DISKRET MATEMATIK I

(1)

Lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik Erixon Hans Heikne

Kurs 5 Blå lärobok

Natur & Kultur

5000 ^Matematik

(2)

NATUR & KULTUR

Box 27 323, 102 54 Stockholm

Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-453 86 00, info@nok.se www.nok.se

Order och distribution: Förlagssystem, Box 30 195, 104 25 Stockholm

Tel 08-657 95 00, order@forlagssystem.se www.fsbutiken.se

Projektledare: Irene Bonde

Textredaktör: Mats Karlsson/Devella HB Bildredaktör: Erica Högsborn

Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom Layout: Måns Björkman/Typ & Design och

Mats Karlsson/Devella HB Sättning: Mats Karlsson/Devella HB

Kopieringsförbud!

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten till kopiering för privat bruk.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Tryckt i Lettland 2013 Första utgåvans första tryckning ISBN 978-91-27-42633-7

(3)

Välkommen till Matematik 5000

Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasie- skolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.

Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättning- ar att utveckla de förmågor och nå de kunskaps- mål som beskrivs i den nya ämnesplanen.

Denna bok, Kurs 5 Blå lärobok, riktar sig främst till elever som studerar på teknikprogrammet eller naturvetenskapsprogrammet.

Hur är boken upplagd?

• Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken.

Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste.

Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.

• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera undervisningen. De finns i fyra olika kategorier:

Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera.

De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivi- tet som introducerar delar av kapitlets innehåll.

• I Teman finns teori och uppgifter anpassade till naturvetenskapsprogrammet och teknik- programmet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.

• På många sidor blandas uppgifter av standard- karaktär, uppgifter anpassade främst till teknik- och naturvetenskapsprogrammet och uppgifter som kräver matematisk problemlösning.

Varje kapitel avslutas med:

• En Aktivitet som uppmuntrar till kommunika- tion: Sant eller falskt?

• En kort Sammanfattning av kapitlet.

• Kan du det här? och Diagnos som tillsammans ger eleverna en god möjlighet till egen kunskaps- kontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grund- läggande kunskaper.

• Om en elev behöver repetera delar av kapitlet finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken.

Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt.

• Två olika varianter av Blandade övningar av- slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.

Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.

I Svarsdelen finns ledtrådar och lösningar till många uppgifter.

Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övnings- uppgifter samt en provbank.

Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elev- er till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor.

Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000

Lycka till med matematiken!

önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik

(4)

Innehåll

1. Diskret matematik I 6 Centralt innehåll 6

Inledande aktivitet: Hur många? 7 1.1 Kombinatorik 8

Lådprincipen 8

Multiplikations- och additionsprincipen 11 Permutationer 15

Kombinationer 19

Kommer du ihåg sannolikhetslära? 23 Kombinatorik och sannolikhetslära 26 Tema: Poker och Yatzy 28

Binomialsatsen 30 Historik: Pascals triangel 32 1.2 Mängdlära 35

Mängder – Grundbegrepp 35 Mängdoperatorer 39 Venndiagram 41 Aktivitet: Undersök –

Kan du rita utan att lyfta pennan? 45 1.3 Grafteori 46

Inledning 46

Historik: Fyrfärgsproblemet 49 Några klassiska problem 50 Träd 54

Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 57 Sammanfattning 1 58

Kan du det här? 1 60 Diagnos 1 61

Blandade övningar kapitel 1 62

2. Diskret matematik II 66 Centralt innehåll 66

Inledande aktivitet: Hittar du mönstret? 67 2.1 Talteori 68

Delbarhet och primtal 68

Gemensamma och icke gemensamma faktorer 71 Aktivitet: Upptäck – Räkna med rester 74

Kongruens och moduloräkning 75

Historik: Diofantiska ekvationer och Fermats stora sats 79 Talsystem med olika baser 80

Tema: RSA-kryptering 82 2.2 Talföljder 84

Inledning 84

Aktivitet: Undersök – Sierpińskis triangel 87 Rekursionsformler 88

Aritmetiska talföljder 90 Geometriska talföljder 92

Aktivitet: Undersök – Hur högt blir trädet? 95 Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar 96

Aktivitet: Laborera – Hur högt studsar bollen? 101 Historik: Fibonaccis talföljd 102

2.3 Induktionsbevis 103

Blandade övningar kapitel 2 112 Blandade övningar kapitel 1–2 114

(5)

3. Derivator och integraler 118 Centralt innehåll 118

Inledande aktivitet: Finn grafen 119 3.1 Derivator 120

Repetition 120 Några bevis 126

Tangenter och linjär approximation 128 Förändringshastigheter och derivator 130 Aktivitet: Laborera – Ballongen 136 3.2 Extremvärden 137

Tillämpningar och problemlösning 137 Historik: Den första läroboken 144 3.3 Integraler 145

Primitiva funktioner, integraler och areaberäkningar 145 Geometriska sannolikheter 150

Partiell integration 151

Volymberäkning med skivmetoden 154 Historik: Kepler och vintunnornas geometri 157

Volymberäkning med cylindriska skal 158 Generaliserade integraler 160

4. Differentialekvationer 174 Centralt innehåll 174

Inledande aktivitet: Bestäm en funktion 175 4.1 Inledning 176

Grundläggande begrepp 176 Historik: Newton 179

Differentialekvationer och primitiva funktioner 180 Verifiering av en lösning 182

4.2 Differentialekvationer av första ordningen 184 Differentialekvationen y ¢ + ay = 0 184 Den inhomogena ekvationen y ¢ + ay = f ( x) 188 Aktivitet: Upptäck – Riktningsfält 191

Riktningsfält 192

Historik: Euler och hans stegmetod 196

4.3 Matematiska modeller med differentialekvationer 198 Enkla förändringsmodeller 198

Blandningsproblem 200 Avsvalning 202

Fritt fall med luftmotstånd 203 Tillväxt med begränsningar 204 Lösning med digitala verktyg 206 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 210 Sammanfattning 4 211

5. Omfångsrika problemsituationer 224 Repetitionsuppgifter 237

Svar, ledtrådar och lösningar 242 Register 283

(6)

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri.

DISKRET MATEMATIK I

1 Centralt innehåll

✱ Begreppen permutation och kombination.

✱ Metoder för beräkningar av antalet kombinationer och permutationer.

✱ Begreppet mängd, operationer på mängder, mängdlärans notationer och Venndiagram.

✱ Begreppet graf, olika typer av grafer och dess egenskaper samt några kända grafteoretiska problem.

✱ Strategier för matematisk problemlösning.

✱ Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.

(7)

1 1 1

15343274

894789475849 777 7547 112 894789475849

55 482398678567

23 887 6744

HUR MÅNGA?

Diskret matematik är en gren av matematiken som sysslar med objekt som är åtskilda från varandra och som går att räkna upp.

Inledande aktivitet

1 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 1,2 och 3 om varje siffra bara får förekomma en gång?

Skriv upp alla talen.

b) Hur många tvåsiffriga tal kan bildas av siffrorna 4 och 7 om varje siffra får förekomma flera gånger?

Skriv upp alla talen.

c) Du ska bilda en summa av ett av de tresiffriga och ett av de tvåsiffriga talen i uppgift a) och b).

Hur många olika summor kan du få?

2 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 1, 2 och 3 om varje siffra får förekomma flera gånger?

b) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 8, 9 och 0 om varje siffra får förekomma flera gånger?

3 a) Hur många fyrsiffriga tal finns det?

b) Hur många fyrsiffriga tal finns det som är delbara med 11?

(8)

1.1 Kombinatorik

Lådprincipen

kombinatorik Kombinatorik är den gren av matematiken som handlar om hur vi kan välja ut, ordna och kombinera olika föremål.

Frågorna ”Hur många…” och ”På hur många sätt…” är vanliga.

Vi visar några generella verktyg som kan användas för att lösa kombinatoriska problem.

Exempel Om en brevbärare ska lägga 6 brev i 5 brevlådor, så måste åtminstone en brevlåda innehålla två eller flera brev. Detta är ett exempel på lådprincipen.

Om brevbäraren istället har 16 brev att lägga i de 5 lådorna så kommer åtminstone en brevlåda att innehålla 4 eller flera brev.

Motivering:

16 = 5 ∙ 3 + 1 (3 brev i varje låda och ytterligare 1 brev)

Lådprincipen

I detta kapitel betecknar n och k positiva heltal.

Det är förvånande att denna enkla princip kan användas för att lösa så många olika problem. Som problemlösare ska du försöka identifiera vad som är ”låda” respektive ”föremål”. Tyvärr är detta inte alltid så lätt!

lådprincipen

Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla två eller fler av föremålen.

Om n ∙ k + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla k + 1 eller fler av föremålen.

(9)

1101

1102

1103

Visa att i en grupp på 13 personer har minst två personer födelsedag i samma månad.

Lådor: Årets 12 månader Föremål: De 13 födelsedagarna

Placera de 13 födelsedagarna i de 12 månaderna.

Enligt lådprincipen innehåller då åtminstone en månad två eller flera födelsedagar.

Visa att om fem punkter placeras i en liksidig triangel med sidan 6 cm, så finns det minst två punkter vars avstånd är högst 3 cm.

Triangeln delas i fyra kongruenta liksidiga deltrianglar med sidan 3 cm.

Lådor: De fyra deltrianglarna (n = 4) Föremål: De fem punkterna (n + 1 = 5) Placera de fem punkterna i de

fyra deltrianglarna.

Enligt lådprincipen innehåller då minst en triangel två eller fler punkter. Avståndet mellan två sådana punkter är högst 3 cm.

T ex T ex

6 cm 6 cm

Storstockholm har 1 510 000 invånare. Vi antar att en människa har färre än 500 000 hårstrån på huvudet. Visa att åtminstone 4 av dessa invånare har exakt samma antal hårstrån.

Lådor: 500 000 st, dvs 0, 1, 2, . . ., 499 999 hårstrån Föremål: 1 510 000 stockholmare

Eftersom 1 510 000 > 500 000 ∙ 3 + 1 så säger lådprincipen att åtminstone en låda innehåller minst 3 + 1 föremål. Det innebär att minst 4 stockholmare har samma antal hårstrån på huvudet.

(10)

1104 I en låda ligger enfärgade, osorterade strumpor i färgerna svart, vit, blå och grå.

Hur många strumpor måste man ta ur lådan för att vara säker på att få ett par av samma färg?

1105 Visa att det i en klass på 32 elever finns åtminstone två som har födelsedag på samma datum i någon månad.

1106 Visa att om fem punkter placeras i en kvadrat med sidan 2 cm, så finns det två punkter vars avstånd är högst

√

^{2 cm.}

1107 Till en nordisk skolkonferens kom det sammanlagt 31 elever från Sverige, Norge, Danmark, Finland och Island.

a) Vilket tal är n (antalet ”lådor”)?

b) Visa att något land representeras av minst 7 elever.

1108 EU-parlamentet består av 754 personer från 27 olika stater.

Visa att minst 28 personer kommer från samma stat.

1109

I en skål ligger 8 röda och 5 blå kulor.

Hur många kulor måste du slumpvis ta upp för att säkert få två av a) samma färg

b) olika färg c) varje färg?

1110 En musiker övar 110 timmar under en period på 12 dagar.

Visa att hon övar sammanlagt åtminstone 19 timmar under två på varandra följande dagar. (Hon övar i hela timmar.)

1111 En låda innehåller 50 tröjor i fyra olika färger.

Förklara varför det är

a) minst 13 tröjor av samma färg

b) minst 14 tröjor av samma färg om man vet att det finns exakt 8 röda tröjor.

1112 År 2010 fanns 7,2 miljoner invånare i Sverige, som var 20 år eller äldre.

Av dessa hade 47 % en månadsinkomst före skatt som var mindre än 20 000 kr.

Visa att det år 2010 fanns åtminstone 160 svenskar som hade exakt på kronan samma månadsinkomst.

1113 Enligt SCB hade Sverige 9 551 781 invånare den 30 november 2012. Det finns en dag på året (även skottår)då åtminstone x svenska invånare har födelsedag.

Bestäm x.

1114 Visa att om 10 punkter placeras i en liksidig triangel med sidan 6 cm, så finns det två punkter vars avstånd är högst 2 cm.

1115 I ett rum finns det n gifta par.

Hur många av dessa 2n personer måste väljas ut för att man ska vara säker på att få minst ett gift par? Motivera.

(11)

Multiplikations- och additionsprincipen

Exempel 1 När Alma ska träna har hon följande kläder att välja på:

◗ linne, kortärmad tröja eller långärmad tröja

◗ korta byxor, knälånga byxor eller långa byxor

◗ löparskor eller inomhusskor.

Vi visar med ett träddiagram på hur många olika sätt hon kan klä sig.

Diagrammet visar att Alma kan klä sig på 18 olika sätt. Utan träddiagram kan vi tänka att hon har tre val att göra: 3 olika tröjor, 3 olika byxor och 2 olika skor. Detta ger beräkningen 3 ∙ 3 ∙ 2 = 18.

multiplikationsprincipen Den regel inom kombinatoriken som ger det totala antalet möjliga kombinationer när flera val görs oberoende av varandra kallas multiplikationsprincipen.

Multiplikationsprincipen

löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom korta

linne kort lång Tröja

Byxor

Skor

knä långa korta knä långa korta knä långa

Om ett första val kan ske på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt, så kan de båda valen utförda efter varandra göras på p ∙ q sätt.

En förutsättning för detta är att det första valet inte påverkar det andra valet.

(12)

Exempel 2 På en restaurang kan man välja förrätt och huvudrätt eller huvudrätt och efterrätt för 200 kr.

Erik undrar på hur många sätt man kan välja två rätter.

Multiplikationsprincipen ger att:

Förrätt + Huvudrätt kan väljas på 2 ∙ 3 = 6 olika sätt.

Huvudrätt + Efterrätt kan väljas på 3 ∙ 3 = 9 olika sätt.

Sammanlagt finns det alltså 6 + 9 = 15 olika sätt att välja 2 rätter på restaurangen.

Allmänt gäller:

Additionsprincipen

1116

Om man ska välja 1 föremål från en mängd med p olika föremål eller från en mängd med q olika föremål, så kan detta ske på p + q olika sätt.

Obs! En förutsättning är att mängderna inte har något föremål gemensamt.

När William ska köpa en surfplatta står han inför tre val trots att han har bestäm vilket märke kan ska köpa.

Det finns tre olika skärmstorlekar och liten eller stor hårddisk.

Båda hårddiskarna finns till alla skärmar och surfplattorna finns i färgerna svart, rött, grönt, blått eller vitt.

Hur många olika surfplattor har William att välja på?

Han står inför tre valsituationer där antalet valmöjligheter är 3, 2 respektive 5. Inget val påverkar det andra.

Antalet varianter av surfplattor är 3 ∙ 2 ∙ 5 = 30.

På en restaurang kan man välja förrätt

Förrätt + Huvudrätt kan väljas på 2 ∙ 3 = 6 olika sätt.

M E N Y

Förrätt: Soppa Sallad Huvudrätt: Fisk

VegetarisktKött Efterrätt: Glass

Tårta Paj

Välj förrätt och huvudrätt eller huvudrätt och efterrätt för 200 k

r

(13)

1117

1118 I en klass går det 11 pojkar och 15 flickor.

På hur många sätt kan man välja a) en elevrepresentant

b) två elevrepresentanter, en pojke och en flicka?

1119 Lukas som ska köpa en cykel ställs inför flera val.

◗ Herr eller damcykel?

◗ Vilket av fem märken?

◗ Mountainbike, streetcykel eller racer?

◗ 3, 5, 7, 18 eller 21 växlar?

◗ Pakethållare eller inte?

◗ Vilken av fyra färger?

Lukas leker med tanken på att alla varianter kan kombineras med varandra.

Hur många cyklar har han då att välja på?

1120 När man spelar på V75 ska man välja vilken häst som vinner i sju olika lopp. Vid ett tillfälle startade 9, 10, 9, 9, 11, 10 respektive 10 hästar i de olika loppen.

På hur många olika sätt kan man skriva en V75-rad till den spelomgången?

Conrad ska välja en karamell ur vardera skålen.

a) På hur många sätt kan detta ske?

b) På hur många sätt kan detta ske om han vill ha minst en röd karamell?

a) Multiplikationsprincipen ger 4 ∙ 5 = 20 sätt.

b) Den runda röda kan kombineras med de 5 fyrkantiga karamellerna, vilket ger 5 sätt.

Den fyrkantiga röda kan kombineras med de 4 runda karamellerna, vilket ger 4 sätt.

Här måste vi minska med 1 sätt eftersom ”två röda” ingår i båda fallen ovan.

Additionsprincipen ger 5 + 4 – 1 = 8 sätt.

1121 Hur många fyrsiffriga pinkoder finns det?

1122 Lubna ska låna ljudböcker på biblioteket.

Hon väljer mellan fem deckare, tre själv- biografier och fyra fantasyböcker.

På hur många sätt kan hon välja a) en bok

b) tre böcker med en i varje genre c) två böcker i olika genrer?

1123 Sex personer är med i utlottningen av två lika stora vinster. Det är herr och fru Alm, herr och fru Olsson samt herr och fru Raciz.

På hur många sätt kan de två vinsterna fördelas om åtminstone en av personerna i familjen Alm vinner?

1124 Hur många olika svenska bilregistrerings- skyltar för bilar kan man göra enligt modellen ”först 3 bokstäver och sedan 3 siffror”?

Bokstäverna I, Q, V, Å, Ä och Ö används inte.

(14)

1125 En kokbok innehåller 50 förrätter, 100 huvudrätter och 50 efterrätter.

På hur många sätt kan man ur boken komponera en två- eller trerättersmiddag som innehåller en huvudrätt?

1126 En myra kryper kortaste vägen från A till B längs kubens kantlinjer.

Hur många vägar kan myran krypa?

1127 I en av två parallellklasser går 17 killar och 9 tjejer. I den andra klassen går 13 killar och 15 tjejer. En elev från vardera klassen ska utses till elevrepresentanter.

På hur många olika sätt kan detta ske om a) båda representanterna ska vara killar b) en kille och en tjej ska utses

c) åtminstone en tjej ska utses?

1128 Evy har gjort en tipspromenad med 16 frågor som ska besvaras med 1, X eller 2.

Hon påstår att

a) det finns fler än 16 miljoner olika möjligheter att skriva en sådan tipsrad.

Stämmer det?

b) det bara finns 17 tipsrader med minst 15 rätt. Stämmer det?

Motivera dina svar.

1129 Ett binärt tal skrivs med enbart nollor och ettor. T ex 53₁₀= 110101_två

Hur många binära tal med sex eller färre siffror finns det?

A

B

1130 I sin garderob har Kim

◗ 1 röd, 1 blå, 1 vit och 1 grön skjorta

◗ 2 par blå jeans, ett par grå finbyxor och ett par chinos

◗ 1 par stumpor vardera av färgerna röd, blå, svart och vit

◗ 1 par boots, 1 par sneakers och ett par svarta lackskor.

På hur många sätt kan han klä sig, om a) alla skjortor, byxor, strumpor och skor kan användas tillsammans

b) bootsen bara kan användas till jeans eller chinos

c) han bara kan ha svarta strumpor till lackskorna och alltid vit skjorta till finbyxorna?

På fredag ska Kim på födelsedagsfest till sin faster som fyller 34 år.

d) Vad tycker du han ska ha på sig?

1131 Visa att ett val bland p föremål följt av ett val bland q föremål alltid leder till fler valmöjligheter, än ett val bland p + q föremål, förutsatt att p ≥ 2 och q > 2.

1132 Hur många binära tal mindre än 256 börjar och/eller slutar med två ettor?

(15)

Permutationer

Exempel 1 Johannes har en spellista som innehåller 10 favoritlåtar. Om han trycker

”shuffle” (blandning) spelas varje låt en gång i slumpartad ordning.

permutation Varje sådant ordnat urval utan upprepning kallas en permutation.

Varje låt på listan spelas endast en gång.

På hur många olika sätt kan listans låtar spelas?

När den första låten ska väljas finns det 10 valmöjligheter. Den andra låten kan sedan väljas på 9 sätt och den tredje på 8 sätt osv.

Antalet möjliga sätt blir då enligt multiplikationsprincipen 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3 628 800

Antalet permutationer av 10 föremål (element) kan skrivas 10!

10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

n -fakultet Produkten av alla heltal från 1 till n kallas n-fakultet och betecknas n!

Allmänt gäller:

Exempel 2 Om endast 3 låtar ska väljas från listan med 10 låtar kan detta göras på 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 olika sätt.

Antalet permutationer (ordnade urval) av 3 låtar bland 10 låtar kan skrivas

P(10, 3) = 10 ∙ 9 ∙ 8 = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7!

7! = 10!

(10 ‒ 3)!

Antalet permutationer av n element

Antalet permutationer av n element är n ! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 där n är ett positivt heltal.

Vi förlänger med 7!

(16)

Allmänt gäller:

Två specialfall:

Om vi väljer n element av n får vi P(n, n) = n!

(n ‒ n)! = n!

0! = n! om vi definierar 0! = 1 Om vi väljer 0 element av n får vi

P(n, 0) = n!

n! = 1 med tolkningen: ”noll element kan väljas på ett sätt”.

1133

Antalet permutationer av k element bland n

Antalet permutationer av k element bland n givna element är P ( n, k ) = n ∙ (n – 1) ∙ … ∙ (n – k + 1) = n !(n − k)!

Elementen väljs endast en gång och med hänsyn till ordningen.

Julia ska sätta upp förstoringar av tre fotografier i sitt rum. De ska hänga på rad.

a) Utgå från det tre fotona A, B och C och gör en lista över de olika permutationerna.

b) Hur många permutationer finns det?

c) Julia lägger till fem foton och har nu åtta att välja på. På hur många sätt kan då tre foton hängas upp?

a) A B C B A C C B A A C B B C A C A B

b) Antalet permutationer av 3 element är 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

Svar: Det finns 6 permutationer.

c) Antalet permutationer av 3 element bland 8 är P (8, 3) = 8 ∙ 7 ∙ 6 = 336 eller P (8, 3) = 8!

(8 ‒ 3)! = 8!

5! = 336 Svar: På 336 olika sätt.

A B C

(17)

På många räknare finns verktyg för beräkning av n! och P (n, k).

T ex 9 nPr 4 ger att P (9, 4) = 126 1134

1135

Hur många olika ”ord” kan man bilda av bokstäverna i ordet a) KEMI

b) MATTE

a) Fyra bokstäver kan ordnas på 4! = 24 olika sätt.

(De flesta orden saknar dock betydelse.)

b) Fem bokstäver kan ordnas på 5! = 120 olika sätt.

Eftersom det finns två T i ordet MATTE kommer flera av de 120 orden att vara lika.

Två bokstäver kan ordnas på 2! = 2 sätt så antalet olika ord ges av

5!2! = 120 2 = 60

Svar: a) 24 ord b) 60 ord

Tolka och beräkna

a) P (6, 6) b) P (8, 5) c) P (8, 1) d) P (8, 0)

a) P (6, 6) är antalet permutationer (ordnade urval) av 6 element.

P (6, 6) = 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720

b) P (8, 5) är antalet permutationer när man väljer 5 element av 8.

P (8, 5) = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 6 720 eller

P (8, 5) = 8!

(8 – 5)! = 8!

3! = 6 720

c) P (8, 1) är antalet sätt att välja 1 element bland 8.

P (8, 1) = 8

d) P (8, 0) är ”antalet sätt att välja 0 element bland 8”.

P (8, 0) = 1

(18)

1136 Sju personer ska skriva sitt namn på en lista.

På hur många sätt kan listan se ut om man tar hänsyn till namnens inbördes ordning?

1137 Beräkna utan räknare

a) 4! c) 2! ∙ 3!

b) 11!

(11 ‒ 2)! d) 100!

(100 ‒ 1)!

1138 I styrelsen till en idrottsförening ska man välja ordförande, sekreterare och kassör.

På hur många sätt kan dessa väljas om styrelsen består av

a) 6 personer b) 12 personer?

1139 Beräkna och tolka

a) P (9, 3) c) P (15, 1) b) P (4 ,4) d) P (100, 0)

1140 En vanlig kortlek innehåller 52 olika kort.

På hur många sätt kan man dra fem kort om man tar hänsyn till ordningen och

a) lägger tillbaka kortet efter varje dragning b) inte lägger tillbaka korten?

1141 Hur många tresiffriga tal a) finns det

b) med endast jämna siffror finns det c) med endast udda siffror finns det, om varje siffra endast får förekomma en gång?

1142 a) Teckna och beräkna antalet

permutationer av tre element bland fem.

b) Förklara vad du beräknat i a).

1143 Hur många fyrsiffriga koder finns det med a) siffrorna 0, 6, 8, 9

b) olika siffror c) siffrorna 3, 5, 5, 9

1144 a) Hur många olika ”ord” kan man bilda av bokstäverna i ordet BANAN?

b) Hur många av orden i uppgift a) börjar med AN?

1145 Tolv damer och tolv herrar kommer till en danskurs.

a) Först hälsar alla på varandra genom att ta i hand. Hur många handskakningar innebär detta?

b) Sedan bildas danspar av en dam och en herre. Hur många olika danspar kan bildas?

1146 a) Bestäm värdet på k utan räknare då 5 ∙ 9! + 5 ∙ 8! = k ∙ 8!

b) Visa att a ∙ n! + a(n + 1)! kan skrivas a ∙ n!(n + 2).

1147 I ett klassrum med 30 bänkar och 30 elever säger läraren:

”Vi prövar en ny placering varje dag.”

Hur många läsår dröjer det innan alla tänkbara placeringar är prövade?

(Vi antar att ett läsår har 200 dagar.) 1148 Ett spelbolag har ett spel, där det gäller att

bland åtta deltagare i en tävling tippa de n första i rätt ordning.

Hur stort måste n minsta vara, om antalet olika tipsrader ska bli mer än 1 000?

1149 Visa att P (n, n) = P (n, n – 1) genom att a) förenkla båda uttrycken

b) använda multiplikationsprincipen.

(19)

Kombinationer

Exempel 1 Vi återvänder till exemplet med Julias fotografier (se uppgift 1133).

Den här gången ska hon välja ut tre fotografier av totalt fyra. Vi skriver upp permutationerna av tre av fotografierna A, B, C och D:

ABC ABD ACD BCD ACB ADB ADC BDC BAC BAD CAD CBD BCA BDA CDA CDB CAB DAB DAC DBC CBA DBA DCA DCB

I den första kolumnen finns alla permutationer av A, B och C, i den andra alla permutationer av A, B och D, i den tredje alla permutationer av A, C och D och i den sista alla permutationer av B, C och D.

Men nu är vi inte längre intresserade av i vilken ordning fotografierna ska hänga på väggen. Vi är bara intresserade av vilka tre fotografier Julia väljer ut. Varje kolumn motsvarar då en av Julias valmöljigheter.

I varje kolumn finns 3! = 6 permutationer av de tre fotografierna överst i kolumnen. Antalet val får vi om vi delar det totala antalet permutationer (24) med 6.

Antal permutationer av 3 element bland 4

Antal sätt att ordna 3 element = P(4, 3) 3! =

= 4!

(4 – 3)!

^?

(

⁸³

)

^{= 56}

Talen

(

ⁿk har den viktiga symmetriegenskapen

) (

ⁿ^{k =}

) (

ⁿ^{n – k}

)

Beräkna

a)

(

²⁰³

)

^b)

(

¹⁵¹³

)

c) P(30,4)

4! d) P(5,5) 5!

a)

(

²⁰^{3 =}

)

20 ∙ 19 ∙ 18

1 ∙ 2 ∙ 3 = 1 140 b)

(

¹⁵^{13 =}

) (

¹⁵^{2 =}

)

^{15 ∙ 14}1 ∙ 2 = 105 c) P(30,4)

4! =

(

³⁰^{4 =}

)

30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 27 405 d) P(5,5)

5! =

(

⁵^{5 = 1}

)

Vi utnyttjar symmetrin.

(21)

1151

1152

Agnes har 30 pocketböcker i sin bokhylla. 10 av dem är på engelska och resten är på svenska. Hon ska låna ut sex böcker till en kompis som vill ha två engelska böcker.

På hur många sätt kan Agnes välja böckerna hon ska låna ut?

Multiplikationsprincipen ger antalet urval med 4 svenska och 2 engelska böcker.

(

)

)

1155 I en skål ligger fyra kulor med olika färger.

På hur många sätt kan man dra två kulor ur skålen

a) om ingen hänsyn tas till ordningen b) om hänsyn tas till ordningen?

1156 En person är ledig två dagar varje vecka.

Hur många olika sätt finns det att ordna ledigheten om han inte vill vara ledig både lördag och söndag?

1157 Lasse ska göra en bukett. Han har 15 olika blommor att välja bland.

På hur många sätt kan han välja blommor till buketten om den ska bestå av

a) 10 blommor b) 5 blommor

c) Kommentera resultatet i a) och b).

1158 Ett test består av två delar med totalt 24 frågor. Del A innehåller 8 frågor och del B 16 frågor. För att få godkänt krävs att totalt minst 10 frågor är rätt, varav minst 4 rätt på del A.

På hur många sätt kan man få precis 10 rätt och bli godkänd?

1159 Lena ska bjuda 7 personer till en fest. Hon väljer bland 12 kompisar, där Nils och Erik ingår. Hon vet att det inte är lyckat att bjuda dem på samma fest.

På hur många sätt kan hon göra sitt val om hon tar hänsyn till detta?

1160 På Manhattan i New York är gatorna i kvarteren parallella. Anta att du ska gå från korsningen 5th Avenue och 35th Street till Chrysler building.

På hur många sätt kan du då gå den kortaste vägen?

1161 Ett innebandylag med 23 ungdomar och tre tränare har fått tio biljetter till en A-lagsmatch. De undrar på hur många sätt de kan lotta ut de tio biljetterna om minst en tränare ska med.

Erik föreslår beräkningen:

C(3, 1) ∙ C(25, 9)

Filip föreslår beräkningen:

C(26, 10) – C(23, 10).

Förklara hur Erik respektive Filip kan ha tänkt. Har någon av dem tänkt rätt?

1162 Linn bakar tio cupcakes som kan dekoreras på fyra olika sätt.

På hur många sätt kan dekorationerna fördelas?

5th Avenue Madison Avenue Park Avenue Lexington Avenue 3rd Avenue

42nd Street 41st Street 40th Street 39th Street 38th Street 37th Street 36th Street 35th Street 34th Street Chrysler building

You

(23)

Kommer du ihåg sannolikhetslära?

Vi repeterar och definierar några begrepp inom sannolikhetsläran.

utfall Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpmässigt försök.

händelse En mängd av de möjliga utfallen kallas en händelse.

utfallsrum Mängden av alla utfall som är möjliga i ett försök kallas utfallsrum.

slumpförsök Ett slumpförsök är en händelse som har minst två möjliga utfall och där det i förväg är omöjligt att säga vilket som kommer att inträffa.

sannolikhet Sannolikheten för en händelse är det tal mot vilket den relativa frekvensen närmar sig då antalet försök växer. Sannolikheten för en händelse H skrivs P ( H ) och 0 ≤ P ( H ) ≤ 1. I situationer där man beskriver chanser och risker anges sannolikheten ofta i procent.

likformig Om ett försök har en likformig sannolikhetsfördelning betyder detta att alla sannolikhetsfördelning utfallen som är möjliga har samma sannolikhet. I ett sådant försök kan

sannolikheten för en händelse H beräknas exakt

P (H) = antalet gynnsamma utfall

antalet möjliga utfall Exempel 1

Vi tar på måfå en kula ur skålen.

Hur stor är sannolikheten för händelsen att kulan är svart?

Utfallsrummet är de 10 kulorna i skålen, dvs antalet möjliga utfall är 10.

De gynsamma utfallen är händelsen att kulan är svart, dvs antalet gynsamma utfall är 7.

P (svart) = 7 10 = 0,7

Antag att vi vill ta flera kulor ur skålen, utan att lägga tillbaka någon kula.

Hur ska vi tänka då?

Denna nya situation är ett exempel på en beroende händelse.

Sannolikheten för de olika utfallen när vi tar den andra kulan beror på utfallet då vi tog den första kulan.

beroende Händelser där den ena händelsens sannolikhet påverkas av om den händelser andra händelsen har inträffat eller inte kallas beroende händelser.

(24)

Exempel 2 Vi tar på måfå två kulor ur skålen.

Hur stor är sannolikheten att vi får en svart och en blå kula?

Vi redovisar flerstegsförsöket i ett träddiagram.

Två grenar i diagrammet ger en svart och en blå kula. I ett träddiagram är sannolikheten för en gren produkten av sannolikheterna längs grenen.

P (en svart och en blå) = P (svart, blå) + P (blå, svart) = 7

10 ∙ 3 9 + 3

10 ∙ 7 9 = 7

30 + 7 30 = 14

30 = 7 15

Vid problemlösning kan det ibland vara en bra metod att beräkna sannolikheten för komplementhändelsen till den efterfrågade händelsen.

komplement- Komplementhändelsen (med avseende på en given händelse) är mängden händelse av de utfall som inte ingår i den givna.

Exempel 3 Vi tar på måfå fyra kulor ur skålen.

Hur stor är sannolikheten att åtminstone en kula är blå?

Händelsen A: ”åtminstone en blå kula”, består av utfallen en blå, två blå och tre blå kulor. Här är det enklast att beräkna

P ( A) = 1 – P (B)

där B är komplementhändelsen ”alla fyra kulorna är svarta”.

P (B) = P (fyra svarta) = P (svart, svart, svart, svart) = 7 10 ∙ 6

9 ∙ 5 8 ∙ 4

7 = 1 6 P ( A) = P (åtminstonde en blå) = 1 – P (B) = 1 – 1

6 = 5 6 kula 1

kula 2 3

10 7

10

2 9 7

9 3

9 6

9

(25)

1163 Ett lyckohjul har omkretsen indelad i 64 lika stora delar, numrerade från 1 till 64.

Hur stor är sannolikheten att vinna om man får en vinst för alla tal delbara med a) 5 b) 7 c) 13 ?

1164 Erik skjuter mot ett mål. Sannolikheten för träff i första skottet är 0,6.

Vid träff i första skottet blir Erik lugn och sannolikheten för träff i andra skottet är därför 0,7. Vid bom i första skottet blir Erik nervös och sannolikheten för träff i andra skottet är därför 0,5.

Rita ett träddiagram och beräkna sannolikheten att Erik med två skott a) träffar båda

b) missar båda c) får en träff.

1165 Du tar på måfå två kulor ur skålen. Hur stor är sannolikheten att

a) den andra kulan är röd om den första var röd?

b) du får två röda kulor?

c) du får en kula av varje färg?

1166 Antag att du spelar kort med en vanlig kortlek. När en av dina motspelare drar ett kort ur leken råkar du se att kortet är rött och att det är en knekt, en dam eller en kung.

Hur bedömer du sannolikheten att kortet är hjärter dam?

1167 En trädgårdsmästare sätter 120 tulpanlökar.

Av dessa ska 70 ge röda tulpaner och ha grobarheten 90 %. Resten av lökarna ska ge gula tulpaner med grobarheten 80 %.

Vad är sannolikheten att en a) slumpvis vald lök gror

b) lök som gror, ger en gul tulpan?

1168

Arbetslösheten i en kommun redovisas i tabellen.

Vad är sannolikheten att en slumpvis vald invånare är arbetslös?

1169 Jenny tar slumpvis fyra kulor utan återläggning ur skålen.

Beräkna sannolikheten att åtminståne en kula är

a) gul b) blå

1170 Om en äldre person får en viss bakterie- infektion är sannolikheten för dödsfall 0,10. På ett sjukhus fick tre äldre patienter denna infektion.

Vad är sannolikheten att a) alla tre överlever b) en av de tre avlider c) minst en avlider?

1171 Sannolikheten att det ska regna en slumpvis vald dag i juli månad på en viss plats är 0,2.

Var ligger felet i följande slutsats?

”Sannolikheten att det ska regna två dagar i följd i juli på denna plats är 0,2 ∙ 0,2 = 0,04”.

1172

Ta på måfå en kula ur skål 1 och lägg den i skål 2. Ta sedan på måfå en kula ur skål 2 och lägg den i skål 3. Ta till slut på måfå en kula ur skål 3.

Vad är sannolikheten att denna sista kula är blå?

Område Andel av

invånarna Varav arbetslösa

A 0,35 2,7 %

B 0,65 9,4 %

skål 1 skål 2 skål 3

(26)

Kombinatorik och sannolikhetslära

I detta avsnitt beräknar vi antalet möjliga och antalet gynsamma utfall med hjälp av våra kunskaper i kombinatorik.

1173

På en hylla finns åtta matematikböcker, fyra blå och fyra gröna.

Vi väljer på måfå fem böcker från hyllan.

Vad är sannolikheten att två är blå och tre är gröna?

Bland åtta böcker kan man välja fem på

(

⁸^{5 sätt.}

)

Antal möjliga utfall är

(

⁸^{5 =}

)

8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 · 4

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 8 ∙ 7 = 56 Bland fyra blå böcker kan man välja två på

(

⁴^{2 sätt.}

)

Bland fyra gröna böcker kan man välja tre på

(

⁴^{3 sätt.}

)

Antal gynsamma utfall är

(

⁴^{2 ∙}

) (

⁴^{3 =}

)

^{4 ∙ 3}^{1 ∙ 2} ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 1 ∙ 2 ∙ 3 = 24 Sannolikheten = antal gynnsamma utfall

antal möjliga utfall P (2 blå och 3 gröna) = 24

56 = 3 7

Svar: Sannolikheten för två blå och tre gröna böcker är 3/7.

(27)

1174 I en påse finns det nio burkar läsk, fem med apelsinsmak och fyra med colasmak.

A C A A C C A C A Du tar på måfå upp sex burkar ur påsen.

Beräkna sannolikheten att du får a) fyra med apelsinsmak och två med colasmak

b) tre burkar av varje.

1175 Ur en vanlig kortlek tar Anja 18 svarta kort och lägger i en hög. Sedan tar hon två röda kort och lägger in i högen. Efter att ha blandat korten tar Anja upp två kort ur högen.

Hur stor är sannolikheten att hon får upp just de båda röda korten?

1176 I sin plånbok har Emil 4 sedlar med valören 500 kr och 5 sedlar med valören 100 kr.

När Emil ska betala 1 300 kr tar han på måfå upp 5 sedlar ur plånboken.

Visa att Emil har nästan 50 % chans att ta upp rätt belopp.

1177 På ett fat ligger 21 vita, 32 rosa och 17 gröna godisbilar. Du tar slumpvis 3 bilar från fatet.

Vad är sannolikheten att a) alla 3 är rosa

b) 2 är rosa och en är vit c) alla 3 har olika färg d) minst en är vit?

1178 Effekten av en ny medicin undersöktes i 10 olika tester. I 6 av testerna ansågs medicinen ha en positiv effekt. Antag att man slumpvis väljer ut 3 av testerna.

Vad är sannolikheten att a) alla visar positiv effekt b) 2 visar positiv effekt

c) minst ett visar positiv effekt?

1179 En Lottorad består av 7 valda nummer av 35 möjliga. Hur stor (eller liten?) är chansen att en lottorad har

a) 7 rätt b) 6 rätt c) 3 rätt?

1180 Elevrådet på en skola består av fyra pojkar och fem flickor. Vid ett tillfälle valde man genom lottning ut två elevrådsmedlemmar som skulle diskutera en fråga med

skolledningen.

När en pojke och en flicka från elevrådet kom till mötet sa rektorn:

”Vilken tur att det blev en pojke och en flicka vid lottningen.”

Eleverna svarade då:

”Det var inte bara tur, det var det mest sannolika.”

Undersök om eleverna hade rätt.

1181 I var och en av fem burar finns en svart och två vita möss. Man tar slumpvis en mus från varje bur.

Beräkna sannolikheten för att minst en av dem är

a) svart b) vit

1182 En pokerhand innehåller fem kort från en vanlig kortlek med 52 kort.

Vad är sannolikheten att en pokerhand har a) minst ett ess

b) två par (t ex två ess och två sjuor) c) fyrtal?

(28)

Tema

Poker och Yatzy

Poker spelas med en vanlig kortlek som har 52 kort. I kortleken finns 4 färger (hjärter, ruter, spader och klöver) och varje färg finns i 13 valörer.

En pokerhand består av fem kort.

⁴²

)

∙ 44 = 123 552 Yatzy är ett tärningsspel, där man kastar fem vanliga tärningar. I spelet får man kasta tre gånger, men vi ska undersöka utfallen vid ett kast. Vi kallar det ett yatzykast.

Ett par i Yatzy betyder 2 tärningar med samma valör (samma antal prickar) och 3 tärningar med andra valörer. De tre tärningar som inte ingår i paret måste ha olika valörer, annars får man ett två par eller en kåk.

Hur många yatzykast med ett par finns det?

Först ska vi välja 1 valör av 6. Det kan göras på 6 sätt.

Sen ska vi välja 2 tärningar av 5. Det kan göras på

(

⁵²

)

^sätt.

De tre sista tärningarna måste ha olika valörer.

De kan väljas på P(5, 3) sätt.

Antalet yatzykast med ett par är 6 ∙

(

⁵²

)

∙ P(5,3) = 3 600.

Exempel 2

(29)

I spelstaden Las Vegas spelas det mycket poker, kanske också Yatzy.

4 Hur många pokerhänder har kåk, dvs 3 kort i en valör och 2 kort i en annan valör?

5 Beräkna sannolikheten att du i en pokerhand får

a) ett par d) fyrtal g) färg b) två par e) stege i färg h) kåk.

c) triss f) stege

Stämmer sannolikheterna med händernas rangordning i poker?

6 Hur många utfall finns det vid ett yatzykast?

7 Hur många av utfallen vid ett yatzykast har a) fyrtal, dvs 4 tärningar visar lika

b) tretal, dvs 3 tärningar visar lika

c) två par, dvs 2 tärningar visar en valör och 2 tärningar en annan valör och den sista tärningen en tredje valör

d) kåk, dvs 3 tärningar i en valör och 2 tärningar i en annan valör

e) stege, dvs 5 tärningar som visar 1 – 5 eller 5 tärningar som visar 2 – 6

f) yatzy, dvs alla tärningarna visar lika?

8 Hur stor är sannolikheten att du i ett yatzykast får

a) ett par d) fyrtal g) yatzy?

b) två par e) kåk c) tretal f) stege När man beräknar antalet pokerhänder/yatzykast

med t ex ett par, ska de händer/kast som är bättre (t ex två par) inte inkluderas i antalet.

1 Hur många olika pokerhänder finns det?

2 Hur många pokerhänder har

a) ett par, dvs 2 kort i en valör och 3 kort av andra valörer

b) tretal (triss), dvs 3 kort i en valör och 2 kort i andra valörer

c) fyrtal, dvs 4 kort i en valör och 1 kort i en annan valör.

3 Hur många pokerhänder har

a) stege i färg (straight flush), dvs 5 kort i rad i samma färg, där ess kan vara både 1 och 14 b) stege, dvs 5 kort i rad, men inte i samma

färg

c) färg, dvs 5 kort i samma färg?

(30)

Binomialsatsen

binom Ett binom är ett polynom som består av endast två termer.

Vi ska studera utvecklingar av ett binom a + b upphöjt till ett naturligt tal n. Utvecklingarna av (a + b)ⁿ för

n = 0, 1, 2, 3 och 4 visas nedan. Resultatet på en rad får vi genom att multiplicera föregående rad med (a + b).

(a + b)⁰ = 1 (a + b)¹ = a + b (a + b)² = a² +2ab + b²

(a + b)³ = a³ +3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Du kanske ser ett mönster? Hur bör t ex utvecklingen av (a + b)⁵ se ut?

Enligt utvecklingarna ovan bör (a + b)⁵

◗ innehålla 6 termer

◗ börja med a⁵ och sluta med b⁵

◗ ha termer där summan av exponenterna är 5.

(a + b)⁵ = a⁵ +__ a⁴b + __a³b² + __a²b³ + __ab⁴ +__ b⁵

Hur får vi de utelämnade koefficienterna? Vi kan räkna hur många gånger de olika termerna (före förenkling) förekommer i

(a + b)⁵ = (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b)

◗ Termen a⁵ får vi när vi multiplicerar ett a från varje parentes.

Det kan bara ske på ett sätt.

◗ Termen a⁴b får vi när vi multiplicerar fyra a och ett b från de fem parenteserna.

Det kan göras på fem sätt: aaaab aaaba aabaa abaaa baaaa.

Att välja fyra a från fem parenteser kan göras på lika många sätt som man kan välja ett b från fem parenteser.

^{= 10 sätt.}

(31)

Koefficienterna till utvecklingen ges av antalet sätt att välja b.

^b⁵

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ Utvecklingen av (a + b)ⁿ redovisas i binomialsatsen.

Binomialsatsen

Koefficienterna

(

ⁿ^{0 ,}

) (

ⁿ1 osv i utvecklingen kallas binomialkoefficienter.

)

binomialkoefficient En binomialkoefficient är ett tal av formen

(

ⁿ^{k =}

)

^{k!(n – k)!}^n!

där n och k är naturliga tal och 0 ≤ k ≤ n.

För att underlätta binomialutveckligar har man samlat det enklaste Pascals triangel biniomialkoefficienterna i en tabell, som kallas Pascals triangel.

Lägg märke till att varje tal i Pascals triangel är summan av de båda närmaste talen i raden ovanför, vilket beskrivs med Pascals formel.

Pascals formel

(

²²

) (

³³

)

(

) (

⁵²

) (

⁴⁰

)

(

⁵¹

) (

⁵⁰

)

1 1 1

1 2

1

1 3

3 1

1 4

4 6

1

1 5

5

1 10 10

(32)

⁼

= (n – 1)!

k!(n – 1 – k)! + (n – 1)!

(k – 1)!(n – 1 – (k – 1))! = (n – 1)!

k!(n – 1 – k)! + (n – 1)!

(k – 1)!(n – k)! =

= (n – k)(n – 1)!

k!(n – k – 1!(n – k)) + k ∙ (n – 1)!

(k – 1)! ∙ k(n – k)! = (n – k)(n – 1)!

k!(n – k)! + k(n – 1)!

k!(n – k)! =

= n(n – 1)! – k(n – 1)! + k(n – 1)!

k!(n – k)! = n(n – 1)!

k!(n – k)! = n!

k!(n – k)! =

(

ⁿ^k

)

^{= VL}

Historik

Pascals triangel

Blaise Pascal (1623 – 1662) var en fransk matematiker, fysiker och filosof. I matematiska skrifter beskrev han teorier om bl a geometri, sannolikhetslära, talföljder och serier. Pascal konstruerade även en räknemaskin och gjorde grundläggande fysikaliska försök där han mätte tryck med kvicksilverbarometrar. Hans namn Pascal står som måttenhet för tryck.

Triangelformade tabeller över binomial- koefficinterna var kända inom indisk, arabisk, persisk och kinesisk matematik för över tusen år sedan. Blaise Pascal var dock den förste som undersökte och bevisade dess egenskaper.

Tabellen brukar därför kallas Pascals triangel.

DISKRET MATEMATIK I

5000 Matematik

Välkommen till Matematik 5000

Innehåll

DISKRET MATEMATIK I

1

Centralt innehåll

1 1 1

15343274

894789475849 777 7547 112 894789475849

55 482398678567

23 887 6744

HUR MÅNGA?

Inledande aktivitet

1.1 Kombinatorik

Lådprincipen

√

Multiplikations- och additionsprincipen

M E N Y

r

Permutationer

Kombinationer

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

Kommer du ihåg sannolikhetslära?

Kombinatorik och sannolikhetslära

(

)

(

)

5000 ^Matematik