientos preventivos es considerado posible, así como el solapamiento del mantenimiento preventivo de un elemento con el mantenimiento preventivo del otro. El mantenimiento preventivo ha sido incluido en el estudio de confiabilidad, en trabajos anteriores [5,8,9-11] como un evento aleatorio, en donde su ocurrencia queda supeditada a las condiciones de los elementos cercanos o a las condiciones de carga del sistema, por decisiones gerenciales que evitan que sucedan los solapamientos antes descritos. En estos modelos de confiabilidad, un elemento no puede ir a mantenimiento preventivo si un elemento cercano se encuentra fuera de servicio, o si la carga de dicha porción del sistema supera el 80% de capacidad de los elementos. El modelo de Markov de 9 estados puede ser modificado para incluir tales efectos; esto se logra eliminando el tercer estado y las transiciones λ
1” del estado 6 hacia el estado 5, y λ
2” del estado 8 hacia el estado 9. Esto conduce a un modelo de Markov de ocho estados que ha sido propuesto en [9].
P(B) ; P(MC) ; P(MP)
D D D
D
tasas de transición aplicables al MP ,
µ µ λ µ λ µ
µ µ λ µ λ µ λ µ
= = =
= + +
′′ ′′ ′′
′′ ′′ ′′
′′ ′′ →
3
ESTADO 1 1=B 2=B
ESTADO 2 1=B 2=MP
ESTADO 4 1=MP 2=B
ESTADO 3 1=MP 2=MP
ESTADO 5 1=MP 2=MC
ESTADO 7 1=MC 2=MC
P11
λ2′′
µ2′′ P22 P44 P66 P88
P55 P77 P33
P99
λ2′′
µ2′′
λ2
µ2
λ1′′
µ1′′
λ1
µ1 ESTADO 6 1=B 2=MC
λ2
µ2 ESTADO 8 1=MC 2=B
λ1′′
µ1′′
λ1
µ1
λ1′′
µ1′′ λ2 µ2 λ1 µ1
µ2′′
λ2′′
Fracaso en serie: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Éxito en serie: 1
Éxito en Paralelo: 1, 2, 4, 6, 8Fracaso en paralelo: 3, 5, 7, 9
ESTADO 9 1=MC 2=MP
Fig. 3. Modelo de Markov de nueve estados.
( )
1 2 " "
2 1 2 1
" "
1 2
" 1 "
2 " " 1 1
1 2
"
" 1 "
1 " 2
2
" " 2
1 2 " " 2
2 1
"
1 1 "
2 1
2
"
1
1 ( 0 0 0 0
)
1 ( 0 0 0 0 0
)
0 1 ( 0 0 0 0 0
)
0 1 ( 0 0 0 0
)
0 0 0 1 ( 0 0 0
)
0 0 0 0 1
dt dt dt dt
dt
dt dt dt
dt
dt dt
dt
dt dt dt
dt
P dt dt
dt dt
λ λ
λ λ λ λ
λ λ
µ λ λ λ
λ µ
µ µ µ
µ
µ λ λ λ
λ µ
µ µ µ
µ λ
− + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅
− +
⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅
− +
⋅ ⋅
⋅
− +
⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅
− +
= ⋅ ⋅
⋅
⋅
"
1 1 1
1
1 2
2
2 "
1 2 " 2
2 1
" 1
1 2 "
2
( 0 0
)
0 0 0 0 0 1 ( 0
)
0 0 0 0 0 1 (
)
0 0 0 0 0 0 1 (
) dt dt
dt dt
dt
dt dt dt
dt
dt dt
dt
λ λ
λ
µ µ µ
µ
µ λ λ λ
λ µ
µ µ µ
µ
− +
⋅ ⋅
− +
⋅ ⋅
⋅
− +
⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅
− +
⋅ ⋅
⋅
El modelo de nueve estados es equivalente a combinar los estados MP y MC en cada elemento, y luego
determinar la confiabilidad del conjunto usando las reglas básicas de confiabilidad para combinaciones en
serie y paralelo. Las probabilidades de régimen permanente para el modelo de 9 estados resultan
expresiones difíciles de manejar y expresar de forma sucinta.
4
MODELO DE MARKOV DE 8 ESTADOS
El modelo de Markov de 8 estados se define a partir de las suposiciones impuestas en el apartado anterior, y las probabilidades de los 8 estados son obtenidas al resolver el sistema lineal de 8 ecuaciones simultáneas que definen el valor de régimen permanente de tales probabilidades.
(4) Donde:
MÉTODO SIMPLIFICADO
Aplicando el razonamiento descrito en [5], se pueden obtener expresiones simplificadas que tienen un alto grado de aproximación con el modelo de Markov de 8 estados. La tasa de falla equivalente de un paralelo en donde aplican decisiones gerenciales sobre el mantenimiento preventivo, se puede determinar usando los conceptos de frecuencia y duración descritos en [3] y [6]. Esta es:
" 2 " 1 2 1
1 " 2 " 1 2
1 2 1 2
eq
λ λ λ λ
λ λ λ λ λ
µ µ µ µ
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
(5)
Luego en las mismas condiciones, el tiempo esperado de reparación equivalente del paralelo, se puede determinar aplicando el concepto de esperanza matemática:
" 2 " 1 2 1
1 " 2 " 1 2
1 2 1 2
" "
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
eq
eq eq eq eq
r
λ λ λ λ
λ λ λ λ
µ µ µ µ
λ µ µ λ µ µ λ µ µ λ µ µ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +
(6)
Es importante resaltar que tanto el modelo de Markov de 8 estados como el modelo simplificado, son adecuados para expresar el comportamiento de un sistema redundante paralelo, pero para elementos en serie, el modelo de 9 estados resulta más conveniente; en una serie no resulta descabellado pensar sacar dos elementos a mantenimiento preventivo, o sacar uno a mantenimiento preventivo estando otro elemento de la serie en mantenimiento correctivo. Cuando los elementos se encuentran en serie:
" "
" 1 1
"
1 1
1 1
;
n n
i i i i
n n
i i
eq i i eq n n
i i
i i
i i
r r
r
λ λ
λ λ λ
λ λ
= =
= =
= =
= + = +
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ (7)
5
MÉTODO PROPUESTO
Los elementos en paralelo y en serie se asumirán que pueden ir a cualquier tipo de mantenimiento de forma aleatoria sin ningún tipo de restricción asociada a su entorno; durante años se ha supuesto que dos elementos en serie pueden fallar secuencialmente, así que este tipo de suposición no debe sorprender al lector. Por tal motivo se propone como una aproximación práctica, el modelo de nueve estados, debido a que de esta forma se puede calcular previamente para cada elemento, su equivalente de dos estados usando el modelo de Markov de 3 estados, para luego aplicar las técnicas convencionales de estudio de confiabilidad. De otra forma es necesario usar (4), (5) y (6) en el cálculo de sistemas simples serie- paralelo, y para sistemas más complejos, se tendrían que redefinir las condiciones bajo las cuales sería permitido el mantenimiento preventivo, lo que conduciría a modelos de Markov de mayor dimensión y en donde (4), (5) y (6) ya no tendrían validez, pues no son genéricas. El procedimiento general es como sigue:
1. Se combinan los estados MP y MC en cada elemento sin importar en qué tipo de conexión se encuentran.
2. Se calculan las tasas de transición equivalentes para cada elemento usando la técnica de frecuencia y duración como se muestra en (3).
3. Se determina la confiabilidad del sistema aplicando las reglas convencionales de cálculo de confiabilidad.
EJEMPLO 1: CONFIABILIDAD EN GENERACIÓN
días
15 días 15 días
250 MW
250 MW
Pd2 100 =
Pd1 200=250300 400Pd
t1
∆ ∆ t2
471.67 días 228.33 días
486.67 243.33
730 días
•
•
•
• 500
MW
Fig. 4. Curva de demanda y capacidad instalada (2 x 250 MW).
Tabla 1. Resultados del ejemplo 1.
Sin MP
Con MP en el período de mayor demanda, de forma determinística. 15días en ∆t1.
Con MP en el período de menor demanda, de forma determinística. 15días en ∆t2.
Con MP de forma aleatoria
ELOL
(MW/2años)
0.02941 2.0096 1.0195 0.2785
LOLE
(MW/2años)
0.07156 0.2186 0.2186 0.6778
En este caso de estudio, el MP fue incluido de forma aleatoria construyendo para cada unidad sus tasas de transición equivalentes como expresa (3) y luego aplicando la metodología estándar para determinar el LOLE y el ELOL. Puede notarse el resultado pesimista que reporta el incluir el mantenimiento preventivo de forma aleatoria. Las diferencias que se notan entre el tratamiento determinístico y el tratamiento probabilístico del mantenimiento preventivo, son notorias. Ello se debe, especulan los autores de este trabajo, al hecho de mezclar un proceso aleatorio (MC) con un proceso determinístico hipotético (MP). En
λ µ
= =
= =
365 200 1.825 fallas año MC 365 2 182.5 reparaciones año
λ µ
= =
= =
" 365 700 0.5214 paradas año MP " 365 15 24.33 paradas año
λ µ
=
=
2.3464 1 año Meq eq
74.3590 1 año
eq
6
el fondo el MP es tan aleatorio como el MC, con tiempos para llegar a parar y tiempos de parada, exponencialmente distribuidos. La teoría de Markov proporciona la solución adecuada, como se ha discutido.
EJEMPLO 2: CONFIABILIDAD EN TRANSMISIÓN Ejemplo 2.a
Fig. 5. Diagrama del ejemplo 2.a. Dos líneas de transmisión en paralelo.
1 1 2 2
" " " "
1 1 2 2
1.4 fallas/año ; 1000 repar./año ; 1.5 fallas/año ; 900 repar./año 7 paradas/año ; 900 mant./año ; 5 paradas/año ; 876 mant./año
λ µ λ µ
λ µ λ µ
= = = =
= = = =
Tabla 2. Resultados del ejemplo 2.a.
Sin incluir MP Modelo de Markov 8 estados
Método simplificado
Modelo propuesto.
Markov 9 estados Req
(confiabilidad)
0.99999767 err=1.05e-003%
0.99998713 valor de referencia
0.99998700 err=1.3e-005%
0.99993342 err=5.3e-003%
Qeq
(inconfiabilidad) 2.32619424e-006 1.28604512e-005 1.29914409e-005 6.65744133e-005 El no incluir el mantenimiento preventivo en el estudio, permite obtener una cota superior para el valor de la confiabilidad (una aproximación optimista), por el contrario, el incluirla a través del modelo de 9 estados resulta en una cota inferior del problema, es decir un valor pesimista de confiabilidad. Como puede observarse, el error numérico cometido en ambos casos es menor a 0.01 % respecto del valor obtenido con el modelo de Markov de 8 estados, que en este caso de estudio ha sido considerado como el valor de referencia. Se enfatiza que el modelo de 9 estados es el único genérico porque no ignora ningún estado del espacio de Markov.
Ejemplo 2.b
Fig. 6. Diagrama ejemplo 2.b. Dos rutas de transmisión en paralelo.
1 1 2 3 2 3
" " " " " "
1 1 2 3 2 3
1.4 fallas/año ; 1000 repar./año ; 0.5 fallas/año ; 876 repar./año 7 paradas/año ; 900 mant./año ; 1 paradas/año ; 1000 mant./año
λ µ λ λ µ µ
λ µ λ λ µ µ
= = = = = =
= = = = = =
7 Tabla 3. Resultados del ejemplo 2.b.
Sin incluir MP Modelo de Markov 8 estados
Método simplificado
Modelo propuesto.
Markov 9 estados Req
(confiabilidad)
0.99999841 err=7.78e-004%
0.99999063 valor de referencia
0.99999293 err=2.3e-004%
0.99997149 err=1.9e-003%
Qeq
(inconfiabilidad) 1.59457385e-006 9.36622899e-006 7.06358908e-006 2.85030838e-005 En el ejemplo 2.b no es posible aplicar el modelo de Markov de 8 estados directamente para determinar la confiabilidad del conjunto. Primero es necesario establecer cuáles son las condiciones bajo las cuales es posible sacar un elemento a mantenimiento y esto apunta a un modelo de Markov derivado de uno base de 27 estados. Es claro que desarrollar un modelo de esta dimensión, para una configuración de sólo 3 elementos, es un procedimiento impráctico. Por otra parte, el modelo de nueve estados permite tratar a cada elemento como un equivalente de 2 estados en donde las reglas de confiabilidad serie-paralelo, probabilidad condicional y conjuntos de corte pueden ser aplicadas de forma expedita. Se podría pensar en una solución alternativa para aplicar el modelo de 8 estados a este ejemplo. Se pueden reducir los elementos en serie a un elemento equivalente de 3 estados para luego combinarlo con el elemento en paralelo usando el modelo de Markov de 8 estados. De esta forma se obtiene el valor de referencia de la Tabla 3. Esto es posible, especulan los autores, si se redefine el modelo de Markov para dos elementos en serie como se muestra en la Figura 7, debido a que en el modelo de 9 estados no es posible agregar los estados de mantenimiento preventivo y correctivo dado que existen estados combinados con estos dos tipos de mantenimiento.
Fig. 7. Modelo de Markov de 6 estados propuesto para un equivalente serie, considerando el MP.
El modelo de la Figura 7 muestra el espacio de estados que se usó para modelar la serie de dos elementos que pueden ir a MP en el ejemplo 2.b.
En este espacio de estados se establece que los dos elementos pueden ir a MP de forma secuencial. Adicionalmente una vez que uno de los elementos falla, se asume que el otro no puede fallar, por lo que el estado en donde ambos están en MC es despreciado. A partir de este modelo se puede obtener un modelo equivalente de tres estados de la rama L2-L3 que es compatible con el modelo de 8 estados y así combinar este equivalente con la rama L1 en paralelo. El equivalente de tres estados se obtiene al agregar los estados 2 y 3 para conformar un estado único de MP y luego agregando los estados 4, 5 y 6 para obtener un único estado de MC.
CONCLUSIONES
Cuando se quiere incluir el efecto del mantenimiento preventivo en un estudio de confiabilidad, de forma
que la ocurrencia de dicho mantenimiento este sujeto a restricciones operacionales y gerenciales, la
herramienta correcta a usar, y que emula con mayor precisión la realidad, es Markov. Ahora bien, por esta
vía se pueden conseguir fuertes limitantes computacionales asociadas al número de estados a definir para
8
