Stillastående slumpvandring

I Physical Review Letters ingick 1994 en artikel med den finurliga rubriken “Random walking during quiet standing”

(Collins och De Luca 1994). Den handlade om det intressanta fenomenet att då man står upprätt på plats så utför kroppen små svajande rörelser. Det hjälper inte i hur sobert tillstånd man anser sig befinna sig, det går inte att normalt stå stelt som en betongpelare. Den enklaste icke- triviala fysikaliska modell man kan göra av balanssituationen är i form av en inverterad pendel ledad vid vristerna med en återställande fjäder som representerar musklernas spänningstillstånd. Gruppen kring David A Winter har i flera studier visat hur överraskande väl denna enkla modell fångar vissa karaktäristiska drag hos balans- mekanismen om man undantar slumpvandringen. I före- liggande artikel beskrivs några modeller för svajning och balans med speciell vikt på att förstå “slumpens” roll.

Kaosforskningen har lärt oss att se “brus” (noise) som möjligen annat än enbart en “störning”, och denna perspektivförskjutning har ytterligare drivits på av teorier och experiment kring stokastisk resonans (SR) och själv-

organiserad kritikalitet (SOC).

En elektronisk stabilometer består (i regel) av en rektangulär platta försedd med kraftsensorer i varje hörn vilka mäter den vertikala kraften. Från dessa data kan vi räkna ut tryckcentrum (“center of pressure”, COP) – se figur 1, som visar plattan uppifrån – enligt

2 3 1 4

2 3 1 4

1 2 3 4

2 3 1 4

2

2

F F F F

x a

F F F F

F F F F

y b

F F F F

+ − −

= ⋅ + + + + − −

= ⋅ + + +

där F_i står för den vertikala kraften uppmätt i dito hörn.

Enligt konventionen står personen så att y-axeln ligger längs framåt-bakåt-riktningen (anterior/posterior = A/P) medan x-axeln ligger längs mitten-till-sida-riktningen (medial/lateral = M/L). Numera kopplas kraftplattorna förstås direkt till datorer för att logga och analysera data.

Mätprocedurerna är i regel enkla men förutsätter

standardiserade testförhållanden. Kraftvärdem registreras från sensorerna och omräknas till COP-koordinater vilket ger två tidsserier, x(t) och y(t), sk. stabilogram. Ritar vi ut dem som en kurva i (x, y) -planet erhåller vi vad som kallas ett statokinesigram (eller posturogram) vilket visar hur tryckcentrumet förflyttas med tiden (fig. 2). Frågan som studerats under många decennier är hur man bäst kan extrahera information ur dessa kurvor som har diagnostisk signifikans. En sammanhörande fråga är i vilken

utsträckning datan kan tolkas via en matematiskt formulerad neuro-muskulär modell.

Frågeställningen antyder redan två huvudtyper av tillvägagångssätt: å ena sidan har vi den klassiska

“newtonska” metoden – fysikalisk modellering – som bygger på fysikaliskt grundade matematiska modeller av fenomen; å andra sidan har vi vad som kallas algoritmisk modellering (Rapp et al. 1999, Jones 2001). Inom

algoritmisk modellering försöker man inte modellera mekanismen i sig, som betraktas som en “svart låda”, utan datan själv är det primära objektet för vilken man försöker konstruera en matematisk modell som förklarar speciella egenheter hos det. Systemidentifiering är ett exempel på en disciplin som kan sägas gå ut på algoritmisk modellering. En intressant länk mellan båda dessa modelleringsmetoder har vi de nyare icke-linjära tidsserianalysmetoder som bygger på resultat för kaotiska dynamiska system (Abarbanel 1995, Kantz och Schreiber 2000). Vad de visar är att vi under ganska allmänna villkor

Stillastående slumpvandring

Balansmätsession med ögonen öppna. Deltagaren står ledigt stilla med blicken fäst vid en punkt på väggen ca 3 meter framför medan fötternas mediala sidor bildar en ca 30 graders vinkel. (foto: Mika Herrala)

kan sålla fram vissa karaktäristiska invarianter hos dynamiska system utan noggrann förhandskännedom om systemet och enbart på grundval av en signalserie från systemet. Ett exempel utgör den topologiska dimensionen hos ett systems “attraktor”. Detta betyder också att dylika icke-linjär metoder är tämligen okänsliga för hur data representeras eftersom man söker efter “invarianta storheter”. Tex. globala Ljapunov-exponenter är oberoende av koordinatsystemet som används. Andra parametrar som kommit fram via icke-linjär analys är olika former av entropier (Kolomogorov-Sinai, Renyi, Approximate Entropy), korrelationsdimensioner, reciprok information (“mutual information”), m. m. Ett annat argument för bruket av algoritmisk modellering är att hos komplicerade system ofta inträffar att ett stor antal frihetsgrader är

“låsta” och att systemet därför beter sig som ett

fådimensionellt determininistiskt system. Hermann Haken och hans synergetikskola har diskuterat ett flertal exempel på hur komplicerade system kan frysa frihetsgrader (Haken 1983).

En allmän tankegång inom kaosforskningen är att

“friska” organiska system tenderar att karaktäriseras av kaos; nämligen, kaotisk dynamik innebär att systemet ständigt proberar olika delar av fasrummet och därför snabbt kan reagera på nya omständigheter medan ett alltför reguljärt system sitter fastlåst i en avkrok av fasrummet. I analogi med detta finns det tex. resultat som tyder på att en högre korrelation mellan A/P [framåt- bakåt] och M/L-svaj [sidledes] vid balans förknippas med neurala defekter såsom MS [Multipel Sclerosis] och Par- kinson (Rosenblum et al. 1998). Även här kan man hypotetiskt anta att rigid koppling mellan svajning i A/P och M/L-riktning innebär en försämrad förmåga att reagera på yttre störningar. För små svajningar sker korrigeringar av positionen undermedvetet. Muskler, nerver och sinnes-

organen bildar ett återkopplingsystem. Viktiga sinnesorgan för balansen är det vestibulära systemet (“balansorganen”) i örat som registrerar huvudets linjära acceleration och rotation, ögonen, tryckreceptorer under fotsulorna,

nervändor i ledkapslar och ligament som registrerar ledvinklar (tex. knävinkeln), muskelspolar i skelettmusklerna som registrerar musklernas längd och kontraktionshastighet, samt Golgi-organen vid musklernas senfäste som registrerar muskelspänningen. Speciellt fötterna är rikligt försedda med ligament och receptorer och står man exemplevis på mjukt underlag inverkar detta tydligt på balansen. Signalerna från receptorerna i muskler och leder återkopplas via synapser i ryggmärgen till motoriska nerver som i sin tur stimulerar musklerna. Typisk respons- tid för benmuskler (tex. Gastrocnemius, Soleus, Peroneus longus) som medverkar i kontrollen av balansen är kring 90–140 ms. Rollen hos musklernas återkopplingssystem kan demonstreras genom svaga retningar tillexempel av nackmusklerna vilka leder till automatiska korrigerings- rörelser.

Det kliniska studiet av statisk balans kallas posturologi (Gagey och Weber 1999). Ett betydande antal olika parametrar har kommit till användning inom posturologin för att beskriva stabilogrammen. Chiari et al. (2003, 2000) räknar med upp till 55 parametrar, men flertalet av dessa överlappar varandra. Följer vi författarna kan vi klassifiera parametrarna i tre grupper: Tid-baserade parametrar, frekvens-baserade parametrar, samt stokastiska parametrar.

Till de tid-baserade parametrarna hör de vanliga deskriptiva parametrarna såsom arean vilken täcks av COP-punkterna (kan definieras på olika sätt), COP-trajektorians längd (beror självfallet på resolutionen), medelhastighet i A/P- och M/L-riktningen osv. Till de frekvens-baserade parameterarna hör sådana som man beräknar från stabilo- grammens effektspektra (vilka i praktiken begränsar sig till

frekvensintervallet 0 – 10 Hz), som tex.

medelfrekvens. I och med Collins och De Luca (1993, 1994) kom de stokastiska parametrarna in i bilden. Inom posturologin brukar man hänvisa i sammanhanget till

“stabilografisk diffusionsanalys” (SDF) i och med kopplingen till diffusionen som en stokastisk process. Collins och De Luca försökte tolka posturogrammets

“spagettikurva” (se fig. 2) som en följd av deterministisk kaos:

“A likely candidate for physiological chaos is the human postural control system, the output of which is highly irregular .... The identification of postural sway as an instance of chaos would suggest that there is a simple, dynamical mechanism at work in balance regulation and may make possible new therapeutic and preventative strategies for postural instability” (Collins och De Luca 1994: 764).

Fig. 1: Balansplatta (schematiskt) sedd uppifrån med placeringen av kraftgivarna 1–4.

För att testa hypotesen om determinstisk kaos som förklaring till svajningen beräknade författarna Ljapunov- exponenter för både ursprunglig data och för fasrandomi- serad substitutdata (som har samma statistiska egenskaper som rådata men där alla deterministiska korrelationer är utsuddade) och fick väsentligen samma resultat; dvs, inget stöd för hypotesen om att balansen kontrolleras via deterministisk kaos.

“We therefore concluded that the postural control system should not be modeled as a chaotic process and that it is better represented as a stochastic one” (ibidem s. 765).

Det bör kanske inflikas att Ljapunov-parametrarna är ganska känsliga för brus och redan en brusnivå på 2–3%

anses i allmänhet omintetgöra en relvant estimation.

Stokastiska modeller som använts i sammanhanget är främst fraktal Brownsk rörelse (fBm – “fractional Brownian motion”) och fraktalt Gaussiskt brus (fGn –

“fractional Gaussian noise”). Mandelbrot och Wallis (1968) är upphovet till dessa beteckningar men dylika fraktala processer studerades redan kring 1940 av A N Kolmogorov. I bakgrunden ruvar idén om självsimilära processer; närmare bestämt, H-självsimilära processer x(t) som definieras av att den skalade varianten x(at) av processen är statistiskt ekvivalent med x(t) multiplicerad med en faktor a^H (H är den sk. Hurst-exponenten),

(3)

( ( ) )

( )

Prob x t x Prob 1 x at x a

 

< =  <  vilket brukar skrivas

(4) x t

( )

( )

=a ⋅

För att definiera fBm antar vi att x(0) = 0 (med

sannolikheten 1), då karaktäriseras processen fBm av att ha variansen

(5)

(

(

) ( )

)

För H = 0.5 får vi uttrycket för den “ordinära” Brownska rörelsen där variansen beror linjärt av tiden ∆ [fallen H≠ 0.5 hänvisas till också som anomalisk diffusion, se Metzler och Klafter (2000)]. Man kan argumentera (Flandrin 1989) för att effektspektrumet för fBm i snitt ges av

(6)

( ) ( ) ( )

( )

2

2 1

2 1 sin 1

x 2 H

S f H H

σ π f

π ⁺

= Γ + ⋅

vilket betyder alltså att effektspektrumet beror av

frekvensen f såsom f upphöjt i -2H – 1. Av detta kan man bl.a. dra slutsatsen att desto större H-värde desto jämnare kurva x(t) eftersom högfrekvenskomponenterna dämpas desto mera desto större H. Faktiskt bildar grafen av den H-självsimilära kurvan x(t) en fraktal kurva i planet med fraktaldimensionen D = 2 – H.

För att analysera huruvida data är förenlig med en fBm-process finns det alltså två uppenbara alternativ:

Variansmetoden som baseras på (5) där vi beräknar variansen för en serie tidsskillnader ∆ och observerar huruvida dessa värden följer en exponent-lag (5); spektrum- metoden som utgår från (6) där vi beräknar spektrumet (via FFT) och granskar huruvida vi erhåller ett 1/f-spektrum.

Collins och De Luca (1994) nyttjar variansmetoden medan tex. Thurner et al. (2002) också nyttjar spektrum-metoden för att analysera posturogram-data. Båda metoderna ger samstämmiga resultat. Både tidsintervallet och frekvens- intervallet verkar vara uppdelade i två områden

karaktäriserade av persistens (t < 1 s, f > 1 Hz) och anti- persistens (t > 1 s, f < 1 Hz). Persistens betyder att rörelse tenderar att forstätta i samma riktning som tidigare, medan anti-persisitens betyder att rörelsen tenderar att slå om i motsatt riktning. Collins och De Luca (1994) erhöll för korttids Hurst-exponent H_s = 0.83 ± 0.04, och för långtids Hurst-exponent H_l = 0.25 ± 0.06. För tilltäckligt lång tid borde Hurst-exponent bestämd enligt (5) närma sig H = 0

eftersom rörelsen är begränsad.

Den fysikaliska orsaken till att vi har dessa två regioner för svajning är ganska uppenbar. Ur korttidsperspektiv fortsätter kroppen mest sannolikt i samma riktning som ögonblicket innan p.g.a. dess inertia. Emellertid, senast då kroppens längdaxel avviker ungefär 0.5 grader från den vertikala jämvikt- positionen pendlar rörelsen tillbaka och vi får anti-persistens. Detta kan man försöka modellera som en inverterad pendel med en återställande fjäder (fig.

3) plus en stokastisk “störning” (Peterka 2000)

Fig. 2: Posturogram, tryckcentrums (COP) rörelse. Längdskala i mm.

(7)

( )

( )

( )

0 0

1000 ^{u t}_f

t t

D P

f

Iα K α K mgL α K α u du e^τ n u du τ

−

+ + − ⋅ +

∫

∫

&& &

Här betecknar vinkeln αavvikelsen från det vertikala jämviktsläget i A/P-riktningen (fig. 3), I är tröghets- momentet visavis vristleden, K_P är fjäderkonstanten (“stiffness”), m är pendelns massa (kroppen minus fötterna), och L är avståndet från fotled till masscentrum, COM. I högra ledet av (7) har vi Gaussiskt brus n(t) med variansen 1 och medelvärdet 0, medan exponenttermen utgör ett lågpassfilter. I modellen ingår också en friktions- term och en “integrator” i enlighet med PID-kontroll- schemat som används inom reglerteknik (Khoo 2000).

För denna modell kan man direkt beräkna spektrum för COM-koordinaten y_c som är proportionell till α, y_c = Lα (för små vinklar α) och man kan för realistiska parameter- värden faktiskt se en tudelning i spektrumkurvan (fig. 4, heldragna kurvan) kring “tröskelfrekvensen” (värde givet för de aktuella parameterexemplen)

1 0.42 Hz

2

p n

K mgL

f π I

= − ≈

För COP-koordinaten mjukas denna brytning upp (punkt-kurvan i fig. 4) eftersom den i frekvensrummet är relaterad till COM-koordinaten genom

( )

( )

ˆ 1 ˆ_c

c

y ω ω y ω

ω

 

= +  ⋅

 

med

c 2 c

f mgL ω = π = I

Märk väl att en modell som föregående använder sig av vitt brus (H = 0.5) för störningen medan H-själv- similariteten visas endast vara en approximativ egenskap inom vissa tids- och frekvens-intervaller.

Man observerar att (13) beskriver en kontinuerlig version av den populär ARMA-modellen (“Auto- Regressive-Moving Average”) som används mycket inom biomedicinsk signalbehandling (Bruce 2001; Rangayyang 2002). Tänker vi oss att koordinaten x_i vid tidpunkten t_i är en linjär funktion av tidigare värden plus en slumpterm w får vi ekvationen

(8) ¹

1 1

n m

k i k k i k

k k

x a x₋ b w₋

= =

=

∑

∑

Bortser vi från slumpdelen i högra leden av (16) har vi en modell som också går under namnet linjär prediktion (linear prediction, LP) (se Press et al. 2002 §13.6). Figur 5 visar en kurva simulerad enligt ARMA-modellen (16) (övre kurvan) och uppmätt kurva (nedre kurvan). För simuleringen användes n = 10, m = 40 och filter-

parametrarna a beräknades genom adaptiv LMS-algoritm från mätdata (den klassiska adaptiva Widrow-Hoff algoritmen diskuteras tex. av Haykin 1999 och Hänsler 1997). Slumptermerna w slutligen genererades enligt en Gaussisk fördelning med standardavvikelsen 1 och medel 0, medan MA-parametrarna sattes till b₀ = .... = b₃₉ = 0.038.

Ekv (7) och (8) illustrerar kontrasten mellan en typisk fysikalisk modell och en algoritmisk modell. Fysikaliska modeller har ju den uppenbara fördelen att de förknippar modell-parameterar med identifierbara egenskaper hos det fysikaliska systemet. ARMA-modellen kan å sin sida innebära att det är relativt enkelt att estimera dess parametrar. För en diagnostisk användning är det huvudsaken att man har parametrar som kan kategorisera fenomen i grupper av “normala” och “avvikande”. Detta är också en typisk uppgift för Artificiella Neurala Nätverk (ANN) som tillhör en grupp analysmetoder som

sammanförs inom en gebit kallad “soft computing”

(Tettamanzi och Tomassini 2001). Huruvida parametrarna kan direkt förknippas med en fysikalisk egenskap hos en systemmodell kommer i dessa fall i andra hand.

Algoritmiska modeller hamnar man främst att ty sig till då det saknas tillräckligt enkla och adekvata fysikaliska modeller för systemet i fråga.

Fig. 3: Inverterad pendel som biomekanisk modell.

Tillämpbar då man vid balansering nyttjar den sk.

“vrist-metoden” (ankle strategy); dvs, kroppen roterar endast kring vristerna.

.. .

Rosenblum et alii (1998) presenterar en helt

deterministisk modell för svajningen. Utgångspunkten är igen modellen för en inverterad pendel som i detta fall förses med en icke-linjär fördröjd återkoppling, (9)

( )

( ) ( ( ) )

2

1 1 2 2

2h c F t , c F t  

α&&+ α ω α&+ + α −τ + α& −τ =

Funktionen F är tänkt att modellera det proprioceptiva systemets (receptorsystemet som anger kroppens orientering i rummet) reaktion på vinkeln α och dess förändring dα/dt. Deras enklaste exempel är en styckevis linjär funktion (Q betecknar Heavisides steg-funktion)

(10) F x x

(

) (

) (

) (

)

( (

) )

I allmänhet ger inte autonomiska en- eller två- dimensionella kontinuerliga dynamiska system upphov till kaos (Poincaré-Bendixon-teoremet; se tex. Alligood et alii (1996)). Emellertid, har vi en fördröjd återkoppling kan situationen bli en annan; ett klassiskt exempel är “Ikeda- oskillatorn” (Ikeda och Matsumoto 1987)

(11) ^{x t&}

( )

( )

(

)

som ger upphov till en kaotisk signal (exempelvis för α = 1, β = 20, τ = 2). Den klassiska illustrationen av kaos via periodfördubbling hos den logistiska avbildningen

( )

1 

i i i

x₊ = x −x

är besläktad med (11) (om vi ignorerar hastighetstermen) och ger en fingervisning om varför kaos kan förväntas i system med fördröjd återkoppling.

Milton (2000) har vissa intressanta synpunkter på

stokastiska signalers roll i biologin även om modellen i (Eurich och Milton 1996) verkar vara alltför trivial vad beträffar balansen för att kasta något ljus över fenomenet.

Sålunda verkar det tex. sannolikt att en mekanism som stokastisk resonans (Moss 2000) kan ha en nyckelroll i ett flertal biologiska processer. En färsk studie (Kitajo et al.

2003) antyder tex. att subliminal Gaussisk visuell stimuli kan förbättra den sensomotoriska känsligheten. Soma et al. (2003) presenterade nyligen dessutom experimentellt stöd för att 1/f-brus är effektivare än vitt brus i att höja känsligheten. En intressant upptäckt av gruppen kring J J Collins är att ej förnimbara [subliminala] slumpartade taktila stimulin kan aningen förbättra resultaten i balans- testen. I ett experiment (Gravelle et al. 2002) använde man elektrisk stimulering vid knäet, i ett annat experiment nyttjades små slumpmässigt vibrerande nylontappar under fötterna (Priplata et al. 2002). Stimulin justerades till en subliminal nivå där försökspersonen alltså inte längre förnam retningarna. En tolkning är att den subliminala stimulussignalen förbättrar återkopplingsmekanismens känslighet i linje med teorin för stokastisk resonans. Man aviserar redan skoinlägg med stimulatorer av vibrerande gelé för att hjälpa personer med balanssvårigheter. En huvudpoäng med dessa rön är att brus inte behöver betraktas som en “störning” utan som en förutsättning för att sinnesorganen skall fungera optimalt. Veterligen har denna aspekt hos brus inte tillsvidare explicit inlemmats i modeller för balansmekanismen. J G Milton är dock faktiskt inblandad i en fiffig studie av balansering av en pinne på fingerändan (Cabrera och Milton 2002) där slumpen i form av “parametriskt brus” ges en mer konstruktiv roll (Milton uppger att en av inspirations- källorna har varit Stépán och Kollár (2000)). I försöken användes en 62 cm lång pinne med markörer i ändarna varigenom dess läge kunde registreras optiskt med filmkameror. [Själv har jag testat en mätuppsättning med accelerometer.] Pinnen balanseras genom att armen förs fram och tillbaka vägledd av synintrycken (visuell återkoppling). För en homogen pinne av längden l och massan m vars upphängningspunkt endast rör sig längs en linje horisontellt får vi enligt Newtonsk mekanik ekvationen [fixerad pendelplan]

(12) ³ sin ³ ₀cos 0

2 2

g

l l

α&&− α+ ξ&& α =

där ξ0

( )

förhållande till den vertikala uppåtriktningen. Författarna presenterar en enkel modell, baserad på (12) med fördröjd återkoppling och en friktionsterm, för hur pinnen

balanseras,

Fig. 4:Teoretiskt spektrum för COP-koordinat (streckad) och COM-koordinat (heldragen) för modellen (13).

(13)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

sin 1 0

t

u u u R u u

t u

φ τ φ τ ω φ φ

α φ φ

τ

+ Γ − + − =

=    =

&&

Tiden har reparametriserats

(

)

ω π/ 2 . R representerar en fördröjd återställande kraft som är proportionell till avvikelsen α från jämviktsläget α= 0. Detta motsvarar den återställande “fjädern” i (7) men verkar här aningen orealistisk vad gäller vinkel- avvikelsen i framåt-bakåt riktningen som ju är svårt att observera. Denna reglerterm i (13) alstras genom handens rörelse och är proportionell till dess acceleration för liten lutning α – jämför med (12) (därför ingen multiplicering med τ i den sista termen av (13)). Författarnas nya idé i sammanhanget är att anta att “reglerkraften” moduleras av en konstant fjäderparameter plus en varierande

slumpkomponent,

(14) R=

( )

( )

där η antas vara Gaussiskt brus [mer realistisk vore kanske någon form av filtrerat brus; vitt brus implicerar en orealistisk ryckighet hos handens acceleration].

Överfört till en modell för svajningen betyder det att muskelspänning antas ha en slumpmässigt varierande komponent. Det har tex. påvisats spontanta vibrationer hos muskler (Basmaijan och De Luca 1985, s. 152). I de synaptiska kontakterna mellan muskel och nerv uppträder en viss slumpmässighet i utsöndringen av signal- substanser såsom acetylkolin vilket bidrar med en slump-

faktor i det neuromuskulära systemet.

Det finns grundläggande problem med modellen (13- 14), men det kan var ändå av intresse att analysera den närmare. Genom att variera parametrarnaτ och R₀ kan man bestämma stabilitetsområdet i (τ , R₀)-planet. För små τ -värden kan man utvecklaφ(u-1) i Taylor-serie och dra slutsatsen att under dessa förhållande ges stabilitets- området av (om vi bortser från bruset)

(15) ²⁰²

0

R R τ

ω τ Γ >

>

som alltså begränsas av en rät linje och en parabel i (τ , R₀) -planet. Mera exakt, ansätter vi en lösning av typen e^λt i den lineariserade versionen av (13) [ersätter sin(φ) med φ] och bortser från bruset får vi den karaktäriska ekvationen

2 2 2

0 0

R e ^λ λ τ λ τ ω+ Γ − + ⁻ =

vars nollställen med negativ reell del motsvarar stabila tillstånd (för analys av fallet Γ = 0 se tex. Atay (1999)).

Numerisk simulering av (13) [τ = 0.07 s, l = 62 cm] visar i regel ingenting intressant inom stabilitetsområdet (exponentiell dämpning), men författarna hävdar att nära stabilitetsranden börjar intressanta saker hända och man kan få oregelbundna svajningar. Emellertid har jag vid egna simuleringar funnit oregelbundna oskillationer inte kring α = 0, utan tex. kring en annan stationär lösning [α ≈ ±0.42 rad] av (13). (Dessutom, denna lösning råkar existera för givna parametervärden bara genom att det insmugit sig ett fel i Cabreras och Miltons behandling;

nämligen, tredje termen i (13) har multiplicerat med en extra faktor 2). Vidare tycks författarna ha förbisett att

Fig. 5: ARMA-simulerad COP-kurva (övre kurvan) enligt ekv (16) och uppmätt kurva (nedre kurvan).

vinkeln α i (12) skall tolkas som pinnens lutning framåt- bakåt, eftersom de försöker anpassa azimut-vinkeldata (azimutvinkeln är pinnens avvikelse från den vertikala riktningen) till modellen (13). Azimutvinkeln förutsätter en 2-dimensionell modell av pinnens rörelse istället för den 1-dimensionella modellen (12). Mehta och Schaal (2002) som studerat liknande balansexperiment separerar explicit pinnens rörelser i sidled och i riktningen framåt-bakåt.

Trots vissa mankemang bör inte ansatsen (13) genast kastas på skräphögen; frågan är hur den adekvat skall modifieras. tex. kan vi få en modell som oscillerar kring 0 från (13) om vi ersätter vinkeln φi (13) med φ + φ₀ därφ₀ är en stationär lösning till (13). Från ekv (12) observerar vi också att likformig rörelse (accelerationen ξ =&&0 0 ) av pinnen inte bidrar till stabilisering. Således, en god balansstrategi går ut på att göra små knyckiga rörelser och samtidigt minimera förskjutningen ξ&& från startläget₀ eftersom armen annars fort blir för kort. Accelerationsdata som jag tittat på visar i snitt ca en större “knyck” per sekund.

Författarna har i ett senare arbete (Cabrera och Milton 2002b) förknippat systemets strävan att nå stabilitet- sranden med “self-organized criticality” (SOC), en tankefigur lanserad av Per Bak, Chao Tang och Kurt Wiesenfeld (1987) – för en översikt se Jensen (1998). Det paradigmatiska exemplet på SOC är laviner i en sandhög.

Sandkorn läggs till sandkorn tills små instabiliteter utmynnar i mikrolaviner som i sin tur allt emellanåt resulterar i ordentliga ras. I analogi med detta tänker man sig att många biologiska system arbetar nära en kritisk instabilitet som ökar deras känslighet. (För en diskussion om hjärnan och SOC se Linkenkaer-Hansen 2002.) I fallet med pinnbalanseringen kan tex. närheten till instabilitets- området försnabba reaktionerna, såsom författarna föreslår.

Cabrera och Milton (2002b) framkastar också att den balanserande pinnens lutning [vinkel] kan studeras som en sk. Lévy-flykt (Lévy flight, se tex. Jespersen et al.

(1999)) som är en generalisering av Brownsk slumpvandring.

Lévy-processen med Lévy-parametern 0 < µ< 2 har en distribution som i det kraftfria fallet (“free Lévy flight”) kan beskrivas via en diffusionsekvation av formen [generella fallet leder till sk. fraktala Fokker-Planck ekvationer]

(16) ^{f x t}

( )

( )

t x

µ

µ µ

∂ ∂

∂ = ∂

Den fraktala derivatan i (16) kan definieras via Fourier- transformation (Riesz), eller som inversion av fraktal integration (se Saichev och Woyczyñski 1997 § 6.9).

Gränsfallet µ = 2 återger den ordinära Brownska slumpvandringen som har en Gaussisk fördelning av exkursionerna. Man kan lösa (16) genom Fourier-

metoden. Med gränsvillkoret

( )

( )

f x =δ x

antar distributionen f asymptotiskt formen av en exponentlag (som man kan gissa sig till genom skalningsargument)

(17)

( )

f x t x

µ µ

≈ +

Analys av mätresultaten tyder enligt Cabrera och Milton (2002b) på att fördelningen av hastighets- förändringarna ∆^v för tidsintervaller av en given längd

∆tföljer Lévy-statistik. Fördelningen verkar faktiskt vara klart icke-Gaussisk och visar en tydlig skillnad mellan nybörjare och erfarna “jonglörer”. Nybörjare har en mer stympad (trunkerad) fördelning; dvs, mindre andel stora hastighetsförändringar. Vidare uppges sannolikhetstätheten (“return probability”) för tidsintervaller mellan vilken vinkeln överskrider ett visst tröskelvärde följa en exponentlag

(18) ^P

( )

vilket är exakt vad man skulle vänta sig av en ordinär Brownsk slumpvandring. Faktiskt, för fraktala tidsserier har man i allmänhet (Ding och Yang 1995)

(19)

( )

D 1 P t t H

δ δ t δ

−

∝ = −

där D = 2 - H är kurvans fraktala dimension och vi för Brownsk slumpvandring har H = 0.5. Heagy et alii (1994) har emellertid demonstrerat att exponenten -3/2 i (18) tydligen universellt karaktäriserar fenomen med

intermission (intermittency); dvs, fraktala processer med lugna avsnitt (laminary phases) som avbryts av vida exkursioner. Cabrera och Milton tar också (18) som belägg för att parametriskt brus möjliggör reaktioner snabbare än den neuromuskulära fördröjningen som är kring 100 ms.

Atay (2002) beskriver en klass av enkla fördröjda återkopplingsmodeller för vilka asymptotisk stabilitet är möjlig endast om fördröjningen satisfierar (homogen inverterad pendel)

2 3

l τ < g

För τ = ca 100 ms implicear en sådan modell för balansen att det vore omöjligt att balansera en pinne kortare än omkr 15 cm. Faktiskt, försök balansera en vanlig penna på fingerändan!

En idé bakom (13) är att fluktuationer ibland slänger

systemet utanför stabilitetsområdet och initierar en exkursion tills en motsatt riktad fluktuation återför systemet till stabilitetsområdet. Även om modellen är bristfällig så är upptäckterna av intermittensegenskapen (18) och Lévy-distributionen viktiga ifall de kan bekräftas i andra undersökningar [intermittens kan i så fall också förväntas på nervsignalnivå]. Motsvarande experiment kunde kanske också utföras för balans på enhjuling (för en elementär teoretisk diskussion om balans på enhjuling och bifurkation se Johnson 2002). Mer traditionella modeller är baserade på linjär kontrollteori, såsom exempelvis hos Mehta och Schaal (2002) vilka menar att balanseringen efterliknar en styrning via en Kalman filter.

Tanken är att det biologiska kontrollsystemet försöker förutsäga utvecklingen och nyttjar detta för att kompensera fördröjningen i återkopplingen (Wolpert at al. 1995;

Wolpert 1997). En klassisk “dead time” kompenserande linjär kontrollmodell är den sk. Smith prediktorn (Smith 1957) och en idé är att cerebellum skulle innehålla interna modeller (Dingwell et al. 2001) av rörelsescheman av Smith-typ (Miall et al. 1993). Dylika ansatser är självfallet mycket intressanta för förståelsen av hur rörelsescheman uppkommer men de behandlar dock inte slumpens roll.

Kan exemplet med balanserandet av en pinne kasta ljus över svajandet vid stående? Slumpens roll kan vara liknande i de båda fallen. Däremot är förstås synens roll av central betydelse för balanseringen av pinnen medan proprioceptiva förnimmelser dominerar vid stående. Men båda fallen kunde tänkas i princip täckas under en generell kontrollmodell. Ur dynamisk synvinkel är den intessanta frågan huruvida dessa två fenomen i en viss mening skulle kunna hänföras till samma “unversalitets- klass” (universality class). Mera experimenterande “in vivo” och “in silico” kommer förhoppningsvis att ge nya vinkar om de neuromuskulära kontrollsystemens

egenskaper. Vi kan dock redan våga oss på en preliminär hypotes som utgår ifrån att hos det neuro-muskulära systemet utgör bruset sannolikt en integrerad del av dess funktion. Vid svajningen kommer hela tiden en ström av signaler från muskler, ledkapslar, balansorgan; osv, signaler som är ofta under tröskelnivån. Ibland ger dessa signaler motstridig information om balanstillståndet [kan eventuellt jämföras med hur man i svag belysning börjar se “fantasifigurer” i mörkret, eller klassiska optiska villor där tolkningen av en bild kan växla mellan två olika figurer (Gestalt)]. Därtill förekommer adaption; dvs, svaret på en konstant retning försvagas med tiden. Ur detta perspektiv kan svajningen ses som en del av en uppdaterings- mekanism av “kroppsminnet” ungefär som man tänker sig att hjärnoscillationer i 10–20 Hz området håller hjärnan på alerten (Linkenkaer-Hansen 2002). Subliminalt brus kan antas stöda denna uppdateringsmekanism medan starkare brus igen maskerar relevant information och stör balans- kontrollen.

I artikeln har vi försökt visa hur ett synbart enkelt fenomen som stående och balansering kan leda till intressanta frågeställningar om slumpens roll i biologiska system. I en viss mening är faktiskt stillastående ett mer komplicerat fenomen än gående som stöder sig på inlärda (“programmerade”) ballistiska reflexer eller interna modeller. Via tämligen enkla experiment och matematiska modeller finns det möjligheter att upptäcka nya mekanismer med relevans för vår förståelse av hur biologiska system fungerar. Ibland får man dock nöja sig med algoritmisk modellering eftersom adekvata fysikaliska modeller saknas eller är för komplicerade. Inom den akademiska undervisningen kunde hithörande modeller och experiment också erbjuda intressanta tvärvetenskapliga projektuppslag bland biologi-, fysik- och matematik- studeranden.

Artikeln har skrivits i samband med Biosignalprojektet som bl.a. stöds av Tekes. Ett speciellt tack riktas till John G Milton för mejldiskussioner, balansfilmsekvens och

“förhandstitt” på manuskript. Hur Ab som stött projektet har tillverkat kraftplattan vilken använts vid våra

mätningar.

Litteratur

1 Abarbanel H D I: Analysis of Observed Chaotic Data. Springer 1995.

2 Alligood K T, Sauer T D and Yorke J A: Chaos. An Introduction to Dynamical Systems. Springer 1996.

3 Atay F M: “Balancing the inverted pendulum using position feedback”. Appl. Math. Lett. 12 No. 5 (1999) 51–56.

4 Bak P, Tang C and Wiesenfeld K: “Self-organized criticality: An explanation of 1/f-noise”. Phys. Rev. Lett. 59 (1987) 381–384. [Obs! Innehåller ett berömt “tryckfel”.]

5 Basmajian J V, De Luca C J: Muscles Alive. Their Functions Revealed by Electromyography. 5. ed. Wil- liams & Wilkins 1985.

6 Bruce E N: Biomedical Signal Processing and Signal Modeling. Wiley 2001.

7 Cabrera J L and Milton J G: “On-off intermittency in human balancing task”. Phys. Rev. Lett. Vol. 89. No. 15 (2002) 158702.

8 Cabrera J L and Milton J G: “Delays, scaling and the acquisition of motor skill”. Ms 2002.

9 Chechkin A et al.: “Stationary states of non-linear oscillators driven by Lévy-noise”. Chemical Physics 284 (2002) 233–251.

10 Chiari L, Cappello A, Lenzi D and Croce U Della:

“An improved technique for extraction of stochastic parameters from stabilograms”. Gait and Posture 12 (2000) 225– 234.

11 Chiari L, Rocchi L and Cappello A: “Stabilometric

parameters are affected by anthropometry and foot placement”. Clinical Biomechanics 17 (2002) 666–677.

12 Collins J J and De Luca C J: “Open-loop and closed-loop control of posture – a random walk analysis of center-of-pressure trajectories”. Exp. Brain. Res. 95 (1993) 308– 318.

13 Collins J J and De Luca C J: “Random walking during quiet standing”. Phys. Rev. Lett. 73 No. 3 (1994) 764 – 767.

14 Delingières D et al.: “A methodological note on nonlinear time series analysis: Is the open- and closed- loop model of Collins and De Luca (1993) a statistical artifact?”. J. of Motor Behavior 35 No. 1 (2003) 86–96.

15 Ding M and Yang W: “Distribution of the first return time in fractional Brownian motion and its application to the study of on-off intermittency”.

Physical Review E Vol. 52. No. 1 (1995) 207–213.

16 Dingwell J B et al.: “Manipulating objects with internak degrees of freedom: Evidence for model-based control”. J. Neurophysiol. 88 (2002) 222–235.

17 Engquist B and Schmid W (eds.): Mathematics Unlimited – 2001 and Beyond. Springer 2001.

18 Eurich C W and Milton J G: “Noise-induced transitions in human postural sway”. Phys. Rev. E Vol. 54, No. 6 (1996) 6681 – 6684.

19 Flandrin P: “On the spectrum of fractional Brownian motions”. IEEE Transactions on Information Theory 35 No. 1 (1989) 197 –199.

20 Gagey P-M and Weber B: Posturologie.

Regulation et Dérèglements de la Station Debout. 2e édition. Masson 1999. [Se även http://perso.club- internet.fr/pmgagey/ .]

21 Gravelle D C et al.:”Noise-enhanced balance control in older adults”. Neuroreport 13 No. 15 (2002) 1853– 156.

22 Haken H: Advanced Synergetics. Springer 1983.

23 Haykin S: Neural Networks. A Comprehensive Foundation. 2. ed. Prentice Hall 1999.

24 Heagy J F, Platt N and Hammel S M:

“Characterization of on-off intermittency”. Phys. Rev. E 49 Nn. 2 (1994) 1140 – 1150.

25 Hänsler E: Statistische Signale. 2. Aufl. Springer 1997.

26 Ikeda K and Matsumoto K: “High-dimensional chaotic behavior in systems with time-delayed feedback”.

Physica D 29 (1987) 223– 235.

27 Jensen J J: Self-Organized Criticality. Emergent Complex Behavior in Physical and Biological Systems.

Cambridge University Press 1998.

28 Jespersen D, Metzler R and Fogedby H C: “Lévy flights in external force fields: Langevin and fractional Fokker-Planck equations and their solutions.” Phys. Rev.

E 59 No. 2 (1999) 2736 – 2745.

29 Johnson R C: “Unicycles and bifurcations”.

American J. Physics 66 No. 7 (2002) 589 –592.

30 Jones C K R T: “Whither applied nonlinear dynamics?” In Engquist B and Schmid W (2001).

31 Kantz H, Kurths H and Mayer-Kress G (Eds.):

Nonlinear Analysis of Physiological Data. Springer 1998.

32 Kantz H and Schreiber T: Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press 2000.

33 Khoo M C K: Physiological Control Systems:

Analysis, Simulation, and Estimation. IEEE Press 2000.

34 Kitajo K et al.: “Behavioral stochastic resonance within the human brain”. Phys. Rev. Lett. 90 No. 21 (2003) 218103.

35 Liebovitch L S and Yang W: “Transition from persistent to antipersistent correlation in biological systems”. Phys. Rev. E Vol. 56 No. 4 (1997) 4557– 4566.

36 Linkenkaer-Hansen K: Self-organized Criticality and Stochastic Resonance in the Human Brain. [Diss.]

Helsinki University of Technology 2002. ( http://lib.hut.fi/

Diss/2002/isbn9512262177/ )

37 Mandelbrot B B and Van Ness J W: “Fractional Brownian Motion, Fractional Noises and Applications”.

SIAM Review 10 (4) (1968) 422– 437.

38 Mehta B and Schaal S: “Forward models in visuomotor control”. J. Neurophysiol. 88 (2002) 942 – 953.

39 Metzler R and Klafter J: “The random walk’s guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach”.

Physics Reports 339, 1 (2000) 1–77.

40 Miall R C et al.: “Is the Cerebellum a Smith predictor?” J. of Motor Behavior 25 No. 3 (1993) 203–216.

41 Milton J G: “Epilepsy: multistability in a dynamic disease”. In Waellczek (2000) p. 374–386.

42 Milton J G et al.: “Controlling neurologcal disease at the edge of instability”. Ms 2003.

43 Moss F: “Stochastic resonance: looking forward”.

In Walleczek (2000) p. 236–256.

44 Nigg B M and Herzog W (eds.): Biomechanics of the Musculo-skeletal System. Wiley 1995.

45 Peterka R J: “Postural control model interpretation of stabilogram diffusion analysis”. Biological

Cybernetics 82 (2000) 335–343.

46 Press W H et al.: Numerical Recipes in C++. The Art of Scientific Computing. 2. ed. Cambridge University Press 2002.

47 Priplata A et al.: “Noise-enhanced human balance control”. Phys. Rev. Lett. 89 No. 23 (2002) 238101.

48 Rangayyan R M: Biomedical Signal Analysis. A Case-Study Approach. IEEE Press 2002.

49 Rapp P E, Schmach T I and Mess A I: “Models of knowing and the investigation of dynamical systems”.

Aleksei Sossinsky:

Solmut. Erään matemaatti- sen teorian synty.

Art House, 2002, 116 s.

Ohjehinta 29,50.

Suom. Osmo Pekonen

Somujen teoria on matematiikan ala, joka syntyi 1800-luvun puolivälissä, kehittyi pienin askelin aivan viime vuosikymmeniin saakka, mutta ko- hosi vihdoin maineensa huipulle uusien läpimurtojen myötä 1980- luvun puolivälissä. Tätä kehitystä kuvaa Aleksei Sossinskyn puheena oleva kirja.

Solmuja voidaan muodostaa konkreettisesti tekemällä muovi- narusta erilaisia silmukoita ja sulat- tamalla lopuksi narun vapaat päät yhteen. Täsmällisemmin muotoiltuna solmu on ympyrän kanssa homeo- morfinen 3-ulotteisen avaruuden osajoukko, mutta topologin silmin solmuja on kuitenkin mukavampi tarkastella tällaisten silmukoiden muodostamina ekvivalenssiluokkina, kun samastamme toisistaan jatku- valla tavalla (koko avaruuden iso- topian kautta) saadut silmukat.

Solmut kuuluvat siis topologi- aan alaan, mutta niiden tutkiminen on aina ollut kiinteästi yhteydessä algebraan. Tämän vuorovaikutuksen isänä voidaan pitää itävaltalaista Wilhelm Wirtingeriä, joka v. 1904 ensimmäisenä osoitti, että solmuja on ylipäänsä olemassa muitakin kuin triviaalisolmu (ympyrä). Wirtinger ei ilmeisesti pitänyt tätä solmuteorian ensimmäistä matemaattista tulosta kovin arvokkaana, sillä hän esitti

todistuksen luentokurssillaan, ja sen julkaisi vasta saksalainen Heinrich Tietze v. 1908. Todistuksessa tutki- taan ns. kolmiapilasolmua, jonka komplementin perusryhmä osoittau- tuu epäkommutatiiviseksi, eikä se näin ollen voi olla isomorfinen ympy- rän komplementin perusryhmän Z kanssa.

Sossinskyn kirja ei ole kuitenkaan varsinainen matematiikan oppikirja, vaan jokseenkin yleistajuinen kuvaus kyseessä olevan matematiikan alan parhaista paloista. Niinpä aihepiiri on rajattu sellaisiin solmuinvariantteihin, joita voidaan kuvata esimerkiksi poly- nomien avulla. Tämä ei ole suuri rajoitus, sillä eräät tärkeimmät invari- antit ovat juuri polynomeja. Yleisesti ottaen solmuinvariantilla tarkoitetaan sellaista matemaattista objektia (luku, polynomi, ryhmä, vektoriavaruus jne.), joka antaa ekvivalenteille sol- muille saman arvon. Kaikkien solmu- teoreetikkojen Graalin malja on täy- dellinen solmuinvariantti, jonka pitäi- si toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:

se pystyy erottelemaan ekvivalenssi- luokat toisistaan, se on helppo muo- dostaa esimerkiksi solmun tasopro- jektion avulla, ja lopuksi, kahden solmun invarianttien yhtäsuuruutta pitäisi pystyä helposti vertaamaan.

Viimeinen vaatimus saattaa tuntua yllättävältä, mutta esimerkiksi kah- den ryhmän isomorfisuuden selvittä- minen niiden esitysten avulla on yleisessä tapauksessa mahdotonta.

Koska täydellistä solmuinvarianttia ei vielä tunneta, on tyydyttävä vaati- mattomampiin. Näistä tällä hetkellä tunnetuin lienee ns. Jonesin poly- nomi, joka on yhden muuttujan Lau- rent-polynomi ja toteuttaa kolmesta yllä mainitusta ehdosta kaikki muut paitsi ensimmäisen. Kirjassa käydään läpi sekä Jonesin että eräiden muiden polynomien konstruktiot, ja suoma- laiselle lukijalle kyseinen luku lienee helpoin tapa tutustua aiheeeseen.

Matemaattisesti monimutkaisin asia, jota kirjassa käsitellään, liittyy ns.

Physica D 132 (1999) 133–149.

50 Rosenblum M et al.: ”Human postural control: Force plate experiments and modelling”. In Kantz et al. (1998).

51 Smith O J M: “Closer control of loops with dead time”. Chemical Engineering Progress 53 (1957) 217–

219.

52 Soma R et al.: “1/f noise outperforms white noise in sensitizing baroreflex function in human brain”.

Phys. Rev. Lett. 97 No. 7 (2003) 078101.

53 Stépán G and Kollár L:

“Balancing with reflex delay”.

Mathematical and Computer Modelling 31 (2000) 199–205.

54 Tettamanzi A and Tomassini M: Soft Computing. Integrating Evolutionary, Neural, and Fuzzy Systems. Springer 2001.

55 Thurner S, Mittermaier C and Ehrenberger K: “Change of complexity pattern in human posture during aging”. Audiology & Neuro Otology 7 (2002) 240–248.

56 Saichev A I and Woyczyñski W A: Distributions in the Physical and Engineering Science (Vol. 1).

Birkhäuser 1997.

57 Walleczek J (ed.): Self- organized Biological dynamics and Nonlinear Control. Cambridge Uni- versity Press 2000.

58 Winter D A et al.: “Ankle muscle stiffness in the control of balance during quiet standing”. J.

Neurophysiol. 85 (2001) 2630–2633 .

59 Winter D A et al.: “Motor mechanism of balance during quiet standing”. Journal of

Electromyography and Kinesiology 13 (2003) 49–56.

60 Winter D A et al.: “Stiffness control of balance in quiet standing”.

J. Neurophysiol. 80 (1998) 121–1221.

61 Wolpert D M, Ghahramani Z and Jordan M I : “An internal model for sensimotor integration”. Science 269 (1995) 1880–1882.

62 Wolpert D M: “Computational approaches to motor control”. Trends in Cognitive Sciences 1 No. 6 (1997) 209–216.

Frank Borg